理论力学：虚位移原理
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理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学-虚位移原理
“冻结”时的可能位移，用r表示。
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
虚位移与实位移的区别：
●与实际发生的微小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯 粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的 性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、 主动力和运动初始条件。
●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任 意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定 的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及 运动的初始条件有关。
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
虚位移与实位移的区别：
●与实际发生的微小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯 粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的 性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、 主动力和运动初始条件。
●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任 意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定 的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及 运动的初始条件有关。
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
理论力学课件 虚位移原理
δW
或
F
Fi δri 0
F xi δ x i F y i δ y i F zi δ z i 0
也称为虚功原理或虚 功方程
虚功率方程 受定常理想约束的质点系，其平衡的必要与充分条件为：系统内所有 主动力对质点系的任意虚速度所作的元功率之和等于零。
i 0 P Fi r
f r1 , r2 ,...rn 0
f r1 , r2 ,...rn ,t 0
（2）双侧约束与单侧约束 双侧约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。
O y O
B
x l
x
y B 0(双侧约束 )
A
A0 y O l
A0
x2 y2 l 2
单侧约束 —— 约束方程写成不等式的约束。
则 ri ri (q1 , q2 ... qk , t )
d qs s 1,2...k
一组广义实位移
虚位移
——位置函数的变分。
质点在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，即 δr 。 (它与受力、 动力学方程以及初始条件无关 ) k
ri δ qs 一组虚位移 s 1 qs δ qs ( s 1, 2,3...,k ) 一组广义虚位移 δri
r 2 sin cos l r sin
2 2 2
δ , δy B 0
上式消去广义坐标即可得到其关系。
可见:
几何法直观，解析法易求。
例题 求图示机构中，A, D两点虚位移关系。
解：利用几何关系进行分析。首先利用约束关系确定各点的虚位移，如图。 考察AB杆，有 考察BD杆，有
实位移与虚位移
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
虚位移是分析力学中的一个非常有用的概念，它是一种现有的变形模型，可以帮助我们确定结构或体系在受力时的变形情况。
这种模型不仅在工程结构方面，还在许多行业中都用于解决实际应用中的问题。
下面我们就先详细来讲一讲虚位移的原理以及如何使用它。
虚位移的原理很简单，实质上就是计算受力情况下的位移的一种方法。
它的基本原理是，当给结构施加一个力时，每一点将受到一个同等的位移，但这个位移的方向会受到受力的方向的影响而不同。
虚位移的优点是它可以简化计算过程，减少计算量，并可以保证生成的数据准确可靠。
虚位移的具体使用方法首先要明确以下三点：一是确定施加力的方向；二是确定施加力的大小；三是确定每一点体系的位置。
接下来，我们就可以定义每一点在该力作用下的位移。
从定义上来看，虚位移是一个矢量，它由三个分量构成，包括弯杆方向的位移，即径向、轴向和切向位移三个方向。
比如一个弯杆受拉力，应用虚位移的话，拉力的方向已经确定，只需根据方向乘以施加的力的大小定义弯杆上每个点的位移，最终就可以定义出结构的变形情况。
总而言之，可以说虚位移的运用可以大大提高工程结构分析时的计算效率，并可以更好地解决实际应用中的问题。
根据虚位
移原理，我们可以通过求解和分析，正确准确地得出结构在受力情况下的变形情况。
理论力学2虚位移原理
7
2. 解析法 适用于完整、定常、双面约束
例：求A和B两点的虚位移
O
x
解：选1、2为系统的广义坐标，直角坐标原
点选在固定点O，则A、B坐标可表示为：
a
1 A(x1, y1)
x1 a sin1 y1 a cos1
x2 a sin1 b sin2 y2 a cos1 b cos2
y
2 b B(x2, y2)
0
m3 g
i 1
1. 分析主动力作用点的虚位移
2. 求主动力的虚功之和
14
rA
A
rC1
m1 g
M
O
rC2
m2g
rB
BF
解：
W 0
Fr M 0 m3 g B
rA rB rA rB L
FL M (FL M ) 0 0
LF M 0 M L F
15
例: 图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，
0
i 1
广义力及以广义力表示的质系平衡条件
k
Q jq j 0
j 1
广义力
任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：
xi yi
zi W
xi
q1
yi
q1
zi
q1
n
i 1
q1
xi q2
q1
yi q2
q1
zi q2
r Fi
•
r ri
q2 q2 q2
L L L
n i 1
xi qk
r m2 g
解：根据虚位移原理
2
{Fixxi Fiyyi} 0
x1 l1 cos y1 l1 sin x2 l1 cos l2 cos y2 l1 sin l2 sin
理论力学虚位移原理
l cos 3l cos l sin l sin
xC yC
2l 0
cos
2l
cos
4l
cos
A
C X
求变分
xD yD
l cos l sin
xB yB
2l 2l
cos sin
xE yE
A
rC
C
AB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬时OE的虚位移与O1B 虚位移之间的关系。
E
A
OE
O 60°
O2 C
B
O1B
O1
虚速度法：根据约束，确定 rB ，rC 方向如图 于是刚体ABC的速度瞬心在 p 点。确定 rA 的方向如图
rA E
rAe
A
rAr p
M2 F21
Y
当 M1 与 M2 间距改变时，即 r12 不等于常数
dW 0 —变形体内的两点
3、弹性力做功
l F1 k(l l0 ) l F2 F1
弹性恢复力
l0 ——弹簧原长 k ——弹簧刚度系数
定义 l l0 弹簧变形量
上式表明，弹性恢复力的方向 总与变形方向相反。
k2
有势力做功等于负势能函数。
物理意义是：有势力做正功时系统势能减少； 有势力做负功时系统势能增加。
平面运动刚体上力系做功
平面运动刚体上作用力系Fi (i=1,2,…n)
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi）
理论力学课件 虚位移原理
N
设AB杆与BC杆在B点用光滑
铰链连接.由N = -N 得
A
C Nr + Nr = Nr - Nr = 0
24
(3)连接两质点的无重刚杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重,均为二力杆. 设质点
M1和M2的虚位移分别为 r1
M2
与r2 则有:
r1cos 1 = r2cos 2 N1r1 + N2r2
n
Fi ri 0
i 1
n
或：
Fxixi Fyiyi 0
i 1
27
五、虚位移原理的应用 1.求解复杂系统(运动机构)的平衡条件.
1)画虚位移图.
2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系.
3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解平衡条件.
28
例题5. 套筒分别置于光 滑水平面上互相垂直的 滑道中,受力分别为P和 Q如图所示.长为 l 的连 杆和水平方向夹角为 , 摩擦均不计.求系统的平 衡条件.
以Ni表示质点系中质点Mi的约束力的合 力 , ri表示该质点的虚位移 , 则质点系的理想 约束条件可表示为
n
Ni·ri = 0
i 1
23
(1)光滑接触面
光滑接触面的约束反力恒垂直
N
于接触面的切面 , 而被约束质点的
r
虚位移总是沿着切面的 , 即N r
Nr = 0
r B N (2)连接两刚体的光滑铰链
l
A(x,y) x 图1-3
6
O
y 左图中摆锤A的约束方程为
l
(细绳)
x2 + y2 l 2
A(x,y) x
图1-4
理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
理论力学—虚位移原理
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。
x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
8
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。
10
二、虚位移 某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任
何无限小的位移，称为虚位移（可能位移）。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
11
虚位移与真正运动时发生的实位移区别： 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际 发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。
W NNr0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、固定端
W N N r N 'r 0
20
§15-2 虚位移原理
具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等 于零。即
Fi ri 0
解析式： ( F xx i i F yy i i F zz i) 0 （空间问题）
a l
rC rB
PC PB
a 2 a sin
1 2 sin
rA al rC
rB2si nrC
x rB
rCa
rA al rC
l
rB2s in rC
x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
8
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。
10
二、虚位移 某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的任
何无限小的位移，称为虚位移（可能位移）。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 表示虚位移。
M
11
虚位移与真正运动时发生的实位移区别： 实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际 发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。
W NNr0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索 5、固定端
W N N r N 'r 0
20
§15-2 虚位移原理
具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是： 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等 于零。即
Fi ri 0
解析式： ( F xx i i F yy i i F zz i) 0 （空间问题）
a l
rC rB
PC PB
a 2 a sin
1 2 sin
rA al rC
rB2si nrC
x rB
rCa
rA al rC
l
rB2s in rC
理论力学 第11章 虚位移原理
rB rA tg (PQtg )rA 0
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学13虚位移原理
哈密顿原理的应用
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
理论力学 第十四章虚位移原理
7
§14–1 约束和约束方程
导弹A追击目标B，要求导弹速度方向 总指向目标。
A A x y 0, xB xA yB y A A A x z 0 xB xA zB z A
图
8
§14–1 约束和约束方程
初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子
x y l0 vt
O
r
l
B
x
6-5=1，只有一个独立坐标，故此系统只有一个自
由度
17
§14–2 广义坐标和自由度
二、广义坐标
一般，用直角坐标系表示非自由质点系的位置不太方便， 可选择任意变量来表示质点系的位置。 用来确定质点或质点系位置的独立变量或参数， 称为广义坐标。
xA r cos （x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。 y A r sin yB 0
q1 q2 qk
j 1
q j
k yi yi yi yi yi q1 q2 qk qj q1 q2 qk j 1 q j k zi zi zi z zi q1 q2 qk i q j q1 q2 qk j 1 q j
§14–1 约束和约束方程
3、双面约束和单面约束 （用等式表示） i , y i , z 双面约束：约束在两个方向都能起限制运动的作用。 i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x
单面约束：约束只在一个方向起作用，另一方向能 i , y i , z i , t ) 0 f j ( xi , yi , zi , x （不等式表示） 松弛或消失。
1
第十四章
虚位移原理
虚位移原理——精选推荐
虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。
虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。
另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。
一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。
其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。
变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。
等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。
即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。
在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。
例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。
计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。
(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。
新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。
返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。
如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。
约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。
理论力学-虚位移原理
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
xA2
y
2 A
r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
5
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束。
8
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何ห้องสมุดไป่ตู้束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
质点系中每一质点的直
角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
13
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
3
第十六章 虚位移原理
§16–1 约束及其分类 §16–2 自由度 广义坐标 §16–3 虚位移和虚功 §16–4 理想约束 §16–5 虚位移原理
§15-1 约束及其分类
一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
曲柄连杆机构
xA2
y
2 A
r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
5
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几 何约束。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束。
8
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何ห้องสมุดไป่ตู้束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
质点系中每一质点的直
角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
13
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
3
第十六章 虚位移原理
§16–1 约束及其分类 §16–2 自由度 广义坐标 §16–3 虚位移和虚功 §16–4 理想约束 §16–5 虚位移原理
§15-1 约束及其分类
一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
虚位移原理讲解
力偶(F,F'), 其力矩M=2Fl，螺杆的导程为h。求：机构平衡时加在
被压物体上的力。 解： 研究对象：手柄、螺杆和压板
主动力： M=2Fl 和FN
虚位移：手柄转过?? ，压板下移?s
??
? Fi ??ri ? ? F N ? s ? 2Fl ? ? ? 0
F
??
2l
F'
?s
?? 与?s 满足如下关系：
?
? yi ?q2
?? q 2
?
?
?
?yi ?qk
?? q k
?zi
?
? zi ?q1
?? q 1
?
? zi ?q2
?? q 2
?
?
?
?zi ?qk
?? q k
(i ? 1,2,? n )
14
[图例中1]画分出析各图点示虚机位构移在，图根示据位图置中时虚，位移方向确定投?影r?A 的符号。
点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l )
A r
C
?
? vA
x
2、定常约束和非定常约束 定常约束——约束条件不随时间改变的约束。 非定常约束——约束条件随时间变化的约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
O l M?
y
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细 x ? 绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 v x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，x?A ? r??? 0是微分方程，但
经过积分可得到 x A ? r? ? C（常数），该约束仍为完整约束。
4、单面约束和双面约束
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y
B
内力虚功：W (Fs ) Fs
b
xE xD 2b sin 2b cos
l
A
FS D FS' E
CF
外力虚功：W (F ) FxC
xC 2l sin
xC 2l cos
x
根据虚位移原理：W 0
当0 2b
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
2020/12/9
变形体的虚位移原理：具有双面、理想约束处于静止的质 点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外 力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等 于零。
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例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧
刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平
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•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
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§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
V
nห้องสมุดไป่ตู้i1
V qi
qi
0
(*)
对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移（变分）是独立的
(*)式成立的充分必要条件： V 0 (i 1,, n) qi
平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能取驻定值
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§4-7 平衡的稳定性
质点系在势力场中平衡的充分必要条件是： V 0,( j 1,, k) q j
力F，求该机构处于平衡时，A和C两点间的距离（xC=？）
y
B
y
B
b
D
A
l
E CF
x
b
l
A
FS D FS' E
CF
x
内力虚功：W (Fs ) Fs • rD Fs' • rE FsxD Fs'xE Fs (xE xD ) Fs (xE xD ) Fs
2020/12/9
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W
n [V i1 xi
xi
i 1
V yi
yi
V zi
zi ] 0
V 0
平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能变分等于零
2020/12/9
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§4-7 平衡的稳定性
若质点系的广义坐标为: (q1, q2,, qn )
质点系的总势能为: V V (q1, q2,, qn )
质点系在平衡位置有:
平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位 置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳定 的(stable)，否则是不稳定的(unstable)。
设系统的广义坐标为: (q1,,qn ), 其平衡位置为: (q1*,,qn*)
若 0,1 0,2 0,使得 : qi (t0 ) qi * 1, qi (t0 ) 2成立
z M
Fx
V x
, Fy
V y
, Fz
V z
V
y
举例说明： Fx x 0,
O
mg
V W (mg)AA0
V Fy y 0,
x
V mgz
V
Fz z mg
2020/12/9
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§4-7 平衡的稳定性
三、质点系在势力场中的平衡条件
设质点系中有n个质点,每个质点的势能为函数(可微)为：
当t t0时，有 qi (t) qi * 成立,
则称平衡位置是稳定的，否则是不稳定的
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§4-7 平衡的稳定性
一、势力场及势能
•力 场(force field)：质点（系）所受力完全由其所在 位置决定，这样的空间称为力场。
•势力场(potential force field)：若力所做的功与路径无 关，这样的力称为有势力或保守力；有势力构成的力
场称为势力场或保守力场。
•势 能(potential energy)：质点系从某一位置A 到基准点
A0 ，有势力所做的功，称为质点系在该位置的势能。基
准点的势能为零。
V (x, y, z) WAA0
2020/12/9
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§4-7 平衡的稳定性
二、势力场的特性
设作用在质点上的有势力为：F Fxi Fy j Fzk 设质点的势能函数为：V V (x, y, z) 则有关系式
质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤： 1、给出系统的势能函数 2、确定系统的平衡位置 3、讨论平衡位置的稳定性
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§4-7 平衡的稳定性
例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量)，当 杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。
解：取 =0 为系统的零势位
(Fl Fsb)2cos 0 0 (Fl Fsb) 0; or cos 0
xC1
a
F k
l b
2
xC2 2l
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§4-7 平衡的稳定性
演示实验：钢丝在杯口平衡位置的稳定性。
2020/12/9
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§4-7 平衡的稳定性
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A
B
C
注意：质点系势能函数（可微）取得驻值是平衡的充分必要
条件，但是平衡并不一定是稳定的。
V (x) mgx2 x=0是平衡位置且是稳定的 V (x) mgx3 x=0是平衡位置且是不稳定的
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§4-7 平衡的稳定性
四、质点系在势力场中平衡的稳定性
定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要 条件是系统在平衡位置的势能为极小值。
k2
V
1 2
k1L2
sin 2
1 2
k2
L2
(1
cos
)
2
mgL(1
cos
)
L mg
k1
k1 k2
2020/12/9
dV
d
[(k1 k2 )L2
cos
k2 L2
mgL]sin
0
平衡位置 sin 0 or cos k2L mg
Vi Vi (xi , yi , zi )
n
质点系的总势能为: V Vi (xi , yi , zi ) V (x1, y1, z1,, xn , yn , zn )
i1
有势力与势能函数的关系式:
Fix
V xi
, Fiy
V yi
, Fiz
V zi
n
根据虚位移原理： W [Fixxi Fiyyi Fizzi ] 0