2018届河北省石家庄市高三下学期二模考试理科数学试题及答案 精品

2018届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P =A ．1(0,)2B ．(0,)+∞C ．1[,)2+∞D ．1(,0)[,)2-∞+∞ 2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2x y -=B ．tan y x =C ．3y x =D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12B ．12- C ．12i D ．12i -4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12B ．12- C ．2 D ．2-5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．236、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536B ．16C ．215D ．1127、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103B ．53C ．203D ．48、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++B ．1111232432+++⨯⨯⨯C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin ,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A ．2 B ．2-．12 D ．12-10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为A ．11πB ．7πC ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A．C 12、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+-9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、已知向量(2,1),(,1)a b x ==-，且a b -与b 共线，则x 的值为 14、已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则7a =15、设点P 、Q 分别是曲线(x y xe e -=是自然对数的底数）和直线3y x =+上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 16、在平面直角坐标系中有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b 对n N *∀∈，点nP 在函数(01)x y a a =<<的图象上，又点1(,0),(,),(1,0)n n n n n A n P a b A n ++构成等腰三角形，且1n n n n P A P A +=若对n N *∀∈，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分） 在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且满足cos (2)cos()b A c a B π=+-（1）求角B 的大小；（2）若+的值。

=∆a c4,b ABC18、（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面22⨯的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）19、（本小题满分12分）已知PA ⊥平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====。

（1）求证：CD ⊥平面ADP ； （2）M 为线段CP 上的点，当BM AC ⊥时，求二面角C AB M--的余弦值。

20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(1,2，离心率为2。

（1）求椭圆C 的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)3P ，若1cos 3APB ∠=，求直线l 的方程。

21、（本小题满分12分）已知函数()2,(x f x e ax e =--是自然对数的底数，)a R ∈。

（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11k x f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值。

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：O 的直径AB 的延长线于弦CD 的延长线相交于 点P ，E 为O 上一点，,AE AC DE =交AB 于点F 。

（1）求证：,,,O C D F 四点共圆； （2）求证：PF PO PA PB ⋅=⋅.23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程122(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=。

（1）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l 的曲线C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+。

（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

2018年石家庄市高三数学第二次模拟考试（理科答案） 一、选择题：1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB 二、填空题：13. 2- 14. 815 223 16.1215<<-a 三、解答题：17.解: （Ⅰ） ()cos (2)cos b A c a B π=+-Qcos (2)cos b A c a B ∴=--…………………………1分sin cos (2sin sin )cos B A C A B ∴=-- (3)分sin()2sin cos A B C B ∴+=-∴ 1cos 2B =-…………………………5分∴ 23B π=…………………………6分(Ⅱ) 由1=sin 2ABC S ac B ∆=得 a c ＝4…………………………8分. 由余弦定理得b2＝a2＋c 2+ac 216(a+c )ac -==…………………10分∴ a ＋c=12分18．解（1）完成下面的22⨯列联表如下……………… 3分22100(40251520)60405545K ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关。

...……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为52. 由题意可知X ～B （3，52），P(x=i)=3323()()55i i i -ð （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为.……………… 10分E(x)=np=56 (或0.6)，D(x)=np(1-p ）=2518 (或0.72) ……………… 12分 19.（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ADP ， 所以平面ADP⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1）， C （4，0，4），P （0，4，0），则)1,0,0(=，)4,0,4(=AC ，)0,4,0(=AP ，)4,4,4(-=PC (6)分设M （x, y , z), PC PM λ=)10(≤≤λ，则),4,(z y x PM -=.所以),4,(z y x -λ=)4,4,4(-，⎪⎩⎪⎨⎧=-==λλλ4444z y x ，)4,44,4(λλλ-M ，)14,44,4(--=λλλ.因为BM ⊥AC ，所以0=⋅AC BM ，⋅--)14,44,4(λλλ0)4,0,4(=，解得81=λ，所以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,27,21，. …………………………………………8分设),,(1111z y x n =为平面ABM 的法向量，zxy则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011AM n n ，又因为)1,0,0(=，=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,27,21 所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=021272101111z y x z . 令11=y 得)0,1,7(1-=n 为平面ABM 的一个法向量. 又因为AP ⊥平面ABC ，所以)0,4,0(2=n 为平面ABC 的一个法向量.…………………10分=⋅>=<||||,cos 212121n n n n 1025044=，所以二面角C —AB —M 的余弦值为102.…………………………12分法2：在平面ABCD 内过点B 作BH ⊥AC 于H ， 在平面ACP 内过点H 作HM ∥AP 交PC 于点M ，连接MB ………6分， 因为AP ⊥平面ABCD ， 所以HM ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD ， 所以HM ⊥AC.又BH ∩HM=H, BH ⊂平面BHM ，HM ⊂平面BHM ， 所以AC ⊥平面BHM.所以AC ⊥BM ，点M 即为所求点. …………………………………………8分 在直角ABH ∆中，AH=2222=AB ，又AC=2422=+DA CD ，所以81=AC AH . 又HM ∥AP ，所以在ACP ∆中，81=PC PM .在平面PCD 内过点M 作MN ∥CD 交DP 于点N ，则在PCD ∆中， 81=PDPN. 因为AB ∥CD ，所以MN ∥BA.连接AN ，由（1）知CD ⊥平面ADP ，所以AB ⊥平面ADP.所以AB ⊥AD ，AB ⊥AN.所以∠DAN 为二面角C —AB —M 的平面角.………………………10分在PAD ∆中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则81=ADAS ， 所以AS=21，2787==PA NS ，所以NA=225.所以102cos cos ==∠=∠NA AS SAN DAN .所以二面角C —AB —M 的余弦值为102. …………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C的方程是2214x y +=． ……………………… 4分（Ⅱ）设直线l 的方程设为y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(14)8440k x ktx t +++-=则有122814kt x x k -+=+，21224414t x x k -=+，由22041k t ∆>⇒+>；12121222()214ty y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ …………… 6分设,A B 的中点为(),D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k +==+ 因为直线PD于直线l垂直，所以113PD n k k m-=-=-得21149t k =-+ ………… 8分2204190k t t ∆>⇒+>⇒-<<因为21cos 2cos 13APB APD ∠=∠-=-所以cos APD ∠=,tan APD ⇒∠=所以2ABPD=，由点到直线距离公式和弦长公式可得PD=，AB===………10分由2ABPD==21149tk=-+解得()19,0t=-∈-，k=直线l的方程为1y=-或1y=-. …………12分解法二（Ⅱ）设直线l的斜率为k，设1122(,),(,)A x yB x y，,A B的中点为()00,D x y，所以1212y ykx x-=-，1202x xx+=，1202y yy+=由题意221122221(1)41(2)4xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，(1)式(2)-式得()()()()121212124x x x xy y y y-++-+=⇒()()()()1212121214y y y yx x x x-++=⇒-+14ykx+=又因为直线PD 与直线l 垂直，所以00131y k x -=-由0000104131y k x y k x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得001949y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (6)分因为21cos 2cos 13APB APD ∠=∠-=-所以cos APD ∠=,tan APD ⇒∠=所以2ABPD= ………8分PD ===设直线l 的方程设为()200419k y y k x x y kx +-=-⇒=-，联立22241914k y kx x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y得()2222284141(14)44099k k k k x x +⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭120829x x x k +==，221224144914k x x k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+，由2020k ∆>⇒<AB === (10)分2AB PD==k =2020k ∆>⇒<. ，由2419k y kx+=-得直线l的方程为1y -或1y =-. (12)分21.解析：（1）R x a e x f x ∈-=,)(/.若0≤a ，则0)(/>x f 恒成立，所以，)(x f 在区间()+∞∞-,上单调递增.........2分若0>a ，当()+∞∈,ln a x 时，0)(/>x f ，)(x f 在()+∞,ln a 上单调递增. 综上，当0≤a 时，)(x f 的增区间为()+∞∞-,；当0>a 时，)(x f 的增区间为()+∞,ln a ......................................................... 4分（2）由于1=a ，所以，()1()(1)11x k xf x k x e x x -'<⇔--<++当0>x 时，10x e ->，故()1()111x xx k x e x k x e +--<+⇔<+- ————①......6分令()1(0)1x x g x x x e +=+>-，则()()().1)2(11122/---=+---=x x x x x e x e e e xe x g函数2)(--=x e x h x 在()+∞,0上单调递增，而.0)2(,0)1(><h h 所以)(x h 在()+∞,0上存在唯一的零点， 故)(/x g 在()+∞,0上存在唯一的零点. .............................8分 设此零点为α，则()2,1∈α.当()α,0∈x 时，0)(/<x g ；当()+∞∈,αx 时，0)(/>x g ； 所以，)(x g 在()+∞,0上的最小值为)(αg .由,0)(/=αg 可得,2+=ααe .........................................................10分所以，().3,21)(∈+=ααg 由于①式等价于)(αg k <. 故整数k的最大值为2. .............................................12分22．解析：（1）连接OC ，OE ， 因为AE AC=，所以12AOC AOE COE ∠=∠=∠，.................2分又因为12CDE COE ∠=∠，则AOC CDE ∠=∠， 所以,,,O C D F四点共圆.………………5分（2）因为PBA 和PDC 是O 的两条割线，所以PD PC PA PB =⋅，……………7分 因为,,,O C D F 四点共圆,所以PDF POC ∠=∠，又因为DPF OPC ∠=∠， 则PDF ∆∽POC ∆， 所以PD PF POPC=，即PFPO PD PC =⋅则PF PO PA PB =⋅.………………10分23．解析：（1）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，化0y --=，……………………2分将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入0y --=得cos sin 0θρθ--= (4)分（2）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=.………………6分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩8分所以l与C交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π (10)分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩， (6)分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………8分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l与C交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π (10)分24．解析：（1）当1a =时，|21||21|2x x x -++≤+1242x x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-≤+⎩无解， 111022222+x x x ⎧-<<⎪⇒≤<⎨⎪≤⎩， 11222342x x x x ⎧≥⎪⇒≤≤⎨⎪≤+⎩………………………3分综上，不等式的解集为2{0}3x x ≤≤.………………5分 （2）|2||21|2x a x x -++≥+，转化为|2||21|20x a x x -++--≥ 令()|2||21|2h x x a x x =-++--，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x ah x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得min ()12a h x =-,令10,2a -≥a 得 2.a ≥a ………………10分。