北京科技大学自控考研电路课件13

2013年7月21日5时42分
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iS 的展开式为：
I m 2I m 1 1 iS (sin 1t sin 31t sin 51t ) 2 3 5
2I m 由于 Ak a b bk （k为奇数） k
2 k 2 k
iS 的频谱图为：
21
T 4
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上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为 取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。
i
Im
I av
0
T 4
T 2
T
t
22
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例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。
Akm
2I m 2I m 3 2I m 5
51
2I m 7
71 k1
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0
14
1
31
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周期性方波波形分解示意图：
iS Im
直流分量
iS
基波
0
t
0
t
iS
三次谐波 五次谐波 七次谐波
0
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t
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§13-1 非正弦周期信号
1. 定义
不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。
2. 特点
(1) 不是正弦波； (2) 按周期规律变化
f ( t ) f ( t kT )
其中，T为周期函数f(t)的周期，k =1,2,·。 · ·
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T
t
T 2
图示方波电流在一个周期内的表达式为：
0t
T t T 2
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解：
Im 1 T 1 T/ 2 直流分量： I 0 = iS (t ) dt = I m dt = T 0 T 0 2 1 2π 谐波分量： ak = iS (t )cos (kω1t ) d (ω1t ) π 0
k=1

则其平均值为：
def
I av
1 T

T
0
i dt
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。
按上式可求得正弦电流 i I m cos(t ) 的平均值为 4I m T 1 T 4 I av I m cos(t ) dt 0 cos(t )dt T 0 T
4I m [sin(t )] 0.637 I m 0.901I T 0
i(A)
10
O T/4
T
t
T 解：有效值为 I = 1 i 2 dt = T 0
1 T

T 4 0
102 dt = 5A
平均值为
I av
1 T

T
0
1 i dt T

T 4 0
10dt = 2.5A
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3. 非正弦周期电流电路的平均功率
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例：试判断下图所示波形展开式的特点。
f(t)
0
T
t
解:
f(t)是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。
又由于f(t)是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波 分量。 综上所述，f(t)的展开式应具有以下形式：
f (t) = b1 sin( 1t ) b3 sin( 31t )
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形式：
f (t ) a0 [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )] 还可合并成另一种
k 1

f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) Akm cos(k1t k ) A0 Akm cos(k1t k )
Im 1 = [ sin(k1t )] = 0 k 0

1 2π bk = iS (t ) sin(kω1t )d (ω1t ) π 0
1 [ cos( k1t )] k 0 Im

2Im Im [1 cos( k )] k k 0
13
k为奇数 k为偶数
iS
直流分量+基波
直流分量
0
t
基波
iS
直流分量+基波+三次谐波
0
t
三次谐波
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等效电源
iS
Im
t
0
T/2
T
IS0
is1 is 3 is 5
I m 2I m 1 1 iS (sin 1t sin 31t sin 51t ) 2 3 5
2
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3.举例
例1：半波整流电路的输出信号。
ui
0
T
t
uo
+ ui
-
+ uo
-
0
T
t
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例2：数字电路中的脉冲信号。
u
0
t
T
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k 1
不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：
A0 a0
2 Akm ak bk2 bk k arctan ak ak Akm cos k
bk Akm sin k
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2. 利用函数的对称性确定Fourier级数的系数
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3. 频谱
为了表示一个周期函数分解为Fourier级数后包含哪些 频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅 大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来， 可以得到如下图形，这种图形称为f (t)的频谱（图）。由于 这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。
U 10 (
2
×
20 2
) (
2
30 2
) (
2
40 2
)2
电流的有效值
3 2 4 2 5 2 I 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2
2
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u 10 20 cos (30t 27) 30 sin (60t 11) 40 sin (120t 15)V i 2 3 cos(30t 33) 4 sin(90t 52) 5 sin(120t 15)A
I
2 I Ik 2 0 k 1 2 2 2 I 0 I12 I 2 I 3
k q
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值 平方和的平方根。
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2. 非正弦周期函数的平均值
若
i (t ) = I 0 + I k cos(kω1t +ψk )
第十三章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 §13-3 §13-4 *§13-5 *§13-6 *§13-7
1
非正弦周期函数分解为Fourier级数 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 对称三相电路中的高次谐波 Fourier级数的指数形式 Fourier积分简介
Akm
0
1 21 31 41
k1
由于各频谱的角频率是 1 的整数倍，所以这种频谱是 离散的，有时又称为线频谱。
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4. 举例
例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其 频谱图。
iS
Im
0 T/2
Im iS (t ) 0
2
T
0
上式中i的展开式平方并积分后将含有下列各项
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1 T 2 2 I 0 dt I 0 T 0 1 T 2 2 I km cos 2 (k1t + k )dt I k T 0 1 T 0 2I 0 I km cos(k1t + k )dt 0 T 1 T 0 2I km cos(k1t + k ) I qm cos(q1t + q )dt 0 T 这样可以求得i的有效值为
§13-2 非正弦周期函数分解为Fourier级数
1.Fourier级数
任何满足狄里赫利（Dirichlet）条件的函数f (t)，都可以 展开成频率为 1 1 （ 弦量的叠加，即
2 ，T是f (t)的周期）整数倍的一系列正 T
f (t ) a0 [a1 cos(1t ) b1 sin(1t )] [a2 cos(21t ) b2 sin(21t )] [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )] a0 [ak cos(k1t ) bk sin(k1t )]