四阶幻方解法
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
四阶幻方代数推理
四阶幻方代数推理引言幻方是一种众所周知的数学奇观，它是一种排列在正方形格子中的数字集合，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
四阶幻方是其中的一种特殊情况，它是一个4×4的正方形格子，被填满了1到16的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
在本文中，我们将展示如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将使用数学原理和方法来解释如何填充幻方，使得它满足特定的条件。
我们将展示如何利用代数运算和数学推理来构建四阶幻方，并给出详细的步骤和例子。
通过本文的阐述，读者可以了解代数推理在构建幻方中的重要作用，同时也能够对代数推理有更深入的理解。
第一部分：基本原理为了构建四阶幻方，我们首先需要了解一些基本原理。
幻方的构建是基于一种特殊的数学规律，这个规律被称为幻方的特性。
幻方的特性可以用代数推理来解释和证明，这将为我们的构建过程提供基础和指导。
首先，我们需要了解四阶幻方的特性。
根据幻方的定义，每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
对于四阶幻方来说，这个数字和可以表示为S=4×(4×4+1)/2=34。
这个数字34称为幻方的常数，它是幻方中每一行、每一列和对角线上数字和的总和。
了解了这个特性之后，我们就可以通过代数推理来构建四阶幻方了。
第二部分：代数推理接下来，我们将介绍如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将按照以下步骤来进行推理和构建：步骤一：确定幻方的常数首先，我们需要确定四阶幻方的常数。
根据前面的讨论，我们知道四阶幻方的常数为34。
这个常数将会成为我们构建幻方的重要依据，我们需要保证每一行、每一列和对角线上的数字和都等于34。
步骤二：填充幻方的中心数字接下来，我们将填充幻方的中心数字。
四阶幻方的中心数字是16，我们可以将它填充在幻方的中心位置。
这样一来，幻方的第一步就完成了。
步骤三：确定幻方的边界数字然后，我们需要确定幻方的四个边界数字。
四阶幻方的数字范围是1到16，我们需要将这些数字填充在幻方的边界位置。
求四阶的素数幻方
求四阶的素数幻方。
即在一个4X4 的矩阵中，每一个格填入一个数字，使每一行、每一列和两条对角线上的4 个数字所组成的四位数，均为可逆素数。
*问题分析与算法设计有了前面的基础，本题应当说是不困难的。
最简单的算法是：采用穷举法，设定4X4矩阵中每一个元素的值后，判断每一行、每一列和两条对角线上的4个数字组成的四位数是否都是可逆素数，若是则求出了满足题意的一个解。
这种算法在原理是对的，也一定可以求出满足题意的全部解。
但是，按照这一思路编出的程序效率很低，在微机上几个小时也不会运行结束。
这一算法致命的缺陷是：要穷举和判断的情况过多。
充分利用题目中的“每一个四位数都是可逆素数”这一条件，可以放弃对矩阵中每个元素进行的穷举的算法，先求出全部的四位可逆素数(204个)，以矩阵的行为单位，在四位可逆素数的范围内进行穷举，然后将穷举的四位整数分解为数字后，再进行列和对角线方向的条件判断，改进的算法与最初的算法相比，大大地减少了穷举的次数。
考虑矩阵的第一行和最后一行数字，它们分别是列方向四位数的第一个数字和最后一个数字，由于这些四位数也必须是可逆素数，所以矩阵的每一行和最后一行中的各个数字都不能为偶数或5。
这样穷举矩阵的第一行和最后一行时，它们的取值范围是：所有位的数字均不是偶数或5的四位可逆数。
由于符合这一条件的四位可逆素数很少，所以这一范围限制又一次减少了穷举的次数。
对算法的进一步研究会发现：当设定了第一和第二行的值后，就已经可以判断出当前的这种组合是否一定是错误的(尚不能肯定该组合一定是正确的)。
若按列方向上的四个两位数与四位可逆数的前两位矛盾(不是其中的一种组合)，则第一、二行的取值一定是错误的。
幻方的技巧和解题思路
幻方的技巧和解题思路
幻方是一个矩阵，其中每行、每列和对角线上的元素之和都相等。
解题和构建幻方的方法有很多，以下是一些常用的技巧和解题思路：
1.奇阶幻方的构建：
o3阶幻方：可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"来构建。
o5阶幻方：可以使用"Burr（亨利·伯尔）方法"来构建。
o对于其他奇数阶的幻方，可以使用"La Hire（菲利普·莱尔）方法"来构建。
2.偶阶幻方的构建：
o4阶幻方：可以使用"De la Loubère（安德烈·纳诺·德拉卢贝尔）方法"来构建。
o6阶幻方：可以使用"J. R. Hendricks（乔布·亨德里克斯）方法"来构建。
o对于其他偶数阶的幻方，可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"或其他类似的方法来构
建。
3.递推法：可以使用递推法构建幻方，即通过给定的幻方来
构建更大阶数的幻方。
这种方法可以应用于各种阶数的幻
方。
4.数学公式：还有一些数学公式可以用来生成特定阶数的幻
方。
例如，Ramanujan公式可以用来生成8阶幻方，而Strachey公式可以用来生成12阶幻方。
5.对称性和规则性：在构建幻方时，利用对称性和规则性可
以更容易地确定某些元素的值，从而简化构建过程。
这些是一些常用的技巧和解题思路，但构建幻方是一个复杂的数学问题，需要深入的数学知识和技巧。
四阶幻方构造方法
4阶幻方是最简单的双偶幻方，能被4整除的偶阶幻方。
把1-16填入四阶方格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。
幻和=()344161521=÷++++
构造方法
1、顺序填数
2、以中心点对称互换数字
①以中心点对称交换对角线上的数（1-16、6-11、4-13、7-10互换）
顺序填数 以中心点对称交换对角线上的数
②以中心点对称交换非对角线上的数（2-15、3-14、5-12、8-9互换）
顺序填数 以中心点对称交换非对角线上的数
6阶幻方是最简单的单偶幻方，不能被4整除的偶阶幻方。
把1-36填入六阶方格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。
幻和=()1116363521=÷++++
构造方法
1、把11-26填入中间4阶幻方，4阶幻和=74
2、外围行、列、对角线上的对称的2个数字和=37，（1-36、2-35、3-34、4-3
3、5-32、6-31、7-30、8-29、9-28、10-27）6阶幻和=1113774=+。
四阶幻方解法
【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例：
1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.
如图：按行从左向右顺序排数.
2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法）
1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34.
2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34.
什么样的16个数能构成四阶幻方呢?【4个数一组的4组数（共16个数）,组与组对称等差,每组数与数对称等差,这样的16个数能构成四阶幻方（其中就包括等差的16个数）.】
如图
上图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以10-20-10对称等差.
下图,每组数与数以1-2-1对称等差,组与组以10-20-10对称等差.
再如：
上图,每组数与数等差为1,组与组等差为5.
中图,每组数与数等差为1,组与组以5-10-5对称等差.
下图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以5-10-5对称等差.
【四阶幻方的特点：】
1、互换对称的行（列）,幻方成立.
2、互换一侧的行（或列）,再互换另一侧的行（或列）,幻方亦成立.
3、互换不对称的行（或列）,再互换另外不对称的行（或列）,幻方亦成立.
4、平移互换对角的行或列、平移互换对角,幻方成立.
另,每16个能构成四阶幻方的数,幻方的填法有880种.。
四阶幻方的解
四阶幻方的解本文根据幻方的定义,建立了一个具有十六个未知数的非齐次线性方程组,求出了它的一般解.结合幻方的特性给出了求解的一般方法.论证了四阶幻方共有384个形式解.进而说明在变换意义下解的唯一性.一 建立方程组并求出一般解定义1:自然数1,2,3,…,16排成四行四列的方阵,如果每行每列及每条对角线(包括折断对角线)上四个数的和皆等于常数,则称这样的方阵为四阶幻方.假设方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x 为四阶幻方,根据定义得下面的方程组: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++16.....................................15......................................14.......................................13.....................................12......................................11........................................10......................................9.......................................8.......................................7...........................................6.............................................5...........................................4........................................3.........................................2.........................................1..........................................13107416963151252141181151054149831312721611611615141312111098765432116128415117314106213951t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x 将这个非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为最简形式(具体化简过程从略)→-----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t t t t t t t t t t t t t t t t 0001001001001000100000010010010001001000000100100010010010000001010000100001100000100001100001000001100001000010100001000010000111110000000000000000111100000000000000001111000000000000000011111000100010001000010001000100010000100010001000100001000100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111000000000000110011000000000001010101000000000001101001000000002001000001000000021110000001000000210000000001000002010000000001000021010100000001000201001000000001002000010000000001021100100000000001t t t tt t t t t t 因为342)161(16.4141161=+==∑=k k t将34=t 代入上述矩阵种得到方程组得一般解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><---=><---=><+-=><++-=><-=><+++-=><-=><-=><-+-=><--+=><-=><+++-=28............................3427............................3426..................................25................................24..............................................1723.........................1722..............................................1721..............................................1720.............................1719.............................1718..............................................1717.........................1716151413161512111615121015141291481615147166155161412415141231221615121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x %%(26)中,x15改为x14￥￥￥二 确定四阶幻方解得一般方法从方程组的一般解可以推出以下八个关系式: 由<17>+<18>,<23>+<24>,<25>+<26>得:16151098721x x x x x x x x +=+=+=+ <29>由<19>+<20>,<21>+<22>,<27>与<28>比较得:141312116543x x x x x x x x +=+=+=+ <30>由<17>+<21>,<19>+<23>及<26>得:161214107351x x x x x x x x +=+=+=+ <31>由<18>+<22>,<20>+<24>,<25>+<28>与<27>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <32>由<17>+<20>,<22>+<23>及<25>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <33>由<18>+<19>,<21>+<24>,<26>+<27>与<28>比较得:1641178532x x x x x x x x +=+=+=+ <34>$$x7,x14改为x10,x13$$$由<17>+<28>,<22>+<26>,<19>,<24>两边加上x 12得:128153106131x x x x x x x x +=+=+=+ <35>由<21>+<25>,<18>两边加上x 14,<23>+<27>,<20>得:16411714295x x x x x x x x +=+=+=+ <36>今断言171615≠+x x若171615=+x x ,由<21>式知17155=+x x ,则可推出165x x =矛盾. 同理可以推得,,,,,,,16412816131514151116121211x x x x x x x x x x x x x x +++++++都不等于17.我们考查关系式<29>与<30>,这两个关系式把十六个数分为两类,其中每一类的八个数又可分为四对,且每对数的和皆相等,但是都不等于17.幻方常数34分为两个数的和,这两个数并不相等的分法共有如下十六种.;(33,1),(32,2),(31,3),(30,4),(29,5),(28,6),(27,7),(26,8),(25,9),(24,10),(23,11),(22,12),(21,13),(20,14),(19,15),(18,16).因为1,2都不能分为互不相等的两个数的和,3只能分为(1,2)一类, ,4只能分为(1,3)一类,5只能分为(1,4),(2,3)两类,6只能分为(1,5),(2,4)两类,7只能分为(1,6),(2,5),(3,4)三类, 8只能分为(1,7),(2,6),(3,5)三类,这八类都不能分为互不相等的八类,所以应该排除.24可以分为(16,8),(15,9),(14,10),(13,11), 四对10可以分为(9,1),(8,2),(7,3),(6,4) 四对虽然各自可以分为互不相等的四对,但是十六个数字中漏掉了5和12这两个数字,而8,9这两个数字两类中都有出现了重复,所以这种分法也应该排除.23可以分为(16,7),(15,8),(14,9)(13,10).(12,11) 五对11可以分为(10,1),(9,2),(8,3),(7,4),(6,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.22可以分为(16,6),(15,7),(14,8),(13,9),(12,10), 五对12可以分为(11,1),(10,2),(9,3),(8,4),(7,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.20可以分为(16,4),(15,5),(14,6)(13,7).(12,8),(11,9) 六对14可以分为(13,1),(12,2),(11,3),(10,4),(9,5),(8,6) 六对,尽管每个数可以分为互不相等的六对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.25可以分为(16,9),(15,10,),(14,11),(13,12) 9可以分为(8,1),(7,2),(6,3),(5,4) 21可以分为(16,5),(15,5),(14,7),(13,8) 13可以分为(12,1),(11,2),(10,3),(9,4) 19可以分为(16,3),(15,4),(12,7),(11,8) 15可以分为(14,1),(13,2),(10,5),(9,6) 18可以分为(16,2),(14,4),(12,6),(10,8) 16可以分为(15,1),(13,3),(11,5),(9,7)(25,9);(21,13);(19,15);(18,16)这四种分法的每个数不仅可以分为互不相等的四对,而且互不重复,又无遗漏,这四种分法正好与前面的八个关系式构成一一对应.利用这一对应关系.便可以给出确定四阶幻方解的一般方法: 下面给出四阶幻方的一个解.不妨取定<29>=9,,<30>=25,<31>=13,<32>=21, <33>=15,<34>=19,<35>=16,<36>=18 令11=x由921=+x x ,得82=x ,(因为<29>=9) 由1351=+x x ,得125=x ,(因为<31>=13) 由1541=+x x ,得144=x ,(因为<33>=15) 由16131=+x x ,得1513=x ,(因为<35>=16) 而由<30>=25即251413=+x x 得1014=x 而由<32>=21即2162=+x x 得136=x 而由<32>=21即21139=+x x 得69=x 而由<32>=21即2184=+x x 得78=x 而由<30>=25即2543=+x x 得113=x 再由<29>=9即987=+x x 得27=x 再由<29>=9即9109=+x x 得310=x 此时还余下4,5,9,16四个数 由<30>=25即251211=+x x 由<32>=21即. 211511=+x x考虑25的分类中还余下(16,9)这一对,21的分类中还余下(16,5)这一对,所以1611=x 从而912=x 515=x 这时断定416=x将确定的解排成方阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡45101591636721312141181 经检验这个矩阵满足四阶幻方的定义. 三确定幻方解的个数从确定幻方解的一般方法,我们进而可以确定幻方解的个数.,,,,131514121x x x x x x x x ++++是从(25,9),(21,13),(19,15),(18,16)中选取的四个数值,共有42种选择.它的选择，具体讲可由1x 的值所确定,例如取11=x .我们考查1所在的数对所属的分类.1在9,13,15,16的分对中.所以,,,,131514121x x x x x x x x ++++取定9,13,15,16.这相当与四个元素的全排列.它们的取法共有!4种.对于每一种排列,按照(二)中的方法便可确定幻方的一个解.(二)中的具体解便是.所以四阶幻方的解共有384!4.24=个解.四 在变换意义下的唯一性对于我们在(二)中得到的那个解. 1,矩阵转置后显然是解.2,.交换第二行和第四行的位置后仍然是解, 交换第一行和第三行的位置后仍然是解, 将矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x A 进行分块,记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=652111x x x x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=874312x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=141310921x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1615121122x x x x A ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 定义2:若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321b b b b B 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡4231b b b b 为B 的正转置记为+T B ,即右上角与左下角交换. 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1324b b b b 为B 的负转置记为-T B ,即右下角与左上角交换.称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1234b b b b 为B 的双转置记为TB ,即右上角与左下角,右下角与左上角都交换.3,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+T T T T A A A A A 22211211*也是解 4,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111***A A A A A TT 也是解 ***A 是由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 分块后,先将块当作元素进行正转置得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111**A A A A A ,再将块12,21A A 分别双转置而成,形象地说是将A 分块后,将块2112,A A 绕矩阵的中心旋转0180而成.可以将幻方的一个解,利用上述四个变换得到所有的384个解,反过来利用上述四个变换,可以将一个解变成我们所得到的那个解.所以在变换意义下,我们说四阶幻方的解是唯一的.本文得到王石瑚先生的指导,在此表示感谢!本文发表在洛阳师专学报(自然科学版)1989年第2期.。
数学三阶、四阶幻方题目解法[资料]
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数学三阶、四阶幻方题目解法[资料] 三阶幻方例:补全幻方，使每行、列对角线的和相等。
()10() ()()124 8 () () 11()()()7 () 18() 以中心对称的两个数的和为中心数的两倍(因为幻和=中心数×3)为条件。
所以:(1)【】【10】【】【4】【8】【12】【】【6】【7】然后:可知幻和=24，把剩下的数字再补充完就可以。
【9】【10】【5】【4】【8】【12】【11】【6】【7】(2)同理先把能推理出来的数字算出来。
【】【4】【13】【】【11】【】【9】【18】【】幻和=33【17】【4】【12】【6】【11】【16】【10】【18】【5】以中心对称的两个数的和为中心数的两倍(因为幻和=中心数×3)为条件。
例:用9以内的数补全三阶幻方，使每行、列对角线的和相等。
三阶幻方对角线和是15，即1+5+9。
每行三个数字的和都必须是1-9平均数的三倍，即5*3四阶幻方例:用16以内的数补全四阶幻方，使每行、列对角线的和相等。
解法1:以十六字依次作四行排列,先以四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一,七换十,这般横直上下斜角相加,皆是三十四.简单的说，四阶幻方的和是1+2+15+16四阶幻方所用数字为1-16每行四个数字的和必须是1-16平均数的四倍解法2(对称交换法)1.求幻和(1 2 …… 16)?4,342.?将1,16按自然顺序排成四行四列;?因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动. ?将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动。
?将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动。
(1)1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16(2)1 14 15 49 6 7 125 10 11 813 2 3 16(3)1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16解法3.(田格图阵法)1.将1,16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34.(多种分法)如:1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34. 2.分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21. 3.将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻方. 解法4:(推理法)常用，虽然速度不是很快。
幻方解法
幻方解法
幻方，就是对于一个n×n的方阵，将1—n²这n²个数填入其中，使每行每列以及对角线上的数字之和都相等的方阵。
幻方分为奇数阶幻方(n=2k+1)、单偶数幻方
(n=4k+2)、双偶数幻方(n=4k)三种，每种幻方解法不同，但都有其固定的解。
下面我来具体介绍下幻方的解法：
1.奇数阶幻方
①将1填入第一行中间位置
②向右上方向依次填入
③如果上方出格了，则将其填入最后一行与其同列的位置
④如果右方出格了，则将其填入第一列与其同行的位置
⑤如果右上都出格，则将其填入第一列最后一格
⑥如果将要填入的方格已有数字，则填入上一个数字的下方
这里已三阶幻方为例：
2.双偶数阶幻方(n=4k)：
①先将1，2，3……n²依次填入方阵中
②拟出方阵对角线
③对角线上数字不动，将其余所有数字移至与其中心对称的位置
这里以四阶幻方为例
↓
↓ 3.单偶数阶幻方(n=4k+2)：
①先将1，2，3……n平方依次填入方阵中
②拟出对角线，将对角线上所有数字移至与其中心对称的位置。
③从方阵左半部分的每一列数字中抽出一对上下对称的数字互换位置(每一列抽出一对)
④从方阵上半部分的每一行数字中抽出一对左对称的数字互换位置(每一行抽出一对)
注：已经移动过或换过位置的数字不能再移动或换位
这里以六阶幻方为例：
↓
↓②↓
↓
↓③↓
↓
↓④↓。
幻方解题技巧
12 25
8 16
9
17 5
13 21
10 18 1 23 6 24 25 19
14 22 2 20
15
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12 9
8
3 2
5
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 15 19 14
12 21 17 24
13 20 16 25
23 18 22 11
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2 31 6 27 10 30 7 29 8 35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 6 10 30 29 35 9 26 15 19 14 28 34 12 21 17 24 3 33 13 20 16 25 4 32 23 18 22 11 5 2 31 27 7 8 36
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构 成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4 7
8 9
2
5
6
3
9
3
1
7
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
1
6
11 24 7
2 20 3 4 5 10
16 4
21 22
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
如；八阶幻方
十阶幻方 十二阶幻方
n=4m(m∈N)阶幻方的最简单构造法
关键在于，如何在数阵图s-2中确定：哪些数作补数，哪些数作原数。
先将1作原数，对第一行，由定理2知4也作原数，而将2、3变成补数2、3；对于第一列，13作原数，5和9将变成补数5、9，其它行列类推，即如图h-1，再将其补数换成其对应的原数，即得一个4阶幻方，如图h-2。若将图h-1中的每个数都取补数，又得一个有补数的新幻方，如图h-3。（注：这里就是利用了补数的性质）
（或某列）补数的分布规律，我们就能在数十秒内写出较
大的4m阶幻方，因为只需标出原4m阶数阵中所有的补数
就够了，这比用其它方法构造4m阶幻方来得更快捷方便。
第2页
=2(1+n2)-(a2+a3)+ (a1+a4)
=2(1+n2)
同理可证(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
∴(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
当n=4m，m=1时，(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+42)=2×17=34
等差数列，这个等差数列的和是s=
n×1+×d=，
即n阶幻方的幻和。而右倾一条主对
角线上的数满足式子(n-1)×h+1 <h为行号>，是一个公差为d1=n-1的等差数列，此等差数
列的和是s= n×n+×d1=，也为n阶幻方的幻和。
第1页
n=4m（m∈N）阶幻方的构造法
有了上述预备知识，我们就可以讨论一下n=4m阶幻方构造的方法。
中国人最先发现4阶幻方密码
四阶幻方密码构造法
题记——谨以此发现献给为实现“中国梦”而奋斗的华夏儿女
（自我评价：1、中国人最先发现。
2、幻方世界大发现。
）
作者：青海省祁连县民族中学教师
构造方法：第一步，用1、2、3、、4
：如
要求：幻和必需是：1+2+3+4
第二步：将以上“类幻方”向左或向右旋转90
°得到新的一个“类幻方”，如：向右旋转得
到：
1+2+3+4
第三步：将以上两个“类幻方“叠放，可以得到一个四阶“密码”幻方：
或者
特点：四阶幻方，幻和都是110。
第三步：编码：将等差数列的连续16项分4组编码，以
1——16的自然数为列：
（3——1）
特点：公差相等。
相邻的组距相等。
根据以上特点也可以这样编码:如
（3——2） （3——3）
第四步：任选一项编码将第二步中（1）或（2）的任意一个“密码”幻方“翻译”：如用：（3——1）编码翻译（2）“密码”幻方得到1——16自然数组成的四阶幻方
↓
（3——1）
如果用（3——3）编码“翻译”也得到1——16自然数组成的四阶幻方。
（3——3）
↓。
四阶幻方总结报告
四阶幻方总结报告
四阶幻方是最简单的双偶幻方，其组成方式确实是两句话：
【顺序填数；以中心点对称互换数字】．以1-16组成的四阶幻方为例：
1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数．
二、以中心点对称互换数字．（有两种对称互换的方式）
1)、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换），完成幻方，幻和值＝34.
2)、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换），完成幻方，幻和值＝34.
什么样的16个数能组成四阶幻方呢？【4个数一组的4组数（共16个数），组与组对称等差，每组数与数对称等差，如此的16个数能组成阶幻方（其中就包括等差的16个数）】每组数与数以2-3-2对称等差，组与组以10-20-10对称等差以下图，每组数与数以1-2-1对称等差，组与组以10-20-10对称等差。
再如：每组数与数等差为1，组与组等差为5.中图，每组数与数等差为1，组与组以5-10-5对称等差．
每组数与数以2-3-2对称等差，组与组以5-10-5对称等差．
【四阶幻方的特点：】
一、互换对称的行（列），幻方成立．
1、互换一侧的行（或列），再互换另一侧的行（或列），幻方亦成立．
2、互换不对称的行（或列），再互换另外不对称的行（或列），幻方亦成立．
3、平移互换对角的行或列、平移互换对角，幻方成立．
另，每16个能组成四阶幻方的数，幻方的填法有880种．。
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四阶幻方是最简单的双偶幻方,其构成方法就是两句话：
【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例：
1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填写其余数.
如图：按行从左向右顺序排数.
2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法）
1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34.
2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34.
什么样的16个数能构成四阶幻方呢?【4个数一组的4组数（共16个数）,组与组对称等差,每组数与数对称等差,这样的16个数能构成四阶幻方（其中就包括等差的16个数）.】
如图
上图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以10-20-10对称等差.
下图,每组数与数以1-2-1对称等差,组与组以10-20-10对称等差. 再如：
上图,每组数与数等差为1,组与组等差为5.
中图,每组数与数等差为1,组与组以5-10-5对称等差.
下图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以5-10-5对称等差.
【四阶幻方的特点：】
1、互换对称的行（列）,幻方成立.
2、互换一侧的行（或列）,再互换另一侧的行（或列）,幻方亦成立.
3、互换不对称的行（或列）,再互换另外不对称的行（或列）,幻方亦成立.
4、平移互换对角的行或列、平移互换对角,幻方成立.
另,每16个能构成四阶幻方的数,幻方的填法有880种.。