2020年考研数学三真题及答案及解析
2020考研数学(三)真题(含解析)
，
而 cos f '(x) cos f '(x) ，故 cos f '(x) 也为偶函数，故 cos f '(x) f (x) 为非奇非偶函数。
(4) 已知幂级数 nan (x 2)n 的收敛区间为(−2,6) ，则 an (x 1)2n 的收敛区间为
n1
n1
(A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15)
（C） x k11 k23 k34
【答案】 C
（D） x k12 k23 k34
4
(5)设 4 阶矩阵 A (aij ) 不可逆， a12 的代数余子式 A12 0 ，1,2,3,4 是矩阵 A 的列向量组， A*为
A 的伴随矩阵，则 A* x 0 的通解为（
）
（A） x k11 k22 k33
（B） x k11 k22 k34
f ( x)a f ( x) a
ua u a
【解析二】由拉格朗日中值公式得 sin f (x) sin a ( f (x) a)cos ，其中 介于 a 与 f (x) 之间，
由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，故 lim a ，
）
xa x a
xa
xa
（A） bsin a （B） bcos a （A） bsin f (a) （A） bcos f (a)
【答案】B
【解析一】由 lim f (x) a b ，知 lim f (x) a 0 ，即 lim f (x) a ，
xa x a
2020年全国硕士研究生招生考试(数学三)--答案解析
y))dy
dz (0, ) ( 1)dx dy
10. y x 1
解析：x y e2xy 0 两边对 x 求导得1 y ' e2xy 2( y xy ') 0 带入 (0, 1) 得 y ' 1 则切
线方程为 y x 1。
11.8
解析 L(Q) PQ C(Q)
700 1600 16Q Q2
e n
ex 2 sin 2x
n
ex 4 cos 2xdx
n
，
en 4an
从而 an
1 en 5
，则
n1
an
1 5
n1
e
n
e
5 1 e
1 5 e 1
18.解：令 A f x, y dxdy ，则对函数两边求二重积分可得
D
A y 1 x2 dxdy A xdxdy ，
05÷÷÷÷ .
5
所以 P1T AP1 = P2T BP2 ， P2 P1T AP1P2T = B
2 1 1 -2
4 -3
所以 Q = P1P2T =
5 1
5 -2
5 2
5= 5
5.
1
-3 -4
5
55 5
55
21.（1）由于 P = (α, Aα) ， α ¹ 0 ，且 lα ¹ Aα 则 α 与 Aα 不成比例，且 α ¹ 0 ，故 P 可逆.
从而两边积分得 xf (x, y)dxdy xy 1 x2 dxdy A x2dxdy ，而由积分区域关于 y
D
D
D
轴对称，而 xy 1 x2 为 x 的奇函数，得 xy 1 x2 dxdy 0 ，而 D
x2dxdy
2020年考研数学三真题及答案解析
设 k1(α1 α2 ) k2α2 0 ，即 k1α1 (k1 k2 )α2 0 ，
由于 α1, α2 线性无关，故 k1 k2 0 可知 α1 α2 , α2 线性无关.
α3 是 A 属于特征值 1的特征向量，即 Aα3 α3 ，因此 A(α3) (α3 ) ，即 α3 也是 A 属于特征值 1的特征向量
1 0 0
属于特征值
1的特征向量，则满足
P 1 AP
=
0
1
0
的可逆矩阵
P
为
（
）
0 0 1
（A） α1 α3, α2 , α3 .
（B） α1 α2 , α2, α3 .
（C） α1 α3, α3, α2 .
（D） α1 α2 , α3, α2 .
（6）【答案】（D）.
【解析】α1, α2 是 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量，即 Aα1 α1, Aα2 α2 ， 故 A(α1 α2 ) α1 α2 ，即 α α2 也是 A 属于特征值 1 的特征向量.
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
xa
xa
xa
xa
xa
b lim cos b cos a. a
故应选（B）.
1
（2）若 f x e x1 ln 1 x , 则 f x 第二类间断点的个数为
ex 1 x 2
2020年考研数三真题及答案解析(完整版)
考研数三真题及答案解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）．2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n p n a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121 ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i =+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．)22)2((111122a b b aa b aaA E -++--=---------=-λλλλλλλ从而可知b a b 2222=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221N X N X N X ，{}22≤≤-=i i X P P ，则（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2σμN X ，则)1,0(~N X σμ-1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ， {}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭⎫⎝⎛Φ+．故选择（A ）．8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为X 0 1 2 3P P1/21/41/81/8Y -1 0 1 P1/31/31/3则{}==+2Y X P （ ）（A ）121 （B ）81 （C ）61 （D ）21 【详解】{}{}{}{}612412411211,30,21,12=++=-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】 设()xyy z z y x F x -+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(x e x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．13．设()ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+TA A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从而可知A AA A T -===-13**，所以A 可能为1-或0．但由结论⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只能为3，所以.1-=A14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()=XXeE 2． 【详解】()=X Xe E 2dx ex e dx ex dx exe x x x x⎰⎰⎰∞+∞---∞+∞-+--∞+∞--+-==2)2(222)2(22222)22(2221πππ22222222)(2222e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为22e ．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出所有矩阵C ．【详解】显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x xx x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-b ax x xx x ax x ax ax x 1103243142132，即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-bax x x x x ax x ax ax x 3243142132110，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b a a b a aa ab A 000010000001011101010111011010010|， 所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000000000011011101|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵C 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=211211C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．21．（本题满分11分） 设二次型23322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．（1）证明二次型f 对应的矩阵为 TTββαα+2；（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 【详解】证明：（1）()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=321321321321321321321321321321321321321321233221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f TT TT ββααββαα所以二次型f 对应的矩阵为 TT ββαα+2． 证明（2）设=A TTββαα+2，由于0,1==αβαT 则()ααββαααββααα2222=+=+=T TT A ，所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；()ββββααβββααβ=+=+=222T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向量；而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T T T Tr r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．故f 在正交变换下的标准形为 22212y y +． 22．（本题满分11分）设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x f X ，在给定)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(32x y x y x y f XY ．（1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：()⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2x y x x y x f x y f y x f X XY（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：⎪⎩⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞-其他,010,ln 99),()(212y y y dx x y dx y x f y f yY 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,);(32x e x x f x θθθ，其中θ为为未知参数且大于零，n X X X ,21为来自总体X 的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）θθθ===⎰⎰∞+-∞+∞-022)()(dx e xdx x xf X E x ，令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==ni i X n X 11θ．（2）当),2,1(0n i x i =>时，似然函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏∏ni i ix n i i n ni x i ex e x L 11312132)(θθθθθ， 取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ni i n i i x xn L 11ln 31ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i ix n θ， 解得的极大似然估计量为．精品 Word 可修改 欢迎下载1、最困难的事就是认识自己。
2020年数学(三)试题及答案解析
.
11. Q 表示产量，成本函数 CQ 100 13Q, ，单价为
p ，需求量 q p
800 2. 则工 p3
厂取得利润最大时的产量为
.
12.设平面区域
D
x, y
x 2
y
1 1 x2
,0
x
1,
则
D
绕
y
轴旋转所成旋转体体积
为
.
a 0 1 1
B. 5 X Y
5
C. 3 X Y
3
D. 3 X Y
3
二、填空题（9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位
置上）
9.设 Z arctan xy sin x y , 则dz 0,
.
10.曲线 x y e2xy 0 在点 (0，-1) 处的切线方程为
第二类间断点个数（
ex 1 x 2
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.幂级数 nan x 2n 的收敛区间为（-2,6），则 an x 1 2n 的收敛区间为（ ）
n1
n1
2
A. - 2,6
B. - 3,1
C. - 5,3
D. -17,15
当需求量与产量相同时最大
Q 800 2 p3
11
解得
p
794 Q
3Q 2
,
所以
L(Q)
Q
794 Q
3Q 2
100
13Q
则
L(Q)
(794
2020考研数学三真题及答案解析
(11)设产量为 Q ，单价为 P ,厂商成本函数为 C(Q=) 100 +13Q ，需求函数为 Q= (P) 800 − 2 ，
P+3
求厂商取得最大利润时的产量
【答案】 Q = 8
【解析】由 Q= (P) 800 − 2 可知=P 800 − 3 ，则利润函数为
P+3
Q+2
L(Q)=
800 Q+2
在 x = 2 处， lim f (x) = −∞ ， lim f (x)= +∞ ；
x→2−
x→2+
所以，第二类间断点为 3 个。
(3) 对奇函数 f (x) 在 (−∞, + ∞) 上有连续导数，则( )
(A).
x
∫0
[cos
f
(t) +
f
′(t )] dt
是奇函数
(B).
x
∫0
[cos
f
(t) +
(6)设 A 为 3 阶矩阵，α1,α2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，α3 为 A 的特
1 0 0
征值 −1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P−1= AP
0
−1
0
，则
P
可为（
）
0 0 1
（A） (α1 + α3, α2 , −α3)
（B） (α1 + α2 , α2 , −α3 )
4
则 lim an+1 (x + 1)2n = 1 (x + 1)2 < 1 ，即 −3 < x < 1
a n→∞ n
4
所以本题选 B 。
2020年考研数学(三)真题(后附解析答案)
2020年全国硕士研究生招生考试数学(三)(科目代码：303)一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母写在题后的括号内.)(1)设1口心—°= b,则lim sinfQ)—sina=().x-^a x——a x-*a3C——a(A)6sin a(B)6cos a(C)6sin/(a)iIn I14-rr I(2)函数心)=二的第二类间断点的个数为((e—1)(j?—2)(A)l(B)2(03(3)设奇函数心)在(-00,-1-00)上具有连续导数，则().(A)f[cos/"(/)+/^(Olldr是奇函数J0(E)「[cos/(i)+/(O]d^是偶函数J0(C)[[cos/"'(/)+y(t)]d/是奇函数J0(D)「[cos是偶函数J0(D)bcos/(a) ).(D)4(4)设幕级数—2)"的收敛区间为(一2,6),则工a”Q+l)2n的收敛区间为().n=\n=1(A)(-2,6)(B)(-3,l)(0(-5,3)(D)(-17,15)(5)设4阶矩阵A=(a“)不可逆,a*的代数余子式A12丰O,aj,a2,a3,a,为矩阵A的列向量组,A*为A的伴随矩阵，则方程组A*X=0的通解为().(A)X=^1a1+^2a2+^3a3,其中k x,k2,k.为任意常数(B)X=^1a1+k2a2+k3a4,其中k,,k2,k3为任意常数(C)X=bS+展as+匕。
4,其中紅,k2,k3为任意常数(D)X=k i a2k2a3+怂。
4,其中ki,k2^k3为任意常数(6)设A为3阶矩阵,a】，a?为A的属于特征值1的线性无关的特征向量,as为A的属于特征I1°°\值一1的特征向量，则满足P_1AP=0-10的可逆矩阵卩为().'o01'(A)(a j a3,a2,—a3)(B)(a〕+ct2，a2，—a3)(C)(a1+a3,—a3,a2)(D)(a T+a2»—a3,a2)(7)设A,B,C为三个随机事件，且PC A)=P(£)=P(C)=±,P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=2，412则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为().3215(A)Z(B)T(C)7(D)12(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0；1,4；-，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X相互独立的是().(A)啤(X+Y)(B)尝(X—丫)55(C)y(X+Y)(D)y(X-Y)二、填空题(9〜14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在题中的横线上.)(9)设z=arctanRy+sin(z+了)],贝0dz|(0,…)=______.(10)曲线jc y+e2iy=0在点(0,—1)处的切线方程为________.(H)设某厂家生产某产品的产量为<2,成本C(Q)=100+13Q,该产品的单价为/,需求量—2,则该厂家获得最大利润时的产量为(12)设平面区域。
2020考研数学(三)答案解析
P(A B C) 3 0 1 1 0 7 , 4 12 12 12
P(AB AC BC) P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC) P( ABC) P( ABC) P( ABC)
0 1 1 0 1, 12 12 6
故 P( ABC ABC ABC) 7 1 5 . 故应选（D）. 12 6 12
是奇函数.
x
（B） 0 cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
x
（C） 0 cos
f
t
f
t dt
是奇函数.
（D）
x
0
cos
f
t
f
t dt
是偶函数.
（3）【答案】（A）.
【解析】因为 f x 在 , 上具有连续导数，且为奇函数，故 f x 为偶函
数，又 cos f x 也为偶函数，从而 cos f t f t 为偶函数，进而
（D） x k1α2 k2α3 k3α4 ，其中 k1, k2 , k3 为任意常数.
（5）【答案】（C）.
【解析】由 A 不可逆知， r A 4 ，又元素 a12 对应的代数余子式 A12 0 ，故 r A 3 ，从而 r A 3 .
n, r A n,
由 r A* 1, r A n 1, 可知 r A* 1.
e
lim
n ln(1 1 )
en
e
n
b
n
b
na
na
lim
n ln(1 1 )1
e(e n
1)
e
lim
n ln(1
1) n
1 ,
n
b
n
b
na
2020考研数学三真题及解析
2020考研数学三真题及解析一、选择题：1~8 小题，第小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设()sin ()sin lim,limx x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlim cos cos .x a x a f x a f x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x x x x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n nn a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴= 22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是 A.5()5X Y + B.5()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12()cov(,)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d z z z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z z x x y y xy x y y∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ Q Q Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn a n n n an an n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y ∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e 2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n x n n x x n n n nn n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1n n i i n n aππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.21(,)(,)d d x Df x y y x f x y x y -=+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D 如图：2(,)1(,)d d Df x y y x x f x y x y =-+⎰⎰两边积分得2(,)d d 1d d (,)d d d d D DD D f x y x y y x x y f x y x y x x y =-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰21122001d d 2d 1d x D y x x y x y x y--=-⎰⎰⎰⎰1220121(1)d 2x x x =-⋅-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =+从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ=所以θ的最大似然估计值θ。
2020年考研数学三真题及答案解析
考研数学三真题 一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则For personal use only in study and research; not for commercial useA 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是For personal use only in study and research; not for commercial useA 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not for commercial useCf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12.13.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
2020年考研数学三真题与及解析
2020年考研数学三真题与及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y xzx x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+- ()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11nii X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()ni i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++=12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x udt du =-=-，0t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33txuu x x x x x dt edu du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21lim ln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)kx x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则 22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<． 19．（本题满分10分）设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数（1）证明0n n n a x ∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0nn n a x ∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x ∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭； 又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数． 21．（本题满分11分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ ==⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =； 当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭；.word 范文所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11ni i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z σπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2020数三真题与解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.已知极限limx→a f(x)−ax−a=b ，则limx→asin f(x)−sin ax−a=（ ）（A ） b sin a （B ）b cos a （C ）b sin f(a) （D ）b cos f(a) 【答案】（B ） 【解析】limx→asin f(x)−sin ax−a=limx→asin f(x)−sin a f(x)−af(x)−a x−a=b cos a2.奇函数f(x)具有连续导数，下列正确的是（ ） （A ）∫[cos f(t)+f ′(t)]x0dt 为奇函数 （B ）∫[cos f(t)+f ′(t)]x 0dt 为偶函数 （C ）∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为奇函数 （D ）∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为偶函数 【答案】（A ）【解析】f(x) 为奇函数，f ′(x )为偶函数，cos f(x) 为偶函数，则cos f(x)+f ′(x)为偶函数，故∫[cos f ′(t)+f(t)]x0dt 为奇函数. 3.函数f(x)=e 1x−1ln |1+x|(e x −1)(x−2)的第二类间断点个数为（ ） （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（C ）【解析】间断点为x =−1,0,1,2为无穷间断点lim x→−1f(x)=∞为无穷间断点，lim x→0f(x)=−12e 为可去间断点，lim x→1f(x)=∞为无穷间断点， lim x→2f(x)=∞为无穷间断点。
4.幂级数()12∞=-∑nn n na x 的收敛区间为 (−2,6)，求()211∞=+∑nn n a x 的收敛区间为（ ）（A ）(−5,−3) （B ）(−3,1) （C ）(−5,3) （D ）(−5,2) 【答案】（B ）【解析】()12∞=-∑nn n na x 的收敛区间为(−2,6)，则1∞=∑n n n a x 的收敛半径为R =4，则21∞=∑nn n a x 的收敛半径为R =2，则()211∞=+∑nn n a x 的收敛区间为(−3,1)5.已知四阶矩阵A =a ij 不可逆，a 12的代数余子式A 12≠0，α1,α2,α3,α4为矩阵A 的列向量组，A ∗为A ，则方程组A ∗x =0的通解为（ ） （A ）x =k 1α1+k 2α2+k 3α3，其中k 1,k 2,k 3为任意常数 （B ）x =k 1α1+k 2α2+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数 （C ）x =k 1α1+k 2α3+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数 （D ）x =k 1α2+k 2α3+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数 【答案】（B ）【解析】因为A =a ij 不可逆，所以r(A)<4，又因为A 12≠0，所以r(A)≥3，所以r(A)=3,r (A ∗)=1，因为A 12≠0，所以α1,α3,α4线性无关，又因为AA ∗=o ， 所以A ∗x =0的通解x =k 1α1+k 2α2+k 3α4，其中k 1,k 2,k 3为任意常数。
2020考研数学三真题及解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()limx af x f a b x a →-=-，则sin ()sin lim x a f x ax a→-=- （ ）（A ）sin b a （B ）cos b a （C ）sin ()b f a （D ）cos ()b f a 【答案】（B ） 【解析】由()lim,x a f x ab x a →-=-得(),()f a a f a b '==，则（2）函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为 （）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（C ）【解析】由题设，函数的可能间断点有1,0,1,2x =-，由此11121111ln 1lim ()limlim ln 1(1)(2)3(1)x x x x x e x ef x x e x e ---→-→-→-+==-+=-∞---； 111000ln 1ln(1)1lim ()lim lim (1)(2)22x x x x x e x e x f x e x x e--→→→++==-=---； 1111111111111ln 1ln 2lim ()lim lim 0;(1)(2)1ln 1ln 2lim lim ;(1)(2)1x x x x x x x x x x x e x f x e e x e e x e e x e ---++--→→→--→→+===---+==-∞---；112222ln 1ln 31lim ()limlim (1)(2)(1)2x x x x x e x e f x e x e x -→→→+===∞---- 故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C ）正确。
2020年数学三真题答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．(1)设()limx af x a b x a →-=- ，则sin ()sin lim ()x a f x ax a→-= -(A).sin b a (B).cos b a (C).sin ()b f a (D).cos ()b f a 【答案】B 【解析】x x sin ()sin sin ()sin ()limlim cos ()cos ()()x a a a f x a f x a f x af x b b f a x a f x a x a=→→---=⋅=⋅=--- 设()f x u =，则()()sin ()sin sin sin lim =lim cos cos ()()u f a x a u f a f x a u au f a f x a u a=→→--==--则x sin ()sin sin ()sin ()sin ()sin ()limlim lim lim()()=cos x a a x a x a f x a f x a f x a f x a f x a x a f x a x a f x a x a b a→→→→-----=⋅=⋅-----(2)函数11ln 1()(1)(2)x x e xf x e x -+=--，则第二类间断点个数为（）(A).1 (B).2(C).3 (D).4 【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为：1.找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。
第二类间断点的定义为00(),()f x f x -+至少有一个不存在，很显然()f x 不存在的点为1,0,1,2x x x x =-===。
在1x =-处，11lim (),lim ()x x f x f x -+→-→-=-∞=-∞；在0x =处，+1lim ()lim ()=2x x f x f x e-→→=-； 在1x =处，111lim 0x x e --→=，111lim x x e +-→=+∞，1lim ()0x f x -→=，+1lim ()x f x →=-∞； 在2x =处，2lim ()x f x -→=-∞，+2lim ()+x f x →=∞； 所以，第二类间断点为3个。
2020考研数学三真题及答案解析
的收敛区间，只需要求出
lim
n→∞
an+1 an
的值即可，
∞
而条件告诉我们幂级数 ∑ nan (x − 2)n 的收敛区间为 (−2, 6) ，即收敛半径为 4 n=1
lim (n = + 1)an+1 lim n += 1 an+1 li= m an+1 1
n→∞ nan
n→∞ n an
a n→∞ n
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积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于 C和D 选项， f ′(x) 为偶
函数，则 cos= f ′(x) cos f ′(−x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则 cos f ′(x) + f (x) 既非奇函数又
非偶函数。
∞
∞
(4).已知幂级数 ∑ nan (x − 2)n 的收敛区间为 (−2, 6) ，则 ∑ an (x + 1)2n 的收敛区间为
2020 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题及解析
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分．下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的．
(1)设 lim f (x) − a = b ，则 lim sin f (x) − sin=a ( )
x→a x − a
x→a
x−a
（A） x =k1α1 + k2α2 + k3α3 （C） x = k1α1 + k2α3 + k3α4
（B） x =k1α1 + k2α2 + k3α4 （D） x = k1α2 + k2α3 + k3α4
2020年全国硕士研究生入学考试数学三试题完整版附答案解析
为 X 独立的是（）.
A. 5 ( X + Y ) B. 5 ( X −Y ) C. 3 ( X + Y ) D. 3 ( X −Y )
5
5
3
3
答案： B
解析：
E
5 5
(X
− Y )
=
5 E(X −Y) = 5
5 (0 − 0) = 0 5
D
5 (X 5
−
Y
)
=
1 5
D(
X
−
Y
)
=
1 5
6.设 A 为 3 阶矩阵 a1, a2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量， a3 为 A 的属于特征
1 0 0
值-1
的特征向量，则满足
P
−1
AP
=
0
−1
0
的可逆矩阵为
0 0 1
A.(a1 + a3, a2 ,-a3) B.(a1 + a2, a2 ,-a3) C.(a1 + a3, −a3 ,a2 ) D.(a1 + a2, −a2 ,a2 )
2020 年全国硕士研究生入学考试数学三试题
完整版附答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上．
f (x)−a
sin f ( x) − sin a
1.设 lim
= b, 则 lim
=
x→a x − a
x→a
x−a
A. b sin a
B. b cos a
C. b sin f (a)
2020考研数学三真题及答案解析【完整版】
2020考研数学三真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设lim(),limsin ()sin x x f x a f x ab x a x a→∞→∞--=--则A.sin b a B.cos b a C.sin ()b f a D.cos ()b f a 答案：B解析：sin ()sin [()]limlimcos cos .x a x a f x af x a b a x a x aξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）∴选B2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数A.1B.2C.3D.4答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim limlim (1)(2)222x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1122ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)x x x x e x f x e x ---→→+==--1111ln |1|lim ()lim (1)(2)x xx x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1111ln |1|lim ()lim(1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则A.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是奇函数B.[]0cos ()'()xf t f t dt +⎰是偶函数C.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是奇函数D.[]0cos '()()xf t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：()[cos ()()]d xF x f t f t t'=+⎰()cos ()()F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.()F x 为奇数∴选A4.设幂级数1(2)nnn na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)nnn a x ∞=+∑的收敛区间为A.（-2，6）B.（-3，1）C.（-5，3）D.（-17，15）答案：B 解析：由于1111(1)11limlim 4n n n n n n n a a na a R ρ++→∞→∞+====12121lim4.4n n na R a ρρ+→∞===∴=22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），∴选B.5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*0A x =的通解为A.112233x k k k ααα=++B.112234x k k k ααα=++C.112334x k k k ααα=++D.122334x k k k ααα=++答案：C 解析：∵A 不可逆∴|A |=0∵120A ≠∴()3r A =∴*()1r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的可逆矩阵P 为A.1323(,,)αααα+-B.1223(,,)αααα+-C.1332(,,)αααα+-D.1232(,,)αααα+-答案：D解析：1122,A A αααα==33A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭ P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.α-1232(,,)P αααα∴=+-∴选D7.设,,A B C 为三个随机事件,且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.34 B.23C.12D.512答案：D 解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ==-()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是A.()5X Y +B.()5X Y -C.()3X Y +D.()3X Y -答案：C解析：[]12(),)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦[]123352133()03()~(0,1).3DX DY E X Y X Y N =++=-=⎤+=⎥⎣⎦+二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定的位置上9.设arctan[sin()],z xy x y =++则(0,)d |z π=________.解析：d d d zz z x y x x∂∂=+∂∂2(0,π)1[cos()],π11[sin()]z z y x y x xy x y x ∂∂=++=-∂+++∂2(0,π)1[cos()],11[sin()]z zx x y y xy x y y ∂∂=++=-∂+++∂∴(0,π)(π1)d d zx y x ∂=--∂10.曲线2e 0xyx y ++=在点（0，-1）处的切线方程为________.解析：21(22)0xy y e y xy ''+++=①将0,1x y ==-代入①得1.y k '==11(0)1.y x y x ∴+=-=-即11.Q 表示产量，成本()10013C Q Q =+，单价p ，需求量800() 2.3Q P P =-+则工厂取得利润最大时的产量为______.解析：()L QP C Q =-8003100132800161002Q QQ QQ Q ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭=--+22160016(2)()0(2)8Q L Q Q Q -+'==+∴=12.设平面区域21(,),0121x D x y y x x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，则D 绕y 轴旋转所成旋转体体积为______.解析：11222102x dy x dyππ+⎰⎰1122102121312014141ln 32411ln 23821ln 23y dy dyy y y πππππππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰13.行列式01101111011a a a a --=--________.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.0a a a a a a a aaa a a a a aa aaaa a a aa a a----=----+-+-==----=--=-14.随机变量X 的概率分布1{},1,2,32kP X k k Y ===…，表示X 被3除的余数，则()E Y =______.解析：{0}{3,1,2.}P Y P X k k ====L 3101{1}{31,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 321{2}{32,0,1,2.}2k k P Y P X k k ∞+====+==∑L 313211()1222k k k k E Y ∞∞++===⋅+⋅∑∑111111221188=+--87=三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b 为常数，11e nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭与a b n ，当n →∞时为等价无穷小，求,a b .15.【解】1ln 11ln 112111e 11lim lim [e e]1lim e[e 1]11lim e ln 11111lim e 1211lim e 2nn an n n an a n n a n a n a n n n b b n n b n n b n n n b n n n b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭→∞→∞→∞-→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭==-=⋅⋅-⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭10a ∴-=1e 112a b ⎛⎫∴=⋅-= ⎪⎝⎭e 2b =-16.求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：.求一阶导可得22324fx y x fy x y∂=-∂∂=-∂令100601012f x x x f y y y∂⎧⎧==⎪⎪=⎧∂⎪⎪⎨⎨⎨∂=⎩⎪⎪==⎪∂⎪⎩⎩可得求二阶导可得2222226148f f fx y x x y y∂∂∂==-=∂∂∂当0,00. 1.0x y A B C -====-=时.20AC B -<故不是极值.当11612x y ==时1. 1. 4.A B C ==-=2110.10,612AC B A ⎛⎫->=> ⎪⎝⎭故且极小值极小值33111111,8661261212216f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.若250,(0)1,(0)1y y y f f ''''++===-，则（1）求()f x （2）()d n n a f x x π+∞=⎰,求1nni a =∑解析：（1）250y y y '''++=的特征方程为2250r r ++=∴1212r i⋅=-±∴12()e (cos 2sin 2)xy x c x c x -=+1212()e (cos 2sin 2)e (2sin 22cos 2)x x y x c x c x c x c x --'=-++-+∵(0)1,(0)1y y '==-∴121,0c c ==∴()ecos 2xy x x-=（2）()d e cos 2d x n n n a f x x x xππ+∞+∞-==⎰⎰cos 2d e cos 2e e d cos 2e2e sin 2d e 2sin 2d e e 2sin 2e 2e cos 2d 5e 1e 5x x x n n n n x n n xn n xx n n n n n n x x x x x x x x x a a ππππππππππππ+∞+∞+∞---+∞--+∞--+∞+∞-----=-=-⋅+=--=-+=-+-+∴=-∴=-⎰⎰⎰⎰⎰211[e e e ]51e [1e ]51e 11e 5e 1nn i i n n a ππππππππ---=----=-+++-=-⋅--=-⋅-∑…18.(,)(,)d d Df x y x f x y x y =+⎰⎰其中221(,)0x y D x y y ⎧⎫+≤⎪⎪=⎨⎬≥⎪⎪⎩⎭求(,)d Dxf x y σ⎰⎰解析：积分区域D如图：(,)(,)d d Df x y x f x y x y =⎰⎰两边积分得(,)d d d (,)d d d d D DD D f x y x y x y f x y x y x x y =+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰100d 2d D x y x y=⎰⎰⎰2012(1)d 2x x =-⎰31220(1)d x x =-⎰42031πsin cos d 422x t t t π==⋅⋅⎰3π16=d d 0Dx x y =⎰⎰所以3π(,)d d 16D f x y x y =⎰⎰3π(,)16f x y x =从而23π(,)d d d d d 16D D Dxf x y x y x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰23πd d 16Dx x y =⎰⎰12003πd d 16x y =⎰13π16x x =⎰22203πsin sin cos d 16x t t t t π=⎰22203πsin (1sin )d 16t t t π=-⎰3π1π31π1622422⎛⎫=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3π256=19.()f x 在[0,2]上具有连续导数，max{|()|},[0,2]M f x x =∈（1）证[0,2]|()|M f ξξ'∃∈≤（2）若[0,2]|()|0x f x M M '∀∈≤=则解析：证明：（1）由max{|()|}[0,2]M f x x =∈，知存在[0,2]c ∈，使|()|f c M =，若[0,1]c ∈由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c ξ∈，使()(0)()()f c f f c f c c ξ-'==从而|()||()|f c M f M c cξ'==≥若(1,2]c ∈，同理存在(,2)c ξ∈使(2)()()()22f f c f c f c c ξ--'==--从而|()||()|22f c M f M c c ξ'==≥--综上，存在(0,2)ξ∈，使|()|f M ξ'≥.（2）若0M >，则0,2.c ≠由(0)(2)0f f ==及罗尔定理知，存在(0,2)η∈，使()0,f η'=当(0,]c η∈时，00()(0)()d |()||()(0)||()|d ,cc f c f f x x M f c f c f f x x Mc '-='==-≤<⎰⎰又2(2)()()d c f f c f x x'-=⎰2|()||(2)()||()|(2)c M f c f f c f x dx M c '==-≤≤-⎰于是2(2)2M Mc M c M <+-=矛盾.故0.M =20.设二次型22121122(,)44f x x x x x x =++经正交变换1122x y Q x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为二次型22121122(,)4g y y ay y y by =++，其中a b ≥.（1）求,a b 的值.（2）求正交矩阵Q .解析：（1）设1-22==-242a A B b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由题意可知T 1.Q AQ Q AQ B -==∴A 合同相似于B∴144a ba b ab +=+⎧≥⎨=⎩∴ 4.1a b ==（2）212||524E A λλλλλ--==--∴A 的特征值为0，5当0λ=时，解(0)0E A x -=.得基础解为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当5λ=时，解(5)0E A x -=得基础解为212α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦又B 的特征值也为0，5当0λ=时，解(0)0E B x -=得1212βα⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，解(5)0E B x -=得2121βα⎡⎤==⎢⎥⎣⎦对12,αα单位化111222||||αγααγα====令112221[,],[,]Q Q γγγγ==则T T 11220005Q AQ Q BQ ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦故T T 2112Q Q AQ Q B=可令T 1243553455Q Q Q =⎤⎥⎥=⎥⎥⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦21.设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.（1）证明P 为可逆矩阵（2）若260A A ααα+-=，求1P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.21(,)(,)06()1106.11AP A A A A x A P AP ααααα-==⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭故(2)由260A A ααα+-=设2(6)0(3)(2)0A A E A E A E αα+-=+-=由20(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾|3|0|2|0A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为123 2.λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化22.二维随机变量(,)X Y在{(,)0D x y y =<<上服从均匀分布11000X Y Z X Y ->⎧=⎨-≤⎩ ，21000X Y Z X Y +>⎧=⎨+≤⎩ （1）求12(,)Z Z 联合分布（2）12Z Z ρ解析：（1）(,)x y服从均匀分布则2,0(,)0,y f x y π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他则121{0,0}{,}4P Z Z P X Y X Y ===≤≤-=121{0,1}{,}2P Z Z P X Y Y X ===≤>-=12{1,0}{,}0P Z Z P X Y X Y ===>≤-=121{1,1}{;}4P Z Z P X Y X Y ===>>-=（2）12,Z Z的相关系数ρ=1113116444.3316=-⋅==23.设某种元件的使用寿命T 的分布函数为1e,0,()0,.mt t F t θ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪-≥=⎨⎪⎩其他其中m θ,为参数且大于零.（1）求概率{}P T t >与{|}P T S t T S >+>，其中0,0S t >>.（2）任取n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,,n t t t …，若m 已知，求θ的最大似然估计值ˆθ.解析：（1）{}1()m t P T t F t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=-={}{}mt P T s t T s P T t e θ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+>=>=(2)1.,0()()0t m m m m t e t f t F t else θθ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⎧⎪≥'==⎨⎪⎩ 似然函数()1()n i i L f t θθ==∏，()11100n m m i i t m n mn n i m t t e t else θθ-=---⎧∑⎪≥=⎨⎪⎩ 当120,0,,0n t t t ≥≥≥ 时()111()nm mi i t m n mn n L m t t e θθθ-=---∑= 取对数11ln ()ln ln (1)ln n nm mi i i i L n m mn m t t θθθ-===-++-∑∑求导数(1)1ln ()n m m i i d L mn m t d θθθθ-+==-+∑令ln ()0d L d θθ=解得θ所以θ的最大似然估计值θ。