6.2. 矩形的性质与判定(一)
九年级数学（北师大版）上册教案：1.2矩形的性质与判定（1）
第一章特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定（一）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）[来源:21世纪教育网学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．[来源:学*科*网Z*X*问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，•那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质与判定(一)
矩形的性质与判定（一）双流县西航港二中杜安兴一、学情分析●学生已有知识和生活经验学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习经验和感受，同时学生在生活中接触过大量的与矩形有关的图案和物品，对矩形有较多的感性认识和实践经验，这将更有利于学生对本节课的学习.●学生起点能力分析通过初一阶段空间与图形的学习学生已经掌握了平面图形及其位置关系、平行线与相交线、三角形的相关知识，具有了一定的图形观察、分析、说理、探究的能力，并积累了初步的数学活动的经验，有一定的自主探究与合作交流的能力.二、教材分析《矩形的性质与判定（一）》是义务教育课程标准北师大版义务教科书九年级（上）第一章《特殊平行四边形》第2节.●教材内容结构本节课的内容首先是在平行四边形的基础上引入矩形的概念，然后利用平行四边形的不稳定性进行形状变化，探索变化过程中两条对角线间的关系，从而得出矩形性质，最后再加以对矩形的判定.●教材的地位和作用本节教材是继初一掌握简单平面图形、平行线、三角形及本章对平行四边形、菱形学习的基础上，通过类比的学习方法，探究，发现矩形的性质，判定，引导学生学会解决这类问题的一般方法，为后面学习正方形奠定基础.三、目标分析●知识与技能目标1.理解矩形的概念；2.掌握矩形的有关性质；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.●过程与方法目标1.经历探索矩形性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法，培养学生用联系和发展的眼光去认识和研究事物.2.通过认真观察，自主探索与合作交流的数学活动，促进学生观察、分析、归纳、概括以及创新思维能力的发展.●情感与态度目标在矩形的学习活动中，通过联系矩形在生活实际中的应用和利用矩形的性质解决一些实际问题，从而感受数学知识的应用价值，激发学生学习的情感.四、教学重点、难点●教学重点矩形性质的理解运用．●教学难点矩形性质的综合应用．●解决重难点的方法与策略从古代名人经典名句引入课题，结合教具和多媒体直观演示，和通过学生动手操作，互动研讨,加深对矩形性质的理解,并配合由浅入深的练习，使学生掌握矩形的性质和判定.五、教法、学法●教法：本课采用“探究——发现”的教学模式进行教学为了实现本节课的教学目标,我在教法上力求从以下三个方面对学生进行引导:1. 从创设问题情景引入,通过动画展示,展开教学过程；2. 通过问题串引导学生探讨交流 ,由浅入深、递进探究、从而激活学生思维；3. 利用师生、生生互动交流、探究归纳,发现规律、培养学生良好的解题能力.●学法：本节课注重突出学生的主体作用，在学法上重点突出让学生动手操作、动脑思考和互动交流，在探究性学习中，通过师生、生生互动，达成对矩形性质和常用判别方法的理解和掌握，并在问题的研讨中提高对实际问题的解决能力.●课前准备教具: 教案、电脑、多媒体课件、平行四边形教具.学具: 笔记本、课堂练习本、作图工具．六、教学环节设计小组合作探讨交流七、教学过程●第一环节: 创设情景、引入课题教师：《战国策》记载了孟子的一句名言：不以规矩，不能成方圆。
1.2 矩形的性质与判定(一)
自我检测。
（1）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条 对角线的一个交角为120°，则矩形的长和 宽分别为 _____。 （2）P13 随堂练习
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的 性质是 ( ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
第五环节：建构新知，发展问题
问题1： （1） 矩形的两条对角线可以把矩 形分成几个直角三角形？ （2）在直角三 角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段 吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质 吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折 一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那 么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么 对称轴有几条?
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？ 归纳概括矩形的性质： 从边来说，矩形的对边平行且相等； 从角来说，矩形的四个角都是直角； 从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分； 从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心 对称图形。
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
练一练 已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜 边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则 AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
第六环节：合作交流，解决问题
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形 对角线的长。
第一章
特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定（一）
第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
矩形的性质与判定(第1课时矩形的定义与性质)
中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点，
∴EG＝12
BC，DG＝
1 2
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
在Rt△ABD中， 由勾股定理，得AB2+AD2=BD2 ,
∴ x2 82 x 42
解得x=6，则 AB=6cm. ∵AE×DB= AD×AB,解得 AE= 4.8cm.
“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式 ，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB= AD×AB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°, ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °, ∴∠B=180－∠C=90°, ∴∠D=∠B=90°, 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
几何语言： ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的对角线相等
A
D
已知：四边形ABCD是矩形,
AC.
在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.
A
D
相等的线段：
AB=CD AD=BC
AC=BD
OA=OC=OB=OD
11
=2
AC=
2
BD
B
O
C
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
矩形的判定和性质(一).2 矩形的性质与判定(一)
第一章特殊平行四边形2. 矩形的性质与判定（一）宁夏中卫市第五中学张守志一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。
二、教学任务分析《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。
依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。
矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。
因此本节课的教学目标是：1. 知识与技能:(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．2. 过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3. 情感态度与价值观：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
6.2矩形的性质与判断(1)
知识应用：
• 1.已知：四边形ABCD是矩形
（1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝ OB=_______ ㎝ A
D
O C
B
（2）若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm 矩形的面积＝_______ ㎝2
（3）
若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= _____cm
八年级下册第六章
特殊平行四边形
东平县初中数学
教学目标
1.理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形 的区别与联系； 2.掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关 的计算与证明； 3.掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用.
东角
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
东平县初中数学
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形 除具有平行四边形的性质外，还有其它的特殊性质. 你能说出矩形有哪些特殊性质吗?
一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四、矩形 两条对角线互相平分 五、矩形的邻角互补
东平县初中数学
（1）取一张矩形的纸片，分别沿它的两组 对边的中点所在的直线折叠，你发现矩形是 轴对称图形吗？如果是它有几条对称轴？
1 2AC=
B
C
1 2 BD
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
1 则有：AO= BD 2
直角三角形的性质 ：
东平县初中数学
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例题引领
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线交于点O， ∠AOD=120°，AB =2.5.求矩形对角线的长.
A
O
D
B
C
矩形的性质与判定(第3课时矩形的判定与性质的应用)
C．S1<S2
)
B．S1＝S2
D．3S1＝2S2
2．如图，在△ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ，
AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF
＝10 cm，则EH等于(
A．8 cm
cm
B
B．10 cm
)
C．16 cm
D．24
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分
的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.
(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边
形AFBD是矩形．理由如下：
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵ AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，
明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：(1) ∵ＣＮ∥ＡＢ，∴∠ＤＡＭ＝∠ＮＣＭ.
又ＭＡ＝ＭＣ，∠ＡＭＤ＝∠ＣＭＮ.
∴ △AMD≌△CMN， ∴ AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
6.2 矩形的性质与判定
学习目标
1．回顾矩形的性质及判定方法．
2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运
用.(难点)
知识回顾
1.矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的特殊性质
（1）矩形的四个角都是直角.
（2）矩形的对角线相等.
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
1.2 矩形的性质与判定(一)
特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定（一）
第一环节：创设情景，导入新课 平行四边形的对边平行且相等， 问题1:平行四边形具有哪些性质？对角相等，对角线互相平分。 问题2：利用一个活动的平行四边形教具演示, 使平行四边形的一个内角变化，请同学们注 意观察：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ 是 四边的长度 （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ 内角的度数 （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四 边形是什么图形? 当内角度数是90度时为矩形 矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
结论 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
第三环节：层层递进，推理论证 已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线 AC与DB相交于点O。 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° (2) AC=BD 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠CDA ，∠BCD=∠DAB AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180° ∵ ∠ABC=90° ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∵∠ABC=∠BCD ，BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴AC=BD
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 练一练 已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. 6 ㎝; (1)若BD=3㎝,则AC＝_____ 10 ㎝,BD＝ (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____ 5 ㎝. _____
Байду номын сангаас
第六环节：合作交流，解决问题 例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
初中数学教学课例《矩形的性质与判定(第一课时)》教学设计及总结反思
参与到学习过程中，同时获得轻松愉快，成功的情感体 验.
矩形的概念是建立在平行四边形的概念的基础上， 借助于图形的运动变化，采用“特殊化”的方法得到的， 其变化过程体现了由“一般”到“特殊”的研究问题方 法．
在探索矩形的性质时加强类比思想的渗透，不断类 比菱形一课的探究方法，并通过学生的主动参与，动手 操作，观察思考，大胆表述以及教师的启发诱导使学生 顺利地掌握知识，突破重难点.
教学策略选 教师引导，学生交流的方式，分析问题并解决问题.
择与设计
教师充分利用多媒体课件通过实验操作法、直观演
示法和引导发现法相结合的教学方法，来启发学生思
考，在思考中体会数学概念形成的过程中所蕴含的数学
方法，使之获得内心感受；采取让学生独立思考，动手
实践，主动探索与合作交流的学法指导，使每位学生都
相评价、互相提问的积极性高，有参加探究活动的热情，
已经具备了初步的观察、操作、猜想、分析等活动经验，
具备了最基本的逻辑推理能力和有条理的表达能力.
突出重点措施：本课采取了情境设置，由学生自己
说出矩形定义，通过学生动手实验、观察、发现、猜想、
论证等环节，探究并证明矩形的性质定理.
突破难点策略：为了突破难点，采用学生独立思考，
教学上教师通过精心设计问题串，让学生在问题思 考中、实验操作中、交流合作中、启发引导中、对比分 析中、反思纠错中逐步抽象概括出矩形的概念和性质， 逐步完善自己的认识．
矩形的性质与判定
矩形的性质及判定（修改）1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是 。
（2）对角线： 且 。
(3)矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
(4)直角三角形斜边上的中线性质根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的 。
（2）对角线 的平行四边形。
（3）有三个角是 的四边形。
4.矩形与平行四边形的区别与联系？ 说理题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )【经典例题:】1如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、125B 、135C 、52D 、2例2、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC=________.3、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2845、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
6.2矩形的性质与判定(1)
矩形性质1矩形的四个角都是直角．
矩形性质2矩形的对角线相等．
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO= AC= BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例习题分析
例1如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
自导
主学
学思
习路
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
备课人
朱嗣华
教学
目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
重点
难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
教学方法
自主、合作、探究
教学过程
明导
确学
目方
标向
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，cm．
鲁教版数学八年级下册6.2《矩形的性质与判定》说课稿1
鲁教版数学八年级下册6.2《矩形的性质与判定》说课稿1一. 教材分析鲁教版数学八年级下册6.2《矩形的性质与判定》这一节主要介绍了矩形的性质和判定方法。
本节内容是在学生已经掌握了平行四边形的性质和判定方法的基础上进行学习的，是学生在初中阶段学习的重点和难点内容。
本节内容的学习不仅能够帮助学生巩固和提高对矩形的认识，而且对于学生后续学习几何形体的性质和判定方法有着重要的意义。
二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经对平行四边形的性质和判定方法有了初步的了解和掌握。
但是，对于矩形的性质和判定方法，学生可能还存在一些疑惑和困难。
因此，在教学过程中，我将会根据学生的实际情况，有针对性地进行教学，帮助学生理解和掌握矩形的性质和判定方法。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生通过学习，能够理解和掌握矩形的性质和判定方法，能够运用矩形的性质和判定方法解决一些实际问题。
同时，通过本节课的学习，能够培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 说教学重难点本节课的重难点是矩形的性质和判定方法的理解和运用。
对于矩形的性质，学生需要理解并能够运用矩形的性质解决实际问题。
对于矩形的判定方法，学生需要理解并能够运用判定方法判断一个四边形是否为矩形。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、互动式教学法和案例教学法等教学方法和手段。
通过讲授法，我将会向学生讲解矩形的性质和判定方法；通过互动式教学法，我将会引导学生参与课堂讨论，帮助学生理解和掌握矩形的性质和判定方法；通过案例教学法，我将会提供一些实际问题，让学生运用矩形的性质和判定方法进行解决。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考矩形的性质和判定方法。
2.讲解：讲解矩形的性质和判定方法，引导学生进行课堂讨论，帮助学生理解和掌握矩形的性质和判定方法。
3.练习：提供一些练习题，让学生运用矩形的性质和判定方法进行解决，巩固和提高学生的理解和掌握程度。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题3(附答案) (1)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案） (1)1．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，A B的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴的正半轴上的点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（）A．(2,3)B．(2,1)C．(2,2)D．(2,5)2．如下图，沿Rt△ABC的中位线DE剪一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形.一定能拼出的是（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④3．在△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长交AD于点Q．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论为（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③5．到直角三角形的三个顶点距离相等的点（）A．是该三角形三个内角平分线的交点B．是斜边上的中点C．在直角三角形的外部D．在直角三角形的内部6．如图．在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．E 是边AD 的一个动点，将△BAE 沿BE 对折至△BFE 的位置，则线段DF 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图．在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于F ，那么S △ACF 为( )A ．12B ．15C ．6D ．108．矩形的一边长为3，一条对角线将一个内角分成的两角之比为1：2，则此矩形的面积为（ ）A ．93B ．33或63C ．63或93D ．93或33 9．如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 交AC 延长线于M ，连接CD ，下列四个结论：①∠ADC=45°；②BD=12AE ；③AC+CE=AB ；④AB-BC=2MC ，其中正确的有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．410．下列命题是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．任意多边形的内角和为360°D ．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半11．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，AOB 36∠=︒，AE 平分BAC ∠交BD 于点E ，若AC 4=，则AB 的长度为______.12．已知，如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()()10,0,0,4A C ，点D 是OA 的中点，点P 在直线BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形，则P 点的坐标为_________________________。
6.2矩形的性质与判定(1)
练习
3.矩形相邻两边的差为2,对角线长为4, 则矩形周长为______.
4.如果矩形的一个角的平分线分一边 为4cm和3cm两部分，那么矩形的面积 是 cm2.
运用
例1 已知:矩形ABCD的两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°, AB = 4cm, 求矩形对角线的长.
解:∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴AC = BD ( 矩形的对角线相等 )
O
∴ OA= OC = AC
B
C
OB= OD = BD ( 平行四边形的对角线互相平分 )
∴ OA= OB ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°－∠AOD = 60° ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm ∴AC = 2OA=8cm.
A
D
∵矩形ABCD，
O
∴ ∠BAD＝∠CDA =
∠BCD＝∠ABC ＝900
B
C
矩形的性质定理2:矩形的对角线相等．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线， ∴ AC＝BD,OA=OC,OB=OD.
想一想
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对 称轴?
练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是 ( )
（3）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利
用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的
一个基本关系式 AE×DB= AD×AB，解得 A形的关系
矩形 平行四边形 四边形
这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什 么样的共同特征？
矩形的性质和判定(一)
教学设计备课日期： 2018 年4月 4 日课题矩形的性质和判定（一）1课时课型新授教材分析本节课学习矩形的性质和判定，将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括问题的能力和审美意识的发展，进一步渗透了“转化、类比”等数学思想方法。
学情分析本节课本节课让学生在丰富的实践活动中，利用已有的知识解决问题，促使学生从感性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。
教学目标知识与技能目标：(1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．过程与方法目标：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．情感与态度与价值观目标：(1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。
(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。
教学重难点重点：运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．难点：灵活运用矩形的性质解决有关问题教学策略1、对比教学2、建立知识结构图教学资源Ppt课件班班通课时安排1课时上课时间4月13号5、8.4；7、8.5教学过程一、创设情景，导入新课活动内容：1、平行四边形具有哪些性质？2、探究矩形的定义。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。
在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。
6.2 矩形的性质与判定(1)
6.2 矩形的性质与判定（1）主备人：贾爱琴 审核人：李卫国 班级：________ 姓名：________ 【学习目标】1.理解矩形的概念，以及它与平行四边形之间的关系.2.探索并证明矩形的性质定理.3.探索并证明性质定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半. 【知识准备】根据平行四边形的性质和判定定理，完成下表【自学提示】1.自学书本12－14页，填空：_________________________的平行四边形叫做______. 注：矩形即我们所熟悉的________，是生活中常见的一种特殊的平行四边形.2.前面我们知道了平行四边形的性质，那矩形会有哪些性质呢？ ⑴矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质. ⑵矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:矩形是轴对称图形，它有____条对称轴.分别是_______________________的两条直线. 特殊在“角”上的性质是_____________________________________________. 特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________. 3.直角三角形的性质定理：__________________________________________________________.练习：如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BC 上的点，在下列三个条件：⑴AE ＝CF⑵BE ∥DF ；⑶∠1＝∠2中，选择其中一个，求证：BE ＝DF. （可用多种方法．．．．．．）21FEDC BA【问题积累】在学习中还存在哪些疑问？ 【共同释疑】(用多媒体出示)预习书本14页例1，完成下列题目已知如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5，求矩形对角线的长．对应练习 【当堂测试】1.下列说法错误的是（ ）．A 、矩形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等C 、有一个角是直角的四边形是矩形D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）.A 、 对角线相等B 、 对边相等C 、 对角相等D 、 对角线互相平分 3.在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD ⊥BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 求证：DE ＝DF4.（选做题）已知：如图3，矩形ABCD 中，BD AE ⊥于E求：CAE ∠的度数。
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结论 矩形的性质定理1： 矩形对角线相等.
第三环节：层层递进，推理论证
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° (2) AC=BD
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° (2) AC=BD
结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
问题2：请你总结一下矩形有哪些性质？ 归纳概括矩形的性质： 从边来说，矩形的对边平行且相等； 从角来说，矩形的四个角都是直角； 从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分； 从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心 对称图形。
问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的 性质是 ( ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
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第七环节：反思交流，反馈提高
1.本节课你学到了什么？
（1）矩形定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质 （4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等 的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全 等的等腰三角形。因此，矩形的问题可化为直 角三角形或等腰三角形的问题来解决。
方法上： 将四边形转化为三角形是一般方法，体现了转化思想； 平行四边形的性质和判定定理是互逆命题，今后研究其他图形会类比这个研 究方法进行；z```x``xk 先从简单问题入手研究，再扩展到其他问题，由简单到复杂.
第六环节：合作交流，解决问题
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交 于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形 对角线的长。
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例1：矩形ABCD中，对角线交于点O，∠AOD=120°， AB=2.5cm，求矩形对角线的长。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD(矩形的对角线相等) OA=OC= AC，OB=OD= BD， ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°) = 30°。 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角) ∴BD=2AB=2×2.5=5.
第五环节：建构新知，发展问题
问题1： （1） 矩形的两条对角线可以把矩 形分成几个直角三角形？ （2）在直角三 角形ABC中，BO是怎样的一条特殊线段？ （3）你能发现BO与AC有什么关系吗？ （4）你能借助于矩形加以证明吗？
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
练一练 已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜 边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则 AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
矩形的定义：有一个内角是直角的平行 四边形是矩形
观察----联想
第二环节：分组讨论，探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有 平行四边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线
对称 性
中心 对边平行 对角线互 矩形 对角相等 对称 且相等 相平分 图形
问题2 （1）请同学们测量身边的矩形（如书本，课 桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数 和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结 果； （2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的 大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察，你能得到矩形的特殊 性质吗？
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条 对角线的一个交角为120°，则矩形的长和 宽分别为 _____。
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900 . ∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.
第四环节：乘胜追击，完善性质
问题1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折 一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那 么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么 对称轴有几条?
证明: ∵ 四边形ABCD是矩形,
∴∠A=900, AB ∥ CD， AD∥ BC， ∴∠C=∠A=900, ∠B=1800-∠A=900, ∠D=1800-∠A=900.
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90° 对角线AC与DB相交于点O。 求证(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° (2) AC=BD
第六章 特殊的平行四边形
6.2 矩形的性质与判定 第1课时
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第一环节：创设情景，导入新课
问题1:平行四边形具有哪些性质？
问题2：利用一个活动的平行四边形教具 演示,使平行四边形的一个内角变化， 请同学们注意观察：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的 平行四边形是什么图形?