人教A版高中必修二试题高一期末复习题.docx
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(60)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A．0B．12C．13D．232.若∣a⃗∣=1，∣b⃗⃗∣=2，且(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角θ=( )A．π3B．−π3C．2π3D．2π3或−π33.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=( )A．i B．−12i C．1D．124.在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点间的距离为( )A．2B．3C．4D．55.甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为x，y，下列说法正确的是( )A．x<y，且乙比甲的成绩稳定B．x>y，且乙比甲的成绩稳定C．x<y，且甲比乙的成绩稳定D．x>y，且甲比乙的成绩稳定6.复数z(1−i)=i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.设a⃗=(32,sinα)，b⃗⃗=(cosα,13)，且a⃗∥b⃗⃗，则锐角α为( )A．45∘B．30∘C．75∘D．60∘8.已知实数a∈[−3,3]，则复数z=a+i2−i在复平面内对应的点位于第二象限的概率为( )A．512B．12C．712D．349. 下列叙述中，错误的一项为 ( ) A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形 D ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行10. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 57二、填空题（共6题） 11. 思考辨析 判断正误两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )12. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 (a ⃗−12b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗= ．13. 设两个非零向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线．若 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb ⃗⃗ 共线，则 k = ．14. 已知 (a −i )2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a = ．15. 若复数 z 满足 2z +z =3−2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ．16. 已知 O 为 △ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 S△ABC S △AOC= ．三、解答题（共6题）17. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1，2，3，⋯，10 这 10 个数字，现随机地抽取两个小球，如果： （1）小球是不放回的； （2）小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．18. 正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，用 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O ，钉尖为 A i （i =1,2,3,4）．(1) 设OA1=a（a>0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2) 若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为3√2cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i，向量20.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2+i，向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3−i，求点C在复平面内的坐标．BC21.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．22.定义：对于两个非零向量p⃗和q⃗，如果存在不全为零的常数α，β，使αp⃗+βq⃗=0⃗⃗，那么称p⃗和q⃗是线性相关的，否则称p⃗和q⃗是线性无关的．已知a⃗=3i⃗−4j⃗，a⃗+b⃗⃗=4i⃗−3j⃗，试判断a⃗与b⃗⃗的线性关系（相关还是无关），并证明你的结论．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】因为(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗⃗=1+2cosθ=0，解得cosθ=−12，又θ∈[0,π],所以θ=2π3．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【解析】由z(1−i)=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．【知识点】复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点的坐标分别为(3,−1)，(−1,2)，则两点间的距离为∣z2−z1∣=√(−1−3)2+[2−(−1)]2=5．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义5. 【答案】A【解析】由题，x=15×(101+102+105+114+138)=112，y=15×(108+118+117+124+123)=118，所以x<y，由茎叶图可知，乙的成绩更集中，故乙比甲的成绩稳定．【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，所以z=−12−12i，对应点为(−12,−12)，在第三象限．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算7. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】A【解析】 z =a+i2−i =(a+i )(2+i )(2−i )(2+i )=2a+(a+2)i+i 24−i 2=2a−1+(a+2)i5，由于点位于第二象限， 所以 {2a −1<0,a +z >0,则 −2<a <12， P =∣∣12−(−2)∣∣∣3−(−3)∣=512．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义9. 【答案】A【解析】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面， 例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确； 在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确； 在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确． 【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53． 【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×【知识点】直线与直线的位置关系12. 【答案】 0【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 ±1【解析】因为 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb⃗⃗ 共线，所以存在实数 λ，使 ka ⃗+b ⃗⃗=λ(a ⃗+kb ⃗⃗)，即 (k −λ)a ⃗=(λk −1)b⃗⃗． 又 a ⃗，b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，所以 k −λ=λk −1=0． 消去 λ，得 k 2−1=0，所以 k =±1． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义14. 【答案】 −1【解析】 a 2−2ai −1=a 2−1−2ai =2i ，a =−1． 【知识点】复数的乘除运算15. 【答案】 1−2i【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ）， 则 z =a −bi ， 因为 2z +z =3−2i ，所以 2a +2bi +a −bi =3−2i ， 所以 3a =3，b =−2， 解得 a =1，b =−2， 所以 z =1−2i ．【知识点】复数的加减运算16. 【答案】 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D ，AC 的中点 E ，连接 OD ，OE ， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,所以 OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 D ，O ，E 三点共线， 所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 又 DE 为 △ABC 的中位线，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 设在 △ABC 和 △AOC 中，AC 边上的高分别为 ℎ1，ℎ2，则 ℎ1=3ℎ2， 所以 S△ABC S △AOC=3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】从十个小球中随机抽取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，其所有可能的结果为 (1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共 18 种．（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，共有 90 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 1890=15．（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 10 种可能，共有 100 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 18100=950． 【知识点】古典概型18. 【答案】 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗+2n ⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连接后得到的四面体 A 1A 2A 3A 4 为正四面体，延长 A 4O 交平面 A 1A 2A 3 于 B ，则 A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连接 A 1B ，则 A 1B 是 OA 1 在平面 A 1A 2A 3 上的射影， 所以 ∠OA 1B 即为 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角． 设 A 1A 4=l ， 则 A 1B =√33l ． 在 Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即 l 2=(√33l)2+(a +√a 2−(√33l)2)2，所以 l =2√63a ， 故 A 1B =√33×2√63a =2√23a ，cos∠OA 1B =A 1B OA 1=2√23（其中 0<∠OA 1B <π2），所以 ∠OA 1B =arccos2√23， 故 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角的大小为 arccos 2√23．(2) 12A 1A 22⋅√32=3√2，根据（1）可得 A 1A 2=2√63a ，所以 a =√2724cm ，1100⋅100⋅(4a )=4a =2√2164m ． 答：复制 100 枚这种“钉”，共需材料 2√2164米．【知识点】棱锥的结构特征、线面角20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ， 设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ， 故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)． 【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】如图设球心为 O ，球的半径为 R ，作 OO 1⊥平面ABC 于点 O 1，则 OA =OB =OC =R ，且 O 1 是 △ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点， 因为 AC =BC ， 所以 O 1∈CM ， 所以 O 1M ⊥AB ， 设 O 1M =x ，则 O 1A =√22+x 2，O 1C =CM −O 1M =√62−22−x ． 又 O 1A =O 1C ，所以 √22+x 2=√62−22−x ，解得 x =7√24． 所以 O 1A =O 1B =O 1C =9√24．在 Rt △OO 1A 中，O 1O =R 2，∠OO 1A =90∘，OA =R ， 由勾股定理得 (R 2)2+(9√24)2=R 2，解得 R =3√62， 所以 S 球=4πR 2=54π，V 球=43πR 3=27√6π． 【知识点】球的表面积与体积22. 【答案】线性无关．对照定义，可求得 α=β=0．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义。
人教版高中物理必修二高一年级期末考试.doc
高中物理学习材料桑水制作莘县实验高中高一年级期末考试物理试题一、选择题(本题包括12小题，每小题4分，共48分。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。
)1、关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是（）A.只有重力和弹力做功时，机械能守恒B.当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒C.当有其他外力作用时，只要合外力的功为零，机械能守恒D.炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒2、若以抛出点为起点，取初速度方向为水平位移的正方向，则在下图中，能正确描述（）3、关于曲线运动，下列说法中正确的有（）A．做曲线运动的物体，受到的合外力方向一定不断改变B．只要物体做匀速圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心C．做曲线运动的物体速度方向在时刻改变，故曲线运动是变速运动D．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动4、把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（）A．周期越小 B．线速度越小C．角速度越小D．加速度越小5、如图所示，一薄圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的竖直轴OO′转动。
在圆盘上放置一小木块。
当圆盘匀速转动时，木块相对圆盘静止。
关于木块的受力情况，下列说法正确的是 ( )A．木块受到圆盘对它的静摩擦力，方向指向圆盘中心B．由于木块相对圆盘静止，所以不受摩擦力C ．由于木块运动，所以受到滑动摩擦力D ．由于木块做匀速圆周运动，所以，除了受到重力、支持力、摩擦力外，还受向心力6、如图所示，两个质量相同的物体A 和B ，在同一高度处，A 物体自由落下，B 物体沿光滑斜面下滑，则它们到达地面时（空气阻力不计）（ ）A ．速率相同，动能相同B ．B 物体的速率大，动能也大C ．A 物体在运动过程中机械能守恒，B 物体在运动过程中机械能守不恒D ．B 物体重力所做的功比A 物体重力所做的功多7、如图所示，两个半径不同而内壁光滑的半圆轨道固定于地面，一个小球先后从与球心在同一水平高度的A 、B 两点由静止开始自由下滑，通过轨道最低点时( )A.小球对轨道的压力相同B.小球对两轨道的压力不同C.此时小球的向心加速度不相等D.此时小球的向心加速度相等8、某同学用200 N 的力将质量为0.44kg 的足球踢出，足球以10 m/s 的初速度沿水平草坪滚出60 m 后静止，则该同学对足球做的功是( )A ．4.4JB ．22JC ．132 JD ．12000 J9、一个质量为m 的物体以某一速度从固定斜面底端冲上倾角a =30°的斜面。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(56)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(2,λ)，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数 λ= ( ) A ． 3 B ． −3 C ． 7 D ． −12. 袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球编号之和是偶数的概率为 ( ) A ． 25B ． 35C ． 13D ． 233. 下列命题正确的是 ( ) A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．梯形可确定一个平面4. 复数 1+i 2= ( ) A ． 0B ． 2C ． 2iD ． 1−i5. 已知 ∣a ⃗∣=1，∣b ⃗⃗∣=2，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π3，则 a ⃗⋅b ⃗⃗ 等于 ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 已知平面向量 a ⃗=(1,x )，b ⃗⃗=(y,1)，若 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x ，y 一定满足 ( ) A ．xy −1=0B ．xy +1=0C ．x −y =0D ．x +y =07. 在平行四边形 ABCD 中，A (1,2)，B (3,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A ． (−2,4)B ． (4,6)C ． (−6,−2)D ． (−1,9)8. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,b )，则 a +b = ( ) A ． −1B ． 0C ． 1D ． 29. 已知直线 a 在平面 γ 外，则 ( ) A ． a ∥γ B ． a 与 γ 至少有一个公共点 C ． a ∩γ=AD ． a 与 γ 至多有一个公共点10. 下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 ( )A．B．C．D．二、填空题（共6题）11.思考辨析判断正误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )12.复数加法与减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则（1）z1+z2=；（2）z1−z2=．13.利用“斜二测”法作多面体直观图时，需考虑个方向上的尺度．14.若向量a⃗与b⃗⃗的夹角为120∘，且∣a⃗∣=1，∣∣b⃗⃗∣∣=1，则∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=．15.当时，λa⃗=0⃗⃗．16.“直线a经过平面α外一点P”用集合符号表示为．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.画出如图水平放置的直角梯形的直观图．19.按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图．20. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点 P 与直线 AB ； (2) 点 C 与直线 AB ； (3) 点 M 与平面 AC ； (4) 点 A 1 与平面 AC ； (5) 直线 AB 与直线 BC ； (6) 直线 AB 与平面 AC ； (7) 平面 A 1B 与平面 AC ．21. 有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？22. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴 x ，y 的交点为 O ，与 x ，y 轴正方向同向的单位向量分别是 i ⃗，j ⃗，且 i ⃗ 与 j ⃗ 的夹角为 θ，其中 θ∈(0,π2)∪(π2,π)．由平面向量基本定理，对于平面内的向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，存在唯一有序实数对 (x,y )，使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗，把 (x,y ) 叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在斜坐标系 xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 θ=45∘ 时，方程x−24=y−1−5表示斜坐标系内一条过点 (2,1)，且方向向量为(4,−5)的直线．)，a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(m,6)，且a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，求实数m的取值(1) 若θ=arccos(−13范围；(2) 若θ=60∘，已知点A(2,1)和直线l:3x−y+2=0．①求l一个法向量；②求点A到直线l的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】由a⃗⊥b⃗⃗，所以有a⃗⋅b⃗⃗=1×2+2×λ=0⇒λ=−1．【知识点】平面向量数量积的坐标运算2. 【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{1,3}，{2,4}，共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为26=13，故选：C．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．故选：D．【知识点】平面向量的概念与表示4. 【答案】A【解析】因为i2=−1，所以1+i2=0．故选：A．【知识点】复数的乘除运算5. 【答案】A【解析】a⃗⋅b⃗⃗=∣a⃗∣∣b⃗⃗∣cosπ3=1×2×cosπ3=1．【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】A【解析】因为a⃗∥b⃗⃗，所以1×1−xy=0，即xy−1=0．【知识点】平面向量数乘的坐标运算7. 【答案】A【解析】在平行四边形ABCD中，因为 A (1,2)，B (3,5)，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)， 又 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,−1)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,4)， 故选A ．【知识点】平面向量和与差的坐标运算8. 【答案】A【解析】 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)−(1,1)=(−1,0)， 故 a =−1，b =0， 所以 a +b =−1．【知识点】平面向量和与差的坐标运算9. 【答案】D【解析】直线在平面外，故直线与平面相交或直线与平面平行，直线 a 与平面 γ 平行时没有公共点，直线 a 与平面 γ 相交时有一个公共点，故选D ． 【知识点】直线与平面的位置关系10. 【答案】A【解析】根据题图中纸板的形状及特殊面的阴影部分可以判断B ，C ，D 不正确，故选A ． 【知识点】棱柱的结构特征二、填空题（共6题） 11. 【答案】 √【知识点】平面向量和与差的坐标运算12. 【答案】 (a +c)+(b +d)i ； (a −c)+(b −d)i【知识点】复数的加减运算13. 【答案】三【知识点】直观图14. 【答案】 √3【解析】因为向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，∣a ⃗∣=1，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cos120∘=−12，因此 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√(a ⃗−b ⃗⃗)2=√∣a ⃗∣2+∣∣b ⃗⃗∣∣2−2a⃗⋅b ⃗⃗=√1+1+1=√3． 【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗【解析】若 λa ⃗=0⃗⃗，则 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义16. 【答案】 P ∈a ，P ∉α【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0， 所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )， 所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π， 所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ， 所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘， 所以 C =120∘−A ， 所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA+1，又 △ABC 为锐角三角形， 所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘， 即 30∘<A <90∘， 又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA +1)，30∘<A <90∘，因为30∘<A<90∘，所以tanA>√33，得√3tanA <3，即1<√3tanA+1<4，所以S△ABC=√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的xʹ轴和yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘，如图①②所示．（2）在xʹ轴上截取OʹBʹ=OB，在yʹ轴上截取OʹDʹ=12OD，过点Dʹ作xʹ轴的平行线l，在l上沿xʹ轴正方向取点Cʹ，使得DʹCʹ=DC．连接BʹCʹ，如图②所示．（3）所得四边形OʹBʹCʹDʹ就是直角梯形OBCD的直观图，如图③所示．【知识点】直观图19. 【答案】画法：（1）在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．（2）在图②中画相应的xʹ轴与yʹ轴，两轴相交于点Oʹ，使∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的xʹ轴上取OʹBʹ=OB，OʹGʹ=OG，OʹCʹ=OC，OʹHʹ=OH，yʹ轴上取OʹEʹ=1 2OE，分别过Gʹ和Hʹ作yʹ轴的平行线，并在相应的平行线上取GʹAʹ=12GA，HʹDʹ=12HD．（4）连接AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ轴与yʹ轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图五边形AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）．【知识点】直观图20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】构成三棱锥，这6条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2条长为a的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3，等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积22. 【答案】(1) 由已知 a ⃗=2i ⃗+j ⃗，b ⃗⃗=mi ⃗+6j ⃗，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=2m +6+(12+m )(i ⃗⋅j ⃗)=53m +2>0，得 m >−65；若 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 同向，则存在正数 t ，使得 t (2i ⃗+j ⃗)=mi ⃗+6j ⃗， 由 i ⃗ 和 j ⃗ 不平行得，{2t =m t =6 得 m =12．故所求为 m >−65，m ≠12．(2) ①方程可变形为x−01=y−23，方向向量为 d⃗=(1,3)， 设法向量为 n ⃗⃗=(a,b )，由 n ⃗⃗⋅d ⃗=0 得 a +3b +12(3a +b )=52a +72b =0， 令 a =−7，b =−5，n ⃗⃗=(−7,5)；②取直线 l 上一点 B (0,2)，则 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1)，所求为 ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗∣∣∣n⃗⃗∣=∣√(⃗+5j ⃗)2=7√3926．【知识点】直线的点法向式方程（沪教版）、平面向量数量积的坐标运算。
人教A版高中必修二试题期末数学试卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．A B?αB．A B?αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：线段AB在平面α内，则直线AB上所有的点都在平面α内，从而即可判断直线AB与平面α的位置关系．解答：解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB?α故选A．点评：本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．2．（5分）若直线l∥平面α，直线a?α，则l与a的位置关系是（）A．l∥a B．l与a异面C．l与a相交D．l与a平行或异面考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型．分析：可从公共点的个数进行判断．直线l∥平面α，所以直线l∥平面α无公共点，故可得到l与a的位置关系解答：解：直线l∥平面α，所以直线l∥平面α无公共点，所以l与a平行或异面．故选D点评：本题考查空间直线和平面位置关系的判断，考查逻辑推理能力．3．（5分）下列说法正确的是（）A．圆上的三点可确定一个平面B．四条线段首尾顺次相接构成平面图形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．空间四点中，若任意三点不共线，则四点不共面考点：平面的基本性质及推论．分析：由不共线的三点确定一个平面，知A正确；由空间四边形的定义，知B正确；当两组对边分别相等的四边形的四边不在同一个平面内时，C不正确；由平行四边形中任意三点不共线，但四点共面，知D不正确．解答：解：∵不共线的三点确定一个平面，圆上的三点不共线，∴圆上的三点可确定一个平面，故A正确；∵空间四边形四条线段首尾顺次相接构成图形，但四点不在同一平面内，∴四条线段首尾顺次相接构成平面图形，故B不正确；当当两组对边分别相等的四边形的四边不在同一个平面内时，所得的四边形不是平行四边形，故C不正确；平行四边形中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确．故选A．点评：本题考查平面的基本定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，则直线C1E与平面BCC1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：连接BC1，则由AB⊥平面BCC1B1，可得∠EC1B是直线C1E与平面BCC1B1所成角，利用正切函数可得结论．解答：解：连接BC1，则∵AB⊥平面BCC1B1，∴∠EC1B是直线C1E与平面BCC1B1所成角，设AB=2，则EB=1，BC1=2，∴tan∠EC1B===故选B．点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥平面ABC，正视图如图所示，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为（）A．4B．C．D．考点：由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图的规则“长对正，宽相等，高平齐”可以求出侧视图的宽与高，进而求出侧视图的面积．解答：解：由侧视图与正视图的高度一样，∴侧视图的高h=2；由侧视图与俯视图的宽度一样，而俯视图的宽度即为等边三角形的高=，∴侧视图的宽度为，于是侧视图的面积=2×=2．故选D．点评：本题考查了三视图，熟练掌握三视图的规则是正确计算的前提．6．（5分）（2013?江门二模）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n?α，则m∥α其中真命题的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．①③考点：平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选D点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=1，则P到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：先确定△ABC是等边三角形，再利用V A﹣PBC=V P﹣ABC，即可求P到平面ABC的距离．解答：解：设P到平面ABC的距离为h，则∵三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=1，∴AB=BC=AC=∵V A﹣PBC=V P﹣ABC∴∴h=故选A．点评：本题考查点到面的距离的计算，考查三棱锥体积的计算，正确运用等体积转化是关键．8．（5分）已知某个几何体的三视图如右图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）cm3．A．8+πB．C．12+πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由已知中几何体的三视图，我们易判断出几何体的形状及正视图中半圆的半径和矩形的边长和柱体的高，代入几何体的体积公式，即可得到答案．解答：解：由图可知该几何体是一个底面为一个正方形和半圆形合在一起高为2的柱体，则底面积S=2×2+=4+则体积V=Sh=（4+）?2=8+π故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图判断出几何体的形状，是解答本题的关键．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）A．30°B．45°C．45°D．90°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：由已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN=90°，我们易证得CM⊥AD1，CD⊥AD1，由线面垂直的判定定理可得：AD1⊥平面CDM，进而由线面垂直的性质得得AD1⊥DM，即可得到异面直线AD1与DM所成的角．解答：解：如下图所示：∵M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，∴MN∥AD1，∵∠CMN=90°，∴CM⊥MN，∴CM⊥AD1，由长方体的几何特征，我们可得CD⊥AD1，∴AD1⊥平面CDM故AD1⊥DM即异面直线AD1与DM所成的角为90°故选D点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据线面垂直的判定定理及性质定理，将问题转化为线线垂直的判定是解答本题的关键．10．（5分）（2010?辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积．专题：压轴题．分析：先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．解答：解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选A．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）（2010?石家庄二模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A．B．C．D．x≤y考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题．分析：画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD，连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，D1F，则D1F为所求．解答：解：画出几何体的图形，连接D1A延长至G使得AG=AD，连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，则ABFG为正方形，连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值：D1F==故选B．点评：本题是中档题，考查正四棱柱表面距离的最小值问题，考查折叠与展开的关系，能够转化为平面上两点的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．12．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．解答：解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，再过O作OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D 的平面角，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN所成角的余弦值故选D点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上）13．（5分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB：A1B1=1：2，则三棱锥A1﹣ABC，C﹣A1B1C1的体积比为1：4．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用棱锥的体积公式，通过三角形的面积的比，棱锥高的比，求出结果即可．解答：解：由题意可知，三棱锥A1﹣ABC，C﹣A1B1C1的体积中，高相等，底面积的比为1：4，所以二者体积比为1：4；故答案为：1：4点评：本题是基础题，考查棱锥体积的比的计算，注意同底等高体积相同，考查计算能力，转化思想．14．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题．分析：先有三视图得到几何体的形状及度量关系，利用棱锥的体积公式求出体积．解答：解：由三视图可得几何体是四棱锥V﹣ABCD，其中面VCD⊥面ABCD；底面ABCD是边长为20cm的正方形；棱锥的高是20cm由棱锥的体积公式得V===cm3点评：三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥．本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度．15．（5分）已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起得到三棱锥E﹣ABD，且三棱锥的体积为，则二面角E﹣BD﹣A的正弦值为．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：利用三棱锥的体积求出E到平面ABD的距离，过E作EF⊥BD，连接OF，则∠EFO为二面角E﹣BD﹣A的平面角，从而可求二面角E﹣BD﹣A的正弦值．解答：解：设E到平面ABD的距离为EO=h，则由题意，∵三棱锥的体积为，∴∴h=，过E作EF⊥BD，连接OF，则OF⊥BD，∴∠EFO为二面角E﹣BD﹣A的平面角在Rt△EBD中，EF==∴sin∠EFO===故答案为：点评：本题考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列三个条件①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β，要使命题“若α∩β=m，n?γ，且③或①，则m∥n”为真命题，则可以在横线处填入的条件是③或①（把你认为正确条件的序号填上）考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析： A．可以在横线处填入的条件是③．如图1所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，则m∥n”为真命题．利用同一平面内两条直线的位置关系可得m∥n或m∩n=P，由反证法排除m∩n=P即可；B．可以在横线处填入的条件是①，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n?β，则m∥n”为真命题．如=n，已知m∥γ，利用线面平行的性质定理可得m∥n．图2所示，由α∩β=m，可得m?β，可得β∩γC．在横线处填入的条件不能是②．如图3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．举反例：假设α∩γ=l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP 相矛盾．解答：解：A．可以在横线处填入的条件是③．如图1所示，即若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，则m∥n”为真命题．证明如下：∵α∩β=m，n?γ，m?γ，∴m∥n或m∩n=P，假设m∩n=P，则P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，这与n∥β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m∥n．B．可以在横线处填入的条件是①，即若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n?β，则m∥n”为真命题．证明如下：如图2所示，∵α∩β=m，∴m?β，∵n?γ，n?β，∴β∩γ=n，又m∥γ，∴m∥n．C．在横线处填入的条件不能是②．如图3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．证明：假设α∩γ=l，∵m∥γ，∴m∥l．若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾．综上可知：可以填的条件是③或①．点评：熟练掌握空间点、线、面的位置关系是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）求点F到平面A1ED的距离．考点：平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）依题意，易证DE⊥AE，从而可证DE⊥平面A1AEF，由面面垂直的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）利用三棱锥的轮换体积公式=即可求得点F到平面A1ED的距离．解答：证明：（Ⅰ）依题意知，△ABE为等边三角形，所以AE=AB=2，在等腰三角形ECD中，EC=CD=2，∠ECD=120°，∴由余弦定理可知，DE=2；在△AED中，AD=4，AE=2，DE=2，AD2=AE2+DE2，∴DE⊥AE；又AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥DE，又AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AEF，DE?平面A1ED，∴平面A1ED⊥平面A1AEF；（Ⅱ）设点F到平面A1ED的距离为h，则=?h=×DE?A1E?h=××2×2?h；又=?DE=×EF?A1F?DE=××4×2×2；∵=，∴××2×2?h=××4×2×2，∴h==．点评：本题考查线面垂直的判定与平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，考查推理与证明的能力，属于中档题．18．（12分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G，H分别是线段PA，PD，CD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EFGH；（Ⅱ）求二面角C﹣EF﹣G的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）先证明E、F、G、H四点共面，再利用三角形中位线的性质证明EH∥PB，利用线面平行的判定证明PB∥平面EFGH；（Ⅱ）证明∠BEH为二面角C﹣EF﹣G的平面角，利用余弦定理即可求二面角C﹣EF﹣G的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，∴GH∥AD∥EF，∴E、F、G、H四点共面．又H为AB的中点，∴EH∥PB，∵EH?面EFGH，PB?平面EFGH，∴PB∥面EFGH；（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，∴AD⊥AB，AD⊥PA∵AB∩PA=A∴AD⊥平面PAB∵EF∥AB∴EF⊥平面PAB∴∠BEH为二面角C﹣EF﹣G的平面角△BEH中，BH=1，EH=，BE=，∴cos∠BEH==．点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求直线B1C1与平面A1BD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BC中点E，连接B1E，证明BD⊥平面AEB1，得BD⊥AB1，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论．（Ⅱ）设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD 所成角，利用正弦函数可得结论．解答：（Ⅰ）证明：由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等可知：AB1⊥A1B如图，取BC的中点E，连接B1E，则Rt△BCD≌Rt△B1BE∴∠BB1E=∠CBD∴∠CBD+∠BEB1=∠BB1E+∠BEB1=90°∴BD⊥B1E由平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC1B1∴AE⊥BD∵B1E?平面AEB1，AE?平面AEB1，AE∩B1E=E∴BD⊥平面AEB1∴BD⊥AB1∵A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：设AB1∩A1B=O，延长BD，B1C1，相交于F，连接OF，则∠OFB1为直线B1C1与平面A1BD所成角．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，∴，B1F=4∴sin∠OFB1==．点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）已知ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△OED，ODF都是正三角形．（Ⅰ）证明：平面ABC∥平面OEF；（Ⅱ）求棱锥F﹣ABC的体积；（III）求异面直线AB与FD成角的余弦值．考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质证明故BC∥EF，AC∥OF，即可证明平面ABC∥平面OEF；（Ⅱ）利用等体积V F﹣ABC=V C﹣ABE=V C﹣ABO，即可求棱锥F﹣ABC的体积；（III）证明∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED，在△COE中，利用余弦定理，即可求异面直线AB与FD成角的余弦值．解答：（I）证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=DE同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB=DE和OC∥DF，OC=DF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF同理AC∥OF，∴平面ABC∥平面OEF；（Ⅱ）解：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱锥F﹣OBED 的高，且FQ=，由（I）知，V F﹣ABC=V C﹣ABE=V C﹣ABO===；（III）解：由（I）知，AB∥OE，CO∥DF∴∠COE（或其补角）就是异面直线AB与FD成角，取AO中点M，连接CM，ME，则CM⊥平面ABED，∵ME==∴CE===在△COE中，cos∠COE==﹣∴异面直线AB与FD成角的余弦值是．点评：本题考查面面平行，考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2013?温州一模）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角．解答：解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD?平面QBC，PA?平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴=，==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．点评：熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键．22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=2，BC1=，CC1=，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC1B1，E为棱AB的中点，F为CC1上的动点．（Ⅰ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF∥平面A1BC1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．（Ⅱ）在线段CC1上是否存在一点F，使得EF⊥BB1？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．（III）当F为CC1的中点时，若AC≤CC1，且EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为，求二面角C ﹣AA1﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）存在，中点，利用线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．（III）建立空间直角坐标系，确定平面ACC1A1、平面AA1B的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．解答：解：（I）存在，中点．取A1B的中点D，连接ED，DC1，则ED∥AA1，ED=AA1，∵F为CC1上的动点，∴ED∥FC1，ED=FC1，∴四边形DEFC1是平行四边形∴EF∥DC1，∴EF?平面A1BC1，DC1?平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1；（Ⅱ）存在，当F在靠端点C1一侧的四等分点时．（III）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACC1A1的一个法向量为又则，，令z1=1，则又∴=…（6分）解得b=1，或，∵AC≤CC1∴b=1∴同理可求得平面AA1B的一个法向量∴=又二面角C﹣AA1﹣B为锐二面角，故余弦值为．点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
人教版高中英语必修二高一上学期期末考试英语试题(word版).docx
高中英语学习材料***鼎尚图文理制作***天津一中、益中学校2016‐2017‐1 高一年级期末英语试卷I. 听力(10%)第一节(共5 小题) 听下面5 段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.When is the next train to Chicago?A. At 8:00B. At 8:30.C. At 8:40.2.Why does the man want to leave his job?A.He doesn’t get on with his workmates.B.He thinks the job is too boring.C.The working place is too far.3.What is wrong with the man?A.He’s got a headache.B. He can’t fall asleep at night.C. He doesn’t feel the pain.4.What will the man do next?A.Leave.B. Phone Linda.C. Keep on waiting.5.What are the speakers mainly talking about?A.James’ daily life.B. James’ business.C. James’ family.第二节(共15 小题) 听下面5 段对话或独白。
每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有5 秒钟的时间阅读每小题；听完后，每小题将给出5 秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6 段材料，回答第6、7 题。
6.What does the woman suggest the man do?A.Call Ms Hall.B.Phone the guy back.C.Give the guy’s number to Ms Hall.7.What do we know about Ms Hall?A.She will call the guy after lunch.B.She doesn’t bring her cell phone.C.She will come in this afternoon .听第7 段材料，回答第8、9 题。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(54)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是( )A．各月的利润保持不变B．各月的利润随营业收入的增加而增加C．各月的利润随成本支出的增加而增加D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系2.设i是虚数单位，如果复数(a+1)+(−a+7)i(a∈R)的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )A．4B．3C．2D．13.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000)内的频率为( )A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35. 如果一组数据“x 1，x 2，x 3，x 4，x 5”的平均数是 2，方差是 13，那么另一组数据“3x 1−2，3x 2−2，3x 3−2，3x 4−2，3x 5−2”的平均数和方差分别为 ( ) A ． 2，13B ． 2，1C ． 4，23D ． 4，36. 在 △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，P 为 △ABC 所在平面上任意一点，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值为 ( ) A ． 1B ． −12C ． −1D ． −27. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则 ( ) A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n8. 复数 i (2−i )= ( ) A ． 1+2iB ． 1−2iC ． −1+2iD ． −1−2i9. 若复数 z 满足 z (1+i )=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−iB ． 1+iC ． −1+iD ． −1−i10. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√3二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( )12. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派甲、乙、丙 3 位专家对 A ，B 两个区进行调研，每个区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家均派遣至 A 区的概率为 ．13. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(−1,x )，若 (a +b ⃗ )∥(a −b ⃗ )，则实数 x 的值为 ．14. 半径为 3 的球体表面积为 ．15. 平面与平面垂直的性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 ．符号语言：α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β．图形语言：16.若复数z=2+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为．1−2i三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.在静水中划船的速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1) 求角A的大小；，求△ABC的面积．(2) 若a=2，B=π320.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？21.在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：日期15日16日17日18日19日20日21日22日小强的天然气表显示读数(单位:m3)220229241249259270279290妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？22.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1) 结合平均数和方差分析谁更优秀；(2) 结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；(3) 结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；(4) 从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】由题意得 a +1=−a +7，则 a =3．故选B ． 【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】D【解析】频率分布直方图中小长方形的高是 频率组距，面积表示频率．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】D【知识点】频率分布直方图5. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】如图，以直线 AB ，AC 分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则 A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设 P (x,y )，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2x,2−2y )， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−x (2−2x )−y (2−2y )=2x 2−2x +2y 2−2y =2(x −12)2+2(y −12)2−1,当 x =12，y =12 时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取得最小值，为 −1． 故选C ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算7. 【答案】C【解析】由题意知α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l．【知识点】直线与直线的位置关系、点、线、面的位置关系8. 【答案】A【解析】i(2−i)=1+2i．【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】B【解析】因为复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i1+i=1+i．【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】C【解析】由AB=2√3，AC=2，B=30∘及正弦定理ACsinB =ABsinC得sinC=ABsinBAC=2√3×122=√32．由C为三角形的内角可知C=60∘或120∘．因此A=90∘或30∘．在△ABC中，由AB=2√3，AC=2，A=90∘或30∘，得面积S=12AC⋅AB⋅sinA=2√3或√3．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】余弦定理12. 【答案】16【解析】该试验所有的样本点为(甲,乙丙)，(乙,甲丙)，(丙,甲乙)，(甲乙,丙)，(甲丙,乙)，(乙丙,甲)（其中每个样本点表示的都是“派往A区调研的专家、派往B区调研的专家”），共6个，其中甲、乙两位专家均被派遣至 A 区的样本点有 1 个，因此，所求事件的概率为 16． 【知识点】古典概型13. 【答案】 −12【解析】因为 a =(2,1)，b⃗ =(−1,x )， 所以 a +b ⃗ =(1,x +1)，a −b ⃗ =(3,1−x )， 又 (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )， 所以 1−x −3(x +1)=0， 解得 x =−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】交线；垂直； a ⊂α ； a ⊥l【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】 (0,1)【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 略． (2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】如图所示，设向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形 OACB ，连接 OC ． 依题意得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=20，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=40，所以 ∠BOC =30∘．故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进． 【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 因为 A +B +C =π， 所以 sin (B +C )=sinA ， 所以 b 2+c 2−a 2=2bcsinA ，所以b 2+c 2−a 22bc=sinA ，由余弦定理得 cosA =sinA ，可得 tanA =1， 又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π4．(2) 根据正弦定理得 b =a sinA ⋅sinB =√6，又 sinC =sin (A +B )=sin (π4+π3)=√6+√24， 所以S △ABC =12absinC =12⋅2⋅√6⋅√6+√24=3+√32.【知识点】余弦定理、正弦定理20. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β． 【知识点】平面与平面平行关系的判定21. 【答案】 300×1.70<600，够用．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 根据题意作出统计表：平均数方差中位数命中9环及以上次数甲7 1.271乙75.47.53因为平均数相同，且 s 甲2<s 乙2，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀．(2) 因为平均数相同，甲的中位数 < 乙的中位数， 所以乙的成绩比甲好．(3) 因为平均数相同，且乙命中 9 环及以上的次数比甲多， 所以乙的成绩比甲好．(4) 因为甲的成绩在平均线附近波动，而乙的成绩整体处于上升趋势，从第 4 次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生， 所以乙更有潜力．【知识点】样本数据的数字特征。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(21)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，则 A 的取值范围是 ( ) A ． (0,π6]B ． [π6,π)C ． (0,π3]D ． [π3,π)2. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√323. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=√3，∣∣b ⃗ ∣∣=2√3，a ⋅b ⃗ =−3，则 a 与 b ⃗ 的夹角是 ( ) A ． 150∘ B ． 120∘ C ． 60∘ D ． 30∘4. 甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数比为 1:3．已知从甲袋中摸到红球的概率为 13，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为23．则从乙袋中摸到红球的概率为 ( ) A ． 79B ． 1945C ． 1330D ． 22455. 下列各组向量组成的集合 {e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ } 中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A ． e 1⃗⃗⃗ =(0,0)，e 2⃗⃗⃗ =(1,−2)B ． e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(5,7)C ． e 1⃗⃗⃗ =(3,5)，e 2⃗⃗⃗ =(6,10)D ． e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)6. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( ) A ．甲获胜的概率是16 B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是127. 在 △ABC 中，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，AB =2，AC =1，E ，F 为 BC 的三等分点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． 89B ．109C ．259D ．2698. 设复数 2−i 和 3−i 的辐角的主值分别为 α 和 β，则 α+β 等于 ( ) A ． 135∘B ． 315∘C ． 675∘D ． 585∘9. 一组数据从小到大排列依次为 3，5，6，7，8，9，x ，12，13，13，且该组数据 70% 分位数不超过 11，则 x 的取值范围是 ( ) A ． [9,12]B ． (9,11]C ． (9,10)D ． [9,10]10. 如图，在四边形 ABCD 中，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为A ．2B ．2√2C ．4D ．4√2二、填空题（共6题）11. 已知某次考试有 4 道选择题，每道选择题有 4 个选项．若某人做对每道题的概率都是 14，且完成每道题相互独立，则该人至少做对 1 题的概率是 ．12. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．13. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 A:B:C =1:2:3，a =1，则a−2b+c sinA−2sinB+sinC= ．14. 若a1−i =1−bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则∣a +bi ∣= ．15. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 [20.5,26.5]，样本数据的分组为 [20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于 22.5∘C 的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5∘C 的城市个数为 ．16. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，a =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =ke 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，若 a⋅b ⃗ =0，则实数 k 的值为 ．三、解答题（共6题）17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 asinA+C 2=bsinA ．(1) 求 B ；(2) 若 △ABC 为锐角三角形，且 c =1，求 △ABC 面积的取值范围．18. 有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：① 50%；② 2%；③ 90%．试将以上数据分别与下面的文字描述相匹配： (1) 很可能送你回家，但不一定送． (2) 送与不送的可能性一样大． (3) 送你回家的可能性极小．19. 已知定点 F (2,0)，直线 l:x =−2，点 P 为坐标平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )．设动点 P 的轨迹为曲线 C ． (1) 求曲线 C 的方程；(2) 过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ，求证：1∣AF∣+1∣BF∣=12；(3) 记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 θ（O 为坐标原点，A ，B 为（2）中的两点），求 cosθ 的取值范围．20. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB =60∘，∠ADP =90∘，平面ADP ⊥平面ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点．(1) 在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，并说明理由； (2) 当二面角 D −FC −B 的余弦值为 √24时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．21. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率 e =√22，右准线为 l ，M 、 N 是 l 上的两个动点，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1) 若 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5，求 a 、 b 的值；(2) 证明：当 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值时，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．22. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 bcosC +(2a +c )cosB =0．(1) 求内角 B 的大小；(2) 若 b =2，求 △ABC 面积的最大值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【知识点】余弦定理、正弦定理2. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ， 因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形， 又 AD 平分 ∠BAC ， 所以四边形 AFDE 为菱形． 因为 AD =2√3，∠BAC =60∘，所以 AE =2，则 AC =6． 设 FB =x ， 因为 DF ∥AC ， 所以DF AC=FB AB，即 26=x2+x，解得 x =1， 即 FB =1， 所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】A【解析】设甲袋中的总球数为 x ，则甲袋中有 x 3 个红球，2x3 个白球，乙袋中的总球数为 3x ，因为甲、乙两袋中共有 4x ×23=8x3个红球，所以乙袋中有 7x 3个红球，因此从乙袋中摸到红球的概率为7x 33x=79．【知识点】古典概型5. 【答案】B【解析】由基底的概念可知，作为基底的两个向量不能共线．A 中向量 e 1⃗⃗⃗ 为零向量，零向量与任意向量都共线，故 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；B 中 e 1⃗⃗⃗ 与 e 2⃗⃗⃗ 不共线，故可以作为基底；C 中 e 1⃗⃗⃗ =12e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；D 中 e 1⃗⃗⃗ =4e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算6. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件分别求出甲获胜、甲不输、乙输和乙不输的概率，由此能得到正确选项同．【解析】解：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13， ∴甲获胜的概率是：1−12−13=16，故A 正确； 甲不输的概率是：1−13=23，故B 不正确； 乙输了的概率是：1−13−12=16，故C 不正确； 乙不输的概率是：12+13=56．故D 不正确．故选：A ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．7. 【答案】B【解析】解法一：因为 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以点 A 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为 x ，y 轴正方向建立直角坐标系，设 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23)，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)⋅(23,23)=109，故选B ．解法二：若 ∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29×(1+4)+0=109.故选B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】C【解析】根据题意有 2−i =√5(cosα+isinα)，3−i =√10(cosβ+isinβ)，则 √5(cosα+isinα)⋅√10(cosβ+isinβ)=5√2[cos (α+β)+isin (α+β)]． 又 (2−i )(3−i )=5−5i ， 所以 cos (α+β)=√22， sin (α+β)=−√22， 而 270∘<α<360∘， 270∘<β<360∘， 所以 α+β=675∘． 【知识点】复数的三角形式9. 【答案】D【解析】因为 10×70%=7， 所以 70% 分位数为 x+122，所以 {x+122≤11,9≤x ≤12,解得 9≤x ≤10． 【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】由 {(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4. 解得 {∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2,∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2.因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣， 所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠CAB =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=4. 【知识点】平面向量的数量积与垂直二、填空题（共6题） 11. 【答案】 175256【解析】设事件 A i ={做对第i 题}(i =1,2,3,4)，则 P (A i )=14，P(A i )=1−P (A i )=34，由于 A 1，A 2，A 3，A 4 相互独立，所以 P(A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)=(34)4=81256， 故至少做对一题的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)=1−P(A 1A 2A 3A 4)=1−81256=175256．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB ⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y (IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC ⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (−y7):(x6−5y42)=52， 结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算13. 【答案】 2【解析】因为 A:B:C =1:2:3，A +B +C =180∘， 所以 A =30∘，B =60∘，C =90∘， 因为a sinA=b sinB=c sinC=1sin30∘=2，所以 a =2sinA ，b =2sinB ，c =2sinC ， 所以 a−2b+csinA−2sinB+sinC =2． 【知识点】正弦定理14. 【答案】√5【解析】【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b 的值． 【解析】解：a1−i =a(1+i)(1−i)(1+i)=a2+a2i =1−bi ∴a =2，b =−1∴∣a +bi ∣=√a 2+b 2=√5故答案为：√5．【点评】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．【知识点】复数的几何意义15. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图16. 【答案】54【解析】因为e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 为两个夹角为2π3的单位向量，a=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗=ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗所以a⋅b⃗=0即为(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=ke1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =2k−52=0，所以k=54．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 解法一：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA．因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB．由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0，所以sin B2=12，所以B=60∘．解法二：由asin A+C2=bsinA得sinAcos B2=sinBsinA，则cos B2=2sin B2cos B2．所以sin B2=12．所以B=π3．(2) 解法一：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=√34a．由正弦定理得 a =csinA sinC=csin (120∘−C )sinC=√32tanC +12．由于 △ABC 为锐角三角形，故 0∘<A <90∘，0∘<C <90∘． 由（1）知 A +C =120∘，所以 30∘<C <90∘， 故 12<a <2，从而√38<S △ABC <√32． 因此，△ABC 面积的取值范围是 (√38,√32)． 解法二： 作出图形，如图．由题意知，点 C 在射线 BD 上，且 △ABC 为锐角三角形． 观察得 ∠A =90∘ 时，S △ABC 最大； ∠ACB =90∘ 时，S △ABC 最小． 故 S △ABC 的取值范围是 (√38,√32)． 【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 90%．(2) 50%． (3) 2%．【知识点】频率与概率19. 【答案】(1) 设点 P 的坐标为 (x,y )．由题意，可得 Q (−2,y )，FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,y )，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,0)． 由 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即 (−4,y )⋅(−2x,−y )=0，所以 y 2=8x (x ≥0)． 所以所求曲线 C 的方程为 y 2=8x (x ≥0)．(2) 因为过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ， 所以直线 l 1 的斜率不为 0，故设直线 l 1 的方程为 x =my +2． 于是 A ，B 的坐标为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2) 为方程组 {y 2=8x,x =my +2 的实数解．消去 x 并整理得 y 2−8my −16=0． 于是 y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16， 所以 x 1+x 2=8m 2+4，x 1x 2=4．又因为曲线 y 2=8x (x ≥0) 的准线为 x =−2，所以1∣AF∣+1∣BF∣=1x 1+2+1x 2+2=4+x 1+x 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=12.(3) 由（2）可知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)．所以cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2=√x x √(x +8)(x +8)=√64m 2+100当 m =0 时，cosθ 有最小值 −35． 所以 cosθ 的取值范围为 [−35,0)．【知识点】抛物线中的动态参数问题、抛物线中的动态性质证明、平面向量数量积的坐标运算20. 【答案】(1) 在棱 AB 上存在点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，点 E 为棱 AB 的中点． 理由如下：取 PC 的中点 Q ，连接 EQ ，FQ ，EC ， 因为 F ，Q 分别是 PD ，PC 的中点， 所以 FQ ∥DC 且 FQ =12CD ，又因为 AE ∥CD 且 AE =12CD ，所以 AE ∥FQ 且 AE =FQ ， 所以四边形 AEQF 为平行四边形，所以 AF ∥EQ ，又 EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以 AF ∥平面PEC ．(2) 由题意知 △ABD 为正三角形， 所以 ED ⊥AB ，亦即 ED ⊥CD ， 又 ∠ADP =90∘，所以 PD ⊥AD ，且 平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ， 所以 PD ⊥平面ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设 FD =a ，则由题意知 D (0,0,0)，F (0,0,a )，C (0,2,0)，B(√3,1,0)，所以 FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)， 设平面 FBC 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )， 则由 {m ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {2y −ax =0,√3x −y =0,令 x =1，则 y =√3，z =2√3a， 所以得 m ⃗⃗ =(1,√3,2√3a)， 显然可取平面 DFC 的法向量 n ⃗ =(1,0,0)， 由题意：√24=∣cos ⟨m,n ⟩∣=√1+3+12a2，所以 a =√3，由于 PD ⊥平面ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ， 所以 ∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，易知在 Rt △PBD 中，tan∠PBD =PDBD =a =√3，从而 ∠PBD =60∘， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60∘．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定、二面角21. 【答案】(1) 由已知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)． 由 e =√22，得a 2=2c 2.结合 a 2=b 2+c 2，解得b 2=c 2,a 2=2b 2.所以右准线方程为x =2c,因此可设 M (2c,y 1)，N (2c,y 2)．延长 NF 2 交 MF 1 于 P ，记右准线 l 交 x 轴于 Q ．因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以F 1M ⊥F 2N,结合 ∣F 1M ∣=∣F 2N ∣ 及平面几何的知识得Rt △MQF 1≌Rt △F 2QN,从而∣QN∣∣=∣F 1Q∣∣=3c,∣QM∣∣=∣F 2Q∣∣=c,即∣y 1∣=c,∣y 2∣=3c.由 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5, 得9c 2+c 2=20,解得c 2=2,故a =2,b =√2.(2) 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,y 1)⋅(c,y 2)=0,所以y 1y 2=−3c 2<0,从而∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=∣y 1−y 2∣2=y 12+y 22−2y 1y 2≥−2y 1y 2−2y 1y 2=−4y 1y 2=12c 2.当且仅当 y 1=−y 2=√3c 或 y 2=−y 1=√3c 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值 2√3c ，此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．另解：因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以y 1y 2=−3c 2.设 MF 1 、 NF 2 的斜率分别为 k 、−1k ．由 {y =k (x +c ),x =2c, 解得y 1=3kc,由 {y =−1k (x −c ),x =2c, 解得y 2=−c k ,于是∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣y 1−y 2∣=c ⋅∣∣3k +1k ∣∣≥2√3c.当且仅当 3k =1k ，即 k =±√33 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 最小．此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,3kc )+(c,−ck )=(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程22. 【答案】(1) bcosC +(2a +c )cosB =0，根据正弦定理 sinBcosC +(2sinA +sinC )cosB =0， 化简得 sin (B +C )=−2sinAcosB ， 所以 cosB =−12⇒B =23π．(2) 根据余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB 得到 4=a 2+c 2+ac ≥2ac +ac =3ac ， 所以 ac ≤43， 所以 S =12acsinB ≤√33，当且仅当 a =c =2√33时取到等号．【知识点】三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理。
人教A版高中必修二试题-高一(下)期末复习试卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016-2017学年高一（下）期末复习数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合M={y|y=cosx，x∈R}，N={x∈Z|≤0}，则M∩N为（）A．∅B．{0，1}C．{﹣1，1} D．（﹣1，1]2．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则D．若a2＞b2且ab＞0，则3．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径r分别为（）A．圆心（﹣2，0），r=4 B．圆心（2，0），r=2 C．圆心（0，2），r=4 D．圆心（0，﹣2），r=24．已知一个球的体积为，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（）A．﹣ B．C．2 D．﹣26．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨甲乙每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，若设每天生产甲、乙产品各x，y吨，则可列线性约束条件为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．B．C．D．7．下列命题中正确的是（）A．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αD．如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行8．海上两小岛A，B到海洋观察站C的距离都是10km，小岛A在观察站C的北偏东20°，小岛B在观察站C的南偏东40°，则A与B的距离是（）A．10km B． C． D．20km9．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线kx﹣y+1﹣k=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，1]∪[2，+∞）D．[1，2]10．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知x＜，则函数y=2x+的最大值是（）A．2B．1 C．﹣1D．﹣212．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.13．一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为1的菱形，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的体积为．14．已知0＜x＜1，则函数y=+的最小值为．15．已知实数x，y满足，则ω=的取值范围是．16．记a（m，n）（m，n∈N*）表示从n起连续m（m＞1）个正整数的和．（1）则a（2，3）=；（2）将2016写成a（m，n）的形式是．（只须写出一种正确结果即可）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：3x+4y﹣12=0与直线l2：ax+8y+11=0互相平行．（1）求实数a的值；（2）求直线l1与l2之间的距离．18．已知两条直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b值．（Ⅰ）l1⊥l2且l1过点（﹣3，﹣1）；（Ⅱ）l1∥l2且原点到这两直线的距离相等．19．设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．20．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使公园的面积最大？最大值是多少？21．设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内的整点个数为a n（n∈N*），（整点即横、纵坐标均为整数的点）．（1）计算a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）记数列{a n}的前n项和为S n，且T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m，求实数m的取值范围．22．对于函数f（x），若存在x0∈R使得f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．（1）若a=1，b=3，求函数f（x）的不动点；（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．B 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 9．B 10．C 11．C 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.13．．14．9．15． [5，6]．16．a（3，671）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）∵直线l1：3x+4y﹣12=0与直线l2：ax+8y+11=0互相平行，∴4a﹣24=0，得a=6…（2）直线l1：6x+8y﹣24=0与直线l2：ax+8y+11=0之间的距离…18．解（Ⅰ）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）×1=0 (1)又l1过点（﹣3，﹣1），则﹣3a+b+4=0 (2)联立（1）（2）可得，a=2，b=2．…（Ⅱ）依题意有，，且，解得a=2，b=﹣2或．…19．解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①=．②∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．20．解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，即x2+y2+xy=30000，…又因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜100，0＜y＜100．…（2）由（1）x2+y2+xy=30000得30000≥2xy+xy=3xy，所以xy≤1000，要使所设计能使公园的面积最大，即S=最大，所以S=，当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…故当AB，AC边长均为100米时，所设计能使公园的面积最大，最大为2500米2．21．解：（1）a1=3，a2=6，a3=9．（2）由x＞0，﹣nx+3n≥y＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2．∴D n内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，∴a n=3n；（3）∵．∴，∵，∴．．22．解：（1）若a=1，b=3，f（x）=x2+4x+2，代入f（x）=x化简得x2+3x+2=0，解得x=﹣2、﹣1，则f（x）的不动点为﹣2，﹣1…..（2）由题意知，函数f（x）恒有两个相异的不动点，所以方程f（x）=x即ax2+bx+b﹣1=0（a≠0）恒有两个不等实根，则△=b2﹣4a（b﹣1）＞0，即b2﹣4ab+4a＞0对任意实数b恒成立，即△=（﹣4a）2﹣4×4a＜0，解得0＜a＜1，所以0＜a＜1…（3）因为A、B两点关于直线对称，所以AB与直线垂直，且中点M在直线上，设A（x1，x1），B（x2，x2），由（2）知，，所以A B的中点，易知k AB=1，∴k=﹣1，把M点代入得，则，由（2）得0＜a＜1，所以因为≥2=2，所以b≥﹣=，当且仅当…。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(1)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1. △ABC 中，若 a =1，c =2，B =60∘，则 △ABC 的面积为 ( ) A ． 12B ． 1C ．√32D ． √32. 若书架中放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，则抽出一本书为外文书的概率为 ( ) A ． 15B ． 310C ． 25D ． 123. 若 θ 为两个非零向量的夹角，则 θ 的取值范围为 ( ) A ．(0,π) B ．(0,π] C ．[0,π) D ．[0,π]4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A = { 抽到一等品 }，事件 B = { 抽到二等品 }，事件 C = { 抽到三等品 } ,且已知 P (A )=0.65，P (B )=0.2，P (C )=0.1．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为 ( ) A ．0.7 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.35. 下列关于古典概型的说法中正确的是 ( ) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④若样本点总数为 n ，随机事件 A 包含其中的 k 个样本点，则 P (A )=kn ． A ．②④ B ．③④ C ．①④ D ．①③④6. 给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第 60 百分位数是 ( ) A ． 102 B ． 102.5 C ． 103 D ． 103.57. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据数据能得到的统计结论的编号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④8.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α10.半径为2的球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π二、填空题（共6题）11.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为．12.思考辨析 判断正误．( )做100次拋硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是5110013.若空间两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是．14.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，=．z2，则z2z115.平均数：如果n个数x1，x2，⋯，x n，那么x=叫做这n个数的平均数．16.思考辨析判断正误为了更清楚地反映学生在这学期多次考试中数学成绩情况，可以选用折线统计图．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93，45分，最近一次考试成绩只有45分的原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价（90分及90分以上为优秀，75∼90分为良好）？19.类比绝对值∣x−x0∣的几何意义，∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是什么？20.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90∘，PA=AC=2BC．(1) 若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；(2) 若PA与平面ABC所成角的大小为60∘，求二面角C−PB−A的余弦值．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由题得 △ABC 的面积 S =12AB ⋅BC ⋅sin60∘=12×2×1×√32=√32． 【知识点】三角形的面积公式2. 【答案】D【解析】在 10 本书中，中文书 5 本，外文书为 3+2=5 本，由古典概型，在其中抽出一本书为外文书的概率为 510，即 12． 【知识点】古典概型3. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】D【解析】由题意知事件 A 、 B 、 C 互为互斥事件，记事件 D =“抽到的是二等品或三等品”，则 P (D )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.2+0.1=0.3． 【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特征及计算公式可知①③④正确． 【知识点】古典概型6. 【答案】D【解析】 5×0.6=3，第 60 百分位数是第三与第四个数的平均数， 即103+1042=103.5．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确． 【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，故A 错误；频率是由试验的次数决定的，故B 错误；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错误． 【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】点 A 在直线 l 上，表示为 A ∈l ，l 在平面 α 内，表示为 l ⊂α． 【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为球的半径为 r =2， 所以该球的表面积为 S =4πr 2=16π． 【知识点】球的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03．【知识点】频率与概率12. 【答案】 ×【知识点】频率与概率13. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系14. 【答案】 −1−2i【解析】由题意，根据复数的表示可知z1=i，z2=2−i，所以z2z1=2−ii=(2−i)⋅(−i)i⋅(−i)=−1−2i．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义15. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】√【知识点】频率分布直方图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】小明5次考试成绩从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．【知识点】复数的加减运算20. 【答案】(1) 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．又PA⊥PB，PB∩BC=B，所以PA⊥平面PBC，因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC．(2) 如图，过P作PH⊥AC于点H，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH=60∘，不妨设PA=2，所以PH=√3，以 C 为原点，分别以 CA ，CB 所在直线为 x 轴，y 轴，以过 C 点且平行于 PH 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,1,0)，P(1,0,√3)，因此 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)． 设 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 PAB 的一个法向量， 则 {n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x 1+y 1=0,−x 1+√3z 1=0,令 z 1=√3，可得 n ⃗ =(3,6,√3)， 设 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 PBC 的一个法向量， 则 {m ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {y 2=0,x 2+√3z 2=0,令 z 2=√3，可得 m ⃗⃗ =(−3,0,√3)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=4√3×2√3=−14， 易知二面角 C −PB −A 为锐角， 所以二面角 C −PB −A 的余弦值为 14．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β． 【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】(1) 取 PB 的中点 M ，连接 EM ，CM ，过点 C 作 CN ⊥AB ，垂足为 N ，如图所示． 因为 CN ⊥AB ，DA ⊥AB ， 所以 CN ∥DA ， 又 AB ∥CD ，所以四边形 CDAN 为矩形， 所以 CN =AD =8，DC =AN =6．在 Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6， 所以 AB =12．因为 E ，M 分别为 PA ，PB 的中点， 所以 EM ∥AB 且 EM =6， 又 DC ∥AB ，且 CD =6， 所以 EM ∥CD 且 EM =CD ， 则四边形 CDEM 为平行四边形， 所以 DE ∥CM ．因为 CM ⊂平面BPC ，DE ⊄平面BPC ，所以 DE ∥平面BPC ．(2) 存在．理由如下：由题意可得 DA ，DC ，DP 两两互相垂直，故以 D 为原点，DA ，DC ，DP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ． 则 D (0,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，所以 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)． 假设 AB 上存在一点 F 使 CF ⊥BD ，设点 F 坐标为 (8,t,0)(0≤t ≤12)， 则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)， 由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0， 所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(52)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ． 3√322. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 3bcosC =c (1−3cosB )，则 c:a = ( ) A ． 1:3 B ． 4:3 C ． 3:1 D ． 3:23. 已知 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c 且 acosC +√32c =b ，若 a =1，√3c −2b =1，则角 B 为 A ．π4B ．π6C ．π3D ．π124. 已知向量 a =(2,x )，b ⃗ =(1,2)，若 a ∥b ⃗ ，则实数 x 的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45. 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020 年 5 月，中国珠峰高程测量登山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇标高 10 米，攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 70∘，80∘，则 A ，B 的高度差约为 ( )A ． 10 米B ． 9.72 米C ． 9.40 米D ． 8.62 米6. 在 △ABC 中，A =120∘，AB =5，BC =7，则 sinB sinC= ( )A ． 37B ． 35C ． 57D ． 857. 若 O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 2⃗⃗⃗ ，则 32e 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． AO ⃗⃗⃗⃗⃗B ． BO ⃗⃗⃗⃗⃗C ． CO ⃗⃗⃗⃗⃗D ． DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗8. 在 △ABC 中，AB =2AC =6，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，点 P 是 △ABC 所在平面内的一点，则当 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 取得最小值时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． 35B ． −9C ． 7D ． −259. 在 △ABC 中，点 D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，当点 E 在线段 AD 上移动时，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则 t =(λ−1)2+μ2 的最小值是 ( ) A ．3√1010B ．√824C ． 910D ．41810. 已知 a ，b ⃗ ，c 是三个不共线的向量，a 为给定向量，那么下列叙述中正确的是 ( )A ．对任何非零实数 λ 及给定的向量 b ⃗ ，c ，均存在唯一的实数 μ，使得 a =λb ⃗ +μcB ．对任何向量 b ⃗ 及给定的非零实数 λ，μ，均存在唯一的向量 c ，使得 a =λb ⃗ +μcC ．若 ∣b ⃗ ∣=1，则对任何实数 λ，均存在单位向量 c 和实数 μ，使得 a =λb ⃗ +μcD ．若 ∣b ⃗ ∣=1，则对任何实数 μ，均存在单位向量 c 和实数 λ，使得 a =λb ⃗ +μc二、填空题（共6题）11. 已知复数 a+i2−i 为纯虚数，那么实数 a = ．12. 如图所示，三棱锥 P −ABC 外接球的半径为 1，且 PA 过球心，△PAB 围绕棱 PA 旋转 60∘后恰好与 △PAC 重合．若 PB =√3，则三棱锥 P −ABC 的体积为 ．13. 思考辨析 判断正误频率分布直方图中所有小长方形面积之和为 1．14. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=3，且已知向量 a，b ⃗ 的夹角为 60∘，(a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，则 ∣c ∣ 的最小值是 ．15. 已知向量 a =(1,2)，b ⃗ =(2,−2)，c =(1,λ)．若 c ∥(2a +b ⃗ )，则 λ= ．16. 在相距 2 km 的 A ，B 两点处测量目标点 C ，若 ∠CAB =75∘，∠CBA =60∘，则 A ，C 两点之间的距离为 ．三、解答题（共6题）17. 如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EF ∥平面ABCD ，EF =1，FB =FC ，∠BFC =90∘，AE =√3，H 是 BC 的中点．(1) 求证：FH ∥平面BDE ； (2) 求证：AB ⊥平面BCF ； (3) 求五面体 ABCDEF 的体积．18. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0．(3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）19. 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？20. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是内角 A ，B ，C 的对边，且 A =π6，a =2．(1) 若 B =π4，求 b 的值；(2) 若 △ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．21. 已知函数 f (x )=12sin2x −√3cos 2x ．(1) 求函数 y =f (x ) 的最小正周期．(2) 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若锐角 A 满足 f (A )=1−√32，C =π6，c =2，求 △ABC 的面积．22. 在直角 △ABC 中，A =π2，D 为 AC 边上的一点，BD =√3．(1) 若 BC =3，∠BDC =2π3，求 △BDC 的面积．(2) 若 C =π3，求 △BCD 周长 l 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ，因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形， 又 AD 平分 ∠BAC ， 所以四边形 AFDE 为菱形． 因为 AD =2√3，∠BAC =60∘， 所以 AE =2，则 AC =6． 设 FB =x ， 因为 DF ∥AC ， 所以 DFAC =FBAB ， 即 26=x 2+x ，解得 x =1， 即 FB =1， 所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 3bcosC =c (1−3cosB ) 及正弦定理可得 3sinBcosC =sinC (1−3cosB )，化简可得sinC=3sin(B+C)．又A+B+C=π，所以sinC=3sinA，所以c:a=sinC:sinA=3:1．【知识点】正弦定理3. 【答案】B【解析】因为acosC+√32c=b，由正弦定理得sinAcosC+√32sinC=sinB=sin(B+C)，整理得cosA=√32，所以A=π6，又因为a=1，√3c−2b=1，所以√3sinC−2sinB=sinA=12，即√3sin(5π6−B)−2sinB=12，整理得cos(B+π6)=12，所以B=π6．【知识点】正弦定理4. 【答案】D【解析】向量a=(2,x)，b⃗=(1,2)，a∥b⃗，可得x=4．【知识点】平面向量数乘的坐标运算5. 【答案】C【解析】根据题意画出如图的模型，则CB=10，∠OAB=70∘，∠OAC=80∘，所以∠CAB=10∘，∠ACB=10∘，所以AB=10，所以在Rt△AOB中，BO=10sin70∘≈9.4（米）．【知识点】解三角形的实际应用问题6. 【答案】B【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cosA，因此49=25+AC2+5AC，解得AC=3或AC=−8（舍去），因此由正弦定理得sinB sinC=AC AB=35．【知识点】正弦定理、余弦定理7. 【答案】B【解析】由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得 3e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 2(32e 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直9. 【答案】C【解析】如图，设存在实数 m 使得 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤m ≤1)， 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 4AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3m 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 {λ=m 4,μ=3m 4,所以t =(λ−1)2+μ2=(m4−1)2+(3m 4)2=58m 2−m2+1=58(m −25)2+910,当 m =25 时，t 取得最小值，为 910．【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】对于A，由平面向量基本定理可得，有且仅有一对实数λ，μ，使得a=λb⃗+μc成立．故条件中的“对任何非零实数λ”说法不正确．故A错误．对于B，由平面向量基本定理可得结论正确，故B正确．对于C，当λ=0时，a=μc，与题设a，b⃗，c是三个不共线的向量矛盾．故C错误．对于D，当μ=0时，a=λb⃗，与题设a，b⃗，c是三个不共线的向量矛盾．故D错误．【知识点】平面向量的分解二、填空题（共6题）11. 【答案】12【知识点】复数的乘除运算12. 【答案】√38【解析】如图所示，由题意，PA过球心，故取PA中点为O，O即为球心．连接BO，CO，有△PAC由△PAB绕PA轴60∘后重合，故PC=PB，过B作BH⊥PA于H点，同理过C作CH⊥PA于H点，由于r=1，PB=PC=√3，过O点作OG⊥PB于G点，OP=OB=1，故有OG=√(PB2)2−OP2=12⇒∠BPH=π6，即有BH=PB⋅sinπ6=√32，又且∠BHC=60∘，BH=CH，故S△BHC=12×√32×34=3√316，则有V P−ABC=V P−BHC+V A−BHC=13S△BHC(PH+AH)=13×3√316×2=√38，故三棱锥P−ABC的体积为√38．【知识点】棱锥的表面积与体积13. 【答案】 √【知识点】频率分布直方图14. 【答案】√19−√72【解析】如图所示，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，由题，得 ∠AOB =π3，∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =a −c ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −c ，a ⋅b ⃗ =2×3×cos60∘=3， 又 (a −c )⋅(b ⃗ −c )=0，所以 CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点 C 在以 AB 为直径的圆上， 取 AB 的中点为 M ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 设以 AB 为直径的圆与线段 OM 的交点为 E ，则 ∣c ∣ 的最小值是 ∣∣OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣， 因为∣∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√14(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12√OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×√4+2×3+9=√192,又 AB =√OA 2+OB 2−2OA ⋅OB ⋅cos60∘=√4+9−2×2×3×12=√7， 所以 ∣c ∣ 的最小值是 ∣∣OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=OM −ME =OM −12AB =√19−√72．【知识点】平面向量的数量积与垂直、余弦定理15. 【答案】 12【解析】 2a +b⃗ =2(1,2)+(2,−2)=(4,2)， 又因为 c ∥(2a +b ⃗ )， 所以 4×λ−2×1=0， 所以 λ=12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算16. 【答案】√6km【知识点】正弦定理三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，连接OH，EO，因为H是BC的中点，AB=1．所以OH∥AB，OH=12因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，所以EF∥AB．因为EF=1，所以OH∥EF，OH=EF．所以四边形EOHF是平行四边形．所以EO∥FH，EO=FH．因为EO⊂平面BDE，FH⊄平面BDE，所以FH∥平面BDE．(2) 证法1：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，所以四边形EMBF是平行四边形．所以EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=√2．所以EM=√2．在△AME中，AE=√3，AM=1，EM=√2，所以AM2+EM2=3=AE2．所以AM⊥EM．所以AM⊥FB，即AB⊥FB．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因为FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，所以AB⊥平面BCF．证法2：在Rt△BFC中，H为BC的中点，BC=1．所以FH=12AC=√2，EO=FH=1，在△AEO中，AE=√3，AO=12所以AO2+EO2=AE2．所以AO⊥EO．因为 FH ∥EO ， 所以 AO ⊥FH ．因为 FH ⊥BC ，BC ⊂平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，AO ∩BC =C ， 所以 FH ⊥平面ABCD ． 因为 AB ⊂平面ABCD ， 所以 FH ⊥AB ．因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB ⊥BC ．因为 BC ⊂平面BCF ，FH ⊂平面BCF ，BC ∩FH =H ， 所以 AB ⊥平面BCF ． (3) 连接 EC ，在 Rt △BFC 中，FH =12BC =1， 所以 EO =FH =1．由（2）知 AB ⊥平面BCF ，且 EF ∥AB ， 所以 EF ⊥平面BCF ．因为 FH ⊥平面ABCD ，EO ∥FH ， 所以 EO ⊥平面ABCD ．所以四棱锥 E −ABCD 的体积为 V 1=13⋅EO ⋅S 正方形ABCD =13×1×22=43．所以三棱锥 E −BCF 的体积为 V 2=13⋅EF ⋅S △BCF =13×1×12×(√2)2=13． 所以五面体 ABCDEF 的体积为 V =V 1+V 2=53．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0，当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =adc，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =ac q ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab c d ∣∣∣=0． (3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式19. 【答案】不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确定的复数是 z =0+0i =0，表示的是实数．【知识点】复数的几何意义20. 【答案】(1) 2√2． (2) 4+2√3．【知识点】余弦定理、正弦定理21. 【答案】(1) f (x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −x3)−√32， T =π．(2) sin (2A −π3)=12，2A −π3=16π， A =π4，C =π6，B =712π， asinA =csinC ， a =2√2，S =12acsinB =12×2√2×2×sin 712π=1+√3． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理22. 【答案】(1) 由余弦定理得：BC 2=DB 2+DC 2−2DB ⋅DC ⋅cos2π3，即 DC 2+√3DC −6=0，解得 DC =√3，DC =−2√3（舍去）．S △BDC =12BD ⋅DC ⋅sin∠BDC =12×√3×√3×sin 2π3=3√34.(2) 在 △BCD 中，C =π3，∠ABC =π6，BD =√3， 设 ∠DBC =α，所以BDsin π3=CD sinα=BC sin(2π3−α)，故 CD =2sinα，BC =2sin (α+π3)，所以 △BCD 的周长 l =BD +BC +CD =√3+2sinα+2sin (α+π3)，即 l =√3+2√3sin (α+π6)，因为 α∈(0,π6]，所以 l ∈(2√3,3+√3]．【知识点】余弦定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理。
人教A版高中必修二试题江苏省海头高级中学—高一期末复习.docx
江苏省海头高级中学2010—2011学年度高一期末复习（数学）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．与向量)5,12(=a 平行的单位向量为2．右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是3．已知集合}51|{<<-=x x A }32|{<<=x x B ，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈I ”的概率是4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 ．5. 已知sin5/7a π=，cos2/7b π=，tan 2/7c π=，则b a c 、、的大小关___________ 6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ．7．向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向(47)=--，c 共线，则=λ ． 8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 ．9．已知tan()24x π+=，则x x 2tan tan 的值为 ．10．已知1e u r ，2e u u r 是夹角为π32的两个单位向量，122a e e =-r u r u u r ，12b ke e =+r u r u u r，若0a b ⋅=r r ，则实数k 的值为 ．11．函数)24cos(x y -=π的单调递增区间是12．已知)2,2(,ππβα-∈，且βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，则βα+的值为13．已知向量)4,3(=，1||=-，则||的取值范围是14．下面有5个命题：①分针每小时旋转2π弧度； ②函数sin ()1cos xf x x=+是奇函数；③若OA xOB yOC =+u u u r u u u r u u u r，且1x y +=，则,,A B C 三点共线；④在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点；0 1 2 3 49 0 2 8 0 2 3 7 1 2 3 8 2 8第2题⑤在ABC △中，若sin sin A B =，则A B =。
人教A版高中必修二试题高一期末复习题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学必修2期末复习题一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )．A ．21B ．23C ．22D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )．A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台5．已知点A (2，3)，B (－2，1)，则|AB |＝( )．A ．5B ．25C ．42D ．26．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．A ．515 B ．22C ．510 D ．07. 如果直线210x y +-=和y kx =互相平行，则实数k 的值为A ．2B ．12C ．2-D ．12- 8. 下面图形中是正方体展开图的是A ．B ．C ．D ．9. 在空间中，a 、b 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出//a b 的是A ．,,//a b αβαβ⊂⊂B ．//,a b αα⊂C ．,a b αα⊥⊥D ．,a b αα⊥⊂10. 如图，正方体ABCD A B C D ''''-中，直线D A '与DB所成的角可以表示为A ．D DB '∠ B ．ADC ''∠C ．ADB ∠D ．DBC '∠11．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1AB E12．如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ）A ． 33-B ．33 C ． 3- D ．3二、填空题13． 在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是_____________．14．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 .15．如图：四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为 .16．坐标原点到直线43120x y +-=的距离为___________．17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为_________．三、解答题18．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．19．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，四条侧棱均相等，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值..20．已知直线l 经过点(0, 2)-，其倾斜角的大小是60.（1）求直线l 的方程； （2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积.21．已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线L 平行于AB,且分别交AC,BC 于E, F,三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的41.求直线L 的方程.22．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
人教A版高中必修二试题高一上学期期末综合测试题
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高一数学上学期期末综合测试题（人教版必修二）一、选择题1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）2、直线:330l x y ++=的倾斜角α为 （ ）A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 3、棱长为a 正四面体的表面积是 （ ） A 、343a B 、3123a C 、243a D 、23a 。
4、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是（ ） A 、任意梯形 B 、直角梯形 C 、任意四边形 D 、平行四边形5、已知α//a ，α⊂b ，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、相交或异面 C 、异面 D 、平行或异面6、已知两条直线012:1=-+ay x l ，04:2=-y x l ，且21//l l ，则满足条件a 的值为（ ）A 、21- B 、21 C 、2- D 、27、在空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是DA CD BC AB ,,,的中点。
若a BD AC ==， 且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ） A 、283a B 、243a C 、223a D 、23a8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的 角为（ ） A 、30°B 、45°C 、90°D 、60°9、下列叙述中错误的是 （ ）A 、若βα ∈P 且l =βα ，则l P ∈B 、三点C B A ,,确定一个平面；C 、若直线A b a = ，则直线a 与b 能够确定一个平面D 、若l A ∈，l B ∈且α∈A ，α∈B ，则α⊂l 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）A 、两条平行直线B 、一点和一条直线C 、两条相交直线D 、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）A 、π25B 、π50C 、π125D 、都不对。
人教A版高中必修二试题江苏省高邮市界首中学高一期末测试卷(二).docx
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分） 1、︒-300化为弧度2、已知集合},20|{Z x x x A ∈≤<=，则集合A 的子集个数3、已知sin()3cos()0πθπθ-++=,其中(0,)2πθ∈,则=θcos ．4、半径为cm π，中心角为120所对的弧长是5、已知向量(cos ,sin )a x x =，则||a =6、已知幂函数()f x 过点1(2,)4，则=)4(f 7、计算：03log 31)2(2)27(2--+-= .8、已知函数1()lgsin 1xf x x x-=++，若()2f m =，则()f m -= 9、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x f 21)(+=，则=)8(l o g 21f .10、已知()f x 为定义在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 3sin f x x x =-，设(cos1),(cos2),(cos3)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为 ． 11、函数)62sin(3)(π-=x x f 的图象为C ．如下结论： ①函数的最小正周期是π; ②图象C 关于直线π31=x 对称; ③函数125,12()(ππ-在区间x f )上是增函数; ④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 其中正确的是 ． (写出所有正确结论的序号)12、12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥=-22),4sin(2,2)(2x x x x f x π,若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．13、已知ABC ∆中， AB =c ，BC =a 、CA =b ，若c b b a ⋅=⋅，且02=+⋅c b c ，则ABC ∆的形状是 14、对于函数)(1)(R x xxx f ∈+=，下列判断中，正确结论的序号是 . ①0)()(=+-x f x f ； ② )1,0(∈m 时，方程m x f =)(总有实数解； ③ 数)(x f 的值域为R ； ④ 数)(x f 的单调减区间为),(+∞-∞． 二、解答题（前3题每题14分、后3题16分）15、已知角α终边上一点P （－4，3）求)3cos()sin()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值.16、已知函数,1)(2+=x x f ,14)(+=x x g 的定义域都是集合A,函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T①若]2,1[=A 求T S②若],0[m A =且S=T 求实数m 的值③若对于集合A 的任意一个数x 的值都有)(x f =)(x g 求集合A17、已知向量)1),4(sin(--=πx a ，)2,2(=b 且()2f x a b =⋅+①用“五点法”作出函数)(x f y =在长度为一个周期的闭区间的图象. ②求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；③求函数)(x f 的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合④函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？ ⑤当],0[π∈x ，求函数)4sin(2π-=x y 的值域18、已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)(Z k b k a m ∈+= ①若向量m 与向量b a -2垂直，求实数k 的值 ②若向量m 与向量b a -2共线，求实数k 的值③设向量a 与m 的夹角为α，b 与m 的夹角为β，是否存在实数k 使πβα=+?求实数k 的值，若不存在说明理由？19、、某企业为打入国际市场，决定从A,B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产两种产品的有关数据如下表：（单位:万美元）项目类别 年固定成本每件产品的成本每件产品的销售价每年最多可生产的件数A 产品 20 m10 200 B 产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值有生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[∈m 。
人教A版高中必修二试题河北正定中学-第二学期高一期末考试.doc
河北正定中学2010-2011学年第二学期高一期末考试数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1．ΔABC 中, a = 1, b =3, ∠A=30°，则∠B 等于 A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°2．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．b ∥平面αD ．b 与平面α相交，或b ∥平面α3． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含8．原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是 A ．02=+y x B ．042=-+y x C ．052=+-y x D ．032=++y x9．点P (－2, －1)到直线l : (1+3λ)x +(1+2λ)y =2+5λ的距离为d , 则d 的取值范围是SB 1C 1A 1CBAA. 0≤ d ≤13B. d ≥ 0C. d =13D. d ≥1310．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是 A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a <<11．在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为A ．1B ．32C ．2D ．312．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=， 称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．2002B ．2004C ．2006D ．2008二、填空题：（每小题5分，共20分）.13．正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是 ． 14．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成060角，则圆台的侧面积为____________．15．如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°， 则直线AB ， AC 的倾斜角分别为：AB α=__________，AC α=____________．16．若{}|3,,A x x a b ab a b R +==+=-∈，全集I R =，则I C A =_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17．（本小题满分10分）a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，48=bc ，2=-c b ，求角A 及边长a ．18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． （Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ； （Ⅱ）求三棱锥C －BEP 的体积．E FBACDP（第18题图）20．（本小题满分12分）如图，在组合体中，1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．4AB =，3=BC ，点D D CC P 11平面∈且22PD PC ==． （Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥；（Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值．21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件24,1,2,nnS n S ==，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式和n S ；（Ⅱ）记12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．数学试题答案一、选择题：（每小题5分，共60分） B D A C A D C C A C C A18. （Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG 21//CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AB 21//CD ，∴FG //AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ， PA 是三棱锥P －BCE 的高， Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积 V 三棱锥C －BEP =V 三棱锥P －BCE =111112122322323BCE S PA BE BC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=． 19．解：（Ⅰ）设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且半径为5，所以，5294-m ＝5，即|4m －29|＝25． 因为m 为整数，故m ＝1．故所求的圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25．（Ⅱ）直线ax －y ＋5＝0即y ＝ax ＋5．代入圆的方程，消去y 整理，得 (a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0．由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故△＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)＞0， 即12a 2－5a ＞0，解得a ＜0，或a ＞125． GEFBACDP所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(125，＋∞)． 20． (Ⅰ)证明：因为22PD PC ==，4CD AB ==， 所以PCD ∆为等腰直角三角形， 所以PC PD ⊥．因为1111D C B A ABCD -是一个长方体， 所以D D CC BC 11面⊥， 而D D CC P 11平面∈， 所以D D CC PD 11面⊂， 所以PD BC ⊥．因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ， 可得PBC PD 平面⊥．(Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ． 因为PCD ABCD 面面⊥， 所以ABCD PE 面⊥，所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角 因为2PE =，13AE =， 所以2213tan 1313PE PAE AE ∠===． 所以PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为21313． 21． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由24nnS S = 得：1214a a a +=，所以2133a a ==，且212d a a =-=，所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- 2(121)2n n n S n +-==（Ⅱ）由12n n n b a -=⋅，得1(21)2n n b n -=-⋅所以12113252(21)2n nT n -=+⋅+⋅++-⋅， ……①…231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅， …… ②…①-②得211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅212(1222)(21)21n n n -=++++--⋅-2(12)(21)2112n n n -=--⋅--所以 (23)23n n T n =-⋅+（Ⅲ）∵11,41,41+=∴=+=n b b a n a n n n n ∴1433221+++++=n n n b b b b b b b b S)2111()5141()4131()3121(2111514141313121+-+++-+-+-=+⨯+++⨯+⨯+⨯=n n n n )2(22121+=+-=n n n )2)(1(2)1(11222++---=+-+=-∴n n n k kn n n kn b kS n n由条件，可知当02)1(2<---n k kn 恒成立时即可满足条件，设2)1()(2---=n k kn n f。
人教A版高中必修二试题新课标期末复习综合练习.doc
新课标必修2期末复习综合练习一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1． 倾斜角为135，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x 2． 原点在直线l 上的射影是P(－2，1)，则直线l 的方程是 （ ）A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x3． 如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内( )A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条 4． 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ）A ．只有一个B ．至多有两个C ．不一定有D ．有无数个 5． 直线093=-+y ax 与直线03=+-b y x 关于原点对称，则b a ,的值是 ( )A ．a =1，b = 9B ．a =－1，b = 9C ．a =1，b =－9D ．a =－1，b =－96． 已知直线b kx y +=上两点P 、Q 的横坐标分别为21,x x ，则|PQ|为 （ ）A ．2211k x x +⋅- B ．k x x ⋅-21 C ．2211kx x +- D ．kx x 21-7． 直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是 （ ）A ．063=-+y xB ．03=-y xC ．0103=-+y xD ．083=+-y x8． 如果一个正三棱锥的底面边长为615 ）Ａ．92Ｂ．9 Ｃ．27293SB 1C 1A 1CBA9． 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( )A ．31003cm π B ．32083cm π C ．35003cm π D ．34163cm π 10． 在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3，则三棱锥S －A 1B 1C 1的体积为 （ ）A ．1B ．32C ．2D ．311． 已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k12． 过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ．052=-+y xB ．042=-+y xC ．073=-+y xD ．032=+-y x二、填空题：13． 过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14． 过点(－6，4)，且与直线032=++y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 15． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角是 ． 16． 已知两点)2,1(-A ，)1,2(-B ，直线02=+-m y x 与线段AB 相交，则m 的取值范围是 ． 17． 如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°，则直线AB ，，AC 的倾斜角分别为：AB α=__________，AC α=____________．18． 正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是 ．三、解答题：19． 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0， 它的对角线的交点是M (3， 0)， 求这个四边形的其它两边所在的直线方程．20． 正三棱台的上、下底边长为3和6．（Ⅰ）若侧面与底面所成的角是60°,求此三棱台的体积； （Ⅱ）若侧棱与底面所成的角是60°,求此三棱台的侧面积；21． 在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为012=+-y x ，∠A 的平分线所在直线的方程为0=y ，若点B 的坐标为（1，2），求点 A 和点 C 的坐标．．22． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知M 为棱AB 的中点． （Ⅰ）AC 1//平面B 1MC ；（Ⅱ）求证：平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ．23． 如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成ο45角和ο30角，过点)0,1(P 作直线AB 分别与OA 、OB 交于A 、B ．（Ⅰ）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程；（Ⅱ）当AB 的中点在直线x y 21=上时，求直线AB 的方程．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCACDAABCCAA13．05=-+y x ，023=-y x 14．0162=+-y x 15．30° 16．]5,4[- 17．105°；165° 18．1319．07=-+y x 和0223=--y x ．20．（Ⅰ）32h =，2213633()348V h a ab b =⋅++=． （Ⅱ）3h =，39'h =，127392739(33)'22S a b h =+==21．由 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y 得⎩⎨⎧==01y x ，即A 的坐标为 )0,1(-，∴1102+-=AB k ，又∵ x 轴为∠BAC的平分线，∴ 1-=-=AB AC k k ，又∵ 直线 012=+-y x 为 BC 边上的高， ∴ 2-=BC k ． 设 C 的坐标为),(b a ，则11-=+a b ，212-=--a b ， 解得 5=a ，6=b ，即 C 的坐标为)6,5(．22．（Ⅰ）MO//AC 1；（Ⅱ）MO ∥AC 1，AC 1⊥平面D 1B 1C ，MO ⊥平面D 1B 1C ，平面D 1B 1C ⊥平面B 1MC ． 23．解：（Ⅰ）由题意得，OA 的方程为x y =，OB 的方程为x y 33-=，设),(a a A ， ),3(b b B -。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(39)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1. 事件 M ⊆N ，则当 N 发生时，下列必发生的是 ( ) A ． M B ． MN C ． M +N D ． M 的对立事件2. 设 m ，n 表示不同的直线，α，β 表示不同的平面，则下列说法正确的是 ( ) A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若 m ∥α，α⊥β，则 m ⊥β C ．若 m ∥α，m ⊂β，则 α∥β D ．若 m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则 α⊥β3. 若 z 1，z 2 为任意复数，则下列式子中错误的是 ( ) A ． ∣z 1+z 2∣=∣z 1∣+∣z 2∣ B ． ∣z 1z 2∣=∣z 1∣⋅∣z 2∣C ． ∣∣∣z 1z 2∣∣∣=∣z 1∣∣z 2∣D ． ∣z 1n ∣=∣z 1∣n4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗B ． 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗C ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗D ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗5. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m 2）分别为 x ，y ，z ，且 x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元 /m 2）分别为 a ，b ，c ，且 a <b <c ，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 ( ) A ．ax +by +czB ．az +by +cxC ．ay +bz +cxD ．ay +bx +cz6. 从总数为 N 的一批零件中利用简单随机抽样方法，抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽到的可能性为 25%，则 N 为 ( ) A ． 150B ． 200C ． 100D ． 1207. 已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的所有顶点都在球 O 的表面上，若球 O 的体积为 36π，则正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的体积为 ( ) A ． 2√3B ． 3√3C ． 12√3D ． 24√38. 设 π<θ<5π4，则复数 cos2θ+isin2θcosθ−isinθ的辐角的主值为 ( )A ． 2π−3θB ． 3θ−2πC ． 3θD ． 3θ−π9. P (A )=0.1，P (B )=0.2，则 P (A +B ) 等于 ( ) A ． 0.3B ． 0.2C ． 0.1D ．不确定10. 正三角形 ABC 中，P ，Q ，R 分别是 AB ，BC ，CA 的中点，则与向量 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A ． PR⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QR ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 RC⃗⃗⃗⃗⃗ C ． RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 CR⃗⃗⃗⃗⃗ D ． PA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 QR ⃗⃗⃗⃗⃗二、填空题（共6题）11. 已知一个体积为 8 的正方体内接于半球体，即正方体的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内．则该半球体的体积为 ．12. 若一个正四棱柱的底面边长为 1 cm ，高为 √2 cm ，且这个四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 cm 3．13. 思考辨析 判断正误仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角．14. 一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm ，则每条侧棱长为 cm ．15. 已知等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D ，E 分别在边 AB ，BC 上，且 AD =13AB ，BE =13BC ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ．16. 思考辨析，判断正误若 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线向量，则 λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ （λ1，λ2 为实数）可以表示该平面内所有向量．三、解答题（共6题）17. 若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？18. 当实数 m 为何值时，复数 z =m 2−8m +15+(m 2+3m −28)i 在复平面内的对应点：(1) 位于第四象限； (2) 位于实轴负半轴上； (3) 在上半平面内（含实轴）．19. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，且 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用 a ，b⃗ 分别表示向量 CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．20. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45∘ 方向 600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长？21. 已知向量 a =(1,−2)，b ⃗ =(−7,−6)，求与 a +b ⃗ 同向，且模等于 20 的向量 c ．22. 根据下列各种点、直线和平面之间的位置关系，画出相应的图形，并用集合符号表示出来．(1) 点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，点 A ，B 都在直线 l 上； (2) 平面 α 与平面 β 相交于直线 l ，点 A 在直线 l 上；(3) 平面 α 与平面 β 相交于直线 m ，直线 l 在平面 α 内且与直线 m 相交于点 A ．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由于M⊆N，则当N发生时，M不一定发生，MN也不一定发生，而M+N一定发生．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】D【解析】对于A，若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交、异面均有可能，故A不对；对于B，若m∥α，α⊥β，则m，β可能垂直、平行，也可能m在β面内，故B不对；对于C，若m∥α，m⊂β，则α，β平行、相交，故C不对；对于D，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，故D对；故选：D．【知识点】平面与平面垂直关系的判定3. 【答案】A【知识点】复数的几何意义4. 【答案】A【知识点】平面向量的分解5. 【答案】B【解析】采用特值法进行求解验证即可，若x=1，y=2，z=3，a=1，b=2，c=3，则ax+by+cz=14，az+by+cx=10，ay+bz+cx=11，ay+bx+cz=13．由此可知最低的总费用是az+by+cx．【知识点】余弦定理6. 【答案】D【解析】每个个体被抽到的可能性相等，都为30N=25%，解得N=120．【知识点】简单随机抽样7. 【答案】D【解析】正方体外接球半径为正方体体对角线一半，设正方体棱长为a，因为V球=36π=43πk3，R=3，所以R=√3a2，a=2√3，所以V正方体=a3=24√3．【知识点】球的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、组合体8. 【答案】B【解析】cos2θ+isin2θcosθ−isinθ=cos2θ+isin2θcos(−θ)+isin(−θ)=cos3θ+isin3θ.因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4.【知识点】复数的三角形式9. 【答案】D【解析】由于不能确定A与B是否互斥，则P(A+B)的值不能确定．【知识点】互斥事件的概率计算10. 【答案】B【知识点】平面向量的概念与表示二、填空题（共6题）11. 【答案】4√6π【知识点】球的表面积与体积、棱柱的表面积与体积12. 【答案】4π3【解析】由题意(2R)2=12+12+(√2)2，解得R=1，故V=43πR3=4π3．【知识点】组合体、球的表面积与体积13. 【答案】√【知识点】解三角形的实际应用问题14. 【答案】12【解析】由题易知，该棱柱为五棱柱，共 5 条侧棱， 所以每条侧棱的长为605=12(cm )．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】 3【解析】以 B 为原点，BC 和垂直 BC 的线分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 C (3,0)，D(1,√3)，E (1,0)，所以 DC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−√3)⋅(0,−√3)=3．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 √【知识点】平面向量的分解三、解答题（共6题） 17. 【答案】是的．【知识点】平面与平面平行关系的性质18. 【答案】(1) 要使点位于第四象限，需满足 {m 2−8m +15>0,m 2+3m −28<0,解得 {m <3或m >5,−7<m <4,所以 −7<m <3．(2) 要使点位于实轴负半轴上，需满足 {m 2−8m +15<0,m 2+3m −28=0,解得 {3<m <5,m =−7或m =4.所以 m =4．(3) 要使点位于上半平面内（含实轴），需满足 m 2+3m −28≥0， 解得 m ≥4 或 m ≤−7． 【知识点】复数的几何意义19. 【答案】依题意得CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ ，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b⃗ ． 【知识点】平面向量的分解20. 【答案】设从现在起经过 x 小时后该码头受到热带风暴的影响，经 x 小时后热带风暴到达 A点，则问题转化为 A 点到 O 点距离小于或等于 450 km ，而由余弦定理得∣AO ∣=√6002+(20x )2−2×600×20x ⋅cos45∘.由 √6002+(20x )2−2×600×20x ⋅cos45∘≤450 得4x 2−120√2x +1575≤0.解得30√2−152≤x ≤30√2+152.故该码头受到热带风暴影响时间约为 30√2+152−30√2−152=15 h ．【知识点】解三角形的实际应用问题21. 【答案】 a +b ⃗ =(−6,−8)，与之同向的单位向量为 c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)⇒c =20c 0⃗⃗⃗ =(−12,−16)．【知识点】平面向量数乘的坐标运算22. 【答案】(1) 因为点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，点 A ，B 都在直线 l 上， 所以 A ∈α，B ∉α，A ∈l ，B ∈l ． 如图．(2) 因为平面 α 与平面 β 相交于直线 l ，点 A 在直线 l 上， 所以 α∩β=l ，A ∈l ． 如图．(3) 因为平面 α 与平面 β 相交于直线 m ，直线 l 在平面 α 内且与直线 m 相交于点 A ， 所以 α∩β=m ，l ⊂α，l ∩m =A ． 【知识点】平面的概念与基本性质。
人教A版高中必修二试题福建师大附中-高一(上)期末考试.doc
福建师大附中2012-2013学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在y 轴上的截距分别是（）A．135°，1 B．45°，﹣1 C．45°，1 D．135°，﹣1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为﹣1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=﹣1，∴x+y+1=0在y 轴上的截距为﹣1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．﹣3 C．1或﹣3 D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax﹣y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0的斜率为a，即=a，解得a=﹣3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax﹣y+a=0，l2：（2a﹣3）x+ay﹣a=0，两直线重合，当a=﹣3时，已知直线l1：﹣3x+y﹣3=0与直线l2：﹣3x﹣y=1，两直线平行，则实数a的值为﹣3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009•浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A ． 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βB ． 若l ∥α，α∥β，则l ⊂βC ． 若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD ． 若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．分析： 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A ，B ，D 中由条件均可能得到l ∥β，即A ，B ，D 三个答案均错误，只有C 满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答： 解：若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β或l ∥β，故A 错误；若l ∥α，α∥β，则l ⊂β或l ∥β，故B 错误；若l ⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l ⊥β，故C 正确；若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ∥β，故D 错误；故选C点评： 判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a ⊂α，b ⊄α，a ∥b ⇒a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a ⊂α⇒a ∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a ⊄α，a ⊄，a ∥α⇒a ∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M （a ，b ）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． D ．5考点： 基本不等式．专题： 计算题．分析： 由题意可得，3a+4b=15，而a 2+b 2==，根据二次函数的性质可求解答： 解：由题意可得，3a+4b=15∵a 2+b 2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9 则的最小值为3故选B点评： 本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA ′B ′C ′的面积为，则原梯形的面积为（ ）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA 的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：K op =k AB k OP =﹣1k AB =1∴直线AB 的方程是x ﹣y ﹣3=0故选A点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球\\面上，则这个球的表面积为（ ）A ．B ． 56πC ． 14πD ． 16π考点： 球的体积和表面积．专题： 计算题．分析： 根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答： 解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是： 这个球的表面积：4 =14π故选C ．点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009•宁夏）已知圆C 1：（x+1）2+（y ﹣1）2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x ﹣y ﹣1=0对称，则圆C 2的方程为（ ）A ． （x+2）2+（y ﹣2）2=1B ． （x ﹣2）2+（y+2）2=1C ． （x+2）2+（y+2）2=1D ． （x ﹣2）2+（y ﹣2）2=1考点： 关于点、直线对称的圆的方程．专题： 计算题．分析： 求出圆C 1：（x+1）2+（y ﹣1）2=1的圆心坐标，关于直线x ﹣y ﹣1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C 2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．A C⊥BE B．E F∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．解答：解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不是正确选项；B．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．综上应选D故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．（5分）过点A（a，4）和B（﹣1，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是．考点：斜率的计算公式；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：利用直线的斜率公式即可求得答案．解答：解：∵过点A（a，4）和B（﹣1，a）的直线的倾斜角等于45°，∴k AB==tan45°=1，∴a=．故答案为：．点评：本题考查直线的斜率计算公式，考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．14．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变化时，所有直线都通过定点（3，1）考点：恒过定点的直线．专题：计算题．分析：把直线的方程化为k（x﹣3）+1﹣y=0，此直线一定过x﹣3和1﹣y=0 的交点，联立方程组可解得定点坐标（3，1）．解答：解：直线kx﹣y+1=3k，即k（x﹣3）+1﹣y=0，由得定点的坐标为（3，1），故答案为（3，1）．点评：本题考查直线过定点问题，直线k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 一定过两直线ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点．15．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其高为2，底面是一个直角边分别为1，2的直角三角形．据此即可计算出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，其高为2，底面是一个直角边分别为1，2的直角三角形．∴．故答案为2．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．16．（5分）两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条平行线之间的距离公式直接计算，即可得到直线l1与直线l2的距离．解答：解：∵直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0互相平行∴直线l1与直线l2的距离等于d==故答案为：点评：本题给出两条直线互相平行，求它们之间的距离，着重考查了平行线间的距离公式的知识，属于基础题．17．（5分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2）}，其中r ＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：集合A中的元素其实是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，而集合B 的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．解答：解：据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以（3，4）为圆心，r为半径的圆上任一点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R﹣r；根据勾股定理求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7故答案为3或7点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．18．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角④AB与CD 所成的角为60°；其中正确结论是①②④（写出所有正确结论的序号）考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论．解答：解：作出如图的图象，其中A﹣BD﹣C=90°，E是BD的中点，可以证明出∠AED=90°即为此直二面角的平面角对于命题①，由于BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故△ACD 是等边三角形，此命题正确；对于命题③AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE=45°，故AB与平面BCD 成60°的角不正确；对于命题④可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60°；综上知①②④是正确的故答案为①②④点评：本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．三、解答题：（本大题共6题，满分60分）19．（8分）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案．解答：解：因为V半球=V圆锥=因为V半球＜V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．点评：本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．20．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．考点：与直线有关的动点轨迹方程；直线的一般式方程．专题：计算题；转化思想．分析：（1）求出AB 所在直线的向量，然后求出AB所在的直线方程；（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），利用平行四边形，推出M 与D坐标关系，利用当D在线段AB上运动，求线段CD的中点M的轨迹方程．解答：（本小题满分10分）解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K AB=K OC==3．∴AB所在直线方程是y﹣0=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），∵M是线段CD的中点，∴x=，y=，于是有x0=2x﹣1，y0=2y﹣3，∵点D在线段AB上运动，∴3x0﹣y0﹣9=0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9=0即6x﹣2y﹣9=0，（2≤x≤）．点评：本题考查直线方程的求法，与直线有关的动点的轨迹方程的求法，考查转化思想与计算能力．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：解：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO 是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．22．（10分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2=r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，将P的横坐标x=代入圆的方程，求出y，然后求出限高．解答：解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2=r2，因为F，M在圆上，所以，解得b=﹣3，r2=36．所以圆的方程为x2+（y+3）2=36．（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|=h+0.5，将P的横坐标x=代入圆的方程，得，得y=2或y=﹣8（舍），所以h=|CP|﹣0.5=（y+|DF|）﹣0.5=（2+2）﹣0.5=3.5（m）．答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．点评：本题考查圆的方程的求法以及圆的方程的应用，考查计算能力．23．（10分）如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；转化思想．分析：（1）如图所示，要证AO⊥平面BCD，只需证AO⊥BD，AO⊥CO即可，用运算的方式来证明结论．（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF，由中位线定理可得EF∥AB，OE∥CD所以∠OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在Rt△AOC中求解．解答：解：（1）证明：△ABD中∵AB=AD=，O是BD中点，BD=2∴AO⊥BD且=1△BCD中，连接OC∵BC=DC=2∴CO⊥BD且△AOC中AO=1，CO=，AC=2∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO∴AO⊥平面BCD（2）取AC中点F，连接OF．OE．EF△ABC中E．F分别为BC．AC中点∴EF∥AB，且△BCD中O．E分别为BD．BC中点∴OE∥CD且∴异面直线AB与CD所成角等于∠OEF（或其补角）又OF是Rt△AOC斜边上的中线∴∴等腰△OEF中点评：本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题．24．（10分）已知圆x2+y2﹣2ax﹣6ay+10a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先把圆C的方程化为标准方程，求出圆心C，半径r（1）若a=2，则可求C，r，由弦AB过圆心时最长可求|AB|max=2r，即可求（2）先求出圆心C（a，3a）到直线x﹣y+2=0的距离d，若使弦长|AB|的最大值，则先表示出弦AB，然后根据二次函数的性质可求（3）先求出圆心C（a，3a）到直线x﹣y+m=0的距离d，由直线L是圆心C的切线，可知d=r，从而可求m，a的关系，由a的范围可求m的范围解答：解：圆C的方程可化为（x﹣a）2+（y﹣3a）2=4a∴圆心C（a，3a0，半径r=2（1）若a=2，则C（2，6），r=2∵弦AB过圆心时最长∴|AB|max=4（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x﹣y+2=0的距离d=，r=2直线与圆相交，∴d＜r，∴a2﹣4a+1＜0且0＜a≤4，∴又|AB|=2，∴当a=2时，|AB|max=2，（3）圆心C（a，3a）到直线x﹣y+m=0的距离d=∵直线L是圆心C的切线，∴d=r，即，∴m=2a±∵直线L是圆心C下方，∴m=2a﹣2∵a∈（0，4]，∴当a=时，m min=﹣1；当a=4时，m max=8﹣4，故实数m的取值范围是[﹣1，8﹣4]点评：本题主要考查了圆的性质的应用，直线与圆相交关系的应用及点到直线距离公式的简单应用，属于圆的知识的综合应用四、附加题.（10分）25．设M点是圆C：x2+（y﹣4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE 被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：设存在点M（x0，y0）满足条件，设过点M且与圆O相切的直线方程为：y﹣y0=k（x ﹣x0）通过点到直线的距离公式，求出直线MA，MB的斜率分别为k1，k2的关系，通过圆C在点M处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点M的纵坐标．解答：解：设存在点M（x0，y0）满足条件设过点M且与圆O相切的直线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）则由题意得，，化简得：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则圆C在点M处的切线方程为令y=0，得切线与x轴的交点坐标为又得D，E的坐标分别为由题意知，用韦达定理代入可得，，与联立，得点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(7)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.下列各量中是向量的为( )A．动能B．重力C．功D．温度2.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．甲乙丙丁甲:0.30.30.8乙0.7:0.60.4丙0.70.4:0.5丁0.20.60.5:那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A．0.21B．0.15C．0.105D．0.0453.某公司的老年人，中年人，青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则n=( )A．400B．200C．150D．3004.“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上的面的点数”，则该试验的结果共有( )A．6种B．12种C．24种D．36种5.已知锐角△ABC的面积为3√3，BC=4，CA=3，则角C的大小为( )A．75∘B．60∘C．45∘D．30∘6.在△ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是( )A．0<C≤π6B．0<C≤π2C．π6<C<π2D．π6<C≤π27.从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A．13125B．16125C．18125D．191258. 抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为 4 或 6 时，两颗骰子的点数之积大于 20 的概率是 ( ) A ． 14B ． 13C ． 12D ． 359. 先后抛掷两枚骰子，所得点数之和为 7 的概率为 ( ) A ． 13B ．112C ． 16D ．53610. 已知平面向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 (a ⃗−2b ⃗⃗)⊥(3a ⃗+b ⃗⃗)，且 ∣a ⃗∣=12∣∣b ⃗⃗∣∣，则向量 a⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 ( ) A ． π3B ． π2C ．2π3D ．3π4二、填空题（共6题）11. 已知向量 a ⃗ 表示“向东航行 3 km ”，b ⃗⃗ 表示“向南航行 3 km ”，则 a ⃗+b ⃗⃗ 表示 ．12. 在 △ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =120∘，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．若 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−173，则实数 λ 的值为 ．13. 设复数 z 1，z 2 满足 ∣z 1∣=∣z 2∣=2，z 1+z 2=√3+i ，则 ∣z 1−z 2∣= ．14. 从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，则事件“两个数的和为 3 的倍数”的样本点个数为 ．15. 已知 ∣a ⃗∣=2，∣b ⃗⃗∣=4，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，则 a ⃗⋅b ⃗⃗= ，∣a ⃗+b ⃗⃗∣= ．16. 棱台的上、下底面面积分别是 2，4，高为 3，则棱台的体积为 ．三、解答题（共6题）17. 平面内有向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,7)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(5,1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1)（其中 O 为坐标原点），点 P 是直线 OC上的一个动点．(1) 若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标； (2) 当 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，求 cos∠APB 的值．18. 在直角三角形 ABC 中，∠C =90∘，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=3．求：(1) AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2) (AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗)．19. 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？20. 复平面内有 A ，B ，C 三点，点 A 对应的复数是 2+i ，向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 1+2i ，向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 3−i ，求点 C 在复平面内的坐标．21. 已知平面直角坐标系 xOy 中有三点 A (1,−1)，B (−2,2)，C (−2,1)，其中 O 为坐标原点．(1) 求 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的单位向量 d ⃗ 的坐标； (2) 若坐标系中一点 E 满足 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且 ∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=9√2，求点 E 的坐标；(3) 平面上的动线段 PQ 的端点 P ，Q ，满足 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣≤1，AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求动线段 PQ 所形成图形的面积．22. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =√19，b =5，c =2．(1) 求角 A 的大小； (2) 求 sinC 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】既有大小又有方向的量是向量，则B正确，A，C，D错误．【知识点】平面向量的概念与表示2. 【答案】D【解析】甲，乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙，丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲，丙比赛甲获胜的概率是0.3，根据相互独立事件的概率乘法公式，所以甲得冠军丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045．【知识点】事件的关系与运算3. 【答案】D【解析】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则100n =42+6+4，解得n=300．【知识点】分层抽样4. 【答案】D【解析】试验的结果用(x,y)表示，其中x表示第一次朝上的面的点数，y表示第二次朝上的面的点数，则试验的全部结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种．【知识点】事件与基本事件空间5. 【答案】B【知识点】三角形的面积公式6. 【答案】A【解析】根据题意，由正弦定理得1sinC =2sinA，则sinC=12sinA，因为A，C为三角形的内角，所以0<sinA≤1，所以0<sinC≤12，又因为AB<BC，且三角形中大边对大角，所以C<A，所以C是锐角，所以0<C≤π6．【知识点】正弦定理7. 【答案】D【知识点】古典概型8. 【答案】B【解析】抛掷红、黄两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表黄色骰子，当红色骰子的点数为4或6时，有(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12种情形，其中两颗骰子的点数之积大于20的有(4,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共4种，根据概率公式得，两颗骰子的点数之积大于20的概率为P=412=13．【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】抛掷两枚骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P=16．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】设a⃗与b⃗⃗的夹角为θ，因为∣a⃗∣=12∣∣b⃗⃗∣∣，所以∣∣b⃗⃗∣∣=2∣a⃗∣，因为(a⃗−2b⃗⃗)⊥(3a⃗+b⃗⃗)，所以(a⃗−2b⃗⃗)⋅(3a⃗+b⃗⃗)=3a⃗2−5a⃗⋅b⃗⃗−2b⃗⃗2=3∣a⃗∣2−5∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣cosθ−2∣∣b⃗⃗∣∣2=3∣a⃗∣2−5∣a⃗∣×2∣a⃗∣cosθ−2(2∣a⃗∣)2=−5∣a⃗∣2−10∣a⃗∣2cosθ=0,解得cosθ=−12，又 θ∈[0,π]， 所以 θ=2π3．故选C ．【知识点】平面向量的数量积与垂直二、填空题（共6题）11. 【答案】向东南航行 3√2 km【解析】根据题意由于向量 a ⃗ 表示“向东航行 3 km ”，向量 b⃗⃗ 表示“向南航行 3 km ”，那么可知 a ⃗+b⃗⃗ 表示向东南航行 3√2 km ． 【知识点】平面向量的加减法及其几何意义12. 【答案】 13【解析】解法 1（基底法）因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=[λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗]⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣2+(λ−1)∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣2+(1−2λ)AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4λ+9(λ−1)+(1−2λ)×2×3×cos120∘=19λ−12=−173,解得 λ=13．解法 2（坐标运算法）建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意有，A (0,0)，B (3,0)，C(−1,√3)，设点 M 的坐标为 (x,y )，则 (x −3,y )=λ(−1−3,√3)，即 {x =3−4λ,y =√3λ,故 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3−4λ,√3λ)⋅(−4,√3)=19λ−12=−173， 解得 λ=13．【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 2√3【解析】方法一：设 z 1=a +bi (a ∈R,b ∈R )，z 2=c +di (c ∈R,d ∈R )， 所以 z 1+z 2=a +c +(b +d )i =√3+i ，所以 {a +c =√3,b +d =1,又 ∣z 1∣=∣z 2∣=2，所以 a 2+b 2=4，c 2+d 2=4．所以 (a +c )2+(b +d )2=a 2+c 2+b 2+d 2+2(ac +bd )=4． 所以 ac +bd =−2，所以 ∣z 1−z 2∣=∣(a −c )+(b −d )i∣=√(a −c )2+(b −d )2=√8−2(ac +bd )=√8+4=2√3.方法二： 如图所示．设复数 z 1，z 2 所对应的点为 Z 1，Z 2，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+OZ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2． 由已知 ∣∣OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=√3+1=2=∣OZ 1∣=∣OZ 2∣，所以平行四边形 OZ 1PZ 2 为菱形，且 △OPZ 1，△OPZ 2 都是正三角形， 所以 ∠Z 1OZ 2=120∘，∣Z 1Z 2∣2=∣OZ 1∣2+∣OZ 2∣2−2∣∣OZ 1∣∣OZ 2∣cos120∘=22+22−2⋅2⋅2⋅(−12)=12.所以 ∣z 1−z 2∣=∣Z 1Z 2∣=2√3．【知识点】复数的代数形式、复数的加减运算14. 【答案】 2【解析】从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，样本空间为 {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，有 6 个样本点，事件“两个数的和为 3 的倍数”包含的样本点有 (1,2)，(2,4)，共 2 个． 【知识点】事件与基本事件空间15. 【答案】 −4 ； 2√3【知识点】平面向量的数量积与垂直16. 【答案】 6+2√2【解析】V 棱台=13×(2+4+√2×4)×3=13×3×(6+2√2)=6+2√2.【知识点】棱台的表面积与体积三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(174,178)． (2)−4√1717． 【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算18. 【答案】(1) 提示：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−∣AB∣⋅∣AC∣⋅cosA =−∣AC∣2=−9.(2) (AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9+9+0+(−16)= 2. 【知识点】平面向量的数量积与垂直19. 【答案】不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为 (0,0)，它所确定的复数是 z =0+0i =0，表示的是实数．【知识点】复数的几何意义20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ， 设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ， 故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)． 【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】(1) AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,3)， 所以 d ⃗=(√22,√22) 或 d ⃗=(−√22,−√22)． (2) 因为 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以设 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3λ,3λ)(λ≠0)， 因为 ∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=9√2，所以 √(−3λ)2+(3λ)2=9√2，解得：λ=±3，所以 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−9,9) 或 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9,−9)， 所以 E 点坐标为 (−11,10) 或 (7,−8)．(3) 设 P (x,y )， 因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3， 所以 −3(x −1)+3(y +1)=3，即 y =x −1, ⋯⋯① 因为 ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣≤1， 所以 √(x −1)2+(y +1)2≤1, ⋯⋯② ①式代入②式解得：0≤x ≤1， 记 P 点运动轨迹为线段 PPʹ，因为 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 P ，A ，Q 三点共线，记 Q 的轨迹为线段 QQʹ，动线段 PQ 所形成的图形为 △APPʹ 与 △AQQʹ，且 △APPʹ≌△AQQʹ， △APPʹ 面积为 12，所以 △AQQʹ 面积为 2，所以动线段 PQ 所形成的图形面积为 52．【知识点】平面向量的坐标运算、平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算22. 【答案】(1) 在 △ABC 中，根据余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc=25+4−1920=12，因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π3．(2) 在 △ABC 中，根据正弦定理 a sinA =c sinC ，得 sinC =csinA a=2×√32√19=√5719． 【知识点】正弦定理、余弦定理。
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高一数学必修2期末复习题
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )．
A ．21
B ．23
C ．22
D ．2
23 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
3．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )．
A ．2x ―y ―1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2
1
y －1＝0 4．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．
A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
5．已知点A (2，3)，B (－2，1)，则|AB |＝( )．
A ．5
B ．25
C ．42
D ．2
6．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，
CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角余弦值是( )．
A ．
515 B ．22 C ．
510 D ．0
7. 如果直线210x y +-=和y kx =互相平行，则实数k 的值为
A ．2
B ．12
C ．2-
D ．12
- 8. 下面图形中是正方体展开图的是
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 在空间中，a 、b 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出//a b 的是
A ．,,//a b αβαβ⊂⊂
B ．//,a b αα⊂
C ．,a b αα⊥⊥
D ．,a b αα⊥⊂
10. 如图，正方体ABCD A B C D ''''-中，直线D A '与DB
所成的角可以表示为
A ．D D
B '∠ B ．AD
C ''∠
C ．ADB ∠
D ．DBC '∠
11．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三
角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是
A ．1CC 与1
B E 是异面直线 B ．A
C ⊥平面11ABB A
C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥
D ．11//AC 平面1AB E
12．如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ）
A ． 33-
B ．3
3 C ． 3- D ．3
二、填空题
13． 在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是
_____________．
14．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 .
15．如图：四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C
的平面角为 .
16．坐标原点到直线43120x y +-=的距离为___________．
17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，棱锥1A ABCD -的体
积与长方体的体积之比为_________．
三、解答题
18．求斜率为4
3，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．
19．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，四条侧棱均相等，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；
(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值..
20．已知直线l 经过点(0, 2)-，其倾斜角的大小是60.
（1）求直线l 的方程； （2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积.
21．已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线L 平行于AB,且分
别交AC,BC 于E, F,三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的4
1.求直线L 的方程.
22．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：
（1）PA ∥平面BDE
（2）平面PAC ⊥平面BDE。