常微分方程的线性多步法
线性多步法
多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
简单的介绍多步法应用于常微分方程的数值解。
从概念上讲，数值方法从初始点开始，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
该过程的下一步是绘制解决方案。
一步法（例如Euler方法）仅引用前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge Kutta之类的方法采取一些中间步骤（例如，半个步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步尝试通过保留和使用先前步骤中的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法涉及前几个要点和导数。
在多步的情况下，使用先前点和导数的线性组合。
[1-3]具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值问题结果是离散时间的Ti的Y（T）的近似值其中h是时间步长，而I是整数。
Multistep使用上一步中的信息来计算下一个值。
特别地，多步法使用Yi和f（Ti，Yi）来计算所需当前步长的Y值。
因此，多步方法是以下形式的方法：确定系数AI和Bi。
该方法的设计者选择系数平衡了对实际解决方案的需求，以便获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化该方法。
显式和隐式方法可以区分。
如果Bi = 0，则该方法称为“显式”，因为它可以直接计算yn + s。
如果Bi≠0，则该方法称为“隐式”，因为YN + s的值取决于f（TN + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
1.5 线性多步法解析
Newton后插公式（一般当x靠近xn时用） 将节点顺序倒置, 则 N n ( x ) f [ xn ] f [ xn , xn 1 ]( x xn ) f [ xn , xn 11 , , x0 ]( x xn )( x xn 1 )
n
( x x1 )
t k 设x xn th, 则N n ( x ) N n ( xn +th ) （-1） f ( xn ) k 0 k f ( n 1) ( ) Rn ( x ) t (t 1) (t n )h n 1 , ( x0 , xn ) (n 1)!
k (n)un =h j f n j (1.41)
j 0
k
其中
f n j f (tn j , un j ),
j 和 j是常数，且 k 0,
0和 0不同时为0
用(1.41)计算unk需用到前 k 个节点的值 un , un1, , unk 1，
n
, n)
Newton前插公式（一般当x靠近x0时用） t k 设x =x0 +th, 则N n ( x ) N n ( x0 +th ) f ( x0 ) k 0 k f ( n 1) ( ) Rn ( x ) t (t 1) (t n )h n 1 , ( x0 , xn ) (n 1)! t t (t 1)(t 2)...(t k 1) , k k! t 0 1
k
二、线性多步法
单步法：计算节点tn = t0 + nh的近似值 un 仅用到前一节点的 值un- 1 ，故从初值 u0可算出以后各节点的值。
欧拉法和梯形法的回顾
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
常微分方程数值解法2线性多步法
03
常见的线性多步法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最简单的一种方法，它基于线性近似，通过已知的函 数值来估计新的函数值。
详细描述
欧拉方法的基本思想是利用已知的函数值来估计下一个点的函数值。具体来说，假设我 们有一个函数 (y = f(x))，在已知 (x_0) 处的函数值 (y_0 = f(x_0)) 的情况下，欧拉方法 通过线性插值来估计 (x_1) 处的函数值 (y_1)，即 (y_1 = y_0 + h f(x_0))，其中 (h) 是
05
线性多步法的优缺点
优点
稳定性好
线性多步法在处理常微分方程时具有较好的数值稳定性， 能够有效地抑制数值振荡，提高计算结果的精度。
01
易于实现
线性多步法的计算过程相对简单，易于 编程实现，适合于大规模数值计算。
02
03
精度可调
通过选择不同的步长和线性多步法公 式，可以灵活地调整计算结果的精度， 满足不同的数值模拟需求。
改进方法的收敛性
研究收敛性条件
深入研究线性多步法的收敛性条件，了解哪些情况下方法可能不收 敛，并寻找改进措施。
优化迭代算法
通过优化迭代算法，提高方法的收敛速度和精度，减少迭代次数， 提高计算效率。
引入预处理技术
利用预处理技术对线性系统进行预处理，改善系统的条件数，提高方 法的收敛性。
拓展应用领域
在工程问题中的应用
控制系统设计
在工程领域中，线性多步法可以用于控制系统设计，通过 建立控制系统的数学模型，设计控制算法和控制器，实现 系统的稳定性和性能优化。
常微分方程中的常系数线性方程及其解法
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
线性多步法
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
常微分方程数值解的多步法。
从概念上讲，一种数值方法是从一个初始点开始的，然后在时间上向前迈出一小步，以找到下一个求解点。
以下过程绘制解决方案。
单步方法（例如欧拉方法）仅参考前一点及其导数来确定当前值。
诸如Runge-Kutta之类的方法采取了一些中间步骤（例如，半步骤）来获得高阶方法，但是在进行第二步之前会丢弃所有先前的信息。
多步方法试图通过保留和使用先前步骤的信息而不是丢弃信息来提高效率。
因此，多步法是指前几个点和导数值。
在多步法的情况下，使用先前点和导数值的线性组合。
具体定义常微分方程的数值方法近似地解决了形式初值的问题结果是离散时间ti处y（t）的近似值：其中h是时间步长，而i是整数。
多步方法使用上一个S步骤的信息来计算下一个值。
特别地，多步方法使用yi和f（ti，yi）来计算当前步骤所需的y值。
因此，多步方法是一种具有以下形式的方法：确定系数ai和bi的方法。
该方法的设计者选择系数来平衡对实际解决方案的需求，从而获得一种易于使用的方法。
通常，许多系数为零以简化方法。
可以区分显式和隐式方法。
如果bi = 0，则此方法称为“显式”，因为此公式可以直接计算yn + s。
如果bi≠0，则此方法称为“隐式”，因为yn + s的值取决于f（tn + s，yn + s），并且必须为yn + s。
迭代方法（例如牛顿法）通常用于求解隐式公式。
第六章 第四节 线性多步法
上式中右端的 y ( xi ) 用 y i 代替，就有
1 y n 1 y ( xn ) h[9 f ( x n1 , y n 1 ) 19 f ( xn , y n ) 24 5 f ( xn 1 , y ( x n 1 )) f ( xn 2 , y ( xn 2 )
.9
1 .0
三、小结
1、多步法的基本思想 2、线性多步法
Adams内插公式
1 h[9 f ( x n1 , y n 1 ) 19 f ( xn , y n ) 24 5 f ( xn 1 , y ( x n 1 )) f ( xn 2 , y ( xn 2 ) y n 1 y ( xn )
( x x n )( x x n 2 )( x x n 3 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ( x n 1 x n )( x n 1 x n 2 )( x n 1 x n 3 )
( x x n )( x x n 1 )( x x n 2 ) f ( x n 2 , y ( x n 2 )) ( x n 2 x n )( x n 2 x n 1 )( x n 2 x n 3 )
( x xn )( x xn1 )( x xn2 ) f ( xn3 , y( xn3 )) ( xn3 xn )( xn3 xn1 )( xn3 xn2 )
用上式代替（4.1）式右端积分中的 得到 y ( x n 的近似值 1)
f ( x, y( x)) ，也将
y n 1 y ( x n )
xn 1 xn
Hale Waihona Puke P3 ( x)dx令 x xn uh ，并注意到
常微分方程初值问题RK法和多步法
常微分方程初值问题RK法和多步法科J教文}化●常微分方程初值问题科法和多步法李忠杰(山东商务职业学院,山东烟台264670)摘要:常微分方程的差分方法分为单步法和多步法,RK方法是最常用的单步法,而Adams方法是常用的多步法之一,本文探讨了求解常微分方程初值问题单步法和多步法,从运算量,计算精度两个方面分析和比较了同阶RK法和多步法.关键词:RK法;多步法;运算量;精度1概述求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法,单步法主要有欧拉法和Runge—Kutta法,多步法主要有Adams法和Milne法,本文仅以最常用的Runge—Kutta法和Adams法分别作为单步法和多步法的例子,对两种方法进行分析比较.2方法介绍2.1RK法Euler法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法,但其局部截断误差仅为O(h),是一阶方法,为了达到更高的精度,我们构造了RK法.通过构造高阶单步法来提高精度,而较高的精度意味着计算结果更加精确,误差随着的减小迅速减小,考虑常微分方程:Y=f(x,),y(0)=Y o,(2lj利用Taylor级数法构造(,y,h),使)'()=y()+,y(),^)+)中的局部截断误差尽可能高,最常用的就是四级四阶RK 法,其局部截断误差为O(h).单步法的一般形式是HY+hg(,,h)(n=0,1,2,?一,N一1)(2.2)这是因为单步法在计算时都只用到前一步的值,为了提高精度,需要重瓤计算多个点处的函数值(例如RK法),计算量较大.多步法的基本思想是如何通过较多地利用前面的已知信息(如Y,y一,Y…)来构造高精度的算法计算Y.四级四阶RK的常用基本格式有…y+【=Th(clKl十c2K2十f,+c4K4)K=f(x,Y)Ke=,(+ash,Y+b2】hKI)(2.3)1,23一f(x+a3h,y+b31hK14-2hK2)K4=fIx+d4h,+shKt+2hKz十3hX31通过取定不同的1和a会得到y+1=y+;(K1+2K2+2K3+K4)Kf(xK2,t十K,(j+K4,t+和hK.t)(2.4)hKhK)=++√2+(2一+1l=f(,):::曼hk"1+(1一./2x,~--1c:厂(+,,+——一—))k:,y一7-+mI以及=yH+h(O17476028KE0.55148053K2+017118478K:J=,(,)04矗O觚),2.6,=,+0.455737254hv.+0.29697~60^O15卵5966艋j=+by.to.2181oo38h~3.0509646470tK2十383286432hff3) 其中,式(24)是最为常用的经典四级四阶RK格式,式(25)称为Gill格式22多步法常用的多步法主要有Adams法和Milne法,本文仅以Adams法为例介绍多步法,其中Adams法又包括显式Adams法和隐式Adams法.显式Adams法:Adams～Bashforth公式:y=+△=_其中.出_卜1):ds,m:,公式(2_7)又称为Adams外插公为方便汁算,改用函数值表示后差:霉.c从而(2.7)式可以写成=)'+^∑(28)其中i=o&_(_km,j=0,l,2,…,足.困(27)或(2.8)是显式公式,所以又称它们为显式Adams公式,易见显式Adams公式(2.7)或(2.8]是线性(+1)步公式.常刚的四阶盟式Adams公式为日+=+(55一59一十37A一一9.)(29)22.2隐式Adams法+△+(2.10)其中,,_(-_Im=0,.',.称(210)为Adams—Mouhon公式.NNN~-顿向后插值多项基点为,…,,而积分区问为f,+』,故上式又称为Adams内插公式,该式为隐式公式,故又称为隐式Adams公式. 闪V=喜c-¨1,故(2.1O)式可改写成+一+∑(2川)~.-ee,一五kmJ_U,1,2,…,常用的四阶隐式Adams公式=+(+1+)(2-12)这是一个关于+的隐式方程,在计算中,需要将式(2.12)写成显式格式,但一些方程难以求出其砬式格式,这就需要将四阶最式Adams法和四阶隐式Adams法结合起来,用显式公式(2.9)作为预测,然后用隐式公式(2.I2)作校正,构造Adams 预测一校正公武fb(55L-59,r甲3z,广2)l+=+(9+(州+)+19L5一+吨)式(2l3)为四阶公式,式中的初始值除yo已给定,y,y,y常用四阶RK法计算.3运算量及精度比较3.1运算量比较叫级RK法每前进一步需要计算四个函数值,对N级RK法,每计算一步,函数f需要计算N 次.闪此,对给定的N,我们总是希构造阶数最高的方法,记P(Ⅳ,是N级RK法所能达到的最高的阶数,已经得到下面的结:fN,当Ⅳ=l,2,3,4H,jP(Ⅳ)={N1,当=5,6,7时lN-2,当.v=8,州由此可见,当N25时,pON)<N,从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法.对于显式Adams法, 已知Yn～3,一:,yn和Y,把它们代入到式(2_9)右端,就可以直接得到+,因而是一个四级四阶的方法,应用公式时需要提供主yo,y.,Y:和v=;4/b-N 始值,通常也是由经典RK公式提供.同样,对于四阶隐式Adams法.式(2.12)是一个三级四阶的,应用该公式需要提供3个初始值y0,Y和y2,通常由经典RK公式提供.32精度比较3.2.1RK法精度对四阶RK法,川测试方程分析其精度.Y=f(x,y)=0y(1)假设Y是已知的,y.的精确值为:(")=8(32)Tavh>r展开得:m)一刍寺{㈤+ll,●3jJ另一方面,将式(3.2){Jd.fi.(3.1)得:)f+ah+2~h)+寺^)+未(.){(34)比较上式与(3.3),表明四阶RK法精度的阶为4,一步迭代的误差与h成比例,即局部截断误差为O(h).3.2.2多步法精度式Adams法的局部截断误差是=l1出(=(一j"J1"(贝0,=+fo'(-1/+~--T—l}+()=^a}+1Y(∈)xn一<∈<(下转309页)一199—工I程I科I技浅谈地下室的防水赵春明郝力(哈尔滨大都会房地产开发有限公司,黑龙江哈尔滨150000)摘要:地下防水工程是地下工程建设中的一个重要组成部分,针对地下室的防水措施进行了论述.关键词:地下室;防水;措施地下防水工程是地下工程建设中的一个重要组成部分,地下室防水采用混凝土结构自防水与外墙全粘贴SBS高聚物改性沥青卷材防水相结合的施工技术,这里介绍防水混凝土,卷材防水及穿墙管道,施工缝的施工.工程是江北某高层地下室的防水,防水计划采用刚性防水和柔性防水相结合的防水体系.底板和外墙采用混凝土结构自防水与SBS高聚物改性沥青卷材防水相结合,混凝土抗渗品级为S6,柔性防水为4mm厚SBS高聚物改性沥青防水卷材.穿墙的管件防水采用满焊止水环及钢板封口,施工缝处的防水采用钢板板止水带和橡胶止水条.地下室防水混凝土施工,混凝土使用商品混凝土抗渗品级计划为s6,外加剂采用硅质密实剂防水剂,地下室底板混凝土属于大体积大面积施工,混凝土浇筑时应采用"分区定点,一个坡度,循序推进,一次到底"的浇筑工艺.浇筑时先在一个部位进行,直至达到设计标高,混凝土形成扇形向前流动,然后在其坡面上连续浇筑,循序推进.该要领能较好顺应泵送工艺, 制止通常拆卸运送混凝土管道,前进泵送屈从, 简化混凝土的泌水处理,并保证了上下层混凝土不超过初凝时间.墙体混凝土,浇筑时要严酷控制分层厚度,每次浇筑厚度应控在0.5m左右,每次浇筑墙体长度不大于30m,浇筑时应保证一连性.混凝土坍落度的控制,本工程采用商品混凝土,要严格控制混凝土的和易性,采用低坍落度混凝土,混凝土坍落度现场实测值控制在(120±20)ram;当混凝土运到现场后出现离析, 必须退还搅拌站进行二次搅拌,混凝土浇筑时要保证合理的分段分层施工,分层厚度为0.3m,分层的接头时间间隔不超过2h,施工中交接的临时结合的竖向缝,要互相错开.混凝土振捣:根据泵送浇筑时自然形成一个坡度,防水混凝土施工必须采用高频机械振捣,严格控制振捣的间距和时间.每一振点的振捣时间,应将混凝土捣实至表面呈现浮浆,不冒气泡和不再沉落为准,振捣时间为20～30s,避免漏振,少振和超振.混凝土的表面处理;大体积泵送混凝土,排除泌水和浮浆后,表面仍有较厚的水泥浆,在浇完4～5h后,要用长括尺括平,在初凝前用滚筒来回碾压数遍,待接近终凝前,用木抹子再打磨一遍,使收水裂缝闭合.混凝土养护; 大体积混凝土的内外温差大,必须做好养护工作.本工程采用浇水养护并覆盖塑料薄膜,防止混凝土水分蒸发和表面脱水而产生干缩裂缝, 养护时间不少于14d.SBS高聚物改性沥青防水卷材,地下室卷材防水层的施工要领基础上有两种:外防外贴法和外防内贴法.本工程接纳外防外贴法,即待墙体围护结构施工完成后,将立面卷材防水层直接铺贴在围护结构的外表面,最后采取保护措施的方法.施工前要将下层整理清洁,涂刷下层处理剂时,下层应平整牢固,清洁干燥,下层处理剂应与卷材的材性相容,涂刷时要匀称同等.下层处理干燥后,先按计划要求对有特别部位做防水附加层,如阴阳角处应做成圆弧或钝角,并贴上1层SBS卷材做附加层,宽度不小于500mm,卷材铺贴采用全粘贴热熔法施工, 铺贴卷材时应先铺贴平面,后铺贴立面,交接处应交织搭接,从平面折向立面时,应暂时贴附在该墙上或模板上.围护结构完成后,铺贴立面墙体卷材之前,应先将暂时性掩护墙区段内各层卷材的接搓揭开,并将其外貌整理清洁.如卷材有局部破坏,应进行修补后方可继续施工.铺贴卷材时必须满粘法施工.卷材防水层经检查及格后,应实时做好掩护层.底板卷材防水层的细石混凝土保厚度不应小于50ram,侧墙卷材防水层接纳2O厚l:3 的水泥砂浆掩护层.SBS高聚物改性沥青防水卷材应具有良好的耐水性,历久性,耐刺穿性和耐腐性.防水层的厚度不应小于3mm,单层使用时,厚度不应小于4mm;双层使用时,总厚度不小于6mm,地下室底板卷材长边搭接宽度不小于100mm,短边搭接宽度不小于150ram;同一层相邻两幅卷材铺贴时,短边搭接处应错开150mm以上.上下两层卷材禁垂直铺贴,且搭接缝宽应错开1/3 幅宽以上;地下室侧墙铺贴双层卷材接长时,应采用交叉法接缝,上层卷材接缝位置盖过下层150ram;在立面与平面的转角处,卷材的接缝应留在平面上,距立面不应小于600mm.穿墙管道,当结构变形或管道伸缩量较小时,穿墙管道可接纳直接埋人混凝土内的牢固式防水法,主管应满焊止水环.当结构变形或管科道伸缩量较大或有调换要求时,应采用套管式防水法,套管与止水环应满焊.当穿墙管线较多且密时,宜相对会集,接纳穿墙盒法,盒的封口钢板与墙上的预埋角钢焊严,并从钢板上的浇筑孔注人密封质料.各种穿墙管道,预埋件等位置要留置正确,穿墙管道和预埋件应在浇筑混凝土前预埋.穿墙管道与内墙角,凹凸部位的距离不小于250ram.金属止水环应与主管满焊密实,采用套管式穿墙管防水结构时,翼环与套管应满焊密实,并在施工前将套管内外表面清理干净.施工缝,底板与外墙的水平施工缝,应在缝处设置一圈宽200mm的钢板止水带.外墙间的垂直施工缝,可在缝处设置一竖直同墙高的宽200mm钢板止水带.防水混凝土施工应保证连续浇筑,尽量少留施工缝.当必须留置时,墙体水平施工缝不应留在剪力与弯矩最大处或底板与侧墙的交接处,应留在高出底板表面不小于300mm高的墙体上;当墙体有预留孔洞时,施工缝距孔洞边缘不小于300mm.水平施工缝浇筑混凝土时,应将其表面的浮浆和杂物扫除,先铺净浆,再铺30—50mm厚的l:1水泥砂浆或涂刷混凝土界面处理剂,并及时浇筑混凝土.垂直施工缝浇筑混凝土时,应将其表面清理干净,涂刷混凝土界面处理剂,并实时浇筑混凝土.施工缝采用遇水膨胀橡胶腻子止水条时,要将止水条牢固地安放在缝表面预留槽内.地下室防水工程在施工缝,穿墙构件等易渗点部位的施工质量,是关系到地下室防水质量的关键,必须制定周密的施工方案和采取切实有效的施工措施.特殊部位重点设防,施工时着力控制好每一环节,精心组织施工,在施工中进一步去完善就能达到预期要求,确保防水施工(上接199页)故,显式Adams法的局部截澎差的阶为矿).式(29)的局莉描毫塞为●C1RH=考+D(),利用牛顿后插值多项式的余项表达式,可得隐式Adams公式的局部截断误差的阶为D(^),因ll~(Zl2)的局部截断误差的阶为O(h),对照显式公式的局部截断误差阶为D(矿),可见同样步隐式公式较之显式公式更为精确,其局部截断误差阶高一阶.四阶四阶RK法的局部截断误差为O(h),而四级四阶显式Adams法的局部截断误差也为为01,这同三级四阶隐式Adams法的精度是一样的.由此可见,相同精度条件下,隐式Adams法的步数更少—些.参考文献【l】任玉杰.数值分析及其MA TLAB实现{北京: 高等教育出版社'2Oo73.闭戴嘉尊,邱建贤.微分方程数值解法南京:东南大学出版社20o22【3】袁慰平等计算方法与实习南京:东南大学出版毒±00o5'7.【4】李瑞遗何志庆等缀分方程数值方法呻上海: 华东理工大学~&2oo5.一309—。
算法大全第15章_常微分方程的解法
-1-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22dyy x dx=+，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是(,)()dyf x y a x bdxy a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩ (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数(,)f x y 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y (x )在若干点012N a x x x x b =<<<<=处的近似值(1,2,,)n y n N =的方法，(1,2,,)n y n N = 称为问题（1）的数值解，1n n n h x x +-=称为由n x 到1n x +的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商()()1n n y x y x h+-代替()n y x '代入（1）中的微分方程，则得()()()()1,(0,1,)n n n n y x y x f x y x n h+-≈=化简得()()()()1,n n n n y x y x hf x y x +≈+如果用()n y x 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为()1n y x +的近似值，记为1n y +， 则有()1,(0,1,)n n n n y y hf x y n +=+=(2)这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题()10,(0,1,)()n n n n y y hf x y n y y a +⎧=+=⎨=⎩ (3) 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出1y ,2y ,…。
常微分方程常用数值解法.
第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。
微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。
1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。
现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。
这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。
研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。
微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。
到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。
由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。
由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。
首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。
目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。
与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。
最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。
用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。
本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。
从而得到常微分方程的常用数值解法。
线性多步法
1.待求解问题描述
⎧ y ' = f (t , y ) ⎨ ⎩ y (t0 ) = y0
（1）
2、线性多步法表达式建立
Lk ( y (t ), h) = ∑ [α j y (t + jh) − hβ j y ' (t + jh)]
j =0
k
（2）
将
y (t + jh )
和
y ' ( t + jh )
公式性质： 1. 公式左边j=k项为我们需要求取得项，j<k的项为已 得项； 2. 公式右边可以使用f(t,y)直接带入求取； 3. 当右边 β k ≠ 0 时，公式所得到的算法为隐式算法；否
则为显式算法。 4. (4) 式中，我们可以要求α k =1，因为如果α <>1，只需 公式两边同时除以 α k 即可使得 =1 k
⎧ ⎪c = α + α + α + ... + α = 0 k 0 1 2 ⎪0 ⎪c1 = α1 + 2α2 + ... + kαk − (β0 + β1 + β2 + ... + βk ) = 0 ⎪ ⎨... ⎪ 1 1 ⎪c p = (α1 + 2 p α2 + ... + k pαk ) − (β1 + 2 p−1 β2 + ... + k p−1βk ) = 0, p ≥ 2 p! ( p −1)! ⎪ ⎪ p = 2,3,... ⎩
⎪c = α + 2 − (β + β + β ) = 0 0 2 2 ⎪1 1 ⎪ 1 ⎨c2 α=0α1 + 4) − (β1 + 2β2 ) = 0 1、 = ( 2 ⎪ h yn+2 = yn+1 + [5fn+2 +8fn+1 − fn ] ⎪ 1 12 ⎪c3 = (α1 + 8) − 12(β1 + 4β2 ) = 0 6 ⎩
线性多步法
显式方法
显式方法定义 显式方法特点 显式方法实现步骤 显式方法优缺点
隐式方法
定义：需要解非线性方程组的数值方法 优点：精度高，稳定性好 缺点：计算量大，需要求解非线性方程组 应用：适用于非线性较强的系统
线性多步法的稳定性条件
稳定性定义：线性多步法在数值求解过程中保持解的稳定性和精度
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精度：线性多步法具有较高的计 算精度，能够得到较为精确的数 值结果。
易于实现：线性多步法易于实现， 可以通过简单的编程语言实现算 法。
线性多步法的基本结构
线性多步法的定义 线性多步法的特点 线性多步法的分类 线性多步法的应用场景
02
线性多步法的分类
基于位置的分类
06
线性多步法的未来发展
理论研究
线性多步法的理论分析 线性多步法的收敛性和稳定性 线性多步法的数值实现和算法优化 线性多步法在其他领域的应用前景
应用研究
线性多步法在科学计算中的应用
线性多步法在偏微分方程求解中 的应用
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线性多步法在控制系统中的应用
线性多步法在优化问题中的应用
应用：适用于解决初值问题，被广泛应用于科学计算和工程领域
与隐式方法的比较：隐式方法需要求解非线性方程组，而线性多步法可以直接使用线性方程组进 行计算
线性多步法的特点
稳定性：线性多步法具有较好的 数值稳定性和收敛性，能够避免 数值误差的积累。
适用范围广：线性多步法适用于 解决各种初值问题和边值问题， 具有较广的适用范围。
零阶方法：不使用历史信息
一阶方法：使用一个历史信息
第三节 线性多步法
① 取 β −1 = 0 可得欧拉方法 yi +1 = yi + h f i ② 取 β −1 = 1 可得隐式欧拉方法 yi +1 = yi + h f i +1 1 h ③ 取 β −1 = β 0 = 可得梯形方法 yi +1 = yi + ( f i +1 + f i ) 2 2
例1. 推导最高阶的线性二步方法显格式. . 推导最高阶的线性二步方法显格式. 显式线性二步 二步方法为 解: 显式线性二步方法为 yi +1 = α0 yi + α1 yi −1 + h ( β 0 f i + β1 f i −1 ) 法一（基于Taylor展开）： 法一（基于 展开）： 展开 LTE = y ( x i + 1 ) − α 0 y ( x i ) − α 1 y ( x i − 1 ) − h [ β 0 f ( x i , y ( x i )) + β 1 f ( x i − 1 , y ( x i −1 ))]
1 24
1 24
h4 y ( 4) ( xi )
− α 0 y ( x i ) − α 1 [ y ( x i ) − h y ′( x i ) + 1 h 2 y ′′( x i ) − 1 h 3 y ′′′( x i ) 2 6 h 4 y ( 4 ) ( x i )] − h { β 0 y ′( x i ) + β 1 [ y ′( x i ) − h y ′′( x i ) + 1 h 2 y ′′′( x i ) − 1 h 3 y ( 4 ) ( x i )]} + O ( h 5 ) 2 6
记
k −1 C 0 = 1 − ∑ α j j =0 k −1 k −1 C 1 = 1 + ∑ j α j − ∑ β j j =0 j = −1 k −1 k −1 1 1 1 m m −1 C m = m ! − m ! ∑ ( − j ) α j − ( m − 1)! ∑ ( − j ) β j , m = 2, 3 ⋯ p, p + 1 j =0 j = −1
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究及构造
5 结论 (54)致谢 (55)参考文献 (56)附录 (59)1 绪论解常微分方程在很多学科领域内都有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
但大部分的常微分方程其真解通常难以通过解析的方法来获得，至今有许多类型的微分方程还不能给出解的解析表达式，一般只能用数值的方法进行计算。
有关这一问题的研究早在十八世纪就已经开始了，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具，从而能使人们认识解的种种性质及其数值特征。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
对于常微分方程初值问题的数值计算方法，许多学者已经做了大量的工作。
Dahlquist[1]，J.C. Butcher[2]，P. Henrici[3]，和C.W. Gear[4]对于定义在有限区间上的情形作了比较详细的讨论，对于无界区间上的情形没有涉及。
但是文献[5] [6] [7]讨论了无界区间上常微分方程初值问题数值解的稳定性和收敛性。
本章主要介绍了常微分方程初值问题的研究状况以及本文将要讨论的问题。
1768年，Euler提出了关于常微分方程初值问题的方法，1840年，Cauchy第一次对初值问题进行了仔细的分析，早期的常微分方程数值解的问题来源于天体力学。
在1846年，当Adams还是一个学生的时候，和Le Verrier一起根据天王星轨道中出现的已知位置，预测了它下一次出现的位置。
1883年，Adams提出了Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法。
Runge、Heun和Kutta提出Runge-Kutta 方法。
二十世纪五十年代，Dahlquist[8][9]建立了常微分方程数值解法的稳定性理论，线性多步法是常微分方程初值问题的一种数值方法。
2常微分方程数值解法(2)线性多步法
数值分析
数值分析
同样，如果过节点xn＋1 , xn , xn 1 , xn 2的F ( x )三次 插值多项式为 L3 ( x )
3
i 1
l ( x )F ( x
i
2
n i
)
其中li ( x )
( x xn 1 )( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 ) ( x x n i ) ( x n i x n j )
数值分析
数值分析
如果令 1 2 3 3 0,由方程组可解得 9 19 5 1 0 =1， 1 , 0 , 1 , 2 24 24 24 24 相应的线性多步公式为 h yn 1 yn (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24 称其为四阶 Adams隐式公式，其局部截断误 差为 Rn 1 19 5 ( 5) h yn O ( h6 ) 720
Taylor展开为
'' y ' y ( x ) yn yn ( x xn ) n ( x xn )2 2 ( p) yn ( x xn ) p O(( x xn ) p 1 ) p!
假设前n步计算结果都是准确的，即yi y( xi ), y ' ( xi ) f ( xi , yi ) ( i n), 则有
' n
1 1 1 1 ''' 3 '' 2 ( 1 1 ) y n h ( ) yn h 2 6 2 2 1 1 1 (4) 4 1 1 1 (5) 5 ( ) yn h ( ) yn h 24 6 6 120 24 24 O ( h6 )
常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究
其次，应用常微分方程初值问题的线性多步法公式的构造理论和Ｍａｔｌａｂ的符 号运算，推导了求解常微分方程初值问题的２．３步法全部基本公式。
然后，应用线性多步法公式的收敛条件，筛选出其中收敛的公式，计算出了 公式的分数形式的系数，误差主项系数，阶数，绝对稳定区间。并且应用根轨迹 法绘制了其中绝对稳定的公式的稳定区域的图形，并对以上公式的性能作了分析。
线性理论虽然对一般问题具有指导作用，但其不能作为非线性刚性问题算法 的稳定性理论研究基础。为了将线性理论推广到非线性问题中，人们开始对非线 性模型问题进行研究。但是，早期文献主要致力于数值方法基于经典Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件下的经典收敛理论，即认为良好的稳定性加上经典相容性和经典相容阶就足以 描述方法的整体误差性态。直到１９７４年，Ｐｒｏｔｈｅｒｏ和Ｒｏｂｉｎｓｏｎ首先注意到算法 的经典误差估计由于受刚性问题巨大参数的影响而严重失真，产生阶降低现象， 这时人们认识到经典收敛理论对于非线性刚性问题以及线性模型的不足。于是， １９７５年，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ和Ｂｕｔｃｈｅｒ Ｄ２］分别提出了单支方法和线性多步法的Ｇ．稳定概 念和Ｂ．稳定概念。这两个概念填补了非线性稳定性分析理论，引起了计算数学家 们的极大关注，在上述理论的基础上，１９７５年至１９７９年，Ｂｕｒｒａｇｅ和Ｂｕｔｃｈｅｒ【ｌ ３】提 出了ＡＮ．稳定性与ＢＮ．稳定性概念，并相应地建立了基本的Ｂ．稳定及代数稳定理 论。１９８１至１９８５年，Ｆｒａｎｋ，Ｓｃｌｍｅｉｄ和Ｕｅｂｅｒｈｕｂｄｌ４１ Ｄ５］建立Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法 的Ｂ．收敛理论。Ｂ．稳定与Ｂ．收敛理论统称Ｂ一理论，它是常微分方程数值解法研究 领域的巨大成就之一，是刚性问题算法理论的突破性进展，标志着刚性问题研究 从线性向非线性情形深入发展。国内也有众多学者致力于Ｂ．理论的研究，如李寿 佛、曹学年【ｔ６】【１７Ｊ等。 １９８９年，李寿佛将Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ的Ｇ一稳定概念推广到更一般 的（ｃ，Ｐ，Ｑ）。代数稳定，克服了Ｇ．稳定的线性多步法不能超过二阶的限制。对于一 般线性方法，李寿佛建立了一般线性方法的（Ｋ，Ｐ，Ｑ）一稳定性理论及（ＫＰ，Ｑ）．弱代数 稳定准则和多步Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ法的一系列代数准则。此外，Ｄａｈｌｑｕｉｓｔ，Ｂｕｔｃｈｅｒ和 Ｈａｉｒｅｒ分别深刻地揭示了单支方法、一般线性方法和Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ方法线性与非 线性稳定性之间的内在关系。
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r r
x x 一般地，设由 r 1 个数据点 xn，f n ， n1，f n1 ， ， n r，f n r
Pr x f n j l j x ，l j x
j 0
k 0，k j
x xn k 。 xn j xn k
第八章常微分方程数值解法
表8-7
j 0 1 1 5 9 251 1 8 19 646 -1 -5 -264 1 106 -19 1 2 3 4
0 j
2 1 j 12 2 j 24 3 j 720 4 j
对于隐式公式（8.4.3），需要用迭代求解。确定 yn 1 的迭代公式为
yn1
p 1
r
p 1
( p 1) ( k ) p k ] y p 1 ( x n ) O( h p 2 )
k 1
第八章常微分方程数值解法
2 p 使 y xn ，h，h ， ，h 的系数为零，得到关于 k 和 k 的线性方程组
k 0 r k 1
1 2 Adams显式公式 2 h y x n
1 2 1 3 1 h y x n h4 y 4 xn Adams隐式公式 h y xn 2 12 24
19 5 5 h y xn 720
第八章常微分方程数值解法
8.4.2
基于Taylor展开的方法
多项式 Pr x ，则有
Pr x f n j 1l j x ，l j x
j 0
r
k 0，k j
r
x x n k 1 。 xn j 1 x n k 1
于是我们有如下的计算公式
第八章常微分方程数值解法
yn 1 yn h rj f n j 1，
可见，三秒末跳伞员的末速度约有 21 ft / sec 。 若将模型修改为 p=1.1，取 h=0.2，则有计算结果：
v0 0，v1 5.3216，v2 8.8911，v3 11 .2565， v4 12 .8630，v5 13 .9411，v6 146674 ，v7 15 .1552， v8 15 .4830，v9 15 .7030，v10 15 .8508，v11 15 .9500， v12 16 .0165，v13 16 .0612，v14 16 .0912，v15 16 .1113。
（8.4.5）
现利用Taylor展开定理，确定线性多步公式（8.4.4）中的待定参数 k， k ， 使她达到
p
阶精度，即 Tn1 O h
p 1
。
对（8.4.5）式的右端各项在
xn 点处作Taylor展开有
第八章常微分方程数值解法
kh j y j x kh p1 y p1 x O h p 2 ， y xn k n n p 1! j! j 0 p kh j y j x kh p1 y p1 x O h p1 。 y x n k n n ! p! j 1 j 1
s 1
r s yn h r 0 f x n1，yn1 rj f n j 1 ，s 0， ， 1， j 1
第八章常微分方程数值解法 迭代收敛条件为 h r 0 L 1，其中 L为f关于y 的Lipschitz常数 利用插值多项式的余项，可以求出 Adams方法的局部截断误差。当然
也可以从得到的显式和隐式 Adama公式，有局部截断误差的定义来求出方
法的局部截断误差。表 8-8中列出了它们的局部截断误差的主项，有表 8-8 可以看出，Adams隐式方法的局部截断误差要小。
表 8-8
r 0 1
5 3 h y xn 12
2
3 4 4 h y xn 8
3
251 5 5 h y xn 720
第八章常微分方程数值解法
yn 1 yn h rj f n j，
j 0
r
（8.4.2）
其中
r 1 1 x n1 tk rj l j x dx dt，j 0， ，r。 1 xn 0 h k 0，k j k j
由此可得（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。
公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利 用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，
可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径，下面先讨论
基于数值积分的方法。
第八章常微分方程数值解法
8.4.1 基于数值积分的方法
将（8.1.1）中的方程在区间 xn，xn 1 上积分，可以得到
第八章常微分方程数值解法
表 8-6
j 0 1 3 23 55 -1 -16 -59 -2774 5 37 2616 -9 -1274 251 1 2 3 4
0 j
21 j 12 2 j 24 3 j
720 4 j 1901
应用实例： 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述：F=ma。实验表明，空气阻力模型
y xn1 y xn
xn1
xn
f x，y x dx。 （8.4.1）
如推导Newton-Cotes求积公式一样，用等距节点的插值多项式来替代被积函 数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。 例如，用梯形方法计算积分项
x n 1
xn
h f x，y x dx f xn，y xn f xn1，y xn1 ， 2
k 1
第八章常微分方程数值解法 下面我们构造几个著名的四阶线性多步公式，考虑下列形式的公式
yn1 0 yn 1 yn1 2 yn 2 3 yn 3
5 4
h 1 f n1 0 f n 1 f n1 2 f n 2 3 f n 3 ，
第八章常微分方程数值解法 可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示
0
-5
-10
-15
-20
-25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
+ 表示 p=1时的解，* 表示 p=1.1时的解
第八章常微分方程数值解法
节点。这样的插值多项式 Pr x 在求积区间 x n，x n1 上逼近 f x，y x 是一
第八章常微分方程数值解法
8.4
线性多步法
8.4.1 基于数值积分的方法
8.4.2
基于Taylor展开的方法
8.4.2
基于Taylor展开的方法
第八章常微分方程数值解法
8.4
线性多步法
常微分方程初值问题（8.1.1）的数值解法中，除了Runge-
Kutta型公式等单步法之外，还有另一种类型的解法，即某一步的
p
将它们代入（8.4.5）式整理后得
Tn1
r h! (1 k ) y xn [1 ( k ) k k 0 j 1 j! k 1
r
p
j
j ( k ) k ] y j xn
k 1 r
r
j 1
h [1 ( k ) k p 1! k 1
p 为 F kv ，其中 1 p 2 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气
的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型：
第八章常微分方程数值解法
dv p m k v mg，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 0， dt
负号表示下降。显然，当 1< p <2 时，适合于数值方法求解。 设 k / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法
j 0
r
（8.4.3）
其中
r 0 1 xn1 tk rj l j x dx dt，j 0，，r， 1， xn 1 h k 0，k j k j
其具体数值见表 8-7。公式（8.4.3）是隐式公式，称为 Adams隐式公式。 r=0，1时分别为隐式 Euler公式和梯形公式。
vi 1 vi
h fi fi 1 ，i 1，， 2 2
求其他需要计算的值。当 p=1 时，取 h=0.2 有
第八章常微分方程数值解法
v0 0，v1 5.4400，v2 9.3920，v3 12 .3816， v4 14 .6187，v5 16 .2975，v6 17 .5564，v7 18 .5007， v8 19 .2088，v9 19 .7400，v10 20 .1383，v11 20 .4371， v12 20 .6611，v13 20 .8292，v14 20 .9552，v15 21 .0497。
第八章常微分方程数值解法 代入（8.4.1）式有
y xn1 y xn
h f xn，y xn f xn1，y xn1 。 2
据此即可导出公式（8.1.4）。
f ， 构造插值多项式 Pr x ，这里， k f xk，yk xk x0 kh 。 运用插值
第八章常微分方程数值解法
Tn1
r r y x n1 k y xn k h k f xn k，y xn k ， k 1 k 0
利用原微分方程，有
Tn1
r r y x n1 k y xn k h k y x n k 。 k 1 k 0