天津市五区县高三数学上学期期末考试试题理
【天津市五区县】2017届高三上学期期末考试(理)数学试卷-答案
天津市五区县2017届高三上学期期末考试（理）数学试卷答 案1~5．DACBD6~8．ACD9．810．24-11．32+12．4ln3-1314．(,e)-∞三、解答题:15．（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++π2sin(2)16x a =+++，……………………4分 故函数()f x 的最小正周期为πT =．………………………6分（II ）由题意得πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………10分 故min ()112f x a =-++=，所以2a =．……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235．…………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===．………………………………9分所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵~AGD CGE △△，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =， 故35GC AC == 同理可得35GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=，ED AC ⊥．………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥……3分而PA AC A =∴ED ⊥平面PAC ．ED ⊂平面PDE ，故平面PDE ⊥平面PAC ；……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系．由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =- ∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=．……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC，ED ⊂平面PDE ，平面PDE ⊥平面PAC ；……4分 （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB △为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-． 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为000(,,)n x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =-由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则(1,1,1)n =--，………10分 ∴cos ,n DE <>==．………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --．………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2n A n =，21(1)n A n -=-，两式相减：121n n n a A A n -=-=-；当1n =时，111a A ==，也适合21n a n =-，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．………3分 （II ）由题意知：2122n n n n a n c -==，12n n C c c c =+++，123135212222n n n C -=++++， 23411352122222n n C n +-=++++，两式相减可得：1231122221222222n n n C n +-=++++-，……… 4分 即123-111111121()2222222n n n C n +-=+++++-， -111121(1)2222n n n C n +-=+--，2332n n n C +=-．………7分 （III ）21212121n n n b n n -+=++-，显然212122121n n n n -++>=+-， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>；………9分 另一方面，21212222112212121212121n n n n n n n n -++=-++=+-+-+--+， 即122213b =+-，222235b =+-，…，11222121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2222222(2)(2)(2)22221335212121n B n n n n n =+-++-+++-=+-<+-++， 即：222n n B n <<+．………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -，……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2y M m m x ++． 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-．……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=，……………9分 所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++ 2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±． 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =．……………14分20．（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥ 所以：2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以：120c -+≥，1c ≥；……………4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+，又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=， 即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=，所以23αβ+=．……………9分（Ⅲ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点的横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '= 即：3223200000011(2)()33x x cx d x x c x x x x cx d -++=-+-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠，所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x -所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值……………14分 解法二：（Ⅰ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥， 所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（Ⅱ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （Ⅲ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+．设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程000()()()()f x f x x x f x '=-+的三个实数根，由000()()()()f x f x x x f x '=-+，得32200001(2)()()3x x cx d x x c x x f x -++=-+-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-=，所以1032x x =- 所以22111()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-．因此当且仅当330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分。
天津市部分区2018-2019学年度第一学期期末考试高三数学(理)及答案
天津市部分区2018-2019学年度第一学期期末考试高三数学（理）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+． ()()()P A B P A P B =．·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． ·球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．设全集{}123456U =,,,,,，{}12345P =,,,,，{}3456Q =,,,，则()U PQ =ðA ．{}12,B ．{}125,,C ．{}12345,,,,D ．{}1,2,3,4,62．设变量x y ,满足约束条件1020220.x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则目标函数z x y =+的最大值为A ．32B ．1C ．1-D ．3-3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为A ．8B ．4C ．4-D ．20-4．已知1251215512log log a b c -===,,,则a b c ,,的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．设R θ∈,则tan 1θ=“”是π=4θ“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 具有的性质是 A ．图象关于直线π2x =对称且最大值为1 B ．图象关于点3π(0)8-,对称且周期为π C ．在区间3ππ88⎛⎫-⎪⎝⎭,上单调递增且为偶函数 D ．在区间π04⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增且为奇函数7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的一条渐近线恰好是圆()222(12x y -+-=的切线，且双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为A ．221128x y -= B ．221124x y -= C ．221168x y -= D ．22184x y -= 8．如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，PQR ∆是圆O 的内接正三角形，若PQR ∆绕着圆心O 旋转，则AQ OR ⋅的最大值是A．2+ B．1+C．1-+ D．2-+B第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9．i 是虚数单位，复数12i=1i-+___________． 10．在()62x -的展开式中，2x 的系数为___________（用数字作答）．11．已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________.12．已知直线32,5:4.5x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则MN 的最大值为___________．13．已知,a c ∈R ,二次函数2()4()f x ax x c x =++∈R 的值域为[)0+∞,，则11a c+的最小值为___________．14．已知函数241()ln 1 1.x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩,,,若关于x 的方程()3f x =恰有两个互异的实数解，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，222sin sin sin sin sinC.A B C B =+- （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求sin sinC B +的取值范围．16．（本小题满分13分）4月23日是“世界读书日”，天津市某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生中抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（Ⅰ）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； （Ⅱ）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X 表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．A 117．（本小题满分13分）如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）若12AA =，求二面角1C BD C --的余弦值； （Ⅲ）若点P 在线段1AB 上，且CP ⊥平面1BDC ，确定点P 的位置并求线段1AA 的长．18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且12a =，11b =，227a b +=，3313a b +=.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn nb c a =(N )n *∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设F 为C 的左焦点，T 为直线6x =-上任意一点，过点F 作TF 的垂线交C于两点P Q ,． （ⅰ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ⅱ）当TF PQ取最小值时，求点T 的坐标．20．（本小题满分14分）已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程；（Ⅱ）记()f x 的导函数为()f x '，若不等式()()f x xf x '<在区间(1)+∞,上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()2g x f x a =+，()g x '是()g x 的导函数，若()g x 存在两个极值点12x x ,，且满足1212()()()g x g x g x x '+≥，求a 的取值范围．天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末考试高三数学(理)试题参考答案与评分标准一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)9．1322i-- 10．240 11．9π 12． 13． 14． 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）因为 222sin sin sin sin sin A B C B C =+-, 由正弦定理sin sinB sin a b cA C==，得222a b c bc =+-，………………2分 由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分 又因为()0,A π∈，所以3A π=. …………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B C A π+=-， 所以23C B π=-，……………6分 所以2sin sin sin sin()3B C B B π+=+-13sinB sin sin 22B B B B =+=………8分)6B π=+……………………………………………10分因为203B π<<，所以5666B πππ<+< ………………………………11分)6B π<+≤ ……………………………………………12分所以sin sinC B +的取值范围为⎝……………………………13分16．解：（Ⅰ）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为3421，，，（人），1分从参加问卷调查的 名学生中随机抽取两名的取法共有21045C =（种），……2分 抽取的两名学生来自同一小组的取法共有22234210C C C ++=（种），……………4分所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为102459P ==. …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数X 的可能取值为0,1,2………………7分所以22251(0)10C P X C ===，1132253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===…10分 所以 的分布列为…………………………………………………12分所求 的期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．解：（Ⅰ）连接1B C ，交1BC 于点O ，则点O 为1B C 的中点，因为D 为AC 的中点，所以OD ∥1AB . ……………………………………………2分 又1AB ⊄平面1B D C ，OD ⊂平面1B D C ，所以1AB ∥平面1B D C . ……………………………………………………………4分（Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，1AA ∥1CC ， 所以1CC ⊥平面ABC ，又BC AC ⊥故以C 为原点，分别以1CA CB CC ,,的方向为x 轴、y 轴、z 建立空间直角坐标系（如右图所示），………………5分 则11(002)(010)(00)2C B D ,,,,,,,,，所以1C D122 1C B 2- . 设平面 的法向量为()n x y z =,,，则有 n 1C D n 1C B 即 2z - 122z -………………7分 令 ，则得(421)n =,,. 又平面BDC 的法向量为1=(002)CC ,,，且二面角1C BD C --为锐角，故二面角1C BD C --的余弦值为111|||cos |||||421CC n CC n CC n ⋅〈〉===⋅⨯,…9分 （Ⅲ）设11=AA a AP AB λ=,,因为1(100),(01,)A B a ，，，，所以， (1)CP CA AP a λλλ=+=-,,. …………………………………………10分又1C D 12 a , 12, CP ⊥平面1BDC ， 所以()()2111021102CP C D a CP BD λλλλ⎧⋅=-+-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ 解得113a λ==,.…………………12分所以11AA =，且点 在线段 的三等分点处，即13. …………13分 18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，等差数列{}n b 的公差为d ，依题意有()()2223321721213a b q d a b q d ⎧+=++=⎪⎨+=++=⎪⎩，即2266q d q d +=⎧⎨+=⎩，…………………2分解得22q d =⎧⎨=⎩或06q d =⎧⎨=⎩（舍）…………………………………4分∴()2,12121nn n a b n n ==+-=-，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =，数列{}n b 的通项公式为21n b n =-………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得212n n n n b n c a -==， ∴22122132n nn T -=+++ ①…………………………………7分∴12n T =132********13nn n n +--++++，②…………………………………8分 ①-②得32111111212()222222n n n n T +-=++++-……………………………9分 1111(1)12122122241n n n -+--=+⨯--…………………………………………10分132322n n ++=-……………………………………………………………12分 ∴2332n nn T +=-……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由已知，得 . ……………………………………………1分因为 ，易解得. ……………………………………………………………3分()AP a λλλ=-,,所以，所求椭圆 的标准方程为 221248x y +=…………………………………4分(i)（Ⅱ）设点T 的坐标为(6)m -， 当0m =时，PQ 与x 轴垂直F ，为PQ 的中点OT ，平分PQ 显然成立……5分 当0m ≠，由已知可得：2,2TF PQ m K K m =-=,则直线PQ 的方程为：24y (x )m =+…………………7分 设1122)()P x y Q x y （,,, 222(4)3240y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得： ()222+1296192240m x x m ++-=1229612x x m ∴+=-+12122216(8)12my y x x m m ∴+=++=+ PQ ∴中点M 的坐标为224881212mm m -++（，）…………………………9分 又:6OT mL y x M =-∴,在直线OT 上.综上OT 平分线段PQ …………………………………………10分 ()ii 当0m =时，23TF PQ ==,则,4TF PQ = …………11分 当0m ≠时，由(i)可知PQ ==分TF m =3TF PQ ∴==≥ (当且仅当，即时等号成立)……………………13分3634< ∴点T 的坐标为(62)±-， …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）当 时， 12 32(其中 )， 所以12 32，1x， . ………………………………………1分 所以，曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线方程为 ， 即 . ………………………………………………………2分（Ⅱ）由()f x12 12，得 ()f x ' ax( ). …………………………………………………3分依题意，知12 12 a x对任意实数 恒成立， 即 对任意实数 恒成立. ……………………5分 令()t x （ ），所以()t x ' 2a x22()x a x -.（ ） ………………………………6分① 当 时，()t x ' ，此时函数()t x 在 上单调递增，所以()(1)0t x t >=， 所以， 时，符合题意. …………………………7分 ② 当 时，令()=0t x '，得 ( 舍去).所以，当 时，()0t x '<，此时函数()t x 在 单调递减， 所以()(1)0t x t <=，此与题意相矛盾， 所以， 不符合题意. ……8分 综上所述，所求实数 的取值范围是(1]-∞,. ……………………………9分（Ⅲ）据题意，有12 12（ ）， 所以 a x24x ax ax -+（ ）. ………………………10分因为函数 存在两个极值点 ，所以 是方程 的两个不等的正根，则有，解得 14. ……………………………………11分 所以12 12 1212121212ax x ， 又据 ，可得 ， …12分 即 . （※）因为 14，所以不等式（※）可化简为 （）， 令 （ 14），则 1a 4 ，所以 在 14上单调递增.又 ，……………………………………………………………………13分所以不等式 的解为14，故所求实数 的取值范围是1(1]4,. ……………………………………………14分。
天津市五区县高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
（ 19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，上顶点为 B ，若
BF1F2 的周长为 6 ，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 A1, A2 是椭圆 C 长轴的两个端点，点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点，
解：（ I）函数 f ( x) 2cos 2 x 2 3 sin xcos x a cos 2x 1 3 sin 2x a
2sin(2 x ) a 1 ， 6
故函数 f (x) 的最小正周期为 T .
…………………… 4 分 ……………………… 6 分
（ II）由题意得 x 0, , 2 x
7 ,
，
4x x2 , x 1,
若方程 f ( x) kx 有且仅有一个实数解，则实数 k 的
ex ,
x 1.
取值范围为 __________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （15）（本小题满分 13 分）
已知函数 f x 2cos x(cos x 3sin x) a （ a R ） .
（ A） 1, 4
（ B） 0, 1, 4
（C） 0, 2 （ D） 0, 1, 2, 4
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
x 2y 4≤0, 3x y 3≥0, 则目标函数 z x y 1≤0.
x 2 y的最小值为
（ A） 16 5
（ B） 3
（ C） 0
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
天津市五区县高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)
天津市部分区第一学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24,2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（ ）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆3AB =（ ）A ．3B ．7 C. 22 D ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -= 7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB yAC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（ ） A ．1123， B ．1233， C. 1255， D ．1136，8.已知()()23xf x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（ ）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为 ．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值. 16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名自A 学校且1名为女棋手，另外4名自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. （1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值. 18. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n n n na a A nn N b n N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2nn n a c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ； （3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. 20. （本小题满分14分） 已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围；（2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题9.8 10. 24-11. 32+ 12. 4ln 3-14. (,e)-∞三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos212f x x x x a x x a =++=++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故36555GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,PE DE θ=<>=………8分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯.………11分显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分（III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在， 由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-= 所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c = 即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分（III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+. 设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =-所以'22111()2k f x x x c ==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. (14)分。
天津五区联考2017-2018高三上学期期末数学(理)试题及答案
13．3
14． ,
1 1 3 e
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） f x cos x sin x 2 3 sin x cos x
2 2
cos 2 x 3 sin 2 x
由 g n 1 g n
2 n 1 7 2
n 3
2n 7 9 2n n 3 …………………………11 分 2n 2 2
得：当 9 2n 0 2 n 4 n N 时， g 2 g 3 g 4 g 5 ； 当 9 2n 0 n 5 n N 时， g 5 g 6 g 7 ； 所以对任意 n 2 ，且 n N 均有 g 5 g n ，故 k 5 .………………13 分
（18） （本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设数列 an 的公比为 q ，则由条件得：
2 a3 2 a2 a4 ，
……………………………1分
又 a1 2 ，则 2 2q 2 2 2q 2q 3 4 q 2 1 2q 1 q 2 ， 因为 1 q 0 ，解得： q 2 ， 故 an 2 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn 2nan n 2 则 Sn 1 2 2 2 n 2
3 , 0 , 0 ， C 0 ,1, 0 ，
由 AC 2 DE 3 得 E 0, 0 ,
3 ， A 0 ,1, 3 …………6 分 2
依题意 AE 0 , 1,
天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试高三数学(理)
绝密★启用前天津市部分区2017~2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}240A x x=-…，集合{}10B x x=->，则A B=A. (1, 2)B. (1, 2]C. [-2, 1)D. (-2, 1)2. “4πα=”是“cos 2α= 0”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设变量x，y满足约束条件0,2390,210,xx yx y⎧⎪+-⎨⎪--⎩………则目标函数z=x+ 2y的取值范围是A. [6,+∞)B. [5,+∞)C. [5, 6]D. [0, 5]4. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是1，2，运行相应的程序，则输出S的值为A.203B.165C.72D.1585.已知双曲线22221x y a b-=（a > 0，b > 0）的一个焦点为F (-2, 0)，且双曲线的两条渐近线的夹角为60︒，则双曲线的方程为 A. 2213x y -=B. 22162x y -= C. 2213x y -=或2213y x -= D. 2213x y -=或22162x y -= 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin C = sin 2B ，且b = 2，c =，则a 等于A.12B. C. 2D. 7.如图，平面四边形ABCD ，∠ABC = ∠ADC = 90︒，BC = CD = 2，点E 在对角线AC 上，AC = 4AE = 4，则EB ED ⋅的值为A. 17B. 13C. 5D. 18.已知函数f (x ) = e x + e -x （其中e 是自然对数的底数），若当x > 0时，mf (x )≤e -x + m - 1恒成立，则实数m 的取值范围为A. 1(0,)3B. 1(,]3-∞-C. 1[,)3+∞D. 11[,]33-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知i 为虚数单位，则2i1i-=+__________. 10. 在61(2)x x-的展开式中x 2的系数为__________.（用数字作答）11. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________.12. 已知曲线y = x 3与直线y= kx （k >0）在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则k= __________.B正视图侧视图俯视图13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则⎪PF ⎪+⎪PQ ⎪的最小值为__________.14. 已知函数11,0,()3ln ,0.x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩… 若函数f (x ) - ax = 0恰有3个零点，则实数a 的取值范围为__________.5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数22()cos sin cos f x x x x x =-+（x ∈R ）. （Ⅰ）求f (x )的最小正周期； （Ⅱ）求f (x )在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.16.（本小题满分13分）某大学现有6名包括A在内的男志愿者和4名包括B在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会志愿服务工作，从这些人随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（Ⅰ）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的概率；（Ⅱ）设X表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）在如图所示的几何体中，DE∥AC，∠ACB=∠ACD= 90︒，AC= 2DE= 3，BC= 2，DC= 1，二面角B-AC-E的大小为60︒.（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）求平面BCD与平面BAE所成角（锐角）的大小；（Ⅲ）若F为AB的中点，求直线EF与平面BDE所成角的大小.B DC EA18.（本小题满分13分）已知{a n }是等比数列，满足a 1 = 2，且a 2，a 3 + 2，a 4成等差数列. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n = 2na n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，2297()4n n n g n S -+=-（n ≥2，n ∈N *），求正整数k 的值，使得对任意n ≥2均有g (k )≥g (n ).19.（本小题满分14分）设椭圆22221x ya b+=（a>b> 0）的左焦点为F1，离心率为12.F1为圆M：x2+y2+ 2x- 15 = 0的圆心.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数f (x ) = ln x + a (1 - x )（a ∈R ）. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性； （Ⅱ）当12a =-时，令g (x ) = x 2 - 1 - 2f (x )，其导函数为g ′(x ).设x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，判断122x x +是否为g ′(x )的零点？并说明理由.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1－8CABDC CDB二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分. 9．1322i - 10．240 11．36 12．4 13．3 14．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()22cos sin cos f x x x x x =-+cos22x x = ……………………2分12cos 222sin 226x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………4分 所以22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π．……………………6分 （Ⅱ）由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………7分 所以当2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 当22,623x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；……………9分 且当266x ππ+=-，即6x π=-时，1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，此时()=1f x -； 当262x ππ+=，即6x π=时，sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()=2f x ;当2263x ππ+=，即4x π=时，sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时()f x ………12分 所以当6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当6x π=时，()f x 取得最大值2 (13)分（16）（本小题满分13分）解：（I ）记参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M ，则基本事件的总数为510C ， ……………………1分 事件M 包含基本事件的个数为48C ， ……………………2分则()48510518C P M C ==. ……………………4分(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4. ……………………5分则()5651010,42C P X C === ()416451051,21C C P X C === ()3264510102,21C C P X C ===()236451053,21C C P X C === ()146451014,42C C P X C === ……………………10分因此X 的分布列为……………………11分X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………13分 （17）（本小题满分13分）解：方法一：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=，则AC CD ⊥，AC CB ⊥，所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=，………………1分在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥，…………2分由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C = ，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，…………………………………………………3分又因为AC DC C = ，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ． ………………………4分（II ）由BD ⊥平面ACDE 得BD DC ⊥，BD DE ⊥，又AC CD ⊥，即DB ，DC ，DE 两两垂直，则以DB ，DC ，DE分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I）知BD ， 则()0,0,0D，)0,0B ，C 由23AC DE ==得30,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,3A …………6依题意30,1,2AE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，)1,3AB =--，设平面BAE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30230y z y z ⎧--=⎪--=，不妨设3y =，可得()3,2n =-， …………8分由AC ⊥平面BCD 可知平面BCD 的一个法向量为()0,0,3AC =………………9分设平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为θ，所以61cos cos ,432n AC n AC n ACθ⋅====⨯，于是=3πθ， 所以平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为3π． ………………10分 （III ）若F 为AB 的中点，则由（II ）可得13,,222F ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以1,,02EF ⎫=⎪⎪⎝⎭，………11分依题意CD ⊥平面BDE ，可知平面BDE 的一个法向量为()0,1,0DC =，……………12分设直线EF 与平面BDE 所成角为α，则1sin cos ,2DC EF DC EF DC EFα⋅===，所以直线EF 与平面BDE 所成角的大小6π．……13分 方法二：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠= ，则AC CD ⊥，AC CB ⊥，所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠= ，…………1分 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠= ，所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥，…2分 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C = ，可知AC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥， …………………………………3分 又因为AC DC C = ，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ，所以BD ⊥平面ACDE ． ………………4分（Ⅱ）令CD AE ,的延长线的交点为G ，连BG 。
天津市高三上学期期末数学试题(解析版)
高三数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤A B = A. B.C.D.{1,2}-{1,2}{1,4}{1,4}-【答案】B 【解析】【分析】方法一：求出集合后可求. B A B ⋂【详解】[方法一]：直接法因为，故，故选：B. {}|02B x x =≤≤{}1,2A B = [方法二]：【最优解】代入排除法代入集合，可得，不满足，排除A 、D ；=1x -{}11B x x =-≤21≤代入集合，可得，不满足，排除C.4x ={}11B x x =-≤31≤故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 已知，其中是虚数单位，则（ ） ()ii ,R 2ia ab b +=∈-i a b +=A. 1 B. 3C.D.1-3-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案.【详解】由，，，，则，即，i i 2i a b +=-()i 2i i a b +=-2i i 2i a b +=-i 2i a b +=+21a b =⎧⎨=⎩3a b +=故选：B.3. 设，则“”是“”的（）x ∈R 20x x -<31x <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由解得，由解得，20x x -<01x <<31x <1x <因为当能推出，而推不出， 01x <<1x <1x <01x <<所以“”是“”的充分不必要条件.20x x -<31x <故选：A4. 若直线被圆截得的弦长为4，则的值为（ ） :4l mx y -=22:280C x y y +--=mA.B.C. D.2±4±±【答案】A 【解析】【分析】根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可. 【详解】由可得， 22:280C x y y +--=22(1)9x y +-=即圆心，半径， (0,1)C 3r =则圆心到直线的距离，d =所以，即，解得， 2222r d =+2259=41m ++2m =±故选：A5. 已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（ ）A. B.2e (21)()1x x f x x -=-e (21)()1x x f x x +=-C.D.e (21)()1x x f x x -=-21()e (1)x x f x x -=-【答案】C 【解析】【分析】根据定义域舍去A 选项；B 选项，根据时，函数值大于0舍去B 选项；CD 选项，1,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根据导函数求解函数的单调区间，从而确定正确答案.【详解】A 选项，的定义域为，故和图象不合，舍去； 2e (21)()1x x f x x -=-{}1x x ≠±B 选项，当时，，与图象不合，舍去；1,12x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()e 2101x x f x x +=<-C 选项，定义域为，， e (21)()1x x f x x -=-{}1x x ≠()22e (23)()1x x xf x x -'=-当，时，，单调递增，32x >0x <()0f x '>e (21)()1xx f x x -=-当，时，，单调递减，01x <<312x <<()0f x '<e (21)()1xx f x x -=-与图象符合， D 选项，定义域为，21()e (1)x x f x x -=-{}1x x ≠在上恒成立，()22232()0e (1)x x x f x x -+-=<-'{}1x x ≠故在上均单调递减，与图象不合，舍去； 21()e (1)xx f x x -=-()(),1,1,-∞+∞故选：C6. 设，则的大小关系为（ ）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. a b c >>b a c >>C. D.c a b >>b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】是单调递增函数，，，3xy = 0.73a =0.80.8133b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，1b a ∴>>是单调递减函数 0.7log y x =Q ，0.70.7log 0.8log 0.71c ∴=<=，b ac ∴>>故选：B7. 已知甲､乙两球落入盒子的概率分别为和､假定两球是否落入盒子互不影响.则甲､乙两球至少有一1213个落入盒子的概率为（ ） A.B.C. D.16561323【答案】D 【解析】【分析】首先求出甲乙两球都不落入盒子的概率，即可得到答案. 【详解】由题知：甲乙两球都不落入盒子的概率为， 121233⨯=所以乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 12133-=故选：D8. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线()222210,0x y ab a b-=>>( 的准线上，则双曲线的方程为 2y =A.B.C.D.2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是b y x a=2ba =2y =，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为x =c =2227a b c +==2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．故选D ． 22143x y -=考点：双曲线的标准方程．9. 已知函数.对于下列四种说法，正确的是（ ）()π46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭①函数的图象关于点成中心对称 ()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭②函数在上有个极值点.()f x ()π,π-8③函数在区间，最小值为 ()f x ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦④函数在区间上单调递增 ()f x ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭A. ①②B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】【分析】对于①，，则函数的图象不关于点成中心对称；对于②，由的范围，π03f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭x 得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由的范围，得出的π46x +x π46x +范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由的范围，得出的范围，利用正弦函x π46x +数的单调性判断即可．【详解】对于①，，的图象不关于点成中π4ππ3π3362f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x \π,03⎛⎫⎪⎝⎭心对称，错误；对于②，，则，则当分别取时，函数()π,πx ∈-π23π25π4,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭π46x +π3π5π7π,,,2222±±±±取到极值，正确；()f x对于③，，则， ，正确；ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π4,633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()π46f x x ⎡⎛⎫=+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误；ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π5π7π4,666x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭5π7π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 某校高一年级､高二年级､高三年级学生人数之比为，现采用分层抽样的方法从高中各年级共7:3:4抽取同学参加“流行病学”调查，则高一年级应抽取__________名学生. 56【答案】 28【解析】【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案． 【详解】高一年级应抽取的学生人数为75628734⨯=++故答案为：2811. ________.23log 9log 4⨯=【答案】 4【解析】【详解】试题分析：原式，答案：. lg 9lg 42lg 32lg 24lg 2lg 3lg 2lg 3=⨯=⨯=4考点：1.对数运算；2.对数的换底公式.12. 在 的展开式中，的系数为_______.614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 【答案】1516【解析】【详解】展开式的通项为，由得，所614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭622r -=2r =以，所以该项系数为.222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1516考点：二项式定理及二项展开式的通项.13. 在中，，以边所在直线为轴，将旋转一周，所成的曲ABC 90,3,4B AB BC ∠=== BC ABC 面围成的几何体的体积为__________. 【答案】 12π【解析】【分析】根据旋转体的概念，结合题意得到该几何体是圆锥，根据体积计算公式，即可得出结果. 【详解】因为在中，，所以，ABC 90B Ð=°BC AB ⊥若以边所在的直线为轴，将旋转一周，所得的几何体是以为高，以为底面圆半径的BC ABC BC AB 圆锥，因为，，3AB =4BC =因此，其体积为：.()21π12π3V AB BC =⨯⨯⨯=故答案为：.12π14. 街道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种. 【答案】 20【解析】【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有种方法，36C 20=故答案为：.2015. 已知函数，函数，若函数恰有4个()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()2g x b f x =--()()y f x g x =-零点，则实数的取值范围为_______. b 【答案】 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，()()y f x g x =-()()(2)h x f x f x =+-()h x 利用数形结合进行求解即可.【详解】∵， ()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩∴ ， ()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合图象可知，<b <2， 74故答案为:.7,24⎛⎫⎪⎝⎭三､解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【答案】（1）B =60°（2） a c ==【解析】【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 17. 如图，在四棱锥中，平面，P ABCD -PA ⊥,4,3,5ABCD AB BC AD ===是的中点.90,DAB ABC E ∠∠== CD（1）证明：平面；CD ⊥PAE （2）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求线段的长度. PB PAE PB ABCD PA 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再由线面垂直的判定定理求,CD AE CD AP ⊥⊥证；（2）利用向量法求出线面角，根据线面角相等求出即可. PA 【小问1详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴 A ,,AB AD AP x y z 建立空间直角坐标系，设，.PA h =则各点坐标为：()()()()()()0,0,0,4,0,0,4,3,0,0,5,0,2,4,0,0,0,.A B C D E P h 所以.()()()4,2,0,2,4,0,0,0,CD AE AP h =-==因为，8800,0CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以，而是平面内的两条相交直线， ,CD AE CD AP ⊥⊥,AP AE PAE 所以平面； CD ⊥PAE 【小问2详解】由题设和（1）知，分别是平面，平面的法向量，而与 ,CD APPAE ABCD PB 平面所成的角和与平面所成的角相等，所以PAE PB ABCD 即|cos<,|cos<,|,CD PB PA PB >= ··CD PB PA PB CD PB PA PB=由（1）知，，由，()()4,2,0,0,0,CD AP h =-= ()4,0,PB h =-解得.h =所以PA =18. 已知等比数列的公比，且，．{}n a q 1>1320a a +=28a =Ⅰ求数列的通项公式； (){}n a Ⅱ设，是数列的前n 项和，对任意正整数n 不等式恒成立，求()n n n b a =n S {}n b nn n 1n S (1)2a ++>-⋅实数a 的取值范围．【答案】(1).12n n a +=(2). 13,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公1a q 式； （Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分n n n b a =n n S 1(1)2nn n n S a ++>-n 类，可求得参数的取值范围． a 试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则，{}n a q ()211120{8a q a q +==∴ 22520q q -+=∵，∴，∴数列的通项公式为． 1q >14{2a q =={}n a 12n n a +=（Ⅱ）解： 12n n n b +=∴ 23411232222n n n S +=++++12n S =34121212222n n n n++-++++ ∴2341211111222222n n n nS ++=+++-∴=12311111+22222n n n n S +=++- 1111122211222n n n n n +++-+-=-∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增． ()1112nn a -⋅<-n ()112nf n =-()f n 为奇数时，的最小值为，∴得， n ()f n 1212a -<12a >-为偶数时，的最小值为，∴， n ()f n 3434a <综上，，即实数的取值范围是． 1324a -<<a 13,24⎛⎫- ⎪⎝⎭19. 已知椭圆的长轴的两个端点分别为.2222:1(0)x y C a b a b +=>>()()2,0,2,0A B -（1）求椭圆的方程；C （2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交P C ,A B ,AP PB 6x =-,M N NA 椭圆于点，证明：直线的斜率之积为定值.C Q ,AP AN 【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为，由(2,0),(2,0)A B -2,c a e a ===（2）设，则直线的斜率为，直线的斜率为，再由直线的交点，求得点00(,)P x y AP 002y x +BP 002y x -N 的坐标，进而得到直线的斜率，然后结合运算即可. AN 220014x y +=【小问1详解】由题设知，，则222,c a b c e a =+==2,1,a b c ===椭圆的方程：； C 2214x y +=【小问2详解】 设，则. 00(,)P x y 220014x y +=因为直线的斜率为，直线的斜率为， AP 002y x +BP 002y x -所以直线的方程为，所以点的坐标为. BP 00(2)2y y x x =--N 008(6,2y N x ---所以直线的斜率为. AN 0000822622y x y x --=-+-所以直线的斜率之积为：， ,AP AN 20200022000021422122442x y y y x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-+---则直线的斜率之积为定值. ,AP AN 12-20. 已知函数， ()()21ln 2f x x a x a =-∈R （1）若，求的极值；1a =()f x （2）讨论的单调区间；()f x （3）求证：当时，. 1x >2312ln 23x x x +<【答案】（1）极小值为，无极大值12（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，根据正负可确定单调性，由此可得极值；()f x '()f x （2）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性；0a ≤0a >()f x '()f x （3）构造函数，求导后令，利用导数可求()()2312ln 123g x x x x x =+->()()32211h x x x x =-++>得单调性，从而得到恒成立，由此可得单调递减，进而由推导得()h x ()0g x '<()g x ()()10g x g <<到结论.【小问1详解】当时，，则其定义域为，； 1a =()21ln 2f x x x =-()0,∞+()()()111x x f x x x x+-'=-=当时，；当时，；∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增；()f x \()0,1()1,+∞的极小值为，无极大值. ()f x \()112f =【小问2详解】由题意得：定义域为，； ()f x ()0,∞+()2a x a f x x x x-'=-=①当时，，在上恒成立，0a ≤20x a ->()0f x '∴>()0,∞+的单调递增区间为，无单调递减区间； ()f x \()0,∞+②当时，令，解得： 0a >()0f x '=x =当时，；当时，； ∴(x ∈()0f x '<)x ∈+∞()0f x ¢>的单调递增区间为，单调递减区间为. ()f x \)+∞(综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x递增区间为，单调递减区间为. )+∞(【小问3详解】令，则， ()()2312ln 123g x x x x x =+->()3221212x x g x x x x x-++'=+-=令，则； ()()32211h x x x x =-++>()()262231h x x x x x '=-+=--当时，恒成立，在上单调递减，，1x >()0h x '<()h x ∴()1,+∞()()10h x h ∴<=在上恒成立，在上单调递减， ()0g x '∴<()1,+∞()g x ∴()1,+∞，即当时，. ()()12110236g x g ∴<=-=-<1x >2312ln 23x x x +<【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数单调性和不等式证明的问题；本题证明不等式的基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题.。
天津市五区县2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．A、（1，2]B．[﹣1，2] C．（1，3]D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．13．“辗转相除法”的算法思路如右图所示．记R（a\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出b的值为（）A．0 B．1 C．9 D．184．设x∈R，则“x＜1”是“x|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC 的长为（）A．5 B．4 C．D．36．若双曲线﹣=1的一条渐近线平行于直线x +2y +5=0，一个焦点与抛物线y 2=﹣20x的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）（ ）A ．﹣=1 B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=17．已知定义在R 上的函数f （x ）=x 2+|x ﹣m |（m 为实数）是偶函数，记a=f （loge ），b=f （log 3π），c=f （e m ）（e 为自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a8．已知定义域为R 的奇函数f （x ）的周期为4，且x ∈（0，2）时f （x ）=ln （x 2﹣x +b ），若函数f （x ）在区间[﹣2，2]上恰有5个零点，则实数b 应满足的条件是（ ）A ．﹣1＜b ≤1B ．﹣1＜b ＜1或b=C ．＜bD ．＜b ≤1或b=二、填空题：本大题共有5小题，每小题5分，共30分。
天津市五区县高三上学期期末考试数学(理)试题(有答案)-最新推荐
天津市部分区第一学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,4,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ． {}14,B ． {}0,14,C ． {}0,2D ．{}0,1,24,2.设变量,x y 满足约束条件24033010x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．165-B ． 3-C ．0D ．1 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（ ）A ．4B ． 5C ． 6D ． 74.已知ABC ∆是钝角三角形，若1,2AC BC ==，且ABC ∆的面积为2，则AB =（ ）A B C. ．35.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -= B ．22194x y -= C. 22149x y -= D ．22184x y -= 7.在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD BE 、相交于点P ，连结AP .设(),AP xAB yAC x y R =+∈，则,x y 的值分别为（ ） A ．1123， B ．1233， C. 1255， D ．1136，8.已知()()23xf x x e =-（其中,x R e ∈是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程()()120f x t f x t --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（ ）A ．()2,0e -B ． (]2,0e - C. 32,6e e -⎡⎤-⎣⎦ D ．(32,6e e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.9.已知,,a b R i ∈是虚数单位，若()()1222i ai b i -+=-，则a b +的值为__________．10.在6214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x -的系数为__________.（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，由曲线()10y x x=>与直线y x =和3y =所围成的封闭图形的面积为__________.13.在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线2cos :sin x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，1a >），若1C 恰好经过2C 的焦点，则a 的值为 ．14.已知()24,1,1xx x x f x e x ⎧-<=⎨≥⎩，若方程()f x kx =有且仅有一个实数解，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数()()()2cos cos f x x x x a a R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2，求a 的值. 16. （本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名自A 学校且1名为女棋手，另外4名自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. （1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（2）设X 为选出的4名队员中A B 、两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，1,//,2,2AB AD AD BC AD BC E ⊥==在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值. 18. （本小题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和()()2**11,n n n nn na a A nn N bn N a a ++=∈=+∈，数列{}n b 的前n 项和为n B .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()*2n n na c n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和n C ； （3）证明：()*222n n B n n N <<+∈.19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b . （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. 20. （本小题满分14分）已知函数()()321,,3f x x x cx d c d R =-++∈，函数()f x 的图像记为曲线C . （1）若函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，求c 的取值范围；（2）若函数()y f x m =-有两个零点(),αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（3）设曲线C 在动点()()00,A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞三、解答题15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===，()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()181613602435353535E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△AGD△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC = 故35GC AC ==. 同理可得355GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PAAC A =∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-∴4400DE AC ⋅=-+=，0DE AP ⋅=.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ； (4)分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,PE DE θ=<>=分 （ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =，(0,2,2)DP =- 由n DC ⊥，n DP ⊥∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==.………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++，123135212222-=++++n nn C ， 23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212122121-++>=+-n n n n ，即2n b >，122n n B b b b n =+++>； ………9分另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分 因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在， 由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-= 所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分 解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根 由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例，这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. …14分。
2022届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)
2022届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}1,0,1,2A =-，{}3,0,2,3B =-，则()⋃=U B A （ ） A ．{}3,3- B ．{}0,2 C ．{}1,1- D ．{}3,2,0,2,3--【答案】D【分析】利用交集和补集的定义可求()UB A .【详解】{}2,3,3UA =--，故(){}3,2,0,2,3UB A --⋃=.故选：D.2．设R x ∈，则“2x <”是“11x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先把11x -<化简，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由11x -<，得02x <<， 因为当2x <时，02x <<不一定成立， 当02x <<时，2x <一定成立，所以“2x <”是“11x -<”的必要不充分条件， 故选：B.3．函数||e sin x y x =在区间[]2,2ππ-上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再由()323e 102f ππ⎛⎫=⨯-<⎪⎝⎭，进而得到正确选项. 【详解】∵函数()||e sin xf x x =()()()esin e sin xxf x x x f x --=-=-=-，故函数()f x 为奇函数，排除BD ； ()323e 102f ππ⎛⎫=⨯-< ⎪⎝⎭，可排除C. 故选：A.432，3的长方体的顶点都在同-球面上，则该球的表面积为（ ） A ．64π B ．16π C ．643π D ．163π 【答案】B【分析】算出长方体的体对角线的长后可得球的半径，从而可求球的表面积. 【详解】3494++=，因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为4， 故表面积为16π. 故选：B.5．设0.72a =，20.7b =、2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．c a b <<【答案】A【分析】利用中间0,1进行比较，进而可以确定,,a b c 的大小关系； 【详解】由0.70221a =>=，2000.70.71b <<==， 22log 0.7log 10c =<=，所以c b a <<.故选：A.6．某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[]5,25（单位：百万元）内，将其分成5组：[)5,9，[)9,13，[)13,17，[)17,21，[]21,25，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间[)9,13内的人数为（ ）A ．16B ．22C ．64D ．88【答案】C【分析】先由各组的频率和为1，求出a ，从而可求得区间[)9,13的频率，进而可求出在区间[)9,13内的人数【详解】由题意得，4(0.020.090.030.03)1a ++++=，解得0.08a =， 所以销售额在区间[)9,13内的频率为0.32，所以全部销售员工中销售额在区间[)9,13内的人数为2000.3264⨯=， 故选：C7．已知直线l 过双曲线22193x y -=的左焦点，且与双曲线的一条渐近线平行，若l 过抛物线()220x py p =>的焦点，则p 的值为（ ）A ．12B ．22C ．2D ．4【答案】D【分析】先求出直线l 的直线方程后可求p 的值.【详解】双曲线22193x y -=的左焦点为()23,0-，渐近线的方程为3y =，而()220x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故直线l 3323y x =+， 令0x =，则32322p =，故4p =.故选：D8．已知函数())cos cos f x x x x =+.给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②6f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度后，再向上平移12个单位长度，可得到()f x 的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】先求出()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用周期公式判断①；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值判断②；利用图像变换判断③.【详解】())2cos cos cos cos f x x x x x x x =+=+()21cos 2cos 2x x x =+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭对于①：()f x 的最小正周期为22T ππ==.故①错误； 对于②：113sin 2sin 6662222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值.故②正确；对于③：把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度后得到sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向上平移12个单位长度，可得到1sin 262y x，即为()f x 的图象.故③正确. 故选：C9．已知0a >，函数()22,,43,.x x a f x x ax x a -+≤⎧=⎨-+>⎩若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭C ．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D ．[)2,+∞【答案】B【分析】讨论2x =是函数的零点和不是函数的零点两种情况，然后结合二次函数零点分布求得答案.【详解】若2x =是一个零点，则()()243f x x ax x a =-+>只有一个零点，即有2a ≥，且此时当x a >时，()2430x ax x a -+=>只有一个实根，而221612162120a ∆=-≥⨯->，解方程根得2x a =，易得222a a <即当2a ≥时，()f x 恰有2个零点，122,2x x a ==.若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的2个零点，于是22Δ1612012a a a a a ⎧<⎪=-><<⎨⎪<⎩.综上：()2,a ∞⎫∈⋃+⎪⎪⎝⎭. 故选：B. 二、填空题10．设i 是虚数单位，则1i2i-=+______. 【答案】13i 55-【分析】根据复数的除法计算即可. 【详解】()()()()1211313i 222555i i i i i i i ----===-++-. 故答案为：13i 55-【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,属于基础题.11．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是 .【答案】1516【详解】试题分析：通项为261231661()()(1)22r rrr r r r r T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，得4r =，所以常数项为422456115()()216T C x x =-=.【解析】二项展开式系数 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．已知直线20ax y -+=和圆2220x y x +-=相切，则实数a 的值为____________. 【答案】34- 0.75-【分析】先求出圆心和半径，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出a 的值【详解】由2220x y x +-=，得22(1)1x y -+=，则圆心为(1,0)，半径为1， 因为直线20ax y -+=和圆2220x y x +-=相切，1=，得22(2)1a a +=+，解得34a =-，故答案为：34-13．已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b ++的最小值为____________.【答案】32【分析】先变形：12b b a b ++23222a b b b a b +=+++，再根据基本不等式求最值. 【详解】131222222a b bb a b b b b a b b a b b a b ++++=+=++++233322222a b b b a b +=++≥=+ 当且仅当222a b b b a b +=+，即a b == 即12b b a b ++的最小值为32故答案为：32+三、双空题14．盒中装有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球.若从中取2个球，恰好都是黑球的概率是___________；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数X 的数学期望()E X =____________.【答案】 0.3310321.5【分析】根据古典概型的概率公式可求概率，再算出X 的分布列后可得其数学期望.【详解】从中取2个球，恰好都是黑球的概率为2325310C C =.又X 可取1,2,3，且()315P X ==，()()2332112,3,54105410P X P X ==⨯===⨯=故()33332510102E X =+⨯+=，故答案为：0.3，3215．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，23AC =，12AD =，6CAB π∠=，12AD AB ⋅=-，则AD AC ⋅=___________；设(),R AC mAB nAD m n =+∈，则m n +=____________.【答案】 0 6【分析】根据题意和余弦定理求得2BC =，利用平面向量的数量积求出23πBAD ∠=，进而可得2CAD π∠=，即0AD AC ⋅=；以A 为原点，以AB 为x 轴，y 轴AB ⊥建立平面直角坐标系，求出AB AC AD 、、的坐标，根据AC mAB nAD =+列出方程组，解之即可求出m n 、.【详解】因为2236AB AC CAB π==∠=，，，所以22232cos 41234BC AB AC AB AC CAB =+-⋅∠=+-=， 所以2BC =，又1122AD AB AD ⋅=-=，， 所以11cos 2cos 22AD AB AD AB BAD BAD ⋅=∠=⨯∠=-，得1cos 2BAD ∠=-，故23πBAD ∠=，所以2362CAD BAD CAB πππ∠=∠-∠=-=，则AD AC ⊥，即0AD AC ⋅=；以A 为原点，以AB 为x 轴，y 轴AB ⊥建立如图平面直角坐标系， 则13(0,0)(2,0)(3,3)(,)44A B C D -，，，，所以(2,0)AB =，13(3,3)(,)44AC AD ==-，，又()AC mAB nAD m n R =+∈，，所以324334n m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42n m =⎧⎨=⎩，所以246m n +=+=.故答案为：0；6.四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 3A C =，150B =︒，ABC 3(1)求a 的值； (2)求sin A 的值；(3)求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)3 21； (3)1314. 【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ； (2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值. 【详解】(1)∵sin 3A C ，∴由正弦定理得3a c =，又ABC 的面积为3，∴1sin15032ac ︒=，解得2c =，∴23a =；(2)由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴27b =.由正弦定理23sin15021sin sin sin 1427a b A A B ︒=⇒==. (3)∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A ＝2114得，57cos 14A =， ∴53sin 22sin cos 14A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC AD ∥，112AP AB BC AD ====，E 为棱CD 的中点.(1)求直线PD 与平面PBE 所成角的正弦值；(2)M 为直线P A 上一点，且满足∥DM 平面PBE ，求线段DM 的长. 【答案】95； 2103【分析】（1）利用坐标法，可求平面PBE 的法向量，利用线面角的向量求法即得； （2）由题设M 坐标为()0,0,t ，利用条件可得203t -+=，利用模长公式即求.【详解】(1)∵PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，∴以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，∵E 为CD 中点，∴13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭()0,2,1PD =-，()1,0,1PB =-，13,,022BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(),,1n x y =为平面PBE 的法向量，则00n PB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1013022x x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得1x =，13y =，∴11,,13n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴cos ,PD PD P n n D n ⋅==219531953-=⨯∴直线PD 与平面PBE 95(2)设M 坐标为()0,0,t ，则()0,2,DM t =- ∵∥DM 平面PBE ， ∴0DM n ⋅=， ∴203t -+=，即23t =，∴20,2,3DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴2103DM =∴线段DM 210318．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D -2.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点A ，B ，与y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点. 【答案】(1)2212x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得1b =，然后利用离心率即求；（2）设直线m 方程为()1y k x =-，联立椭圆方程利用韦达定理，可得22212P kx k =+，进而可求直线l 的方程为2y kx k =-，即证. 【详解】(1)依题意，c a =， ∴222a c =， 又1b =，222a b c =+， ∴21c =，∴22a =∴椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)由（1）知右焦点坐标为()1,0，设直线m 方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，∴22212P k x k =+，()2112P Pk y k x k -=-=+， ∴直线OP 的斜率12p OP py k x k-==∴直线l 的斜率2l k k =，令0x =得点E 坐标为()0,k -， ∴直线l 的方程为2y kx k =-，即122y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴直线l 恒过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.19．已知数列{}n a 的前n 项和()2*11N 22n S n n n =+∈，{}n b 是公比大于n 的等比数列，且满足13b a =，2336b b +=. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*n T n ∈N ，求证1132n T ≤<；(3)对任意的正整数n ，设数列,,,.n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求nk =【答案】(1)n a n =，*N n ∈，3nn b =；(2)证明见解析；(3)()1223nnk n =⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系可求n a ，利用等比数列的基本量运算可得n b ； （2）利用裂项相消法即得； （3）利用错位相乘法即得. 【详解】(1)当2n ≥时，()()2211111112222n S n n n n -=-+-=-， ∴1n n n a S S n -=-=， 又111a S ==，∴当*N n ∈时，n a n =； 设数列{}n b 的公比为q ，∴0q >，133b a ==，23336q q +=， 解得3q =，∴3nn b =.(2)∵()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴111111111233523212121n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅++-+ ⎪---+⎝⎭11111221242n n ⎛⎫=-=-⎪++⎝⎭ 当1n ≥时，110426n <≤+， ∴111132422n ≤-<+， 即1132n T ≤<. (3)()2112133kk k k +⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，设nn k D ==即()()23111111357212133333n nn D n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①由①得()()2311111135212133333nn n D n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①②得()()2311211111413222212433333333n n n n D n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而()1223nn D n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()1223nnk n =⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.20．已知函数()1ln f x x a x x=-+，a R ∈. (1)求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求a 的取值范围： (3)若0a >，()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.【答案】(1)()()21y a x =--； (2)03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；(3)证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）根据单调性可知210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，利用分离变量法可得1a x x≤+，由()()13h x x h x=+>可得结果； （3）设120x x <<，则21>x ，将所证不等式转化为22212ln 0x x x -+<，令()12ln g x x x x=-+，利用导数可求得()0g x <，由此可证得结论. 【详解】(1)由题意知：()211a f x x x'=--+，()f x 定义域为()0,∞+； ()12f a '=-，又() 10f =，∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()()21y a x =--；(2)()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减， 2210x ax x-+∴-≤在()3,+∞上恒成立， 即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立， 1a x x∴≤+在()3,+∞上恒成立； 设()1h x x x=+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，()h x ∴单调递增，()()1033h x h ∴>=， 103a ∴≤，即实数a 的取值范围是03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3)由（2）知：12,x x 满足210x ax -+=，121x x ∴= 不妨设120x x <<，则21>x .()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----∴=--+=-+=-+----. 则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-， 即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立.设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<， ()g x ∴在()0,∞+单调递减，又()10g =，∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题.。
天津市部分区2020-2021学年高三上学期期末数学试题附答案
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，l 表示圆锥的母线长． 圆锥的体积公式213V r h π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4}U =，且{4}UA =，则集合A 的子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个2．设i 是虚数单位，若复数z 满足(2)z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．1+C ．13i -D ．13i +3．已知sin()4πα-=，则cos 2α=（ ） A ．78 B ．78-C ．34D ．34-4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3421S a =+，2321S a =+，则1a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升级的核心力量．经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平．下图是“中投产业研究院”发布的《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|，根据统计图分析，以下结论不正确．．．的是（ ）A ．2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份B ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下C ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份D ．2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15% 6．“22log log a b >”是“11a b<”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0x >，0y >，且21x y +=，则12y x y y++（ ）A ．有最大值为73B 12C ．有最小值为2D ．无最小值8．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足1122MF F F =，若125cos 16MF F ∠=-，则该双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．929．已知函数2e ()||x f x x =（e 为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20f x af x a -+-=()a R ∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2e ,2e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭D ．24e 2,4e 1⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在52x ⎛ ⎝的展开式中，x 的系数是________．（用数字作答）11．已知直线50x y ++=与圆22420x y x y m ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则实数m =________．12．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．13．将函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则()f x =________．14．在平行四边形A BCD 中，1AD =，3BAD π∠=，点EF 在CD 上且满足13DE DC =，23DF DC =，若M 为AB 的中点，且1AF ME ⋅=，则AB 的长为________．15．如图，在圆锥SO中，SO =，ABC 是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO 上一点，且90APC ∠=︒，则圆锥SO 的体积为________，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为________．三、解答题：本大题共5小题共75分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，已知2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）若4AB =，ABCsin 2A 的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥D-ABC 中，已知2AB AD ==，1AC =，CD =BD =，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点．（1）求证：AD BC ⊥；（2）求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值； （3）求平面DEF 与平面DAC 所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*31n n S a n =-∈N ．（1）求{}n a 的通项公式； （2）对任意的正整数n ，设221log n n b n a +=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点且离心率为3．设P 为圆223x y +=上任意一点，过点P 作该圆的切线交椭圆于E ，F 两点．（1）求椭圆的方程；（2）试判断PE PF ⋅是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln esin xf x a x a x -=⋅+，e 是自然对数的底数，若0a >，且0x =恰为()f x 的极值点.（1）证明：112a <<； （2）求()f x 在区间(,)π-∞上零点的个数．天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10．10 11．4- 12．710 13．2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 14．94 15．3；92π 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）在ABC 中，2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin sin cos sin()B C B C B C +=+．sin sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，sin cos sin B C B C =．又sin 0C ≠，所以tan B =，又0B π<<，所以6B π=．（2）设BC t =．由题意及（1）得，14sin 26ABCSt π=⨯=解得t =BC =． 在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅⋅2242476π=+-⨯=所以AC =．由正弦定理，得sin sin AC BCB A=，所以1sin sin 6214BC A AC π=⋅==．因为AC BC =>=，所以B A ∠>∠，所以06A π<∠<．所以cos 14A ===，所以sin 22sin cos 2A A A ===．17．（1）证明：在ABD 中，2AB AD ==，BD =，所以222BD AB AD =+，所以AD AB⊥．在ACD 中，因为1AC =，2AD =，CD = 所以222CD AC AD =+，所以.AD AC ⊥ 因为AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，且AB AC A =，所以AD ⊥平面ABC ．又因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．（2）解：由（1）知，AD AB ⊥，AD AC ⊥，又90BAC ∠=︒，以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C ，(0,0,2)D ，因为E ，F 分别为AB ，CB 的中点，所以(0,1,0)E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 所以(0,1,2)DE =-，1,1,22DF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即201202y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，得2y =，0x =，所以(0,2,1)n =． 设直线BD 与平面DEF 所成角为θ．因为0422DB n ⋅=+-=，||22DB =||5n =，所以2sin ||||22BD n BD n θ⋅===⋅⨯．因为02πθ<<，所以cos 10θ==． 即所求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值为10． （3）解：由（1）知，AB ⊥平面DAC ，所以平面DAC 的一个法向量为(0,2,0)AB =． 因为4n AB ⋅=，||2AB =，所以cos ,||||5n AB n AB n AB ⋅〈〉===⋅设平面DEF 与平面DAC 所成的二面角为φ，因为0φπ<<．所以5sin 5φ==故所求平面DEF 与平面DAC 所成的二面角的正弦值为5． 18．解：（1）由题意，知31n n S a =-，*N n ∈，①令1n =得，1131S a =-， 因为11S a =，所以112a =-． 当2n ≥时，1131n n S a --=-，②所以-①②，得()()113311n n n n S S a a ---=---， 即13n n n a a a -=-，所以11(2)2n n a n a -=-≥． 所以数列{}n a 是首项为12-，以12-为公比的等比数列， 所以12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2211111log (2)22n n b n a n n n n +⎛⎫=-==- ⎪++⎝⎭．所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． 因为*N n ∈，所以1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以34n T <． 19．解：（1）由题可得222223621c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 所以椭圆的方程为221124x y +=． （2）①当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为x =则P，E，F ，所以3PE PF ⋅=-． ②当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为y kx m =+， 设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,P x y ． 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得()2221230kxkmx m +++-=，由直线与圆相切易得()2231m k =+，021kmxk =-+， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得()2221363120kxkmx m +++-=，则()()2222364133120k m km∆=-+->，所以21212226312,1313km m x x x x k k -+=-=++．所以()()10102020,,PE PF x x y y x x y y ⋅=--⋅--()()()()10201020x x x x y y y y =--+--()()()210201k x x x x =+--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222222263121113131km km m km k k kk k ⎡⎤⎛⎫⋅- ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2293313k k--==-+． 综上可知，PE PF ⋅为定值3-．20．解:（1）由题意，得()ln (1)ecos xf x a x a x -'=⋅-+．因为0x =为函数()f x 的极值点， 所以(0)ln 0f a a '=+=．令()ln (0)g x x x x =+>，显然a 是()g x 的零点．则1()10g x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(1)0g >，111ln 0222g ⎛⎫=+=<⎪⎝⎭， 所以()ln (0)g x x x x =+>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点a ， 所以112a <<． （2）由（1）知，()ln ,()sin exa a f x a x x -=-=-，()cos (1)e xf x a x x -⎡⎤=--⎣'⎦． ①当(,0)x ∈-∞时，由0a >，1cos 1x -≤≤，11x ->，e 1x->得，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0f x f >=，所以()f x 在区间(,0)-∞上不存在零点．②当(0,)x π∈时，设()cos (1)e x h x x x -=--，则()(2)e sin x h x x x --'=-， （ⅰ）若0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)esin x m x x x -=--， 则()(3)ecos 0x m x x x -=-'-<， 所以()m x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． 因为(0)20m =>，22e 1022m πππ-⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0m α=． 当(0,)x α∈时，()()0m x h x '=>，()h x 在(0,)α上单调递增； 当,2x πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0m x h x '=<，()h x 在,2πα⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅱ）若,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)e x x x ϕ-=-，,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则()(3)e0x x x ϕ-=-<'， 所以()x ϕ在区间,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以21()2e 22e x πππϕϕ-⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又因为1sin sin 2sin(2)sin 62x ππ≥=->=， 所以()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅲ）若(2,)x π∈，则()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在(2,)π上单调递减．由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，()h x 在(0,)α上单调递增，()h x 在(2,)π单调递减．因为()(0)0h h α>=，()(1)e10h πππ-=--<，所以存在(,)βαπ∈使得()0h β=， 所以，当(0,)x β∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在(0,)β上单调递增， 所以()(0)0f x f >=；当(,)x βπ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在(,)βπ上单调递减， 因为()(0)0f f β>=，()0f π<，所以()f x 在区间(,)βπ上有且只有一个零点，综上，()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数为2．。
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天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.题 号 一 二三总 分1516 17 18 19 20 得 分.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =I ． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆的面积为3， 则=AB（A ）3 （B ）7 （C ）22 （D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ，连结AP ．设AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x y ∈R （），则x ，y 的值分别为（A ）11,23 （B ）12,33 （C ）12,55 （D ）11,36（8）已知2()(3)e xf x x =-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0-（C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ （D ）(32e,6e -⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________. （10）在261(4)xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数()2cos(cos)f x x x x a=+（a∈R）.（I）求()f x的最小正周期；（II）当[0,]2xπ∈时，()f x的最小值为2，求a的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，AB AD⊥，//AD BC，122AD BC==，E在BC上，且PAD112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD . （I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ； （III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为P1835 1635 135X ()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故3655GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,5PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分 ∴cos <n ，2115535DE +>==⨯u u u r .………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L n nn C ， 23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212121212221212121-+-++>⋅=+-+-n n n n n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分（Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--= 由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分 解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空题:9.8 10. 24- 11. 3285+ 12. 4ln 3- 13.5 14. (,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I ）函数2()2cos 23sin cos cos 213sin 2f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为X24P18351635135()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故36555GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分 又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯u u u r .………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ，两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分 （II ）由题意知：2122-==n n n n a n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L nnn C ， 23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212121212221212121-+-++>⋅=+-+-n n n n n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分 所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+， 知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+ 将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--，即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项， 所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =-所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。