2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练5

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2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档:中档大题规范练5

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5.坐标系与参数方程1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-8+t ,y =t2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2s 2,y =22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为x -2y +8=0, 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s ),从而点P 到直线的距离d =|2s 2-42s +8|5=|2(s -2)2+4|5,当s =2时,d min =455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.2.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos α,y =2+t sin α(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=6sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B .若点P 的坐标为(1,2),求||P A +||PB 的最小值. 解 (1)由ρ=6sin θ,得ρ2=6ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y , 即x 2+(y -3)2=9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得t 2+2(cos α-sin α)t -7=0, 由Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两根,所以⎩⎨⎧t 1+t 2=-2()cos α-sin α,t 1·t 2=-7,又直线l 过点()1,2, 故结合t 的几何意义得||P A +||PB =||t 1||+t 2||=t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=4()cos α-sin α2+28=32-4sin 2α≥32-4=27, 所以||P A +||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中,已知点P ()0,3,曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2cos φ,y =2sin φ(φ为参数).以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρ=32cos ⎝⎛⎭⎫θ-π6.(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A , B ,求1||P A +1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上,理由如下: 直线l :ρ=32cos ⎝⎛⎭⎫θ-π6,即2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ-π6=3, 即3ρcos θ+ρsin θ=3,所以直线的直角坐标方程为3x +y =3,易知点P 在直线上.(2)由题意,可得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =-12t ,y =3+32t ,(t 为参数),曲线C 的普通方程为x 22+y 24=1,将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程, 得2⎝⎛⎭⎫-12t 2+⎝⎛⎭⎫3+32t 2=4, ∴5t 2+12t -4=0,两根为t 1, t 2, ∴t 1+t 2=-125,t 1t 2=-45<0,故t 1与t 2异号, ∴||P A +||PB =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=4145, ∴||P A ||PB =|t 1||t 2|=-t 1t 2=45,∴1||P A +1||PB =||P A +||PB ||P A ||PB =14. 4.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos φ,y =2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R ),点A 是曲线C 3与C 1的交点,点B 是曲线C 3与C 2的交点,且A , B 均异于原点O ,且||AB =42,求α的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =2+2cos φ,y =2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x -2)2+y 2=4.∵ρ=4sin θ, ∴ρ2=4ρsin θ,由⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ, 得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y -2)2=4. (2)由(1)得曲线C 1:(x -2)2+y 2=4, 其极坐标方程为ρ=4cos θ, 由题意设A (ρ1,α), B (ρ2,α), 则||AB =||ρ1-ρ2=4||sin α-cos α=42⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=42, ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=±1, ∴ α-π4=π2+k π(k ∈Z ),又 0<α<π, ∴ α=3π4.5.已知曲线C 1:⎩⎪⎨⎪⎧x =1+cos θ,y =sin θ(θ为参数),C 2:⎩⎨⎧x =-32t ,y =233+t 2(t 为参数).(1)曲线C 1,C 2的交点为A ,B ,求||AB ;(2)以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,过极点的直线l 1与曲线C 1交于O , C 两点,与直线ρsin θ=2交于点D ,求||OC ||OD 的最大值. 解 (1)方法一 曲线C 1:(x -1)2+y 2=1, 将C 2的参数方程代入,得⎝⎛⎭⎫-32t -12+⎝⎛⎭⎫233+t 22=1,化简得,t 2+533t +43=0,所以||AB =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y =-33x +233, 过点()2,0, C 1过点()2,0,不妨令A ()2,0, 则∠OBA =90°, ∠OAB =30°, 所以||AB =2×32= 3. (2)C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ, 令l 1的极角为α,则||OD =ρ1=2sin α,||OC =ρ2=2cos α,||OC ||OD =sin αcos α=12sin 2α≤12,当α=π4时取得最大值12.6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈[)0,π,在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t cos α,y =t sin α(t 为参数);在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ-α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6. (1)求证:l 1⊥l 2;(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2,π3, P 为直线l 1, l 2的交点,求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α-y cos α=0. 又ρcos ()θ-α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6可变形为 ρcos θcos α+ρsin θsin α =2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6,即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α+y sin α-2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6=0. 因为sin α·cos α+()-cos αsin α=0, 根据两直线垂直的条件可知, l 1⊥l 2. (2)解 当ρ=2, θ=π3时,ρcos ()θ-α=2cos ⎝⎛⎭⎫π3-α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6, 所以点A ⎝⎛⎭⎫2,π3在直线ρcos ()θ-α=2sin ⎝⎛⎭⎫α+π6上. 设点P 到直线OA 的距离为d ,由l 1⊥l 2可知, d 的最大值为||OA 2=1.于是||OP ·||AP =d ·||OA =2d ≤2, 所以||OP ·||AP 的最大值为2.。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题——小题满分练1 Word版含答案

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题——小题满分练1 Word版含答案

小题满分练小题满分练.设全集=,={-≤},={=,∈},则图中阴影部分表示的区间是.答案(-∞,-)∪(,+∞)解析因为={≤≤}=[],={-≤≤}=[-],所以∪=[-],所以∁(∪)=(-∞,-)∪(,+∞)..(·苏州暑假测试)命题“∃>,≥”的否定是.答案∀>,<解析根据存在性命题的否定规则得“∃>,≥”的否定是“∀>,<”..若复数满足=+,则的共轭复数是.答案+解析∵=+,∴==-,∴=+..(·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据,则该组数据的方差是.答案(或)解析这组数据的平均数=(++++)=,方差=(++++)=..若流程图如图所示,则该程序运行后输出的值是.答案解析=,=⇒=,=⇒=,=⇒=,=…,由此可知=,所以当=时,=..(·常州期末)满足等式-=(∈[,π])的的值为.答案解析由题意可得,--=,解得=-或=(舍去).又∈[,π],故=..(·河北衡水中学模拟)已知为等差数列,为其前项和,公差为,若-=,则的值为.答案解析因为==+,所以)-=+-)-==,所以=..(·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高,则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为.答案∶解析如图,由题意可得圆柱的侧面积为=π=π.圆锥的母线==,故圆锥的侧面积为=×π×=π,所以∶=∶..(·无锡期末)设不等式组(\\(≥,-≤,+≤))表示的平面区域为,若直线=-上存在内的点,则实数的取值范围为.答案[]解析直线=-上存在内的点,即直线与平面区域有公共点,作出平面区域,注意到直线=-经过定点(,-),求得直线:-=和:+=的交点()及和:=的交点(),则=,=,由题意可得的取值范围是[]..已知()是定义在上的偶函数,且对于任意的∈[,+∞),满足(+)=().若当∈[)时,()=--,则函数=()-在区间[-]上的零点个数为.答案解析作出函数()的图象(如图),则它与直线=在[-]上的交点的个数,即为函数=()-在[-]上的零点的个数,由图象观察知共有个交点,从而函数=()-在[-]上的零点有个..(·无锡期末)设点是有公共焦点,的椭圆与双曲线的一个交点,且⊥,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若=,则=.答案解析不妨设,分别是左、右焦点,椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,为椭圆与双曲线在第一象限内的交点,则根据椭圆和双曲线的定义可得(\\(+=,-=,))解得。

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月12+4满分练3理201801242111

全国通用2018版高考数学总复习考前三个月12+4满分练3理201801242111

12+4满分练(3)11.已知集合M={x|x2-x-2<0},N={y|y=-x2+1,x∈R},则M∩N等于()2A.{x|-2≤x<1}B.{x|1<x<2}C.{x|-1<x≤1}D.{x|1≤x<2}答案 C解析M={x|-1<x<2},N={y|y≤1},则M∩N={x|-1<x≤1},故选C.a+2i2.(2017·重庆模拟)已知=b+i(a,b是实数),其中i是虚数单位,则ab等于()iA.-2B.-1C.1D.3答案 A解析由题设可得a+2i=b i-1,则a=-1,b=2,故ab=-2,故选A.3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为()1 1 1 3A. B. C. D.3 5 9 20答案 A解析先排B,有A13(非第一与最后)种方法,再排A有A13(非第一)种方法,其余3人自由排,共有A13A13A3=54(种)方法,这是总结果;学生C第一个出场,先排B,有A13(非第一与最后)种方法,再排A有A13种方法,C第一个出场,剩余2人自由排,故有A13A13A =18(种),故学生C218 1第一个出场的概率为=.54 31 π4.(2017·安阳模拟)已知函数f(x)=A sin(2x+φ)-2(A>0,0<φ<2)的图象在y轴上的截ππ距为1,且关于直线x=12对称,若对于任意的x∈[0,2],都有m2-3m≤f(x),则实数m的取值范围为()3 3 3-13 3+13A.[1,2 ]B.[1,2]C.[,2 ]D.[ 2 ],2 2答案 Bππ解析由已知得,sin (2 ×+φ)=1⇒φ=,12 31π 1f (0)=1⇒A sin - =1⇒A = 3,3 2π1 则 f (x )= 3sin(2x + 3)- ,2 πππ 4π当 x ∈[0, 2]时,≤2x + ≤ , 3 3 3 4π所以 f (x )min =f (3)=-2,则 m 2-3m ≤-2⇒m 2-3m +2≤0, 解得 1≤m ≤2,故选 B.5.(2017届云南省云南师范大学附属中学月考)四面体 PABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,PA =8,BC =4,PB =PC =AB =AC ,且平面 PBC ⊥平面 ABC ,则球 O 的表面积为( ) A.64π B.65π C.66π D.128π 答案 B解析 如图,D ,E 分别为 BC ,PA 的中点,易知球心 O 点在线段 DE 上, ∵PB =PC =AB =AC , 则 PD ⊥BC ,AD ⊥BC ,PD =AD . 又∵平面 PBC ⊥平面 ABC , 平面 PBC ∩平面 ABC =BC , ∴PD ⊥平面 ABC , ∴PD ⊥AD , ∴PD =AD =4 2. ∵点 E 是 PA 的中点,∴ED ⊥PA ,且 ED =EA =PE =4.设球 O 的半径为 R ,OE =x ,则 OD =4-x , 在 Rt△OEA 中,有 R 2=16+x 2, 在 Rt△OBD 中,有 R 2=4+(4-x )2, 65解得 R 2= , 4∴S =4πR 2=65π.故选 B.26.(2017·唐山模拟)一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图,若输入的n=12,则输出的结果b等于()7 97 64A.4B.C.D.2 28 14答案 C解析n=12,a=6,i=1,b=4.7满足i<3,第一次循环:i=2,a=4,b=;27 97满足i<3,第二次循环:i=3,a=,b=;2 28不满足i<3,退出循环.故选C.7.(2017·绵阳中学模拟)已知正项等比数列{a n}满足:a7=a6+2a5,若存在两项a m,a n,使得1 16a m a n=4a1,则+的最小值为()m n25 3 8 21A. B. C. D.6 2 3 5答案 D解析设正项等比数列{a n}的公比为q,且q>0,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因为a m a n=16a21,所以(a1q m-1)(a1q n-1)=16a21,则q m+n-2=16,解得m+n=6,1 16 1 1 16 1 n16m 1 n16m25所以+=×(m+n)×=≥=,m n m m m 66 ( ×) 6(17++n) 6(17+2 n)+n21因为mn取整数,验证可得,当m=1,n=5时,取最小值为.52 28.(2017·贵阳模拟)过点M( 2)作圆x2+y2=1的切线l,l与x轴的交点为抛物线E:y2,-2=2px(p>0)的焦点,l与抛物线E交于A,B两点,则AB的中点到抛物线E的准线的距离为3()5 2 7 2A. B.3 2 C. D.42 22答案 D2 2解析由题意得,过点M ( 2)作圆x2+y2=1的切线l,,-2可得直线l的方程为x-y-2=0,此时直线l与x轴的交点坐标为( 2,0),又( 2,0)与抛物线的焦点重合,p即=2,解得p=2 2,2即y2=4 2x,且准线方程为x=-2,联立方程组Error!整理得x2-6 2x+2=0,则x1+x2=6 2,x1+x2则=3 2,2x1+x2所以AB的中点到抛物线的准线的距离为+2=4 2,故选D.29.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()7 8-π8 7-πA. B. C. D.3 3 3 3答案 B解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合1 1 1 8-π体,其体积V=×2×2×2-×π×1×2=.3 3 2 310.如图,茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()41 3 4 7 A. B. C. D.2 5 5 10 答案 C88+89+90+91+92 解析 由茎叶图可知,甲的平均成绩为x 甲==90,乙的平均成绩为x 乙=583+83+87+99+x,因为x 甲>x 乙,即 352+x <450,得到 x <98,又由题意可知 x ≥90,且 x5 是整数,故基本事件有从 90到 99共 10个,而满足条件的有从 90到 97共 8个,故甲的平均 8 4成绩超过乙的平均成绩的概率为 P = = ,故选 C. 10 5 111.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)已知将函数 f (x )=3sin x cos x +cos 2x - 的图象 25ππ π向左平移个单位长度后得到 y =g (x )的图象,则 g (x )在3]上的值域为( )12 [-, 121 13 1 1 A.[- ,1] B.[-1,2] C.[- 2] D.[-,, 2 223 2]答案 B31π解析 因为 f (x )= sin 2x +2cos 2x =sin (2x + 6),25ππ故 g (x )=sin [2(x + 12)+ 6]=sin(2x +π)=-sin 2x ,π π 因为- ≤x ≤ , 12 3 π 2π 故- ≤2x ≤ , 6 3 1则- ≤sin 2x ≤1,2 1 所以-1≤g (x )≤ ,故选 B.212.(2017届湖南衡阳期末)函数 f (x )在定义域(0,+∞)内恒满足:①f (x )>0,②2f (x )<xf ′(x )<3f (x ),其中 f ′(x )为 f (x )的导函数,则( )1 f 1 1 1 f 1 1 1 f 1 1 1 f1 1 A. < < B. < < C. < < D. < < 4 f2 f 2 f2 f 2 2 16 83 2 84 答案 Df x解析令g(x)=,x∈(0,+∞),则x2xf′x-2f xg′(x)=,x35∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,xf′x-2f xf(x)>0,∴g′(x)=>0,x3∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,f1f2f11∴<,∴<.1 f2 44f x令h(x)=,x∈(0,+∞),x3xf′x-3f x则h′(x)=,x4∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,xf′x-3f x∴h′(x)=<0,x4∴函数h(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,f1f2f11∴>,∴>.1 8 f281 f1 1综上可得<<,故选D.8 f2 4→→13.在周长为10的△ABC中,AB=2,则CA·CB的最小值是________.答案14解析设CA=m,CB=n,则m+n=8,→→所以由余弦定理可得CA·CB=mn cos Cm2+n2-4 (m+n)2-2mn-4 82-4-2mn====30-mn,2 2 2m+n又因为mn≤( 2 )2=16,当且仅当m=n=4时,等号成立.→→所以CA·CB≥30-16=14.14.若ʃm1(2x-1)d x=6,则二项式(1-2x)3m的展开式中各项系数和为________.答案-1解析ʃm1(2x-1)d x=(x2-x)|m1=m2-m=6,m=3(m=-2舍去),令x=1,则(1-2×1)9=-1,即为所求系数和.n15.若数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=(n∈N*),其前n项和为S n,则S n=____.23 1(1-3n)答案46n解析因为a1+3a2+32a3+…+3n-1a n=,2n-1所以当n≥2时有a1+3a2+32a3+…+3n-2a n-1=,21两式作差得3n-1a n=,21 1所以a n=·(n≥2,n∈N*),2 3n-11 又因为当n=1时,a1=适合此式,21 1所以数列{a n}的通项公式为a n=·,2 3n-11 12(1-3n)3 1 所以S n==.4(1-3n)11-3y216.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=318x上,则实数m的值为________.答案0或-8解析因为点M,N关于直线y=x+m对称,所以MN的垂直平分线为y=x+m,所以直线MN的斜率为-1.设线段MN的中点P(x0,x0+m),直线MN的方程为y=-x+b,则x0+m=-x0+b,所以b=2x0+m.由Error!得2x2+2bx-b2-3=0,所以x M+x N=-b,b所以x0=-,2m所以b=,2m 3所以P (-m).,4 4因为MN的中点在抛物线y2=18x上,9 9所以m2=-m,16 2解m=0或m=-8.7。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——压轴大题突破练2 含答案

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——压轴大题突破练2 含答案

2.数 列1.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧ 13a n +n ,n 为奇数,a n -3n ,n 为偶数.(1)是否存在实数λ,使得数列{a 2n -λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和,求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)由已知,得a 2(n +1)=13a 2n +1+(2n +1) =13[a 2n -3(2n )]+2n +1=13a 2n +1. 令a 2(n +1)-λ=13(a 2n -λ),得a 2(n +1)=13a 2n +23λ,所以λ=32. 此时,a 2-λ=13+1-32=-16. 所以存在λ=32,使得数列{a 2n -λ}是等比数列. (2)由(1)知,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n -32是首项为-16,公比为13的等比数列, 所以a 2n -32=-16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=-12·13n , 即a 2n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n . 由a 2n =13a 2n -1+(2n -1),得a 2n -1=3a 2n -3(2n -1)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n -6n +3, 所以a 2n -1+a 2n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n -6n +3+12⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -6n +9, 所以S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n -1+a 2n )=-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13+⎝ ⎛⎭⎪⎫132+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -6(1+2+…+n )+9n =13n -3n 2+6n -1, 从而S 2n -1=S 2n -a 2n =32×13n -3n 2+6n -52. 因为13n 和-3n 2+6n =-3(n -1)2+3在n ∈N *时均单调递减,所以S 2n 和S 2n -1均各自单调递减.计算得S 1=1,S 2=73,S 3=-73,S 4=-89, 所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,设数列{b n }满足b n =2(S n +1-S n )S n -n (S n +1+S n )(n ∈N *).(1)若数列{a n }为等差数列,且b n =0,求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1=1,a 2=3,且数列{a 2n -1},{a 2n }都是以2为公比的等比数列,求满足不等式b 2n < b 2n -1的所有正整数n 的集合.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,所以a n +1=a 1+nd ,S n =na 1+n (n -1)2d . 由b n =2(S n +1-S n )S n -n (S n +1+S n )(n ∈N *),得b n =2a n +1S n -n (2S n +a n +1).又由b n =0,得2(a 1+nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1+n (n -1)2d -n [2na 1+n (n -1)d +a 1+nd ]=0对一切n ∈N *都成立,即(d 2-d )n 2+(3a 1d -d 2-2a 1)n +2a 21-a 1d -a 1=0对一切n ∈N *都成立.令n =1,n =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ d =0,a 1=0或⎩⎪⎨⎪⎧ d =1,a 1=1,经检验,符合题意.所以数列{a n }的通项公式为a n =0或a n =n .(2)由题意得a 2n -1=2n -1,a 2n =3×2n -1,S 2n =2n -1+3(2n -1)=4×2n -4,S 2n -1=S 2n -a 2n =4×2n -4-3×2n -1=5×2n -1-4.b 2n =2a 2n +1S 2n -2n (2S 2n +a 2n +1)=2×2n ×(4×2n -4)-2n (8×2n -8+2n )=2n +1(2n +2-9n -4)+16n .b 2n -1=2a 2n S 2n -1-(2n -1)(2S 2n -1+a 2n )=6×2n -1×(5×2n -1-4)-(2n -1)(10×2n -1-8+3×2n -1)=2n -1(30×2n -1-26n -11)+16n -8.所以b 2n -b 2n -1=2n +1(2n +2-9n -4)+16n -[2n -1(30×2n -1-26n -11)+16n -8] =2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -1-5n -52+8=22n -1+8-2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n +52. 记f (n )=22n -1+8-2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n +52,即 f (n )=2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n -⎝ ⎛⎭⎪⎫5n +52+8.记g (n )=12×2n -⎝⎛⎭⎪⎫5n +52, 则g (n +1)-g (n )=12×2n +1-⎝⎛⎭⎪⎫5n +152-12×2n +5n +52=12×2n -5, 当n =1,2,3时,g (n +1)-g (n )<0;当n ∈N *时,n ≥4,g (n +1)-g (n )=12×2n -5>0, 因为当n =1时,g (1)=-132<0, 所以g (4)<0,且g (6)=-12<0,g (7)=532>0. 所以f (n )=2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n -⎝ ⎛⎭⎪⎫5n +52+8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增, 当n =1时,f (1)=-5<0;当n =2时,f (2)=-34<0;当n =3时,f (3)=-100<0;当n =4时,f (4)=-224<0;当n =5时,f (5)=-360<0;当n =6时,f (6)=-24<0;当n =7时,f (7)=3400>0,所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 5-a 3=13,S 4=16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)设T n =∑ni =1(-1)i a i ,若对一切正整数n ,不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]2n -1恒成立,求实数λ的取值范围; (3)是否存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列?若存在,求出所有的m ,n ;若不存在,请说明理由.解 (1)设数列{a n }的公差为d .因为2a 5-a 3=13,S 4=16,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1+4d )-(a 1+2d )=13,4a 1+6d =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,d =2,所以a n =2n -1,S n =n 2.(2)①当n 为偶数时,设n =2k ,k ∈N *,则T 2k =(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+…+(a 2k -a 2k -1)=2k .代入不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]·2n -1,得λ·2k <4k ,从而λ<4k 2k . 设f (k )=4k 2k ,则f (k +1)-f (k )=4k +12(k +1)-4k 2k =4k (3k -1)2k (k +1).因为k ∈N *,所以f (k +1)-f (k )>0,所以f (k )是递增的,所以f (k )min =2,所以λ<2.②当n 为奇数时,设n =2k -1,k ∈N *,则T 2k -1=T 2k -(-1)2k a 2k =2k -(4k -1)=1-2k .代入不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]2n -1,得λ(1-2k )<(2k -1)4k ,从而λ>-4k . 因为k ∈N *,所以-4k 的最大值为-4,所以λ>-4.综上,λ的取值范围为(-4,2).(3)假设存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列,则(S m -S 2)2=S 2(S n -S m ),即(m 2-4)2=4(n 2-m 2),所以4n 2=(m 2-2)2+12,即4n 2-(m 2-2)2=12,即(2n -m 2+2)(2n +m 2-2)=12.因为n >m >2,所以n ≥4,m ≥3,所以2n +m 2-2≥15.因为2n -m 2+2是整数,所以等式(2n -m 2+2)(2n +m 2-2)=12不成立,故不存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列.4.若一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“A 型数列”.(1)若首项为1,公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”,且其前n 项和为S n ,若对于任意n ∈N *,都有S n <32n 2+n ,求{a n }的通项公式; (2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数,且{a n }为“A 型数列”,b n =23a n ,c n =a n (n +1)·2n -5,当数列{b n }不是“A 型数列”时,试判断数列{c n }是否为“A 型数列”,并说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d >2,由a 1=1,得S n =n +n (n -1)2d ,且S 1<52. 由题意,得n +n (n -1)2d <32n 2+n 对n ∈N *均成立, 即d <3n n -1对n ≥2均成立, ∵3n n -1=3+3n -1>3, ∴d ≤3,又d >2,∴d =3,∴a n =3n -2.(2)设数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1qn -1, ∵{a n }的每一项均为正整数,且a n +1-a n =a n q -a n =a n (q -1)>2>0,∴a 1>0,且q >1,∵a n +1-a n =q (a n -a n -1)>a n -a n -1,即在{a n -a n -1}中,a 2-a 1为最小项,同理,在{b n -b n -1}中,b 2-b 1为最小项,由{a n }为“A 型数列”,可知只需a 2-a 1>2,即a 1(q -1)>2, 又∵{b n }不是“A 型数列”,且b 2-b 1为最小项, ∴b 2-b 1≤2,即a 1(q -1)≤3,由数列{a n }的每一项均为正整数,可得a 1(q -1)=3, ∴a 1=1,q =4或a 1=3,q =2.①当a 1=1,q =4时,a n =4n -1, 则c n =4n -1(n +1)·2n -5=2n +3n +1, 令d n =c n +1-c n (n ∈N *),则d n =2n +4n +2-2n +3n +1=2n +3·n (n +1)(n +2), 令e n =d n +1-d n (n ∈N *),则e n =2n +4·n +1(n +2)(n +3)-2n +3·n (n +1)(n +2)=2n +3n +2·n 2+n +2(n +1)(n +3)>0, ∴{d n }为递增数列,即d n >d n -1>d n -2>…>d 1,即c n +1-c n >c n -c n -1>c n -1-c n -2>…>c 2-c 1,∵c 2-c 1=323-8=83>2, ∴对任意的n ∈N *都有c n +1-c n >2,即数列{c n }为“A 型数列”.②当a 1=3,q =2时,a n =3·2n -1, 则c n =3·2n +1(n +1)·2n -5=48n +1, 显然,{c n }为递减数列,c 2-c 1<0≤2,故数列{c n }不是“A 型数列”;综上所述,当a n =4n -1时,数列{c n }为“A 型数列”,当a n=3·2n-1时,数列{c n}不是“A型数列”.。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(冲刺集合195页)

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(冲刺集合195页)

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题(冲刺集合195页)附加题高分练+解答题滚动练+小题满分练 +中档大题规范练+压轴大题突破练+考前回扣中档大题规范练 1.解三角形1.(2017·苏锡常镇调研)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边.已知a cos B =3,b cos A =1,且A -B =π6.(1)求c 的长; (2)求B 的大小.解 (1)方法一 在△ABC 中,a cos B =3,由余弦定理,得a ·a 2+c 2-b 22ac=3,得a 2+c 2-b 2=6c ,①b cos A =1,则b ·b 2+c 2-a 22bc=1,得b 2+c 2-a 2=2c ,②①+②得2c 2=8c ,所以c =4.方法二 因为在△ABC 中,A +B +C =π, 则sin A cos B +sin B cos A =sin(A +B ) =sin(π-C )=sin C , 由asin A =b sin B =c sin C ,得sin A =a sin C c ,sin B =b sin C c,代入上式得 c =a cos B +b cos A =3+1=4.(2)由正弦定理得a cos Bb cos A =sin A cos B sin B cos A =tan Atan B=3. 又tan(A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =2tan B 1+3tan 2B =33, 解得tan B =33.又B ∈(0,π),所以B =π6. 2.(2017·苏州暑假测试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b cos C +c cos B =2a cos A .(1)求角A 的大小;(2)若AB →·AC →=3,求△ABC 的面积.解 (1)方法一 在△ABC 中,由正弦定理及b cos C +c cos B =2a cos A , 得sin B cos C +sin C cos B =2sin A cos A , 即sin A =2sin A cos A .因为A ∈(0,π),则sin A ≠0,所以cos A =12,所以A =π3.方法二 在△ABC 中,由余弦定理及b cos C +c cos B =2a cos A ,得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a ·b 2+c 2-a 22bc ,所以a 2=b 2+c 2-bc ,所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =12.因为A ∈(0,π),所以A =π3. (2)由AB →·AC →=bc cos A =3,得bc =23, 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×23sin π3=32.3.(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b sin2C =c sin B .(1)求角C 的大小;(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B -π3=35,求sin A 的值.解 (1)由b sin2C =c sin B ,根据正弦定理得 2sin B sin C cos C =sin C sin B .因为sin B >0,sin C >0,所以cos C =12.又C ∈(0,π),所以C =π3.(2)因为C =π3,所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2π3,所以B -π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,π3,又sin ⎝⎛⎭⎪⎫B -π3=35,又A +B =2π3,即A =2π3-B ,所以sin A =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3-B =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫B -π3 =sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B -π3-cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B -π3=32×45-12×35=43-310. 4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图,在△ABC 中,已知点D 在边AB 上,AD =3DB ,cos A =45,cos ∠ACB =513,BC =13.(1)求cos B 的值; (2)求CD 的长.解 (1)在△ABC 中,cos A =45,A ∈(0,π),所以sin A =1-cos 2A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35. 同理可得,sin ∠ACB =1213.所以cos B =cos[π-(A +∠ACB )]=-cos(A +∠ACB ) =sin A sin ∠ACB -cos A cos ∠ACB =35×1213-45×513=1665.(2)在△ABC 中,由正弦定理,得AB =BCsin A sin ∠ACB =1335×1213=20.又AD =3DB ,所以BD =14AB =5.在△BCD 中,由余弦定理,得CD =BD 2+BC 2-2BD ·BC cos B=52+132-2×5×13×1665=9 2.3.空间平行与垂直1.(2017·南京学情调研)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,AC1的中点.(1)求证:MN∥平面BB1C1C;(2)若D在边BC上,AD⊥DC1,求证:MN⊥AD.证明(1)如图,连结A1C,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形,又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1,DC1⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,CC1∩DC1=C1,所以AD⊥平面BB1C1C. 又BC⊂平面BB1C1C,所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC,所以MN⊥AD.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD,E为PB上一点,G为PO的中点.(1)若PD∥平面ACE,求证:E为PB的中点;(2)若AB=2PC,求证:CG⊥平面PBD.证明 (1)连结OE ,由四边形ABCD 是正方形知,O 为BD 的中点, 因为PD ∥平面ACE ,PD ⊂平面PBD ,平面PBD ∩平面ACE =OE , 所以PD ∥OE .因为O 为BD 的中点,所以E 为PB 的中点. (2)在四棱锥P -ABCD 中,AB =2PC , 因为四边形ABCD 是正方形,所以OC =22AB , 所以PC =OC .因为G 为PO 的中点,所以CG ⊥PO . 又因为PC ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCD , 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形,所以AC ⊥BD , 因为AC ,PC ⊂平面PAC ,AC ∩PC =C , 所以BD ⊥平面PAC ,因为CG ⊂平面PAC ,所以BD ⊥CG . 因为PO ,BD ⊂平面PBD ,PO ∩BD =O , 所以CG ⊥平面PBD .3.如图,已知平面PAC ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,PE ∥CB ,M 是AE 的中点. (1)若N 是PA 的中点,求证:平面CMN ⊥平面PAC ; (2)若MN ∥平面ABC ,求证:N 是PA 的中点.证明 (1)因为平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC ,AC ⊥BC ,BC ⊂平面ABC , 所以BC ⊥平面PAC ,因为M ,N 分别为AE ,AP 的中点,所以MN ∥PE , 又因为PE ∥BC ,所以MN ∥BC , 即MN ⊥平面PAC ,又MN ⊂平面CMN , 所以平面CMN ⊥平面PAC .(2)因为PE ∥CB ,BC ⊂平面ABC ,PE ⊄平面ABC , 所以PE ∥平面ABC ,设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ,则PE ∥l . 又MN ∥平面ABC ,MN ⊂平面PAE ,所以MN ∥l . 所以MN ∥PE ,因为M 是AE 的中点,所以N 为PA 的中点.4.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为棱BC 上一点. (1)若AB =AC ,D 为棱BC 的中点,求证:平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1; (2)若A 1B ∥平面ADC 1,求BD DC的值.(1)证明 因为AB =AC ,点D 为BC 的中点, 所以AD ⊥BC .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,所以BB 1⊥平面ABC . 因为AD ⊂平面ABC ,所以BB 1⊥AD .因为BC ∩BB 1=B ,BC ⊂平面BCC 1B 1,BB 1⊂平面BCC 1B 1, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1,所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解 连结A 1C ,交AC 1于O ,连结OD ,所以O 为A 1C 的中点.因为A 1B ∥平面ADC 1,A 1B ⊂平面A 1BC ,平面ADC 1∩平面A 1BC =OD ,所以A 1B ∥OD . 因为O 为A 1C 的中点,所以D 为BC 的中点, 所以BD DC=1.4.应用题1.(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l =f (α); (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值.解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB =α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2,DH =h ,设AD =x .则DC =h sin α,CH =h tan α,BC =x +2htan α.因为S =12⎝ ⎛⎭⎪⎫x +x +2h tan α·h ,则x =S h -htan α, 则l =f (α)=2DC +AD =S h+h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α-1tan α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(2)f ′(α)=h ·⎝⎛⎭⎪⎫-2cos αsin 2α--1sin 2α=h ·1-2cos αsin 2α, 令f ′(α)=h ·1-2cos αsin 2α=0,得α=π3. 当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表:所以l min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=3h +h .答 当α=π3时,l 有最小值,为3h +Sh(m).2.(2017·南京学情调研)如图,某城市有一块半径为40m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心,AB 为直径),现计划对其进行改建,在AB 的延长线上取点D ,OD =80m ,在半圆上选定一点C ,改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成,其面积为S m 2.设∠AOC =x rad.(1)写出S 关于x 的函数关系式S (x ),并指出x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积S 取得最大值?解 (1)因为扇形AOC 的半径为40m ,∠AOC =x rad ,所以扇形AOC 的面积S 扇形AOC =x ·OA 22=800x,0<x <π.在△COD 中,OD =80,OC =40,∠COD =π-x , 所以△COD 的面积S △COD =12OC ·OD ·sin∠COD=1600sin(π-x )=1600sin x ,从而S =S △COD +S 扇形AOC =1600sin x +800x,0<x <π. (2)由(1)知,S (x )=1600sin x +800x,0<x <π, 则S ′(x )=1600cos x +800=1600⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x +12, 由S ′(x )=0,解得x =2π3,从而当0<x <2π3时,S ′(x )>0;当2π3<x <π时,S ′(x )<0,因此S (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,2π3上单调递增,在区间⎝⎛⎭⎪⎫2π3,π上单调递减.所以当x =2π3时,S (x )取得最大值.答 当∠AOC =2π3时,改建后的绿化区域面积S 最大.3.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;(2)若四根木条总长为6m ,求窗口ABCD 面积的最大值.解 (1)设一根木条长为x m ,因为S 四边形ABCD >14,所以4-x 2>14,即x <152.又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x >2, 所以42<4x <215.答 四根木条总长的取值范围为(42,215).(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m ,则BC 所在的木条长为(3-a )m. 因为a ∈(0,2),3-a ∈(0,2),所以a ∈(1,2).S 矩形ABCD =41-a 24·1-(3-a )24=4-a 2·4-(3-a )2=a 4-6a 3+a 2+24a -20, 设f (a )=a 4-6a 3+a 2+24a -20,则f ′(a )=4a 3-18a 2+2a +24=2(a +1)(2a -3)(a -4), 令f ′(a )=0,得a =32或a =-1(舍去)或a =4(舍去).当a 变化时,f ′(a ),f (a )的变化情况如下表:所以当a =32时,f (a )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=4916,即S max =74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为a m ,BC 所在的木条长为b m .由条件知,2a +2b =6,即a +b =3.因为a ,b ∈(0,2),所以b =3-a ∈(0,2),从而a ,b ∈(1,2). 由于AB =21-b 24,BC =21-a 24,S 矩形ABCD =41-b 241-a 24=4-b24-a 2,因为4-b24-a 2≤8-(a 2+b 2)2≤8-(a +b )222=74,当且仅当a =b =32∈(1,2)时,S 矩形ABCD =74为最大值.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.4.某隧道设计为双向四车道,车道总宽20m ,要求通行车辆限高4.5m ,隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系xOy . (1)若最大拱高h 为6m ,则隧道设计的拱宽l 是多少?(2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6m ,则应如何设计拱高h 和拱宽l ,使得隧道口截面面积最小?隧道口截面面积公式为S =23lh.解 (1)设抛物线的方程为y =-ax 2(a >0),则抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10,-32,代入抛物线方程解得a =3200, 令y =-6,解得x =±20,则隧道设计的拱宽l 是40m.(2)抛物线最大拱高为h m ,h ≥6,抛物线过点⎝⎛⎭⎪⎫10,-h +92,代入抛物线方程得a =h -92100.令y =-h ,则-h -92100x 2=-h ,解得x 2=100hh -92,则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22=100h h -92,h =92l 2l 2-400.因为h ≥6,所以92l 2l 2-400≥6,即20<l ≤40.所以S =23lh =23l ·92l 2l 2-400=3l3l 2-400(20<l ≤40).所以S ′=9l 2(l 2-400)-3l 3·2l (l 2-400)2=3l 2(l 2-1200)(l 2-400)2=3l 2(l +203)(l -203)(l 2-400)2, 当20<l <203时,S ′<0;当203<l ≤40时,S ′>0,即S 在(20,203)上单调递减,在(203,40]上单调递增,所以S 在l =203时取得最小值,此时l =203,h =274.答 当拱高为274m ,拱宽为203m 时,使得隧道口截面面积最小.5.直线与圆1.已知圆心为C 的圆,满足下列条件:圆心C 位于x 轴正半轴上,与直线3x -4y +7=0相切,且被y 轴截得的弦长为23,圆C 的面积小于13. (1)求圆C 的标准方程;(2)设过点M (0,3)的直线与圆C 交于不同的两点A ,B ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ,使得直线OD 与MC 恰好平行?如果存在,求出l 的方程;若不存在,请说明理由.解 (1)设圆C :(x -a )2+y 2=r 2(a >0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a +7|32+(-4)2=r ,a 2+3=r ,解得a =1或a =138,又S =πr 2<13,∴a =1,∴圆C 的标准方程为(x -1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为x =0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l :y =kx +3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3,(x -1)2+y 2=4,消去y 得(1+k 2)x 2+(6k -2)x +6=0.∴Δ=(6k -2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k -20>0, 解得k <1-263或k >1+263.x 1+x 2=-6k -21+k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2k +61+k2, OD →=OA →+OB →=(x 1+x 2,y 1+y 2),MC →=(1,-3), 假设OD →∥MC →,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2,解得k =34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,1-263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1+263,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l .2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2+y 2-4x =0及点A (-1,0),B (1,2).(1)若直线l ∥AB ,与圆C 相交于M ,N 两点,MN =AB ,求直线l 的方程; (2)在圆C 上是否存在点P ,使得PA 2+PB 2=12?若存在,求点P 的个数;若不存在,请说明理由.解 (1)圆C 的标准方程为(x -2)2+y 2=4, 所以圆心C (2,0),半径为2.因为l ∥AB ,A (-1,0),B (1,2),所以直线l 的斜率为2-01-(-1)=1,设直线l 的方程为x -y +m =0,则圆心C 到直线l 的距离为d =|2-0+m |2=|2+m |2.因为MN =AB =22+22=22,而CM 2=d 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22,所以4=(2+m )22+2,解得m =0或m =-4,故直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0.(2)假设圆C 上存在点P ,设P (x ,y ),则(x -2)2+y 2=4,PA 2+PB 2=(x +1)2+(y -0)2+(x -1)2+(y -2)2=12即x 2+y 2-2y -3=0,即x 2+(y -1)2=4.因为|2-2|<(2-0)2+(0-1)2<2+2,所以圆(x -2)2+y 2=4与圆x 2+(y -1)2=4相交, 所以点P 的个数为2.3.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 24+y 23=1的左顶点为A ,右焦点为F ,P ,Q 为椭圆C 上两点,圆O :x 2+y 2=r 2(r >0).(1)若PF ⊥x 轴,且满足直线AP 与圆O 相切,求圆O 的方程;(2)若圆O 的半径为3,点P ,Q 满足k OP ·k OQ =-34,求直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值.解 (1)因为椭圆C 的方程为x 24+y 23=1,所以A (-2,0),F (1,0).如图,因为PF ⊥x 轴,所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1,±32, 根据对称性,可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,则直线AP 的方程为y =12(x +2),即x -2y +2=0.由圆O 与直线AP 相切,得r =25,所以圆O 的方程为x 2+y 2=45.(2)易知,圆O 的方程为x 2+y 2=3. ①当PQ ⊥x 轴时,k OP ·k OQ =-k 2OP =-34,所以k OP=±32,不妨设OP :y =32x ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =32x ,x 24+y23=1,解得x =2,y =62,即P ⎝⎛⎭⎪⎫2,62, 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为2. ②当PQ 与x 轴不垂直时,设直线PQ 的方程为y =kx +b ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(x 1x 2≠0), 由k OP ·k OQ =-34,得3x 1x 2+4y 1y 2=0,即3x 1x 2+4(kx 1+b )(kx 2+b )=0,所以(3+4k 2)x 1x 2+4kb (x 1+x 2)+4b 2=0.(*)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +b ,x 24+y23=1消去y ,得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0,将x 1+x 2=-8kb 3+4k 2,x 1x 2=4b 2-123+4k 2代入(*)式,得2b 2=4k 2+3.由于圆心O 到直线PQ 的距离为d =|b |k 2+1,所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为l =23-d 2=4+2k 2+1,故当k =0时,l 有最大值 6. 综上,因为6>2,所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为 6.4.如图,某市有一条东西走向的公路l ,现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m .在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A 为圆心,1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l ,m ,欲再建一条公路PQ ,点P ,Q 分别在公路l ,m 上,且要求PQ 与圆A 相切.(1)当P 距O 处2百米时,求OQ 的长; (2)当公路PQ 长最短时,求OQ 的长.解 以O 为原点,直线l ,m 分别为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.设PQ 与圆A 相切于点B ,连结AB ,以1百米为单位长度,则圆A 的方程为x 2+(y -1)2=1.(1)由题意可设直线PQ 的方程为x 2+yq =1,即qx +2y -2q =0(q >2), ∵PQ 与圆A 相切, ∴|2-2q |q 2+22=1,解得q =83,故当P 距O 处2百米时,OQ 的长为83百米.(2)设直线PQ 的方程为x p +y q=1, 即qx +py -pq =0(p >1,q >2), ∵PQ 与圆A 相切,∴|p -pq |q 2+p 2=1,化简得p 2=q q -2, 则PQ 2=p 2+q 2=qq -2+q 2, 令f (q )=qq -2+q 2(q >2), ∴f ′(q )=2q -2(q -2)2=2(q -1)(q 2-3q +1)(q -2)2(q >2),当q >3+52时,f ′(q )>0,即f (q )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3+52,+∞上单调递增,∴f (q )在q =3+52时取得最小值,故当公路PQ 长最短时,OQ 的长为3+52百米.6.圆锥曲线1.(2017·苏州期末)如图,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,且过点P (2,-1).(1)求椭圆C 的方程;(2)设点Q 在椭圆C 上,且PQ 与x 轴平行,过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若直线PQ 平分∠APB ,求证:直线AB 的斜率是定值,并求出这个定值.解 (1)由e =ca =32,得a ∶b ∶c =2∶1∶3, 椭圆C 的方程为x 24b 2+y 2b2=1.把P (2,-1)代入,得b 2=2, 所以椭圆C 的方程是x 28+y 22=1.(2)由已知得PA ,PB 的斜率存在,且互为相反数. 设直线PA 的方程为y +1=k (x -2),其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y +1=k (x -2),x 2+4y 2=8消去y ,得x 2+4[kx -(2k +1)]2=8,即(1+4k 2)x 2-8k (2k +1)x +4(2k +1)2-8=0, 因为该方程的两根为2,x A ,所以2x A =4(2k +1)2-81+4k 2,即x A =8k 2+8k -21+4k 2, 从而y A =4k 2-4k -14k 2+1. 把k 换成-k ,得x B =8k 2-8k -21+4k 2,y B =4k 2+4k -14k 2+1. 故k AB =y B -y A x B -x A =8k -16k =-12,是定值. 2.(2017·常州期末)已知圆C :(x -t )2+y 2=20(t <0)与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个公共点为B (0,-2),F (c,0)为椭圆E 的右焦点,直线BF 与圆C 相切于点B . (1)求t 的值以及椭圆E 的方程;(2)过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,在x 轴上是否存在一定点P ,使PF 恰为∠MPN 的平分线? 解 (1)由题意得b =2. 因为C (t,0),B (0,-2), 所以BC =t 2+4=20, 所以t =±4.因为t <0,所以t =-4.因为BC ⊥BF ,所以20+c 2+4=(c +4)2, 所以c =1,所以a 2=b 2+c 2=5. 所以椭圆E 的方程为x 25+y 24=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),设l :y =k (x -1)(k ≠0),代入x 25+y 24=1,化简得(4+5k 2)x 2-10k 2x +5k 2-20=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=10k 24+5k2,x 1x 2=5k 2-204+5k2.若点P 存在,设P (m,0),由题意k PM +k PN =0, 所以y 1x 1-m +y 2x 2-m =k (x 1-1)x 1-m +k (x 2-1)x 2-m=0,所以(x 1-1)(x 2-m )+(x 2-1)(x 1-m )=0, 即2x 1x 2-(1+m )(x 1+x 2)+2m=2·5k 2-204+5k 2-(1+m )10k 24+5k 2+2m =0,所以8m -40=0,所以m =5.所以存在定点P (5,0),使PF 恰为∠MPN 的平分线.3.(2017·无锡期末)已知椭圆x 24+y 23=1,动直线l 与椭圆交于B ,C 两点(点B 在第一象限).(1)若点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,求△OBC 面积的最大值; (2)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),且3y 1+y 2=0,求当△OBC 的面积最大时直线l 的方程. 解 (1)直线OB 方程为y =32x ,即3x -2y =0,设过点C 且平行于OB 的直线l ′方程为y =32x +b .则当l ′与椭圆只有一个公共点时,△OBC 的面积最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =32x +b消去y 整理得3x 2+3bx +b 2-3=0,此时Δ=9b 2-12(b 2-3),令Δ=0,解得b =±23, 当b =23时,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,32; 当b =-23时,C ⎝⎛⎭⎪⎫3,-32, 所以△OBC 面积的最大值为12×1+94×|33+3|13= 3. (2)显然,直线l 与y 轴不垂直,设直线l 的方程为x =my +n .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,x =my +n消去x 并整理得(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2-12=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-6mn3m 2+4,y 1y 2=3n 2-123m 2+4.因为3y 1+y 2=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1=3mn3m 2+4,y 21=4-n23m 2+4,从而9n 2m 2(3m 2+4)2=4-n 23m 2+4, 即n 2=3m 2+43m 2+1,所以S △OBC =12|n |·|y 1-y 2|=2|n |·|y 1|=6|m |n 23m +4=6|m |3m +1.因为B 在第一象限,所以x 1=my 1+n =3m 2n3m 2+4+n >0,所以n >0.因为y 1>0,所以m >0, 所以S △OBC =6m 3m 2+1=63m +1m≤623=3,当且仅当3m =1m ,即m =33时取等号,此时n =102,4.(2017·南京、盐城二模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,焦点在x 轴上的椭圆C :x 28+y 2b 2=1经过点(b,2e ),其中e 为椭圆C 的离心率.过点T (1,0)作斜率为k (k >0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点(A 在x 轴下方). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,求AT ·BTMN 2的值; (3)记直线l 与y 轴的交点为P ,若AP →=25TB →,求直线l 的斜率k .解 (1)由点(b,2e )在椭圆C 上,得b 28+4e 2b =1.因为e 2=c 2a 2=8-b 28=1-b 28,所以b 28+4b 2=32.又b 2<a 2=8,解得b 2=4, 所以椭圆C 的标准方程是x 28+y 24=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0), 由对称性知N (-x 0,-y 0),其中y 1<0. 因为MN ∥AB ,所以AT ·BT MN 2=-y 1y 24y 20. 直线AB 的方程为y =k (x -1),直线MN 的方程为y =kx ,其中k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x -1),x 2+2y 2=8消去x ,得(1+2k 2)y 2+2ky -7k 2=0,所以y 1y 2=-7k21+2k2.由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 2+2y 2=8消去x ,得(1+2k 2)y 2=8k 2,所以y 2=8k 21+2k ,从而得AT ·BT MN =732. (3)由AP →=25TB →,得-x 1=25(x 2-1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 2+2y 2=8消去y ,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0, 所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-81+2k 2.又因为-x 1=25(x 2-1),所以x 1=-4k 2+23(1+2k 2),x 2=16k 2-23(1+2k 2),从而-4k 2+23(1+2k 2)·16k 2-23(1+2k 2)=2k 2-81+2k 2.整理得50k 4-83k 2-34=0, 解得k 2=2或k 2=-1750(舍).因为k >0,所以k = 2.压轴大题突破练 1.函数与导数1.设函数f (x )=x ln x +ax ,a ∈R .(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)求函数y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上的最小值; (3)若g (x )=f (x )+12ax 2-(2a +1)x ,求证:a ≥0是函数y =g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解 由f (x )=x ln x +ax ,得f ′(x )=ln x +a +1. 当a =1时,f ′(x )=ln x +2,f (1)=1,f ′(1)=2, 求得切线方程为y =2x -1. (2)解 令f ′(x )=0,得x =e -(a +1).∴当e-(a +1)≤1e ,即a ≥0时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 时f ′(x )≥0恒成立,f (x )单调递增, 此时f (x )min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =a -1e .当e-(a +1)≥e ,即a ≤-2时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 时f ′(x )≤0恒成立,f (x )单调递减,此时f (x )min=f (e)=a e +e.当1e <e -(a +1)<e ,即-2<a <0时,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ,e -(a +1)时f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(e -(a +1),e)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,此时f (x )min =f (e -(a +1))=-e-(a +1).(3)证明 g ′(x )=f ′(x )+ax -(2a +1) =ln x +ax -a =ln x +a (x -1),∴当a ≥0时,x ∈(1,2)时,ln x >0,a (x -1)≥0,g ′(x )>0恒成立,函数y =g (x )在x ∈(1,2)时单调递增,充分条件成立; 又当a =-12时,代入g ′(x )=ln x +a (x -1)=ln x -12x +12.设h (x )=g ′(x )=ln x -12x +12,x ∈(1,2),则h ′(x )=1x -12=2-x2x >0恒成立,∴当x ∈(1,2)时,h (x )单调递增.又h (1)=0,∴当x ∈(1,2)时,h (x )>0恒成立. 而h (x )=g ′(x ),∴当x ∈(1,2)时,g ′(x )>0恒成立, 函数y =g (x )单调递增, ∴必要条件不成立.综上,a ≥0是函数y =g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件. 2.设函数f (x )=e x-|x -a |,其中a 是实数. (1)若f (x )在R 上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1,且f (x 2)-f (x 1)≥k (x 2-x 1)恒成立,求实数k 的取值范围.解 (1)因为f (x )=e x-|x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧e x-x +a ,x ≥a ,e x+x -a ,x <a ,则f ′(x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x-1,x ≥a ,e x+1,x <a ,因为f (x )在R 上单调递增,所以f ′(x )≥0恒成立,当x <a 时,f ′(x )=e x+1≥1>0恒成立,当x ≥a 时,f ′(x )=e x-1≥0恒成立, 故应f ′(a )≥0,即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时,f (x )在R 上单调递增,不符合题意,所以有a <0. 此时,当x <a 时,f ′(x )=e x+1≥1>0,f (x )单调递增, 当x ≥a 时,f ′(x )=e x-1,令f ′(x )=0,得x =0,所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立,f (x )在(a,0)上单调递减,f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f (x )极大=f (a )=e a,f (x )极小=f (0)=1+a ,即a <0符合题意.由f (x 2)-f (x 1)≥k (x 2-x 1)恒成立,可得e a-a -1≥ka 对任意a <0恒成立, 设g (a )=e a-(k +1)a -1,求导,得g ′(a )=e a-(k +1),①当k ≤-1时,g ′(a )>0恒成立,g (a )在(-∞,0)上单调递增,又因为g (-1)=1e +k <0,与g (a )>0矛盾;②当k ≥0时,g ′(a )<0在(-∞,0)上恒成立,g (a )在(-∞,0)上单调递减, 又因为g (0)=0,所以此时g (a )≥0恒成立,符合题意;③当-1<k <0时,g ′(a )>0在(-∞,0)上的解集为(ln(k +1),0),即g (a )在(ln(k +1),0)上单调递增,又因为g (0)=0,所以g (ln (k +1))<0不符合题意.综上,实数k 的取值范围为[0,+∞).3.(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )=13x 3-mx 2-x +13m ,其中m ∈R .(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有|f ′(x 1)-f ′(x 2)|≤4,求实数m 的取值范围; (3)求函数f (x )的零点个数. 解 (1)f ′(x )=x 2-2mx -1,由f ′(x )≥0,得x ≤m -m 2+1或x ≥m +m 2+1;故函数f (x )的单调增区间为(-∞,m -m 2+1),(m +m 2+1,+∞), 由f ′(x )<0,得m -m 2-1<x <m +m 2+1,故函数f (x )的单调减区间为(m -m 2+1,m +m 2+1).(2)“对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有|f ′(x 1)-f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y =f ′(x ),x ∈[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”. 对于f ′(x )=x 2-2mx -1,对称轴x =m .①当m <-1时,f ′(x )的最大值为f ′(1),最小值为f ′(-1), 由f ′(1)-f ′(-1)≤4,即-4m ≤4,解得m ≥-1,舍去;②当-1≤m ≤1时,f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(-1),最小值为f ′(m ),由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)-f ′(m )≤4,f ′(-1)-f ′(m )≤4,即⎩⎪⎨⎪⎧m 2-2m -3≤0,m 2+2m -3≤0,解得-1≤m ≤1;③当m >1时,f ′(x )的最大值为f ′(-1),最小值为f ′(1), 由f ′(-1)-f ′(1)≤4,即4m ≤4,解得m ≤1,舍去. 综上,实数m 的取值范围是[-1,1]. (3)由f ′(x )=0,得x 2-2mx -1=0,因为Δ=4m 2+4>0,所以y =f (x )既有极大值也有极小值. 设f ′(x 0)=0,即x 20-2mx 0-1=0,x 20=2mx 0+1,则f (x 0)=13x 30-mx 20-x 0+13m =-13mx 20-23x 0+13m =-23x 0(m 2+1),所以极大值f (m -m 2+1)=-23(m -m 2+1)(m 2+1)>0,极小值f (m +m 2+1)=-23(m +m 2+1)(m 2+1)<0,故函数f (x )有三个零点.4.已知函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x +2,a ∈R . (1)若a <0,试求函数y =f (x )的单调递减区间;(2)若a =0,且曲线y =f (x )在点A ,B (A ,B 不重合)处切线的交点位于直线x =2上,证明:A ,B 两点的横坐标之和小于4;(3)如果对于一切x 1,x 2,x 3∈[0,1],总存在以f (x 1),f (x 2),f (x 3)为三边长的三角形,试求正实数a 的取值范围.(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )=3x 2+2ax -a 2=3(x +a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 3.因为a <0,由f ′(x )<0,解得a3<x <-a .所以函数y =f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3,-a . (2)证明 当a =0时,f (x )=x 3+2.设在点A (x 1,x 31+2),B (x 2,x 32+2)处的切线交于直线x =2上一点P (2,t ). 因为y ′=3x 2,所以曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为k =3x 21, 所以在点A 处的切线方程为y -(x 31+2)=3x 21(x -x 1). 因为切线过点P ,所以t -(x 31+2)=3x 21(2-x 1), 即2x 31-6x 21+(t -2)=0. 同理可得2x 32-6x 22+(t -2)=0, 两式相减得2(x 31-x 32)-6(x 21-x 22)=0,即(x 1-x 2)(x 21+x 1x 2+x 22)-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0, 因为x 1-x 2≠0,所以x 21+x 1x 2+x 22-3(x 1+x 2)=0, 即(x 1+x 2)2-x 1x 2-3(x 1+x 2)=0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 222,且x 1≠x 2,所以x 1x 2<⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 222.从而上式可以化为(x 1+x 2)2-⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 222-3(x 1+x 2)<0,即(x 1+x 2)(x 1+x 2-4)<0.解得0<x 1+x 2<4,即A ,B 两点的横坐标之和小于4. (3)解 由题设知,f (0)<f (1)+f (1), 即2<2(-a 2+a +3),解得-1<a <2. 又因为a >0,所以0<a <2. 因为f ′(x )=3(x +a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 3,所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 3时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3,1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以当x =a 3时,f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3=-527a 3+2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3=-527a 3+2>0, ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫-527a 3+2, ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫-527a 3+2. ③由①得a <33235;由②得a <335,再根据0<a <2,得0<a <335.不等式③化为1027a 3-a 2+a -1<0.令g (a )=1027a 3-a 2+a -1,则g ′(a )=109a 2-2a +1>0,所以g (a )为增函数.又g (2)=-127<0,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,335时,g (a )<0恒成立,即③成立. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0,335.2.数 列1.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧13a n +n ,n 为奇数,a n -3n ,n 为偶数.(1)是否存在实数λ,使得数列{a 2n -λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由;(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和,求满足S n >0的所有正整数n . 解 (1)由已知,得a 2(n +1)=13a 2n +1+(2n +1)=13[a 2n -3(2n )]+2n +1=13a 2n +1. 令a 2(n +1)-λ=13(a 2n -λ),得a 2(n +1)=13a 2n +23λ,所以λ=32.此时,a 2-λ=13+1-32=-16.所以存在λ=32,使得数列{a 2n -λ}是等比数列.(2)由(1)知,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n -32是首项为-16,公比为13的等比数列,所以a 2n -32=-16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1=-12·13n ,即a 2n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n .由a 2n =13a 2n -1+(2n -1),得a 2n -1=3a 2n -3(2n -1)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n -6n +3,所以a 2n -1+a 2n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n -6n +3+12⎝ ⎛⎭⎪⎫3-13n=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n-6n +9,所以S 2n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2n -1+a 2n )=-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13+⎝ ⎛⎭⎪⎫132+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -6(1+2+…+n )+9n =13n -3n 2+6n -1,从而S 2n -1=S 2n -a 2n =32×13n -3n 2+6n -52.因为13n 和-3n 2+6n =-3(n -1)2+3在n ∈N *时均单调递减,所以S 2n 和S 2n -1均各自单调递减.计算得S 1=1,S 2=73,S 3=-73,S 4=-89,所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,设数列{b n }满足b n =2(S n +1-S n )S n -n (S n +1+S n )(n ∈N *). (1)若数列{a n }为等差数列,且b n =0,求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1=1,a 2=3,且数列{a 2n -1},{a 2n }都是以2为公比的等比数列,求满足不等式b 2n <b 2n -1的所有正整数n 的集合.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 所以a n +1=a 1+nd ,S n =na 1+n (n -1)2d .由b n =2(S n +1-S n )S n -n (S n +1+S n )(n ∈N *), 得b n =2a n +1S n -n (2S n +a n +1). 又由b n =0,得2(a 1+nd )⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1+n (n -1)2d -n [2na 1+n (n -1)d +a 1+nd ]=0对一切n ∈N *都成立,即(d 2-d )n 2+(3a 1d -d 2-2a 1)n +2a 21-a 1d -a 1=0对一切n ∈N *都成立. 令n =1,n =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =0,a 1=0或⎩⎪⎨⎪⎧d =1,a 1=1,经检验,符合题意.所以数列{a n }的通项公式为a n =0或a n =n . (2)由题意得a 2n -1=2n -1,a 2n =3×2n -1,S 2n =2n -1+3(2n -1)=4×2n -4,S 2n -1=S 2n -a 2n =4×2n -4-3×2n -1=5×2n -1-4. b 2n =2a 2n +1S 2n -2n (2S 2n +a 2n +1)=2×2n×(4×2n-4)-2n (8×2n-8+2n) =2n +1(2n +2-9n -4)+16n .b 2n -1=2a 2n S 2n -1-(2n -1)(2S 2n -1+a 2n )=6×2n -1×(5×2n -1-4)-(2n -1)(10×2n -1-8+3×2n -1)=2n -1(30×2n -1-26n -11)+16n-8.所以b 2n -b 2n -1=2n +1(2n +2-9n -4)+16n -[2n -1(30×2n -1-26n -11)+16n -8]=2n⎝⎛⎭⎪⎫2n -1-5n -52+8=22n -1+8-2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n +52. 记f (n )=22n -1+8-2n ⎝⎛⎭⎪⎫5n +52,即f (n )=2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n-⎝⎛⎭⎪⎫5n +52+8.记g (n )=12×2n-⎝⎛⎭⎪⎫5n +52,则g (n +1)-g (n )=12×2n +1-⎝⎛⎭⎪⎫5n +152-12×2n +5n +52=12×2n-5,当n =1,2,3时,g (n +1)-g (n )<0;当n ∈N *时,n ≥4,g (n +1)-g (n )=12×2n -5>0,因为当n =1时,g (1)=-132<0,所以g (4)<0,且g (6)=-12<0,g (7)=532>0.所以f (n )=2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2n -⎝ ⎛⎭⎪⎫5n +52+8在n ≥7(n ∈N *)时也单调递增,当n =1时,f (1)=-5<0; 当n =2时,f (2)=-34<0; 当n =3时,f (3)=-100<0; 当n =4时,f (4)=-224<0; 当n =5时,f (5)=-360<0; 当n =6时,f (6)=-24<0; 当n =7时,f (7)=3400>0,所以满足条件的正整数n 的集合为{1,2,3,4,5,6}.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 5-a 3=13,S 4=16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)设T n =∑ni =1(-1)i a i ,若对一切正整数n ,不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]2n -1恒成立,求实数λ的取值范围;(3)是否存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列?若存在,求出所有的m ,n ;若不存在,请说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5-a 3=13,S 4=16,所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1+4d )-(a 1+2d )=13,4a 1+6d =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,所以a n =2n -1,S n =n 2.(2)①当n 为偶数时,设n =2k ,k ∈N *,则T 2k =(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+…+(a 2k -a 2k -1)=2k . 代入不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]·2n -1,得λ·2k <4k,从而λ<4k2k.设f (k )=4k2k ,则f (k +1)-f (k )=4k +12(k +1)-4k2k =4k(3k -1)2k (k +1).因为k ∈N *,所以f (k +1)-f (k )>0,所以f (k )是递增的,所以f (k )min =2,所以λ<2. ②当n 为奇数时,设n =2k -1,k ∈N *, 则T 2k -1=T 2k -(-1)2ka 2k =2k -(4k -1)=1-2k . 代入不等式λT n <[a n +1+(-1)n +1a n ]2n -1,得λ(1-2k )<(2k -1)4k ,从而λ>-4k .因为k ∈N *,所以-4k的最大值为-4,所以λ>-4. 综上,λ的取值范围为(-4,2).(3)假设存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列, 则(S m -S 2)2=S 2(S n -S m ),即(m 2-4)2=4(n 2-m 2), 所以4n 2=(m 2-2)2+12,即4n 2-(m 2-2)2=12, 即(2n -m 2+2)(2n +m 2-2)=12.因为n >m >2,所以n ≥4,m ≥3,所以2n +m 2-2≥15.因为2n -m 2+2是整数,所以等式(2n -m 2+2)(2n +m 2-2)=12不成立, 故不存在正整数m ,n (n >m >2),使得S 2,S m -S 2,S n -S m 成等比数列.4.若一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“A 型数列”. (1)若首项为1,公差为整数的等差数列{a n }为“A 型数列”,且其前n 项和为S n ,若对于任意n ∈N *,都有S n <32n 2+n ,求{a n }的通项公式;(2)已知等比数列{a n }的每一项均为正整数,且{a n }为“A 型数列”,b n =23a n ,c n =a n(n +1)·2n -5,当数列{b n }不是“A 型数列”时,试判断数列{c n }是否为“A 型数列”,并说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d >2, 由a 1=1,得S n =n +n (n -1)2d ,且S 1<52.由题意,得n +n (n -1)2d <32n 2+n 对n ∈N *均成立,即d <3nn -1对n ≥2均成立, ∵3n n -1=3+3n -1>3, ∴d ≤3,又d >2, ∴d =3,∴a n =3n -2.(2)设数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n -1,∵{a n }的每一项均为正整数, 且a n +1-a n =a n q -a n =a n (q -1)>2>0, ∴a 1>0,且q >1,∵a n +1-a n =q (a n -a n -1)>a n -a n -1, 即在{a n -a n -1}中,a 2-a 1为最小项, 同理,在{b n -b n -1}中,b 2-b 1为最小项,由{a n }为“A 型数列”,可知只需a 2-a 1>2,即a 1(q -1)>2, 又∵{b n }不是“A 型数列”,且b 2-b 1为最小项, ∴b 2-b 1≤2,即a 1(q -1)≤3,由数列{a n }的每一项均为正整数,可得a 1(q -1)=3, ∴a 1=1,q =4或a 1=3,q =2. ①当a 1=1,q =4时,a n =4n -1,则c n =4n -1(n +1)·2n -5=2n +3n +1, 令d n =c n +1-c n (n ∈N *),则d n =2n +4n +2-2n +3n +1=2n +3·n (n +1)(n +2),令e n =d n +1-d n (n ∈N *),则e n =2n +4·n +1(n +2)(n +3)-2n +3·n (n +1)(n +2)=2n +3n +2·n 2+n +2(n +1)(n +3)>0,∴{d n }为递增数列, 即d n >d n -1>d n -2>…>d 1,即c n +1-c n >c n -c n -1>c n -1-c n -2>…>c 2-c 1, ∵c 2-c 1=323-8=83>2,∴对任意的n ∈N *都有c n +1-c n >2, 即数列{c n }为“A 型数列”. ②当a 1=3,q =2时,a n =3·2n -1,则c n =3·2n +1(n +1)·2n -5=48n +1, 显然,{c n }为递减数列,c 2-c 1<0≤2, 故数列{c n }不是“A 型数列”; 综上所述,当a n =4n -1时,数列{c n }为“A 型数列”,当a n =3·2n -1时,数列{c n }不是“A 型数列”.小题满分练小题满分练11.设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cos x,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是________.答案(-∞,-1)∪(2,+∞)解析因为A={x|0≤x≤2}=[0,2],B={y|-1≤y≤1}=[-1,1],所以A∪B=[-1,2],所以∁R(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).2.(2017·苏州暑假测试)命题“∃x>1,x2≥2”的否定是________.答案∀x>1,x2<2解析根据存在性命题的否定规则得“∃x>1,x2≥2”的否定是“∀x>1,x2<2”.3.若复数z满足z i=1+2i,则z的共轭复数是________.答案2+i解析∵z i=1+2i,∴z=1+2ii=2-i,∴z=2+i.4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是________.答案265(或5.2)解析这组数据的平均数x=15(3+6+9+8+4)=6,方差s2=15(9+0+9+4+4)=265.5.若流程图如图所示,则该程序运行后输出的值是________.答案10000。

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练6 含答案

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练6 含答案

小题满分练61.(2017·常州期末)已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={3,4},B ={1,4,5},则A ∪∁U B =________. 答案 {2,3,4}解析 由题意可得∁U B ={2,3},所以A ∪(∁U B )={2,3,4}.2.若复数z 满足(1-2i)z =1+2i(i 为虚数单位),则z =________. 答案 -35+45i3.样本数据8,6,6,5,10的方差s 2=__________. 答案165解析 先求平均数x =15(8+6+6+5+10)=7,再由方差公式得s 2=15[(8-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(10-7)2]=165.4.从2个白球,2个红球,1个黄球共5个球中随机取出两个球,则取出的两球中恰有一个红球的概率是________. 答案 35解析 记两个红球为a ,b ,另外三个球为1,2,3.任取两个的情况为ab ,a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3,12,13,23,共10种,其中恰有一个红球的情况为a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3,共6种,故所求概率为610=35.5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=________.答案 -1解析 因为f (x )是周期为3的周期函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+3=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-122-2=-1.6.如图是一个算法的流程图,则输出x 的值为__________.答案 23解析 第1次循环得x =2×2+1=5,n =2;第2次循环得x =2×5+1=11,n =3;第3次循环得x =2×11+1=23,n =4>3,退出循环,故x =23.7.(2017·南通一调)如图,在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =3cm ,AA 1=1cm ,则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为__________cm 3.答案 32解析 1111D A BD B A DD V V --==13×3×12×3×1=32(cm 3).8.已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 5S 3=3,则a 5a 3的值为________. 答案179解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,则由S 5S 3=3,得5a 1+10d 3a 1+3d =3,所以d =4a 1,所以a 5a 3=a 1+4da 1+2d=17a 19a 1=179. 9.若实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,3x -y ≥0,y ≥0,则|3x -4y -10|的最大值为________.答案 494解析 作出实数x ,y 在约束条件下的平面区域(如图阴影部分所示),令z =3x -4y -10,则平移直线3x -4y =0经过点A (1,0)时,z max =3-10=-7;平移直线3x -4y =0经过点B ⎝⎛⎭⎪⎫14,34时,z min =34-3-10=-494,即-494≤z =3x -4y -10≤-7,从而7≤|3x -4y -10|≤494,所求的|3x -4y -10|的最大值为494. 10.已知函数f (x )=x -1+1e x ,若直线l :y =kx -1与曲线y =f (x )相切,则实数k =________.答案 1-e解析 设切点为(x 0,y 0).因为f ′(x )=1-1e x ,则f ′(x 0)=k ,即1-01e x =k 且kx 0-1=x 0-1+1e x ,所以x 0=-1,所以k =1-1e -1=1-e.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知过原点O 的动直线l 与圆C :x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ,B ,若点A 恰为线段OB 的中点,则圆心C 到直线l 的距离为________. 答案364解析 由题意得C (3,0),设A (a ,b ),由点A 恰为线段OB 的中点,得B (2a,2b ).因为两点A ,B 均在圆C 上,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-6a +5=0,4a 2+4b 2-12a +5=0,解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫54,±154.所以直线l 的方程为3x ±5y =0,圆心C 到直线l 的距离d =3322=364.12.(2017·苏州期末)若2tan α=3tan π8,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π8=________.答案1+5249解析 方法一 记t =tan π8=1-cos π4sin π4=2-1,则tan α=32t .所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α-π8=32t -t1+32t2=t2+3t 2=2-111-62=(2-1)(11+62)49=1+5249.方法二 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π8=32tan π8-tanπ81+32tan 2π8=tanπ82+3tan 2π8=sin π8cosπ82cos 2π8+3sin2π8=sinπ42⎝ ⎛⎭⎪⎫1+cos π4+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-cos π4=210-2=152-1=1+5249.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(2a +2c -b )cos C =(a +c )cos B +b cos A ,若c =3,则a +b 的最大值为________. 答案 6解析 由正弦定理可得2sin A cos C +2sin C cos C -sin B cos C =sin A cos B +sin C cos B +sin B cos A ,即2sin A cos C +2sin C cos C =sin(B +C )+sin(A +B ),也即2(sin A +sin C )cos C =sin A +sin C ,由此可得cos C =12,由余弦定理可得9=a 2+b 2-ab , 即(a +b )2=9+3ab , 又ab ≤14(a +b )2,所以14(a +b )2≤9⇒a +b ≤6,故所求a +b 的最大值是6.14.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x ,x >0,12-⎪⎪⎪⎪⎪⎪12+x ,x ≤0,若关于x 的方程f (x )=kx -k 至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫-13,1∪(1,+∞)解析 作函数图象(如图所示),可得直线y =kx -k 过定点(1,0),当y =kx -k 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12时,直线的斜率最小即k =-13,当直线y =kx -k 与y =x 2-x (x >0)相切时有且仅有一个交点,交点即为切点(1,0),k =y ′=1,故函数f (x )与直线y =kx -k 至少有两个不同的交点时,k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-13,1∪(1,+∞),即关于x 的方程f (x )=kx -k 至少有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-13,1∪(1,+∞).。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习——中档大题规范练2+Word版含答案

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2.三角函数的图象、性质与三角变换1.已知α为锐角,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=1-cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=255,所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π2=sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=45, cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2=cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4-1=-35, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α+π2-π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2cos π6-cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π2sin π6=43+310.2.(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(A >0,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,32.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若角α满足f (α)+3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2=1,α∈(0,π),求角α的值. 解 (1)由条件知周期T =2π,即2πω=2π,所以ω=1,即f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,32,所以A sin 2π3=32,所以A =1,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3.(2)由f (α)+3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2=1,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-π2=1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=1, 所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-π3=1,即sin α=12.因为α∈(0,π),所以α=π6或5π6.3.(2017·南京三模)已知向量a =(2cos α,sin 2α),b =(2sin α,t ),α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2.(1)若a -b =⎝ ⎛⎭⎪⎫25,0,求t 的值;(2)若t =1,且a·b =1,求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4的值. 解 (1)方法一 因为向量a =(2cos α,sin 2α),b =(2sin α,t ),且a -b =⎝ ⎛⎭⎪⎫25,0,所以cos α-sin α=15,t =sin 2α.由cos α-sin α=15,得(cos α-sin α)2=125,即1-2sin αcos α=125,从而2sin αcos α=2425.所以(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=4925.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以cos α+sin α=75,所以sin α=(cos α+sin α)-(cos α-sin α)2=35,从而t =sin 2α=925.方法二 因为向量a =(2cos α,sin 2α),b =(2sin α,t ), 且a -b =⎝ ⎛⎭⎪⎫25,0,所以cos α-sin α=15,t =sin 2α.又sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α+152=1,整理得50sin 2α+10sin α-24=0, 解得sin α=-45或sin α=35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以sin α>0,所以sin α=35, 从而t =sin 2α=925.(2)方法一 因为t =1,且a·b =1,所以4sin αcos α+sin 2α=1,即4sin αcos α=cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以cos α≠0,从而tan α=14.所以tan2α=2tan α1-tan 2α=815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=tan2α+tanπ41-tan2α·tan π4=815+11-815=237.方法二 因为t =1,且a·b =1,所以4sin αcos α+sin 2α=1,即4sin αcos α=cos 2α. 所以2sin2α=1+cos2α2,即4sin2α-cos2α=1,又sin 22α+cos 22α=1,所以sin 22α+(4sin2α-1)2=1, 整理得17sin 22α-8sin2α=0, 解得sin2α=817或sin2α=0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以2α∈(0,π),所以sin2α>0,所以sin2α=817,代入4sin2α-cos2α=1,得cos2α=1517,因为tan2α=sin2αcos2α=815,从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=tan2α+tanπ41-tan2α·tan π4=815+11-815=237.4.(2017·南通一调)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A .以OA 为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B ,AB =255.(1)求cos β的值;(2)若点A 的横坐标为513,求点B 的坐标.解 (1)在△AOB 中,由余弦定理,得cos ∠AOB =OA 2+OB 2-AB 22OA ·OB=12+12-⎝ ⎛⎭⎪⎫25522×1×1=35,即cos β=35.(2)因为cos β=35,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,所以sin β=1-cos 2β=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫352=45. 因为点A 的横坐标为513,由三角函数定义可得cos α=513.因为α为锐角,所以sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫5132=1213.所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=513×35-1213×45=-3365,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=1213×35+513×45=5665.所以点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-3365,5665.。

2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档:12+4满分练(5)

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12+4满分练(5)1.(2017·原创押题预测卷)已知集合A ={x |x 2-x -2<0},B ={y |y =3x ,x ≤0},则A ∩(∁R B )等于( )A.(-1,0]B.(1,2)C.(-1,0]∪(1,2)D.(0,1] 答案 C解析 因为A ={x |x 2-x -2<0}={x |-1<x <2},B ={y |y =3x ,x ≤0}={y |0<y ≤1},所以∁R B =(-∞,0]∪(1,+∞),所以A ∩(∁R B )=(-1,0]∪(1,2),故选C.2.(2017·广东七校联考)已知()a +i ()1-b i =2i(其中a ,b 均为实数,i 为虚数单位),则||a +b i 等于( )A.2B.2C.1D.1或 2 答案 B解析 因为(a +i)(1-b i)=a +b +(1-ab )i =2i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =0,1-ab =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1,所以|a +b i|=2,故选B.3.给出如图所示的程序框图,若输入的x 的值为-5,则输出的y 值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 C解析 由程序框图得:若输入的x 的值为-5,⎝⎛⎭⎫12-5=25=32>2, 程序继续运行x =-3,⎝⎛⎭⎫12-3=23=8>2, 程序继续运行x =-1,⎝⎛⎭⎫12-1=2,不满足⎝⎛⎭⎫12x>2,∴执行y =log 2x 2=log 21=0,故选C.4.(2017·江西九江地区联考)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ,-1<x <0,e 2x -1,x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12+f (a )=2,则a 的所有可能值为( ) A.12 B.2 C.13 D.12或-13 答案 D解析 由已知得f ⎝⎛⎭⎫12=1,因为f ⎝⎛⎭⎫12+f (a )=2, 所以f (a )=1,所以⎩⎪⎨⎪⎧ -1<a <0,2cos πa =1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0,e2a -1=1, 解得a =12或-13,故选D.5.(2017·天津南开区模拟)已知过点A (-2,m )和B (m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则m 的值为( ) A.0 B.-8 C.2 D.10 答案 B解析 因为直线2x +y -1=0的斜率为-2,所以过点A (-2,m )和B (m ,4)的直线的斜率k =-2,所以4-mm +2=-2,解得m =-8,故选B.6.(2017届长郡中学模拟)已知f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1),则f (x )=sin(ωx +φ)( )A.在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减 B.在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π6上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π6上单调递增 答案 B解析 由题设T =π=2πω⇒ω=2,则f (x )=sin(2x +φ),向左平移π3个单位长度后可得g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3+φ,其图象经过点P (0,1),即sin ⎝⎛⎭⎫2π3+φ=1, 因为-π<φ<0,解得φ=-π6,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上,2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2. 函数f (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增, 在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π6上,2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-5π6,π6, 函数f (x )在⎣⎡⎦⎤-π3,π6上不单调. 7.在等比数列{}a n 中,a 2,a 18是方程x 2+6x +4=0的两根,则a 4a 16+a 10等于( ) A.6 B.2 C.2或6 D.-2 答案 B解析 因为a 2,a 18是方程x 2+6x +4=0的两根, 所以a 2+a 18=-6,a 2·a 18=4,所以a 2<0,a 18<0,又数列{}a n 为等比数列, 所以a 10<0,所以a 10=-a 2a 18=-2, 所以a 4a 16+a 10=a 210+a 10=2,故选B.8.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)以及双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线将第一象限三等分,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为( )A.2或233B.6或233C.2或 3D.3或 6答案 A解析 由题意可知,双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线的倾斜角为30°或60°,则k =b a ,∴k =3或33,则e =ca,∴e =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=2或233.9.(2017·吉林普通中学调研)给出下列命题: ①函数f (x )=sin 2x 为偶函数; ②函数f (x )=sin 2x 的最小正周期为π; ③函数y =ln(x +1)没有零点;④函数y =ln(x +1)在区间(-1,0)上是增函数. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.①③ C.②③ D.②④答案 D解析 由正弦函数的性质可知:f (x )=sin 2x , 则f (-x )=sin(-2x )=-sin 2x =-f (x ), 则f (x )=sin 2x 为奇函数,故①错误;由y =sin 2x 的最小正周期为T =2πω=π,故②正确;令函数y =ln(x +1)=0,即x =0, 函数存在零点,故③错误; 由对数函数的单调性可知:函数y =ln(x +1)在区间(-1,+∞)上单调递增, 故函数y =ln(x +1)在区间(-1,0)上是增函数,④正确. 故选D.10.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A.y =x +1的图象上B.y =2x 的图象上C.y =2x 的图象上D.y =2x-1的图象上答案 D解析 由题意可知,输入x =1,y =1,由于1≤4,输出点(1,1),进入循环,x =1+1=2,y =2×1=2,由于2≤4,输出点(2,2),进入循环,x =2+1=3,y =2×2=4,由于3≤4,输出点(3,4),进入循环,x =3+1=4,y =2×4=8,由于4≤4,输出点(4,8),进入循环,x =4+1=5>4,循环结束;故点(2,2),点(3,4),点(4,8)均满足在函数y =2x-1的图象上.11.(2017·天津重点中学联考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为5,圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切,且圆M 的半径为2,则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y 2=85x B.y 2=45x C.y 2=25x D.y 2=5x答案 B解析 设双曲线渐近线的方程为y =ba x ,圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0),由双曲线的离心率a 2+b 2a =5,得b =2a ,故双曲线的渐近线方程为y =2x . ∵圆与渐近线相切,由点到直线的距离公式得2x 01+22=2,即x 0=5,∴p2=5,p =25, ∴抛物线的标准方程为y 2=45x ,故选B.12.设函数f (x )=1-x +1,g (x )=ln(ax 2-3x +1),若对任意的x 1∈[0,+∞),都存在x 2∈R ,使得f (x 1)=g (x 2)成立,则实数a 的最大值为( ) A.2 B.94 C.4 D.92答案 B解析 设g (x )=ln(ax 2-3x +1)的值域为A ,因为f (x )=1-x +1在[0,+∞)上的值域为(-∞,0],所以(-∞,0]⊆A , 所以h (x )=ax 2-3x +1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h (0)=1,所以实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=9-4a ≥0,解得a ≤94.所以实数a 的最大值为94,故选B.13.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 的中点,AE 与BD 交于点M ,AB =2,AD =1,且MA →·MB →=-16,则AB →·AD →=________.答案 34解析 MA →·MB →=(MD →+DA →)·23DB →=⎝⎛⎭⎫13BD →+DA →·23DB →=⎝⎛⎭⎫13AD →-13AB →+DA →·⎝⎛⎭⎫23AB →-23AD → =⎝⎛⎭⎫-23AD →-13AB →·⎝⎛⎭⎫23AB →-23AD →=49AD →2-29AB →2-29AB →·AD →=-29AB →·AD →=-16, AB →·AD →=34.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位:万度)的一组数据:由散点图可知,用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y ^=-0.7x+a ^,则a ^=________. 答案 5.25解析 因为x =1+2+3+44=2.5,y =4.5+4+3+2.54=3.5,所以(2.5,3.5)在线性回归方程y ^=-0.7x +a ^上,即3.5=-0.7×2.5+a ^,a ^=5.25.15.(2017·河北衡水中学模拟)已知{}a n 为等差数列,S n 为其前n 项和,公差为d ,若S 2 0172 017-S 1717=100,则d 的值为________. 答案110解析 因为S nn =na 1+n (n -1)2dn =a 1+(n -1)2d ,所以S 2 0172 017-S 1717=a 1+2 017-12d -⎝⎛⎭⎫a 1+17-12d =1 000d =100,所以d =110.16.已知函数f (x )的定义域为R ,若存在常数k ,使|f (x )|≤k2 017|x |对所有实数都成立,则称函数f (x )为“期望函数”,给出下列函数:①f (x )=x 2;②f (x )=x e x ;③f (x )=x x 2-x +1;④f (x )=x e x +1.其中函数f (x )为“期望函数”的是________.(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④解析 ①假设函数f (x )=x 2为“期望函数”,则|f (x )|=|x 2|≤k2 017|x |,当x ≠0时,k ≥2 017|x |,因此不存在k ,因此假设错误,即函数f (x )=x 2不是“期望函数”;②假设函数f (x )=x e x 为“期望函数”,则|f (x )|=|x e x |≤k2 017|x |,当x ≠0时,k ≥2 017e x ,因此不存在k ,因此假设错误;③假设函数f (x )=xx 2-x +1为“期望函数”,|f (x )|=|x |⎝⎛⎭⎫x -122+34≤43|x |,当x ≠0时,对任意的k2 017≥43,都有|f (x )|≤k 2 017|x |成立,故正确;④假设函数f (x )=x e x +1为“期望函数”,|f (x )|=|x |e x+1≤k2 017|x |对所有实数都成立,故正确.故答案为③④.。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题:——考前回扣10套集合((含答案)62页

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题:——考前回扣10套集合((含答案)62页

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用) 总复习训练题:——考前回扣10集合(含答案)回扣1 函数的图象与性质1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围; ②若已知f (x )的定义域为[a ,b ],则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集;反之,已知f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为函数y =g (x )(x ∈[a ,b ])的值域. (2)常见函数的值域①一次函数y =kx +b (k ≠0)的值域为R ;②二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0):当a >0时,值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞,当a <0时,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a ;③反比例函数y =kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}. 2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称),都有f (-x )=-f (x )成立,则f (x )为奇函数(都有f (-x )=f (x )成立,则f (x )为偶函数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f (x ),如果对于定义域内的任意一个x 的值,若f (x +T )=f (x )(T ≠0),则f (x )是周期函数,T 是它的一个周期. 3.关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x +a )=f (x -a ),则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期; ②设f (x )是R 上的偶函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,2a 是它的一个周期;③设f (x )是R 上的奇函数,且图象关于直线x =a (a ≠0)对称,则f (x )是周期函数,4a 是它的一个周期. (2)函数图象的对称性①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ), 即f (x )=f (2a -x ),则f (x )的图象关于直线x =a 对称;②若函数y =f (x )满足f (a +x )=-f (a -x ), 即f (x )=-f (2a -x ),则f (x )的图象关于点(a,0)对称;③若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x ), 则函数f (x )的图象关于直线x =a +b2对称.4.函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式:设x 1,x 2∈[a ,b ], 那么(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②若函数f (x )和g (x )都是减函数,则在公共定义域内,f (x )+g (x )是减函数;若函数f (x )和g (x )都是增函数,则在公共定义域内,f (x )+g (x )是增函数;根据同增异减判断复合函数y =f (g (x ))的单调性. 5.函数图象的基本变换 (1)平移变换y =f (x )――――→h >0,右移h <0,左移y =f (x -h ), y =f (x )――――→k >0,上移k <0,下移y =f (x )+k . (2)伸缩变换y =f (x )――――→0<ω<1,伸ω>1,缩y =f (ωx ), y =f (x )――――→0<A <1,缩A >1,伸y =Af (x ). (3)对称变换y =f (x )――→x 轴y =-f (x ), y =f (x )――→y 轴y =f (-x ), y =f (x )――→原点y =-f (-x ).6.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点:y =a x(a >0,且a ≠1)恒过(0,1)点;y =log a x (a >0,且a ≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性:当a >1时,y =a x在R 上单调递增;y =log a x 在(0,+∞)上单调递增;当0<a <1时,y =a x在R 上单调递减;y =log a x 在(0,+∞)上单调递减. 7.函数与方程(1)零点定义:x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)=0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点. (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法:解方程f (x )=0;②零点定理法:根据连续函数y =f (x )满足f (a )f (b )<0,判断函数在区间(a ,b )内存在零点; ③数形结合法:尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解.1.解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则. 2.解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围.3.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“及”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.5.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y =a x(a >0,且a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论,忽视a x>0;对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件.6.易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.1.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +2,x ≤0,2x-4,x >0,则f (f (1))=________.答案 -2解析 f (f (1))=f (21-4)=f (-2)=2³(-2)+2=-2.2.函数f (x )=x 2-2ax +2在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围是________. 答案 [1,+∞)解析 函数f (x )=x 2-2ax +2=x 2-2ax +a 2-a 2+2=(x -a )2-a 2+2, ∵二次函数图象开口向上,对称轴为直线x =a ,且在区间(-∞,1]上递减, ∴a 的取值范围是[1,+∞).3.(2017²江苏南通天星湖中学质检)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (x -b ),x ≥0,ax (x +2),x <0(a ,b ∈R )为奇函数,则f (a +b )的值为________. 答案 -1解析 因为函数f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f (1),f (-2)=-f (2),即⎩⎪⎨⎪⎧a (-1+2)=1(1-b ),2a (-2+2)=2(2-b ),解得a =-1,b =2.经验证a =-1,b =2满足题设条件, 所以f (a +b )=f (1)=-1.4.(2017²江苏如东中学质检)设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞解析 由题意得a >2x -2x2对1<x <4恒成立,又2x -2x 2=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -122+12,14<1x <1, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2x 2max =12,∴a >12.5.已知函数f (x )=||x +2||x ,且满足f (a -1)<f (2),则实数a 的取值范围是________. 答案 (-1,3)解析 因为f (-x )=f (x ),所以函数f (x )是偶函数,当x ≥0时,f (x )=x +2x是单调增函数,故由偶函数的性质及f (a -1)<f (2)可得|a -1|<2,即-2<a -1<2, 即-1<a <3.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),且f (-1)=2,则f (2017)=________. 答案 -2解析 由题意得f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),所以函数是以4为周期的周期函数,所以f (2017)=f (1)=-f (-1)=-2.7.已知函数f (x )为奇函数,且在[0,2]上单调递增,若f (log 2m )<f (log 4(m +2))成立,则实数m 的取值范围是________________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,2 解析 因为函数f (x )是奇函数,且在[0,2]上单调递增,所以函数f (x )在[-2,2]上单调递增.故由f (log 2m )<f (log 4(m +2)),可得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤log 2m ≤2,-2≤log 4(m +2)≤2,log 2m <log 4(m +2),m >0,m +2>0,故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4,116≤m +2≤16,m 2<m +2,m >0,m +2>0,解得14≤m <2.综上可知,m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,2. 8.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x -2)=f (x +2),且当x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +15,则f (log 220)=__________.答案 -1解析 由f (x -2)=f (x +2)⇒f (x )=f (x +4), 因为4<log 220<5,所以0<log 220-4<1, -1<4-log 220<0.又因为f (-x )=-f (x ),所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245=-1.9.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7单调递增,则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫94,3解析 因为函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(3-a )x -3,x ≤7,a x -6,x >7单调递增,所以1<a <3.又由题意得7(3-a )-3<a ,解得a >94,所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫94,3.10.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x |,x ≤2,(x -2)2,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为__________. 答案 2解析 当x >2时,g (x )=x -1,f (x )=(x -2)2; 当0≤x ≤2时,g (x )=3-x ,f (x )=2-x ; 当x <0时,g (x )=3-x 2,f (x )=2+x .由于函数y =f (x )-g (x )的零点个数就是方程f (x )-g (x )=0的根的个数.当x >2时,方程f (x )-g (x )=0可化为x 2-5x +5=0,其根为x =5+52或x =5-52(舍去);当0≤x ≤2时,方程f (x )-g (x )=0可化为2-x =3-x ,无解;当x <0时,方程f (x )-g (x )=0可化为x 2+x -1=0,其根为x =-1-52或x =-1+52(舍去).所以函数y =f (x )-g (x )的零点个数为2.11.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-6x +6,x ≥0,3x +4,x <0,若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),则x 1+x 2+x 3的取值范围是____________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫113,6 解析 由题意可得函数f (x )的图象如图所示,若存在互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=k ,则k ∈(-3,4),不妨令x 1<x 2<x 3,则x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-73,0,x 2+x 3=6,故x 1+x 2+x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113,6.12.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=2f (x )-2,当x ∈(0,2]时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x ,x ∈(0,1),1x,x ∈[1,2],若当x ∈(0,4]时,t 2-7t 2≤f (x )≤3-t 恒成立,则实数t 的取值范围是______________. 答案 [1,2]解析 当x ∈(0,1)时,f (x )=x 2-x ,函数无最大值,最小值为-14;当x ∈[1,2]时,f (x )=1x ,函数最大值为1,最小值为12;当x ∈(2,3)时,f (x )=2f (x -2)-2=2x 2-10x +10,函数值满足-52≤f (x )<-2;当x ∈[3,4]时,f (x )=2f (x -2)-2=2x -2-2,函数值满足-1≤f (x )≤0.综上,当x ∈(0,4]时,函数f (x )的最小值为-52,最大值为1.由t 2-7t 2≤f (x )≤3-t 恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧t 2-7t 2≤-52,3-t ≥1,∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52,t ≤2,∴1≤t ≤2.回扣2 导数1.导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y -f(x0)=f′(x0)²(x-x0).(2)切点的两大特征:①在曲线y=f(x)上;②在切线上.2.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域;②求导函数f′(x);③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间,由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f′(x)≤0(x∈M)恒成立;②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集;③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.3.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域;②解方程f′(x)=0;③判断f′(x)在方程f′(x)=0的根x0两侧的符号变化:若左正右负,则x0为极大值点;若左负右正,则x0为极小值点;若不变号,则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.已知可导函数f (x )在(a ,b )上单调递增(减),则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ,b )恒成立,不能漏掉“=”,且需验证“=”不能恒成立;已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ,b ),则f ′(x )>0(<0)的解集为(a ,b ).2.f ′(x )=0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x =x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化,若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.1.曲线y =f (x )=xx 2+1在点(1,f (1))处的切线方程是____________.答案 y =12解析 ∵f (x )=xx 2+1的导数f ′(x )=1-x2(1+x 2)2,∴曲线在点(1,f (1))处的切线斜率k =0,∵切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12, ∴曲线在点(1,f (1))处的切线方程为y =12.2.(2016²四川)已知a 为函数f (x )=x 3-12x 的极小值点,则a =__________. 答案 2解析 ∵f (x )=x 3-12x ,∴f ′(x )=3x 2-12, 令f ′(x )=0,则x 1=-2,x 2=2.当x ∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(-2,2)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减, ∴f (x )的极小值点为a =2.3.f (x )=x 2+3xf ′(2),则1+f ′(1)=________. 答案 -3解析 由f (x )=x 2+3xf ′(2),求导可得f ′(x )=2x +3f ′(2),f ′(2)=4+3f ′(2),f ′(2)=-2,则f ′(x )=2x -6,f ′(1)=2-6=-4,所以1+f ′(1)=-3.4.设曲线f (x )=-e x-x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1,总存在曲线g (x )=3ax +2cos x 上某点处的切线l 2,使得l 1⊥l 2,则实数a 的取值范围为____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,23解析 由f (x )=-e x -x ,得f ′(x )=-e x-1, 因为e x+1>1,所以1e x +1∈(0,1),由g (x )=3ax +2cos x ,得g ′(x )=3a -2sin x , 又-2sin x ∈[-2,2],所以3a -2sin x ∈[-2+3a,2+3a ],要使过曲线f (x )=-e x-x 上任意一点的切线l 1, 总存在过曲线g (x )=3ax +2cos x 上一点处的切线l 2,使得l 1⊥l 2,则⎩⎪⎨⎪⎧-2+3a ≤0,2+3a ≥1,解得-13≤a ≤23.5.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极小值10,则a +b 的值为________. 答案 -7解析 ∵f ′(x )=3x 2+2ax +b ,由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)=3+2a +b =0,f (1)=1+a +b +a 2=10,解得a =4,b =-11或a =-3,b =3, 经验证,a =4,b =-11符合题意, 故a +b =-7.6.若函数f (x )=x 2-12ln x +1在其定义域内的一个子区间(k -1,k +1)内不是单调函数,则实数k 的取值范围是______________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32 解析 因为f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2x -12x ,由f ′(x )=0,得x =12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k -1<12<k +1,k -1≥0,解得1≤k <32.7.已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数,其导函数为f ′(x ),当x >0时,有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2018)2f (x +2018)+4f (-2)<0的解集为____________. 答案 (-∞,-2016)解析 由题观察联想可设g (x )=x 2f (x ),g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),结合条件x >0,2f (x )+xf ′(x )>x 2,得g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )>0,g (x )=x 2f (x )在(0,+∞)上为增函数.又f (x )为R 上的奇函数,所以g (x )为奇函数,所以g (x )在(-∞,0)上为增函数. 由(x +2018)2f (x +2018)+4f (-2)<0, 可得(x +2018)2f (x +2018)<4f (2), 即g (x +2018)<g (2),所以x +2018<2,故x <-2016. 8.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x -1,x <1,ln xx 2,x ≥1,则函数y =|f (x )|-18的零点个数为________.答案 4解析 当x <1时,f (x )=12x -1单调递减,且f (x )>-12;当x ≥1时,f (x )=ln xx 2,则f ′(x )=1-2ln xx3,令f ′(x )=0,得x =e ,当∈[1,e)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )max =f (e)=12e >18,且f (x )≥0,当x 趋近于+∞时,f (x )趋近于0.作出函数y =|f (x )|的大致图象如图所示,由图可知,函数y =|f (x )|-18的零点个数为4.9.已知函数f (x )=x +1ex(e 为自然对数的底数).(1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+1e x ,存在实数x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立,求实数t 的取值范围.解 (1)∵函数的定义域为R ,f ′(x )=-xe x ,∴当x <0时,f ′(x )>0,当x >0时,f ′(x )<0, ∴f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. ∴f (x )的单调增区间为(-∞,0), 单调减区间为(0,+∞).(2)存在x 1,x 2∈[0,1],使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立, 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max . ∵φ(x )=xf (x )+tf ′(x )+e -x=x 2+(1-t )x +1ex,∴φ′(x )=-x 2+(1+t )x -t e x =-(x -t )(x -1)e x. ①当t ≥1时,φ′(x )≤0,φ(x )在[0,1]上单调递减, ∴2φ(1)<φ(0),即t >3-e2>1;②当t ≤0时,φ′(x )≥0,φ(x )在[0,1]上单调递增, ∴2φ(0)<φ(1),即t <3-2e <0;③当0<t <1时,若x ∈[0,t ),φ′(x )<0,φ(x )在[0,t )上单调递减, 若x ∈(t,1],φ′(x )≥0,φ(x )在(t,1]上单调递增, ∴2φ(t )<max{φ(0),φ(1)}, 即2t +1e t<max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,3-t e .(*) 由(1)知,g (t )=2²t +1et在[0,1]上单调递减,故4e ≤2t +1e t ≤2,而2e ≤3-t e ≤3e , ∴不等式(*)无解.综上所述,存在t ∈(-∞,3-2e)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3-e 2,+∞,使得命题成立.10.(2017²山东)已知函数f (x )=13x 3-12ax 2,a ∈R .(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点(3,f (3))处的切线方程;(2)设函数g (x )=f (x )+(x -a )cos x -sin x ,讨论g (x )的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解 (1)由题意f ′(x )=x 2-ax ,所以当a =2时,f (3)=0,f ′(x )=x 2-2x , 所以f ′(3)=3,因此曲线y =f (x )在点(3,f (3))处的切线方程是y =3(x -3),即3x -y -9=0.(2)因为g (x )=f (x )+(x -a )cos x -sin x ,所以g ′(x )=f ′(x )+cos x -(x -a )sin x -cos x =x (x -a )-(x -a )sin x =(x -a )(x -sin x ). 令h (x )=x -sin x , 则h ′(x )=1-cos x ≥0, 所以h (x )在R 上单调递增.因为h (0)=0,所以当x >0时,h (x )>0; 当x <0时,h (x )<0.①当a <0时,g ′(x )=(x -a )(x -sin x ),当x ∈(-∞,a )时,x -a <0,g ′(x )>0,g (x )单调递增; 当x ∈(a,0)时,x -a >0,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,x -a >0,g ′(x )>0,g (x )单调递增. 所以当x =a 时,g (x )取到极大值, 极大值是g (a )=-16a 3-sin a ;当x =0时,g (x )取到极小值,极小值是g (0)=-a . ②当a =0时,g ′(x )=x (x -sin x ),当x ∈(-∞,+∞)时,g ′(x )≥0,g (x )单调递增;所以g (x )在(-∞,+∞)上单调递增,g (x )无极大值也无极小值; ③当a >0时,g ′(x )=(x -a )(x -sin x ),当x ∈(-∞,0)时,x -a <0,g ′(x )>0,g (x )单调递增; 当x ∈(0,a )时,x -a <0,g ′(x )<0,g (x )单调递减; 当x ∈(a ,+∞)时,x -a >0,g ′(x )>0,g (x )单调递增. 所以当x =0时,g (x )取到极大值, 极大值是g (0)=-a ; 当x =a 时,g (x )取到极小值, 极小值是g (a )=-16a 3-sin a .综上所述,当a <0时,函数g (x )在(-∞,a )和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g (a )=-16a 3-sin a ,极小值是g (0)=-a ;当a =0时,函数g (x )在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a >0时,函数g (x )在(-∞,0)和(a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g (0)=-a ,极小值是g (a )=-16a 3-sin a .回扣3 三角函数与平面向量1.准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α,k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀:奇变偶不变,符号看象限.2.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan45°等. (2)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (3)弦、切互化:一般是切化弦.(4)灵活运用辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ=ba.3.三种三角函数的性质4.函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z =ωx +φ,令z =0,π2,π,3π2,2π,求出相应的x 的值与y 的值,描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换y =sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y =sin(x +φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y =sin(ωx +φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y =A sin(ωx +φ). 5.正弦定理及其变形asin A=b sin B =csin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径).变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R.a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C .6.余弦定理及其推论、变形a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C .推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 22ab.变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C .7.面积公式S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =12ab sin C .8.平面向量的数量积(1)若a ,b 为非零向量,夹角为θ,则a²b =|a||b |cos θ. (2)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a²b =x 1x 2+y 1y 2. 9.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b ⇔a²b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 10.利用数量积求长度(1)若a =(x ,y ),则|a |=a²a =x 2+y 2. (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.11.利用数量积求夹角若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角, 则cos θ=a²b |a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21 x 22+y 22. 12.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|=|OB →|=|OC →|=a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →+OB →+OC →=0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →²OB →=OB →²OC →=OC →²OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →+bOB →+cOC →=0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号. 2.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )=A sin(ωx +φ)的单调区间时,要注意A 与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中,注意由y =sin ωx 的图象变换得y =sin(ωx +φ)时,平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω,而不是φ. 5.在已知两边和其中一边的对角时,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解. 6.要特别注意零向量带来的问题:0的模是0,方向任意,并不是没有方向;0与任意非零向量平行.7.a²b >0是〈a ,b 〉为锐角的必要不充分条件;a²b <0是〈a ,b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°-sin30°的值=________. 答案32解析2sin45°cos15°-sin30°=2sin45°cos15°-sin(45°-15°)=2sin45°cos15°-(sin45°cos15°-cos45°sin15°)=sin45°cos15°+2.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是________. 答案 2解析 由题意得tan(18°+27°)=tan18°+tan27°1-tan18°tan27°,即tan18°+tan27°1-tan18°tan27°=1, 所以tan18°+tan27°=1-tan18°tan27°,所以(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=2.3.(2017²江苏泰州中学期中)向量a =(cos10°,sin10°),b =(cos70°,sin70°),|a -2b |=________. 答案3解析 a ²b =cos70°cos10°+sin70°sin10°=cos60°=12,|a |=|b |=1,所以|a -2b |=a 2+4b 2-4a ²b =1+4-2= 3.4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是________. 答案332解析 c 2=(a -b )2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab +6,① ∵C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,②由①和②得ab =6,∴S △ABC =12ab sin C =12³6³32=332.5.已知两点A (1,0),B (1,1),O 为坐标原点,点C 在第二象限,且∠AOC =135°,设OC →=-OA →+λOB →(λ∈R ),则λ的值为__________. 答案 12解析 由∠AOC =135°知,点C 在射线y =-x (x <0)上,设点C 的坐标为(a ,-a ),a <0,则有(a ,-a )=(-1+λ,λ),得a =-1+λ,-a =λ,消去a 得λ=12.6.已知a ,b 为同一平面内的两个向量,且a =(1,2),|b |=12|a |,若a +2b 与2a -b 垂直,则a 与b 的夹角为________.答案 π解析 |b |=12|a |=52,而(a +2b )²(2a -b )=0,即2a 2-2b 2+3a²b =0,所以a²b =-52,从而cos 〈a ,b 〉=a²b|a||b |=-1,所以〈a ,b 〉=π.7.已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象的对称中心完全相同,若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,则f (x )的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知,两函数的周期相同,故ω=2, 所以f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6, 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-π6≤2x -π6≤5π6, 所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6≤1,故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3.8.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →²AF →的最小值为__________.答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →(λ>0),∴AE →²AF →=(AB →+λBC →)²⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →+19λDC →=AB →²AD →+AB →²19λDC→+λBC →²AD →+λBC →²19λDC →=2³1³cos60°+2³1³19λ+λ³1³1³cos60°+λ³19λ³1³1³cos120°=29λ+λ2+1718≥229λ²λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,32,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32. 又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12λ,32λ,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+19λ,32,λ>0,仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →²AF →的最小值为2918.9.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3-3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间;(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3时,试求f (x )的最值,并写出取得最值时自变量x 的值.解 (1)由题意知,f (x )=-sin2x +3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2π3, 所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π.当-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π(k ∈Z )时,f (x )单调递增,解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12+k π,-π12+k π(k ∈Z ), 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-7π12+k π,-π12+k π(k ∈Z ). (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3,所以π3≤2x +2π3≤4π3,当2x +2π3=π2,即x =-π12时,f (x )取得最大值2,当2x +2π3=4π3,即x =π3时,f (x )取得最小值- 3.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos C +(cos A -3sin A )cos B =0.(1)求角B 的大小;(2)若a =2,b =7,求△ABC 的面积. 解 (1)由已知得-cos(A +B )+cos A cos B -3sin A cos B =0, 即sin A sin B -3sin A cos B =0, 因为sin A ≠0,又0<B <π,所以B =π3.(2)因为sin B =32,cos B =12, 所以a sin A =b sin B =732=2213,又a =2, 所以sin A =321=217, 因为a <b , 所以cos A =277.所以sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =32114,所以S =12ab sin C =332.回扣4 数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n+1-a n=d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列.②通项公式法a n=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.③中项公式法2a n+1=a n+a n+2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列.④前n项和公式法S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n+1=q (q是不为0的常数,n∈N*)⇔{a n}是等比数列.a n②通项公式法a n =cq n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.③中项公式法a 2n +1=a n ²a n +2(a n ²a n +1²a n +2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.(2)形如{a n ²b n }(其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列)的数列,利用错位相减法求和. (3)通项公式形如a n =c(an +b 1)(an +b 2)(其中a ,b 1,b 2,c 为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n =(-1)n²n 或a n =a ²(-1)n(其中a 为常数,n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成c n =a n +b n 形式的数列求和问题的方法,其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S n .1.已知数列的前n 项和求a n ,易忽视n =1的情形,直接用S n -S n -1表示.事实上,当n =1时,a 1=S 1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1.2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a ,b 的等比中项是±ab .3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =n +12n +3,求a nb n时,无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n 项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q =1和q ≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等, 如1n (n +2)≠1n -1n +2,而是1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.8.通项中含有(-1)n的数列求和时,要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式.1.在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________. 答案 20解析 设公差为d ,则a 3+a 8=2a 1+9d =10,3a 5+a 7=3(a 1+4d )+(a 1+6d )=4a 1+18d =2³10=20.2.(2017²南京、盐城一模)设{a n }是等差数列,若a 4+a 5+a 6=21,则S 9=____________. 答案 63解析 ∵a 4+a 5+a 6=21,∴3a 5=21,可得a 5=7, ∴S 9=9³(a 1+a 9)2=9³(2a 5)2=9a 5=63.3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n 的通项公式为________. 答案 2n +1解析 a n +1=S n +1-S n =2a n +1-4-(2a n -4)⇒a n +1=2a n ,再令n =1,∴S 1=2a 1-4,解得a 1=4,∴数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,∴a n =4²2n -1=2n +1.4.(2017²南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 9=-36,S 13=-104,则a 5与a 7的等比中项为__________. 答案 ±4 2解析 由S 9=-36,S 13=-104,可解得a 1=4,d =-2,所以a 5=-4,a 7=-8. 设a 5与a 7的等比中项为x ,则x 2=a 5a 7=32, 所以x =±4 2.5.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5, ∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5, ∴a 10a 11=e 5,∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20) =ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=lne 50=50.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=52,且a 2+a 4=54,则S nan =________.答案 2n-1解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1+q 2)=52,a 1q (1+q 2)=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =12,∴S n a n =a 1(1-q n )1-q a 1q n -1=2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-122³⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=2n-1. 7.若数列{a n }满足a 2-a 1>a 3-a 2>a 4-a 3>…>a n +1-a n >…,则称数列{a n }为“差递减”数列.若数列{a n }是“差递减”数列,且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n =3a n +2λ-1()n ∈N *,则实数λ的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞解析 当n =1时,2a 1=3a 1+2λ-1,a 1=1-2λ,当n >1时,2S n -1=3a n -1+2λ-1,所以2a n =3a n -3a n -1,a n =3a n -1,所以a n =()1-2λ3n -1,a n -a n -1=()1-2λ3n -1-()1-2λ3n -2=()2-4λ3n -2,依题意()2-4λ3n -2是一个减数列,所以2-4λ<0,λ>12.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 是数列{a n }前n 项的和,则2S n +16a n +3(n ∈N *)的最小值为________.答案 4解析 据题意由a 1,a 3,a 13成等比数列,可得(1+2d )2=1+12d ,解得d =2,故a n =2n -1,S n =n 2,因此2S n +16a n +3=2n 2+162n +2=n 2+8n +1=(n +1)2-2(n +1)+9n +1=(n +1)+9n +1-2,据基本不等式知2S n +16a n +3=(n +1)+9n +1-2≥2(n +1)³9n +1-2=4,当n =2时取得最小值4. 9.已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0. (1)令c n =a n b n,求数列{c n }的通项公式; (2)在(1)的条件下,若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即c n +1-c n =2.所以数列{}c n 是首项c 1=1,公差d =2的等差数列,故c n =2n -1. (2)由b n =3n -1知,a n =c n b n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1³30+3³31+5³32+…+(2n -1)³3n -1,3S n =1³31+3³32+…+(2n -3)³3n -1+(2n -1)³3n,两式相减得-2S n =1+2³(31+32+…+3n -1)-(2n -1)³3n =-2-(2n -2)3n,所以S n =(n -1)3n+1.10.(2017²江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=6+b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =1a n -1b n(n ∈N *),记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ;(ii)求正整数k ,使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n =(2)b n (n ∈N *),①当n ≥2,n ∈N *时,a 1a 2a 3…a n -1=1n b-,②由①②知a n =1nn b b --,令n =3,则有a 3=32b b -.∵b 3=6+b 2, ∴a 3=8.∵{a n }为等比数列,且a 1=2,设{a n }的公比为q , ∴则q 2=a 3a 1=4,由题意知a n >0,∴q >0,∴q =2. ∴a n =2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n =n b(n ∈N *),得21³22³23…³2n =n b,即(1)22,n n n b +=∴b n =n (n +1)(n ∈N *). (2)(i)∵c n =1a n -1b n =12n -1n (n +1)=12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴S n =c 1+c 2+c 3+…+c n=12-⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+122-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =12+122+…+12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1 =1-12n -1+1n +1=1n +1-12n . (ii)∵c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0,当n ≥5时,c n =1n (n +1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n +1)2n-1, 而n (n +1)2n-(n +1)(n +2)2n +1=(n +1)(n -2)2n +1>0,得n (n +1)2n≤5³(5+1)25<1,∴当n ≥5时,c n <0.综上,对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ,故k =4.回扣5 不等式1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化为正数);二判(判断Δ的符号);三解(解对应的一元二次方程);四写(大于取两边,小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:①二次项系数,它决定二次函数的开口方向;②判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况;③在有根的条件下,要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0.(2)ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0); f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0),g (x )≠0.4.基本不等式 (1)a +b2≥ab (a ,b ∈(0,+∞)),当且仅当a =b 时取等号.(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 5.线性规划(1)可行域的确定,“线定界,点定域”.(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数,不讨论这个数的正负,从而出错. 2.解形如一元二次不等式ax 2+bx +c >0时,易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解,要注意分a >0,a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形,不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )²g (x )≤0,而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”导致错解,如求函数f (x )=x 2+2+1x 2+2的最值,就不能利用基本不等式求最值;求解函数y =x +3x(x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中y 的系数的正负;注意最优整数解.6.求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解,如y -2x +2是指已知区域内的点(x ,y )与点(-2,2)连线的斜率,而(x -1)2+(y -1)2是指已知区域内的点(x ,y )到点(1,1)的距离的平方等.1.(2017²泰州二中调研)函数y =3-2x -x 2的定义域是________. 答案 [-3,1]解析 由3-2x -x 2≥0,得x 2+2x -3≤0, 解得x ∈[-3,1].2.若不等式2kx 2+kx -38≥0的解集为空集,则实数k 的取值范围是____________.答案 (-3,0]解析 由题意可知,2kx 2+kx -38<0恒成立,当k =0时成立,当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0,Δ<0,代入求得-3<k <0,所以实数k 的取值范围是(-3,0].3.二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12,则关于x 的不等式cx 2-bx +a >0的解集为________. 答案 {x |-3<x <-2}解析 由已知,-b a =56,c a =16,且a <0,则b =-56a ,c =16a ,故不等式cx 2-bx +a >0可化为x 2+5x +6<0,解得-3<x <-2.4.(2016²上海)若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥0,y ≥x +1,则x -2y 的最大值为________.答案 -2解析 令z =x -2y ,则y =12x -z2.当在y 轴上截距最小时,z 最大.即过点(0,1)时,z 取最大值,z =0-2³1=-2.5.要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m 2,侧面造价是10元/m 2,则该容器的最低总造价是________元. 答案 160解析 由题意知,体积V =4m 3,高h =1m ,所以底面积S =4m 2,设底面矩形的一条边长是x m ,则另一条边长是4xm ,又设总造价是y 元,则y =20³4+10³⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +8x ≥80+202x ²8x =160,当且仅当2x =8x,即x =2时取得等号.6.(2017²江苏南京高淳区质检)设P 是函数y =x (x +1)图象上异于原点的动点,且该图象的点P 处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3,π2解析 因为y ′=12x(x +1)+x =3x +12x =32x +12x(x >0)≥23x 2²12x=3,当且仅当x =13时取等,所以k =tan θ≥3,又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3,π2.7.若不等式tt 2+9≤a ≤t +2t2在t ∈(0,2]上恒成立,则a 的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤213,1 解析 ∵tt 2+9=1t +9t ,而t +9t 在区间(0,2]上单调递减,∴t +9t ≥2+92=132,t t 2+9=1t +9t≤213(当且仅当t =2时等号成立),又t +2t 2=1t +2t 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t +142-18, ∵1t ≥12,∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t +142-18≥1(当且仅当t =2时等号成立),故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤213,1. 8.若a ,b 均为非负实数,且a +b =1,则1a +2b +42a +b的最小值为________. 答案 3解析 方法一 令a +2b =s,2a +b =t ,则1a +2b +42a +b =1s +4t.由题意知,s ≥0,t ≥0,且s +t =3(a +b )=3,所以1s +4t =s +t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s +4t =13⎝ ⎛⎭⎪⎫5+t s +4s t ≥13³9=3,当且仅当s =1,t=2时等号成立.所以1a +2b +42a +b的最小值为3.方法二 因为a +b =1,所以1a +2b +42a +b =11+b +41+a, 令1+b =s ,a +1=t ,则11+b +41+a =1s +4t ,由题意知,s ≥1,t ≥1,且s +t =3,所以1s +4t =s +t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1s +4t =13⎝ ⎛⎭⎪⎫5+t s +4s t ≥13³9=3,当且仅当s =1,t =2时等号成立.所以1a +2b +42a +b的最小值为3. 9.解关于x 的不等式x 2+ax -2x -1≤x +1.解 原不等式可化为x 2+ax -2x -1-(x +1)≤0,即ax -1x -1≤0, 当a =0时,有-1x -1≤0,所以x >1, 当a ≠0时,①当a <0时,有x -1ax -1≥0,且1a <1,所以x ≤1a或x >1; ②当0<a <1时,有x -1a x -1≤0,且1a >1,所以1<x ≤1a;③当a =1时,有x -1x -1≤0,所以x ∈∅, ④当a >1时,有x -1ax -1≤0,且1a <1,所以1a≤x <1, 综上,当a <0时,原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,1a ∪(1,+∞),当a =0时,原不等式的解集为(1,+∞),当0<a <1时,原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤1,1a ,当a =1时,原不等式的解集为∅, 当a >1时,原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ,1.10.(2017²江苏苏州期中)如图,有一块平行四边形绿地ABCD ,经测量BC =2百米,CD =1百米,∠BCD =120°,拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上,不计路的宽度),将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分,分别种植不同的花卉,设EC。

2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档:压轴小题突破练3 含解析 精品

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3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图,则其体积为( )A.2π3+4B.2π+43C.π3+4D.π+43 答案 D解析 由三视图可知,该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面,顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示),且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得,半圆柱所在圆柱的底面半径r =1,高h =2,故其体积V 1=12πr 2h =12π×12×2=π;四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形,PO ⊥底面ABCD ,且PO =r =1. 故其体积V 2=13S 正方形ABCD ×PO =13×22×1=43.故该几何体的体积V =V 1+V 2=π+43.2.如图,正四面体D -ABC 的顶点A ,B ,C 分别在两两垂直的三条射线Ox ,Oy ,Oz 上,则在下列命题中,错误的是( )A.O-ABC是正三棱锥B.直线OB与平面ACD相交C.直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为3 2D.异面直线AB和CD所成的角是90°答案 C解析①如图ABCD为正四面体,∴△ABC为等边三角形,又∵OA,OB,OC两两垂直,∴OA⊥平面OBC,∴OA⊥BC.过O作底面ABC的垂线,垂足为N,连接AN交BC于M,可知BC⊥AM,∴M为BC的中点,同理可证,连接CN交AB于P,则P为AB的中点,∴N为底面△ABC的中心,∴O-ABC是正三棱锥,故A正确;②将正四面体ABCD放入正方体中,如图所示,显然OB与平面ACD不平行,则B正确;③由图可知:直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为63,则C错误;④异面直线AB和CD所成角是90°,故D正确.3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E为CD的中点,F为线段CE(端点除外)上一动点.现将△DAF沿AF折起,使得平面ABD⊥平面ABC.设直线FD与平面ABCF所成角为θ,则sin θ的最大值为()A.13B.24C.12D.23 答案 C解析 如图,在矩形ABCD 中,过点D 作AF 的垂线交AF 于点O ,交AB 于点M .设CF =x (0<x <1),AM =t ,由△DAM ∽△FDA ,得AM AD =AD DF ,即有t =12-x ,由0<x <1,得12<t <1.在翻折后的几何体中, ∵AF ⊥OD ,AF ⊥OM ,∴AF ⊥平面ODM ,从而平面ODM ⊥平面ABC , 又平面ABD ⊥平面ABC ,则DM ⊥平面ABC ,连接MF , 则∠MFD 是直线FD 与平面ABCF 所成角,即∠MFD =θ, 而DM =1-t 2,DF =2-x =1t ,则sin θ=DMDF=t 1-t 2=-t 4+t 2,由于14<t 2<1,则当t 2=12时,sin θ取到最大值,其最大值为12.4.(2017届广东阶段测评)如图,平面四边形ABCD 中,AB =AD =CD =1,BD =2,BD ⊥CD ,将其沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ,使平面A ′BD ⊥平面BCD ,若四面体A ′-BCD 的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πB.32πC.4πD.34π 答案 A解析 由图示可得BD =A ′C =2,BC =3,△DBC 与△A ′BC 都是以BC 为斜边的直角三角形,由此可得BC 中点到四个点A ′,B ,C ,D 的距离相等,即该三棱锥的外接球的直径为3,所以该外接球的表面积S =4π×⎝⎛⎭⎫322=3π.5.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB =AC ,侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB 1A 1的面积为( )A.2B.1C. 2D.22答案 C解析 ∵球心在面BCC 1B 1的中心O 上,BC 为截面圆的直径, ∴∠BAC =90°,底面外接圆圆心N 位于BC 的中点处, △A 1B 1C 1外心M 在B 1C 1中点上,设正方形BCC 1B 1的边长为x ,在Rt △OMC 1中,OM =x 2,MC 1=x2,OC 1=R =1,∴⎝⎛⎭⎫x 22+⎝⎛⎭⎫x 22=1,即x =2,则AB =AC =1, ∴11ABB A S 矩形=2×1= 2.6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 是BC 的中点,点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点,且满足∠APD =∠MPC ,则三棱锥P -BCD 体积的最大值是( )A.36B.123C.24D.18 3 答案 B解析 ∵AD ⊥底面D 1DCC 1,∴AD ⊥DP , 同理BC ⊥平面D 1DCC 1,则 BC ⊥CP ,∠APD =∠MPC , ∴△P AD ∽△PMC , ∵AD =2MC ,∴PD =2PC ,下面研究点P 在面ABCD 内的轨迹(立体几何平面化),在平面直角坐标系内设D (0,0),C (6,0),C 1(6,6), 设P (x ,y ),∵PD =2PC ,∴x 2+y 2=2(x -6)2+y 2,化简得(x -8)2+y 2=16(0≤x ≤6),该圆与CC 1的交点的纵坐标最大,交点坐标(6,23),三棱锥P -BCD 的底面BCD 的面积为18,要使三棱锥P -BCD 的体积最大,只需高最大,当P 点坐标为(6,23)时,CP =23,棱锥的高最大,此时三棱锥P -BCD 的体积V =13×18×23=123,故选B.7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上取一点P ,以A 为球心,AP 为半径作一个球,设AP =x ,记该球面与正方体表面的交线的长度和为f (x ),则函数f (x )的图象最有可能的是( )答案 A解析 球面与正方体的表面都相交,我们考虑三种特殊情形:①当x =1时;②当x =12时;③当x =2时.①当x =1时,以A 为球心,1为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线弧长为3×14×2π×1=3π2,且为函数f (x )的最大值; ②当x =12时,以A 为球心,12为半径作一个球,根据图形的相似,该球面与正方体表面的交线弧长为(1)中的一半;③当x =2时,以A 为球心,2为半径作一个球,该球面与正方体表面的交线弧长为3×16×2π×2=2π<3π2, 对照选项可得A 正确.8.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =2,∠ASC =∠BSC =45°,则棱锥S -ABC 的体积为( )A.33 B.233 C.433 D.533答案 C解析 由条件知直径SC 所对的圆周角∠SBC =∠SAC =90°,由已知∠ASC =∠BSC =45°, ∴△SBC 与△SAC 是全等的等腰三角形, 设球的球心为点O ,∴BO ⊥SC ,AO ⊥SC ,即SC ⊥平面AOB ,由条件OA =OB =2,则△OAB 为等边三角形, ∴V S -ABC =13S △OAB ·SC =13⎝⎛⎭⎫12×22×sin 60°×4=433. 9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球O 的体积为32π3,其中BB 1=2,则三棱锥O -ABC 的体积的最大值为( ) A.1 B.3 C.2 D.4 答案 A解析 由题意设外接球的半径为R ,则由题设可得43πR 3=323π,由此可得R =2,记长方体的三条棱长分别为x ,y ,2, 则2R =x 2+y 2+4,由此可得x 2+y 2=12, 三棱锥O -ABC 的体积V =16xy ×1=16xy ≤16×x 2+y 22=1,当且仅当x =y =6时“=”成立.故选A. 10.(2017·浙江温州中学模拟)已知四边形ABCD ,AB =BD =DA =2,BC =CD = 2.现将△ABD 沿BD 折起,当二面角A -BD -C 处于⎣⎡⎦⎤π6,5π6过程中,直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤-528,28 B.⎣⎡⎦⎤28,528C.⎣⎡⎦⎤0,28 D.⎣⎡⎦⎤0,528答案 D解析 如图所示,取BD 的中点E ,连接AE ,CE ,∴∠AEC 即为二面角A -BD -C 的平面角,而AC 2=AE 2+CE 2-2AE ·CE ·cos ∠AEC =4-23cos ∠AEC ,∠AEC ∈⎣⎡⎦⎤π6,5π6, ∴AC ∈[1,7],∴AB →·CD →=22cos 〈AB →,CD →〉=AB →·(BD →-BC →) =-2+AB ·BC ·AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =1-AC 22∈⎣⎡⎦⎤-52,12,设异面直线AB ,CD 所成的角为θ, ∴0≤cos θ≤122·52=528,故选D.11.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为1,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______________. 答案13π3解析 根据题意可知,三棱锥B -ACD 的三条侧棱BD ⊥AD ,DC ⊥DA ,底面是正三角形,它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球.正三棱柱中,底面边长为1,高为 3.由题意可得三棱柱上下底面中心连线的中点到三棱柱顶点的距离相等,说明该中点就是外接球的球心,∴正三棱柱AD ′C ′-BDC 的外接球的球心为O ,外接球的半径为r .球心到底面的距离为32,则球的半径满足r 2=⎝⎛⎭⎫23×322+⎝⎛⎭⎫322=1312,∴外接球的表面积为4πr 2=13π3. 12.如图所示,正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ′,CC ′的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ′,DD ′分别交于M ,N 两点,设BM =x ,x ∈[0,1],给出以下四个结论:①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′; ②直线AC ∥平面MENF 始终成立;③四边形MENF 周长L =f (x ),x ∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥C ′-MENF 的体积V =h (x )为常数. 以上结论正确的是______________. 答案 ①②④解析 ①因为EF ⊥BB ′,EF ⊥BD ,BB ′∩BD =B ,所以EF ⊥平面BDD ′B ′,所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′成立;②因为AC ∥EF ,所以直线AC ∥平面MENF 始终成立; ③因为MF =⎝⎛⎭⎫12-x 2+1, f (x )=4⎝⎛⎭⎫x -122+1,所以f (x )在[0,1]上不是单调函数; ④V C ′-MENF =V F -MC ′E +V F -C ′NE =13·14+13·14=16,故h (x )为常数.13.在三棱锥P -ABC 中,P A ,PB ,PC 两两垂直,且P A =3,PB =2,PC =1,设M 是底面△ABC 内一点,定义f (M )=(m ,n ,p ),其中m ,n ,p 分别是三棱锥M -P AB ,三棱锥M -PBC ,三棱锥M -PCA 的体积,若f (M )=⎝⎛⎭⎫12,x ,y ,且1x +ay ≥8,则正实数a 的最小值为____________. 答案 1解析 依题意,12+x +y =13×12×3×2×1=1,即x +y =12,∴1x +ay =2⎝⎛⎭⎫1x +a y (x +y )=2⎝⎛⎭⎫1+a +y x +ax y ≥2(1+a +2a )=2(a +1)2, 由题设2(a +1)2≥8,解得a ≥1, 故正实数a 的最小值为1.14.(2017·江西南阳一中月考)如图,∠ACB =90°,DA ⊥平面ABC ,AE ⊥DB 交DB 于E ,AF ⊥DC 交DC 于F ,且AD =AB =2,则三棱锥D -AEF 体积的最大值为__________.答案26解析 ∵AD ⊥平面ABC , ∴DA ⊥AB ,AD ⊥BC ,∵AE ⊥DB ,又AD =AB =2, ∴DE = 2.又∵BC ⊥AC ,AC ∩AD =A , ∴BC ⊥平面ACD , ∴平面BCD ⊥平面ACD ,∵AF ⊥DC ,平面BCD ∩平面ACD =CD ,AF ⊂平面ACD , ∴AF ⊥平面BCD , ∴AF ⊥BD ,又AE ⊥BD , ∴BD ⊥平面AEF ,由AF ⊥EF ,得AF 2+EF 2=AE 2=2≥2AF ·EF ,即AF ·EF ≤1, ∴S △AEF ≤12,当且仅当AF =EF =1时“=”成立,∴三棱锥D -AEF 体积的最大值为13×2×12=26.。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题:——解答题滚动练5 含答案

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解答题滚动练51.已知α∈(0,π),且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=6-24. (1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4的值; (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3的值. 解 方法一 联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=6-24,sin 2α+cos 2α=1.⇒4sin 2α-(6-2)sin α-(1+3)=0,解得sin α=6+24或sin α=-22, 因为α∈(0,π),所以sin α=6+24, 所以cos α=2-64. (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=sin αcos π4-cos αsin π4=6+24×22-2-64×22=62×22=32. (2)sin2α=2sin αcos α=2×6+24×2-64=-12,cos2α=1-2sin 2α=-32. cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3=cos2αcos π3+sin2αsin π3=-32. 方法二 因为α∈(0,π),sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=6-24<12,所以5π6<α+π3<4π3, sin 11π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-π6=sin π4cos π6-cos π4sin π6=6-24, 所以α+π3=11π12,所以α=7π12. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12-π4 =sin π3=32. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12-π3=cos 5π6=-32.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,△ACD是正三角形,BD垂直平分AC,垂足为M,∠ABC=120°,PA=AB=1,PD=2,N为PD的中点.(1)求证:AD⊥平面PAB;(2)求证:CN∥平面PAB.证明(1)因为BD垂直平分AC,所以BA=BC,在△ABC中,因为∠ABC=120°,所以∠BAC=30°.因为△ACD是正三角形,所以∠DAC=60°,所以∠BAD=90°,即AD⊥AB.因为AB=1,∠ABC=120°,所以AD=AC=3,又因为PA=1,PD=2,由PA2+AD2=PD2,知∠PAD=90°,即AD⊥AP.因为AB,AP⊂平面PAB,AB∩AP=A,所以AD⊥平面PAB.(2)方法一取AD的中点H,连结CH,NH.因为N为PD的中点,所以HN∥PA,因为PA⊂平面PAB,HN⊄平面PAB,所以HN∥平面PAB.由△ACD是正三角形,H为AD的中点,所以CH⊥AD.由(1)知,BA⊥AD,所以CH∥BA,因为BA⊂平面PAB,CH⊄平面PAB,所以CH∥平面PAB.因为CH,HN⊂平面CNH,CH∩HN=H,所以平面CNH∥平面PAB.因为CN⊂平面CNH,所以CN∥平面PAB.方法二取PA的中点S,过C作CT∥AD交AB的延长线于T,连结ST,SN.因为N 为PD 的中点,所以SN ∥AD ,且SN =12AD , 因为CT ∥AD ,所以CT ∥SN .由(1)知,AB ⊥AD ,所以CT ⊥AT ,在Rt △CBT 中,BC =1,∠CBT =60°,得CT =32. 由(1)知,AD =3,所以CT =12AD , 所以CT =SN .所以四边形SNCT 是平行四边形,所以CN ∥TS .因为TS ⊂平面PAB ,CN ⊄平面PAB ,所以CN ∥平面PAB .3.已知圆O :x 2+y 2=4,两个定点A (a,2),B (m,1),其中a ∈R ,m >0.P 为圆O 上任意一点,且PA PB=k (k 为常数).(1)求常数k 的值;(2)过点E (a ,t )作直线l 与圆C :x 2+y 2=m 交于M ,N 两点,若M 点恰好是线段NE 的中点,求实数t 的取值范围.解 (1)设点P (x ,y ),x 2+y 2=4, PA =(x -a )2+(y -2)2,PB =(x -m )2+(y -1)2, 因为PA PB =k ,所以(x -a )2+(y -2)2=k 2[(x -m )2+(y -1)2],又x 2+y 2=4,化简得2ax +4y -a 2-8=k 2(2mx +2y -m 2-5),因为P 为圆O 上任意一点,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =2mk 2,4=2k 2,a 2+8=k 2(m 2+5),又m >0,k >0,解得⎩⎨⎧ k =2,a =2,m =1,所以常数k = 2. (2)方法一 设M (x 0,y 0),M 是线段NE 的中点,N (2x 0-2,2y 0-t ),又点M ,N 在圆C 上,即关于x ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 20+y 20=1,(2x 0-2)2+(2y 0-t )2=1有解,化简得⎩⎪⎨⎪⎧x 20+y 20=1,8x 0+4ty 0-t 2-7=0有解, 即直线n :8x +4ty -t 2-7=0与圆C :x 2+y 2=1有交点,则点(0,0)到直线n 的距离d =|t 2+7|64+16t 2≤1,化简得,t 4-2t 2-15≤0, 解得t ∈[-5,5].方法二 设过E 的切线与圆C 切于切点F ,EF 2=EM ·EN ,又M 是线段NE 的中点,所以EN =2MN ,EM =MN ,所以EF 2=2MN 2,又EF 2=EC 2-CF 2=22+t 2-1=t 2+3,MN ≤2,所以t 2+3≤8,所以t ∈[-5,5].4.已知函数f (x )=-x 2-(2a +1)x +ln x ,且该函数在x =1处取得极值.(1)求实数a 的值,并求出函数的单调区间;(2)若函数g (x )=f (x )-b +5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点,求实数b 的值. 解 (1)由已知,得f ′(x )=-2x -2a -1+1x, 据题意,f ′(1)=0,得到a =-1,所以f (x )=-x 2+x +ln x , f ′(x )=-2x +1+1x =(2x +1)(-x +1)x. 由x >0,令f ′(x )>0,得0<x <1,令f ′(x )<0,得x >1,所以函数f (x )在x =1处取得极值,所以a =-1, f (x )的单调增区间为(0,1),f (x )的单调减区间为(1,+∞).(2)g (x )=f (x )-b +5x 2=-x 2+7x 2+ln x -b ,x ∈(0,2018). 则g ′(x )=-2x +72+1x, 令g ′(x )=0, 得x =2,负值舍去.当0<x <2时,g ′(x )>0,g (x )的单调增区间为(0,2),当2<x <2018时,g ′(x )<0,g (x )的单调减区间为(2,2018).所以函数g (x )=f (x )-b +5x 2在区间(0,2018)上只有一个零点,等价于g (2)=0, 解得b =ln2+3.。

2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档:压轴小题突破练5 含解析 精品

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5.与向量有关的压轴小题1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图,在△ABC 中,AD ⊥AB ,BC →=3BD →,|AD →|=1,则AC →·AD →的值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 方法一 AD →·AC →=|AD →|·|AC →|cos ∠CAD , ∵|AD →|=1,∴AD →·AC →=|AC →|cos ∠CAD , ∵∠BAC =π2+∠DAC ,∴cos ∠CAD =sin ∠BAC ,AD →·AC →=|AC →|sin ∠BAC , 在△ABC 中,由正弦定理得AC sin B =BCsin ∠BAC,变形得AC sin ∠BAC =BC sin B , ∴AD →·AC →=|AC →|sin ∠BAC =BC ·AD BD=3,故选C.方法二 AD →·AC →=AD →·(BC →-BA →)=AD →·BC →-AD →·BA →=AD →·3BD →=3AD →·(BA →+AD →)=3AD →·BA →+3AD →·AD →=3.2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC 的外接圆半径为1,圆心为点O ,且3OA →+4OB →+5OC →=0,则OC →·AB →的值为( ) A.85 B.75 C.-15 D.45 答案 C解析 ∵3OA →+4OB →+5OC →=0, ∴4OB →+5OC →=-3OA →,∴16OB →2+40OB →·OC →+25OC →2=9OA →2, 又∵|OA →|=|OB →|=|OC →|=1,∴OB →·OC →=-45,同理可求OA →·OC →=-35,∴OC →·AB →=OC →·(OB →-OA →)=-45-⎝⎛⎭⎫-35=-15. 故选C.3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC 中,已知AB →·AC →=9,sin B =cos A ·sin C ,S △ABC =6,P 为线段AB 上的点,且CP →=x ·CA →||CA →+y ·CB →||CB→,则xy 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 由题设sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =sin C cos A , 即sin A cos C =0,也即cos C =0, ∴C =90°,又∵bc cos A =9,故b 2=9,即b =3. ∵12ab =6,故a =4,c =5, 故建立如图所示直角坐标系xOy ,则A (3,0),B (0,4),则由题设可知P (x ,y ),直线AB 的方程为x 3+y4=1且x >0,y >0,∴x 3+y4=1≥2xy 12,即xy ≤3,当且仅当x =32,y =2时“=”成立,故选C. 4.(2017·运城期中)已知点O 是△ABC 内部一点,且满足2OA →+3OB →+4OC →=0,则△AOB ,△BOC ,△AOC 的面积之比依次为( ) A.4∶2∶3 B.2∶3∶4 C.4∶3∶2 D.3∶4∶5 答案 A解析 如图所示,延长OA ,OB ,OC ,使OD =2OA ,OE =3OB ,OF =4OC ,∵2OA →+3OB →+4OC →=0,∴OD →+OE →+OF →=0,即O 是△DEF 的重心,故△DOE ,△EOF ,△DOF 的面积相等,不妨令它们的面积均为1,则△AOB 的面积为16,△BOC 的面积为112,△AOC 的面积为18,故△AOB ,△BOC ,△AOC 的面积之比依次为16∶112∶18=4∶2∶3.故选A.5.若a ,b ,c 均为单位向量,且a·b =0,则|a +b -c |的最小值为( ) A.2-1 B.1 C.2+1 D. 2 答案 A解析 ∵a ·b =0,且|a |=|b |=|c |=1, ∴|a +b |=2,又∵(a +b )·c =|a +b ||c |cos 〈a +b ,c 〉=2cos 〈a +b ,c 〉,∴|a +b -c |2=a 2+b 2+c 2+2a ·b -2a ·c -2b ·c =3-2(a +b )·c =3-22cos 〈a +b ,c 〉, ∴当cos 〈(a +b ,c )〉=1时,|a +b -c |2min =3-22=(2-1)2,∴|a +b -c |的最小值为2-1.6.已知向量m =(sin 2x ,1),n =⎝⎛⎭⎫cos 2x ,-32,f (x )=(m -n )·m ,则函数f (x )的最小正周期与最大值分别为( ) A.π,3+22 B.π2,3+22 C.π,72 D.π2,3 答案 B解析 ∵m -n =⎝⎛⎭⎫sin 2x -cos 2x ,52, 则f (x )=(m -n )·m =sin 2x (sin 2x -cos 2x )+52=sin 22x -12sin 4x +52=-12(cos 4x +sin 4x )+3=-22sin ⎝⎛⎭⎫4x +π4+3, ∴f (x )的最小正周期T =2π4=π2,最大值为3+22,故选B.7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P 是△ABC 所在平面内一点,若AP →=34BC →-23BA →,则△PBC 与△ABC 的面积的比为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 A解析 在线段AB 上取D 使AD =23AB ,则AD →=-23BA →,过A 作直线l 使l ∥BC ,在l 上取点E 使AE →=34BC →,过D 作l 的平行线,过E 作AB 的平行线,设交点为P ,则由平行四边形法则可得AP →=34BC →-23BA →,设△PBC 的高为h ,△ABC 的高为k ,由三角形相似可得h ∶k =1∶3, ∵△PBC 与△ABC 有公共的底边BC , ∴△PBC 与△ABC 的面积的比为13,故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a ,b 满足|a |=22|b |≠0,且关于x 的函数f (x )=2x 3+3|a |x 2+6a ·b x +7在实数集R 上单调递增,则向量a ,b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π6 B.⎣⎡⎦⎤0,π3 C.⎣⎡⎦⎤0,π4 D.⎣⎡⎦⎤π6,π4 答案 C解析 求导可得f ′(x )=6x 2+6|a |x +6a ·b ,则由函数f (x )=2x 3+3|a |x 2+6a ·b x +7在实数集R 上单调递增,可得f ′(x )=6x 2+6|a |x +6a ·b ≥0恒成立,即x 2+|a |x +a ·b ≥0恒成立, 故判别式Δ=a 2-4a·b ≤0恒成立,再由|a |=22|b |≠0,可得8|b |2≤82|b |2cos 〈a ,b 〉, ∴cos 〈a ,b 〉≥22, 又∵〈a ,b 〉∈[0,π], ∴〈a ,b 〉∈⎣⎡⎦⎤0,π4. 9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M (1,0),A ,B 是椭圆x 24+y 2=1上的动点,且MA →·MB →=0,则MA →·BA →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23,1B.[1,9]C.⎣⎡⎦⎤23,9D.⎣⎡⎦⎤63,3 答案 C解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则MA →=(x 1-1,y 1),MB →=(x 2-1,y 2),BA →=(x 1-x 2,y 1-y 2),由题意有MA →·MB →=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0, 所以MA →·BA →=(x 1-1)(x 1-x 2)+y 1(y 1-y 2)=(x 1-1)x 1-(x 1-1)x 2+y 21-y 1y 2=x 21-x 1+y 21-[(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2+(x 1-1)]=x 21-x 1+1-14x 21-x 1+1=34x 21-2x 1+2=34⎝⎛⎭⎫x 1-432+23,x 1∈[-2,2]. 所以当x =-2时,MA →·BA →有最大值9, 当x =43时,MA →·BA →有最小值23,故选C.10.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P ,设O 为坐标原点,若OP →=λOA →+μOB →(λ,μ∈R ),λμ=18,则该双曲线的离心率为( )A.322B.2C.233D. 2答案 D解析 双曲线的渐近线为y =±b a x ,焦点F (c ,0),则A ⎝⎛⎭⎫c ,bc a ,B ⎝⎛⎭⎫c ,-bc a ,P ⎝⎛⎭⎫c ,b 2a ,因为OP →=λOA →+μOB →,所以⎝⎛⎭⎫c ,b 2a =⎝⎛⎭⎫(λ+μ)c ,(λ-μ)bc a ,所以λ+μ=1,λ-μ=b c , 解得λ=c +b 2c ,μ=c -b 2c ,又由λμ=18,得c 2-b 24c 2=18,解得a 2c 2=12,所以e =2,故选D.11.若点O ,F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP →·FP →的最大值为______________. 答案 6解析 设P (x ,y ),则OP →·FP →=(x ,y )·(x +1,y )=x 2+x +y 2,又点P 在椭圆上,故x 24+y 23=1,所以x 2+x +3-34x 2=14x 2+x +3=14(x +2)2+2,又-2≤x ≤2,所以当x =2时,14(x +2)2+2取得最大值为6,即OP →·FP →的最大值为6.12.(2017·江西抚州市七校联考) 在△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a 2+b 2-c 2=3ab ,且ac sin B =23sin C ,则CA →·CB →=________. 答案 3解析 由a 2+b 2-c 2=3ab ,得2cos C =3,即cos C =32,由ac sin B =23sin C ,得abc =23c ,即ab =23,CA →·CB →=ab cos C =23×32=3.13.(2017届河南开封月考)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F (-c ,0)(c >0),作圆x 2+y 2=a 24的切线,切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ,若OP →=2OE →-OF →,则双曲线的离心率为________.答案102解析 由OP →=2OE →-OF →,得OE →=12(OF →+OP →)可知,E 为PF 的中点,令右焦点为F ′,则O 为FF ′的中点,PF ′=2OE =a , ∵E 为切点,∴OE ⊥PF ,PF ′⊥PF ,|PF |-|PF ′|=2a ,|PF |=3a ,|PF |2+|PF ′|2=|FF ′|2, 则10a 2=4c 2,e =102. 14.(2017·北京市丰台区二模)已知O 为△ABC 的外心,且BO →=λBA →+μBC →. ①若∠C =90°,则λ+μ=______________;②若∠ABC =60°,则λ+μ的最大值为______________. 答案 12 23解析 ①若∠C =90°,则O 为AB 边的中点, BO →=12BA →,即λ=12,μ=0,故填12.②设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,因为O 为△ABC 的外心,且BO →=λBA →+μBC →, 所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →·BA →=λBA →2+μBA →·BC →,BO →·BC →=λBA →·BC →+μBC →2,即⎩⎨⎧12c 2=λc 2+12μac ,12a 2=12λac +μa 2,化简得⎩⎨⎧λc +12μa =12c ,12λc +μa =12a ,解得⎩⎨⎧λ=23-a3c ,μ=23-c3a ,则λ+μ=43-⎝⎛⎭⎫a 3c +c 3a ≤43-23=23,当且仅当△ABC 为等边三角形时“=”成立.。

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题:——考前回扣4 Word版含答案

2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题:——考前回扣4 Word版含答案

回扣4 数列1.牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n+1-a n=d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列.②通项公式法a n=pn+q(p,q为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.③中项公式法2a n+1=a n+a n+2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列.④前n项和公式法S n=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)⇔{a n}是等差数列.(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n+1=q (q是不为0的常数,n∈N*)⇔{a n}是等比数列.a n②通项公式法a n =cq n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.③中项公式法a 2n +1=a n ·a n +2(a n ·a n +1·a n +2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.3.数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列,{b n }为等比数列)的数列,利用错位相减法求和. (3)通项公式形如a n =c(an +b 1)(an +b 2)(其中a ,b 1,b 2,c 为常数)用裂项相消法求和.(4)通项公式形如a n =(-1)n·n 或a n =a ·(-1)n(其中a 为常数,n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论.(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成c n =a n +b n 形式的数列求和问题的方法,其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. (6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S n .1.已知数列的前n 项和求a n ,易忽视n =1的情形,直接用S n -S n -1表示.事实上,当n =1时,a 1=S 1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1.2.易混淆几何平均数与等比中项,正数a ,b 的等比中项是±ab .3.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n =n +12n +3,求a nb n时,无法正确赋值求解.4.易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.5.运用等比数列的前n 项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q =1和q ≠1两种情况进行讨论.6.利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项. 7.裂项相消法求和时,分裂前后的值要相等, 如1n (n +2)≠1n -1n +2,而是1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2.8.通项中含有(-1)n的数列求和时,要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式.1.在等差数列{a n }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________.答案 20解析 设公差为d ,则a 3+a 8=2a 1+9d =10, 3a 5+a 7=3(a 1+4d )+(a 1+6d )=4a 1+18d =2×10=20.2.(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列,若a 4+a 5+a 6=21,则S 9=____________. 答案 63解析 ∵a 4+a 5+a 6=21,∴3a 5=21,可得a 5=7, ∴S 9=9×(a 1+a 9)2=9×(2a 5)2=9a 5=63.3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n 的通项公式为________. 答案 2n +1解析 a n +1=S n +1-S n =2a n +1-4-(2a n -4)⇒a n +1=2a n ,再令n =1,∴S 1=2a 1-4,解得a 1=4,∴数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,∴a n =4·2n -1=2n +1.4.(2017·南京高淳区质检)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 9=-36,S 13=-104,则a 5与a 7的等比中项为__________. 答案 ±4 2解析 由S 9=-36,S 13=-104,可解得a 1=4,d =-2,所以a 5=-4,a 7=-8. 设a 5与a 7的等比中项为x ,则x 2=a 5a 7=32, 所以x =±4 2.5.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________. 答案 50解析 ∵数列{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5, ∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5, ∴a 10a 11=e 5,∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20) =ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=lne 50=50.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 3=52,且a 2+a 4=54,则S nan =________.答案 2n-1解析 设等比数列{a n }的公比为q , 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1+q 2)=52,a 1q (1+q 2)=54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =12,∴S n a n =a 1(1-q n)1-q a 1q n -1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=2n-1. 7.若数列{a n }满足a 2-a 1>a 3-a 2>a 4-a 3>…>a n +1-a n >…,则称数列{a n }为“差递减”数列.若数列{a n }是“差递减”数列,且其通项a n 与其前n 项和S n ()n ∈N *满足2S n =3a n +2λ-1()n ∈N *,则实数λ的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞解析 当n =1时,2a 1=3a 1+2λ-1,a 1=1-2λ,当n >1时,2S n -1=3a n -1+2λ-1,所以2a n =3a n -3a n -1,a n =3a n -1,所以a n =()1-2λ3n -1,a n -a n -1=()1-2λ3n -1-()1-2λ3n -2=()2-4λ3n -2,依题意()2-4λ3n -2是一个减数列,所以2-4λ<0,λ>12.8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 是数列{a n }前n 项的和,则2S n +16a n +3(n ∈N *)的最小值为________.答案 4解析 据题意由a 1,a 3,a 13成等比数列,可得(1+2d )2=1+12d ,解得d =2,故a n =2n -1,S n =n 2,因此2S n +16a n +3=2n 2+162n +2=n 2+8n +1=(n +1)2-2(n +1)+9n +1=(n +1)+9n +1-2,据基本不等式知2S n +16a n +3=(n +1)+9n +1-2≥2(n +1)×9n +1-2=4,当n =2时取得最小值4. 9.已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0. (1)令c n =a n b n,求数列{c n }的通项公式; (2)在(1)的条件下,若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即c n +1-c n =2.所以数列{}c n 是首项c 1=1,公差d =2的等差数列,故c n =2n -1. (2)由b n =3n -1知,a n =c n b n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n,两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)3n,所以S n =(n -1)3n+1.10.(2017·江苏南师附中质检)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n =n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列,且a 1=2,b 3=6+b 2. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =1a n -1b n(n ∈N *),记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ;(ii)求正整数k ,使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n =(2)b n (n ∈N *),①当n ≥2,n ∈N *时,a 1a 2a 3…a n -1=1n b -,②由①②知a n =1n n b b --,令n =3,则有a 3=32b b -.∵b 3=6+b 2, ∴a 3=8.∵{a n }为等比数列,且a 1=2,设{a n }的公比为q , ∴则q 2=a 3a 1=4,由题意知a n >0,∴q >0,∴q =2. ∴a n =2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n =n b(n ∈N *),得21×22×23…×2n =n b,即(1)22,n n n b +=∴b n =n (n +1)(n ∈N *). (2)(i)∵c n =1a n -1b n =12n -1n (n +1)=12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴S n =c 1+c 2+c 3+…+c n=12-⎝ ⎛⎭⎪⎫11-12+122-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =12+122+…+12n -⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1 =1-12n -1+1n +1=1n +1-12n .(ii)∵c 1=0,c 2>0,c 3>0,c 4>0, 当n ≥5时,c n =1n (n +1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n +1)2n-1, 而n (n +1)2n-(n +1)(n +2)2n +1=(n +1)(n -2)2n +1>0,得n (n +1)2n≤5×(5+1)25<1,∴当n ≥5时,c n <0.综上,对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ,故k =4.。

【高三数学试题精选】2018版考前三个月高考数学理科总复习:12+4满分练(全国通用12份附答案)

【高三数学试题精选】2018版考前三个月高考数学理科总复习:12+4满分练(全国通用12份附答案)
∵a-i2+i与3i-5i2-i互为共轭复数,
∴2a-15=1,-a+25=-1,解得a= )
A x∈R,ln(ex-1) 0
B x∈R,ln(ex-1)≥0
c x0∈R,ln(-1)<0
D x0∈R,ln(-1)≥0
答案D
4(2018四川双流中学月考)已知函数f(x)=Asinωx+φA 0,ω0,φ<π2的部分图象如图所示,若将f(x)图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为( )
A内切B相交c外切D外离
答案B
解析化简圆x2+(-a)2=a2 (0,a),r1=a到直线x+=0的距离d=a2 a22+2=a2 a=2 (0,2),r1=2,又N(1,1),r2=1 |N|=2 |r1-r2|<|N|<|r1+r2|两圆相交
8(2018资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示,正(主)视图和俯视图都是边长为10 c的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近( )
A43 B83 c163 D323
答案c
解析如图,过cD作平面EcD,使AB⊥平面EcD,
交AB于点E,设点E到cD的距离为EF,
当球心在EF上时,EF最大,此时E,F分别为AB,cD的中点,且球心为EF的中点,所以EF=2,
所以Vax=13×12×4×2×4=163,故选c
7(2018武邑检测)已知圆x2+2-2a=0a 0截直线x+=0所得线段的长度是22,则圆与圆N(x-1)2+-12=1的位置关系是( )
A(-∞,0) B0,12e
c(-∞,0)∪12e,+∞D12e,+∞
答案c
解析由题意得-12a=1+x-2eln1+x=(t-2e)ln tt=x+1>0,

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练9 含答案

2018考前三个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练9 含答案

小题满分练91.(2017·苏北四市期末)已知集合A ={-2,0},B ={-2,3},则A ∪B =________. 答案 {-2,0,3}2.已知i 为虚数单位,则复数2i1+i =________.答案 1+i3.(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首,则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________. 答案 56解析 从甲、乙、丙、丁4首歌曲中随机抽取2首播放,因为播放是有顺序的,所以所有的基本事件有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙),共12个,而甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的事件所包含的基本事件有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),共10个,故所求事件的概率为P =1012=56.4.(2017·常州期末)双曲线x 24-y 212=1的右焦点与左准线之间的距离是________.答案 5解析 因为a 2=4,b 2=12,所以c 2=16,即右焦点为(4,0),又左准线为x =-a 2c=-1,故右焦点到左准线的距离为5.5.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x ∈R ,使x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是______________. 答案 {a |a ≤-2或a =1}解析 p 为真,则x 2≥a ,所以a ≤1;q 为真,则Δ=(2a )2-4(2-a )≥0,解得a ≥1或a ≤-2.命题“p 且q ”为真命题, 则a 的取值范围为a ≤-2或a =1.6.(2017·苏州期末)阅读下面的流程图,如果输出的函数f (x )的值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12内,那么输入的实数x 的取值范围是________.答案 [-2,-1]解析 流程图表示输出分段函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ∈[-2,2],2,x ∉[-2,2]的值.令f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12,得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤2,14≤2x ≤12,解得-2≤x ≤-1.7.已知圆锥的母线长为10cm ,侧面积为60πcm 2,则此圆锥的体积为________cm 3. 答案 96π解析 设圆锥的底面半径为r cm ,高为h cm ,则12·2πr ·10=60π,所以r =6cm ,从而高h=8cm ,此圆锥的体积V =13×36π×8=96π(cm 3).8.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如:6=1+2+3;28=1+2+4+7+14;496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.此外,它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6=21+22,28=22+23+24,…,按此规律,8128可表示为________. 答案 26+27+…+212解析 因为8 128=26×127, 又由1-2n1-2=127,解得n =7.所以8 128=26×(1+2+…+26) =26+27+ (212)9.(2017·常州期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=4,S 9-S 6=27,则S 10=__________. 答案 65解析 因为S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=3a 8=27,所以a 8=9,即S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 3+a 8)=65.10.(2017届苏北四市一模)若tan β=2tan α,且cos αsin β=23,则sin(α-β)的值为________. 答案 -13解析 因为tan β=2tan α,所以sin βcos β=2sin αcos α,即cos αsin β=2sin αcos β.又因为cos αsin β=23,所以sin αcos β=13,从而sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13-23=-13.11.函数f (x )的图象关于y 轴对称,且对任意x ∈R 都有f (x -3)=-f (x ),若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,52时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,则f (2017)=________.答案 -14解析 因为函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x -3)=-f (x ), 所以f (x -6)=-f (x -3)=f (x ), 函数f (x )是周期为6的函数,f (2017)=f (336×6+1)=f (1),由f (x -3)=-f (x )可得f (-2-3)=-f (-2)=f (1), 因为函数f (x )的图象关于y 轴对称, 所以函数f (x )是偶函数,f (-2)=f (2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14,所以f (2017)=f (1)=-f (-2)=-14.12.(2017·南京三模)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,BC =2,BB 1=3,∠ABC =90°,点D 为侧棱BB 1上的动点.当AD +DC 1最小时,三棱锥D -ABC 1的体积为________.答案 13解析 将侧面展开如图,所以由平面几何性质可得:AD +DC 1≥AC 1,当且仅当A ,D ,C 1三点共线时取等号.此时BD =1,所以S △ABD =12×AB ×BD =12.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中有BB 1⊥CB ,又AB ⊥CB ,易得CB ⊥平面ABD ,所以C 1B 1⊥平面ABD ,即C 1B 1是三棱锥C 1-ABD 的高,所以11D ABC C ABD V V --==13×C 1B 1×S △ABD =13×2×12=13.13.(2017届苏北四市一模)已知正数a ,b 满足1a +9b=ab -5,则ab 的最小值为________.答案 36解析 因为正数a ,b 满足1a +9b =ab -5,所以ab -5≥29ab,当且仅当9a =b 时等号成立,即ab -5ab -6≥0,解得ab ≥6或ab ≤-1(舍去),因此ab ≥36,从而(ab )min =36.14.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若△ABC 为锐角三角形,且满足b 2-a 2=ac ,则1tan A -1tan B的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1,233解析 方法一 原式可化为1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin (B -A )sin A sin B.由b 2-a 2=ac ,得b 2=a 2+ac =a 2+c 2-2ac cos B ,即a =c -2a cos B ,也就是sin A =sin C -2sin A ·cos B ,即sin A =sin(A +B )-2sin A cos B =sin(B -A ),由于△ABC 为锐角三角形,所以有A =B -A ,即B =2A ,故1tan A -1tan B =1sin B ,在锐角三角形ABC 中易知,π3<B <π2,32<sin B <1,故1tan A -1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,233.方法二 根据题意,作CD ⊥AB ,垂足为点D ,画出示意图.因为b 2-a2=AD 2-BD 2=(AD +BD )(AD -BD )=c (AD -BD )=ac ,所以AD -BD =a ,而AD +BD =c ,所以BD =c -a 2,则c >a ,即c a>1,在锐角三角形ABC 中有b2+a 2>c 2,则a 2+a 2+ac >c 2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-c a -2<0,解得-1<c a <2,因此,1<c a <2.而1tan A -1tan B =AD -BDCD=a a 2-⎝⎛⎭⎪⎫c -a 22=11-14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a -12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,233.。

2018考前3个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练2 Word版含答案

2018考前3个月高考数学理科总复习训练题:——小题满分练2 Word版含答案

小题总分值练21.(2021·苏州暑假测试)设集合M ={-1,0,1} ,N ={x |x 2+x ≤0} ,那么M ∩N =________. 答案 {-1,0}解析 因为N ={x |x 2+x ≤0}=[-1,0] ,又M ={-1,0,1} ,所以M ∩N ={-1,0}. 2.(2021·南京学情调研)设复数z 满足(z +i)i =-3+4i(i 为虚数单位) ,那么z 的模为________. 答案 2 5解析 因为(z +i)i =-3+4i ,所以z i =-2+4i ,所以|z |=|-2+4i||i|=4+16=2 5.3.命题p : "m =1〞 ,命题q : "直线mx -y =0与直线x +m 2y =0互相垂直〞 ,那么命题p 是命题q 的________条件.(填 "充分不必要〞 "必要不充分〞 "充要〞或 "既不充分又不必要〞)答案 充分不必要4.某班50位学生期(中|考)试数学成绩的频率分布直方图如下图 ,其中成绩分组区间是:[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100] ,那么图中x 的值为________.答案解析 依题意 ,×10+10x +×10+×10×3=1 ,解得x =0.018.5.(2021·南京学情调研)某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差 ,那么甲、乙两人中至|少有一人被选中的概率是________. 答案 56解析 从4名员工中随机选2名的所有根本领件共有6个 ,而甲、乙都未被选中的事件只有1个 ,所以甲、乙两人中 ,至|少有一人被选中的概率为1-16=56.6.(2021·苏州暑假测试)如图是一个输出一列数的算法流程图 ,那么这列数的第三项是________.答案 30解析 第|一次输出a =3 ,n =2;第二次输出a =3×2=6 ,n =3;第三次输出a =6×5=30 ,n =4.故这列数的第三项为30.7.(2021·重庆调研)设向量a ,b 的夹角为θ ,向量a =(x ,3) ,b =(x ,-3) ,假设(2a +b )⊥b ,那么θ=________. 答案2π3解析 由题意得(2a +b )·b =0 , 所以(3x ,3)·(x ,-3)=0 , 即x =±1 ,所以cos θ=a ·b |a ||b |=x 2-3x 2+3x 2+3=1-31+3=-12, 因为θ∈[0 ,π] ,所以θ=2π3.8.在数列{}a n 中 ,a 1=1 ,a n +1=()-1n()a n +1 ,记S n 为{}a n 的前n 项和 ,那么S 2021=________. 答案 -1007解析 ∵a n +1=()-1n()a n +1 ,∴a 2n +2=-()a 2n +1+1 ,a 2n +1=a 2n +1 ,a 2n =-()a 2n -1+1 ,∴a 2n +1+a 2n -1=0 ,a 2n +2+a 2n =-2 ,∴S 2 017=a 1+()a 3+a 5+…+()a 2 015+a 2 017+()a 2+a 4+…+()a 2 014+a 2 016=1+0-2×504=-1 007.9.(2021·南京学情调研)圆柱M 的底面半径为2 ,高为6 ,圆锥N 的底面直径和母线长相等.假设圆柱M 和圆锥N 的体积相同 ,那么圆锥N 的高为________. 答案 6解析 设圆锥N 的底面半径为r ,那么它的母线长为2r ,高为3r ,由圆柱M 与圆锥N 的体积相同 ,得4π×6=13πr 2×3r ,解得r =2 3 ,因此圆锥N 的高h =3r =6.10.(2021·镇江期末)圆心在直线y =-4x 上 ,且与直线x +y -1=0相切于点P (3 ,-2)的圆的标准方程为____________. 答案 (x -1)2+(y +4)2=8解析 方法一 设圆心为(a ,-4a ) ,那么有r =|a -4a -1|2=(a -3)2+(-4a +2)2,解得a =1 ,r =2 2 ,那么圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8.方法二 过点P (3 ,-2)且垂直于直线x +y -1=0的直线方程为x -y -5=0 ,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x -y -5=0 y =-4x解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1 y =-4那么圆心坐标为(1 ,-4) ,半径为r =(1-3)2+(-4+2)2=2 2 ,故圆的方程为(x -1)2+(y +4)2=8.11.(2021·苏州期末)正数x ,y 满足x +y =1 ,那么4x +2+1y +1的最|小值为________. 答案 94解析 方法一 令x +2=a ,y +1=b ,那么a +b =4(a >2 ,b >1) ,4a +1b =14(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b =14⎝ ⎛⎭⎪⎫5+4b a +a b ≥14·(5+4)=94 ,当且仅当a =83 ,b =43 ,即x =23 ,y =13时取等号. 方法二 (常数代换)设a =x +2 ,b =y +1 ,那么4x +2+1y +1=4a +1b =a +b a +a +b 4b =54+ba+a 4b ≥94,当且仅当a =2b 时取等号. 12.(2021·山西临汾五校联考)假设tan α-1tan α=32 ,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 π2 ,那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4=________. 答案210解析 ∵tan α-1tan α=32,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 π2 ,∴sin αcos α-cos αsin α=32 , ∴cos 2αsin 2α=-34 , ∵π4<α<π2 , ∴π2<2α<π , 故cos 2α=-35 ,sin 2α=45,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α+π4=sin 2α×22+cos 2α×22=210. 13.不等式log a x -ln 2x <4(a >0且a ≠1)对任意x ∈(1,100)恒成立 ,那么实数a 的取值范围为________.答案 (0,1)∪(14e ,+∞)解析 不等式log a x -ln 2x <4可化为ln x ln a -ln 2x <4 ,即1ln a <4ln x +ln x 对任意x ∈(1,100)恒成立.因为x ∈(1,100) ,所以ln x ∈(0,2ln10) ,那么4ln x+ln x ≥4 ,当且仅当ln x =2时取等号 ,故1ln a <4 ,解得ln a <0或ln a >14,即0<a <1或a >14e .14.(2021·南京学情调研)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x -x 3x ≤0-2x x >0.当x ∈(-∞ ,m ]时 ,f (x )的取值范围为[-16 ,+∞) ,那么实数m 的取值范围是________.答案 [-2,8]解析 当x ≤0时 ,f (x )=12x -x 3 ,所以f ′(x )=12-3x 2.令f ′(x )=0 ,那么x =-2(正值舍去) ,所以当x ∈(-∞ ,-2)时 ,f ′(x )<0 ,此时f (x )单调递减;当x ∈(-2,0]时 ,f ′(x )>0 ,此时f (x )单调递增 ,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (-2)=-16.当x >0时 ,f (x )=-2x 单调递减 ,f (0)=0 ,f (8)=-16 ,因此 ,根据f (x )的图象可得m ∈[-2,8].。

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小题满分练5
1.(2017·苏州期末)已知集合A ={x |x >1},B ={x |x <3},则集合A ∩B =________. 答案 (1,3)
2.(2017·常州期末)某单位有老年人20人,中年人120人,青年人100人,现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n 的样本,已知从青年人中抽取的人数为10,则n =________. 答案 24
解析 由分层抽样可得10
n

10020+120+100=10
24
,故n =24.
3.设复数z 满足z (1+i)=2+4i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的共轭复数为__________. 答案 3-i
解析 由z =2+4i 1+i =(2+4i )(1-i )(1+i )(1-i )
=(1+2i)(1-i)=3+i ,则z =3-i.
4.甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球,现从两盒中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为__________. 答案 89
解析 从两盒中随机各取一球,没有红球的概率为13×13=1
9,故至少有一个红球的概率为1
-19=89
. 5.(2017·镇江期末)将函数y =5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向左平移φ⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后,所得函数图象关于y 轴对称,则φ=________. 答案
π
8
解析 向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y =5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x +φ)+π4.因为其图象关
于y 轴对称,所以2φ+π4=π2+k π,k ∈Z ,即φ=π8+k π2,k ∈Z .又因为0<φ<π
2,
所以φ=π
8
.
6.如图所示的流程图,如果输出的函数值在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫19,13内,那么输入实数x 的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 模拟执行流程图,可得其功能为计算并输出分段函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
3x
,-1≤x ≤1,
3-x
,x <-1或x >1

值,如果输出的函数值在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫19,13内,即y ∈(3-2,3-1
),从而解得x ∈(1,2).
7.(2017·深圳调研)若实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪

x +y -4≤0,2x -3y -8≤0,
x ≥1,
目标函数z =kx -y
的最大值为12,最小值为0,则实数k =________. 答案 3
解析 作出可行域如图,目标函数y =kx -z ,
当k ≤0时,显然最小值不可能为0,
当k >0时,当y =kx -z 过点(1,3)时z 取最小值, 解得k =3,
此时y =kx -z 过点(4,0)时有最大值,符合题意, 故k =3.
8.在△ABC 中,D 为线段BC 的中点,AB =2AC =2, tan ∠CAD =sin ∠BAC ,则BC =________. 答案
3
解析 如图:设∠CAD =α,∠BAD =β,则∠CAB =α+β, 由正弦定理得CD sin α=AC
sin ∠ADC

DB sin β=AB
sin ∠ADB
,又sin ∠ADC =sin ∠ADB ,AB =2AC ,∴sin α=2sin β, 由题意知tan ∠CAD =sin ∠BAC ,即tan α=sin(α+β),即sin α
cos α=sin(α+β),
故sin α=sin(α+β)·cos α, 从而可得2sin β=sin(α+β)·cos α. 变形得2sin [](α+β)-α
=sin(α
+β)·cos α,
展开得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)·sin α,
又cos α≠0,两边同除以cos α,得sin(α+β)=2cos(α+β)·tan α, 又tan α=sin(α+β),
∴2cos(α+β)=1,∴cos(α+β)=1
2,
即cos ∠BAC =1
2
.
由余弦定理,得BC =AC 2
+AB 2
-2·AC ·AB ·cos∠BAC =1+4-2= 3.
9.(2017·无锡期末)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3=-1
8,且a 2,a 4,a 3成等差数
列,则数列{a n }的前4项和为________. 答案 58
解析 设{a n }的公比为q ,q ≠1.由等比中项的性质可得a 1a 2a 3=a 3
2=-18,所以a 2=-12
.因为
a 2,a 4,a 3成等差数列,所以2a 4=a 2+a 3,即2a 2q 2=a 2+a 2q ,化简得2q 2-q -1=0,即(q -
1)(2q +1)=0,解得q =1(舍)或q =-12.又因为a 1=a 2q =1,所以S 4=a 1(1-q 4
)
1-q

1×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1241-⎝ ⎛⎭
⎪⎫-12=5
8. 10.设b ,c 表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题: ①若b ⊂α,c ∥α,则b ∥c ;②若b ⊂α,b ∥c ,则c ∥α; ③若c ∥α,α⊥β,则c ⊥β;④若c ∥α,c ⊥β,则α⊥β. 其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ④
解析 ①b 和c 可能异面,故①错;②可能c ⊂α,故②错;③可能c ∥β,c ⊂β,故③错;④根据面面垂直判定α⊥β,故④正确.。

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