专题18 数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版) 含解析

高考数学母题题源系列专题18 数列的通项公式及前n项

母题十八数列的通项公式及前 n 项和【母题原题 1】【2018 天津，理 18】设{an}是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn (n  N ) ，{bn}是等差数列．已知 a1  1， a3  a2  2 ， a4  b3  b5 ， a5  b4  2b6 ．（I）求 {an } 和 {bn } 的通项公式；（II）设数列{Sn} 的前 n 项和为 Tn (n  N ) ，（i）求 Tn ； （ii）证明 n (Tk  bk2 )bk  2n2  2(n  N ) ．k1 (k 1)(k  2) n  2 【考点分析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n 项和公式等基础知识．考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力．满分 13 分．【答案】（I） an  2n1 , bn  n ；（II）（i）Tn  2n1  n  2 ．（ii）证明见解析．【解析】试题分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 q  2 ，则 an  2n1 ．结合等差数列通设等差数列{bn} 的公差为 d ，由 a4  b3  b5 ，可得 b1  3d  4. 由 a5  b4  2b6 ，可得 3b1 13d  16, 从而 b1  1, d  1, 故 bn  n. 所以数列{an}的通项公式为 an  2n1 ，数列{bn} 的通项公式为 bn  n.1  （II）（i）由（I），有 Sn 1 2n 1 2 2n 1 ，故 Tnn(2kk 11) n2kk 1n2  (1 2n )  n  2n1  n  2 ． 1 2  （ii）证明：Q   Tk +bk+2 bk2k1  k  2  k  2k k  2k1 2k2  2k1 ，k 1k  2k 1k  2k 1k  2 k  2 k 1 n k 1  Tk  bk2 bk k 1k  2 23 322   242 423 3 L  2n2 2n1  n2n1 2n2  2 ． n2【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题 2】【2017 天津，理 18】已知{an} 为等差数列，前 n 项和为 Sn (n  N ) ，{bn} 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2  b3  12 ， b3  a4  2a1 ， S11  11b4 ．（Ⅰ）求{an} 和{bn} 的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n1} 的前 n 项和 (n  N ) ．【答案】（Ⅰ） an3n  2 ， bn2n ；（Ⅱ）3n  2  4n1 38 3．2联立①②，解得 a1  1， d  3，由此可得 an  3n  2 ．所以，数列{an} 的通项公式为 an  3n  2 ，数列{bn} 的通项公式为 bn  2n ．（Ⅱ）设数列{a2nb2n1} 的前 n 项和为Tn ，由 a2n  6n  2 ， b2n1  2  4n1 ，有 a2nb2n1  (3n 1)  4n ，故Tn  2  4  5 42  8 43 L  (3n 1)  4n ，4Tn  2  42  5 43  8 44 L  (3n  4)  4n  (3n 1)  4n1 ，上述两式相减，得：3Tn 2 4  3 42  3 43 L 3 4n  (3n 1)  4n1  12 (1 4n )  4  (3n  1 41)  4n1(3n2)  4n1 8，得Tn3n  32  4n18 3．所以，数列{a2nb2n1}的前n项和为3n  324n18 3．【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前 n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．【母题原题 3】【2016 天津，理 18】  已知 an 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 n  N  ,bn 是 an 和 an1 的等比中项．  (Ⅰ)设 cnb2 n 1 bn2 , n  N * ，求证：cn是等差数列；   (Ⅱ)设2na1  d ,Tn k 11nbn2 , n  N * ，求证：n k 11 Tk1 2d 2.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析3   n 1T k 1 k1 2d 2n1k1 k k 11 2d 2n k 1 1 kk1 1 1 2d21n1  1 ，易得结论．  试题解析：（I）证明：cnb2 n1 bn2an a 1 n2anan12d an1，cn1cn2d (an2an 1 )2d 2为定值，∴cn为等差数列． （II）证明： Tn2n(1)k bk 2k 1 C1 C3     C2n1nC1n(n 1) 2 4d 2nC12d 2n(n 1)（*）由已知 C1  b22  b12  a2a3  a1a2  2d  a2  2d (a1  d )  4d 2 ，将 C1  4d 2 代入（*）式得 Tn  2d 2n(n 1) ，∴  n 1T k 1 k1 2d 2n1 k1 k(k  1)1 11111 (1       )2d 2 2 2 3k k 11 2d 2，得证．【名师点睛】分组转化法求和的常见类型（1）若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和．（2）通项公式为 an＝bcnn，，nn为为奇偶数数，的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【母题原题 4】【2015 天津，理 18】已知数列{an} 满足 an2  qan (q为实数，且q  1)，n  N*, a1  1, a2  2 ，且 a2 +a3, a3 +a4 , a4 +a5 成等差数列．(I)求 q 的值和{an}的通项公式；{ } (II)设 bnlog2 a2n a2n1,nN * ，求数列bn的前 n 项和．【答案】(I)an 2 n1 2n,n为奇数,；22 , n为偶数.(II)Sn4n2 2n1．4n当 n  2k(n  N*) 时， an  a2k  2k  22 ，所以{an}的通项公式为 an 2n1 2,n为奇数,n22 , n为偶数.  (II)由(I)得 bnlog2 a2n a2n1n 2n1，设数列bn的前 n 项和为 Sn ，则Sn11 2021 2131 22Ln1 2n1，1 2 Sn11 2121 2231 23Ln1 2n，两式相减得1 2Sn11  1 2  221  23 L1n  2n1  2n11 2n1 1n  2n2  2  2nn  2n，2整理得 Sn4n2 2n1，所以数列bn 的前 n项和为 4n2 2n1,nN*．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分 n 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和．是中档题．【命题意图】高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【答题模板】解答本类题目，以 2017 年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列{bn} 的通项公式：本题从等比数列{bn}入手，由于 b1  2 ，设公比为 q ，表达出 b2 和 b3 ，利用 b2  b3  12 列方程求出 q ，写出{bn}的通项公式；第二步：求数列 {an} 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列 {an} 成等差数列，设公差为 d ，结合 b3  a4  2a1, S11  11b4 ，解方程组求出 a1 和 d ，写出数列{an} 的通项公式．第三步：利用错位相减法求和：列出数列{a2nb2n1} 的前 n 项和 Tn ，两边同乘以 4，两式相减后求和．【方法总结】1．数列{an} 中 an 与 Sn 的关系：an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.2．等差数列（1）等差数列的有关概念5①定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an1  an  d (n  N *, d 为常数 ) ．②等差中项：数列 a, A,b 成等差数列的充要条件是 A  a  b ，其中 A 叫做 a, b 的等差中项． 2（2）等差数列的有关公式①通项公式： an  a1  (n 1)d ．②前 n项和公式： Snna1n(n 1) 2dn(a1  2an )．（3）等差数列的性质已知数列{an} 是等差数列， Sn 是其前 n 项和．① 通项公式的推广： an  am  (n  m)d (n, m  N *) ．②若 k  l  m  n(k,l, m, n  N *) ，则 ak  al  am  an ．③若{an}的公差为 d ，则{an}也是等差数列，公差为 2d ．④若{bn} 是等差数列，则{ pan  qbn} 也是等差数列．⑤数列 Sn , S2n  Sn , S3n  S2n ，…构成等差数列．（4）．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a  d, a, a  d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a  d, a  d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．（5）等差数列的四种判断方法①定义法： an1  an  d (n  N *, d 为常数⇔{an} 是等差数列． ②等差中项法： 2an1  an  an2 (n∈N*)⇔{an} 是等差数列．③通项公式： an  pn  q ( p, q 为常数)⇔ {an}是等差数列． ④前 n 项和公式： Sn  An2  bn （ A、B 为常数)⇔ {an} 是等差数列．3．等比数列（1）等比数列的有关概念①定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 an1  q(q  0, n  N *) ． an②等比中项如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔G2＝ab．6“a ，G，b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充分不必要条件．（2）等比数列的有关公式①通项公式： an  a1qn1 ．②前 n 项和公式： Sn   na1, q  1,a1(1 qn )  a1  anq1 q1 q,q1；（3）等比数列的性质已知数列{an}是等比数列， Sn 是其前 n 项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)①若 m  n  p  q  2r ，则 aman  apaq  ar2 ；②数列 am , amk , am2k , am3k , …仍是等比数列； ③数列 Sn , S2n  Sn , S3n  S2n ，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q  1 )．（4）等比数列的三种判定方法（1）定义：an1 anq(q0, n  N *)⇔{an} 是等比数列．（2）通项公式： an  cqn1(c、q 均是不为零的常数， n  N *) ⇔{an} 是等比数列．(3)等比中项法：a2 n1anan2 (an an1  an20, n N *) ⇔{an} 是等比数列．（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比数列的通项公式、前 n 项和公式中联系着五个量： a1, q, n, an , Sn ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是 a1 与 q，在解题中根据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组，是解题的关键．②分类讨论思想：在应用等比数列前 n 项和公式时，必须分类求和，当 q  1 时， Sn  na1 ；当 q  1时，Sna1(1 qn ) 1 q；在判断等比数列单调性时，也必须对 a1 与 q 分类讨论．5．数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和等差数列的前 n 项和公式：Sn＝na1＋an 2＝na1＋nn－1 2d；等比数列的前 n 项和公式：Sn＝na1，q＝1，a11－－aqnq＝a11－qn 1－q，q≠1.（2）倒序相加法：如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个7数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．（6）并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如， Sn  1002  992  982  972 L  22 12  (100  99)  (98  97) L  (2 1)  5050 ．1．【2018 天津南开中学模拟】已知数列是首项（1）求证：是等比数列；的等差数列，设（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2），若对任意正整数，不等式；（3）11．．恒成立，详解：（1）由及，得，所以．因为，所以，即．8则，所以数列是首项，公比的等比数列．（2）由（1），得，所以（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式设，则恒成立．．所以，故的最小值是/．由，得整数可取最大值为 11．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解．2．【2018 天津河西区三模】已知数列的前项和为，数列是首项为 1，公差为 2 的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足【答案】（1）；（2），求数列的前项和．．【解析】分析：（1）利用进行求解；（2）利用类似进而求出，再利用等比数列的求和公式进行求解．的方法求出，9相减可得：，又，解得，时，对上式也成立，∴，∴，∴ 数列的前项和．【名师点睛】利用数列的通项公式和前项和公式的关系求通项时，要注意函数，解题时容易忽视验证“ ”的通项是否满足的通项．为分段3．【2018 天津部分区二模】已知数列的奇数项依次成公比为 2 的等比数列，偶数项依次成公差为 4 的等差数列，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，为奇数时，，为偶数时，；，可得10（II）由（1）知．为偶数时，为奇数时，．详解：（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，得．∵，∴，解得为奇数时，；为偶数时，∴（2）由（1）知即为偶数时，，，为奇数时，，．【名师点睛】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．4．【2018 天津河东区二模】已知等比数列满足条件，，．（1）求数列的通项公式；11（2）数列满足，，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用等比数列的通项公式得到数列的首项和公比所满足的条件，从而求得相关的值，得到该数列的通项公式；第二问利用和与项的关系，得到，，再将时的情况进行验证，得到，，之后应用错位相减法对数列求和即可得结果．详解：（1）设的通项公式为，综上，①②由①-②得到，【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的12应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写．5．【2018 天津河北区二模】已知等差数列{ }中， =1，且，，成等比数列．（I）求数列{ }的通项公式及前 n 项和；（II）设，求数列{ }的前 2n 项和．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{ }的公差为 d，由题意可求得，故可得数列的通项公式和前 n 项和公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得再求和．，故选用分组求和的方法将数列{ }的项分为计数项和偶数项两部分后详解：（I）设等差数列{ }的公差为 d，∵，且，，成等比数列，∴，∴当 n 为偶数时，，13当 n 为奇数时，．∴数列{ }的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以 8 为首项，16 为公比的等比数列． ∴数列{ }的前 2n 项的和．【名师点睛】（1）等差、等比数列的运算中，要注意五个量之间的关系，根据条件得到方程（或方程组），通过解方程（方程组）达到求解的目的．（2）数列求和应从通项入手，若通项符合等差数列或等比数列，则直接用公式求和；若通项不符合等差或等比数列，需要通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列求解．当数列的通项中含有或的字样时，一般要分为 n 为奇数和 n 为偶数两种情况求解．6．【2018 天津十二校二模】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．．若数列的前项和为，且对任意满足14详解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，15，所以，解得．【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）的问题，导致计算结果错误．；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项    7．【2018 天津滨海新区七校模拟】已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn  2an 1 ( n  N* )，数列 bn 满足 nbn1 n 1bn  nn 1 ( n  N* )，且 b1  1（1）证明数列  bn n  为等差数列，并求数列an和 bn  的通项公式；（2）若 cn  1 n134n 1 2log2an 3  2log2an1 ，求数列 cn  的前n项和 T2n；  （3）若 dn  an  bn ，数列 dn 的前 n 项和为 Dn ，对任意的 n  N* ，都有 Dn  nSn  a ，求实数 a 的取值范围．【答案】（1） an  2n1 ，bnn2；（2）1 31 4n  3；（3） a0【解析】试题分析：（1） nbn1 n 1bn nn 1 两边同除以 nn 1 ，得bn1  bn n1 n 1 ，可求得 bn．用公式an {Sn Sn1, n  S1, n  12，统一成 an ，可求得 an ．（2）由（1）an 2n1 ，代入得 cn  1 n1 1 2n 11 2n 3 ，由并项求和可得T2n ．（3）由（1） dn  an bn  n2n1 由错位相减法可求得 Dn ，代入可求．16当 n=1时， S1  2a1 1=a1 ，所以 a1=1．当 n  2 时， Sn  2an 1， Sn-1  2an-1 1，两式相减得 an2an1 ，又 a1 =1，所以an an12，从而数列an为首项 a1=1，公比 q=2 的等比数列，  从而数列 an 的通项公式为 an  2n1 ．（2）cn( 2n4 n 1 12n 3  1n1 1 2n 11 2n 3 T2n c1  c2  c3 Lc2n1c2n=1 31 51 51 7L 1  1 1 1 4n 1 4n  3 3 4n  3（3）由（1）得 dn  an bn  n2n1 ，Dn 11 22  322 L n 12n2  n2n12Dn 12  222  323 L n 12n1  n 12n1  n2n ，17  因为 dn+1  dn  2n1  n 1 1  2n  n 1  2n 1  0 ，从而数列dn 为递增数列所以当 n=1时， dn 取最小值 d1=0 ，于是 a  0 ．【名师点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前 n 项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好．    8．【2018 天津十二模拟一】已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足 a4  a2  12 ， S4 +2S2  3S3 ，数列 bn 满足 nbn1 n 1bn  nn 1 ， n  N* ，且 b1  1．（1）求数列 an  ， bn  的通项公式；log2ann2 n  2，n2k1（2）设 cn  {2 bn ，n  2k  ， Tn 为 cn 的前 n 项和，求T2n ．an【答案】（1） an  2n ，bnn2；（2） 16 96n  8 9  22n1n． 2n 1  【解析】试题分析：（1）由 S4 +2S2  3S3 ，可推出 a4  2a3 ， q  2 ，结合 a4  a2  12 ，即可求出数列 an 的通项公式，再将 nbn1 n 1bn nn 1 两边同除以 nn 1 得bn1  bn n1 n1，可推出数列  bn n 为等差数列，18  从而可求出 bn 的通项公式；（2）由（1）知 cn{log2 2nn2 n  2,n2k1，利用分组求和，裂项相消法及错位相2n 2n,n2k减法即可求出 T2n ．（2）由（1）知 cnlog2 2n{ n2 n  2,n2k1 cn1 { nn 2,n2k12n 2n,n2kn 2n1,n2k∴ T2n c1  c2  c3 L c2n1 2 1 11 31 31 5L1 2n 11 2n 1 2  214 236 25L2n 22n1 n 2n 1 2 214 236 25L2n 22n1 设A2 214 236 25L2n 22n1，则1 A 42 234 256 27L2n 22n1，两式相减得3 4A12 232 252 27L2 22n12n 22n1，整理得A16 96n  8 9  22n1．∴ T2n16 96n  8 9  22n1n 2n 1．【名师点睛】（ 1 ）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如ann, n为奇数  {2n, n为偶数），符号型（如an  1n n2 ），周期型（如ansinnπ 3）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“ Sn ”与“ qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ Sn  qSn ”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于 1 两种情况求解．9．【2018 天津十二模拟二】已知正项等比数列，等差数列满足，且是与19的等比中项．（1）求数列（2）设的通项公式；，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．又，则：因为中各项均为正数，所以，解得或，进而．故．（2）设设数列的前项和为，数列当为偶数时，当为奇数时，而则由①-②得：的前项和为，，， ①，②，，20，因此，综上：．    10．【2018 天津部分区期末考】已知 an 为等差数列，且 a2  4 ，其前 8 项和为 52， bn 是各项均为正数的等比数列，且满足 b1  b2  a4 ， b3  a6 ．（1）求数列 an  和 bn  的通项公式；  （2）令 cnlog2bn anan log2bn，数列cn的前 n 项和为Tn ，若对任意正整数 n ，都有Tn  2n   成立，求实数 的取值范围．【答案】（1） an  n  2 ， bn  2n ；（2）   3【解析】试题分析：立，然后根据32 n1 1n1 2 3可得结果．试题解析：（1）设等差数列an的公差为 d ，由题意得{ a1  d  4 ，即{ a1  3d  4 ，解得{a1  3 ，8a1  28d  522a1  7d  13d 1所以 an  3 n 1  n  2．  设各项均为正数的等比数列bn的公比为 q ，则有{b1  b2  a4  6 b3  a6  8，解得{b1  2 q2，所以 bn  2n ．（2）由（1）可知 cnn n2n n22n2  4n  n2  2n422 1 nn1 2 .21Tn c1  c2 L cn2n21 1 31 21 4Ln1 1n1 11 nn1 2 2n32 n1 1n1 2 ．Tn2n32 1 n 1n1 2 ，因为对任意正整数n，都有 Tn2n成立，即32 1 n 1n1 2 对任意正整数n恒成立，又32 n1 1n1 2 3，所以3．故实数的取值范围为3,．  11．【2018 天津一中期中考】设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn  2nan1  3n2  4n ， n  N* ，且 a1  3 ．（Ⅰ）求 a2 、 a3 的值；（Ⅱ）求数列 an  的通项公式【答案】（Ⅰ） a2  5 ， a3  7 ；（Ⅱ）见解析．【解析】分析：（Ⅰ）分别令 n  1, n  2 就可以求得 a2  5 ， a3  7 ．（Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测 an  2n 1，利用数学归纳可证明该猜测．详解：(Ⅰ) a2  5 ， a3  7 ．（Ⅱ）由题意得an1Sn 2n3n 22，结合①②，由归纳原理知，对任意 n  N* ， an  2n 1．【名师点睛】与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当 n  k 时，命题 P k  成22立，也可以假设 n0  n  k 时，命题 P n 成立，然后再证明 n  k 1， Pk 1 也成立．    12．【2018 天津滨海新区模拟】已知数列 an 的首项 a1  5 前 n 项和为 Sn ，且 Sn1  Sn  n  5 n  N*（I）证明数列1 an 是等比数列；（II）令 f  x  a1x  a2x2 ..... anxn 求函数 f  x 在点 x 1处的导数 f 1 并比较 2 f 1 与 23n2 13n 的大小。

2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

2018年高考数学数列专题复习通项与前n 项和通法一、问题描述一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用n S 与1-n S 的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。

第二、求数列的前n 项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。

第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。

这是解决好数列问题的重中之重。

二、智慧笔记1. 证明等差等比数列① 等差数列的证明方法：（1）定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ ② 等比数列的证明方法：（1）定义法：1n na q a +=(常数) （2）等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥g 2. 通项}{n a 的求法① 累加法：数列有形如)(1n f a a n n +=+的递推公式，且)}({n f 的前n 项和可求，可利用累加法求))((211∑=--+=ni i in n aa a a a 。

② 累乘法：数列有形如n n a n f a ⋅=+)(1的递推公式，且)}({n f 的前n 项积可求，则利用累乘法求出通项))2((123121≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n a a a a a a a a a n n n n 。

③ 已知通项公式n a 与前n 项和n S 关系求通项：利用n a 和n S 的关系，若给出n S 或可以求出n S ，则可利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a a n nn ，求n a 。

④ 辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为q pa a n n +=-1型【其中，p,q 为常数，0)1)(1(≠--q p pq 】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1λλ+=+-n n a p a ，再设n n b a =+λ，则}{b n 即为以λ+=11a b 为首项，p 为公比的等比数列，求出}{b n 的通项公式，从而求出n a ；（Ⅱ）递推公式为11--+=n n n q pa a 型【其中p,q 为常数0)1)(1(≠--q p pq 】.方法为：先在原递推公式两边同除以n q ，得qq a q p q a n n n n 111+⋅=--，引入辅助数列}{b n （其中nn n q a b =），得qb q p b n n 11+⋅=-，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。

高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式

高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式高中数学公式大全：数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的通项公式和求和公式则是研究数列的重要内容。

在高中数学中，数列的通项公式和求和公式是学习和应用数列的基础。

本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式的定义、推导以及应用案例。

一、数列的通项公式数列的通项公式又称为数列的第n项公式，它可以用来表示数列的任意一项，是数列的核心公式。

对于通项公式的推导，我们先来看一个常见的数列——等差数列。

1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其通项公式为：aₙ = 2n - 12. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数q。

设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列2, 4, 8, 16, 32...来说，其通项公式为：aₙ = 2^(n-1)二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列前n项和的公式，对于不同类型的数列，求和公式也各不相同。

下面我们来介绍两种常见的数列求和公式——等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。

举例：对于等差数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其前n项和的求和公式为：Sₙ = (n/2) * (1 + 2n - 1) = n^22. 等比数列的求和公式对于等比数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和。

数列的通项公式与前n项和

数列的通项公式与前n项和数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

在数列中，每一个数字称为序列的项，而求解数列特定位置上的数字或数列前n项和的公式被称为数列的通项公式与前n项和。

通过这些公式，我们可以更快地计算出数列中的特定项或前n项的总和。

一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够通过数列的位置n来表示数列中特定项的公式。

不同的数列有不同的通项公式，下面我们来讨论几种常见的数列及其通项公式。

1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间差值相等的数列。

假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d这个公式说明了在等差数列中，每一项与首项的差值等于该项的位置与首项之间的差乘以公差。

例如，对于等差数列 3，6，9，12，15...，其中首项a为3，公差d 为3，那么这个等差数列的通项公式可以表示为：an = 3 + (n - 1)3这个公式可以用来求解等差数列中任意位置n上的数字。

2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间比值相等的数列。

假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n - 1)这个公式说明在等比数列中，每一项与首项的比值等于公比的n-1次方。

例如，对于等比数列 2，4，8，16，32...，其中首项a为2，公比r 为2，那么这个等比数列的通项公式可以表示为：an = 2 * 2^(n - 1)这个公式可以用来求解等比数列中任意位置n上的数字。

二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的总和。

通过数列的前n项和公式，我们可以快速计算数列的前n项和，无需逐项累加。

1.等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式可以通过等差数列通项公式推导而得。

假设等差数列的前n项和为Sn，首项为a，差值为d，则等差数列的前n 项和公式可以表示为：Sn = (n/2) * (2a + (n - 1)d)这个公式说明了等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数n再除以2。

精品专题18数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)

母题十八数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，理18】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N ．【考点分析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】（I ）12,n n n a b n -==；（II ）（i ）122n n T n +=--．（ii ）证明见解析．【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则12n n a -=．结合等差数列通设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故1112(12)(21)22212n n n k k n n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑．（ii ）证明：()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k+k k k k T +b b k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++， ()()()32432122122222222123243212n n n n k k k k T b b k k n n n ++++=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0， 2312b b +=，3412b aa =-，11411Sb =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（Ⅰ）32n a n =-，2n n b =；（Ⅱ）1328433n n +-⨯+．。

专题数列的通项公式、求和及数列的综合问题 2018届高考数学三轮透析专题

2018届高考数学三轮透析专题数列的通项公式、求和及数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，主要考查求数列通项公式、数列求和及数列的综合问题，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档或难题，分数为5分. 【主题回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+ =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯ =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.（5）利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11nn a a+=1111()n n d a a +=- ②n a（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++ ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -=221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++-- =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-，转化为等比数列211,,,,n q q q -，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n n ＋≠1n －1n ＋2，而是1n n ＋＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项. 8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．【主题考向】考向一数列的通项公式【解决法宝】对数列求通项公式问题要熟练掌握常见的求通项公式方法，根据题中条件，选择合适的方法求解，特别是已知数列的递推公式求通项公式问题，常需要对所给条件进行变形，如两边去倒数等，转化为常见形式，在选择合适的方法求解. 例1 【甘肃省兰州市2018届高三一诊】数列中，，对任意，有，令，，则（）A. B. C.D.【分析】由得，用累加法即可求出n a ，从而求出n b ，再利用拆项消去法即可求出{n b }的前2018项和.【解析】，∴，，，∴，，故选D.考向二数列求和【解决法宝】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.3.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.4.用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.在写“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“Sn －qSn ”的表达式. 例2．【广东省中山纪念等六校2018届第一次联考】数列满足，且，则等于（）．A.B.C.D.【分析】先用累加法求出na 的通项公式，再用拆项消去法求和.【解析】∵，∴212=-a a ，323=-a a ，……，n a a n n =--1，∴)()()(123121--++-+-=-n n n a a a a a a a a =n ++++ 432=2)1)(2(-+n n ，∴n a =12)1)(2(+-+n n =2)1(+n n ，∴，∴，故选A ．考向三数列综合问题【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理. 例3．等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为（）．A.B.C.D. 无最小值【分析】先由等差数列的通项公式与前n 项和公式求出首项与公差，即求出数列的前n 项和，即可用n 将表示出来，利用导数或单调性即可求出其最小值.∴当时，．当时，．∴为最小项，，故选．【主题集训】1.【云南省昆明市一中2018届第六次月考】已知数列的前项和为，则的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，；当时，，所以12-=n a n ，所以2015583=+=+a a ，故选C ．2.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，10】若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 【答案】B【解析】由()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭可得：)11lg(32521n n a n a n n +=+-++，记32b +=n a n n ，有)11lg(b 1n b n n +=-+，由累加法得：1lgn b n +=，数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为31100lg =+，故选B.3.【福建省厦门外国语学校2018届下学期第一次月考】已知函数，且，则等于（）A. －2013B. －2014C. 2013D. 2014 【答案】D4.【河南百校联盟2017届高三11月质检】已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a -+=+（2n ≥），11n n n b a a +=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则33S 的值是（）【答案】D 【解析】222n n a a -=3．21n a =∴1则)33133S ==.故选D ．5.【河南省南阳市2018届高三上学期期末】设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为，由题意知，使成立的最小正整数为，故选C.6.【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，5】记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31n n S a =+，则10a =（）A ．91032-B ．101032- C. 91032 D ．101032【答案】A【解析】由31n n S a =+①，得1131n n S a ++=+②，②-①，得1133n n n a a a ++=-，得132n n a a +=，又1131a a =+，所以112a =-，故数列{}n a 是以12-为首项，32为公比的等比数列，所以11323n n a -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故991010133222a ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选A.7.【广东省华南师范大学附属中学2018届综合测试（三）】等比数列的前项和（为常数），若n n S a 23+≤λ恒成立，则实数的最大值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题知，所以，，所以，得，所以，得，所以时，，故选C 。

数列的前n项和与通项公式

数列的前n项和与通项公式数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。

而数列的前n项和以及通项公式则是数列研究中的关键概念，对于数学的发展和应用都具有重要意义。

一、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项数的和。

对于某些特定的数列，我们可以通过一定的方法来求解其前n项和。

例如，对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算。

假设等差数列的首项为a，公差为d，则前n项和Sn可以表示为Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)。

同样地，对于等比数列，其前n项和也可以通过求和公式来计算。

假设等比数列的首项为a，公比为r，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中的每一项的一般表示形式。

通过通项公式，我们可以根据数列的位置来计算其对应的数值。

通项公式的推导需要根据数列本身的特点和规律进行分析和推理。

以等差数列为例，其通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其首项a为1，公差d为2，那么第n项可以表示为an = 1 + (n-1)2。

同样地，对于等比数列，其通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。

通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，其首项a为2，公比r为2，那么第n项可以表示为an = 2 * 2^(n-1)。

三、数列的应用数列的前n项和和通项公式在数学的各个领域都有广泛的应用。

在数学分析中，数列的前n项和可以用于求解极限问题。

通过计算数列的前n项和，我们可以逼近数列的极限值，从而求解一些复杂的极限问题。

在数学建模中，数列的前n项和可以用于描述和分析一些实际问题。

2018年高考理数：数列含答案

核心考点解读——数列考纲解读里的I，II的含义如下：I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)1．（2017高考新课标I，理4）记错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和．若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的公差为A．1 B．2C．4 D．82．（2017高考新课标Ⅲ，理9）等差数列错误！未找到引用源。

的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则错误！未找到引用源。

前6项的和为A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．3 D．83．（2017高考新课标II，理15）等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

____________．4．(2016高考新课标I，理3)已知等差数列错误！未找到引用源。

前9项的和为27，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

A．100 B．99 C．98 D．975．(2016高考新课标II，理17)错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前n项和，且错误！未找到引用源。

记错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

表示不超过x的最大整数，如错误！未找到引用源。

.（Ⅰ）求错误！未找到引用源。

；（Ⅱ）求数列错误！未找到引用源。

的前1000项和.6．(2016高考新课标III，理17)已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

．（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式；（II）若错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

数列的通项公式与前n项和的计算

数列的通项公式与前n项和的计算数列是我们在数学中经常遇到的内容之一，它由一系列按特定规律排列的数字组成。

在解决数列相关问题时，通项公式和前n项和的计算是两个基本且重要的概念。

在本文中，我们将详细介绍数列的通项公式和前n项和的计算方法，并通过具体案例来加深理解。

一、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中任意一项与其序号之间的关系的数学公式。

通项公式的存在可以方便我们计算数列中任意一项的值，而无需逐个列举。

常见的数列通项公式包括等差数列和等比数列的通项公式。

对于等差数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，d代表公差，n代表数列中的项数。

而对于等比数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，r代表公比，n代表数列中的项数。

二、前n项和的计算前n项和是指数列中前n个数的和，也是另一个重要的计算概念。

计算前n项和可以帮助我们更好地理解数列的总体性质和规律。

对于等差数列，前n项和的计算公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示前n项和，n表示数列的项数，a1表示首项，d表示公差。

对于等比数列，前n项和的计算公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。

三、实例分析为了更好地理解和应用数列的通项公式和前n项和的计算方法，我们来看一个具体的案例。

案例：求解等差数列1，4，7，10，13...的第20项以及前20项的和。

解析：首先，我们可以确定这是一个等差数列，通过观察相邻两项的差为3，可以得出公差d=3。

根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件可以计算得出第20项的值：a20 = 1 + (20-1) * 3 = 1 + 19 * 3 = 1 + 57 = 58接下来，我们来计算前20项的和，根据等差数列前n项和的计算公式Sn=(n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件可以计算得出前20项的和：S20 = (20/2)(2*1 + (20-1)*3) = 10(2+57) = 10*59 = 590所以，等差数列1，4，7，10，13...的第20项为58，前20项的和为590。

专题18 数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)(原卷版)

母题十八数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，文18】设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*N n S n ∈；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*N n T n ∈．已知132435546,,,122b b b b a a b a a ==+=+=+．（Ⅰ）求n S 和n T ；（Ⅱ）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【母题原题2】【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【母题原题3】【2016天津，文18】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和．【母题原题4】【2015天津，文18】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=，5237a b -=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设*,n n n c a b n N =?，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【理科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列{}n b 的通项公式：本题从等比数列{}n b 入手，由于12b =，设公比为q ，表达出2b 和3b ，利用2312b b +=列方程求出q ，写出{}n b 的通项公式；第二步：求数列{}n a 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列{}n a 成等差数列，设公差为d ，结合3411142,11b a a S b =-=，解方程组求出1a 和d ，写出数列{}n a 的通项公式．第三步：利用错位相减法求和：列出数列221{}n n a b -的前n 项和n T ，两边同乘以4，两式相减后求和．【文科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列的通项公式求数列}{2n n b a 的通项公式第二步：选用恰当的方法求和错位相减求和第三步：下结论．【方法总结】1．数列{}n a 中n a 与n S 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数)．②等差中项：数列,,a A b 成等差数列的充要条件是2a bA +=，其中A 叫做,a b 的等差中项．（2）等差数列的有关公式①通项公式：1(1)n a a n d =+-． ②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=．（3）等差数列的性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和． ①通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈．②若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a +=+． ③若{}n a 的公差为d ，则{}n a 也是等差数列，公差为2d ． ④若{}n b 是等差数列，则{}n n pa qb +也是等差数列． ⑤数列232,,n n n n n S S S S S --，…构成等差数列．（4）．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．（5）等差数列的四种判断方法①定义法：*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数⇔{}n a 是等差数列． ②等差中项法：122n n n a a a ++=+ (n ∈N *)⇔{}n a 是等差数列． ③通项公式：n a pn q =+ (,p q 为常数)⇔ {}n a 是等差数列．④前n 项和公式：2n S An bn =+（A B 、为常数)⇔ {}n a 是等差数列． 3．等比数列（1）等比数列的有关概念 ①定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为*1(0,)n na q q n N a +=≠∈． ②等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．（2）等比数列的有关公式 ①通项公式：11n n a a q -=．②前n 项和公式：111,1,(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；（3）等比数列的性质已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) ①若2m n p q r +=+=，则2m n p q r a a a a a ==； ②数列23,,,,m m k m k m k a a a a +++…仍是等比数列；③数列232,,n n n n n S S S S S --，…仍是等比数列(此时{a n }的公比1q ≠-)．（4）等比数列的三种判定方法（1）定义：*1(0,)n na q q n N a +=≠∈⇔{}n a 是等比数列．（2）通项公式：1(n n a cq c q -=、均是不为零的常数，*)n N ∈ ⇔{}n a 是等比数列． (3)等比中项法：2*1212(0,)n n n n n n a a a a a a n N ++++=⋅⋅≠∈⇔{}n a 是等比数列．（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：1,,,,n n a q n a S ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．②分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．5．数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和等差数列的前n 项和公式：S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －2d ；等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n1－q，q ≠1. （2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721(10099)(9897)(21)5050n S =-+-++-=++++++=．1．【2018天津南开中学模拟】已知数列（1（2，求数列（3）在（2）的条件下，2．【2018是首项为（1（2满足3．【2018天津部分区二模】已知数列2的等比数列，偶数项依次成公差为4的（1（24．【2018（1（2的前5．【2018满足条件（1（26．【2018天津河北区二模】已知等差数列（I）求数列的通项公式及前n（II的前2n项和7．【2018天津十二校二模】已知数列满足：为常数，，．．若数列的取值范围．8．【2018天津滨海新区七校模拟】已知数列{}n a的前n项和为n S，满足21n nS a=-(*n N∈)，数列{}n b满足()()111n nnb n b n n+-+=+(*n N∈)，且11b=（1）证明数列nbn⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若()()()()122141132log32lognnn nnca a-++=-++，求数列{}n c的前n项和2n T；（3）若n nd a={}n d的前n项和为n D，对任意的*n N∈，都有n nD nS a≤-，求实数a的取值范围．9．【2018天津十二模拟一】已知等比数列{}n a的前n项和为n S，满足4212a a-=，423+2S3S S=，数列{}nb满足()()111n nnb n b n n+-+=+，*n N∈，且11b=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）设()22log 212{2nn na n k n n c n k=-+==，， n T 为{}n c 的前n 项和，求2n T ．10．【2018（1（2的前11．【2018天津部分区期末考】已知{}n a 为等差数列，且24a =，其前8项和为52， {}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足124b b a +=， 36b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令22log log n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n λ-<成立，求实数λ的取值范围．12．【2018天津一中期中考】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *n N ∈ ，且13a =．（Ⅰ）求2a 、3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式13．【2018天津滨海新区模拟】已知数列{}n a 的首项15a =前n 项和为n S ，且()*15n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令()212.....nn f x a x a x a x =+++ 求函数()f x 在点1x =处的导数()1f '并比较()21f ' 与22313n n -的大小14．【2018（1（2的前项和15．【2018的各项均为正数，，的前。

【小初高学习】专题18 数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)

母题十八数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，文18】设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*N n S n ∈；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*N n T n ∈．已知132435546,,,122b b b b a a b a a ==+=+=+．（Ⅰ）求n S 和n T ；（Ⅱ）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】(Ⅰ)()12n n n S +=，21n n T =-；(Ⅱ)4．【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则122112nn n T -==--．结合设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316a d +=，从而11,1a d ==，故n a n =，()12n n n S +∴=．（II ）由（I ），有()()131122122222212n nn n T T T n n n +-+++=+++-=-=---．由()124n n n n S T T T a b ++++=+可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =，n ∴的值为4【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．【母题原题2】【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-．2n n b =．（2）2(34)216n n T n +=-+．由此可得32n a n =-．1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+，所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【母题原题3】【2016天津，文18】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）22n ．设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-．【考点】等差数列、等比数列及其前n 项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．（2）通项公式为,,n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【母题原题4】【2015天津，文18】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=，5237a b -=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设*,n n n c a b n N =?，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ，21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323nn S n =-+【解析】试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组，通过解方程组求出q ，d ，即可确定通项；（II ）用错位相减法求和．试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q > ，由已知，有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d得42280,q q --= 解得2,2q d == ，所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ， {}n b 的通项公式【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，考查基本运算能力．【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现，尤其对等差、等比数列的通项考查较多，解决此类问题要重视方程思想的应用．错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法，从历年考试情况来看，这类问题，运算失误较多，应引起考生重视．【命题意图】高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【理科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列{}n b 的通项公式：本题从等比数列{}n b 入手，由于12b =，设公比为q ，表达出2b 和3b ，利用2312b b +=列方程求出q ，写出{}n b 的通项公式；第二步：求数列{}n a 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列{}n a 成等差数列，设公差为d ，结合3411142,11b a a S b =-=，解方程组求出1a 和d ，写出数列{}n a 的通项公式．第三步：利用错位相减法求和：列出数列221{}n n a b -的前n 项和n T ，两边同乘以4，两式相减后求和．【文科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列的通项公式求数列}{2n n b a 的通项公式第二步：选用恰当的方法求和错位相减求和第三步：下结论．【方法总结】1．数列{}n a 中n a 与n S 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数)．②等差中项：数列,,a A b 成等差数列的充要条件是2a bA +=，其中A 叫做,a b 的等差中项．（2）等差数列的有关公式①通项公式：1(1)n a a n d =+-． ②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=．（3）等差数列的性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和． ①通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈． ②若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a +=+．③若{}n a 的公差为d ，则{}n a 也是等差数列，公差为2d ． ④若{}n b 是等差数列，则{}n n pa qb +也是等差数列． ⑤数列232,,n n n n n S S S S S --，…构成等差数列．（4）．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．（5）等差数列的四种判断方法①定义法：*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数⇔{}n a 是等差数列． ②等差中项法：122n n n a a a ++=+ (n ∈N *)⇔{}n a 是等差数列． ③通项公式：n a pn q =+ (,p q 为常数)⇔ {}n a 是等差数列．④前n 项和公式：2n S An bn =+（A B 、为常数)⇔ {}n a 是等差数列． 3．等比数列（1）等比数列的有关概念 ①定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为*1(0,)n na q q n N a +=≠∈． ②等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．（2）等比数列的有关公式 ①通项公式：11n n a a q -=．②前n 项和公式：111,1,(1),111n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩；（3）等比数列的性质已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) ①若2m n p q r +=+=，则2m n p q r a a a a a ==； ②数列23,,,,m m k m k m k a a a a +++…仍是等比数列；③数列232,,n n n n n S S S S S --，…仍是等比数列(此时{a n }的公比1q ≠-)．（4）等比数列的三种判定方法（1）定义：*1(0,)n na q q n N a +=≠∈⇔{}n a 是等比数列．（2）通项公式：1(n n a cq c q -=、均是不为零的常数，*)n N ∈ ⇔{}n a 是等比数列． (3)等比中项法：2*1212(0,)n n n n n n a a a a a a n N ++++=⋅⋅≠∈⇔{}n a 是等比数列．（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法①方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和公式中联系着五个量：1,,,,n n a q n a S ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．②分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论． 5．数列求和的常用方法（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和等差数列的前n 项和公式：S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －2d ；等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1－q n1－q，q ≠1. （2）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．（6）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721(10099)(9897)(21)5050n S =-+-++-=++++++=．1．【2018天津南开中学模拟】已知数列是首项的等差数列，设．（1）求证：是等比数列；（2）记，求数列的前项和；（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）11．【解析】分析：（1）运用等差数列的通项公式，可得公差，进而得到，再由对数的运算性质和等比数列的定义，即可得证；（2）利用裂项相消法求和即可；（3）根据题意，求得，设，判断其为单调递增，求得最小值，再（3）因为，则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．设，则．所以，故的最小值是/．由，得整数可取最大值为11．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解．2．【2018天津河西区模拟】已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）（2）由等比数列的前项和公式可得结论．详解：（1）解：由题意得：，当时，，时，对上式也成立，∴．（2）解：，【名师点睛】已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式，在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况．3．【2018天津部分区二模】已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，可得，为奇数时，，为偶数时，；（II）由（1）知．为偶数时，，为奇数时，．详解：（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，得．∵，∴，解得为奇数时，，．【名师点睛】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．4．【2018天津部分区二模】已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意得：1+d=1+q，q2=2（1+2d）﹣6，解得：d=q=2，即可．（2）证明：因为c n===，T n=．即可得．详解：（1）设数列的公比为，数列的公差为．由题意得，，解得，所以（2）证明：因为，所以【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．5．【2018天津河东区二模】已知等比数列满足条件，，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和．【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问首先利用等比数列的通项公式得到数列的首项和公比所满足的条件，从而求得相关的值，得到该数列的通项公式；第二问利用和与项的关系，得到，，再将时的情况进行验证，得到，，之后应用错位相减法对数列求和即可得结果．详解：（1）设的通项公式为，由已知，，由已知，，，综上，①②由①-②得到，【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写．6．【2018天津河北区二模】已知等差数列{}中，=1，且，，成等比数列．（I）求数列{}的通项公式及前n项和；（II）设，求数列{}的前2n项和．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由题意可求得，故可得数列的通项公式和前n项和公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故选用分组求和的方法将数列{}的项分为计数项和偶数项两部分后再求和．详解：（I）设等差数列{}的公差为d，∵，且，，成等比数列，∴，即，解得或．∴数列{}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．∴数列{}的前2n项的和．【名师点睛】（1）等差、等比数列的运算中，要注意五个量之间的关系，根据条件得到方程（或方程组），通过解方程（方程组）达到求解的目的．（2）数列求和应从通项入手，若通项符合等差数列或等比数列，则直接用公式求和；若通项不符合等差或等比数列，需要通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列求解．当数列的通项中含有或的字样时，一般要分为n为奇数和n为偶数两种情况求解．7．【2018天津十二校二模】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，．若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．详解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，解得．（3）由（2）知【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．8．【2018天津滨海新区七校模拟】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =- (*n N ∈)，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+ (*n N ∈)，且11b =（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()()()()122141132log 32log n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前n 项和2n T ；（3）若n n d a ={}n d 的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12n n a -=， 2n b n =；（2）11343n -+；（3）0a ≤ 【解析】试题分析：（1）()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +，得111n nb b n n+-=+，可求得n b ．用公式11,2{,1n n n S S n a S n --≥==，统一成n a ，可求得n a ．（2）由（1）12n n a -=，代入得n c ()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由并项求和可得2n T ．（3）由（1）12n n d a n -==由错位相减法可求得n D ，代入可求．当2n ≥时， 21n n S a =-， -1-121n n S a =-，两式相减得12n n a a -=，又1=1a ，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 为首项1=1a ，公比=2q 的等比数列，从而数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2） ()()()41(2123n n c n n -⎛⎫+=⎪ ⎪++⎝⎭()11112123n n n -⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭2123212n n n T c c c c c -=++++=1111111135574143343n n n +--+--=-+++（3）由（1）得12n n d a n -==，()221112232122n n n D n n --=⨯+⨯+⨯+-+()()2311212223212122n n n n D n n n --=⨯+⨯+⨯+-+-+，所以21n a n ≤--恒成立，记21n n d n =--，所以()min n a d ≤，因为()()1+121121n n n n d d n n +⎡⎤-=-+----⎣⎦210n=->，从而数列{}n d 为递增数列所以当=1n 时， n d 取最小值1=0d ，于是0a ≤．【名师点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前n 项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好．9．【2018天津十二模拟一】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4212a a -=，423+2S 3S S =，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+， *n N ∈，且11b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()22log 212{2nn na n k n n c n k=-+==，， n T 为{}n c 的前n 项和，求2n T ．【答案】（1）2n n a ∴=， 2n b n =；（2）21166899221n n nn -+-+⨯+．【解析】试题分析：（1）由423+2S 3S S =，可推出432a a =， 2q =，结合4212a a -=，即可求出数列{}n a 的通项公式，再将()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +得111n n b b n n +-=+，可推出数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）知()22log 2,212{2,22nn n n k n n c nn k =-+==，利用分组求和，裂项相消法及错位相减法即可求出2n T ．1d =的等差数列∴=nb n n，从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =．（2）由（1）知()()2211log 2,21,2122{{2,2,222nn n n n n k n k n n n n c c nnn k n k -=-=-++=⇒===∴21232n nT c c c c =++++135211*********22133521212222n n n n -⎛⎫⎡⎤=-+-++-+++++⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦【名师点睛】（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,{2,n n n n a n =为奇数为偶数），符号型（如()21nn a n =- ），周期型（如πsin3n n a = ）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10．【2018天津十二模拟二】已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据，是与的等比中项列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列与的的通项公式；（2）由（1）可知，所以，对分奇数、偶数两种情况讨论，分别利用分组求和法，错位相减求和法，结合等差数列求和公式与等比数列求和公式求解即可．试题解析：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为由是与的等比中项可得：又，则：，解得或因为中各项均为正数，所以，进而．故．（2）设则②，由①-②得：，，因此，综上：．11．【2018天津部分区期末考】已知{}n a为等差数列，且24a=，其前8项和为52，{}n b是各项均为正数的等比数列，且满足124b b a+=，36b a=．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）令22l o gl o gn nnn nb aca b=+，数列{}n c的前n项和为n T，若对任意正整数n，都有2nT nλ-<成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n a n =+， 2n n b =；（2）3λ≥ 【解析】试题分析：（1）结合题意可求得等差数列的公差和等比数列的公比，由此可得数列的通项公式．（2）由（1）可得22224422n n n n n c n n n n +++=+=++ 11222n n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和可得1123212n T n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭，因此由题中的恒成立可得113212n n λ⎛⎫>-+ ⎪++⎝⎭对任意正整数n 恒成立，然后根据1132312n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭可得结果．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得114{82852a d a d +=+=，即1134{ 2713a d a d +=+=，解得13{1a d ==，所以()312n a n n =+-=+．1111111221324112n n n n n ⎛⎫=+⨯-+-++-+- ⎪-++⎝⎭1123212n n n ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭．所以1123212n T n n n ⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，因为对任意正整数n ，都有2n T n λ-<成立，即113212n n λ⎛⎫>-+⎪++⎝⎭对任意正整数n 恒成立，又1132312n n ⎛⎫-+<⎪++⎝⎭，所以3λ≥．故实数λ的取值范围为[)3,+∞．12．【2018天津一中期中考】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--， *n N ∈ ，且13a =．（Ⅰ）求2a 、3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式【答案】（Ⅰ）25a =， 37a =；（Ⅱ）见解析．【解析】分析：（Ⅰ）分别令1,2n n ==就可以求得25a =， 37a =．（Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测21n a n =+，利用数学归纳可证明该猜测．②当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++，这说明当1n k =+时，猜想也成立，结合①②，由归纳原理知，对任意*n N ∈， 21n a n =+．【名师点睛】与自然数有关的问题，可以用数学归纳法，在归纳假设中，我们一般设当n k =时，命题()P k 成立，也可以假设0n n k ≤≤时，命题()P n 成立，然后再证明1n k =+， ()1P k +也成立．13．【2018天津滨海新区模拟】已知数列{}n a 的首项15a =前n 项和为n S ，且()*15n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令()212.....nn f x a x a x a x =+++ 求函数()f x 在点1x =处的导数()1f '并比较()21f ' 与22313n n -的大小【答案】（1）见解析；（2）()21f ' > 22313n n -．【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项递推关系，再根据题意变形为()1121n n a a ++=+，最后根据等比数列定义给以证明（2）先求导数得()1f '，根据分组求和法以及错位相消法化简()1f '，最后作差并利用二项式定理比较大小因为()212n n f x a x a x a x =+++所以()1122n n f x a a x na x -'=+++从而()1212n f a a na '=+++=()()()23212321321n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()()1131262n n n n ++-⋅-+由上()()()22123131212n f n n n --=-⋅'-()21221n n --=()()()121212121n n n n -⋅--+=12()()1221n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以()2212313f n n ='-；当2n =时，①式=-120<所以()2212313f n n <'- 当3n ≥时， 10n ->又()011211nn n nnn n n C C C C -=+=++++ ≥ 2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而()21f ' > 22313n n -．14．【2018天津一中月考五】已知数列中，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．【解析】分析：（1）设，推导出，由此能证明数列是等比数列；（2）推导出，由，得，，从而由此能求出满足S n ＞0的所有正整数n 的值．由，得，所以，同理，当且仅当时，，综上，满足的所有正整数为和．【名师点睛】本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．【2018天津耀华中学】等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，．（）求与．（）求数列的前项和．（）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（），（）（）【解析】试题分析：（1）由条件得，解方程即可；（2）利用错位相减即可得解；（3）由，利用裂项相消求和，只需即可．试题解析：（）设公差为，公比为．．．．（），∴，∴．∴，即恒成立，∴，则，∴．【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．。

2018年高考数列求通项公式专题(史上最全)

解法：设 an+1 + A(n + 1) + B = p(an + An + B) ，去括号整理对比 an+1 = pan + A0 n + B0 解出 A 、B 的值，构造出 {an + An + B} 为等比数列．理解该数列的构造原理，若出现 a n +1 = pan + A0 n + B0 n + C0 ，方法也相同.
变式训练 5(1)已知数列 {an } 满足 a1 = 1 ， an+1 = an + ln(1 + ) ，求 {an } 的通项公式. (2)已知数列 {an } 满足 a1 = 2 ， an +1 − an = 3 2
2 n −1
1 n
，求 {an } 的通项公式.
3.累乘法：型如 an +1 = an f (n) 的数列
(
)
二、已知递推公式求通项公式 1 公式法：型如 a n − a n −1 = d ,
an = q(n 2) a n−1
2.累加法：型如 an +1 = an + f (n) 的数列
例 3 已知数列 {an } 满足 a1 = 2 ， an+1 = an + 3n + 2 ，求 {an } 的通项公式.
17 3 ， an = an−1 + 5(n 2) ，求 {an } 的通项公式. 2 2
5-2 型如 a n +1 =
ma n + r 的数列 pa n + q
man (mp 0) 的数列 pan + m
an ，求 {an } 的通项公式. 2an + 1

数列的通项公式和前n项和

例2
分别在下列条件下求数列{an }的通项公式
(1) a1 0, an 1 an (2n 1) (2) a1 1, (n 1)an 1 nan 0 (3) a1 1, an 1 2an 3
例2
分别在下列条件下求数列{an }的通项公式
(n 1)[1 2(n 1) 1] 2 (n 1) 2(n 1) 2 (n 1) 2 (n 2) a1 0 ( n 2) 经检验，n 1时，满足上式数列{an }的通项公式为 an (n 1) 2
一数列的通项公式定义如果数列a与序号n之间的关系可以用一个式子来表示那么这个式子叫做数列的通项公式
数列的通项和前n项和
一、数列的通项公式【定义】如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式。【注】数列的通项公式反映的是数列的第n项
与序号n之间的关系：an=f(n)
【类型Ⅰ】已知数列的前几项，求通项公式。【小结】解决这类问题要注意： 1、观察每一项的特点，建立合理联想，可使
用添加、还原、分割等办法转化成常见数列。
2、常见的数列有：
1，2，3，4，……
2，4，6，8，……
an=n
a n =2 n
1，3，5，7，……
1，4，9，16，…… 1，3，7，15，…… 9，99，999，9999，……
常见题型
【类型Ⅲ】裂项相消求和。例3
1 1 1 1 求 Sn 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
常见题型
【类型Ⅲ】裂项相消求和。例3 解：
1 1 1 1 求 Sn 1 2 2 3 3 4 n(n 1)

专题18数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)Word版含解析

母题十八数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，文18】设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*N n S n ∈；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*N n T n ∈．已知132435546,,,122b b b b a a b a a ==+=+=+．（Ⅰ）求n S 和n T ；（Ⅱ）若()124n n n n S T T T a b ++++=+ ，求正整数n 的值．【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】(Ⅰ)()12n n n S +=，21n n T =-；(Ⅱ)4．【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则122112nn n T -==--．结合设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316a d +=，从而11,1a d ==，故n a n =，()12n n n S +∴=．（II ）由（I ），有()()131********2212n nn n T T T n n n +-+++=+++-=-=--- ．由()124n n n n S T T T a b ++++=+ 可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =，n ∴的值为4【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．【母题原题2】【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-．2n n b =．（2）2(34)216n n T n +=-+．由此可得32n a n =-．1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+，所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．【母题原题3】【2016天津，文18】已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *∈N ，且6123112,63S a a a -==．(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,n n b *∈N 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nnb -的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）12-=n n a ；（Ⅱ）22n ．设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=-．【考点】等差数列、等比数列及其前n 项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．（2）通项公式为,,n n n b n a c n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．【母题原题4】【2015天津，文18】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=，5237a b -=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设*,n n n c a b n N =?，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ，21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323nn S n =-+【解析】试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组，通过解方程组求出q ，d ，即可确定通项；（II ）用错位相减法求和．试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q > ，由已知，有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d得42280,q q --= 解得2,2q d == ，所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ， {}n b 的通项公式【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和，考查基本运算能力．【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现，尤其对等差、等比数列的通项考查较多，解决此类问题要重视方程思想的应用．错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法，从历年考试情况来看，这类问题，运算失误较多，应引起考生重视．【命题意图】高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．【理科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列{}n b 的通项公式：本题从等比数列{}n b 入手，由于12b =，设公比为q ，表达出2b 和3b ，利用2312b b +=列方程求出q ，写出{}n b 的通项公式；第二步：求数列{}n a 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列{}n a 成等差数列，设公差为d ，结合3411142,11b a a S b =-=，解方程组求出1a 和d ，写出数列{}n a 的通项公式．第三步：利用错位相减法求和：列出数列221{}n n a b -的前n 项和n T ，两边同乘以4，两式相减后求和．【文科】【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求数列的通项公式求数列}{2n n b a 的通项公式第二步：选用恰当的方法求和错位相减求和第三步：下结论．【方法总结】1．数列{}n a 中n a 与n S 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列（1）等差数列的有关概念①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为*1(,n n a a d n N d +-=∈为常数)．②等差中项：数列,,a A b 成等差数列的充要条件是2a bA +=，其中A 叫做,a b 的等差中项．（2）等差数列的有关公式①通项公式：1(1)n a a n d =+-． ②前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=．（3）等差数列的性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和． ①通项公式的推广：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈． ②若*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a +=+．。

2018年高考数学命题角度1.1等差等比数列通项公式与前n项和公式的应用大题狂练系列理

命题角度1 等差等比数列通项公式与前n 项和公式的应用1.已知等差数列{}n a ， 111a =-，公差0d ≠，且256,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）213n a n =-;（2）()()22126{12727n n n n T n n n -≤=-+≥.【解析】试题分析：(1)由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得212110a d d +=的关系,再结合111a =-,可求得213n a n =-;(2) ∵213n a n =-，分6n ≤和7n ≥两种情况求和即可.试题解析：（1）∵256,,a a a 成等比数列，∴2526a a a =，即()()()211145a d a d a d +=++，∴212110a d d +=，又0d ≠， 111a =-，∴2d =，∴()1112213n a n n =-+-⨯=-.点睛：本题考查了数列通项的求法和数列求和，（1）中是由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得212110a d d +=的关系,再结合111a =-,可求得213n a n =-通项;(2)的求和，采用的是分段求和，因为213n a n =-，分6n ≤和7n ≥两种情况去掉绝对值求和即可.2. 已知数列的前项和为，，（且），数列满足：，且（且）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：数列为等比数列；（Ⅲ）求数列的前项和的最小值.【答案】（1）（2）见解析（3）试题解析：（Ⅰ）由得即（且）则数列为以为公差的等差数列因此（Ⅱ）证明：因为（）所以（）（）（）所以（）因为所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（Ⅲ）由（Ⅱ）得所以（）所以是递增数列.因为当时，，当时，当时，所以数列从第3项起的各项均大于0，故数列的前2项之和最小.记数列的前项和为，则.3.对于数列{}{},n na b()11111,1,32,n n n na b a n a n b b n N*++==-+=+=+∈. （1）求数列{}n a、{}n b的通项公式；（2，求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）2n a n =，1231n n b -=- ；（2【解析】试题分析：（1）由()11n n n S n S a n +-+=++化简得121n n a a n +=++，利用累加法求得2n a n =，对132n n b b +=+利用配凑法求得通项公式为1231n n b -=- ；（2）化简，这是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求得前n 项和为试题解析：（1）()11n n n S n S a n +-+=++ ,()()()()11123221121,...n n n n n n n a a n a a a a a a a a a a +---∴=++∴=-+-++-+-+所以{}n a 的通项公式为2n a n =.由132n n b b +=+，得(){}1131,1n n n b b b ++=+∴+是等比数列，首项为112b +=，公比为3，所以1123n n b -+= ，所以{}n b 的通项公式为1231n n b -=- .考点：递推数列求通项，错位相减法.【方法点晴】本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于n a 来说，化简题目给定的含有n S 的表达式后，得到121n n a a n +=++，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于n b 来说，由于132n n b b +=+，则采用配凑法求其通项公式，对于n c 来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.4.已知数列{}n a 的前n 项和211,2,2(1)n n n n S a S n a n a +==+-，数列{}n b 满足111,2n a n n b b b λ+==⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正实数λ，使得{}n b 为等比数列？并说明理由.【答案】（1）n a n 2=；（2【解析】试题分析：（1）()221211221)2(2,)1(2+++++-+=-+=n n n n n n an a n S a n a n S ,两式相减可得212n n n a a a +++=,即数列{}n a 是等差数列，进而可得通项公式；（2）12,2211+⋅=⋅=+++n n a n n a n n b b b b λλ，两式相除可得n n b b 42=+，即{}{}122-n n b b 和等比数列，求出123,,b b b ，得到λ值再进行验证. 试题解析：（1）由题设，()221211221)2(2,)1(2+++++-+=-+=n n n n n n an a n S a n a n S ,两式相减可得()()()1222121+++=++n n n an a a n ，由于1211242a a a S =-=，可得4212==a a ，所以{}n a 的公差为2，故n a n 2=.（2）由题设，12,2211+⋅=⋅=+++n n a n n an n b b b b λλ，两式相除可得n n b b 42=+，即{}{}122-n n b b 和都是以4为公比的等比数列.因为1,421211==⋅=b b b a λλ，所以λ42=b ，由4413==b b 及3122b b b =，可得142=λ，又0>λ，所以所以221212122,242----==⋅=n n n n n b b ，即12-=n n b ，则n n b b 21=+，，使得数列{}n b 为等比数列. 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等比数列的定义及性质.5.已知数列}{n a 的前n 项和12-+=n n a n S ，且41a a ，是等比数列}{n b 的前两项，记n b 与1+n b 之间包含的数列}{n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间的项为32a a ，，则21=c .（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n n c a 的前n 项和.【答案】（1） 12+=n a n ，3n n b =；（2）1232n n n n +⋅--.试题解析：（1）由题意知，12-+=n n a n S ，)2(1)1(121-≥-+-=-n a n S n n ，两式作差得112--+-=n n n a a n a ，即)2(121-≥-=n n a n ， ∴12+=n a n ，则31=a ，94=a ， ∴31=b ，92=b ， ∴n n n q b b 311==-.（2） n n b 3=，113++=n n b ，∵数列}{n a 是由连续的奇数组成的数列，而n b 和1+n b 都是奇数，∴n b 与1+n b 之间包含的奇数个数为∴13-=n n c ，)12(3)12()13)(12(+-+=-+=n n n c a nn n n . 设}3)12{(nn +的前n 项和为n T ，n n n T 3)12(353321+++⨯+⨯= ，① 13213)12(3533+++++⨯+⨯=n n n T ，②①-则13+⋅=n n n T∴数列}{n n c a 的前n 项和为n n n S T n n n 2321--⋅=-+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列的定义与性质；3.等比数列的定义与性质；4.数列求和. 【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列的定义与性质、等比数列的定义与性质与数列求和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．6．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，()()2223n n n a n a a n --⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且数列{}n a 前n 项和为n S ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及21m S -；（Ⅱ）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值．【答案】（Ⅱ）2m =试题解析：解：（Ⅰ）当n 为奇数时，22n n a a --=，因此数列{}n a 的奇数项依次构成以11a =为首项，2为公差的等差数列，所以当n 为偶数时，23n n a a -=，即，因此数列{}n a 的偶数项依次构成以22a =为首项，3为公比的等比数列，所以()()2113212422m m m S a a a a a a ---=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（Ⅱ）由12m m m a a a ++=，①若2m k =（k *∈N ），则22122k k k a a a ++=，即2131k k +=⇒=，即2m =．②若21m k =-（k *∈N ），即21221k k k a a a -+= ，即1k =，但此时式为0233⋅=不合题意，综上2m =．考点：等差数列与等比数列通项与求和【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.。

数列通项公式和前n项和的求法-精选资料

数列通项公式和前n项和的求法一、数列通项公式的求法1. 通项法：当我们明确该数列是等差数列或者是等比数列时，可以直接通过等差数列的通项公式an=a1（n-1）d，或者等比数列的通项公式an=a1qn-1求得.2. 观察法：例（1）2，4，6，8，……参考答案：an=2n（2）1，2，1，2，……参考答案：an=（3）1，11，111，1111，……参考答案：an=3. 做差法：（1）由Sn=f（n）求an例已知Sn=n2+1，求an.提示：由an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2可求得an=2，n=12n-1，n≥2（2）由Sn=f（an），求an例已知Sn=2-3an，求an.提示：由Sn+1=2-3an+1Sn=2-3an得an=?n-14. 迭代法：（1）迭加法：例已知a1=3，an+1=an+2n，求an.提示：由an+1=an+2n得，an+1-an=2n.∴a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，……，an-an-1=2n-1.上述n-1个式子相加得an=2n+1.（2）迭乘法：例已知a1=3，an+1=an?2n，求an.提示：由an+1=an?2n得=2n.∴=2，=22，=23，……，=2n-1.上述n-1个式子相乘得an=3?2.5. 倒数法：例已知a1=1，an+1=，求an.提示：由an+1=得-=，∴是以=1为首项，为公差的等差数列，∴=1+（n-1），∴an=.6. 构造法：例已知a1=4，an=3an-1-2（n≥2），求an.提示：设an+t=3（an-1+t），展开后得an=3an-1-2t，与an=3an-1-2对比，可得2t=-2，∴t=-1，∴an-1=3（an-1-1），∴数列an-1是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an-1=3?3n-1=3n，∴an=3n+1.二、数列的前项求和方法1. 公式法：当明确该数列是等差数列或者是等比数列时，可以直接通过等差数列的求和公式Sn==na1+，或者是等比数列的求和公式Sn=na1，q=1=，q≠12. 裂项法：例已知an=，求an的前n项和.提示：an==（-）∴a1=-，a2=-，a3=-，……，an=-，上述n个式子相加得Sn=.3. 分组求和法：例求1，3，5，……的前n项和.提示：Sn=[1+3+5+……+（2n-1）]++++……+=n2+1-.4. 错位相减法：例求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1提示：当x=0时，Sn=1；当x=1时，Sn=1+2+3+……+n=当x≠0且x≠1时，Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1 （1）xSn=x+2x2+……+（n-1）xn-1+nxn （2）由（1）和（2）得（1-x）Sn=1+x+x2+……xn-1-nxn=-nxn ∴Sn=-综上所述，Sn=，x=1-，x≠1。

专题18 数列的通项公式及前n项和-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)-新整理

母题十八数列的通项公式及前n 项和【母题原题1】【2018天津，文18】设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*N n S n ∈；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*N n T n ∈．已知132435546,,,122b b b b a a b a a ==+=+=+．（Ⅰ）求n S 和n T ；（Ⅱ）若()124n n n n S T T T a b ++++=+，求正整数n 的值．【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．【答案】(Ⅰ)()12n n n S +=，21n n T =-；(Ⅱ)4．【解析】试题分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则122112nn n T -==--．结合设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316a d +=，从而11,1a d ==，故n a n =，()12n n n S +∴=．（II ）由（I ），有()()131122122222212n n n n T T T n n n +-+++=+++-=-=---．由()124n n n n S T T T a b ++++=+可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =，n ∴的值为4【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．【母题原题2】【2017天津，文18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0， 2334111412,2,11b b b a a S b +==-=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．【答案】（1）32n a n =-．2n n b =．（2）2(34)216n n T n +=-+．由此可得32n a n =-．1212(12)4(62)2(34)21612n n n n n ++⨯-=---⨯=----．得2(34)216n n T n +=-+，所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为2(34)216n n +-+．。

求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结

求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。

在解题或研究中，我们经常需要求数列的通项公式和前N项和，这对于理解数列的性质和应用具有重要的意义。

数列的通项公式是指能够用一个公式来表示数列中任意一项的值。

通过求解数列的通项公式，我们可以更方便地计算数列中任意一项的值，而不需要逐项计算。

求解数列的通项公式需要观察数列的规律，并推理出描述数列的特征的公式。

数列的通项公式有多种类型，这取决于数列本身的规律和性质。

以下是几种常见的数列类型及其通项公式的总结。

1.等差数列等差数列是数列中相邻两项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中，n表示数列中第n项的位置。

2.等比数列等比数列是数列中相邻两项之比都相等的数列。

通常用字母a表示首项，r表示公比。

等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中，n表示数列中第n项的位置。

3.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的通项公式并不是简单的线性函数。

斐波那契数列的特点是当前项等于前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为：an = F(n-1) + F(n-2)其中，F(n)表示第n个斐波那契数。

4.平方数列平方数列是数列中的每一项都是一些数的平方。

平方数列的通项公式为：an = n^2其中，n表示数列中第n项的位置。

除了以上几种常见的数列类型，还有一些其他特殊的数列类型，如等差几何数列、调和数列等，它们都有自己独特的通项公式。

求解数列的通项公式需要根据数列的规律，运用观察、归纳、推导等方法进行分析。

除了数列的通项公式，我们还经常需要计算数列的前N项和。

前N项和是数列中从第一项到第N项的所有项的和。

求解数列的前N项和需要根据数列的通项公式，将前N项分别代入通项公式并累加。

求解数列前N项和的公式也有多种类型。

1.等差数列的前N项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn表示前N项和，a表示首项，n表示数列中第N项的位置，d表示公差。

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