圆的有关概念
与圆有关的概念
与圆有关的概念有：
1.圆的基本性质：圆的定义、有关概念（弦、直径；弧、等弧、
优弧、劣弧、半圆；弦心距；等圆、同圆、同心圆）、“三点定圆”
定理。
2.直线与圆、圆与圆的位置关系：相交、相切、相离。
3.与圆有关的角的定理：圆心角、弦心角。
4.与圆有关的比例线段定理：垂径定理、平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
5.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
6.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是
等圆。
7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
【2020中考数学专项复习】：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中． 7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)离相等，即外心不一定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述． (1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P 在⊙O 外，连接PO 交⊙O 于A ，延长PO 交⊙O 于B ，则在点P 与⊙O 上各点连接的线段中，PB 最长，PA 最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P 为⊙O 内一点，直径过点P ，交⊙O 于A 、B 两点，则PB 最长、PA 最短． 2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°+A ∠21．(2)如图所示，E 是△ABC 的两外角平分线的交点，A BEC ∠21-°90=∠．(3)如图所示，E 是△ABC 内角与外角的平分线的交点，∠E=A ∠21．(4) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 分别为切点，则∠DOE ＝180°－∠A ．(5)如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，A DFE ∠21-°90=∠．(5) 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点，P 为DE 上一点，则A DPE ∠21+=°90=∠．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ． 【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中． 举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．已知：如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．【总结升华】有关切线的判定，主要有两种类型，若题目已经给出了直线与圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法(此题就如此)；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法，简称“作垂直证半径”．举一反三：【变式】如图所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面积为S．⊙O是△ABC的内切圆，求内切圆半径r．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且21-3=OF，求证△DCE≌△OCB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，则∠CMP的大小是否变化？【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是EA的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 （ ）A.相交B.外切C.外离D.内含2．如图，AB 为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD ，如果∠BOC=70°，那么∠A 的度数为 （ ）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 （ ）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题 第3题 第4题 第5题4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为 （ ）A.B.C.D.6. 如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C．D．二、填空题7．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为 .8．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC于点B．若OB=5，则BC的长等于 .9．如图所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm的正方形中，与相外切，且分别与边相切，分别与边相切，则圆心距= cm．11．如图所示，是的两条切线，是切点，是上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A的度数是 .12．在圆的内接等腰三角形ABC（三角形ABC三个顶点均在圆周上）中，圆心到底边BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰AB的长为 .AB34354345ABCD1O2O1O,DA DC 2O,BA BC12O O,EB EC O,B C,A D O三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，32==DO DC DP DB ． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A 、B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A 、⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t ≥0)．(1)试写出点A 、B 之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A 出发后多少秒两圆相切?15. 如图所示，半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA ＝4:3，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．(1)当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；(2)当点P 运动到AB 的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB 、CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB ，CD 之间（包括AB ，CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 ．探究一在图1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是 ．探究二将如图1中的扇形纸片NOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．）343434。
圆的知识点概念公式大全
圆知识点概念公式大全一．圆定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆；2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆；3．半径相等圆叫做等圆．三．弦与弧1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍．2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距．5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形．四．与圆有关角及相关定理1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径．〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角．圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交角叫圆外角．圆外角定理：圆外角度数等于圆外角所对长弧度数与短弧度数差一半．5．圆内接四边形对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦相等，所对弦弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧．平分弦〔不是直径〕直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；2．其它正确结论：⑴弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；⑵平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧．⑶圆两条平行弦所夹弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点与圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上最大距离是6，最小距离是2，求该圆半径2．〔08郴州〕在Or=，AB CD⊙中，半径5，是两条平行弦，且，，那么弦AC长为__________．．==AB CD86六．点与圆位置关系1．点与圆位置有三种：⑴点在圆外⇔d r>；⑵点在圆上⇔d r=；⑶点在圆内⇔d r<.如下表所示：2．过点作圆⑴经过点A圆：以点A以外任意一点O为圆心，以OA长为半径，即可作出过点A圆，这样圆有无数个．⑵经过两点A B、圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以、圆，这样圆也有无数个．OA长为半径，即可作出过点A B⑶过三点圆：假设这三点A B C、、共线时，过三点圆不存在；假设、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC中垂线交点，而这A B C个交点O是唯一存在，这样圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定圆圆心．3．定理：不在同一直线上三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上〞这个条件不可无视，换句话说，在同一直线上三点不能作圆；⑵“确定〞一词含义是“有且只有〞，即“唯一存在〞．4．三角形外接圆⑴经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆，外接圆圆心是三角形三条边垂直平分线交点，叫做三角形外心，这个三角形叫做这个圆内接三角形．⑵三角形外心性质：①三角形外心是指外接圆圆心，它是三角形三边垂直平分线交点，它到三角形各顶点距离相等；②三角形外接圆有且只有一个，即对于给定三角形，其外心是唯一，但一个圆内接三角形却有无数个，这些三角形外心重合.⑶锐角三角形外接圆圆心在它内部〔如图1〕；直角三角形外接圆圆心在斜边中点处〔即直角三角形外接圆半径等于斜边一半，如图2〕；钝角三角形外接圆圆心在它外部〔如图3〕.五．直线与圆位置关系定义、性质及判定设O⊙半径为r，圆心O到直线l距离为d，那么直线与圆位置关系如下表：从另一个角度，直线与圆位置关系还可以如下表示：四．切线性质及判定1. 切线性质：定理：圆切线垂直于过切点半径．推论1：经过圆心且垂直于切线直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线直线必经过圆心．2. 切线判定定义法：与圆只有一个公共点直线是圆切线；距离法：与圆心距离等于半径直线是圆切线；定理：经过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线．3. 切线长与切线长定理：⑴在经过圆外一点圆切线上，这点与切点之间线段长，叫做这点到圆切线长．⑵从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，圆心与这一点连线平分两条切线夹角．五．三角形内切圆1. 定义：与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆外切三角形．2. 多边形内切圆：与多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，该多边形叫做圆外切多边形．六．圆与圆位置关系定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙半径分别为R r 、〔其中R r >〕，两圆圆心距为d ，那么两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义性质及判定 外离两个圆没有公共点，并且每个圆上点都在另一个圆外部．d R r >+⇔两圆外离外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上点都在另一个圆外部． d R r =+⇔两圆外切相交 两个圆有两个公共点． R r d R r -<<+⇔两圆相交内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上点都在另一个圆内部． d R r =-⇔两圆内切内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上点都在另0d R r ≤<-⇔两圆内含相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形定义：各条边相等，并且各个内角也都相等多边形叫做正多边形．2. 正多边形相关概念：⑴正多边形中心：正多边形外接圆圆心叫做这个正多边形中心．⑵正多边形半径：正多边形外接圆半径叫做正多边形半径．⑶正多边形中心角：正多边形每一边所对圆心角叫做正多边形中心角．⑷正多边形边心距：中心到正多边形一边距离叫做正多边形边心距．3. 正多边形性质：⑴正n边形半径与边心距把正n边形分成2n个全等直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心对称轴；⑶偶数条边正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算相关公式第 11 页 设O ⊙半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n R l = 2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体外表积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体外表积公式：2ππS R Rl =+〔l 为母线〕 常见组合图形周长、面积几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系
总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点进阶：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点进阶：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用例1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．例2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定例3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．类型二、圆的切线判定与性质的应用例4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用例5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且312OF-=，求证△DCE≌△OCB．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．例6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．举一反三：A的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是E(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为0AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ）A ．34B ．35 C ．43D ．45二、填空题7．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为 .8．如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．O B⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 .9．如图所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为________．第8题 第9题 第10 题10．如图所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．11．如图所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P 是∠ACQ 的外心，其中正确结论是 （只需填写序号）．三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）。
圆的有关概念
‘
．
．
‘１ １ 要 真 正 了解 一 个 人 ， 要 在他 处 于不 幸 的 时候 来判 需 断他 。—一 拿 破仑 一 －
和 ．
半圆 圆 的任意一 条直 径 的两个 端点 问 的部 弧 （ 般用 三个 字母表 示 ） 一 ．
小于 半 圆的弧 叫做劣 弧．
区分 弧与 弦、 直径 与半 圆 的关 系 ：
（ ） 是 圆上 的部 分 （ １弧 曲线段 ） ．
Ｖ 册
圆
圆的定 义
１ 描 述型 定义 在 同… 平 面 内 ，线段 Ｏ ． ・ Ａ绕 它 的 固定端 点 ０ 旋转 一周 ． ・ 端 点 ， 另 个 ４所形 成 的封 闭 的 图形 叫 做 圆 ， 中固 定 其
的端 点 ０为 网心 ， 线段 Ｏ 叫半 径． Ａ
２ 集合 观点 圆可 以看 做到 定点 ０的距 离等 于定 长 Ｏ 的点 ． Ａ 的集 合． 中定 点 ０叫 圆心 ， 长 Ｏ 叫半 径． 其 定 Ａ 利用 网的集 合定 义 ， 以得 到 ： 可 圆的 内部 可看做 到定 点 的距 离小 于定 长 的点 的集 合． 圆的外 部 叮看做 到定 点 的距 离大 于定 长的点 的 集 合．
弦是线段 （ 直线 段 ） ．
（ ） 一条 弦 对应 两条 弧． 弦不是 直 径 时 ， 条 弧为 优弧 ， ２每 当 一 另
一
条弧 为劣 弧．
当弦 为直径 时 ， 每条弧 都是半 圆 ．
Ｔ ａｙ ｎ ｅｓ ｎ ｍ ｎｗ ｓｊｄｅｈ ｓ ｒ ｎ． ｏ ｅｌ ｄｒ ａｄａ ａ ｅ ｒ ｌｕ ｔ ｍｕｔｕ ｇ ｉ ｉ ｍｉｏ ｕ ｅ ｍ ｎ ｆｔ
解
连 接 ０ ０ Ａ， ０ ， ０ ０． １ Ａ， ２ ０Ｂ， ＡＢ， １２
第二十六讲 圆的相关概念及应用
【解】(1)连接 OA，OC，过 O 作 OH⊥AC 于点 H，如图 1，
∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝12∠AOC＝60°.
∵AH＝12AC＝
3，∴OA＝
AH sin60
＝2.
故⊙O 的半径为 2.
.
课堂精讲
(2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE，如图 2， ∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形． ∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°. ∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形． ∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
知识回顾
2．与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫__弦__；经过圆心的弦叫_直__径____，是圆
内最长的弦；圆上任意两点间的部分叫__圆__弧___，简称弧，圆的 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作 __半__圆___，大于半圆的弧叫作__优__弧___，小于半圆的弧叫作 __劣__弧___，能够完全重合的弧叫作__等__弧___；能够重合的两个圆叫 作_等__圆____；圆心相同的圆叫作___同__心__圆__．
3．推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角__相__等____． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角____.90°的圆周角所对的弦
高中数学圆的知识点和公式
高中数学圆的知识点和公式
圆是高中数学中重要的几何概念之一，掌握圆的知识点和公式对于解决许多与
圆相关的数学问题至关重要。
以下是我总结的一些与圆有关的知识点和公式：
1. 圆的基本概念：圆是由平面上到一个固定点距离相等的点构成的集合。
圆由
圆心和半径来确定，其中圆心是圆内所有点到该点的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 弧长：圆的弧长是指圆上两个点之间的弧所对应的弧长。
弧长可以通过圆的
周长与圆心角的关系得到，公式为：弧长 = (圆心角度数/ 360) * (2πr)，其中r为圆
的半径。
3. 扇形面积：扇形是圆上的一部分，由圆心角所对应的弧和半径所围成。
扇形
的面积可以通过圆的面积与圆心角的关系得到，公式为：扇形面积 = (圆心角度数 / 360) * πr²，其中r为圆的半径。
4. 圆的面积：圆的面积是指整个圆所覆盖的平面区域。
圆的面积公式为：圆的
面积= πr²，其中r为圆的半径。
5. 切线和切点：切线是与圆相切于圆上一点的直线，切点是切线与圆的交点。
切线与半径的关系是垂直，即切线与半径相交时，两者垂直。
6. 弦和弦长：弦是圆上两点之间的线段，弦的长度称为弦长。
弦长可以通过圆
心角的正弦值和半径的关系计算，公式为：弦长 = 2 * r * sin(圆心角度数/2)，其中
r为圆的半径。
以上是一些高中数学中与圆相关的知识点和公式。
掌握这些内容将有助于解决
与圆相关的几何问题，例如计算圆的面积、弧长和扇形面积等。
熟练运用这些知识，将能够更好地理解和应用圆的性质和运算。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
圆的有关概念及性质
圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。
2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。
【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
圆的有关知识点
圆的定义与有关概念（知识点） 圆的定义： 1、形成性定义:在一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径．记作“⊙O”,读作“圆O"．2、集合性定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径． 与圆有关概念3、弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．直径：经过圆心弦，称为直径．注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．4、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧，以A 、B 为端点的弧用“"表示．读作“弧AB”．能够重合的两条弧叫做等弧．小于半圆周的弧叫做劣弧,大于半圆周的弧叫做优弧．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等;相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等．5、半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．7、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心．注意:圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．圆具有旋转对称性。
特别的，圆是中心对称图形，对称中心为圆心,围绕圆心任意旋转一个角度α，都能够与原来的图形重合。
注意：①圆不但是轴对称图形，还是中心对称图形。
②实际上，圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
8、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 9、垂径定理推论：平分弦(不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.10、弓高（拱高），弦心距：一条弦的中点和它所对的弧的中点所连线段叫做弓形的高，圆心到弦的距离叫弦心距.11、半径、弦长、弓高及弦心距之间的关系：设圆的半径为R ,弦长为a ,弦心距为d ，弓高为h ，则d +h =R ；d 2+（2a )2=R 2,在R 、a 、d 、h 这四个量中，已知其中两个量即可求出另两个量。
圆的基本定义
一、圆的有关概念1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
3、弦：圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径二、点与圆的位置关系1、点与圆的位置有关系三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内。
2、点与圆的位置关系（点到圆心的距离d与半径r的关系）：点在圆外d>r点在圆上d=r点在圆内d<r例1、⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0,0），点A的坐标为A(4,2)，则点A 与⊙O的位置关系是（）(A) 点A在⊙O内(B) 点A在⊙O上(C) 点A在⊙O外(D) 点A在⊙O内或在⊙上三、圆的轴对称性（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论1：a平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
b：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧。
c：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等四、圆是轴对称图形：其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心五、弧，弦，圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、三角形内心和外心：确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三遍的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心七、与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于他所对的弧的度数。
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
（3）圆心角和圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆的有关概念总结
圆的有关概念1、圆的定义①描述性定义：如图在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫圆，记作⊙O，读作“圆O”．固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．注意：描述性定义直观形象地描述了圆的形成过程，由此可见，确定圆的条件是圆心和半径．②点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．注意：点集定义准确深刻地揭示了圆的本质属性，它包括两个方面的含义：一是圆上任意一点到圆心(定点)的距离都等于定长(半径)；二是所有和圆心的距离等于定长(半径)的点都在圆上．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4直线和圆的位置关系的定义及有关概念(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．6、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．8、圆和圆的位置关系(1)图示定义法(交点数)①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：(Ⅰ)没有公共点： (Ⅱ)有惟一公共点： (Ⅲ)有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R 和r(R ＞r)，圆心距为d ，则：(1)两圆外离d ＞R ＋r ； (2)两圆外切d=R ＋r ；(3)两圆相交R －r ＜d ＜R ＋r ；(4)两圆内切d=R －r ； (5)两圆内含d ＜R －r ．1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的周长C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
(中考考点梳理)圆的性质及与圆有关的位置关系-中考数学一遍过
考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．学-科网（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16 cm，则球的半径为A．cm B．10 cmC．cm D．cm【答案】B【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题．典例3 如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为A ．2 cmB cmCD 【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD 的长，再根据垂径定理得AB 的长． 作OD ⊥AB 于D ，连接OA ．根据题意得OD =12OA =1cm ，再根据勾股定理得：AD cm ，根据垂径定理得AB ． 故选C ．3．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，则弦AB 的长是A ．3B ．6C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB 大棚顶点C离地面的高度为2．3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1．70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°的弧，则∠BOC=A．110° B．80°C．40° D．70°【答案】A【解析】连接OE，如图所示：∵弧DE 为40°的弧，∴∠DOE =40°．∵OD =OE ，∴∠ODE =180402︒-︒=70°． ∵弦DE ∥AB ，∴∠AOC =∠ODE =70°，∴∠BOC =180°–∠AOC =180°–70°=110°．故选A ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 典例5 如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB =120°，P 为弧AB 上一点，则∠APB 度数是A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】如图，在优弧AB 上取点C ，连接AC 、BC ，由圆周角定理得由圆内接四边形的性质得到，180120APB ACB ∠=︒-∠=︒，故选C ． 【点睛】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA =50°，AB =4，则 BC的长为A ．103π B ．109π C ．59π D ．518π 6．如图，AB 是⊙O 的直径， =BCCD DE =，∠COD =38°，则∠AEO 的度数是A．52° B．57° C．66° D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7 在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．学_科网考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8 如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B 的度数是A．40° B．50°C．25° D．115°【答案】C【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．连接OA，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，∴∠B=∠BAO=12∠AOC=25°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．典例9 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是A．大于B．等于C．小于D．不能确定10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE AC于E．；（2）DE为⊙O的切线．求证：（1）DB DC1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是 AB上的点，E是 AC上的点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E=A．220° B．230°C．240° D．250°3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A BC ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，点O 是△ABC 的内心，∠A =62°，则∠BOC =A ．59°B ．31°C ．124°D ．121°6．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且 34AB AMC ∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边， DE的度数为__________．11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是__________°．12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；学_科网（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．1．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=A．8cm B．5cmC．3cm D．2cm2．（2018•甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是A．AC=AB B．∠C=12∠BODC．∠C=∠B D．∠A=∠BOD3．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸4．（2018•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于A BC．2 D．1 25．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是A．58B．78C．710D．456．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为A．4 B．C D ．7．（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD =120°，则∠BOD 的大小是A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°8．（2018•宜宾）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE =4，EF =3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为A B ．192C ．34D ．109．（2018•牡丹江）如图，△ABC 内接于⊙O ，若sin ∠BAC =13，BC ，则⊙O 的半径为A ．B ．C ．D ．10．（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定11．（2018•常州）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB =52°，则∠NOA 的度数为A．76° B．56°C．54° D．52°12．（2018•广元）如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB=8cm、点C 与 AB的中点D的距离CD=2cm．则此圆环形士片的外圆半径为__________cm．13．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为__________．14．（2018•牡丹江）如图，在⊙O中， AB=2 AC，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．15．（2018•湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．16．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE，∠BCD=120°，A为 BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．17．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE 的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2，∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211ππ416S r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴22211π116π16rS S r ==.故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤.故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=， ∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，则（x–2．3）2+12）2=x2，解得x=3．答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为故选B．7．【答案】A【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA5=<．∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．8．【答案】2【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5–3=2（cm）．故答案是：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．9．【答案】B【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，∵S△AOB=12•OB•AH=12•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，∴AB+CD=BC，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．学科_网1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】如图，连接OA 、OB 、OC ，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC =100°，得出∠AOB +∠AOC =260°，由圆周角定理得出∠D =12（∠BOC +∠AOC ），∠E =12（∠BOC +∠AOB ），即可得出∠D+∠E=12（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=12（260°+100°+100°）=230°．故选B．3．【答案】C【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC8=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】D【解析】∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°–62°=118°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×118°=59°，∴∠BOC=180°–59°=121°．故选D．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB =BC 可得：弧AB 的度数和弧BC 的度数相等，则弧AMC 的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴ DE的度数为84°．故答案为：84°．11．【答案】120【解析】∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5， ∴设∠A =4x ，则∠B =3x ，∠C =5x ．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°–60°=120°．故答案为：120．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）如图，连接CD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴ BD= CD，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．1．【答案】A【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=12CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选A．2．【答案】B【解析】A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴ AD= BD，∵ AD对的圆周角是∠C， BD对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；故选B．3．【答案】C【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r–1，OA=r，则有r2=52+（r–1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．4．【答案】D【解析】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．故选D．5．【答案】D【解析】如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45，故选D．6．【答案】D【解析】如图，∵OA⊥BC，∴CH=BH， AC= AB，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB BC=2BH D．7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°–∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．8．【答案】D【解析】如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN–MP=EF–MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选D．9．【答案】A【解析】如图：连接OB ，O C ．作OD ⊥BC 于D∵OB =OC ，OD ⊥BC ，∴CD =12BC ，∠COD =12∠BOC ，又∵∠BOC =2∠A ，BC ，∴∠COD =∠A ，CD ，∵sin ∠BAC =13，∴sin ∠COD =CD OC =13，∴OC ，故选A ． 10．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，∴直线和圆相切．故选B ． 11．【答案】A【解析】∵MN 是⊙O 的切线，∴ON ⊥NM ，∴∠ONM =90°，∴∠ONB =90°–∠MNB =90°–52°=38°，∵ON =OB ，∴∠B =∠ONB =38°，∴∠NOA =2∠B =76°．故选A ． 12．【答案】5【解析】如图，连接OA ，∵CD =2cm ，AB =8cm ， ∵CD ⊥AB ，∴OD ⊥AB ，∴AC =12AB =4cm ，∴设半径为r ，则OD =r –2， 根据题意得：r 2=（r –2）2+42，解得：r =5． ∴这个玉片的外圆半径长为5cm ．故答案为：5．13．【答案】30°【解析】如图，连接OC ．∵AB是直径， AC= CD= BD，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°–60°=30°．故答案为30°．14．【解析】如图，延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴ AE=2 AC，AE=2AD，∵ AB=2 AC，∴ AE= AB，∴AB=AE，∴AB=2AD．15．【解析】（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；16．【解析】（1）连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°–120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt △BDE 中，DE =12BE =12×，BD DE ； （2）连接EA ，如图， ∵BE 为直径，∴∠BAE =90°，∵A 为 BE的中点，∴∠ABE =45°， ∵BA =AP ，而EA ⊥BA ， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB =90°，∴PE ⊥BE ， ∴直线PE 是⊙O 的切线．17．【解析】（1）∵OA =OB ，DB =DE ，∴∠A =∠OBA ，∠DEB =∠DBE ，∵EC ⊥OA ，∠DEB =∠AEC ，∴∠A +∠DEB =90°， ∴∠OBA +∠DBE =90°，∴∠OBD =90°， ∵OB 是圆的半径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ， ∵点E 是AB 的中点，AB =12， ∴AE =EB =6，OE ⊥AB ，又∵DE =DB ，DF ⊥BE ，DB =5，DB =DE ，∴EF =BF =3，∴DF =4， ∵∠AEC =∠DEF ，∴∠A =∠EDF ，∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO =∠DFE =90°，∴△AEO ∽△DFE ，∴EO AE FE DF =，即634EO =，得EO =4.5， ∴△AOB 的面积是：12 4.522AB OE ⋅⨯==27．。
初二数学圆的定义和性质
初二数学圆的定义和性质圆是我们日常生活和数学中经常遇到的一种形状。
它具有许多独特的性质和定义。
在本文中，我们将探讨初二数学中有关圆的定义和性质。
一、圆的定义圆是一个特殊的几何形状，由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成。
这个固定点被称为圆心，所有与圆心距离相等的点构成了圆的边界，被称为圆周。
直径是圆的两个任意点并通过圆心的线段，半径是从圆心到圆周上任意一点的距离。
二、圆的性质1. 圆的直径和半径圆的直径是圆上任意两点间最大的距离，直径的两倍等于圆的周长。
圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，半径的两倍等于直径。
圆的半径都是相等的，因此圆周上的所有点都与圆心的距离相等。
2. 圆的周长和面积圆周的长度被称为圆的周长，用符号C表示。
圆的周长可以通过直径或半径计算。
如果d是圆的直径，r是半径，那么圆的周长可以表示为C = πd或C = 2πr，其中π（圆周率）约等于3.14。
圆的面积是指圆内部的所有点所形成的区域，用符号A表示。
圆的面积可以通过半径计算，公式为A = πr²。
3. 弧和弧长圆周上的一段弧被称为圆弧。
弧长是指弧的长度，通常用字母s表示。
弧长可以通过角度和半径来计算。
如果圆心角（以圆心为顶点的角）的度数是θ，圆的半径是r，那么弧长可以表示为s = (θ/360) × 2πr。
4. 弦圆上的任意两点之间的线段被称为弦。
直径是最长的弦，它通过圆心并且把圆分成两个对称的部分。
5. 切线和法线从圆外一点引出的与圆相切的线段被称为切线。
切线与半径垂直相交。
切线的切点被称为切点。
从圆心引出，与切线垂直相交的线段被称为法线。
6. 弧度和弧度制弧度是一个度量角度大小的单位，是圆上的一段弧所对应的圆心角的大小。
用符号rad表示弧度，圆弧的弧长等于半径的弧度数。
弧度制是一种度量角度的方法，1圆周等于2π弧度。
综上所述，圆是一种由距离圆心相等的点组成的特殊几何形状。
圆的直径、半径、周长和面积是圆的基本属性，弧、弦、切线和法线是与圆相关的重要概念。
(完整版)圆知识结构图
第二十四章《圆》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括（一）圆的有关概念1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3、弦、直径；4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；5、等圆、等弧，同心圆；6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
（二）圆的基本性质1、圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。
（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）3、弧、弦、圆心角的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（三）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，OP=d则：点P在圆内d<r；点P在圆上d=r；点P在圆外d>r.2、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：直线l与⊙O相交d<r直线和圆有两个公共点；直线l与⊙O相切d=r直线和圆只有一个公共点；直线l与⊙O相离d>r直线和圆没有公共点。
六年级上学期第五单元圆的概念
圆一、圆的概念：一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭曲线叫做圆。
二、圆的各局部名称1、圆心一般用字母O 表示；半径一般用r 表示；直径一般用字母 d 表示。
2、半径的意义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
3、直径的意义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
三、有关圆的性质1、圆的数学定义：圆是到定点的间隔 等于定长的所有点的集合。
定点指的是圆心，定长指的是半径的长度。
2、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆。
等圆经过平移可以完全重合。
3、同心圆：圆心重合、半径不相等的两个圆叫做同心圆。
4、轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的局部可以完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
5、圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。
6、一个圆有无数条半径，有无数条直径。
7、在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
8、在同圆或等圆中：r=d 2或d=2r 。
四、圆周率的意义与圆的周长计算公式1、圆周率是任意一个圆的周长与它的直径的比值，这个比值是一个固定的数，用字母π〔读“派〞〕表示。
它是一个无限不循环小数，π=3.1415926525……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。
2、用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径，那么圆的周长公式C=πd 或C=2πr 。
五、圆的面积1、圆的面积计算公式：S=πr ²2、圆的直径求面积：S=π〔d 2 〕²；圆的周长求面积：S=π〔C 2π〕²。
六、圆环的面积1、两个半径不相等的同心圆之间的局部叫做圆环，也叫做环形。
2、外圆：圆环中较大的圆叫做外圆，外圆的半径用字母“R 〞表示。
3、内圆：圆环中较小的圆叫做内圆，内圆的半径用字母“r 〞表示。
4、环宽：两个圆之间的宽度叫做环宽。
环宽=外圆半径-内圆半径，即R-r 。
圆的知识点总结
圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
1推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆的知识归纳
BbaC 圆的知识归纳一、圆的基本性质：1、圆的有关概念：（1）圆的两种定义（2）弦，（直径是最长的弦）（3）弧⎧⎨⎩优弧劣弧等弧：能够互相重合的弧（弧有长度也有度数）（4）圆中两种角⎧⎨⎩圆心角顶点在圆心的角圆周角顶点在圆上角的两边都与圆相交的角2、圆的性质：（1）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形（2）垂径定理：一条直线①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的一条弧⑤平分弦所对的另一条弧说明：其中（2）条⇒其余（3）条，其中①②⇒③④⑤是垂径定理记住：半弦，半径，弦心距构成RtΔ(3)五量关系定理：（弧、弧所对圆心角、弧所对圆周角、弦、弦心距）一⇒四（4）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆满心角的一半。
推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。
（5）圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于内对角。
（6二、点、直线与圆的位置关系：（1）点与圆的位置关系：点在圆外⇔d＞r 点在圆上⇔d=r 点在圆内⇔d＜r不在同一直线上的三个点确定一个圆反证法的步骤：①假设命题的绪论不成立②从这个假设出发，经过推理论证。
得出矛盾③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
（2）直线与圆的位置关系：（相离、相切、相交）直线与圆的位置关系的判定方法①用交点个数②直线与圆相离⇔d＞r ，直线与圆相切⇔d=r 直线与圆相交⇔d＜r切线的判定方法：①d=r⇒直线与圆相切（不知直线过圆上的点时用）（常作d）②判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(常连点和圆心)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
（常连切点和圆心）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的四心：重⎧⎨⎩内心内切圆圆心三条角平分线的交点到三边距离相等外心外接圆圆心三边中垂线交点到三个顶点距离相等（垂心心）等边三角形内心、外心重合直角三角形内切圆半径2a b cr+-=任意三角形内切圆半径2A B CSra b c∆=++1()2A B CS a b c r∆=++切线长1()2A E A F a b c==+-（3）圆和圆的位置关系：d R r⇔+⎧⎨外离相离d R r⇔=+⎧⎨外切相切⇔-+相交三、与圆有关的计算：（1）正多边形和圆：中心角360n nα︒=边半、半径、边心距构成RtΔ(2)弧、扇形、圆锥：弧长180n Rlπ=213602n RS lRπ==扇形S Rlπ=圆锥侧2S rl rππ=+圆锥全四、圆中常见辅助线：半径与弦长计算，弦心距来中间站圆上若有一切线，切点圆心半径连．切线长度的计算，勾股定理最方便．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．要想作个外接圆，各边作出中垂线．还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦．若是添上连心线，切点肯定在上面．要作等角添个圆，证明题目少困难．辅助线，是虚线，画图注意勿改变．假如图形较分散，对称旋转去实验．基本作图很关键，平时掌握要熟练．解题还要多心眼，经常总结方法显．切勿盲目乱添线，方法灵活应多变．分析综合方法选，困难再多也会减．虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
圆的有关知识
圆的有关知识圆是数学中非常重要的一个几何形状，广泛应用于各种领域，如物理学、工程学和金融学等。
下面我将介绍一些有关圆的基本知识。
首先，圆是仅由一个点到另一个点都相等距离的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆的中心是距离所有点都相等的点，通常用字母O表示。
圆的直径是通过圆心并且两端点落在圆上的线段。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍，即直径d = 2r。
另一个与圆直径相关的重要概念是圆周率π，它是圆直径与圆周长的比值，即π = c / d。
其中c是圆的周长。
圆的周长是沿着圆的边界一圈的总长度。
计算圆的周长的公式是c = 2πr。
这意味着圆周长的长度等于直径乘以π。
对于给定的半径，可以计算出相应的圆周长。
除了周长，圆的面积也是数学中一个重要的概念。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域的大小。
计算圆的面积的公式是A = πr²。
也就是说，圆的面积等于半径的平方乘以π。
通过这个公式，可以计算给定半径的圆的面积。
除了这些基本概念之外，圆还有一些特殊的性质。
例如，如果两个圆的半径相等，则这两个圆是相等的。
这意味着它们的周长和面积都相同。
此外，如果一个圆内接于一个三角形，那么这个三角形的三个顶点都在圆上。
同样地，如果一个三角形外接于一个圆，那么这个三角形的三条边都切到圆上。
此外，圆还可以与其他几何形状组合形成更复杂的结构。
例如，当一个圆水平滚动时，它的边界会留下一条完美的直线，这被称为圆周运动。
当两个圆重叠时，它们形成了一个共享相同的弧的图形，这被称为圆弧。
这些组合形态使得圆在设计和建模中具有许多应用。
综上所述，圆是一个具有许多重要概念和性质的几何形状。
通过理解和应用圆的基本知识，我们可以在各个领域中使用它，从而解决实际问题。
圆不仅仅是数学的一个概念，它也是我们日常生活中无处不在的形状。
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几说明
（3）确定一个圆需要两个要素，一 是圆心，二是半径。圆心确定位置，半 径定其大小。 （4）圆是一条封闭的曲线，曲线是 “圆周”，而不能认为是“圆面”， “圆上的点”指圆周上的点。
例1. 矩形ABCD的对角线AC, BD 相交于点O。求证：A, B, C, D四个点 在以点O为圆心的同一个圆上。
O
A E C
F D
B
应用拓展，培养能力 7. AB为⊙ O一固定直径，把⊙ O 分成上下两个半圆，过上半圆上一点 C作弦CD ⊥ AB， ∠ OCD的平分线 交⊙ O于P，当点C在上半圆（不包括 A，B两点）上移动时，点P的位置如 C 何变化？
A
12
O
3
B
D
P
应用拓展，培养能力
8. 如图所示，两正方形彼此相邻， 且大正方形ABCD的顶点A，D 在⊙O上， 顶点B，C在⊙O的直径上，小正方形 BEFG的顶点F在⊙O上，点E在⊙O的直 径上，点G在大正方形的边AB上，若小 正方形的边长为4，求该圆的半径。
A O C
与圆有关的概念
圆上任意两点间的部分叫做 弧 圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记 作AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． B 圆的任意一条直 径的两个端点把圆分 O 成两条弧，每一条弧 A C 都叫做半圆．
与圆有关的概念
大于半圆的弧（用三 个字母表示，如图中 小于半圆的弧 的 ）叫做优弧． ABC （如图中的 AC ） B 叫做 劣弧．
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=OC；OB=OD； A 又∵AC=BD ∴OA=OB=OC=OD ∴A、B、C、D在以 O O为圆心以OA为半径 B 的圆上。
D
C
与圆有关的概念 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦， 如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中 的 AB． B
弦AB, 弦AC 直径AB
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合作交流，学习新知 圆的概念 如图，在一个平面内，线段 OA 绕 它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个 端点 A 所形成的图形叫做圆． A r 固定的端点 O 叫做圆心；
线段 OA 叫做半径；
· O
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作 “圆O”． 圆的画法
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O A C
劣弧与优弧
与圆有关的概念
等弧
在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧． ⌒ = ⌒ AB CD A B ⌒ ⌒ AM = MC M ⌒ ⌒ MB = MD ⌒ ⌒ C D AC = BD
应用拓展，培养能力 1．判断下列说法的正误： （1）弦是直径； × （2）半圆是弧； √ （3）过圆心的线段是直径； × （4）半圆是最长的弧； × （5）圆心相同，半径相等的两个圆 是同心圆；× √ （6）半径相等的两个半圆是等弧．
动态：在一个平面内，线段 OA 绕 它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个 端点 A 所形成的图形叫做圆．
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可 以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
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几点说明
（1）圆上的每一点到圆心的距离都 等于半径 （2）到定点（圆心）的距离等于定 长（半径）的点都在这个圆上，二都缺 一不可。
C A O D B
E
应用拓展，培养能力
5. 已知⊙ O中，直径MN=10，正 方形ABCD的四个顶点分别在半径OM， OP以及⊙ O上，并且∠ POM=45 ° ， 则AB的长是多少？
A P
D
N
MB C O
应用拓展，培养能力
6. 如图，AB是O的弦，半径OC，OD 分别交AB于点E，F，且AE=BF， 证明：EC=FD
应用拓展，培养能力 2. AB是⊙ O的直径，CD是⊙ O中 非直径的弦，你能判断AB与CD的大小 吗？并证明
A
C
O
B
D
应用拓展，培养能力
3. 如图，BD，CD是△ABC的高。 求证： E ， B ， C ， D 四点在同一个圆 A 上
E
D
B
F
C
应用拓展，培养能力 4. AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦，AB，CD的延长线交于点E，已知 AB=2DE，∠AEC=20°，求∠AOC 的度数。
O
同心圆 圆心相同，半径不 同
等圆 半径相同，圆心不 同
确定一个圆的两个要素: 一是圆心， 二是半径．
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A
O· r
问题1：圆上各点到定点（圆心 O ）的距离有什么规律？ 都等于定长（半径）
问题2：到定点的距离等于定长的 点又有什么特点？ 都在同一个圆上
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圆的两种定义
B A G C O D
E
F
应用拓展，培养能力
⌒
9. 如图，BE是半径为6的⊙ D的 ⌒ 点C是BE上的任意一点， △ ABD是等 边三角形，则四边形ABCD的周长p的 E 取值范围是多少？
C B A D
1 4，
九年级
上册
24.1 圆的有关概念
课前热身
1.说出圆的对称性，对称轴及对称 中心。 2.以点A为圆心可以画出____个圆， 以已知线段r的长为半径可以画____个 圆。
阅读材料 引入新知
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房 顶了．大约在同一时代，美索不达米亚人做 出了世界上第一个轮子——圆的木轮．很早 之前，人们将圆的木轮固定在木架上，这样 就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给 出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆 有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个 定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义 要早很多年．