七中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题解析

成都七中2013—2014学年度下期高一数学期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）【试卷综析】注重对基本知识和基本技能的考察：试题利用选择、填空、解答三种题型，全面考察了这一阶段学习的高中数学的基本知识和基本技能，考查了数形结合的思想方法；注重能力考查，在知识中考能力，试题体现考虑基础的一面，但并没有降低对能力的要求，靠单纯的记忆公式就能解决的问题不多，而是将数学思想、数学素质、能力融入解题过程中。

试题通过不同的数学载体全面考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力. 一、 选择题（共50分）1.已知()11,sin ,cos ,,2a b a a 骣琪==琪桫且//a b ，则锐角a 等于（ ）. A. 030 B. 045 C. 065 D. 075 【知识点】向量共线定理的坐标运算. 【答案解析】B 解析 ：解：∵//a b ，∴11si n cos 0,2a a ?=，化为sin2α＝1．∵a 是锐角，∴()020180a Î，．∴0290a =，解得a =045．故选：B ． 【思路点拨】利用向量共线定理的坐标运算即可得出．2.已知A ，B ，C 是直线l 上三点，M 是直线l 外一点，若,MA xMB yMC =+则,x y 满足的关系是（ ）A. x y + 0B. 1x y +>C. 1x y +<D. 1x y +=【知识点】向量共线的基本定理.【答案解析】D 解析 ：解：因为A ，B ，C 是直线l 上三点，所以A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，又因为,AB MB MA BC MC MB =-=-，由以上三个式子联立可以得到：()MB MA k MC MB -=-，整理可得()()1MA k MB k MC =++-，而已知条件当中有,MA xMB yMC =+由此可得1,x k y k =+=-，故1x y +=，故选D.【思路点拨】先借助于A ，B ，C 三点共线，则有AB k BC =，然后用k 表示出MA 进而比较可得1x y +=.3.已知2241a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．12 B. 14 C. 13 D. 18【知识点】基本不等式.【答案解析】B 解析 ：解：因为2241a b +=，所以()()22222111412222224a b a b ab a b ++=４=?，故选B. 【思路点拨】利用基本不等式直接求最大值即可. 4.已知0a b +>，0c >，则()14a b c a b c骣琪+++琪+桫的最小值是（ ） A.5 B.6 C.8 D.9 【知识点】基本不等式.【答案解析】D 解析 ：解：把原式变形()()1414a b c a b c a b c a b c 骣骣轾琪琪+++=+++琪琪臌++桫桫 ()45a b ca b c+=+++，又因为0a b +>，0c >，所以利用基本不等式可得 ()455549a b c a b c +++?+=+，故选D.【思路点拨】把原式变形后利用基本不等式直接求最大值即可.5.设变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y ì- ïï+ íï+ ïî，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．32 B ．1 C ．12D ．2 【知识点】简单的线性规划.【答案解析】B 解析 ：解：先根据约束条件画出可行域，当直线2z x y =+过点11,33A 骣琪琪桫时，z 最小值是1，故选B ． 【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可． 6.平面上,,A B C 三点不共线，O 是不同于,,A B C 的任意一点，若()()0OB OC AB AC -+=，则ABC D 的形状是（ ）A.等腰DB.Rt DC.等腰直角DD.等边D 【知识点】向量的基本运算；中垂线定理.【答案解析】A 解析 ：解：根据题意画出图形为ABC D，设BC 中点为E 点，O 是不同于,,A B C 的任意一点，()()0OB OCAB AC -+=，即20CB AE?,所以AE 是BC 的中垂线,所以AB AC =,故ABC D是等腰D ，故选A.ECB【思路点拨】画出图形后利用已知条件得到20CB AE ?，然后再利用中垂线的性质即可.7.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm ）可得这个几何体的体积是（ ）A.433cm B. 833cm C.33cm D.43cm 【知识点】三视图的应用;空间几何体的体积.【答案解析】B 解析 ：解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD 为边长为2cm 的正方体，OE ⊥CD 且E 是CD 的中点，8.如果将OA=1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB ，则OB 的坐标是（）A.12骣琪-琪桫 B.12-桫C. (-D. 12骣琪-琪桫 【知识点】向量间的关系；点的对称性.【答案解析】D 解析 ：解：因为OA=12桫所在直线的倾斜角为030，绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 所在直线的倾斜角为0150，所以,A B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为12骣琪-琪桫，故OB的坐标是12骣琪-琪桫，故选D. 【思路点拨】将OA =1,2桫绕原点O 逆时针方向旋转0120得到OB 后可得,A B 两点关于y 轴对称，据此可得结果.9.设001cos662a =-，0202tan131tan 13b =+,则有（） A. a b < B. a b > C. a b ³ D. ,a b 的大小关系不确定 【知识点】两角差的正弦公式；万能公式；正弦函数的单调性.【答案解析】A 解析：解：因为0001cos66sin 24,2a =-=00202tan13sin 261tan 13b ==+， 由正弦函数的单调性可知0sin 24sin 26<，故选A.【思路点拨】先把两个三角式化简，再利用正弦函数的单调性即可.10.如图，在直角梯形ABCD 中，1,2DA AB BC ===点P 在阴影区域（含边界）中运动，则有PA BD 的取值范围是（ ）A ．1,12轾-犏犏臌 B ．11,2轾-犏犏臌 C ．[]1,1- D ．[]1,0-【知识点】向量的坐标表示；简单的线性规划.【答案解析】C 解析：解：以BC 所在的直线为x 轴，以BA 所在的直线为y 轴建立坐标系，如下图：可得()0,0B ,()2,0C ,()0,1A ,()1,1D ,设(),P x y ,所以1PA BD x y =--+，令1z x y =--+，由几何意义可知z 表示y 轴上的负截距，可知过()0,0B 时有最大值1，与DC重合时有最小值1-，故答案为[]1,1-.【思路点拨】建立坐标系后用坐标表示出PA BD 后再借助于线性规划求得最值. 二、填空题（共25分）11.已知数列{}n a 为等差数列，前九项和9S =18，则5a =_________ ． 【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质. 【答案解析】2解析：解：()199599182a a S a +===,52a \=，故答案为：2.【思路点拨】利用等差数列的前n 项和以及等差数列的性质找出9S 与5a 间的关系解之即可. 12.如果数列{}n a 满足1111n na a +-=，11a =，则2014a =_________ ．【知识点】 等差数列的通项公式；等差数列的定义.【答案解析】12014解析 ：解：因为11a =，1111n n a a +-=，所以数列1n a 禳镲睚镲铪是以1为首项，1为公差的等差数列，则有()()1111111n n d n n a a =+-=+-?，所以201412014a =，即 201412014a =，故答案为12014. 【思路点拨】由等差数列的定义可得数列1n a 禳镲睚镲铪是等差数列，然后求其通项公式再求结果即可.13.圆柱形容器内盛有高度为4cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.【知识点】组合几何体的面积、体积问题．【答案解析】2解析 ：解：设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得32243463r r r r p p p ?创＝，解得2r =．故答案为：2. 【思路点拨】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．14.在等比数列{}n a 中，1234561,3a a a a a a ++=++=，则该数列的前9项的和等于_____ ．【知识点】等比数列的性质.【答案解析】13解析 ：解： 因为()34561233a a a q a aa ++=++=，1231,a a a ++=所以33q =，而()3789456339a a a qaa a ++=++=?，所以该数列的前9项的和()()()912345678913913S a a a a a a a a a =++++++++=++=，故答案为:13.【思路点拨】利用已知条件先求得789a a a ++，再求该数列的前9项的和即可. 15.0=_____ ．【知识点】诱导公式；二倍角的余弦公式的逆用；辅助角公式.2020=()0000000000sin45cos5cos45sin5cos5sin5cos40cos40cos40++===【思路点拨】借助于三角公式进行化简即可.三、解答题（共75分）16. ABCD中，,,a b c分别是角,,A B C的对边，若2,b ac=且22a bc ac c+=+.（1）求AÐ的大小;（2）求sinb Bc的值.【知识点】正弦定理；余弦定理.【答案解析】（1）60A=（2解析：解：(1)2222222cosb aca bc ac ca b c bc Aì=ïï+=+íïï=+-î1cos2A?60A?. 6分(2)sin sin sinsinb B B Bc C⋅=，又2b ac=，有2sin sin sinB A C=，则sinsinb BAc==12分【思路点拨】（1）利用已知条件结合余弦定理即可得到结果；（2）正弦定理结合已知条件2b ac=的变形2sin sin sinB A C=即可.17.已知()()13cos,cos55a b a b+=-=.（1）求tan tana b的值；（2）若()30,,0,2pa b p a b骣琪+??琪桫求cos2b的值.【知识点】两角和与差的余弦公式.【答案解析】（1）12（2解析：解：(1)1cos()5cos()3cos()3cos()5αβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⇒-=+⎨⎪-=⎪⎩14sin sin 2cos cos tan tan 2αβαβαβ⇒=⇒=5分(2) 1cos()()5(0,)sin αβαβαβπ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪+∈⎩ 6分 3cos()5(,0)32(,0)2αβπαβπαβ⎧-=⎪⎪⇒-∈-⎨⎪-∈-⎪⎩7分 4sin()5αβ-=- 8分cos2cos[()()]βαβαβ=+--=12分 【思路点拨】（1）把两个已知条件展开即可；（2）用a b +与a b -表示出2b 即可求cos 2b . 18.已知0,a >解关于x 的不等式()22140ax a x -++<. 【知识点】含参数的一元二次不等式的解法.【答案解析】不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a<<； 当1a =，无解解析 ：解：方程22(1)40ax a x -++<的两根为2,2a，1当01a <<，即22a >，解为22x a <<； 4分 2当1a >，即22a <，解为22x a <<； 8分3当1a =，即22a=，无解； 11分综上，不等式的解集为当01a <<，解为22x a <<；当1a >，解为22x a<<；当1a =，无解 12分【思路点拨】对参数进行分类讨论即可.19.已知向量()1cos ,sin p a a =，向量()2cos ,sin p b b =. （1）求1p 在2p 方向上的投影； （2）求122p p +的最大值；（3）若3pa b -=，R l Î，()12nn a p p l 轾= 犏臌，12...n n S a a a =+++，求n S .【知识点】向量的数量积公式; 向量的坐标表示; 分类讨论的思想方法;等比数列求和.【答案解析】（1）cos()a b -（2）3（3）,21(1())2,22n n n S l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î解析 ：解：(1) 12122=cos()||p p p p p αβ⋅-在方向上的投影为3分(2) 21212|2|=5+4cos()9|2|3p p p p αβ-≤⇒≤++，当cos()1αβ-=，即当2()k k Z αβπ-=∈时，12max |2|3p p =+， 7分(3) 12()(cos())1()23n nn n n a p p a λλαβλπαβ⎧=⋅=-⎪⇒=⎨-=⎪⎩， 9分 12111()()()222n n S λλλ=+++， ,211(1())22,201120=0n n n S l l l l ll l ì=ïï-ïï=构íï-ïïïî且，,21(1())2,22n n l l l l l ì=ïï=í-ï¹ï-î12分【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式的变形公式即可；（2）用向量的坐标表示出122p p +再求最大值即可；（3）利用分类讨论的思想方法求等比数列的前n 项和即可. 20.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-.（1）当时0,2x p轾Î犏犏臌，求()f x 的值域；（2）如果6()5f q =，263p pq <<，求cos 2q 的值； （3）如果6()5f q =，求2tan 6p q 骣琪-琪桫的值. 【知识点】降次公式；辅助角公式；函数的值域；两角差的余弦公式. 【答案解析】（1）[1,2]-（2（3）14解析 ：解：（1）解：()cos 222sin(2)6f x x x x π=+=+… 2分[0,]2x π∴∈ 72666x πππ∴≤+≤1sin(2)126x π∴-≤+≤ … 3分()f x ∴的值域为[1,2]- … 4分（2）6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+= 又263ππθ<<， ∴32262πππθ<+< ∴ 4cos(2)65πθ+=- …5分∴cos 2cos[(2)]66ππθθ=+- …7分=cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππθθ+++=431552-+⋅…8分 （3）6()5f θ=∴3sin(2)65πθ+= ∴cos(2)3πθ-=3sin(2)65πθ+= …10分∴222sin ()1cos(2)63tan ()6cos ()1cos(2)63ππθθπθππθθ----==-+- …12分 =31153415-=+ … 13分【思路点拨】（1）先把函数化简，然后再借助于定义域可求；（2）利用已知条件可求出sin(2),cos(2)66p p q q ++，然后代入cos 2cos[(2)]66ππθθ=+-的展开式即可；（3）利用正切式可求.21.已知数列{}n a 的前项n 和()*2324nn n S a n N =-? .（1）求证数列2n na 禳镲睚镲铪是等差数列； （2）设n T 是数列{}4n S -的前项n 和，求n T ；（3）设()11352n n n n n c a a -++=，数列{}n c 的前项n 和为n Q ，求证2152n Q ?. 【知识点】构造新数列；错位相减法；数列的单调性.【答案解析】（1）见解析（2）14(146)2n n T n =--（3）见解析 解析 ：解：(1)证明： 2324n n n S a =-⋅+ ①当2n ≥时，1112324n n n S a ---=-⋅+ ②①-②得：112232n n n n a a a --=--⋅即11232n n n a a --=+⋅，等式两边同除2n得：113222n n n n a a --=+,∴数列{}2n na 是等差数列 …4分 （2）1112324S a =-⋅+，∴12a =,由（1）113(1)222n n a a n =+-=312n - ∴3122n n n a -=⋅,∴4(34)2n n S n -=- …6分 12(4)(4)...(4)n n T S S S =-+-++-=12(314)2(324)2...(34)2n n ⋅-+⋅-++⋅- 错位相减易求14(146)2n n T n =-- …8分（3）11(35)231322222n n n n n C n n -++=-+⋅⋅⋅=(35)(31)(32)2n n n n +-⋅+⋅ …9分 =2(32)(31)(31)(32)2n n n n n +---⋅+⋅ =111(31)2(32)2n nn n ---+ …12分 易求n Q =011(311)2(32)2n n -⨯-+ =112(32)2nn -+ …13分 显然{}n Q 单增，又1(32)2n n +>0，∴112n Q Q ≤<,即2152n Q ≤<…14分 【思路点拨】（1）由已知得到1112324n n n S a ---=-⋅+，两式相减构造新数列即可证明；（2）利用错位相减法求和即可；（3）利用函数的单调性即可证明.。