专题1.3 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题(原卷版)

专题一 压轴选择题

第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题

【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．

类型一 四面体的外接球问题

典例1．【2019·山东师范大学附中高考模拟（文）】已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且6ACB π∠=，

223,1AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )

A ．13138π

B ．13π

C ．136π

D ．13136

π 【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=

，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面

积．

【举一反三】【2020·山东高三期末】已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为43，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．20π

C ．32π

D ．64π 类型二 三棱柱的外接球问题

典例2．[山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研]已知三棱柱

的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为

,则此球的体积等于( )

A ．

B ．

C ．

D ． 【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的

外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．

【举一反三】【2019·全国高三专题练习】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球

的体积是32

3

π

，则这个三棱柱的体积是（）

A．963B．163C．243D．483

类型三四棱锥的外接球问题

典例3．（多选题）【2020·蒙阴县实验中学高三期末】已知四棱锥P ABCD

-，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，23

BC=，26

CD PC PD

===.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）

A．BM⊥平面PCD

B．//

PA面MBD

C．四棱锥M ABCD

-外接球的表面积为36π

D．四棱锥M ABCD

-的体积为6

【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．

【举一反三】【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考数学（理)试题】已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，底面是等腰梯形，且满足，且，，则球的表面积是（）A．B．C．D．

类型四几何体的内切球问题

典例4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．

【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的．

【举一反三】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末】在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若