遂宁市第三期统考数学
2020届四川省遂宁市高三三诊考试数学(理)试卷及解析
2020届四川省遂宁市高三三诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1.设,m n R ∈,则“m n ≥”是“112m n-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用指数函数的单调性即可判断出结论．【详解】因为1012m nm n m n -⎛⎫≥⇔-≥⇔≤ ⎪⎝⎭所以“m n ≥”是“112m n-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭”的充要条件故选：C2.若复数11iai++为纯虚数（i 为虚数单位,a 为实数）,则2a 的值为（ ）A. 4B. 9C. 14 D. 1【答案】D 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0求得a 的值,然后可得答案．【详解】∵()()()()221111111111i ai i a a i ai ai ai a a +-++-==+++-++为纯虚数, ∴1010a a +=⎧⎨-≠⎩,解得1a =-．∴21a = 故选：D3.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有1000名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间（30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则获得复赛资格的人数为（ ）．A. 650B. 660C. 680D. 700【答案】A 【解析】根据频率分布直方图,求得大于90分的概率,进而可求解相应的人数,得到答案． 【详解】由题意,根据频率分布直方图,可得获得复赛资格的人数为()100010.00252020.007520⨯-⨯-⨯⨯=650人, 故选A ．4.已知α满足123cos πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则cos 2α＝（ ） A.79B.718 C. 79-D. 718-【答案】A 【解析】由已知结合诱导公式先进行化简,然后结合二倍角余弦公式即可求解.【详解】因为﹣sin α123cos πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,所以sin 13α=,则cos 2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣21799⨯=.故选：A.5.方程()22420x y x y ----=表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】依题意可知,方程表示的曲线为直线20x y --=或双曲线22144x y -=位于直线20x y --=的下方的图象,由此得解．【详解】依题意可知,20x y --=或224020x y x y ⎧--=⎨--≥⎩,而2240x y --=表示双曲线22144x y -=,且满足在直线20x y --=的下方, 结合选项可知,只有选项B 符合题意． 故选：B6.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,问谷雨日影长为（ ） A. 七尺五寸 B. 六尺五寸C. 五尺五寸D. 四尺五寸【答案】C 【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出谷雨日影长,得到答案．【详解】由题意,从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,设十二节气的日影长分别为a n ,可得5678713276773.52a a a a S a d +++=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩,即114223272173.5a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解得1272a =,d ＝﹣1, 所以谷雨日影长为92711822a =-==5.5（尺）＝5尺5寸． 故选：C ．7.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,对任意实数,x y R ∈,都有()()()f x f y f x y =+,若112a =,()()n a f n n N +=∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1[,2]2D. 1[,1]2【答案】A 【解析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）,令x ＝n ,y ＝1,可得数列{a n }是以12为首项,以12为等比的等比数列,进而可以求得S n ,进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ,y ∈R ,都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）, ∴令x ＝n ,y ＝1,得f （n ）•f （1）＝f （n +1）,即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=, ∴数列{a n }是以12为首项,以12为等比的等比数列, ∴a n ＝f （n ）＝（12）n ,∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12,1）． 故选C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题,解题的关键是根据对任意x,y∈R,都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{an}是等比数列,属中档题．8.2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐,其中空中梯队编有12个梯队,在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中,某学校为宣传的需要,要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况,其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个,则不同的选法种数为（）A. 12种 B. 16种 C. 18种 D. 20种【答案】B【解析】运用组合知识和间接法求两个梯队中至少选择一个的不同选法种数．【详解】从6个梯队中任选3个的选法有3620C=种,若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法有3 44C=种,则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有：20416-=种. 故选：B．9.设函数3030xxxf xx-⎧=⎨-⎩，＞（），＜,若215a f log⎛⎫=- ⎪⎝⎭,b＝f(log24.2),c＝f(20.7),则a,b,c的大小关系为( )A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. c＜a＜bD. c＜b＜a【答案】A【解析】根据题意,分析可得f(x)为奇函数且在(0,+∞)上为减函数,由对数函数的性质比较可得1＜20.7＜2＜log24.2＜log25,结合函数的单调性分析可得答案．【详解】当x＞0时,﹣x＜0,f(x)＝3﹣x,f(﹣x)＝﹣3﹣x,所以f(x)＝﹣f(﹣x),当x＜0时,﹣x＞0,f(x)＝﹣3x,f(﹣x)＝3﹣(﹣x)＝3x, 所以f(x)＝﹣f(﹣x),所以函数f (x )是奇函数,且在(﹣∞,0),(0,+∞)上单调递减．所以a ＝﹣f (log 215)＝f (﹣log 215)＝f (log 25),b ＝f (log 24.2),c ＝f (20.7), 又1＜20.7＜2＜log 24.2＜log 25, 所以f (20.7)＞f (log 24.2)＞f (log 25), 即a ＜b ＜c , 故选：A ．10.已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1,且该三棱柱外接球的表面积为14π,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A.3πB. 4πC. 6πD.512π 【答案】A 【解析】取BC 中点D ,过P 作PE ⊥平面ABC ,垂足为E ,则E 在AD 在上且为底面ABC 的中心,则PE 的中点O 是该三棱柱外接球的球心,由PE ⊥平面ABC ,得∠PAE 是PA 与平面ABC 所成角,由此能求出结果．【详解】取BC 中点D ,过P 作PE ⊥平面ABC ,垂足为E ,则E 在AD 在上且为底面ABC 的中心,则PE 的中点O 是该三棱柱外接球的球心,∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1,∴AE 23AD ===∵该三棱柱外接球的表面积为14π,∴该三棱柱外接球的半径R ==∴PE ＝==∵PE ⊥平面ABC ,∴∠PAE 是PA 与平面ABC 所成角,tan∠PAEPE AE ===． ∴∠PAE 3π=．故选：A ．11.已知F 1,F 2是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-,则双曲线离心率的最小值为（ ） 6 5 C. 3 D. 2【答案】C 【解析】设P 的坐标,代入双曲线的方程,求出数量并利用双曲线的范围求出2122c PF PF a ⋅=x 2﹣c 2﹣b 222c a≥•a 2﹣c 2﹣b 2＝﹣b 2,再由双曲线可得a ,b 的关系,进而求出离心率的最小值．【详解】设P （x ,y ）,则|x |≥a ,所以()2222100x y a b a b-=＞，＞,由题意可得F 1（﹣c ,0）,F 2（c ,0）,所以12PF PF ⋅=（x +c ,y ）（x ﹣c ,y ）＝x 2﹣c 2+y 2＝x 2﹣c 2+（22x a -1）b 222c a=x 2﹣c 2﹣b 222c a ≥•a 2﹣c 2﹣b 2＝﹣b 2,所以﹣2a 2≥﹣b 2,即2a 2≤b 2,所以离心率e 2223c a b a a+==≥, 故选：C ．12.已知函数f (x ,y )＝x ln(2ax )+y ﹣x ln y ,若存在x ,y ∈(0,+∞)使得f (x ,y )＝0,则实数a 的最大值为( )A. 1eB. 1 2eC. 1 3eD. 2 e【答案】B 【解析】存在x ,y ∈(0,+∞)使得f (x ,y )＝0,由x ln(2ax )+y ﹣x ln y ＝0,化为：ln2a ＝lny y x x-,令t y x=＞0,g (t )＝ln t ﹣t ,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【详解】∵存在x ,y ∈(0,+∞)使得f (x ,y )＝0, ∴x ln(2ax )+y ﹣x ln y ＝0,化为：ln2a ＝ln y y x x-, 令t yx =>0,g (t )＝ln t ﹣t , 则()g t '1t =-11t t-=,(0,1),()0,()t g t g t ∈'>单调递增,(1,),()0,()t g t g t ∈+∞'<单调递减,所以当t ＝1时,函数g (t )取得极大值即最大值,(1)1g =-． ∴ln21a ≤-,解得0＜a 12e≤． ∴实数a 的最大值为12e． 故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分． 13.曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的倾斜角为_____． 【答案】34π 【解析】求得22ln 2y x x x =--+的导数,将1x =代入,可得切线的斜率,再由直线的斜率公式,计算可得所求倾斜角．【详解】函数22ln 2y x x x =--+的导数为122y x x'=--, 可得曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的斜率为1k =-,则切线的倾斜角θ满足tan 1θ=-,0θπ<<,解得34πθ=. 故答案为：34π．14.已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60,向量1232m e e =-,则|m =_____．【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值,进而可求得m 的值.【详解】根据题意,两个单位向量1e 、2e 的夹角为60,则121211cos601122e e e e ⋅=⋅=⨯⨯=,1232m e e =-,则()222221211221329124131272m m ee e e e e ==-=-⋅+=-⨯=,因此,7m =. 15.已知点()0,2M ,过抛物线24y x =的焦点F 的直线AB 交抛物线于,A B 两点,若0AM FM ⋅=,则点B 的纵坐标为_____． 【答案】1- 【解析】求出直线FM 的斜率,通过向量的数量积为0,得到直线AM 的斜率,进而求出直线AM 的方程,求出点A 的坐标,然后求解直线AF 的方程,与抛物线联立求解即可． 【详解】因为点()0,2M ,抛物线24y x =的焦点()1,0F , 所以20201MF k -==--, 由0AM FM ⋅=可得AM FM ⊥,所以直线AM 的斜率12AM k =, 所以直线AM 的方程为122y x -=即122y x =+,由21224y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩化简得28160x x -+=,解得4x =,可得点()4,4A , 所以直线AF 的斜率44413AF k ==-,所以直线AF 的方程为：()413y x =-,联立()24413y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,消去x 可得：2340y y --=,解得1y =-或4y =, 所以点B 的纵坐标为1-． 故答案为：1-．16.如图,平行六面体1111ABCD A B C D -中,5AB =,3AD =,17AA =,3BAD π∠=,114BAA DAA π∠=∠=,则1AC 的长为_____．98562+ 【解析】由已知结合11AC AB BC CC =++,求21AC 的值,开方得答案． 【详解】平行六面体1111ABCD A B C D -中,5AB =,3AD =,17AA =,3BAD π∠=,114BAA DAA π∠=∠=,11AC AB BC CC =++,则()211221AC AC AB BC CC ==++2221112cos2cos2cos344AB BC CC AB BC BC CC AB CC πππ=+++⋅+⋅⋅+⋅12225949253237257985622=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．1198562AC AC ∴==+．故答案为：98562+．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,又函数()8g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()g x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,又3c =,且锐角C 满足()1g C =-,若sin 2sin B A =,M 为AC 边的中点,求BMC △的周长．【答案】（1）(),2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）3．【解析】（1）利用函数图象求得A 、ω的值,再由函数()y f x =的图象过点,28π⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值,进而可得出()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由此可得出()2cos2g x x =,然后解不等式()222k x k k Z πππ-≤≤∈,即可得出函数()y g x =的单调递增区间；； （2）由()1g C =-可求得角C值,利用正弦定理边角互化思想得出2b a =,结合余弦定理可求得a 、b ,进而可判断出ABC 为直角三角形,且角B 为直角．可计算出BM 的长,进而可求得BMC △的周长.【详解】（1）由函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象可得2A =,5288T ππ=-,即T π=,则22T πω==,又函数()y f x =的图象过点28π⎛⎫⎪⎝⎭，,则()2282k k Z ππϕπ⨯+=+∈,即()24k k Z πϕπ=+∈, 又0ϕπ<<,4πϕ∴=,即()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()2sin 22cos 2884g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由()222k x k k Z πππ-≤≤∈,得()2k x k k Z πππ-≤≤∈,所以函数()y g x =的单调增区间为(),2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）由()1g C =-,得1cos 22C =-,因为02C <<π,所以02C π<<,所以223C π=,得3C π=,又sin 2sin B A =,由正弦定理得2ba=,① 由余弦定理,得2222cos3c a b ab π=+-,即223a b ab +-=,②由①②解得1a =,2b =．又c =,所以222a c b +=,所以ABC 为直角三角形,且角B 为直角． 故11122BM AC b ===,所以ABC 的周长为1113BM MC CB ++=++=． 18.如图,在长方体ABCD ﹣HKLE 中,底面ABCD 是边长为3的正方形,对角线AC 与BD 相交于点O ,点F 在线段AH 上,且20AF HF +=,BE 与底面ABCD 所成角为3π．（1）求证：AC⊥BE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）设点M在线段BD上,且AM//平面BEF,求DM的长．【答案】（1）详见解析；（213；（3）22【解析】（1）由题意可得DE⊥AC,AC⊥BD,根据线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE,由线面垂直的性质即可得证；（2）由DA,DC,DE两两垂直,建立空间直角坐标系D﹣xyz,求出平面BEF的一个法向量n、平面BDE的一个法向量CA,由cosn CAn CAn CA⋅=⋅，即可得解；（3）设M(t,t,0),则AM= (t﹣3,t,0),由AM//平面BEF可得0AM n⋅=,求得t后即可得解．【详解】（1）证明：因为在长方体ABCD﹣HKLE中, DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC,因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,又BD∩DE＝D,所以AC⊥平面BDE,而BE⊂平面BDE,所以AC⊥BE；（2）因为在长方体ABCD﹣HKLE中,DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：由DE ⊥平面ABCD 可知∠DBE 为直线BE 与平面ABCD 所成的角, 又因为BE 与平面ABCD 所成角为3π,所以3DBE π∠=,所以tan 3EDDBE DB∠==,由AD ＝3,可知32DB =DE ＝36, 所以AH ＝6, 又2AF HF +=0,即AF 13AH =,故AF 6=则A (3,0,0),F 6),E 6),B (3,3,0),C (0,3,0), 所以BF =(0,﹣6),EF =(3,0,﹣6), 设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即360360y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,令6z =则n =6),因为AC ⊥平面BDE ,所以CA 为平面BDE 的一个法向量,CA =(3,﹣3,0),所以13cos 2632n CA n CA n CA⋅===⨯⋅，, 因为二面角为锐角,所以二面角F ﹣BE ﹣D 13； （3）因为点M 是线段BD 上一个动点,设M (t ,t ,0),则AM =(t ﹣3,t ,0), 因为AM //平面BEF ,所以0AM n ⋅=,即4(t﹣3)+2t＝0,解得t＝2．此时,点M坐标为(2,2,0),4422DM=+=,符合题意．19.某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛,总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表,其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行,气氛活跃,在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐,其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）名次性别一等奖代表队二等奖代表队三等奖代表队男生？30 ◎女生30 20 30（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖,用X表示女生上台领奖的人数,求X的分布列和数学期望E（X）．（2）抽奖活动中,代表队员通过操作按键,使电脑自动产生[﹣2,2]内的两个均匀随机数x,y,随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”,则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”,则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率．【答案】（1）分布列详见解析,数学期望E（X）32=；（2）1932．【解析】（1）设代表队共有n人,则55016n=,所以n＝160,再设一等奖代表队男生人数为x,可根据表格中的数据列出关于x 的方程,解之可得x ＝30,因此三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝6：5：5,故前排就坐的16人中一等奖代表队共6人,有3男3女,所以X 的可能取值为0,1,2,3,然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列,进而求得数学期望；（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ,y ）|﹣2≤x ≤2,﹣2≤y ≤2},事件A 表示代表队队员获得奖品,所构成的区域为()2222{|}12x y A x y x y x y -≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨+≤⎪⎪+≥-⎩，,然后依次求出两个区域的面积,根据几何概型即可得解．【详解】（1）设代表队共有n 人,则55016n=,所以n ＝160, 设一等奖代表队男生人数为x ,则x +30+20+30+（x ﹣10）+30＝160,解得x ＝30, 所以一等奖代表队的男生人数为30,所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝60：50：50＝6：5：5, 故前排就坐的16人中一等奖代表队有3男3女,共6人． 于是X 的可能取值为0,1,2,3．则P （X ＝0）033336120C C C ==,P （X ＝1）123336920C C C ==,P （X ＝2）213336920C C C ==,P （X ＝3）303336120C C C ==, 所以X 的分布列为∴数学期望E （X ）199130123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ,y ）|﹣2≤x ≤2,﹣2≤y ≤2},面积为S Ω＝4×4＝16,事件A 表示代表队队员获得奖品,所构成的区域为()2222|12x y A x y x y x y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪⎪=⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪+≥-⎩⎩⎭，,如图,阴影部分的面积为1119442233222A S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=,这是一个几何概型,所以191921632A S P A S Ω===（）,即代表队队员获得奖品的概率为1932． 20.已知函数()sin cos f x x x x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,2)π上零点的个数,并说明理由． （2）当0πx <<时,①比较1x -与ln x 的大小关系,并说明理由；②证明：()()cos ln[]1cos xf x e f x x +≤⋅-．【答案】（1）有唯一一个零点,理由详见解析；（2）①1ln x x -≥,证明详见解析；②证明见解析． 【解析】（1）先对函数求导,然后结合导数可判断函数的单调性,结合函数的性质可求函数的零点个数； （2）①令()1ln g x x x =--,然后对其求导,结合导数可研究函数的单调性,进而由函数的取值范围可比较大小；②结合①的结论,利用分析法分析结论成立的条件,然后利用导数可求． 【详解】（1）因为()sin cos f x x x x =-,所以()sin f x x x '=． 当(0,)x π∈时,()sin 0,0x f x '>>,函数()f x 在(0,)π上单调递增, 所以()()00f x f >=,且()0f ππ=>,故()f x 在(0,)π上无零点；当(,2)x ππ∈时,()sin 0,0x f x '<<,函数()f x 在(,2)ππ上单调递减, 又由()0,(2)20f f ππππ=>=-<, 故()f x 在区间(,2)ππ上有唯一零点；综上,函数()f x 在区间(0,2)π上有唯一一个零点． （2）①1ln x x -≥,证明过程如下： 设函数()1ln g x x x =--,则()1,(0)x g x x xπ-'=<<, 令()0g x '<,即10x x-<,解得01x <<； 令()0g x '>,即10x x->,解得1x π<<, 所以函数()y g x =在区间（0,1）上单调递减,在区间（1,π）上单调递增． 则函数()y g x =在1x =处取得极小值,亦即最小值()10g =, 即ln 10x x --≥,综上可得,1ln x x -≥成立；②要证：ln [f （x ）]+1≤e cosx f （x ）﹣cosx 成立,即证明ln （sinx ﹣xcosx ）≤（sinx ﹣xcosx ）e cosx ﹣cosx ﹣1成立, 因为f （x ）在（0,π）上单调递增,()()00f x f >=, 即sinx ﹣xcosx ＞0,所以（sinx ﹣xcosx ）e cosx ＞0, 由①知1ln x x -≥,即有1ln x x ≥+,有（sinx ﹣xcosx ）e cosx ≥1+ln [（sinx ﹣xcosx ）e cosx ]成立,当12x π=时,11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222e e πππππππ-⋅≥+-⋅成立,由11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222ee πππππππ-⋅=+-⋅成立, 此时能取等号,即有cos (sin cos )1ln[(sin cos )cos ]x x x x e x x x x -⋅≥+-+成立,即()()cos ln[]1cos xf x e f x x +≤⋅-成立.21.如图,定义：以椭圆中心为圆心,长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M 作x 轴的垂线交其“辅助圆”于点N ,当点N 在点M 的下方时,称点N 为点M 的“下辅助点”．已知椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞上的点212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，的下辅助点为（1,﹣1）．（1）求椭圆E 的方程； （2）若△OMN 的236-,求下辅助点N 的坐标； （3）已知直线l ：x ﹣my ﹣t ＝0与椭圆E 交于不同的A ,B 两点,若椭圆E 上存在点P ,使得四边形OAPB 是对边平行且相等的四边形．求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的m 2+t 2的值．【答案】（1）22x +y 2＝1；（2）2,6-） 62；（3）3．【解析】（1）由椭圆过的点的坐标和辅助圆x 2+y 2＝a 2过的坐标,代入可得a ,b 的值,进而求出椭圆的方程；（2）设N 的坐标和M 的坐标,代入椭圆和辅助圆求出N ,M 的坐标的关系,进而求出△OMN 的面积S △OMN 12=x 0（y 1﹣y 0）236-=则x 0y 164=-和,202x +y 12＝1,联立求出下辅助点N 的坐标；（3）设A ,B 的坐标将直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,求出AB 的中点坐标,因为四边形OAPB 是对边平行且相等,即四边形OAPB 恰好为平行四边形,所以OP OA OB =+．所以三角形OAB 面积为21121212222888t m S t m m m m ⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,当且仅当m 2＝2,t2＝1时取等号,进而可得m 2+t 2的值为3．【详解】（1）因为椭圆E ：2222x y a b +=1,过点（1,2）,辅助圆x 2+y 2＝a 2过（1,1）,所以可得a 2＝12+（﹣1）2＝2,所以椭圆的实半轴长的平方a 2＝2,所以21224b+=1,解得：b 2＝1,∴椭圆E 的方程为：22x +y 2＝1；（2）设点N （x 0,y 0）,（y 0＜0）,则由题意可得点M （x 0,y 1）,（y 1＜0）,将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得,x 02+y 02＝2,202x +y 12＝1,故y 02＝2y 12,即y01=, 又S △OMN 12=x 0（y 1﹣y 0）8=,则x 0y1=联立01220112x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,可解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴下辅助点N的坐标为（2,-） 或（22-）；（3）由题意可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）．联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0,则△＝8（m 2+2﹣t 2）＞0．根据韦达定理得12221222222mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 因为四边形OAPB 是对边平行且相等,即四边形OAPB 恰好为平行四边形, 所以OP OA OB =+．所以12222P mt y y y m -=+=+,()1212122422P tx x x my t my t m y y t m =+=+++=++=+ 因为点P 在椭圆E 上,所以()()22222221641222t m t m m+=++,整理得()()22224212m tm+=+,即4t2＝m2+2,直线l：x﹣my﹣t＝0中,由于直线l与坐标轴围成三角形,则t≠0,m≠0．令x＝0,得tym=-,令y＝0,得x＝t．所以三角形OAB面积为21121212888t mS t mm m m⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯=⎪⎪⎝⎭,当且仅当m2＝2,t2＝1时,取等号,此时△＝24＞0．且有m2+t2＝3,故所求m2+t2的值为3．请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy中,将曲线方程()()22221164x y-++=,先向左平移2个单位,再向上平移2个单位,得到曲线C.（1）点M（x,y）为曲线C上任意一点,写出曲线C的参数方程,并求出12x的最大值；（2）设直线l的参数方程为22x ty t=⎧⎨=-⎩,（t为参数）,又直线l与曲线C的交点为E,F,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段EF的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）42x cosy sinθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；4；（2）2cos sin30ρθρθ--=【解析】（1）直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.（2）利用中点坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果.【详解】解：（1）将曲线方程()()22221164x y-++=,先向左平移2个单位,再向上平移2个单位,得到曲线C的方程为()()2222221 164x y-++-+=,即221 164x y+=,故曲线C 的参数方程为42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；又点M （x ,y ）为曲线C 上任意一点,所以12x =2cos θθ-=4cos （3πθ+）.所以12x 的最大值为4； （2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为221164x y +=, 又直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=-⎩,（t 为参数）, 所以直线l 的普通方程为x +2y ﹣4＝0, 所以有222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩.所以线段EF 的中点坐标为（402022++，）, 即线段EF 的中点坐标为（2,1）,直线l 的斜率为12-, 则与直线l 垂直的直线的斜率为2,故所求直线的直角坐标方程为y ﹣1＝2（x ﹣2）,即2x ﹣y ﹣3＝0,将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入,得其极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ﹣3＝0.23.已知函数f （x ）=|2x ﹣3|,g （x ）=|2x +a +b |.（1）解不等式f （x ）<x 2；（2）当a >0,b >0时,若F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5,+∞）,求证：112223a b +≥++. 【答案】（1）{|1x x >或3}x <-；（2）见解析【解析】（1）由题意可得|2x ﹣3|<x 2,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式,求并集,可得所求解集；（2）由a >0,b >0,根据绝对值三角不等式,化简可得F （x ）的最小值,可得a +b 的值,再由乘1法和基本不等式,即可得证.【详解】（1）解：不等式f （x ）<x 2化为|2x ﹣3|<x 2,等价于23223x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或23232x x x⎧<⎪⎨⎪-<⎩, 即为32x x R ⎧≥⎪⎨⎪∈⎩或3213x x x ⎧<⎪⎨⎪><-⎩或,解得x 32≥或x <﹣3或1<x 32<, 所以不等式f （x ）<x 2的解集为{x |x >1或x <﹣3}； （2）证明：由a >0,b >0,根据绝对值三角不等式可知F （x ）=f （x ）+g （x ）=|2x ﹣3|+|2x +a +b |=|3﹣2x |+|2x +a +b | ≥|3﹣2x +2x +a +b |=|a +b +3|=a +b +3,又F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5,+∞）,可得a +b +3=5,即a +b =2,即（a +2）+（b +2）=6, 故111226a b +=++[（a +2）+（b +2）]（1122a b +++） 16=（22222b a a b ++++++）16≥（2+223=, 当且仅当2222b a a b ++=++,即a =b =1时取等号时, 故222223b a a b +++≥++.。
四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（ ）A．B．C．D．2. 复数，则（ ）A ．1B．C ．2D ．43. 已知函数对任意都有，则正数t 的最小值为（ ）A．B．C ．e D．4. 已知复数满足，则（ ）A．B ．C ．1D ．-15.已知，则（ ）．A．B．C．D．6. 已知复数z满足（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线7. 程大位（1533~1606），明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？（ ）A ．14尺B ．14.5尺C ．15尺D ．15.5尺8.已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）A ．1B．C．D．9. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A 表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B 表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C 表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）A．B．事件与事件相互独立C ．与和为D ．事件A 与事件B 互斥10. 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）A．B．点的轨迹方程为C．的最小值为6D ．的最大值为11. 函数在区间的图象如下图，则下列说法正确的是（ ）四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(2)四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题A．函数的最小正周期为B ．函数的最小正周期为C．函数的图象关于对称D ．函数在单调递减12. 下列说法正确的是（ ）A ．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．设事件A 表示由从甲袋中取出的球是红球，事件B 表示从乙袋中取出的球是红球，则事件A 与事件B 相互独立B ．某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，则该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有3人C ．已知事件A 与B 相互独立，当时，若，则D．指数曲线两边同时取自然对数进行线性变换后得到的经验回归方程为，则函数的最小值为13.设为数列的前项和，，，则______.14.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为______．15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球的体积为______．16.如图，在直三棱柱中，，，，分别是与的中点，为的重心.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.17. 江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．选择全理不选择全理合计男生15女生合计(1)完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；(2)为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值19. 右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A l B l C1＝90°，AA l＝4，BB l＝2，CC l＝3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．20. 已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，（1）；（2）；（3）.21. 已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．(1)求点P处的切线方程，并证明：时，．(2)若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：．。
四川省遂宁市2023届高三下学期三诊考试(三模) 数学(理)参考答案
高三数学（理科）三诊试题参考答案第1页（共7页）遂宁市高中2023届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见二、填空题（4×5=20分）13. -7 14．1215．41π 16．1三、解答题17．（12分）解：（1）在ABC ∆中因为bcosA+acosB=2ccosA.由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以sin()2sin cos A B C A +=………………………………………2分 因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=.故sin 2sin cos C C A =…4分 又C 是ABC∆的内角，所以sin 0C ≠.从而1cos 2A =. 而A 为ABC ∆的内角，所以3A π=………………………………………6分（2）因为3BC DC =所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+…8分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++………10分 由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=,当且仅当b c ==故ABC ∆的面积的最大值为1162⨯=12分18. （12分）（1）因为学生初试成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中65μ=，2215σ=，则651580μσ+=+=，高三数学（理科）三诊试题参考答案第2页（共7页）所以()()()18010.68270.158652P X P X μσ≥=≥+=⨯-=，………………3分所以估计初试成绩不低于80分的人数为0.158651000=158.65159⨯≈ 人………5分 （3）Y 的取值分别为0，10，20，30，………………6分则()23310114525P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………7分 ()212333336101+1C 14545525P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯--⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………8分 ()21233333920C 1+14554520P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………9分()233273045100P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， ………………10分 故Y 的分布列为：所以数学期望为()16927010203019.5252520100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=……………12分 19（12分）（1）取AB 得中点E ，连接,SE DE ，如图所示：因为290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=，所以AB AD =，因为SAB △3等边三角形，所以2AB AD ==.在SDE ∆中，2222213,22,125SE SD DE -==+Y 0 10 20 25 P12562592027100高三数学（理科）三诊试题参考答案第3页（共7页）222SE DE SD +=，所以SE DE ⊥，………………2分因为SAB △是等边三角形，E 为线段AB 的中点，所以SE AB ⊥，又因为AB DE E =，,AB DE ⊂平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，………………4分 ,,AD ABCD SE AD ⊂∴⊥平面又,,,AD AB SE AB E AD SAB SB SAB ⊥⋂=∴⊥⊂平面又平面,AD SB ∴⊥直线………………6分（2）以E 为原点，,EA ES 分别为,y z 轴，平行AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),3),(2,1,0),(0,1,0),(1,1,0)E S D A C -，(0,1,3)SA =，(2,1,3)SD =-，(1,1,3)SC =--，设(,,)n x y z =为平面SCD 的法向量，则23030x y z x y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取平面SCD 的一个法向量为(2,3n =-，………………9分 取平面SAB 法向量()1,0,0m =，………………………………………………10分 平面SAB 与平面SCD 所成的角为α，则22cos cos ,222m n m n m nα⋅=<>===⋅，所以2cos α=，所以平面SAB 与平面SCD 2.………12分 20（12分）解：（1）由题设10A G l bx ax ab +-=方程为因为22283A G l x y+=与圆相切， 所以：222228,3a b d a b ==+………………2分 22122a a cb =⇒=，所以228,4a b ==，高三数学（理科）三诊试题参考答案第4页（共7页）所以椭圆方程为22184x y +=………………5分 （2）由（1）知1F 的坐标为()2,0-，①当直线l的斜率不存在时，AB =，2||8OQ =1=；…………6分②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+且0k ≠，联立22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，………………7分)22121k AB k +==+，………………8分 设点00(,)Q x y ，则001y x k =-，即00x ky =-，代入椭圆方程得()2200184ky y -+=， 解得20282y k =+，220282k x k =+，所以()222200281||2k OQ x y k +=+=+，………………9分 ()()222222221612432112121812k k k k k k OQk +++===+++++，……………………………10分又2211k +>()1,4. ………………………………11分[)1,4.…………………………………………12分21．（12分）解：（1）因为()2x f x me x =-，所以'()2xf x me =-…………………1分当0m ≤时，,'()0f x <，所以f(x)在 R 上单调递减；…………………2分 当0m >时，令'()0f x >，得21x nm >，令'()0f x <，得21x n m> 综上所述，当0m ≤在R 上单调递减；高三数学（理科）三诊试题参考答案第5页（共7页）当0m >时，()f x 在2(1,)nm +∞上单调递增，()f x 在,2(,ln )m-∞)上单调递减.5分 （2）因为23()2,()cos 2xf x me xg x x x =-=+， 所以23()2cos 2xh x me x x x =---则'()2sin 3x h x me x x =-+-.………………………………………………………6分 令'()()2sin 3x F x h x me x x ==-+-，则'()cos 3.x F x me x =+-.①当0m ≤时，'()0F x <，则'()h x 在R 上单调递减，()h x 不可能存在两个极值点； ②当0m >时，因为函数()h x 存在两个不同的极值点，所以'()h x =0有两个不同的实根， 因为'sin 23()()x x x x h x e m e --=+，即sin 23xx xm e--+=0有两个不同的实根. 令sin 23()x x x G x m e --+，则'cos sin 31()xx x x G x e-+-, 令()=cos sin 31H x x x x -+-，则'()=sin cos 30H x x x --+> 所以()H x 单调递增.因为(0)0H =，所以()G x 在(.0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 所以min ()(0)2G x G m ==-…………………………………………9分 当2m ≥时，G(x)≥0,G(x)=0不可能有两个不等实根. 当02m <<时，min 23()(0)20,()0G x G m G m eπππ--+==-<-=+> ()G x 在(,0)-∞上连续且单调，所以存在唯一实数1(,0)x ∈-∞，使得1()0G x =.10分当0x >时，易证2xe x >,2()2sin 333x F x me x x mx x =-+->--取0x =0()0F x >，即0()0G x >因为()G x 在(0,)+∞上连续且单调高三数学（理科）三诊试题参考答案第6页（共7页）所以存在唯一实数 2(0,)x ∈+∞，使得2()0G x =,则x1(,)x -∞1x1,2()x x2x2(,)x +∞h'(x) +0 - 0 + h(x)极大值极小值所以函数()h x 存在两个不同的极值点.综上实数m 的取值范围为02m <<.……………………………………12分22．（10分）（1）由曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数, []0,θπ∈），消去参数θ，得()222224cos 4sin 4x y θθ-+=+=……………2分 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤……………3分 因为曲线2C 是以π1,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1，故2C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ=………5分（2）因为曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤.即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=（π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），所以1C 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；…7分 因为M 、N 是直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设12ππ,,,44M N ρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）得1C ：π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以21ππ4cos 22,2sin 244====ρρ，从而122MN ρρ=-=，……………10分 23．（10分）高三数学（理科）三诊试题参考答案第7页（共7页）（1）解：当1t =时，2(1)()112(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩，()28f x x ≤-，当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩，12x ∴≤≤；当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<；当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-，综上可得不等式的解集为[]2,2-……………………………………………………5分 （2）解：()()()2x f x x x t t x t t t --=++-≥=+，当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2f x t∴=，………………………………6分又0m >，0n >且4m n +=，24m m n n +∴=41419444m m m n m n m n ++=+≥+当且仅当44m n m n=，即45m =，165n =时等号成立， 所以249,4m n mn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………………………………8分 根据题意可得924t ≤，解得98t ≥或98t ≤-， t ∴的取值范围是9,,898⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.……………………………………………10分。
四川省遂宁市2024届高三下学期三诊考试 数学(理)含答案
遂宁市高中2024届三诊考试数学（理科）试题（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2．已知复数2z i =+，则=_zA．5251i -B．5251i --C．5251i +D．5251i +-A．6B．4C．3D．25．某公司研发新产品投入x （单位：百万）与该产品的收益y （单位：百万）的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额x 与收益y 满足回归方程ˆˆ 2.6ybx =+，则下列结论不正确的是x568912y1620252836A．x 与y 有正相关关系B．回归直线经过点()8,25C．ˆ 2.4b=D．9x =时，残差为0.26．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若m α⊥，//m n ，n β⊥，则αβ⊥B．若//αβ，m α⊂，//m n ，则//n βC．若m ，n 为异面直线，//,//m n αβ，αβ⊂⊂n m ,，则//αβD．若m n ⊥，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角互余7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有()()2f x f x -=.当[]1,2x ∈时，()21log f x x =-.则()19f 的值为A．0B．1C．21log 21-D．1-12．过抛物线)0(2:1>=p px y C 的焦点F 作直线l ，与1点（点A 在x 轴上方），与y 轴正半轴交于点D ，A 为DF 中点，且6=BD ，又点)0,1(C ，曲线2C 上任意一点P 满足1PC =，过定点C 的直线m 与抛物线1C 和曲线2C 的四个交点从上到下依次为H N M G ,,,，则HM GN 4+的最小值为A．8B．12C．13D．14第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2024届四川省遂宁市安居区重点达标名校中考三模数学试题含解析
2024届四川省遂宁市安居区重点达标名校中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．不等式组325521xx+>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值是( )A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣13．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=14．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．∠DAB +∠BCD ＝180°5．一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 6．下列各式中计算正确的是A ．()222x y x y +=+B ．()236x x =C ．()2236x x = D ．224a a a += 7．3月22日，美国宣布将对约600亿美元进口自中国的商品加征关税，中国商务部随即公布拟对约30亿美元自美进口商品加征关税，并表示，中国不希望打贸易战，但绝不惧怕贸易战，有信心，有能力应对任何挑战．将数据30亿用科学记数法表示为（ ）A ．3×109B ．3×108C ．30×108D ．0.3×10108．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一次函数y=﹣2x+3，当0≤x≤5时，函数y 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．﹣3D ．﹣710．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:] 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．当x ________ 时，分式xx3-有意义．12．如图，点G是ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE//BC交AC于点E，如果BC6=，那么线段GE的长为______．13．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.14．如图是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程已知：线段a、b，求作：Rt ABC∆.使得斜边AB＝b，AC＝a作法：如图.（1）作射线AP，截取线段AB＝b；（2）以AB为直径，作⊙O；（3）以点A为圆心，a的长为半径作弧交⊙O于点C；（4）连接AC、CB.ABC∆即为所求作的直角三角形.请回答：该尺规作图的依据是______.15．如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE与S△CDE的比是___________．16．观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为34，第3个图形中阴影部分的面积为916，第4个图形中阴影部分的面积为2764，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示）三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角顶点在BC边上，BP ＝1．①特殊情形：若MP过点A，NP过点D，则PAPD＝．②类比探究：如图2，将∠MPN绕点P按逆时针方向旋转，使PM交AB边于点E，PN交AD边于点F，当点E与点B重合时，停止旋转．在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半径为1，点E是⊙A上一动点，CF⊥CE交AD于点F．请直接写出当△AEB为直角三角形时ECFC的值．18．（8分）如图，已知A（﹣4，12），B（﹣1，m）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=nx图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．（1）求m的值及一次函数解析式；（2）P是线段AB上的一点，连接PC、PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．19．（8分）解方程组4311, 213.x yx y-=⎧⎨+=⎩①②20．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C 在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y 轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．21．（8分）学校决定从甲、乙两名同学中选拔一人参加“诵读经典”大赛，在相同的测试条件下，甲、乙两人5次测试成绩（单位：分）如下：甲：79，86，82，85，83.乙：88，81，85，81，80.请回答下列问题：甲成绩的中位数是______，乙成绩的众数是______；经计算知83x=乙，2465s=乙.请你求出甲的方差，并从平均数和方差的角度推荐参加比赛的合适人选.22．（10分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．23．（12分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4)，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x 轴上的一个动点．求此抛物线的解析式；求C、D两点坐标及△BCD的面积；若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标.24．如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE．（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．【题目详解】解：由不等式①，得3x＞5-2，解得x＞1，由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，∴数轴表示的正确方法为C．故选C ．【题目点拨】考核知识点：解不等式组.2、C【解题分析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根，()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．3、B【解题分析】试题分析：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B ．4、D【解题分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．【题目详解】解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选：D ．【题目点拨】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”． 5、B【解题分析】试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根.6、B【解题分析】根据完全平方公式对A 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B 、C 进行判断；根据合并同类项对D 进行判断．【题目详解】A. ()2222x y x xy y +=++，故错误.B. ()236x x =,正确.C. ()2239x x =，故错误.D. 2222a a a +=, 故错误.故选B.【题目点拨】考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.7、A【解题分析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【题目详解】将数据30亿用科学记数法表示为9310⨯，故选A ．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8、A【解题分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．【题目详解】这个几何体的主视图为：故选：A ．【题目点拨】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． 9、B【解题分析】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y 随x 的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．【题目详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，故选B ．【题目点拨】本题考查了一次函数y=kx+b 的图象的性质：①k ＞0，y 随x 的增大而增大；②k ＜0，y 随x 的增大而减小．10、D【解题分析】试题分析：解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b ，乙所用铁丝的长度为：2a+2b，丙所用铁丝的长度为：2a+2b，故三种方案所用铁丝一样长．故选D．考点：生活中的平移现象二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、x≠3【解题分析】由题意得x-3≠0,∴x≠3.12、2【解题分析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=12BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2.故答案为2.点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质.利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键.13、小林【解题分析】观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手．故答案是：小林．14、等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义【解题分析】根据圆周角定理可判断△ABC 为直角三角形．【题目详解】根据作图得AB 为直径，则利用圆周角定理可判断∠ACB =90°，从而得到△ABC 满足条件．故答案为：等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义．【题目点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．15、1：3【解题分析】根据相似三角形的判定，由DE ∥AC ，可知△DOE ∽△COA ，△BDE ∽△BCA ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可由:1:16DOE COA S S ∆∆=，求得DE ：AC=1:4，即BE ：BC=1:4，因此可得BE ：EC=1:3，最后根据同高不同底的三角形的面积可知BDE S ∆与CDE S ∆的比是1:3.故答案为1:3.16、3()4n ﹣1（n 为整数） 【解题分析】试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（34）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（34）1=34；第3个图形中阴影部分的面积=（34）2=916；第4个图形中阴影部分的面积=（34）3=2764；…根据此规律可得第n 个图形中阴影部分的面积=（34）n-1（n 为整数）• 考点：图形规律探究题．三、解答题（共8题，共72分）17、 (1) ①特殊情形：12；②类比探究: 12PE PF = 是定值，理由见解析;(2) EC 4FC =或1+【解题分析】（1）证明Rt ABP Rt CDP ∽，即可求解；（2）点E 与点B 重合时，四边形EBFA 为矩形，即可求解；（3）分AEB 90∠︒＝时、EAB 90∠︒＝时，两种情况分别求解即可．【题目详解】解：（1）APB DPC 90DPC PDC 90＝，＝∠∠∠∠+︒+︒，APB PDC ∠∠∴＝，Rt ABP Rt CDP ∴∽， 21512PA AB PD CP ∴===-， 故答案为12； （2）点E 与点B 重合时，四边形EBFA 为矩形，则PE 1PF 2=为定值； （3）①当AEB 90∠︒＝时，如图3，过点E 、F 分别作直线BC 的垂线交于点G ，H ， 由（1）知：ECB CFH α＝＝∠∠， AB 2AE 1ABE 30∠︒＝，＝，则＝，EB ABcos303︒则＝＝，3cos 602GB EB ︒==，同理32EG =， 322cos cos 2GC EC FH AB αα+==== . 则FH 2cos cos FC αα==， 则314EC FC =+ ；②当EAB 90∠︒＝时，如图4，GB EA 1EG FH AB 2＝＝，＝＝＝， 则BE 5GC 3＝，＝， 22EG G 13EC C =+=EG 2tan tan GC 3EGC α∠===，则cos 13α= FH 13cos FC α==， 则4EC FC= ， 故EC 4FC =或31 ． 【题目点拨】本题考查的圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形的基本知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18、（1）m=2；y=12x+52；（2）P 点坐标是（﹣52，54）． 【解题分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点P 的坐标为15,22P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据面积公式和已知条件列式可求得x 的值，并根据条件取舍，得出点P 的坐标．【题目详解】解：（1）∵反比例函数n y x =的图象过点14,,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴1422n =-⨯=-，∵点B （﹣1，m ）也在该反比例函数的图象上，∴﹣1•m=﹣2，∴m=2；设一次函数的解析式为y=kx+b ，由y=kx+b 的图象过点A 14,,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，B （﹣1，2），则 1422,k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得：125,2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的解析式为1522y x =+； （2）连接PC 、PD ，如图，设15,22P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵△PCA 和△PDB 面积相等，∴()1111541222222x x ⎛⎫⨯⨯+=⨯-⨯-- ⎪⎝⎭， 解得： 5155,,2224x y x =-=+= ∴P 点坐标是55,.24⎛⎫- ⎪⎝⎭【题目点拨】本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键.19、53x y =⎧⎨=⎩【解题分析】将②×3，再联立①②消未知数即可计算. 【题目详解】解：②3⨯得：6339x y += ③①+③得：1050x =5x =把5x =代入③得10339y +=3y =∴方程组的解为53x y =⎧⎨=⎩【题目点拨】本题考查二元一次方程组解法，关键是掌握消元法.20、（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）d=﹣t 2+4t ﹣3；（3）P （52，74）． 【解题分析】（1）由抛物线y=ax 2+bx+3与y 轴交于点A ，可求得点A 的坐标，又OA=OC ，可求得点C 的坐标，然后分别代入B,C 的坐标求出a ，b ，即可求得二次函数的解析式；（2）首先延长PE 交x 轴于点H ，现将解析式换为顶点解析式求得D （1，4），设直线CD 的解析式为y=kx+b ，再将点C （3，0）、D （1，4）代入，得y=﹣2x+6，则E （t ，﹣2t+6），P （t ，﹣t 2+2t+3），PH=﹣t 2+2t+3，EH=﹣2t+6，再根据d=PH ﹣EH 即可得答案；（3）首先，作DK ⊥OC 于点K ，作QM ∥x 轴交DK 于点T ，延长PE 、EP 交OC 于H 、交QM 于M ，作ER ⊥DK 于点R ，记QE 与DK 的交点为N ，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT ≌△ECH ，再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t ﹣1+（3﹣t ），即可求得答案．【题目详解】解：（1）当x=0时，y=3，∴A （0，3）即OA=3，∵OA=OC ，∴OC=3，∴C （3，0），∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点B （﹣1，0），C （3，0）∴30 9330 a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，延长PE交x轴于点H，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：430k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：26kb=-⎧⎨=⎩，∴y=﹣2x+6，∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK 于点R，记QE与DK的交点为N，∵D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），∴BK=2，KC=2，∴DK 垂直平分BC ，∴BD=CD ，∴∠BDK=∠CDK ，∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ ，∠BQE+∠DEQ=90°，∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，∵ER ⊥DK ，∴∠NER=45°，∴∠MEQ=∠MQE=45°，∴QM=ME ，∵DQ=CE ，∠DTQ=∠EHC 、∠QDT=∠CEH ，∴△DQT ≌△ECH ，∴DT=EH ，QT=CH ，∴ME=4﹣2（﹣2t+6），QM=MT+QT=MT+CH=t ﹣1+（3﹣t ），4﹣2（﹣2t+6）=t ﹣1+（3﹣t ），解得：t=52， ∴P （52，74）． 【题目点拨】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.21、（1）83，81；（2）26=甲s ，推荐甲去参加比赛.【解题分析】（1）根据中位数和众数分别求解可得；（2）先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的意义判别即可得．【题目详解】（1）甲成绩的中位数是83分，乙成绩的众数是81分，故答案为：83分、81分；（2）()17982838586835=⨯++++=甲x ，∴()()22222214312065⎡⎤=⨯-++-++=⎣⎦甲s . ∵x x =甲乙，22s s <甲乙，∴推荐甲去参加比赛.【题目点拨】此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.22、见解析【解题分析】 试题分析：已知AB ∥CD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD ，再根据SAS 证明△ABC ≌△ECD 全，由全等三角形对应边相等即可得AC=ED ．试题解析：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE ．在△ABC 和△ECD 中，∴△ABC ≌△ECD （SAS ），∴AC=ED ． 考点：平行线的性质；全等三角形的判定及性质．23、 (1)y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)C （﹣1，0），D （3，0）；6；(3)P （1+102，32），或P （1﹣102，32） 【解题分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a （x-1）2+4，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解；（2）令y=0，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；（3）先根据面积关系求出点P 的坐标，求出点P 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P 的坐标．【题目详解】解：(1)、∵抛物线的顶点为A （1，4），∴设抛物线的解析式y=a （x ﹣1）2+4，把点B （0，3）代入得，a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4；令y=0，则0=﹣（x ﹣1）2+4，∴x=﹣1或x=3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）；∴CD=4，∴S △BCD =12CD×|y B |=12×4×3=6； (3)由(2)知，S △BCD =12CD×|y B |=12×4×3=6；CD=4， ∵S △PCD =12S △BCD ， ∴S △PCD =12CD×|y P |=12×4×|y P |=3， ∴|y P |= 32， ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴y P ＞0，∴y P = 32， ∵抛物线的解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4； ∴32=﹣（x ﹣1）2+4，∴，∴P （1+ 32），或P （132）． 【题目点拨】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.24、（1）证明见解析（2）当∠ABC=60°时，四边形ABEF 为矩形【解题分析】（1）根据旋转得出CA =CE ，CB =CF ，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的判定得出△ABC 是等边三角形，求出AE =BF ，根据矩形的判定得出即可．【题目详解】（1）∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△EFC ，∴△ABC ≌△EFC ，∴CA =CE ，CB =CF ，∴四边形ABEF 是平行四边形；（2）当∠ABC =60°时，四边形ABEF 为矩形，理由是：∵∠ABC =60°，AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ． ∵CA =CE ，CB =CF ，∴AE =BF ．∵四边形ABEF 是平行四边形，∴四边形ABEF 是矩形．【题目点拨】本题考查了旋转的性质和矩形的判定、平行四边形的判定、等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解答此题的关键．。
2022-2023学年四川省遂宁中学校高二年级上册学期期末考试数学(文)试题
遂宁中学高2024届第三期期末监测文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知数据的方差为3，则数据，，，…的方差123,,,,n x x x x 123x +223x +323x +23n x +是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．122．“”是“直线和直线垂直”的（ ）1a =0x y +=20x a y -=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出90户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是（ ）A ．系统抽样B ．分层抽样C ．简单随机抽样D ．各种方法均可4．已知两条直线：和：互相垂直，则实数m 的值为10mx y +-=2l ()220x m y +-+=（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．25．已知直线l 垂直于平面，另一直线m 也垂直于平面，则直线l ，m 的位置关系是αα（ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．异面6．已知等边的直观图，则的面积为（ ）ABC A B C ''' ABCA B C ．D ．7．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ）2πA ．1B C D ．28．阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，在他墓碑上刻着的一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，如图所示，则在该几何体中，圆柱表面积与球表面积的比值为（ ）A ．B ．C ．或D ．32433223239．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，，若点M 是侧1AP =面CBP 内一动点，且满足，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）AM BC ⊥A ．3B ．6C ．D ．10．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”11．已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3π4π5π6π12．已知直线与圆相交于两点，当变化时，△:10l ax y -+=22:(1)4C x y -+=,A B a 的面积的最大值为（ ）ABC A ．BC ．D．2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知x ，y 满足，则的最大值为______．0222x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩z x y =+14______.15．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____.16．正四面体棱长为3，点D ，E ，F 分别在棱上，且-P ABC ,,AP BP CP ，则该正四面体的外接球被平面所截的截面面积为2,,2PD DA DE AB PF FC ==∥DEF _______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．当k 为何值时，直线与圆：:5l y kx =+()22:11C x y -+=(1)相交？(2)相切？(3)相离？18．已知圆，圆.22:(4)(2)4C x y -+-=22:450M x x y -+-=(1)试判断圆C 与圆M 的位置关系，并说明理由；(2)若过点的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.()6,2-19．某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：x y x24568y3040605070(1)作出销售额关于广告费用支出的散点图；y x (2)求出关于的线性回归方程；y x (3)据此估计估计广告费用为10万元时，销售收入的值．参考公式：，．1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-20．某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔分钟抽取一包产品，30称其重量，分别记录抽查数据如下：甲： 乙：102,101,99,98,103,98,99110,115,90,85,75,115,110(1)画出这两组数据的茎叶图；(2)求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示）；并说明那个车间的产品较稳定；(3)从甲中任取一个数据，从乙中任取一个数据，求满足条件(100)x x ≥(100)y y ≤的概率．20x y -≤21．省政府坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实全国、全省教育大会部署，坚持社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进育人方式变革，引导全社会树立科学的教育质量观和人才培养观，切实减轻有损中小学生身心健康的过重学业负担，遵循教育教学规律，促进中小学生健康成长，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．从某市抽取1000名一年级小学生进行调查，统计他们每周做作业的时长（单位：小时），根据结果绘制的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求所有被抽查小学生每周做作业的平均时长和中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）①为了进一步了解，现采用分层抽样的方法从和组中抽取50名学生，[8,10][10,12]则两组各抽取多少人？②再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会．现从参加座谈会的5名学生中随机抽取两人发言，求小组中恰有2人发言的概率？[8,10]22．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱是四棱锥的P ABCD -PA P ABCD -高，且，是侧棱上的中点.2PA =E PA（1）求三棱锥的体积；P BCD -（2）求异面直线与所成的角；EB PC 遂宁中学高2024届第三期期末监测文科数学试题参考答案：1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．A 9．A 10．A 11．B 12．C13．14．15．16．213258π17．(1)由题意，圆心到直线l 的距离d当，即时，移项平方可得，解得，1d <1d 2210251k k k ++<+125k <-此时直线与圆相交．(2)当，即时，移项平方可得，解得，1d =1d 2210251k k k ++=+125k =-此时直线与圆相切．(3)当，即时，移项平方可得，解得，1d >1d 2210251k k k ++>+125k >-此时直线与圆相离．18．（1）把圆M 的方程化成标准方程，得，22(2)9x y -+=圆心为，半径.(2,0)M 13r =圆C 的圆心为，半径，(4,2)C 22r =因为，5<=所以圆C 与圆M 相交，（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为到圆心C 距离为2，满足题意；6x =②当直线l 的斜率存在时，设其方程为，2(6)y k x +=-，解得，234k =-故直线l 的方程为.34100x y +-=综上，直线l 的方程为或.34100x y +-=6x =19．（1）画出坐标系，把所给的五组点的坐标描到坐标系中，作出散点图如图所示：（2）设所求线性回归直线方程为，，ˆˆˆy bx a =+1(24568)55x =⨯++++=，，，1(3040605070)505y =⨯++++=521145i i x ==∑511380i i i x y ==∑，，5152221513805550ˆ 6.5145555i ii ii x yx ybxx ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑ˆˆˆ50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=因此，所求线性回归方程为．ˆ 6.517.5yx =+（3）当时，的预报值为（万元），10x =y 6.51017.582.5y =⨯+=答：当广告费用为10万元时，销售收入约为82.5万元．20．(1)茎叶图如图所示：(2)，102101999810398991007x ++++++==甲，1101159085100775115110x +++++=+=乙，()()()22221001021001011009924=77S-+-+⋅⋅⋅+-=甲，()()()22221001101001151001101600=77S-+-+⋅⋅⋅+-=乙，甲更稳定.22S S <甲乙(3)所有可能的情况有：(),x y ()()()()()()()()102,90,102,85,102,75,101,90,101,85,101,75,103,90,103,85，共有9种.()103,75不满足的情况有：，，三种，故.()102,75()101,75()103,75()2321930x y P =-=-≤21．（1）设抽查学生做作业的平均时长为，中位数为y ，x ，0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.050.10.250.15(6)0.5y y =+++⨯-=203y =即抽查学生做作业的平均时长为，中位数为．6.8203（2）①组的人数为人，[8,10]10000.15150⨯=设抽取的人数为a ，组的人数为人，[]10,1210000.1100⨯=设抽取的人数为b ，则，解得，50150100250a b ==30a =20b =所以在和两组中分别抽取30人和20人，[8,10][]10,12②再抽取5人，其中和两组中分别抽取3人和2人，[8,10][]10,12将组中被抽取的工作人员标记为，，，将中的标记为，．[8,10]1A 2A 3A []10,121B 2B 设事件C 表示从小组中恰好抽取2人，则抽取的情况如下：[8,10]，，，，，，，，{}12,A A {}13,A A {}11,A B {}12,A B {}23,A A {}21,A B {}22,A B {}31,A B {}32,A B ，共10种情况；{}12,B B 其中在中恰好抽取2人有3种，则．[8,10]3()10P C =22．（1）因为是四棱锥的高，PA P ABCD -所以是三棱锥的高，PA P BCD -所以.11111123323C PBD P BCD BCDV V S PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△（2）连结交于，连结，AC BD O OE 因为四边形是正方形，所以是的中点，ABCD O AC 又因为是的中点，所以，E PA //PC OE 所以(或补角)为异面直线与所成的角，BEO ∠EB PC 因为，，1AB AD ==112EA PA ==可得，EB ED BD ==所以为等边三角形，所以，BDE △3BED π∠=又因为为的中点，所以，O BD 6BEO π∠=即异面直线与所成的角.EB PC 6π。
四川省遂宁市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷含解析
四川省遂宁市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．2．下列代数运算正确的是（）A．（x+1）2=x2+1 B．（x3）2=x5C．（2x）2=2x2D．x3•x2=x53．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（）A．160元B．180元C．200元D．220元4．如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是A．B．C．D．5．若kb＜0，则一次函数y kx b=+的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限6．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与kyx=(k≠0)的图象大致是（）A．B．C．D．7．3月22日，美国宣布将对约600亿美元进口自中国的商品加征关税，中国商务部随即公布拟对约30亿美元自美进口商品加征关税，并表示，中国不希望打贸易战，但绝不惧怕贸易战，有信心，有能力应对任何挑战．将数据30亿用科学记数法表示为（）A．3×109B．3×108C．30×108D．0.3×10108．如图所示是由几个完全相同的小正方体组成的几何体的三视图．若小正方体的体积是1，则这个几何体的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．59．一个容量为50的样本,在整理频率分布时,将所有频率相加,其和是( )A．50 B．0.02 C．0.1 D．110．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A． B． C．D．11．如图，两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是()A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2：112．下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．因式分解：24m n n -=________.14．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为____. 15．分解因式：2242a a ++=__________________． 16．一个扇形的面积是125πcm ，半径是3cm ，则此扇形的弧长是_____． 17．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．18．对于函数n m y x x =+，我们定义11n m y nx mx --'=+（m 、n 为常数）． 例如42y x x =+，则342y x x '=+． 已知：()322113y x m x m x =+-+．若方程0y '=有两个相等实数根，则m 的值为__________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC ⊥AB ，弦CD 与OB 交于点F ，在AB 的延长线上有点E ，且EF=ED ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若tanA=12，探究线段AB 和BE 之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O 的半径．20．（6分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书，下面是九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：该班有学生多少人？补全条形统计图．九（1）班全体同学所捐图书是 6 本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为多少度？请你估计全校 2000 名学生所捐图书的数量．21．（6分）如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ； （1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由； （3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．22．（8分）计算:(-1)-127012⎛⎫- ⎪⎝⎭323．（8分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每周销售为y 个．（1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W 元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？24．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y ＝nx(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 坐标为(m ，﹣1)，AD ⊥x 轴，且AD ＝3，tan ∠AOD ＝32．求该反比例函数和一次函数的解析式；求△AOB 的面积；点E 是x 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点的坐标．26．（12分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．（2）求乙组加工零件总量a的值．27．（12分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，-22k-=1k>0，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，-22k-=1k<0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象和性质，解决此题的关键是熟记图象的性质，此外，还要主要二次函数的对称轴、两图象的交点的位置等．2．D【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式进行逐一计算即可．【详解】解：A. （x+1）2=x2+2x+1,故A错误；B. （x3）2=x6，故B错误；C. （2x）2=4x2，故C错误.D. x3•x2=x5,故D正确.故本题选D.【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握他们的定义是解题的关键. 3．C【解析】【分析】利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可．【详解】解：设原价为x元，根据题意可得：80%x=140+20，解得：x=1．所以该商品的原价为1元；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．4．D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的解析式【详解】解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k)，则二次函数的解析式为.由原抛物线解析式可得a=1，且原抛物线的顶点坐标为(0,0)，向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0)，故平移后的解析式为.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.5．D【解析】【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】∵kb<0，∴k、b异号。
四川省遂宁市2022届高三数学第三次诊断性考试题 文(含解析)
4.【答案】D
【解析】
解：抛物线y=ax2的标准方程为x2= y，
∵抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，1），
∴ =1，
∴a= ．
故选：D．
先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．
本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20.已知直线l1：x+y+1=0与直线l2：x+y+3=0的距离为a，椭圆C： 的离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点 关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．
设h（x）= = ，
则当x≥ 时，h′（x）= = = ，由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜ ，得 ≤x＜ ，此时为增函数，
由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞ ，得x＞ ，此时为减函数，此时x= 取得极大值，极大值为h（ ）= = = ，
当x→+∞，f（x）→0，h（ ）=0，
14.【答案】
【解析】
解：曲线 的导数为y′= ，
16.已知函数 ，函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a，若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[0，2]，不等式f（x-2k）＜2k恒成立，则实数k的取值范围为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知函数 在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N*）的首项2届高三第三次诊断性考数学（文）试题
四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学(理)试题
一、单选题1. 已知，则的值是（ ）A．B ．2C．D．2. 已知直四棱柱的底面为正方形，，为的中点，过三点作平面，则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（ ）A．B．C．D．3. 若，，则方程有解的概率为（ ）．A．B．C．D．4. 已知函数图象的一个对称中心为，且，要得到函数的图象可将函数的图象A ．向左平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向右平移个单位长度5. 已知复数满足，则（ ）A．B．C．D．6. 双曲线的右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，则双曲线的方程是（ ）A．B．C．D．7. 已知，，则（ ）A．B．C．D．8. 设复数，的共轭复数为，则A．B．C．D．9. 若函数在上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．10.如图，在平行四边形中,为的中点，则A．B．C．D．11. 复数，则复数的虚部为A．B．C．D．12. 如图所示的“数字塔”有如下规律：每一层最左与最右的数字均为3，除此之外每个数字均为两肩的数字之积，则该“数字塔”前7层的所有四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题二、多选题数字之积最接近（ ）（参考数据：）A．B．C．D．13.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ）A ．函数是奇函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D ．函数在上单调递减区间是14.已知，则当时，与的大小关系是（ ）A．B．C．D ．不确定15. 已知复数，则（ ）A．B．C．D．16. 如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是A ．平面B ．平面C．当为的中点时，的周长取得最小值D ．三棱锥的体积不是定值17. 已知四边形和四边形为正方形，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．18. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（ ）三、填空题A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．骑车时间的众数的估计值是21分钟C ．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟D ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值19. 已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，则“”是“”的充分不必要条件D ．若，，则“”是“”的必要不充分条件20.公差不为零的等差数列满足，，则（ ）A．B．C．D．21. 在中，若，则下列论断正确的是（ ）A．B．C．D．22. 设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．的取值与无关D ．的最小值为1023. 已知随机变量X 服从正态分布N （100，102），则下列选项正确的是（ ）（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P （μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A ．E （X ）＝100B ．D （X ）＝100C ．P （X ≥90）＝0.8413D ．P （X ≤120）＝0.998724.已知是数列的前项和，且，，则（ ）A ．数列是等比数列B ．恒成立C．恒成立D．恒成立25. 已知偶函数在上为增函数，且，则的取值范围为____________．26. 已知是的外心，且，则__________.27. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在四、解答题五、解答题球O的球面上，底面BCD ，，且，，利用张衡的结论可得球O 的体积为________.28.在数列中，，且，则数列的前项和为__________.29. 已知正四凌锥的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为______.30. 已知向量，为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的取值范围是__________.31. 已知命题，则：___________.32. 复数的虚部为___________（其中i 是虚数单位）．33. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．34. 已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x 的不等式在上能成立，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．35. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.36. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.37. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.38.已知(1)化简．(2)若为第三象限角，且，求的值．39.已知函数．(1)画出函数和函数的图象；(2)若不等式恒成立，且，求实数a的取值范围．40. FEV1（一秒用力呼气容积）是肺功能的一个重要指标.为了研究某地区10～15岁男孩群体的FEV1与身高的关系，现从该地区A、B、C三个社区10～15岁男孩中随机抽取600名进行FEV1与身高数据的相关分析.（1）若A、B、C三个社区10～15岁男孩人数比例为1：3：2，按分层抽样进行抽取，请求出三个社区应抽取的男孩人数.（2）经过数据处理后，得到该地区10～15岁男孩身高x（cm）与FEV 1y（L）对应的10组数据（i＝1，2，…，10），并作出如图散点图：经计算得：，， 152， 2.464，（i＝1，2，…，10）的相关系数r≈0.987.①请你利用所给公式与数据建立y关于x的线性回归方程，并估计身高160cm的男孩的FEV1的预报值y0.②已知，若①中回归模型误差的标准差为s，则该地区身高160cm的男孩的FEV1的实际值落在(y0-3s,y0+3s)内的概率为99.74%.现已求得s＝0.1，若该地区有两个身高160cm的12岁男孩M和N，分别测得FEV1值为2.8L和2.3L，请结合概率统计知识对两个男孩的FEV1指标作出一个合理的推断与建议.附：样本（x i，y i）（i＝1，2，…，n）的相关系数r，其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，.41. 鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购，小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位：箱)在的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数x客10105205户数(1)根据表中的数据作出频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数；(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若不在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m 元()销售量可增加1000m 箱，求小张今年年底收入Y (单位：元)的最大值.42. 强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：7910111334567请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．参考数据：，，；参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．43. 保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?44.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD 4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：年份20112012201320142015201620172018年份代码x12345678六、解答题感染者人数单位：万人85请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．参考数据：；，，，参考公式：相关系数，回归方程中，，．45. 已知为实数，且，数列的前项和满足（1）求证：数列为等比数列，并求出公比；（2）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于都有.46. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ，且，，，E 为PD的中点．(1)求证：平面ACE ；(2)求四棱锥的侧面积．47.如图，在四棱锥中，平面平面，，．(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；七、解答题(3)若点E 在棱上，且平面，求线段的长．48.如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.(1)若点是棱的中点，求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.49. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.为的中点，点在上，且.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求出点的位置，不存在请说明理由.50.如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.51.统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g ，上下浮动不超过25g ，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g ，标准差为25g 的正态分布．(1)假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．附：①随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．52. 某校组织了全校学生参加“党的二十大”知识测试，并规定测试成绩（满分100分）不低于80分的为优秀，其他为不优秀．从全校学生中随机抽取200名（其中男生、女生各100名），并统计他们的测试成绩，得到如下不完整的列联表，其中，．不优秀优秀总计男生女生总计200(1)完成列联表，若依据小概率值的独立性检验，可以认为是否优秀与性别有关联，求m的最大值．(2)每班派出一名代表参加校级“党的二十大”知识竞赛，经过各班代表的激烈角逐，最终甲、乙进入冠亚军争夺赛．争夺赛采用三局两胜制，约定先胜两局者获胜，每局比赛只有胜负两种情况，每局比赛中胜者得10分，负者得分．根据以往比赛经验，每局比赛中甲先答题获胜的概率为，甲后答题获胜的概率为，甲每局比赛结果互不影响．经抽签，第一局甲先答题，每一局获胜者在接下来的一局比赛中后答题．设X表示比赛结束时甲的总得分，求X的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82853. 2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？54. 从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.(1)请写出该试验的样本空间;(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.55. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.51 1.53612-0.700.4 1.1 1.8 2.5八、解答题(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b ，a ，d ，c 按四舍五入保留一位小数）(2)根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？经验回归方程残差平方和18.290.65参考公式及数据：，，，，.56. 某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示，已知每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元.根据以往的经验第二天特价水果都能售馨，并且不影响正价水果的销售.2223242526频数10101596(1)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的某类水果尽量新鲜，又能70%地满足顾客的需求（在100天中，大约有70天可以满足顾客的需求）.请根据频数分布表，估计每天某类水果的进货量箱；（结果保留一位小数）(2)以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，设（1）中所求的值，如果店老板计划每天购进箱或箱的某类水果，请以利润的期望作为决策依据，判断店老板应当购进的箱数.57.求函数的周期．58. 某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知两学习小组各有位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若组人选听《生活趣味数学》，其余人选听《校园舞蹈赏析》；组人选听《生活趣味数学》，其余人选听《校园舞蹈赏析》.（1）若从此人中任意选出人，求选出的人中恰有人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从两组中各任选人，设为选出的人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列.59. 已知直线与抛物线相切于点，动直线与抛物线交于不同两点异于点，且以为直径的圆过点．(1)求抛物线的方程及点的坐标；(2)当最小时，求直线的方程．60. 已知函数．(1)记函数的导函数是．证明：当时，；(2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围．61. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.62. 已知，函数.(1)若是的一个极值点，求的单调递增区间；(2)设，若对，都有，求的取值范围.。
四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移1个单位长度D ．向下平移1个单位长度2. 已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为，球的半径为,则正四面体表面与球面的交线的总长度为A．B．C．D．3.在平行四边形中，，点M 在AB 边上，且，则等于（ ）A．B．C．D．4. 如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．5. 若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（ ）A．B．C．D．7. 复数，则A ．1B．C．D ．28.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e 为（ ）A．B．C．D ．29. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ）A．关于的函数解析式为B ．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同C ．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米D ．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题三、填空题四、解答题10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）A ．第二天去甲餐厅的概率为0.54B ．第二天去乙餐厅的概率为0.44C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为11. 月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y （简称“月出时间”，单位：小时）与天数x （x 为阴历日数，，且）的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y 关于x的线性回归方程为.x 247101522y1224其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日）才升起.则（ ）A．样本点的中心为B．C ．预报月出时间为16时的那天是阴历13日D ．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上12.已知等比数列满足，公比，则（ ）A．数列是等比数列B ．数列是递减数列C．数列是等差数列D ．数列是等比数列13. “，使得”的否定为_________．14. 已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.15. 2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺16. 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数4816226（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．17. 设函数在处取得最小值．(1) 求的值；(2)已知函数和函数关于点对称，求函数的单调增区间．18. 如图，为圆锥的顶点，，为底面圆两条互相垂直的直径，为的中点.(1)证明：平面平面.(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，求该圆锥的体积.19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．20. 一网络公司为某贫困山区培养了名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富．该公司将这名“乡土直播员”中每天直播时间不少于小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”．根据实际评选结果得到了下面列联表：网红乡土直播员乡土直播达人合计男104050女203050合计3070100（1）根据列联表判断是否有的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关系？（2）在“网红乡土直播员”中按分层抽样的方法抽取人，在这人中选人作为“乡土直播推广大使”．设被选中的名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望．附：，其中．21. 已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积.。
四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学(理)试题(高频考点版)
一、单选题1. 若成立的一个充分不必要条件是，则实数a 的取值范围是A．B．C．D ．或2.函数的图像的是 （ ）A．B．C．D．3. 若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有A．B．C．D．4. 若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为A．B．C．D．5. 已知二项展开式，则（ ）A．B ．3C．D ．56. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．7. 已知定义域为R 的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f(－x)≠f(x)B ．∀x ∈R ，f(－x)≠－f(x)C ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠f(x 0)D ．∃x 0∈R ，f(－x 0)≠－f(x 0)四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题(高频考点版)四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题(高频考点版)二、多选题8. 如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（）A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面B ．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面C．D．存在某一翻折位置，使9.在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是曲线．则下列说法正确的是（ ）A．曲线的方程为B ．若直线与曲线相交，则弦最短时C．当三点不共线时，若点，则射线平分D ．过A 作曲线的切线，切点分别为，则直线的方程为10. 下列命题正确的有（ ）A ．命题“，”的否定“，”B ．函数单调递增区间是C．函数是上的增函数，则实数a的取值范围为D ．函数的零点所在区间为且函数只有一个零点11.如图所示，在平行六面体中，为正方形的中心，分别为线段的中点，下列结论正确的是（）A．平面B．平面平面C ．直线与平面所成的角为D．12. 如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A 以的角速度按顺时针方向运动，质点B 同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）三、填空题四、解答题A ．经过1后，扇形AOB的面积为B ．经过2后，劣弧的长为C ．经过6后，质点B的坐标为D ．经过后，质点A ，B 在单位圆上第一次相遇13.最能引起美感的比例被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．14. 已知，，，，则______．15. 已知，函数，若，则________ ．16.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值.17. 设函数．（1）求函数的零点；（2）当时，求证：在区间上单调递减；（3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围．18.已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.19. 已知点，动点在直线：上，过点且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的标准方程；(2)过的直线与曲线交于A ，两点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求与面积之比的最大值．20. 已知函数.(1)求的导函数；(2)求的定义域及值域.21. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第二象限，，求的面积．。
四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学(理)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知函数，其中，则使得在上有解的概率为A．B．C．D．2.已知函数，函数与的图像关于直线对称，令，则方程解的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53. 若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，然后向左平移个单位长度，则得到的函数图象的对称中心为（ ）A．B．C．D．4. 下面不等式成立的是（ ）A．B．C．D．5. 以为直径端点的圆方程是（ ）A．B．C．D．6. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ）A．B．C ．0D．7.已知集合或，，则等于（ ）A．B．C．D．8.已知函数，若在上有且只有3个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上为增函数B．当时，存在极大值C ．当时，存在两个极值点D．若函数存在两个不同的极值点，，则恒成立10. 一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）A．B ．为互斥事件C．D．相互独立11. 计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）A．B．C．D．四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（理）试题(高频考点版)四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（理）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题12. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）A．的渐近线方程为B ．点的坐标为C ．过点作，垂足为，则D ．四边形面积的最小值为413. 函数在处的切线方程经过点，则__________．14. 已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．15.的展开式中x 的系数为______.16.如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，且，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知函数的导函数为，且不等式的解集为（1）若函数的极大值为0，求实数的值；（2）当满足不等式时，关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围.18. 设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于）两点．（i ）若，求证：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）设，在轴的上方，过作直线的平行线交椭圆于，若直线过椭圆的左焦点，求的值．19. 已知椭圆：的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，为线段的中点，直线与直线的交点为.（Ⅰ）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；（Ⅱ）证明直线与轴平行.20.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，已知，．(1)求a ；(2)若，求A ．21. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.。
四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学(理)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 若数列满足，则的值为（ ）A ．2B．C．D．2. 已知，，，则a, b, c 的大小关系为A．B．C．D．3. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）A．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位5.的展开式中，含的项的系数是（ ）A．B．C ．25D ．556. 设向量，，若与共线，则（ ）A．B．C．D．7. 在四棱锥中，面，底面为正方形，且，过点A 作的垂面分别交，，于点E ，F ，G，则四边形的面积为（ ）A．B．C．D．8.设，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ）真数2345678910（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000真数111213141516171819（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A．在区间内B．是15位数C ．若，则D ．若是一个35位正整数，则10. 已知锐角，，满足，则（ ）A ．，可能是方程的两根四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（理）试题(2)四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（理）试题(2)三、填空题四、解答题B．若，则C．D．11.已知双曲线的左右焦点分别为，点与位于双曲线右支上的关于y轴对称，点与关于x 轴对称，，M 为双曲线上一动点（不与重合），且直线与的斜率均存在，则（ ）A．B．C ．四边形的面积为D ．直线与的斜率之积为312. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B ，C ，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是（ ）A．该游客至多游览一个景点的概率为B．C．D．13.在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.14. 在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有______种.15. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则______.16. 已知函数，.(1)若是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当时，求在上的最小值.17. 已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B （0，3）作斜率存在的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，连AP ，AQ 分别与x 轴交于点M ，N ，记点M ，N 的横坐标分别为x M ，x N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断 x M x N 是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.18. 在三棱锥中，，，，，．(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的余弦值．19. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且有．(1)求角A；(2)若BC边上的高，求．20. 已知椭圆C；的左右顶点分别为，，以线段为边的一个正三角形与椭圆C的一个公共点为P（，）.(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于点M，N，直线M，交于点D，求证：点D在定直线l上，并求出直线l的方程.21. 抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．。
四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 若存在两个正数，使得不等式成立，其中， 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2. 函数的部分图象如图所示，给出下列四个结论：①；②；③当时，的最小值为-1；④在上单调递增其中所有正确结论的序号是（）A ．①②④B ．②③C ．①②D ．①②③④3.不等式的解集为（ ）A．B．C．D ．或4. 粽子是中国传统节庆食物之一，端午前，小明买了5个质量各不相同的粽子，其中有2个“八宝粽”和3个“蛋黄粽”，将其随机排成一行，则2个“八宝粽”相邻且不排在两端的概率为（ ）A．B．C．D．5.如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是A．B．C．D．6. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 若，则的虚部为（ ）A ．B．C．D．8. 已知是虚数单位，，，则“”是“”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 下列说法正确的是（ ）四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题三、填空题四、解答题A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是B ．已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是C ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为3210. 已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）A．B ．关于点对称C．D．11.设向量，，则（ ）A．B．C．D．与的夹角为12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数在处取得极大值B．方程有两个不同的实数根C．D ．若不等式在上恒成立，则13.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．14. 奇函数的图象在点处的切线方程为____________．15.设是等差数列，且，，则的通项公式为___________.16. 若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“Y ﹣数列”．（Ⅰ）若是“Y ﹣数列”且，写出的所有可能值；（Ⅱ）设是“Y ﹣数列”，证明：是等差数列当且仅当单调递减；是等比数列当且仅当单调递增；（Ⅲ）若是“Y ﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T ，使得对任意正整数n ，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数．17. 在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?(1)求数列的通项公式:(2)求证：.18. 已知函数.（1）讨论的极值情况；（2）若时，，求证：.19. 若一正四面体的四个面分别写上数字1，2，3，4，设m和n是先、后抛掷该正四面体得到的底面上的数字，用X表示函数零点的个数．（1）求的概率；（2）求在先后两次出现的点数中有数字3的条件下，函数有零点的概率．20. 在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，，，角A为锐角．(1)求与的值；(2)求的值及三角形面积．21. 某市为提升农民年收入，更好地实现2021年扶贫的工作计划，统计了2020年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：（ⅰ）在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于该市制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，该市随机走访了1000位农民，若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附参考数据：，随机变量服从正态分布，则，，．。
2022年四川省遂宁市高考数学三诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.复数，则z在复平面内对应的点是( )A. B. C. D.3.游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化B. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱C. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差D. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值4.下列说法正确的是( )A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. 若是R上的奇函数，则的图象的对称中心是C. 已知a，b为实数，则的充要条件是D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”5.若的展开式中的系数为，则( )A. 2B.C.D.6.若变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围为( )A. B. C. D.7.已知，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. B.C.D.8.等差数列的公差为正数，记前n 项和为，若，，则( )A.B.C.D.9.已知双曲线E ：的左、右焦点分别为、，直线与E 两条渐近线的左、右交点分别为A ，B ，若四边形的面积为11ab ，则双曲线的离心率为( )A. B. C.D.10.已知，则( )A.B.C.D.11.图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A. B.C. D.12.已知x ，y 满足，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B.C.D. e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1.已知向量满足，则（ ）A ．2B．C．D ．32. 已知单位向量，满足，则（ ）A．B ．2C．D．或3. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，，若，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知集合、满足，，若，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 已知，，则（ ）A ．或B．C．D．7. 某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（ ）．A ．3.54小时B ．3.64小时C ．3.67小时D ．3.72小时8. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则实数的最小值为（ ）A．B．C．D．9. 如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（）A．B．C ．直线，是异面直线D ．直线，是相交直线10.点为圆上一动点，则（ ）A．B．C．D．11.已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（ ）四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（文）试题四川省遂宁市2022届高三下学期三诊考试数学（文）试题三、填空题四、解答题A．B ．在上单调递增C ．，D．12. 已知无穷等差数列的公差为其前项和，且是数列中的三项，则下列关于数列的选项中，正确的有（ ）A．B．C．数列为单调递增数列D ．一定是数列中的项13.如图，射线在第一象限，且与x 轴正半轴的夹角为，过点作于点A ，作线段的垂直平分线交x 轴于点E ，交于点B，作射线，以为边在的外侧作正方形，延长交射线于点，以为边在的外侧作正方形，延长交射线于点，以为边在的外侧作正方形……按此规律进行下去，则正方形的周长为_______．14.数列满足，则___________.15.已知数列满足，，则______．16. 已知四棱锥中，底面为菱形，点E 为棱PC 上一点（与P 、C 不重合），点M 、N 分别在棱PD 、PB 上，平面∥平面．(1)求证：∥平面；(2)若E 为PC 中点，，，，求点A 到平面EBD 的距离．17.已知圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与x轴相交于点，证明：.18.在中，．(1)若，求；(2)设是边上一点，若，，求．19. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．20. 已知，数列中的项均为不大于的正整数.表示中的个数.定义变换，将数列变成数列其中.（Ⅰ）若，对数列，写出的值；（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.求证：的充分必要条件为（Ⅲ）若，对于数列，令，求证：21. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的等边三角形，．(1)证明：平面平面；(2)若点为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．。
2021届四川省遂宁市高三下学期4月第三次诊断性考试(三诊)理科数学试卷及答案
绝密★启用前遂宁市高中2021届三诊考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，，则下列判断正确的是A．B．C．且D．2．已知，则A．B．C．D．3.已知随机变量服从正态分布，，则A. B. C. D.4．已知等差数列满足，，则它的前项的和A．B．C．D．5．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为，则实数A．B．C．D．6.在递增的数列中，，若，，前项和．则A．B．C．D．7.将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是附：柱体的体积公式（为底面面积，为柱体的高）锥体的体积公式（为底面面积，为锥体的高）台体的体积公式（，为台体的上、下底面面积，为台体的高）A. B. C. D.8．设，为双曲线C:的左、右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于，两点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.9.已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则A.B． C.D.10．已知在中，角所对的边分别为，且，.又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为A．B． C.D．11.已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且（其中，），则的最小值为A. B.C. D.12.已知函数，，又当时，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。
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遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 1 页 共 10 页遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三）数学试题(2015级全市统考题改编)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列直线中与直线210x y ++=垂直的一条是（ ）． A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．210x y ++= D ．1102x y +-= 【答案】B 【解析】试题分析：两直线垂直，则两直线的斜率之积为-1，由题可知已知直线的斜率为2k =-，所以所求直线的斜率为12k =，由选项可得，B 选项符合，故选B 。
考点：两直线的垂直2．设m ，n 表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是 (A) 若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α (B) 若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β(C) 若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β (D) 若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β3．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ） (A)p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题【答案】D【解析】 根据复合命题真假性的判断方法或命题是有真则真；且命题是有假是假；非命题是真假相反,可知q ⌝是真命题4．在空间坐标中，点B 是)3,2,1(A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（ ）A. 14B. 13C.32D. 11【答案】B 【解析】略遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 2 页 共 10 页5．已知条件2|1:|>+x p ，条件a x q >|:|，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. 10≤≤a B. 31≤≤a C. 1≤aD. 3≥a【答案】C 【解析】试题分析：对于2|1:|>+x p 易求得3,1-<>x x 或，对于a x q >|:|，得a x a x -<>或,， 又p ⌝为13≤≤-x ，q ⌝为a x a ≤≤-，因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以1≤a . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断6. 若某程序框图如右图所示,则该程序 运行后输出的B 等于 (A) 63 (B) 31 (C) 127(D) 157．将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________. A.060 B.030 C.090 D.0120 【答案】 A 60° 【解析】略8．一个教育权威机构对某中学某年补习班学生高考情况进行调查发现：上一年高考考分在400到540分之间的学生在该校经过一年刻苦补习后，第二年高考成绩y 与上一年高考成绩X 具有相关性，调查情况如下表（单位：分）：根据上表得到回归方程为a x b yˆˆˆ+=，其中183.1ˆ=b 。
据此估计，若某学生上一年高考分为520分，在该校刻苦补习一年后，第二年高考的平均成绩是 (A) 585 (B) 591 (C) 593 (D) 5959．已知函数()2,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()21213f f ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩的事件为遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 3 页 共 10 页A ，则事件A 的概率为(A) 58(B) 12(C) 38(D) 1410．若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为 A A ．1316 B ．78 C ．34 D ．58【答案】A 【解析】试题分析：显然总的方法中数为：16种当0a =时：()2f x x b =+无论b 取{}1,0,1,2-中何值，原函数必有零点，所以有4种取法； 当0a ≠时，函数2()2f x ax x b =++为二次函数，若有零点须使：0∆≥即440ab -≥即1ab ≤，所以,a b 取值组成的数对分别为：()()()()()()()()()1,0,1,0,2,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1-------共9种，综上符合条件的概率为：94131616+=，所以答案为：A. 解法二：（排除法）总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有0a ≠且0∆<即1ab >，所以此时,a b 取值组成的数对分别为：()()()1,2,2,1,2,2共3种，所以所求有零点的概率为：31311616-=，答案为A. 考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.11．在平面直角坐标系中，点()2,1A 、()10,7B 到直线 的距离分别为2和6，则满足条件的直线条数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D ；【解析】以A 为圆心，2为半径作圆A ，以B 为圆心，6为半径作圆B ， 易知两圆相离，故存在4条公切线。
12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N两点，若MN ≥k 取值范围是 （ ）A ．2-03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[)3--0+4⎛⎤∞∞ ⎥⎝⎦ ，， C．⎡⎢⎣⎦D ．3-04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 4 页 共 10 页【答案】D 【解析】试题分析：圆心()3,2到直线3y k x =+的距离为，又圆半径为2，可知MN =MN ≥2430k k +≥，故3-04k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 考点:点到线的距离公式，直线与圆的位置关系．第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题(每题5分，共20分)13．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为 ▲ .14．执行程序框图如下图所示，如果输入4=a ，那么输出=n ▲ .415．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3，7，a ，b ，12，20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a = ，b = ． 【答案】12a b == 【解析】试题分析：∵总体的中位数为12，∴24a b +=,∴总体均值为11，只要遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 5 页 共 10 页222222(11)(11)2()12173a b a b a b a b -+-=+-++=++最小即可，而222()2882a b a b ++≥=,当且仅当12a b ==时取等号．考点：本题考查了统计知识，重要不等式点评：灵活运用统计中的平均数公式及中位数概念是解决此类问题的关键，属基础题16．过圆x y 224+=内点M 作圆的两条互相垂直的弦AB 和CD ，则AB C D +的最大值为 .【答案】 【解析】试题分析：取AB 中点E,取CD中点F ，连接OE,OF 则,OE AB OF CD ⊥⊥,2223OE OF OM +==∴2222AB CD AE DF +=+==由22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得()()22244835222OE OF -+--≤==⎝⎭≤OE OF =时等号成立。
AB CD ∴+≤考点：圆的性质，均值不等式点评：均值不等式的应用不易想到三、解答题（本大题共6小题，满分75分。
解答应写出文字说明及演算步骤。
） 17.（本小题满分10分）已知:p 对任意R x ∈，m x x <-cos 3sin 恒成立；:q 若()⎩⎨⎧≥-<=m x m x m x m x f 2,222,2，则()1>x f 恒成立，若命题""q p ∧为假，""q p ∨为真，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 6 页 共 10 页甲、乙两人同时生产一种产品，6天中，完成的产量茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）如图所示：（Ⅰ）写出甲、乙的众数和中位数；18．（Ⅰ）甲的众数、中位数均为20，3分乙的从数、中位数分别为23，19.5。
……6分 （Ⅱ）甲、乙的平均数分别为20,20,x x ==乙甲 ……8分甲、乙的工分别为22516,33ss ==乙甲……10分 ∵20,x x ==乙甲 22s s <乙甲 ∴甲更优秀. ……12分19．如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1,2)，B (4,0)，一条河所在的直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P ，使之到A ，B 两镇的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方？19．解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，若P ′(异于P )在直线上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |．因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A ′(a ，b )， 则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 7 页 共 10 页即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611． 20．G5、G7[2014·江西卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．20．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2），sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，遂中实验校高中2017级第三学期期末复习押题（三） 第 8 页 共 10 页所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377. (2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △A 1D ＝AD2－AA 21S △A 1BC ＝12A 1D ·从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367， 所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.21．（本题满分12分）为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（Ⅰ）将频率当作概率，请估计 该年级学生中百米成绩在[16，17） 内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少 个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一组和第五组中随 机取出两个成绩，求这两个成绩的 差的绝对值大于1秒的概率. 21．解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.32⨯1=0.32. 0.32⨯1000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。