2011年高一数学测试：3.1.1《实数指数幂及其运算》(新人教B版必修1))
数学人教B版必修1学案3.1.1 实数指数幂及其运算 Word版含解析
实数指数幂及其运算．整数指数()一个数的次幂等于个的连乘积，即叫做的次幂，叫做幂的底数，叫做幂的指数．并规定＝.()正整指数幂在中，是正整数时，叫做正整指数幂．正整指数幂具有以下运算法则：①·＝＋；②()＝；③＝－(≠，＞)；④()＝.其中，∈＋.()整数指数幂在上述法则③中，限制了＞，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①＝(≠)；②－＝(≠，∈＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①·＝＋；②()＝；③()＝.其中，∈.同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．的零次幂没有意义，的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于”．【例】化简：()－·(－)÷().解：原式＝＝(－·－)·(－·－)＝－－.．根式如果存在实数，使得＝(∈，＞，∈＋)，则叫做的次方根．求的次方根，叫做把开次方，称作开方运算．当有意义时，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．正数的正次方根叫做的次算术根．次方根具有以下性质：()在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；()在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；()零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：()()＝(＞，∈＋)，当为奇数时，∈，当为偶数时，≥(＜时无意义)；()＝(\\(，为奇数，，为偶数.))析规律关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为负无意义，零取方根仍为零．【例－】已知＝－－，则实数的取值范围是．解析：∵＝＋，∴＋＝－－＝－(＋)．∴＋≤，即≤－.答案：(－∞，－]【例－】化简下列各式：()；().解：()原式＝(－)＋－＋(－)＝－＋(－)＋(－)＝－.()原式＝＝(＋)＋(－)＝.辨误区根式运算应注意的问题利用的性质求值运算时，要注意的奇偶性．特别地，当为偶数时，要注意的正负．．分数指数幂()分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①＝(＞)；②＝()＝.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；．与表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；．通常规定分数指数幂的底数＞，但要注意在像＝中的，则需要≤.()有理指数幂的运算法则：①αβ＝α＋β；②(α)β＝αβ；()()α＝αα(其中＞，＞，α，β∈)．析规律有理指数幂的运算．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：()同底数幂相乘，底数不变，指数相加；()幂的幂，底数不变，指数相乘；()积的幂等于幂的积．．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：＝－(＞，＞)；(＞，＞)．【例－】求值：()；()；()；().解：().().().().点技巧有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像，这样反而不易求解．【例－】求下列各式的值：。
高中数学人教B版必修一学案：第三单元 3.1.1 实数指数幂及其运算(一) Word版含答案
3．1.1实数指数幂及其运算(一)学习目标 1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．知识点一整数指数思考1n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？思考2零指数幂和负整指数幂是如何规定的？梳理整数指数幂的概念及性质(1)有关幂的概念a n＝a·a·…·a，a n叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________，n∈N＋，n个并规定a1＝a.(2)零指数幂与负整指数幂规定：a0＝____(a≠0)，a－n＝______(a≠0，n∈N＋)．(3)整数指数幂的运算法则a m·a n＝______.(a m)n＝______.a ma n＝______(m＞n，a≠0)．(ab)m＝______.知识点二n次方根、n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理根式的概念(1)a的n次方根定义如果存在实数x，使得______，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示(3)根式当n a有意义的时候，______叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数．知识点三根式的性质思考我们已经知道若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？(－3)2呢？梳理一般地，有(1)n0＝____(n∈N＋，且n>1)．(2)(na)n＝____(n∈N＋，且n>1)．(3)na n＝a(n为大于1的奇数)．(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧(a≥0)(a<0)(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1求使等式(a－3)(a2－9)＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于n a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负．跟踪训练1若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.反思与感悟 n 为奇数时，⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数； n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且na n ＝|a |. 跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4.类型三 有限制条件的根式的化简例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 引申探究例3中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？反思与感悟 n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 跟踪训练3 已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x 2－4x ＋4)3＝________.1．已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56 C ．－56 D ．±562．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 3．(42)4运算的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定 4.3－8的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－8 5．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1D ．(1－2x )21．如果x n ＝a ，n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.答案精析问题导学 知识点一思考1 a n ，叫幂．思考2 规定：a 0＝1 (a ≠0)，00无意义；a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)．梳理(1)n 次幂 底数 指数 (2)1 1an (3)a m ＋na mn a m －n a mb m 知识点二思考 这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作±3. 梳理(1)x n ＝a (3)na 根指数 知识点二思考 把x ＝3代入方程x 2＝3，有(3)2＝3； 32＝9，9代表9的两个平方根中正的那一个，即3. (－3)2＝9＝3.梳理 (1)0 (2)a (4)a －a 题型探究 例1 解 (a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.例2 解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.(2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3， ∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 跟踪训练3 1 当堂训练1．B 2.C 3.A 4.B 5.C。
2011高一数学学案：3.1.1《实数指数幂及其运算》(第二课时)(新人教B版必修一)
3.1.1实数指数幂及其运算（2）【学习目标要求】要求学生理解分数指数幂的概念和性质，根式和分数指数幂的互化，实数指数幂的概念和性质，并会进行相关运算。
【知识再现】1 ① 当n =；② 当n a ⎧==⎨⎩（要注意分清n 是偶数还是奇数)2 整数数指数幂的性质（1） ，（2） ，（3） 。
（4） 。
3 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。
求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。
4规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。
规定负分数指数幂的定义是： 。
规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。
规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。
5 有理指数幂的运算性质有：（1） （2）（3） 。
【概念探究】阅读教材86页88页例题1以前，思考并完成以下问题1分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用 之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2 为什么有理指数幂可以扩展到无理指数幂？例题例1 化简：332b a a b ba练习：（1例2：已知：22121=+-a a 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .练习：已知12,9x y xy +==，且x y <，求11221122x yx y -+的值。
【课堂检测】1 下列运算正确的是（ ）A 2332()()a a -=-B 235()a a -=-C 235()a a -=D 236()a a -=- 2 下列说法正确的是（ ）A -2是16的四次方根B 正数的n 次方根有两个C a 的nD a =3 下列各式成立的是（ ） A 7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B= C34()x y =+ D=4. （1）4325)12525(÷-（22a＞0）5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b-÷，(0)b≠6. 0=，求x y。
人教B版高中数学必修一学案：3.1.1 实数指数幂及其运算
3.1.指数与指数函数 3.1.1.实数指数幂及其运算[学习目标].1.理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幂的意义.[知识链接]1.4的平方根为±2，8的立方根为2. 2.23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.基本概念＝a 0＝1(a ≠0) (1)(na )n ＝a (n ＞1且n ∈N ＋)；(2)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数且n ＞1，n ∈N ＋)，|a | (n 为偶数且n ＞1，n ∈N ＋).3.有理指数幂的运算法则若a >0，b >0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)a αa β＝a α＋β；(2)(a α)β＝a α·β；(3)(ab )α＝a α·b α. 解决学生疑难点.......................... .......................... ..........................要点一.根式的运算 例1.求下列各式的值： (1) 3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)x 2－2x ＋1－ x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)解.(1) 3(－2)3＝－2.(2) 4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法.1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪演练1.化简下列各式： (1)5(－2)5；(2) 4(－10)4；(3)4(a －b )4.解.(1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).要点二.根式与分数指数幂的互化 例2.将下列根式化成分数指数幂形式： (1)3a ·4a ；.(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；.(4)(3a )2·ab 3. 解.(1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a ； (2)原式＝a ·21a ＝ a ·21a ·41a ＝21a ·41a ·18b ＝87a ；(3)原式＝32a ·23a ＝613a ； (4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝76a 23b . 规律方法.在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nma ＝na m和-m na＝1nma ＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪演练2.用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解.(1)原式＝31a ·16()-a ＝－13()-a ·16()-a ＝－12()-a (a ＜0)； (2)原式＝323232b a ab⋅＝157322()⋅a b ＝56a 76b (a ，b ＞0)； (3)原式＝23)＝212343()⨯⨯-b ＝19()-b (b ＜0)； (4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝35-x.要点三.分数指数幂的运算例3.(1)计算：130.064-－⎝⎛⎭⎫－780＋433[(2)]--＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简：3329-a aa ＞0).解.(1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)12＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[19133232⨯⨯⋅（-）a a]÷[171132323⨯⨯⋅（-）（）aa]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪演练3.计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)323a ·a －3·(a －5)21-·(a21-)13.解.(1)原式＝(－1)32-⎝⎛⎭⎫33832-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27832-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·32-a )31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(52a ·132-a)21＝(a －4)21＝a －2.1.下列各式正确的是(..) A.(3a )3＝aB.(47)4＝－7C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案.A解析.(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是(..) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案.C解析.当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.计算[(－2)2]21的结果是(..) A. 2 B.－ 2 C.22D.－22答案.A解析.[(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2. 4.下列各式运算错误的是(..) A.(－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B.(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C.(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D.[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18b 18. 答案.C解析.直接运用指数幂的运算法则分别计算后选择.对于A ，(－a 2b )2·(－ab 2)3＝a 4b 2·(－a )3b 6＝－a 7·b 8，故正确.对于B ，(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝－a 6b 9÷(－a 3b 6)＝a 6－3b 9－6＝a 3b 3，故正确.对于C ，(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·(－b 6)＝－a 6b 6，故C 项错误.对于D ，易知正确，故选C. 5.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238＝________. 答案.22－3 解析.原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，na n＝a，n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。
人教B版高中数学必修一课件-3.1.1 实数指数幂及其运算2
4 24 2 4 24 2 8（ 3）8 3
5 25 2 5 25 -2 9（ 5）9 -5
a, 当n为奇数时
n
an
a
,
当n为偶数时
根式的性质：
n a n an 1, n N
a, 当n为奇数时
n
an
a
,
当n为偶数时
探究：
1
a a a a 1 3________ 3 3
例3：计算下列各式的值 15
1). 2 2 4 2 8 2 2 8
2).
2 1
4a3b 3
2
1 1
a 3b 3
3
6a
3
3).
3y
3x2
xy
5 1 2
36 y 6 x3
100 4). 2 7
0.5
0.12
2 10
2
3
3
0
37
9
27
48
例4：化简下列各式
2 1
5x y3 2
1).
；
2).根式与分数指数幂可以等价互化 ； 4).0的正分数指数幂等于0；
3).0分的子负在分内数，指分数母幂在没外有；意义.
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
有理指数幂的运算性质：设 a 0, b 0，
对任意的有理数 ， ，有理指数幂运算法
则如下：
1）. aa a
2）. a a
3）. ab ab
开 a次方，R称, n做开方1运, n算. N
a n
x aan n
若 xn ，则a
n a (a R), n为奇数
x n
a (a 0),
n为偶数
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
3。
1。
1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
(人教B版)必修一名师精品：3.1.1《实数指数幂及其运算》教案设计(含答案)
示范教案整体设计教学分析在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题．推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子，并总结出规律：a ＞0，①5a 10＝5(a 2)5＝a 2＝a 105；②a 8＝(a 4)2＝a 4＝a 82；③4a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a 124；④2a 10＝2(a 5)2＝a 5＝a 102.(3)利用的规律，你能表示下列式子吗？453，375，5a 7，n xm ，m 、n∈N ＋，且(4)你能用方根的意义来解释的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n ＝a·a·a·…·a，a 0＝1(a≠0)；00无意义； a －n ＝1an (a≠0)；a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；(a n )m ＝a mn ；(ab)n ＝a n b n.其中n 、m∈N ＋.(2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根．实质上①5a 10＝a105，②a 8＝a 82，③4a 12＝a 124，④2a 10＝a 102结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝534，375＝753，5a 7＝a 75，n x m ＝x m n.(4)53的四次方根是534，75的三次方根是753，a 7的五次方根是a 75，x m 的n 次方根是x m n .结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为n a m ＝a m n ，即a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝n a m(a ＞0，m ，n∈N ＋，n ＞1)．提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理指数幂呢？讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a≠0，n∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1a m n＝1na m (a ＞0，m 、n∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即nma ＝na m(a ＞0，m 、n∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是nm a ＝n am(a ＞0，m 、n∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是nm a －＝1a m n＝1na m (a ＞0，m 、n∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如31)1(－＝3－1＝－1，62)1(－＝6－2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝|a|23，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数． 有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：(1)a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s∈Q)，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s∈Q)，[:(3)(a·b)r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r∈Q)． 应用示例思路1例1求值：(1) 328；(2) ２１－25；(3)(12)－5；(4)43)8116(－.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1);422)2(8232332332====⨯(2);5155)5(251)21(221221====⨯－－－－(3);322)2()21()5(1515===⨯－－－－－(4).827)32()32()8416(3)43(443===⨯－－－ 点评：本例主要考查指数幂的运算，要按规定来解．在进行指数幂的运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如823＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b.(1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b －5n ＝π3m(m 、n∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝5132； (2)b ＝±435＝±453；(3)b ＝－5nπ3m＝nm 53－π(m ，n∈N ＋)．点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要思路2例1计算下列各式： (1)(325－125)÷425；(2)a2a ·3a2(a ＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)2123324121315)55(25)12525(÷=÷=－－原式;55555566121232132－－－－－===(2)a2a ·3a 2＝a2a 12·a 23＝a 2－12－23＝a 56＝6a 5.例2计算下列各式的值：(1)[(a －32b 2)－1·(ab －3)12·(b 12)7]13；(2)1112121－－－a a a aa+-++；(3)(a 3b 2)－3÷b －4a －1.活动：先由学生观察以上三个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算．知能训练1．(1)下列运算中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0 D ．(－a 2)3＝－a 6(2)下列各式①4(－4)2n，②4－42n ＋1)，③5a 4，④4a 5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是( )A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①③④(3)(34a 6)2·(43a 6)2等于( )A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4(4)把根式5(a －b)－2改写成分数指数幂的形式为( ) A ．(a －b)－25 B ．(a －b)－52 C ．(a －25－b －25) D ．(a －52－b －52) (5)化简(a 23b 12)(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)的结果是( )A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a2．计算：(1)0.027－13－(－17)－2＋25634－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x －y＝__________.3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求21212121yx y x －的值．答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝144－36＝108＝4×27. 又因为x ＜y ，所以x －y ＝－2×33＝－6 3. 所以原式＝12－6－63＝－33.拓展提升化简活动：学生观察式子特点，考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：课堂小结活动：教师：本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是nm a ＝n a m(a ＞0，m 、n∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是nmnm nm aaa11==－(a ＞0，m 、n∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数． (3)有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质：①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s∈Q)，②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s∈Q)，③(a·b)r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r∈Q)． (4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系． ②整数指数幂的运算性质对任意的有理指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用m nm n nm na aa ==⨯)(来计算．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．备课资料[备选例题] 例1 已知32121=+－aa ，探究下列各式的值的求法．点评：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．1)r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？例2 已知a＞0，对于0≤r≤8，r∈N＋，式子(a)8－r·(4a活动：学生审题，考虑与本节知识的联系，教师引导解题思路，把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，即先把根式转化为分数指数幂，再进行幂的乘方，化为关于a的指数幂的情形，再讨论，及时评价学生的作法．16－3r能被4整除才行，因此r＝0,4,8时上式为关于a的整数指数幂．点评：本题中确定整数的指数幂时，可由范围的从小到大依次验证，决定取舍．利用分数指数幂进行根式运算时，结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式．(设计者：郝云静)第2课时导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题——无理指数幂．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：无理指数幂．推进新课新知探究提出问题①我们知道2＝1.414 213 56…，那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？②多媒体显示以下图表：同学们从下面的两个表中，能发现什么样的规律？③你能给上述思想起个名字吗？④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如52，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题①：从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向． 问题②：对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联． 问题③：上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．问题④：对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤：在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．②第一个表：从大于2的方向逼近2时，52就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向逼近52.第二个表：从小于2的方向逼近2时，52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.414 21，…，即小于52的方向接近52，而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近52，即逼近52，所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.41421，…和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是52一定是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜52＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.充分表明52是一个实数，再如(12)3，3π等都是实数．③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．④根据②③我们可以推断52是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数． ⑤无理指数幂的意义：一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理指数幂，那么，指数幂就从有理指数幂扩充到实数指数幂．提出问题为什么在规定无理指数幂的意义时，必须规定底数是正数？无理指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理指数幂的运算法则相通呢？你能给出实数指数幂的运算法则吗？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理指数幂的运算法则，既然无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理指数幂的运算法则应当与有理指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理指数幂的运算法则和无理指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理指数幂的运算性质，同样也适用于无理指数幂．类比有理指数幂的运算性质可以得到无理指数幂的运算法则：①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s 都是无理数)．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s 都是无理数)．③(a·b)r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质：①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s∈R)．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s∈R)．③(a·b)r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r∈R)． 应用示例思路1例1利用科学计算器计算(精确到0.001)：0．21.52；3.14－2；321.3；52.解：所以0.21.52≈0.087,3.14－2≈0.101, 321.3≈2.126,52≈9.739.点评：不同的计算器，按键的功能和位置不一定相同.就可分别得到：0.135164359,0.367647059,2.72,7.3984,20.123648. 2化简下列各式：点评：注意运算性质的应用.(4y思路2 例计算：活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．知能训练解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形． 因为(1＋2－132)(1－2－132)＝1－2－116，所以原式的分子、分母同乘(1－2－132)，依次类推，所以－2－12＋2－121－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 答案：A3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a≥1)． 解：原式＝a －1＋2＋a －1－2＝a －1＋1＋|a －1－1|(a≥1)．本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a ＞0，x ＝12(n n a a 11－－)，则(x ＋1＋x 2)n的值为__________．答案：a 拓展提升已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，510β.活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝10α10β＝34； 10－2α＝(10α)－2＝3－2＝19；510β＝(10β)15＝415.点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．课堂小结(1)无理指数幂的意义．一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．(2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈R)．(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．作业课本习题3－1 A 1.设计感想无理指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．备课资料参照我们说明无理指数幂的意义的过程，请你说明无理指数幂23的意义．活动：教师引导学生回顾无理指数幂52的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算23的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”23的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．1.732 050 7我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21．7,21.73,21.731,21.731 9，…，同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为23，即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.也就是说23是一个实数，23＝3.321 997 …也可以这样解释：当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，23的近似值从大于23的方向逼近23；当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，23的近似值从小于23的方向逼近23.所以23就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即23≈3.321 997.(设计者：张新军)。
人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编
人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题(1)(新人教B必修1)2.1.2《函数表示法》测试题(2)(新人教B必修1)2.1.3《函数的单调性》测试题(新人教B必修1)2.1.4《函数的奇偶性》测试题(新人教B必修1)2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用(Ⅰ)》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法?二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1.下面四个命题正确的是 ( )A.10以内的质数集合是0,3,5,7B.“个子较高的人”不能构成集合C.方程的解集是1,1D.1是集合N中最小的数2.下面的结论正确的是 ( )A.若,则B.若,则自然数C.的解集是-1,1D.所有的正偶数组成的集合是有限集3.已知集合S中的三个元素可构成ABC的三条边长,那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.下面四个关系式中,正确的是A.∈0B.aaC.a∈a,bD.a∈a,b5.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)2x-220的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)不等式的解集是有限集,正确的是 ()A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上语句都不对6.下列六个关系式①0 ②0 ③④ 0 ⑤0 ⑥其中正确的个数( )A.3B.4C.5D.67.若方程的解集中有且只有一个元素,则的取值集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1}8.A面积为1的矩形,B{面积为1的正三角形},则( )A. A,B都是有限集B. A,B都是无限集C. A是有限集,B是无限集D. A是无限集,B是有限集9.若,则实数的值为( )A.-1B.0C.-1或0D.-1或0或-210.若方程和的解为元素的集合是M,则M中元素的个数( )A.1B.2C.3D.411.如果方程的解集是M, 方程的解集是N, 3∈M且3∈N,那么等于14B. 2 C. 11D. 712.方程组解集为 ( )A.0B.1C.1,0 D.(0,1)13.用数对的集合表示方程的一切正整数解为 .14.实数集中的元素应该满足的条件是 .15.已知数集 Aa+2,a+12,a2+3a+3, 且 1∈A, 求实数 a 的值1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C B D D C C A D13. ;1415.解: 若a+daq 解之得q1 a+2daq2当q1时,有aaqaq2与元素的互异性矛盾。
数学人教B版必修1学案3.1.1 实数指数幂及其运算 (1) Word版含解析
数学人教必修第三章实数指数幂及其运算．理解有理指数幂的含义，会用幂的运算法则进行有关计算．．通过具体实例了解实数指数幂的意义．．通过本节的学习，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程．．整数指数幂()正整指数幂的定义：＝(∈＋)．()正整指数幂的运算法则：①·＝；②()＝；③÷＝(＞，≠)；④()＝；⑤＝(≠)．在上述法则③中，限定＞，如果取消这种限制，则正整指数幂就推广到了整数指数幂．但要规定＝(≠)．－＝(≠，∈＋)．这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳为三条：①·＝；②()＝；③()＝.同时，将指数的范围扩大到了整数．【做一做】已知＞，，为整数，则下列各式中正确的有()．÷＝．·＝·．()＝＋．÷＝－．根式()根式的定义：式子叫做根式，这里叫做，叫做．()次方根的定义：如果存在实数，使得(∈，＞，∈＋)，则叫做的次方根．()次方根的性质：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个，负数的奇次方根是一个，零的奇次方根是．设∈，是大于的奇数，则的次方根是．②在实数范围内，正数的偶次方根是的数，零的偶次方根是，负数的偶次方根．设≥，是大于的偶数，则的次方根是．其中叫做的次算术根．()根式的性质：①()＝(＞，且∈＋)；②＝(\\(，当为奇数时，,，当为偶数时.))正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零．【做一做】计算＋－()＝.．分数指数幂()如不特别说明，我们约定底数＞.于是，正分数指数幂可定义为(＞)；(＞，，∈＋，且为既约分数)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，同样可定义为(＞，，∈＋，且为既约分数)．()有理指数幂的运算法则：①αβ＝α＋β(＞，α，β∈)；②(α)β＝αβ(＞，α，β∈)；③()α＝αα(＞，＞，α∈)．的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义，有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂．【做一做－】把根式化成分数指数幂是()．．．．【做一做－】计算：××.．无理指数幂教材中通过实例利用的思想理解无理指数幂的意义．一般地，无理指数幂α(＞，α是无理数)是一个确定的实数．另外，我们要熟记经常要用的公式：()－＝(－)(＋)(＞，＞)；()±＋＝(±)(＞，＞)．【做一做】判断正误：()是一个有理数．()()不是一个确定的数，而是一个近似值．()()没有意义．()()是一个实数．()一、辨析()和剖析：()是实数的次方根的次幂，其中实数的取值由的奇偶性来决定：①当为大于的奇数时，∈.例如，()＝，()＝－，()＝；②当为大于的偶数时，≥.例如，()＝，()＝，()＝；若＜，式子()无意义，例如，()，()均无意义．由此只要()有意义，其值恒等于，即()＝.是实数的次方根，是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，∈.但是这个式子的值受的奇偶性限制：①当为大于的奇数时，其值为，即＝，例如，＝－，＝；②当为大于的偶数时，其值为，即＝.例如，＝，＝－＝.由此＝(\\(，＝－，∈＋，且>，，＝，∈＋.))二、根式与分数指数幂互化的条件探究剖析：()引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即＝，这时被开方数即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然是当＝时的特例．()分数指数幂的意义来源于根式，而要使对任意的∈＋且＞都有意义，必须限定＞，否则，当＝时，若＝或为分母是偶数的负分数，没有意义；当＜时，若为奇数，为偶数，没有意义．。
人教B版高中数学必修一教案-3.1.1 实数指数幂及其运算1
实数指数幂及其运算一、教学分析在初中时学生已经学习了整数指数幂的概念和运算性质，从本节课开始我们将学习由正整数指数幂推广到实数指数幂。
通过取消正整数指数幂的运算性质中n m >的条件，正整数指数幂推广到整数指数幂。
在回顾平方根和立方根的基础上，类比出n 次方根的概念与性质，从而把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理数指数幂。
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想等。
同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
二、教学目标1、知识与技能：通过实际背景认识分数指数幂，理解分数指数幂的含义。
掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的运算性质，会求简单的有理数指数幂的值以及化简。
2、过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质，培养学生观察分析、抽象类比的能力。
情感态度与价值观：通过训练及点评，让学生能熟练掌握指数幂的运算性质。
三、教学重点难点教学重点：根式与分数指数幂互化教学难点：运用有理指数幂运算性质进行化简、求值 四、教学过程设计 一、温故知新牛顿是大家所熟悉的大物理学家，他在1676年6月写给大数学家莱布尼茨的信中说：“因为数学家将aa ，aaa ,aaaa ,…写成,,,432a a a …，所以可将,a,,32a a 写成 ,,,232221a a a 将 ,1,1,1aaaaa a 写成 ,,,321---a a a ”这是牛顿首次使用任意实数指数。
设计意图：生活实例引入新知识，使学生对本课的新知识产生浓厚的兴趣，激发学生的学习兴趣。
二、新知识探究在同学们进行了课前预习的基础上，复习正整数指数幂与运算性质。
1、正整数指数幂：()n a n N +∈的意义： n na a aa =⋅， n a 叫做a ，a 叫做幂的 ，n 叫做幂的 .（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m n m n a a ⋅=（3）(,0)mm n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m m a b a b ⋅=⋅练习1：=75x x =-233）（x =⎪⎭⎫⎝⎛-3221x ()=-73x =--322）（）（x x()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-22551x x 教师设问：若取消(,0)mm n n a a m n a a-=>≠式中的n m >的限制条件，则能得到什么结论？ 2、负整数指数幂规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n na a a -=≠ 例1：=08 =08-）（ =-0）（b a ）（b a ≠ =⎪⎭⎫ ⎝⎛6-21 =-32）（x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-223r x=0001.0 =cb a 22=3-10设计意图：学生通过课前预习复习初中所学的正整指数幂，以及推广到整数指数幂。
2011年高一数学教案3.1.1《实数指数幂及其运算》(新人教B版必修1)
例：对于正整数 和非零实数 ，若 ， ，求 的值。
4. ，求
解：
课堂练习
教师打印的习题
课后作业
复习课上所讲习题、教材完全解读相应习题
课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□照常完成
学生接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□部分能接受
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□比较积极
教学过程
教师活动
学生活动
一、简单回顾上节课知识内容，并检查作业
二、讲授新课
（一）整数指数、分数指数幂
有理指数幂的运算性质：
； ； （ ）
例1：计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的 ）
（1）
（2）
例2：化简下列各式
（1） （2） （3）
（4）
(二)带有附加条件的求值问题
例1：（1） （常数）， 的值。
学生上次作业完成情况：数量70%完成质量70分存在问题忘记解题思路
配合需求：家长督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
学管师督促学生认真复习，督促学生及时完成作业，课下多做习题。
备注
一、回顾上节课知识，检查作业
二、学习新课
三、练习
1.化简
解： =
2. ，化简
解：
3. 有意义，化简 。
解：因为 有意义，
所以 。
教学过程
教师活动
学生活动
（2） ，且 ，求 的值。
例2：已知函数 。
（1）求 的值；
（2）设 ，求 的值。
（三）幂的综合问题
解决幂的综合问题时，首先要善于观察、分析，并对它进行适当地加工、处理、变形，以创造运用公式和幂的有关性质和条件，然后再进行化简、求值即可；其次，要注意方程思想、整体思想、
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一3.1.1《实数指数幂及其运算》课件2
ab ab 。
其中, Q ， a 0 ， b 0
3无理指数幂
•作为了解，阅读教材Ｐ８８
提高练习1
已知
a>0,
1
a2
1
a2
=3，求下列各式的值:
（１） a a1 ；
７
1
（2）a 2
1
a2
5
3
3
（3）a 2 a 2
８
1
1
基础练习3
(1)
3(-8)3; (2)
(-10)2;
(3) 4(3 -π)4;(4)
(1) 8
(2)10
(3) 3
(4) 5 3
( 3 - 5)2;
(6)
4
(3a
-
1)4(a
1). 3
(7)
(a - b)2(a b)
(a - b)2(a > b)
答案 （6）1-3a
3.1 指数与指数函数
3.1.1实数指数幂及其运算
自学提纲 1 幂,底数,指数的形式 2 整数指数幂的概念及运算 3分数指数幂的概念及运算 4 无理指数幂的概念及运算
１整数指数幂
复习:正整指数幂
an(n个a相乘）叫做a的n次幂，
a叫做幂的底数，n叫做幂的指数
推广:正整指数幂→负整指数幂
a5 a3
（２）n次方根的表示
x是a的n次方根
其中n a叫根式， n叫根指数， a叫被开方数
k N x
n a, n 2k 1
n a , n 2k, a 0
na
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第三章 基本初等函数（Ⅰ）
3.1 指数与指数函数
3.1.1 有理指数幂及其运算 【目标要求】
1． 理解根式的概念。
2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。
3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。
4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。
【巩固教材——稳扎马步】
1．下列说法中正确的是 ( ) A.-2是16的四次方根 B.正数的 次方根有两个
C. 的 次方根就是
D.
2．下列等式一定成立的是 ( )
A ．2
33
1
a a ⋅=a B ．2
1
2
1a a
⋅-=0 C ．（a 3
）2
=a
9
D.6
13121a a a =÷
3. 4
3
1681-⎪⎭
⎫
⎝⎛的值是 （ ） A.278 B.278- C.23 D.2
3- 4. 将322-化为分数指数幂的形式为 ( )
A ．2
1
2-
B ．3
12- C ．2
12
-
-
D.6
52-
【重难突破——重拳出击】
5. 下列各式中，正确的是 （ ）
A ．100
= B ．1)
1(1
=-- C ．7
4
4
71
a
a
=
-
D ．5
3
5
31
a
a
=
-
6.设b ≠0,化简式子(
)()()6
153
122
2
133
ab b
a
b
a ⋅⋅--的结果是 （ ）
A.a
B.()1
-ab C.1
-ab D.1
-a
7. 化简［32
)5(-］4
3的结果为 ( )
A ．5
B ．5
C ．－5
D.－5
8. 若122-=x
a
，则x
x
x
x a a a a --++33等于 ( ) A ．22－1
B ．2－22
C ．22+1
D.2+1
9.
1
2
1
2
--=--x x x x 成立的充要条件是 （ ） A.
1
2
--x x ≥0 B.x ≠1 C .x ＜1 D.x ≥2 10. 式子
经过计算可得到
( ) A.
B.
C.
D.
11. 化简44
2
5168132c b a a c (a ＞0，c ＜0)的结果为 ( )
A.±42ab
B ．－42ab
C ．－2ab
D.2ab
12. 设x>1,y>0,y y y y x x x x ---=+则,22等于 （ ）
A ．6
B ．2或-2
C ．2
D ．-2
【巩固提高——登峰揽月】 13. 计算0．027
3
1-－（－7
1）－2+25643
－3－1+（2－1）0
=__________．
14. 化简
32
113
2132)(----
÷a
b b a b
a
b a =__________．
【课外拓展——超越自我】 15. 已知,32
12
1=+-x x 求
3
2
1
2
32
3++++--
x x x x 的值．
第三章 基本初等函数（Ⅰ）
3.1 指数与指数函数
13.19 14.6
56
1-b
a
15. 解：由,9)(2
212
1=+-x x 可得x +x －1=7
∵27)(3
212
1=+-
x
x
∴2
31
2
12
12333-
--++⋅+x
x x x x x =27
∴2
32
3-+x x =18，
故原式=2。