江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷（总分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

⒈若集合}2,1{-=m A ，且}2{=B A ，则实数m 的值为 。

⒉若复数z 满足2)1(=-z i （i 为虚数单位），则=z 。

⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。

⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。

⒌若1e ，2e 是两个单位向量，212e e a -=，2145e e b +=，且a ⊥b ，则1e ，2e 的夹角为 。

⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。

⒎函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4sin 2)(πx x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间为 。

⒏若等比数列{}n a 满足43=-m a 且244a a a m m =-（*N m ∈且4>m ），则51a a 的值为 。

⒐过点)3,2(且与直线1l ：0=y 和2l ：x y 43=都相切的所有圆的半径之和为 。

⒑设函数)(x f y =满足对任意的R x ∈，0)(≥x f 且9)()1(22=++x f x f 。

已知当]1,0[∈x 时，有242)(--=x x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛62013f 的值为 。

⒒椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左焦点为F ，直线m x =与椭圆相交于A ，B 两点，若FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积为ab ，则椭圆的离心率为 。

⒓定义运算，则关于非零实数x 的不等式的解集为 。

⒔若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为 。

⒕若实数a 、b 、c 、d 满足143ln 22=-=-dc b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 。

二、解答题：本大题共6小题，计90分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

⒖（本小题满分14分）已知函数33cos sin 4)(+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x x f 。

⑴求)(x f 的最小正周期；⑵求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值。

⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E 为的PC 中点。

⑴求证：PA ∥平面BDE ；⑵求证：平面PBC ⊥平面PDC 。

⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线l 一侧C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l 上设立了A 、B 两个报名点，满足A 、B 、C 中任意两点间的距离为10千米。

公司拟按以下思路运作：先将A 、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点D 处（点D 异于A 、B 两点），然后乘同一艘游轮前往C 岛。

据统计，每批游客A 处需发车2辆，B 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。

设∠α=CDA ，每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本S 元。

⑴写出S 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； ⑵问中转点D 距离A 处多远时，S 最小？ ⒙（本小题满分16分）如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+b y a x （0>>b a ）相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D （均不重合）。

为1d 、2d ，①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别求2221d d +的最大值；②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程。

⒚（本小题满分16分）设函数b ax x x f nn ++-=3)(（*N n ∈，R b a ∈,）。

⑴若1==b a ，求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值；⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ，都有1)()(2313≤-x f x f ，求a 的取值范围； ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21，求b a ,的值。

⒛（本小题满分16分）设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题上： 命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式1113221111+++=+++n n n a a b kn a a a a a a 对任意n （*N n ∈）恒成立，其中b k ,是常数。

⑴若p 是q 的充分条件，求b k ,的值；⑵对于⑴中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由；⑶若p 为真命题，对于给定的正整数n （1>n ）和正数M ，数列{}n a 满足条件M a a n ≤++2121，试求nS 的最大值。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学附加部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。

请把答案写在答题纸的指定区域内。

A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、E 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAE ，DC 是⊙O 的切线，交AE 的延长线于点D 。

求证：CD ⊥AE 。

B ．（选修4－2：矩阵与变换）求曲线01222=+-xy x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中⎢⎣⎡=01M⎥⎦⎤20，⎢⎣⎡-=11N ⎥⎦⎤10。

C ．（选修4－4：坐标系与参数方程） 已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，求直线l 截圆C 所得的弦长。

D ．（选修4－5：不等式选讲） 若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分。

请把答案写在答题纸的指定区域内。

22．（本小题满分10分）正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为4，D 为的1CC 中点。

（1）求证：1AB ⊥平面BD A 1； （2）求二面角B D A A --1的余弦值。

23．（本小题满分10分）已知数列}{n a 满足21=a ，)1(11+-=++n a a n n n 。

（1）证明：n a n >（3≥n ）；（2）证明：243234<++++n n 。

盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 4 2.2 3. 35 4. 183 5. 23π 6. 16 7. ,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.16 9. 42 10.5 11.22 12. ()[)1,00,2,2⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦13. 35 14.()221ln 25- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（Ⅰ）()24sin cos cossin sin32sin cos 23sin 333f x x x x x x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭sin 23cos 2x x =+………………………………………………………………………………………2分2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………………………4分所以22T ππ==……………………………………………………………………………………………7分（Ⅱ）因为46x ππ-≤≤，所以22633x πππ-≤+≤……………………………………………………9分所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，当2,36x ππ+=-即4x π=-时，()min 1f x =-，当2,32x ππ+=即12x π=时，()min 2f x =，……………………………………………………………14分16.证明(1)连接AC 交BD 于O ,连接PO EO ,∵四边形ABCD 是菱形, ∴O 是AC 中点, ……………………………………………………………2分又E 为PC 中点.∴PA ∥EO (4)分又BDE EO 面⊂,BDE PA 面⊄∴PA ∥平面BDE (7)分(2)在△PAC 中,易得3===PO CO AO ∴ 90=∠APC ,∴22=PC ………………………9分∴在△PDC 中可求得2=DE ,同理在△PBC 中可求得2=BE∴在△BDE 中可得90=∠BED ,即BE ⊥DE ………………………………11分又BC PB =,E 为PC 中点, ∴BE ⊥PC ………………………………12分BE ⊥面PDC ,又⊂BE 面PBC ∴平面⊥PBC 平面PDC …………………14分17．解: (1)由题在ACD ∆中，2,,10,333CAD ADC AC ACD πππα∠=∠==∠=-．由正弦定理知102sin sin sin 33CD AD ππαα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，得210sin 533,sin sin CD AD παα⎛⎫- ⎪⎝⎭==……………3分260340sin 348121248080sin S AD BD CD CD AD παα⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴=++=-+=+3cos 220360sin 33x αππα-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭…………………………………………7分(2)'213cos 203sin S αα-=，令'0S =，得1cos 3α=…………………………………10分 当1cos 3α>时，'0S <；当1cos 3α<时，'0S >，∴当1cos 3α=时S 取得最小值………………12分此时2253cos 5sin 56sin ,53sin 4AD αααα+===+， ∴中转站距A 处20564+千米时，运输成本S 最小………………………14分18．解: (1)由题意知:222,1,23a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为1422=+y x 与圆O 的方程122=+y x …………………………4分 (2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则202022221)1(++==+y x PM d d 因为142020=+y x 所以316)31(3)1(442020202221++-=++-=+y y y d d ,…………………7分 因为110≤≤-y 所以当310-=y 时2221d d +取得最大值为316，此时点)31,324(-±P …………9分 (3)设1l 的方程为1+=kx y ,由⎩⎨⎧=++=1122y x kx y 解得)11,12(222k k k k A +-+-；由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 解得)4141,148(222k k k k C +-+-…………………………………11分 把C A ,中的k 置换成k 1-可得)11,12(222+-+k k k k B ，)44,48(222+-+k k k k D …………………………12分 所以)12,12(222k k k k MA +-+-=，)418,148(222kk k k MC +-+- )12,12(22+-+=k k k MB ，)48,48(22+-+=k k k MD 由34MA MC MB MD ⋅=⋅得44413222+=+k k k 解得2±=k ………………………15分 所以1l 的方程为12+=x y ，2l 的方程为122+-=x y 或1l 的方程为12+-=x y ，2l 的方程为122+=x y …………………………16分 19．解(1) ()1333++-=x x x f ()332'3+-=∴x x f ……………………………… 2分 ∴在()1,0内, ()0'3>x f ，在()2,1()0'3<x f∴在()1,0内, ()1333++-=x x x f 为增函数，在()2,1内()1333++-=x x x f 为减函数∴函数()1333++-=x x x f 的最大值为()313=f ，最小值为()123-=f ………………………………4分（2）∵对任意21,x x 有()()1||2313≤-x f x f ，∴()()1|11|33≤--f f 从而有1|26|≤-a ∴2161≤≤a ………………………………………………………………………………6分又()a x x f 332'3+-=∴()x f 3在[][]1,,,1a a --内为减函数，()x f 3在[]a a ,-内为增函数,只需()()1||33≤--a f a f ，则14≤a a∴a 的取值范围是316161≤≤a ……………………………………………………………………………10分 （3）由()21||4≤x f 知()211214≤≤-f ①()211214≤-≤-f ②， ①加②得2321≤≤b 又∵()210214≤≤-f ∴2121≤≤-b ∴21=b ……………………………………14分ABCD E O将21=b 代入①②得00≤≤a ∴0=a ……………………………………………………………………16分 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则原等式可化为12231111111111,n n n kn bd a a a a a a a a ++⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭所以11111n n nd kn b d a a a a +++⋅=， 即()10k n b -+=对于n N *∈恒成立，所以1,0.k b ==…………………………………………………4分（2）当1,0k b ==时，假设p 是否为q 的必要条件，即“若1223111111n n n na a a a a a a a +++++=①对于任意的()n n N *∈恒成立，则}{n a 为等差数列”. 当1n =时，121211a a a a =显然成立.……………………………………………………………………………6分当2n ≥时，12231111111n nn n a a a a a a a a -+-+++=②，由①-②得， 111111n n n n n n a a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()111n n na n a a +--=③. 当2n =时，1322a a a +=，即1a 、2a 、3a 成等差数列，当3n ≥时，()()1112n n n a n a a ----=④，即112n n n a a a -+=+.所以}{n a 为等差数列，即p 是否为q 的必要条件. ……………………………………………………………………………………………………10分(3)由2211n a a M ++≤，可设11cos ,sin n a r a r θθ+==，所以r M ≤.设}{n a 的公差为d ，则11sin cos n a a nd r r θθ+-==-，所以sin cos r r d nθθ-=，所以sin cos sin n r r a r nθθθ-=-，()()()11cos 1sin 22n n a a n n n S r θθ+++-==()()()222112122n n M M n ++-≤⋅=+，所以n S 的最大值为()2212M n +……………16分附加题答案21. A 、【证明】连结OC ，所以∠OAC=∠OCA， 又因为CA 平分∠BA E ，所以∠OAC=∠EAC ， 于是∠E AC=∠OCA，所以OC//AD.又因为DC 是⊙O 的切线，所以CD⊥OC， CD⊥A E ………………… 10分 B ．解：MN =⎥⎦⎤⎢⎣⎡20011011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=1022⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，………………………………………………………………4分 设,P x y ''（）是曲线22210x xy -+=上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点,P x y '（）， 则有10'22'22x x x y y x y '⎡⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎤==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎥''--+⎦⎣⎦⎦⎦⎣⎣⎣，于是x x '=，2yy x '=+.……………………………………8分 代入22210x x y '''-+=得1xy =，所以曲线22210x xy -+=在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为1xy =………………………10分 C ．圆C 的方程为 1)2(22=-+y x ；直线l 的方程为 1=+y x .故所求弦长为22120=-+=d .…………………………………………………………………………10分D ．证明：由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦…………………7分又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以1232332x x x ++++-<.………………………………………………10分22. 解：取BC 中点O ，连AO ，∵ABC ∆为正三角形， ∴BC AO ⊥，∵在正三棱柱111C B A ABC -中，平面ABC ⊥平面11B BCC ,∴⊥AD 平面11B BCC ，取11C B 中点为1O ,以O 为原点，OB ,1OO ,OA 的方向为,x y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则)0,4,2(),32,0,0(),32,4,0(),0.2,2(),0,0,2(11B A A D B -.∴)32,4,2(),0,2,4(),32,4,2(11-=-=-=BA BD AB , ∵00881=++-=⋅BD AB ,01216411=-+-=⋅BA AB .∴BD AB ⊥1，11BA AB ⊥,∴⊥1AB 面BD A 1………………………………………………………5分（2）设平面AD A 1的法向量为),,(z y x n =,)0,4,0(),32,2,2(1=--=AA AD 。