山东省临沂市2017-2018学年高二下学期期中联考数学(文)试卷

高二数学试题（文科）（本试卷满分150分，时间：120分钟）一.选择题（每小题5分，共60分） 1. 若i 是虚数单位，则复数2018(23)z ii =⋅-的虚部等于（ ）A. 2B. 3C. 3iD. 3-2. 已知变量,x y 线性相关，且由观测数据算得样本平均数为2,5x y ==，则由该观测数据得到的线性回归直线方程不可能是（ ）A. 2.10.8y x =+B. 1.27.4y x =-+C. 2.250.5y x =+D. 1.257.55y x =-+ 3. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 合情推理4. 在下列结构图中，“柱体、锥体、球体”与“空间几何体”的关系是（ ）A. 逻辑的先后关系B. 要素的从属关系C. 并列关系D. 平行关系5. 若i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且24i z i -=-，则复数z 的模等于（ ）A. 5B. 25C.D.6. 为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面的列联表：由已知数据可以求得：22100(1639405) 4.39821795644K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，则根据下面临界值表：可以做出的结论是（ ）A ． 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”B ． 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”C ． 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”D ． 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关” 7. 在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3m n p r b b b b ++= B. 3m n p r b b b b ++= C. 3m n p r b b b b = D. 3m n p r b b b b = 8. 若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图所示，程序框图的输出值S=（ ）A ．15B ．22C ．24D ．2810. 若纯虚数z 满足(12)z i a i -=+,其中a R ∈,i 是虚数单位，则实数a 的值等于（ ） A. 2 B.12 C. 2- D. 12-11．已知变量,x y之间的线性回归方程为0.47.6y x=-+，且变量,x y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量,x y之间呈现负相关关系B．m的值等于5C．变量,x y之间的相关系数0.4r=-D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）12. 某中学共有5000人，其中男生3500人，女生1500人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关，现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时），其频率分布直方图如下：已知在样本数据中，有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理，我们（）A.没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”B.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D.有99.5%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”附：22()=()()()()n ad bcKa cb d a d b c-++++，其中n a b c d=+++.二.填空题（每小题5分，共20分）13. 若i 是虚数单位，复数z 满足121zi i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________. 14. 观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m +++=++++++，则m =__________.15. 某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查.甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是——————.16. 洛萨·科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6,3,10,5,16,8,4,2,1.对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定，如果对正整数n 按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第九项为1，则n 的所有可能取值的集合为_________. 三.解答题（共6小题，满分70分）17. （本小题满分12分）已知复数z 的共轭复数是z ，i 是虚数单位，且满足521iz z i++=+. （I ）求复数z ；（II ）若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知01a b <<<. （I ）试猜想ln a b +与ln b a +的大小关系； （II ）证明（I ）中你的结论.19. （本小题满分13分）随着人们生活水平的不断提高，家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出（单位：元）的情况，如下表所示：（I ）在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图；（II ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （III ）根据（II ）的结果，预测当一个家庭的月收入为12000元时，月理财支出大约是多少元？【附：回归直线方程y bx a =+中，1221ni ii nii x ynx y b xnx==-=-∑∑，a y bx =-.】20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3(,,0)2n n S a b n N b R b *=+∈∈≠. （I ）求证：{}n a 是等比数列； （II ）求证：{}1n a +不是等比数列.21. （本小题满分10分）以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线l 的参数方程为1(3x uu y u =+⎧⎨=+⎩为参数）,曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=-.（I ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，若P 点的直角坐标为(1,3)，求||||P M P N -的值.22. （本小题满分10分）已知函数()||||f x x m x n =++-. （I ）若2m n ==-，解不等式()6f x >； （II ）若,m n 均为正实数，且1114m n +=，求证：9()4f x ≥.高二数学试题（文科）参考答案及评分标准一.选择题1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.D8.B9.C 10.A 11.C 12.B 二.填空题 13.(3,1)- 14. 201115.甲 16. {}4,5,6,32,40,42,256 三.解答题17. 解析：（I ）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则x yi =-， ---------1分 于是(5)(1)2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=+-，即332x yi i -=-， ---------3分所以332x y =⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，故12z i =+. ---------6分（II ）由（I ）得(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-， ---------9分 由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，所以22040m m +>⎧⎨->⎩，解得14m -<<. ---------12分18. 解：（I ）取211,a b e e ==，则21l n 1a b e +=-，1ln 2b a e+=-，则有ln ln a b b a +>+； 再取3211,a b e e ==，则31ln 2a b e +=-，21ln 3b a e+=-，则有ln ln a b b a +>+.故猜想ln ln a b b a +>+. ---------4分（II ）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x=-<， 即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分 又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， ---------10分 故ln ln a b b a +>+. ---------12分 19. 解析：（I ）散点图如下：-----------3分（II ）由表中数据可得：9,3x y ==，51138.7i ii x y==∑，521415i i x ==∑， -----------4分因此51522215138.75930.37415595i ii ii x yx y b xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑， -----------6分30.3790.33a y bx =-=-⨯=-， -----------7分故y 关于x 的线性回归方程为0.370.33y x =-. -----------8分 （III ）由于12000元12=千元， -----------9分 令12x =，代入回归方程0.370.33y x =-，可得0.37120.33 4.11y =⨯-=千元，即4110元. -----------12分 故可预测当一个家庭的月收入为12000元时，月理财支出大约是4110元. ----------13分20. 证明：（I ）因为32n nS a b =+，所以当2n ≥时1132n n S a b --=+， ---------1分 两式相减得1133()()22n n n n S S a b a b ---=+-+，即13322n nn a a a -=-， 因此13nn a a -=， ---------4分 故{}n a 是公比为3q =的等比数列. ---------5分 （II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有211(1)(1)(1)n n n a a a -++=++，即21111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------8分 由（I ）知{}n a 是等比数列，所以211n n n a a a -+=，于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，这与{}n a 是等比数列相矛盾， ---------12分 故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------13分 (方法二) 由（I ）知11132a S ab ==+，所以12a b =-，因此123n n a b -=-⋅. ---------8分 于是123112,116,1118a b a b a b +=-+=-+=-， ---------9分 假设{}1n a +是等比数列，则有2213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------11分 即2(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =，这与0b ≠相矛盾， ---------12分 故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------13分21. 解析：（I ）由参数方程1(3x u u y u =+⎧⎨=+⎩为参数）消去u 可得20x y -+=，即直线l 的普通方程为20x y -+=. -----------2分由)4πρθ=-可得3sin 3cos ρθθ=-，因此23sin 3cos ρρθρθ=-，所以22330x y x y ++-=，故曲线C 的直角坐标方程为22330x y x y ++-=. -----------4分（II ）由于132x y u⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，t =，则直线l的参数方程为1(3x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）.-----------5分将13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C的直角坐标方程可得240t ++=，-----------7分设,M N 两点对应的参数分别为12,t t，则121240t t t t +=-=>， -----------8分于是1212||||||||||||||4PM PN t t t t -=-=-===. 故||||||4PM PN -=. -----------10分 22. 解析：（I ）当2m n ==-时，不等式()6f x >即为|2||2|6x x -++>. ---------1分 若2x ≤-，则(2)(2)6x x ---+>，解得3x <-； -----------2分 若2x ≥，则(2)(2)6x x -++>，解得3x >； -----------3分 若22x -<<，则(2)(2)6x x --++>，无解. -----------4分 综上，不等式的解集为{}|33x x x <->或. -----------5分 （II ） 由于,m n 均为正实数，所以()|||||()()|f x x m x n x m x n m n =++-≥+--=+，-----------7分而11559()()44444n m m n m n m n m n +=++=++≥+， 当且仅当4n m m n =，即2m n =时取等号. -----------9分 故9()4f x ≥. -----------10分。