高二数学月考试卷
山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024~2025学年高二10月质量检测卷数学（A 卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则的倾斜角为（）A.B.C.D.2.已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）A. B. C. D.3.在长方体中，为棱的中点.若，，，则（）A. B. C. D.4.两平行直线，之间的距离为（ ）B.3D.5.曲线轴围成区域的面积为（ ）l (A (B l 6π3π23π56πC 2242110x y x y ++--=C ()2,1-()2,1-()4,2-()4,2-1111ABCD A B C D -M 1CC AB a = AD b =1AA c = AM =111222a b c -+ 111222a b c ++12a b c-+12a b c++ 1:20l x y --=2:240l x y -+=y =xA. B. C. D.6.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）A. B.D.37.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.8.在正三棱柱中，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）A.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
黑龙江省哈尔滨师大附中2024-2025学年高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知椭圆的方程为x23+y24=1，则该椭圆的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (0,±7)C. (±1,0)D. (±7,0)2.已知直线l：x+3my−2=0的倾斜角为π3，则实数m=( )A. −1B. −13C. 13D. 13.已知直线l的方程是(3a−1)x−(a−2)y−1=0，则对任意的实数a，直线l一定经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则此椭圆的离心率为( )A. 12B. 23C. 13D. 535.若直线y=x+b与曲线y=1−x2有公共点，则b的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−1,2]C. [−1,1]D. (−1,2)6.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为12，则四边形AF1BF2面积的最大值为( )A. 45B. 25C. 235D. 357.已知圆C：(x+5)2+(y−12)2=9和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围为( )A. [11,15]B. [10,16]C. [9,13]D. [8,12]8.已知A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且|AB|=22，点M(x0,y0)是线段AB的中点，则|x0+y0−4|的最大值为( )A. 12B. 62C. 6D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年安徽省合肥六中高二(下)月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年安徽省合肥六中高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A2n=C n−3n，则n=( )A. 6B. 7C. 8D. 92.一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有( )种．A. 12B. 20C. 30D. 423.若(2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a8(x+1)8，则a0+a2+a4+a6+a8=( )A. 6562B. 3281C. 3280D. 65604.已知函数f(x)=2x−tlnx存在两个零点，则实数t的取值范围为( )A. (e2,+∞) B. (e,+∞) C. (2e,+∞) D. (3e,+∞)5.现在有9名学生，其中3人只会唱歌，4人只会跳舞，2人既会唱歌又会跳舞.现要选唱歌的3人、跳舞的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A. 92种B. 68种C. 74种D. 56种6.春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有( )A. 180B. 240C. 360D. 4207.定义域为(−π2,π2)的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，其导函数为f′(x)，当0<x<π2时，有f′(x)cosx+f(x)sinx<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f(π4)⋅cosx的解集为( )A. (−π2,−π4)∪(π4,π2) B. (π4,π2)C. (−π4,0)∪(0,π4) D. (−π4,0)∪(π4,π2)8.已知a=0.1e0.1，b=0.11，c=sin0.1，则a，b，c的大小顺序为( )A. c<b<aB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北云学名校联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2024年湖北云学名校联盟高二年级10月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项考试时间：2024年10月15日15：00-17：00 时长：120分钟满分：150分是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，20253i 1i ++的虚部为（ ）A. i −B. iC. 1−D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.【详解】根据复数的乘方可知()50620254i i i i =⋅=，则()()()()20253i 1i 3i 3i32i 12i 1i 1i1i 1i 2+−++−+====−+++−，其虚部为1−. 故选：C2. 已知一组数据：2，5，7，x ，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 7 B. 6.5C. 6D. 5.5【答案】B 【解析】【分析】先根据平均数求x 的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值. 【详解】因为2571065x ++++=⇒6x =.所以数据为：2，5，6，7，10.又因为560%3×=，所以这组数据的第60百分位数为：676.52+=. 故选：B3. 直线1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A 0 B. 1C. 0或1D.13或1 【答案】C.【分析】根据两直线垂直的公式12120A A B B +=求解即可. 【详解】因为1l ：20250ax y −+=，2l ：()3220a x ay a −+−=垂直， 所以()()3210a a a −+−=， 解得0a =或1a =，将0a =，1a =代入方程，均满足题意， 所以当0a =或1a =时，12l l ⊥. 故选：C .4. 为了测量河对岸一古树高度AB 的问题（如图），某同学选取与树底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，48m CD =，并在点C 处测得树顶A 的仰角为60°，则树高AB 约为（ ）1.4≈1.7≈）A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m【答案】D 【解析】【分析】先在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt ABC △中求AB 即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=°，30BDC ∠=°，所以135CBD ∠=°，又48CD =，由正弦定理得：sin sin CD CBCBD CDB=∠∠⇒12CB=⇒CB =在Rt ABC △中，tan 60AB BC =°=24 1.4 1.7≈××57.12=. 故选：D5. 如果直线ax ＋by ＝4与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆的位置关系是( ) A. P 在圆外 B. P 在圆上D. P 与圆的位置关系不确定 【答案】A 【解析】224a b ∴+，所以点(),a b 在圆外考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系6. 在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 与Q 满足23AP AB = ，且2CD CQ =，则PQ 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以{},,AB AC AD 为基底，表示出PQ，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：以{},,AB AC AD 为基底，则6AB AC AD ===，60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=°，所以66cos 6018AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=××°=.因为()1223PQ AQ AP AC AD AB =−=+− 211322AB AC AD =−++. 所以22211322PQ AB AC AD =−++222411221944332AB AC AD AB AC AB AD AC AD =++−⋅−⋅+⋅ 169912129=++−−+19=.所以PQ =.故选：D7. 下列命题中正确的是（ ）A. 221240z z +=，则120z z ==； B. 若点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，则点P 、Q 、R 、S 、T 共面；C. 若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件； D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为310； 【答案】D 【解析】【分析】举反例说明ABC 不成立，根据古典概型的算法判断D 是正确的.【详解】对A ：若1i z =，22z =，则221240z z +=，但120z z ==不成立，故A 错误； 对B ：如图：四面体S PRT −中，Q 是棱PR 上一点，则点P 、Q 、R 、S 共面，点P 、Q 、R 、T 共面，但点P 、Q 、R 、S 、T 不共面，故B 错误； 对C ：掷1枚骰子，即事件A ：点数为奇数，事件B ：点数不大于3， 则()12P A =，()12P B =，()()1P A P B +=，但事件A 、B 不互斥，也不对立，故C 错误； 对D ：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有35C 10=种选法， 这三条线段能构成一个三角形的的选法有：{}3,5,7，{}3,7,9，{}5,7,9共3种， 所以条线段能构成一个三角形的的概率为：310P =，故D 正确. 故选：D8. 动点Q 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D −侧面11BCC B 上，满足2QA QB =，则点Q 的轨迹长度为（ ）A. 2πB.4π3C.D.【解析】【分析】结合图形，计算出||BQ =，由点Q ∈平面11BCC B ，得出点Q 的轨迹为圆弧 EQF，利用弧长公式计算即得.【详解】如图，易得AB ⊥平面11BCC B ,因BQ ⊂平面11BCC B ，则AB BQ ⊥，不妨设||BQ r =，则||2AQ r =, ||3AB ==，解得r =又点Q ∈平面11BCC B ，故点Q 的轨迹为以点B EQF,故其长度为π2. 故选：D.二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−；B. 已知()2,4A ，()1,1B ，若直线l ：20kx y k ++−=与线段AB 有公共点，则21,32k∈−； C. 过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=；D. 若圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1，则1b =−±． 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线是否存在斜率判断A 的真假；数形结合求k 的取值范围判断B 的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求b 判断D 的真假.【详解】对A ：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为1−”成立的前提是两条直线的斜率都存若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A 是错误的. 对B ：如图：对直线l ：20kx y k ++−=⇒()21y k x −=−+，表示过点()1,2P −，且斜率为k −的直线， 且()422213APk −==−−，()121112BP k −==−−−， 由直线l 与线段AB 有公共点，所以：203k ≤−≤或102k −≤−<，即203k −≤≤或102k <≤，进而得：2132k −≤≤.故B 正确； 对C ：过点()1,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为10x y −+=或2y x =，故C 错误； 对D ：“圆()2214x y −+=上恰有3个点到直线y x b =+的距离等于1”可转化为“圆心(1,0)到直线y x b =+的距离等于1”.1⇒1b =−±.故D 正确.故选：BD10. 如图所示四面体OABC 中，4OB OC ==，3OA =，OB OC ⊥，且60AOB AOC ∠=∠=°，23CD CB =，G 为AD 的中点，点H 是线段OA 上动点，则下列说法正确的是（ ）A. ()13OG OA OB OC =++ ；B. 当H 是靠近A 的三等分点时，DH ，OC ，AB共面；C. 当56OH OA = 时，GH OA ⊥ ；D. DH OH ⋅的最小值为1−．【答案】BCD 【解析】【分析】以{},,OA OB OC为基底，表示出相关向量，可直接判断A 的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD 的真假.【详解】以{},,OA OB OC 为基底，则3OA = ，4OB OC == ，6OA OB OA OC ⋅=⋅= ,0OB OC ⋅=.对A ：因为23AD AC CD AC CB =+=+ ()23AC AB AC =+−2133AB AC +()()2133OB OA OC OA =−+−2133OA OB OC =−++ . 所以12OG OA AG OA AD =+=+ 121233OA OA OB OC =+−++111236OA OB OC =++ ，故A 错误；对B ：当H 是靠近A 的三等分点，即23OH OA =时，DH AH AD =− 121333OA OA OB OC =−−−++221333OA OB OC =−− ，又AB OB OA =−，所以13DH AB OC − .故DH ，AB ，OC 共面.故B 正确；对C ：因为HG OG OH OA AG OH =−=+− 1526OA AD OA =+−12152336OA OA OB OC OA =+−++− 111336OA OB OC =−++，所以：HG OA ⋅= 111336OA OB OC OA −++⋅ 2111336OA OB OA OC OA =−+⋅+⋅1119660336=−×+×+×=，所以HG OA ⊥ ，故GH OA ⊥，故C 正确；对D ：设OH OA λ=，()01λ≤≤.因为：DH OH OD =−()OA OA AD λ=−+ 2133OA OA OA OB OC λ =−−++2133OA OB OC λ=−− .所以DH OH ⋅ 2133OA OB OC OAλλ =−−⋅()2233OA OA OB OA OCλλλ−⋅−⋅296λλ−，()01λ≤≤.当13λ=时，DH OH ⋅ 有最小值，为：1196193×−×=−，故D 正确. 故选：BCD11. 已知()2,3P 是圆C ：22810410x y x y a +−−−+=内一点，其中0a >，经过点P 的动直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AAAA |的最小值为4，则（ ） A. 12a =；B. 若|AAAA |=4，则直线l 的倾斜角为120°；C. 存在直线l 使得CA CB ⊥；D. 记PAC 与PBC △的面积分别为PAC S ，PBC S ，则PAC PBC S S ⋅△△的最大值为8． 【答案】ACD 【解析】【分析】根据点()2,3P 在圆内，列不等式，可求a 的取值范围，在根据弦|AAAA |的最小值为4求a 的值，判断A 的真假；明确圆的圆心和半径，根据1l CP k k ⋅=−，可求直线AB 的斜率，进而求直线AB 的倾斜角，判断B 的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C 的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求PAC PBC S S ⋅△△的最大值，判断D 的真假. 【详解】对A ：由222382103410a +−×−×−+<⇒8a >. 此时圆C ：()()2245x y a −+−=.因为过P 点的弦|AAAA |的最小值为4，所以CP=又CP =⇒12a =.故A 正确；对B ：因为53142CP k −==−，1l CP k k ⋅=−，所以直线l 的斜率为1−，其倾斜角为135°，故B 错误； 对C ：当|AAAA |=4时，如图：sin ACP ∠==，cos ACP ∠==41cos 1033ACB ∠=−=>， 所以ACB ∠为锐角，又随着直线AB 斜率的变化，ACB ∠最大可以为平角， 所以存在直线l 使得CA CB ⊥.故C 正确； 对D ：如图：直线CP 与圆C 交于M 、N 两点，链接AM ，BN ，因为MAP BNP ∠=∠，APM NPB ∠=∠，所以APM NPB .所以AP MP NPBP=⇒(4AP BP MP NP ⋅=⋅=−+=.又1sin 2PACS PA PC APC APC =⋅⋅∠=∠ ，PBCS BPC =∠ ，且sin sin APC BPC ∠=∠.所以22sin PAC PBC S S PA PB APC⋅=⋅⋅∠ 28sin APC ∠8≤，当且仅当sin 1APC ∠=，即AB CP ⊥时取“=”.故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求PAC PBC S S ⋅△△的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出AP BP ⋅为定值，再结合三角形的面积公式求PAC PBC S S ⋅△△的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 实数x 、y 满足224x y +=，则()()2243x y −++的最大值是______． 【答案】49 【解析】【分析】根据()()2243x y −++几何意义为圆上的点(),x y 与()4,3−距离的平方，找出圆上的与()4,3−的最大值，再平方即可求解.【详解】解：由题意知：设(),p x y ，()4,3A −，则(),p x y 为圆224x y +=上的点， 圆224x y +=的圆心OO (0,0),半径2r =， 则()()2243x y −++表示圆上的点(),p x y 与()4,3A −距离的平方，又因为max 27PA AO r=+=+=, 所以22max749PA==； 故()()2243x y −++的最大值是49. 故答案为：49.13. 记ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()cos2cos a B c b A =−，其中π2B ≠，若ABC 的面积S =，2BE EC = ，且AE = ，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用正弦定理对()cos 2cos a B c b A =−化简，可得π3A =，再由三角形面积公式求出8bc =，根据题意写出1233AE AB AC =+，等式两边平方后，可求出,b c 的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+−，求出BC 的长.【详解】()cos 2cos a B c b A =−,由正弦定理可得:sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =−，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， ()sin 2sin cos A B C A +=，()sin πC 2sin cos C A −=,sin 2sin cos (sin 0)C C A C >，即1cos 2A =,π3A =，1sin 2ABC S bc A == ,得8bc =， ∵2BE EC = ，∴1233AE AB AC =+ ，221233AE AB AC =+， 即2228144cos 3999c b bc A =++，由8bc =，解得42b c = = 或18b c = = ， 根据余弦定理2222cos a b c bc A =+−，当42b c = =时，a =，此时π2B =，不满足题意， 当18b c = =时，a =..14. 如图，已知四面体ABCD 的体积为9，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G 、H 分别在CD 、AD 上，且G 、H 是靠近D 的三等分点，则多面体EFGHBD 的体积为______．【答案】72##3.5 【解析】 【分析】多面体EFGHBD 的体积为三棱锥G DEH −与四棱锥E BFGD −的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.【详解】连接ED ，EG ，因为H 为AAAA 上的靠近D 的三分点，所以13DH AD =， 因为E 为AAAA 的中点，所以点E 到AAAA 的距离为点B 到AAAA 的距离的一半， 所以16DEH BAD S S = ， 又G 为CCAA 上靠近D 的三分点，所以点G 到平面ABD 的距离为点C 到平面ABD 的距离的13， 所以111119663182G DEH G BAD C BAD V V V −−−==×=×=， 1233BCD FCG BCD BCD BCD BFGD S S S S S S =−=−= 四边形， 所以2211933323E BFGD E BCD A BCD V V V −−−==×=×=， 所以多面体EFGHBD 的体积为17322G DEH E BFGD V V −−+=+=. 故答案为：72. 【点睛】关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．（1）求抽取的总样本的平均数；（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．【答案】（1）14 （2）16【解析】【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.【小问1详解】 样本中男生的人数为：100900601500×=；女生的人数为：1006040−=. 所以总样本的平均数为：6013.24015.214100x ×+×=. 【小问2详解】记总样本的方差为2s ， 则()(){}22216013.3613.2144017.5615.214100s =×+−+×+− 16=. 所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.16. 在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点A 的坐标为()4,2−，ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=，AC 边上中线BM 所在的直线方程为220x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(3,4)C ；（2）72130x y −−=【解析】【分析】（1）设(,1)C m m +，则43(,)22m m M −+，代入220x y +−=，求解即可； （2）设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=，在直线10x y −+=取点(0,1)P ，利用点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，求解即可.【小问1详解】解：由题意可知点C 在直线0x y −+=上， 所以设(,1)C m m +，所以AC 中点43(,)22m m M −+， 又因为点43(,)22m m M −+在直线220x y +−=上， 所以34202m m +−+−=，解得3m =， 所以(3,4)C ；【小问2详解】解：因为(3,4)C ，设直线BC 的方程为：340x ny n +−−=， 又因为(4,2)A −，所以直线AC 的方程为：27220x y −+=， .又因为ACB ∠的角平分线所在的直线方程为10x y −+=， 在直线10x y −+=取点(0,1)P ，则点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，=，整理得21453140n n ++=， 解得：72n =−或27n =−， 当72n =−时，所求方程即为直线AC 的方程， 所以27n =−， 所以直线BC 的方程为： 72130x y −−=. 17. 直三棱柱111ABC A B C −中，12AB AC AA ===，其中,,E F D 分别为棱111,,BC B A B C 的中点，已知11AF A C ⊥，（1）求证：AF DE ⊥；（2）设平面EFD 与平面ABC 的交线为直线m ，求直线AC 与直线m 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点G ，连接1,EG A G 证得四边形ADEG 为平行四边形，得到1//DE A G ，利用1A AG ABF ≌，证得90AHG ∠= ，得到1AF A G ⊥，即可证得AF DE ⊥；（2）根据题意，证得11A C ⊥平面11ABB A ，得到1111A C A B ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得(0,2,0)AC = ，再取AC 的中点M ，延长,MB DF 交于点N ，得到直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，求得(4,1,0)N −，得到(3,2,0)EN =− ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点G ，连接1,EG A G ，因为E 的中点，可得//EG AC ，且12EG AC =， 又因为1//A D AC ，且112A D AC =，所以1//EG A D ，且1EG A D =， 所以四边形ADEG 平行四边形，所以1//DE A G ，在正方形11ABB A 中，可得1A AG ABF ≌，所以1A GA AFB ∠=∠， 因为90AFB AFB ∠+∠= ，所以190AFB A GA ∠+∠= ，AGH 中，可得90AHG ∠= ，所以1AF A G ⊥，又因为1//DE A G ，所以AF DE ⊥.【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C −中，可得1AA ⊥平面111A B C ，因为11AC ⊂平面111AB C ，所以111AA A C ⊥， 又因为11AF A C ⊥，且1AA AF A ∩=，1,AA AF ⊂平面11ABB A ，所以11A C ⊥平面11ABB A ， 因为11A B ⊂平面11ABB A ，所以1111A C A B ⊥，即直三棱柱111ABC A B C −的底面为等腰直角三角形，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12AB AC AA ===，可得(0,0,0),(0,2,0)A C ，则(0,2,0)AC =， 为在取AC 的中点M ，连接,MB DM ，可得1//DM CC 且1DM CC =，因为11//BB DD 且11BB DD =，所以//BF DM ，且12BF DM =， 延长,MB DF 交于点N ，可得B 为MN 的中点，连接EN ，可得EN 即为平面DEF 与平面ABC 的交线，所以直线AC 与直线m 所成角，即为直线AC 与直线EN 所成角，又由(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)M B E ， 设(,,)N x y z ，可得MB BN =，即(2,1,0)(2,,)x y z −=−， 可得4,1,0x y z ==−=，所以(4,1,0)N −，可得(3,2,0)EN =− ，设直线EN 与直线AC 所成角为θ，可得cos cos ,AC EN AC EN AC EN θ⋅=== 即直线AC 与直线m18. 已知圆C ：22430x y y +−+=，过直线l ：12y x =上的动点M 作圆C 的切线，切点分别为P ，Q ．（1）当π3PMQ ∠=时，求出点M 的坐标； （2）经过M ，P ，C 三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．【答案】（1）(0,0)或84(,)55（2）过定点(0,2)或42(,)55（3）22173042x y x y +−−+= 【解析】【分析】（1）点M 在直线l 上，设(2,)M m m ，由对称性可知30CMP ∠= ，可得2MC =，从而可得点M 坐标．（2）MC 的中点,12m Q m+，因为MP 是圆P 的切线，进而可知经过C ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MC 为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m 的恒等式，进而可求得x 和y ，得到结果；（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线PQ 的方程，且得直线PQ 过定点13,42R，由几何性质得MN RN ⊥，即点N 在以MR 为直径的圆上，进而可得结果.【小问1详解】（1）直线l 的方程为20x y −=，点M 在直线l 上，设(2,)M m m ， 因为π3PMQ ∠=，由对称性可得：由对称性可知30CMP ∠= ，由题1CP =所以2MC =，所以22(2)(2)4+−=m m ， 解之得：40,5==m m 故所求点M 的坐标为(0,0)或84(,)55． 【小问2详解】 设(2,)M m m ，则MC 的中点(,1)2m E m +，因为MP 是圆C 的切线， 所以经过,,C P M 三点的圆是以Q 为圆心，以ME 为半径的圆，故圆E 方程为：2222()(1)(1)22m m x m y m −+−−=+−化简得：222(22)0x y y m x y +−−+−=，此式是关于m 的恒等式，故2220,{220,x y y x y +−=+−=解得02x y = = 或4525x y = = , 所以经过,,C P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．【小问3详解】 由()22222220,430x y mx m y m x y y +−−++= +−+=可得PQ ：()22320mx m y m +−+−=，即()22230m x y y +−−+=， 由220,230x y y +−= −=可得PQ 过定点13,42R . 因为N 为圆E 的弦PQ 的中点，所以MN PQ ⊥，即MN RN ⊥，故点N 在以MR 为直径的圆上，点N 的轨迹方程为22173042x y x y +−−+=. 19. 四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，侧面PAD 为正三角形；（1）当BD PD ⊥时，线段PB 上是否存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，请说明理由． （2）当PD 与平面BCD 所成角最大时，求三棱锥P BCD −的外接球的体积．【答案】（1）存在；1.（2【解析】【分析】（1）先证平面PAD ⊥平面ABCD ，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点Q 的位置.（2）根据PD 与平面BCD 所成角最大，确定平面PAD ⊥平面ABCD ，利用（1）中的图形，设三棱锥P BCD −的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为等腰梯形，224AB BC CD ===，所以60BAD ∠=°，120BCD ∠=°，30CBD ABD ∠=∠=°，所以90ADB ∠=°. 所以BD AD ⊥，又BD PD ⊥，,AD PD ⊂平面PAD ，且AD PD D = ，所以BD ⊥平面PAD .又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .取AD 中点O ，因为PAD △是等边三角形，所以PO AD ⊥，平面PAD ∩平面ABCD AD =，所以⊥PO 平面ABCD .再取AB 中点E ，连接OE ，则//OE BD ，所以OE AD ⊥.所以可以O 为原点，建立如图空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,0,0D −，()E ，()1,B −，(P ，()C −.(1,PB =−− .设PQ PB λ= ，可得)()1Q λλ−−所以)()1,1AQ λλ=−−− ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1n = .因为AQ 与平面ABCD ，所以AQ nAQ n ⋅⋅ ，解得12λ=或5λ=（舍去）. 所以：线段PB 上存在一点Q ，使得直线AQ 与平面ABCD ，此时1PQ QB =. 【小问2详解】当平面PAD ⊥平面ABCD 时, PD 与平面BCD 所成角为PDA ∠.当平面PAD 与平面ABCD 不垂直时，过P 做PH ⊥平面ABCD ，连接HD ，则PDH ∠为PD 与平面BCD 所成角，因为PH PO <，sin PH PDH PD ∠=，sin PO PDA PD∠=，s s n i i n PDA PDH ∠∠<，所以A PDH PD ∠∠<. 故当平面PAD ⊥平面ABCD 时，PD 与平面BCD 所成角最大.此时，设棱锥P BCD −的外接球球心为(),,G x y z ，GP GB GC GD R====,所以(()(()(()2222222222222222121x y z R x y z R x y z R x y z R ++= ++−+= ++−+=+++=，解得20133x y z R = = = = 所以三棱锥P BCD −的外接球的体积为：34π3V R ==. 【点睛】方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解..。
安徽省十校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)
安徽省十校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,则若,则( )A.2B.3C.4D.52．已知数列等比数列,且则的值为( )A.1B.2C.3D.43．如图,可导函数在点处的切线为,设,则下列说法正确的是( )A.,B.,C.,是的极大值点D.,是的极小值点4．某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据（，2，3，…，10），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数r 的值变小D.解释变量x 与预报变量y 相关性变弱5．已知( )321()3f x x x ax =++(1)6f '=a ={}n a 12341,64a a a a ==25log a ()y f x =()()00,P x f x :()l y g x =()()()h x f x g x =-x ∃∈R ()0h x >x ∀∈R ()0h x '<()00h x '=0x x =()h x ()00h x '=0x x =()h x (),i i x y 1i =2R ()P A =()P B A =∣()P B A =∣()B =6．有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有( ) A.144种 B.240种 C.288种 D.336种7．已知正项数列的前n项和为,,且恒成立,则实数M的最小值为( )D.38．已知正实数x,y满足的最大值为( )A.0B.1C.2D.e二、多项选择题9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关,调查了400人,得到如图所示的列联表,其中,则( )D.依据小概率值独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子的{}nanS1a=3nnaa+=13242111n nMa a a a a a++++<n lne lx y x y y=+ln y22⨯12b a=0.001α=所排列的形状,把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是( )B.1225既是三角形数,又是正方形数D.,,总存在p ,,使得成立11．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i 项为,则下列说法正确的是( )A.若,,则这样的数列共有360个B.若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列共有288个C.若该数列恰好先减后增,则这样的数列共有50个D.若,,则这样的数列共有71个三、填空题12．已知随机变量,且,则的展开式中常数项为___________.13．小张一次买了三串冰糖葫芦,其中一串有两颗冰糖葫芦,一串有三颗冰糖葫芦,一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗,每一串只能从上往下吃,那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）{}n a {}n b 231111n n a a a n ++++=+ 231113320n b b b +++< *m ∀∈N 2m ≥*q ∈N m p q b a a =+()i i 1,2,,7a = 47a =123567a a a a a a ++<++123a a a <<345a a a >>567a a a <<()22,X N σ～()()1P X a P X ≤=≥6x ⎛ ⎝14．已知关于x 的不等式对任意均成立，则实数k 的取值范围为_________.四、解答题15．我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额y （单位：百万元）的影响,对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下：;（2）求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元,估计年收入的附加额．参考数据：,,．参考公式：在经验回归方程中,16．已知数列满足,且．（1）求证：是等比数列;（2）设,求数列的前n 项和.17．某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组,两个小组分别独立开展对该生物()()2ln 340x kx x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦()0,x ∈+∞x i x i y 222i i 1nx nx ==-∑y x 8i i i 1334.1x y ==∑8i i 148.6y ==∑821i i 356x ==∑ y bxa =+b = y =-{}n a 1220n n a a +--=13a ={}2n a -n n b na ={}n b n S,乙则称该次试验失败．（1）甲组做了4次试验,求至少1次试验成功的概率;（2）若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为X ,求X 的分布列及数学期望．18．已知函数．（1）求函数的极值;（2）当时,讨论函数零点的个数．19．已知函数（1）若恒成立,求a 的值;（2）求证：．()()e x f x ax a =-∈R ()f x 0a >()f x ()()ln 22a af x x a x =-+∈R ()0f x ≥()*111sinsin sin ln 2122n n n n+++<∈++N参考答案1．答案：B解析：因为,所以,又,即,解得.故选：B 2．答案：D解析：由等比中项性质可知,又,.故选：D.3．答案：C解析：因函数在点处的切线为,即,则,于是,,由图知,当时,,此时,当时,,此时.对于B 项,由上分析,B 项显然错误;对于C,D 项,由上分析,当时,单调递增;当时,单调递减,即当时,取得极大值,且,故C 项正确,D 项错误;对于A 项,由上分析时,取得极大值,也是最大值,则有,,故A 项错误.故选：C.4．答案：B解析：从图中可以看出A 点较其他点，偏离直线远，故去掉A 点后，回归效果更好，故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，1，即相关系数r 的值变大，解释变量x 与预报变量y 相关性变强，321()3f x x x ax =++2()2f x x x a '=++(1)6f '=()211216f a '=+⨯+=3a =323433644a a a a a ==⇒=231551616a a a a ==⇒=2log 164∴=()y f x =()()00,P x f x 000()()()y f x f x x x '-=-0000()()()()g x f x x x f x f x ''=-+0000()()()()()()()h x f x g x f x f x x x f x f x ''=-=-+-0()()()h x f x f x '''=-0x x <0()()f x f x ''>()0h x '>0x x >0()()f x f x ''<()0h x '<0x x <()h x 0x x >()h x 0x x =()h x ()00h x '=0x x =()h x 0()0h x =x ∀∈R ()0h x ≤2R故A 、C 、D 错误，B 正确.故选：B.5．答案：C解析：由题知,又则故选：C.6．答案：C解析：将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6.当恰有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法；当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样，从而共有种站法；当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可，从而有种站法.综上可知，总站法有（种）.故选C.7．答案：B所以,即,即,则,与上式作差后可得,因为正项数列,所以,,()()1P A P A =-=()()()11()()22P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣()2133)(()P A BA P B P A =-==-()()()11()44()P B A P B A PB A P A P A ==⇒=⨯=∣()()115312()12P B A P B P BA ===++1212232222C A C A A 12122322223C A C A A 121122322222C A C C A A 12122121122322223222224C A C A A C A C C A A 288+==()133n n n n n n n a S a S a S S +=+=+()13n n n n a S S S +-=13n n n a a S +=1213n n n a a S +++=()()211133n n n n n n a S a a S a ++++-=-={}n a 23n n a a +-=222111133n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,,,故选：B.8．答案：A解析：正实数x ,y 满足,,且,构造函数,则,,时,,函数在上单调递增,,,令,,令,,,,函数在上单调递减,又,则上,上,时函数取得极大值,即最大值0.故选：A.9．答案：ACD11a =11212333n n n a a a a S a a +=⇒=⇒=2421324352111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭124119n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭ ()e ln ln ln x y x y y y xy =+=()()ln e e ln xy x x xy ∴=⋅()ln 0xy >()e x f x x =()(ln())f x f xy =()()1e x f x x +'=∴0x >()0f x '>()f x (0,)+∞()(ln())ln()f x f xy x xy ∴=⇔=ln ln y x ∴=-ln 1ln ln x y x x x+-=-+()ln 1ln x g x x x x +=-+,()0x ∈+∞()g x '=()2ln h x x x x =--()0,x ∈+∞()10h =()2217212148120x x x h x x x x x⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭=--==-<'∴()h x (0,)+∞()10g '=()0,1()0g x '>()1,+∞()0g x '<∴1x =()g x解析：由已知得,又,所以.,所以A正确;,所以C正确;对于D,列联表如下:,由于,依据小概率值的独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关,所以D正确.故选:ACD10．答案：BCD解析：三角形数构成数列：1,3,6,10,…,则有,,,利用累加法,得时也成立;正方形数构成数列：1,4,9,16,…,则有,,,利用累加法,得,时也成立.,利用裂项求和法：43400a b+=12b a=10,120a b==0.9==2425=22⨯8026.673≈26.6710.828>0.001α={}na212a a-=323a a-= ()12n na a n n--=≥1na a-=n=1={}nb213b b-=325b b-= ()1212n nb b n n--=-≥1nb b-=2nn=1n=2112()(1)1n n n n==-++∴对于B,令,解得;令,解得;故B 正确;,,对于D,取,且,则令则有,故,总存在p ,,使得成立,故D 正确.故选：BCD.11．答案：AD解析：对于A ：由于为奇数,根据对称性可知这样的数列有个,故A 正确;对于B ：若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”,则有个,故B 错误;对于C ：从1,2,3,4,5,6中选出1个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出2个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出3个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出4个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;的123111112(11n a a a a n ++++=-=+ 212252n n n a +==49n =21225n b n ==35n =2214112()412121n n n n =<=---+222311111151111111(2(43457792121n b b b n n n ++++=++++<+-+-+--+ 231115113312(45212021n b b b n n +++<+-=-<++ m p q ==*m ∈N 2(1)2m m m +=+1m m m b a a -=+*m ∀∈N 2m ≥*q ∈N m p q b a a =+12345621+++++=333633C A A 3602⋅⋅=4343A A 144⋅=16C 26C 36C 46C从1,2,3,4,5,6中选出5个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;故满足条件的总个数为：个,故C 错误．对于D ：若则这样的数列有个,若则这样的数列有个,若则这样的数列有个,所以满足条件的这样的数列共有个,故D 正确;故选：AD.12．答案：1215解析：,,,.展开式第项：,.故答案为：1215.13．答案：2520解析：由题,记三串冰糖葫芦从上往下依次为,,,,,,,,,则因为每一串只能从上往下吃,所以在前被吃,在前而在前被吃,即它们被吃的相对位置是已定的,同理,,,,被吃的相对位置也是已定的,种.故答案为：2520.14．答案：56C 1234566666C C C C C 62++++=51a =2263C C 45=52a =2152C C 20=53a =24C 6=4520671++=()22,X N σ~()(1)P X a P X ≤=≥122a +∴=3a ∴=6x ⎛- ⎝1r +13666221666C C (3)C (3)rr r r r r r r r r r T x x x x----+⎛==-=- ⎝4r =446C (3)15811215-=⨯=1A 2A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 4C 5C 1A 2A 1B 2B 2B 3B 1C 2C 3C 4C 5C 10252023!==!!5!1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：因为关于x 的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得均成立，令，可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知，此时k 无解.综上可得，实数k 的取值范围为.故答案为：.15．答案：（1）证明见解析（2）;10.45百万元解析：（1）证明：由()()2ln 340x kx x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦()0,x ∈+∞ln 0x kx -≤()0,x ∈+∞k ≥()0,∈+∞()f x =0x >()f x '=(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x ()()max e f x f ==≥()2340x k x -++≥()0,x ∈+∞43k x x≤+-()0,x ∈+∞4331x x +-≥-=x =2x =k ≤1k ≤≤ln 0x kx -≥()2340x k x -++≤()0,x ∈+∞k ≤1≥1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0.625 2.325y x =+()()()()()()()()ii1122i 1nn nx x y y x x yy x xyy x xyy=--=--+--++--∑ 11221212()()()n n n n x y x y x y y x x x x y y y nx y=+++-+++-++++ 11221()ni i i n n x y x y x y y nx x x n y nx y y ==+++-⋅-⋅=-+∑又由.,,所以,又因为,所以年收入的附加额y 与投入额x 的线性回归方程为,当时,可得百万元.16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为,且,所以所以是以（2）由（1）得,故所以,所以()()()()2222i 12i 1nn x xx x xx x x=-=-+-++-∑ 2222222212112ii 11()2()2nnn ii x x x x x x x nx x x nx nx x nx ===+++-++-=-=++⋅+∑∑ 23456891168+++++++==8i i 1148.6 6.07588y y ====∑()()()iii ii 1i 1222i i i 1i 1334.186 6.0750.625356836n nnnx x y y x y nx ybx xx nx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ ay =- 6.0750.6256 2.325=-⨯= 0.625 2.325y x =+13x = 0.62513 2.32510.45y =⨯+=()12412n n S nn n -+=+-+1220n n a a +--=13a =()122n n a a +-=-={}2n a -12a -=11112122n n n a --⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222n n n n n b na n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⎣⋅⎦==1231...n nn S b b b b b -=+++++()()0122111111...212...222221231n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⋅⋅⋅⋅⋅-()()01221111111 (22)222212312n n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝=⋅⋅⋅⋅⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⋅,令①,②,所以由①,故,所以解析：（1）记甲组做了4次实验,至少1次试验成功的概率为事件A,则事件A 的对立事件为:甲组做了4次实验均失败,所以（2）由题意得,X 可能的取值为0,1,2,3,4,则()()0122111111.1231..122222n n n n n n --⎛⋅⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()01221111111...22223122n n n n H n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()12311211111...2231222n nn H n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⋅⋅⋅⋅-⎭⋅⎝01231111111...222222n nn H n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝=+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅11111122122212nn n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅⋅2111422n n n H n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅()()()21411122114n n n n n n n n S n n n H --⎛⎫⎛=+=⋅+=++++⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭421()111381P A ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭2221(0)1132P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221122221211(1)C 111C 1332322P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112221221121(2)1C 1C 1132332232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅⋅-⋅⋅⋅-+-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221122211221(3)C 1C 1322332P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故X 的分布列为18．答案：（1）答案见解析（2）答案见解析解析：（1）由题函数定义域为R ,为增函数,所以当时,恒成立,此时为R 上的增函数,无极大值也无极小值;当时,令,故当时,,在上的单调递减,当,,在上的单调递增,所以存在极小值为,无极大值.综上,当时,无极大值也无极小值;当时,存在极小值为,无极大值.（2）当时,由（1）知在上的单调递减,在上的单调递增,有最小值为,所以当时,,无零点;当时,,有1个零点;当时,,又,故有2个零点;22211(4),329P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x 0a >()0ln f x x a '=⇒=(),ln x a ∈-∞()0f x '<()f x (),ln a -∞()ln ,x a ∈+∞()0f x '>()f x ()ln ,a +∞()f x ()ln ln e ln ln a f a a a a a a =-=-0a ≤()f x 0a >()f x ln a a a -0a >()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞()f x ()()min ln 1ln f x a a a a a =-=-0e a <<()min 0f x >()f x e a =()min 0f x =()f x e a >()()min ln 0f x f a =<()11e 0,f a --+=>()()2ln 2e 2ln e2ln ln 02ln aaf a a a a a a a a=-==->()f x综上,当时,无零点;当时,有1个零点;当时,有2个零点.19．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为,所以,当时,因为,所以恒成立,则在上单调递增,且,所以恒大于等于零不成立;当时,由得,当,当,所以在上单调递减,在上单调递增,则若恒成立,则,令,则,当时,,当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以,所以当时,,综上,若恒成立,则;（2）由（1）得,当时,恒成立,0e a <<()f x e a =()f x e a >()f x 2a =-()()ln 022a af x x x x =-+>()()221202a x a f x x x x x+=+=>'0a ≥0x >()0f x '>()y f x =()0,+∞()10f =()f x 0a <()0f x '=x =x >()0f x '>0x <<()0f x '<()y f x =0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()min ln 122a a f x f ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x ≥ln 1022a a ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭()ln 1(0)22x x h x x ⎛⎫=-++< ⎪⎝⎭112()(0)22x h x x x x +'=+=<<2x -()0h x '<20x -<<()0h x '>()h x (),2-∞-()2,0-()()max 20h x f =-=ln 1022a a ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭2a =-()0f x ≥2a =-2a =-()1ln 10f x x x=+-≥即时等号成立,令,,,,,令,则恒成立,所以函数在上单调递增,故当时,,即,所以,,,所以.ln 1x ≥1x =x =1n k n k +>+-{}1,2,,n ∈ *n ∈N ()()ln ln ln 11n kn k n k n k +<=+-+-+-{}1,2,,k n ∈ *n ∈N ()()sin 0g x x x x =-≥()1cos 0g x x '=-≥()g x [)0,+∞0x >()()00g x g >=sin x x <()()11sin ln ln 1n k n k n k n k<<+-+-++{}1,2,,k n ∈ *n ∈N 111sinsin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 2ln lnln 2nn n n=-==。
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=1−x tan72∘的倾斜角为( )A. 108∘B. 72∘C. 118∘D. 18∘2.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|=14，若(a+b)⋅c=−7，则a与c的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知直线l1:mx+y−1=0，l2：(3m−2)x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0或134.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A5.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1,0)，B(2,1)，则|AM|+|BM|的最小值为( )A. 2B. 22C. 1+2D. 106.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|=( )A. 102B. 62C. 52D. 27.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )A. 15B. 55C. 255D. 258.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )A. 39921B. 27321C. 24221D. 4221二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建省2024-2025学年高二上学期10月月考模拟数学试卷 (解析版)
2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注 意 事 项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(0,3,3)a =是直线l 的方向向量，(1,1,0)b − 是平面m 的一个法向量，则直线l与平面m 所成的角为（ ） A ．π6B ．π4C．π3D ．π2【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果. 【详解】设直线l 与平面m 所成的角为θ，由题意可得，1sin cos ,2a θ=< ，即π6θ=.故选：A 2．已知()2,1,3a =−，()1,4,2b =−− ，(),2,4c λ= ，若a ，b ，c共面，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由a，b，c 三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】 ()2,1,3a =− ，()1,4,2b =−−，∴a与b不平行，又 a，b，c三向量共面，则存在实数x ，y 使c xa yb =+，即242324x y x y x y λ−= −+=−= ，解得213x y λ== =． 故选：C3．如图，在棱长均相等的四面体O ABC −中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设,,OA a OB b OC c === ，则OE =（ ）A ．111663a b c ++B ．111333a b c ++C ．111663a b c +−D ．112663a b c ++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】由于12CE ED =， 所以()11113332CE CD CA AD CA AB==+=+ 1136CA AB +, 所以1136OE OC CE OC CA AB =+=++()()1136OC OA OC OB OA =+−+−112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D4．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y =，()2,4,2c =− 且,//a c b c ⊥，则a b += （ ）A．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得,x y 的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量(),1,1,a x = ()1,,1,= b y ()2,4,2,=−c 且,//a c b c ⊥，可得2420124x y−+== − ，解得1,2x y ==−，所以()1,1,1a = ，()1,2,1b =− ，则()2,1,2a b +− ，所以3a b +=. 故选：C.5．已知三棱锥O ABC −，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA a = ，OB b =，OC c = ，用a ，b ，c表示MN ，则MN 等于（ ）A ．()12b c a +− B ．()12a b c +− C ．()12a b c −+ D ．()12c a b −− 【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA ，OB ，OC 表示出MN即可.【详解】由图知：1111()2222MN MO OC CN OA OC CB OA OC OB OC =++=−++=−++− 1111()2222OA OB OC b c a =−++=+−.故选：A6．已知正三棱柱111ABC A B C −的各棱长都为2，以下选项正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1BC 垂直B ．1BC 与平面11AA B BC ．平面1ABC 与平面ABCD ．点C 到直线1AB【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直． 【详解】如图，以AB 为x 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(2,0,0)B，C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B，1C ，11(2,0,2),(2)AB BC −，112420AB BC ⋅=−+=≠ ，1AB 与1BC不垂直，A 错；平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)m =，111cos ,BC m BC mBC m ⋅==所以1BC 与平面11AA B BB 正确； 设平面1ABC 的一个法向量是(,,)n x y z = ，又(2,0,0)AB =，由100n AB n BC ⋅= ⋅=得2020x x z = −+= ，令2y =得(0,2,n = ，平面ABC 的一个法向量是(0,0,1)p =，cos ,n p =所以平面1ABC 与平面ABCC 错；AC =，12AB AC ⋅=，d 所以点C 到直线1AB的距离为h ===，D 错； 故选：B ．7．在正方体1111ABCD A B C D −中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1 BC D 【答案】D【分析】根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.【详解】正方体1111ABCD A B C D −中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上 此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =−−,2BC =所以tan BC BPC PC ∠=【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.8．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍薨，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，且二面角E AD B −−与F BC A −−相等，则EF长度的取值范围为（ ）A ．()2,14B ．()2,8C ．()0,12D ．()2,12【答案】A【分析】由题意找到二面角E AD B −−与F BC A −−的两个极端位置，即二面角的平面角为0 和180 时，求得相应EF 的长，集合题意即可得答案.【详解】由题意可知AD =ADE 与BCF 都是等边三角形，故ADE 与BCF 的底边,AD BC 上的高为3=， 因为二面角E AD B −−与F BC A −−相等，故当该二面角的平面角为0 时，此时EF 落在四边形ABCD 内，长度为8232−×=，当该二面角的平面角为180 时，此时EF 落在平面ABCD 上，长度为82314+×=，由于该几何体ABCDEF 为五面体，故二面角E AD B −−与F BC A −−的平面角大于0 小于180 ，故EF 长度的取值范围为()2,14，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
数学高二月考试卷
数学高二月考试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 椭圆frac{x^2}{25}+frac{y^2}{16}=1的长轴长为（）A. 5B. 4C. 10D. 8.2. 双曲线x^2-frac{y^2}{3}=1的渐近线方程为（）A. y = ±√(3)xB. y=±(√(3))/(3)xC. y = ± 3xD. y=±(1)/(3)x3. 抛物线y^2=2px(p>0)的焦点坐标为（）A. ((p)/(2),0)B. (-(p)/(2),0)C. (0,(p)/(2))D. (0,-(p)/(2))4. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x=（）A. - 2B. 2C. -(1)/(2)D. (1)/(2)5. 若直线y = kx + 1与圆x^2+y^2=1相切，则k=（）A. ±√(3)B. ±1C. ±2D. ±√(2)6. 在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于xOy平面的对称点为（）A. (1,2,- 3)B. (-1,2,3)C. (1,-2,3)D. (-1,-2,-3)7. 设等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d = 3，则a_5=（）A. 14B. 17C. 20D. 23.8. 等比数列{b_n}中，b_1=1，公比q = 2，则b_4=（）A. 8B. 16C. 32D. 64.9. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期为（）A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)10. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+1，则函数f(x)的单调递增区间为（）A. (-∞,0)∪(2,+∞)B. (0,2)C. (-∞,1)∪(3,+∞)D. (1,3)11. 若∫_0^a(2x + 1)dx=6，则a=（）A. 2B. 3C. 4D. 5.12. 从5名男生和3名女生中任选3人参加志愿者活动，则所选3人中至少有1名女生的选法共有（）A. 46种B. 56种C. 70种D. 80种。
高二数学月考试题
如图乙．
（1）已知 M ， N 为 PB ， PE 上的动点，求证： MN DE ；
（2）在翻折过程中，当二面角 P ED B 为 60°时，求直线 CE 与平面 PCD 所成角的正
弦值．
22．(12
分)已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之
BAA1 DAA1 600 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值是（ ）
A． 3 3
B．
2 3
C． 3 6
D．
1 3
8．已知数列{an} 的前 n 项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列{bn}的前 n 项和，
试卷第 1页，共 4页
若对任意的 n N*，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
中项.数列bn是等差数列，且 b1 a1, b3 a1 a2 a3.
(1)求数列an,bn 的通项公式；
(2)设 cn an bn ，求数列cn的前 n 项和 Sn .
18．(12 分)已知圆 C 与 y 轴相切，圆心在 x 轴下方并且与 x 轴交于 A(1, 0)，B 9, 0 两点.
1,
0,
1
，
A
2,1,
3
为直线
l
上一点，点
P
1,
0,
2
为直线
l 外一点，则点 P 到直线 l 的距离为 3
C．若
P
在线段
AB
上，则
AP
t
AB0
t
1
高二第一次月考数学试卷
1、一个数的三分之一加上5等于16，这个数是多少？A. 36B. 33C. 45D. 30（答案：A）2、如果一个矩形的长度是8厘米，宽度是3厘米，则它的周长是多少？A. 30厘米B. 22厘米C. 24厘米D. 20厘米（答案：B）3、在一个等边三角形中，每个角的度数是多少？A. 45度B. 60度C. 75度D. 90度（答案：B）4、某班有40名学生，男生占三分之二，男生有多少人？A. 20人B. 25人C. 30人D. 28人（答案：C）5、一辆车以每小时60公里的速度行驶，3小时能行驶多远？A. 180公里B. 150公里C. 200公里D. 180米（答案：A）6、一个立方体的边长是4厘米，则它的体积是多少立方厘米？A. 16B. 32C. 48D. 64（答案：D）7、在一个排列中，数字1到5的排列组合中，有多少种不同的排列方式？A. 60B. 120C. 100D. 80（答案：B）8、如果一个圆的半径是7厘米，那么它的面积大约是多少平方厘米？（取π为3.14）A. 150.86B. 140.00C. 120.56D. 120.88（答案：A）9、一个角的补角是30度，这个角是多少度？A. 60度B. 90度C. 120度D. 150度（答案：A）10、在一次班级测验中，平均分数为75分，如果全部学生人数是20人，那么总分数是多少？A. 1500B. 1600C. 1700D. 1800（答案：A）。
2024-2025学年安徽省县中联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(A卷)(含答案)
2024-2025学年安徽省县中联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+3y+2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知i+zz=−i，则z的虚部为( )A. 1B. 12C. −12D. −13.已知向量a=(1,m,−1),b=(1,−1,1)，若(a+b)⊥b，则m=( )A. 4B. 3C. 2D. 14.已知一条入射光线经过A(−2,3)，B(−1,1)两点，经y轴反射后，则反射光线所在直线方程为( )A. 2x+y+1=0B. 2x−y+1=0C. 2x−y−1=0D. 2x+y−3=05.如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且AP,AB =AP,AC=120°，|AP|=3，若AO=AB+AC，则|OP|=( )A. 42B. 35C. 6D. 376.已知直线l1：(m+2)x+(m2−1)y−3=0与l2：3x+(m+1)y+m−5=0平行，则m=( )A. −1或52B. 52C. −1D. 17.已知点A(−1,0)，点B为曲线y=x2+3(x>−1)上一动点，记过A，B两点的直线斜率为k AB，则k AB的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥平面ACD，∠CAD=60°，点E，F分别为棱BC，AD上的点，且BE=3EC,AD=3FD，则直线AE与直线CF夹角的余弦值为( )A. 37035B. 27035C. 7035D. 7070二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设M ，N 是两个随机事件，若P(M)=13,P(N)=16，则下列结论正确的是( )A. 若N ⊆M ，则P(M ∪N)=13B. 若M ∩N =⌀，则P(M +N)=0C. 若P(M ∩N)=118，则M ，N 相互独立D. 若M ，N 相互独立，则P(−M ∪−N )=11810.已知m ∈R ，直线l 的方程为(m−1)x +(m +1)y +2=0，则( )A. ∃m ∈R ，使得直线l 与直线x−y−1=0垂直B. 当直线l 在x 轴上的截距为−2时，l 在y 轴上的截距为−23C. ∀m ∈R ，直线l 不过原点D. 当m ∈[0,+∞)时，直线l 的斜率的取值范围为(−1,1]11.在坐标系O θ−xyz(0<θ<π)中，x ，y ，z 轴两两之间的夹角均为θ，向量i ,j ,k 分别是与x ，y ，z 轴的正方向同向的单位向量.空间向量a =xi +yj +zk(x,y,z ∈R)，记a θ=(x,y,z)，则( )A. 若a θ=(x 1,y 1,z 1),b θ=(x 2,y 2,z 2)，则a θ+b θ=(x 1+x 2,y 1+y 2,z 1+z 2)B. 若a 0=(x 1,y 1,z 1),b 0=(x 2,y 2,z 2)，则a 0⋅b 0=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2C. 若OA π3=(0,0,2),OB π3=(0,2,0),OC π3=(2,0,0)，则三棱锥O−ABC 的体积为2 23D. 若a π3=(a,a,0),b π3=(0,0,b)，且ab ≠0，则a ,b 夹角的余弦值的最小值为−33三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省部分学校2024—2025学年高二上学期第一次月考联考数学试卷
2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥− ，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．22．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅ 的取值范围是（ ）A ．11,4 −−B ．1,02 −C ．1,04 −D ．11,42 −−3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b = ，则a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．333,,22 B ．333,,244 C ．333,,422 D ．()4,2,24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）AB C D 5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++ C ．1132a b c −+ D ．1162a b c −−+ 6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC 共面，则λ=（ ） A ．12 B ．13 C ．512 D ．7127．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−= ，则b a − 的最小值为（ ） AB C D 8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1AC C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF 10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈ ，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ．13．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 .14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.16.（本小题15分）如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由． 18.（本小题17分） 如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM ⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．。
高二上学期数学第一次月考试卷与答案解析
高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．32．已知方程2212x y m m +=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2)3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知实数x ，y 满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0B ．1CD ．25．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）试卷第2页，共4页A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.776．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =−7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．28．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a = B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=11．已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ） AB ．22AF BF +的最大值为8C D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年四川省成都市天府师大一中高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数B. 某品牌新能源汽车最大续航里程C. 检测一批灯泡的使用寿命D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间2.成飞中学高一年级800人，高二年级600人，现按比例分层随机抽样的方法从高一、高二年级抽取28名同学朗诵“成飞赋”，则高二抽取的人数为( )A. 12B. 14C. 16D. 213.下列说法一定正确的是()．A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B. 一个骰子掷一次得到2的概率是1，则掷6次一定会出现一次26C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D. 随机事件发生的概率与试验次数无关4.甲､乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是( )A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力C. 从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，甲成绩较好D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为( )A. 93B. 92C. 91.5D. 93.56.【选考北师大版】小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为−x ，方差为s 2，则( )A. −x >20，s 2<28 B. −x <20，s 2>28C. −x =20，s 2<28D. −x =20，s 2>287.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足|m−n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )A. 14B. 38C. 12D. 588.已知事件A ，B ，且P(A)=0.2，P(B)=0.8，则下列说法正确的是( )A. 若A ⊆B ，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0.6B. 若A 与B 互斥，则P(A ∪B)=0.8，P(AB)=0C. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=1，P(AB)=0D. 若A 与B 相互独立，则P(A ∪B)=0.84，P(AB)=0.16二、多选题：本题共3小题，共18分。
河南省漯河市第五高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
河南省漯河市第五高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题 1．复数5i 2-的共轭复数是（其中i 是虚数单位）（ ） A ．i+2 B ．i 2- C ．2i -- D ．2i -2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（ ）A B C D3．已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则31y x -+的取值范围（ ）A ．[)1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][3,4,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．][(),13,-∞⋃+∞4．已知()()3,,,R μa b a b a b =+-∈r 是直线l 的方向向量，()1,2,3n =r是平面α的法向量，若l α⊥，则（ ）A ．1,8a b ==B ．1,2a b =-=-C ． 32a =，152b =- D ．152a =，32b =- 5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ） A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．已知直线()()()12:321480,:52(4)70l a x a y l a x a y ++-+=-++-=，且12l l ⊥，则实数a =（ ） A ．1B ．0或1C ．0D ．1±7．设直线l 的直线方程为()sin 20x y θθ++=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．[]0,π B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ,,π422⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，,M N 分别为棱,BC AD 的中点，则直线AM 和CN夹角的余弦值为（ ）A B C ．13D ．23二、多选题9．已知平面α⊥平面β，且l αβ=I ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β10．画出直线1:230l x y -+=，并在直线l 1外取若干点，将这些点的坐标代入23x y -+，求它的值，观察有什么规律，同理，画出直线2:210l x y +-=，观察规律，则下列点的坐标满足()()23210x y x y -+⋅+-<的有（ ）A ．()1,0-B ．72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,611．设k ∈R ，过定点A 的动直线1l ：0x ky +=与过定点B 的动直线2l ：30kx y k -+-=交于点P ，则下列说法正确的有（ ）A ．2216PA PB +=B ．PAB V 面积的最大值为52C ．11PA PB +≥D ．PA 的最大值为三、填空题12．已知ABC V 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5,7,8a b c ===，则A C +=. 13．三条直线280ax y ++=，4310x y +=与210x y -=不能围成一个三角形，则a =. 14．已知,P Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,6A -，()5,1B -，则AP PQ QB ++的最小值为四、解答题15．已知函数()222cos f x x x m =++，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()f x 的最大值为6.(1)求常数m 的值；(2)求()f x 的最小值以及相应x 的值.16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,,AED BEF DCF V V V 分别沿,,DE EF DF 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A '(1)求证A D EF '⊥(2)求三棱锥A EFD '-的体积17．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ?若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.18．设直线l 的方程为()()1520a x y a a ++--=∈R (1)求证：无论a 为何值，直线l 必过一定点P ；(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于A ，B ，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长；(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l 的方程. 19．已知直线l 1，l 2的方程分别是12:0,:340l x l x y =-=，点A 的坐标为()1,a （34a >）.过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）. (1)若1k =-，且A 为线段MN 中点，求实数a 的值及AON V 的面积； (2)是否存在实数a ，使得11||||OM ON +的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由.。
2024-2025学年广东省广州四中高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年广东省广州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为( )A. 13B. 25C. 35D. 152.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. 12a +12b−12c B. −23a +12b +12c C. 23a +23b−12c D. 23a +23b−12c3.在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 与BC 1所成角的余弦值为( )A.55B.105C.155 D.2 554.若直线l 1：y =kx−k +2与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A. (3,1)B. (3,0)C. (0,1)D. (2,1)5.已知事件A 、B ，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，如果A 与B 互斥，那么P(AB)=p 1；如果A 与B 相互独立，那么P(A +−B )=p 2，则p 1，p 2分别为( )A. p 1=0，p 2=0.9 B. p 1=0.42，p 2=0.9C. p 1=0，p 2=0.72D. p 1=0.42，p 2=0.456.在三棱锥P−ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =1，PB =2，PC =3，三角形ABC 重心为G ，则点P 到直线AG 的距离为( )A. 23B.53 C. 21717 D.221177.已知实数x ，y 满足y =15x−35，且−2≤x ≤3，则y−2x +1的取值范围( )A. (−∞,−12]∪[3,+∞) B. [−12,3]C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. [−1,3]8.直线l 1：x +(m +1)y−2m−2=0与直线l 2：(m +1)x−y−2m−2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则|PA|+|PB|的最大值为( )A. 4B. 8C. 22D. 42二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高二数学第一次月考试卷
一 选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1 在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶
∶
2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )． A ．
∶2∶1
B ．2∶
∶1
C ．1∶2∶
D ．1∶
∶2
2 已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．
A ．10 km
B ．10km
C ．10
km
D ．10
km
3 在△ABC 中，a ＝2
，b ＝2
，∠B ＝45°，则∠A 为( )．
A ．30°或150°
B ．60°
C ．60°或120°
D ．30°
4 设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为
A 15
B 16
C 49
D 64
5 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a =
A.
21 B. 2
2
C. 2
D.2
6 三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．
A ．15°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
7 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )．
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
8 在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．
A ．
2
2
3 B ．
2
3
3 C ．
2
3 D ．33
9 等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220
10 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2
1
2b a a -的值是( )．
A ．2
1 B ．－
2
1 C ．－
21或2
1 D ．
4
1
11 根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．
A ．①只有一解，②也只有一解．
B ．①有两解，②也有两解．
C ．①有两解，②只有一解．
D ．①只有一解，②有两解．
12 △ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
∠B ＝30°，△ABC 的面积为，那么b ＝( )．
A ．
B ．1＋
C ．
D ．2＋
二 填空题:(本大题共4小道，每小题5分，共20分)
13 已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4， b ＝5，S ＝53，求c 的长度 ．
14 若b=2ccosA,则三角形ABC 的形状一定是___________.
15 已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 16
{}{}121239,27,n n n a a a a a a a +===
已知等比数列中，则的前n 项和s ________.
三 解答题 (本大题共6小道，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝3
3
b ，解此三角形．
18 {}2
48n n a n n
=-已知数列的前n 项和s
(1) 求数列的通项公式
()2n s 求的最小值
19 海中一小岛，周围3.8海里内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75︒。
航
行8海里以后，望见这岛在北偏东60︒。
如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的
危险？
20 设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110且a 1，a 2，a 4成等比数列．
(1)证明a 1＝d ；
(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式.
21 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，
(1) 求∠B 的大小；
(2) 若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
22 已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.
（1）求通项n a 及n S ；
（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .。