大物

r U ∂ r ∂ r ∂ r U U E=− ( i+ j+ k) ∂ x ∂ y z ∂
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五.典型带电体的电势分布 1. 点电荷 q 场中的电势分布： U = 场中的电势分布： 2. 均匀带电球面场中电势分布： 均匀带电球面场中电势分布：
q 4πε 0 r
U内 =
q 4πε 0 R
= 恒量
1 U外 = ∝ 4πε 0 r r
选取零势点的原则： 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2. 叠加法 . 〈1〉将带电体划分为电荷元 〉 〈2〉选零势点，写出 〉选零势点，
dq
dU
U =
d q在场点的电势
〈3〉由叠加原理： U = 〉由叠加原理：
∑ dU
或
∫ dU
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四.电场强度与电势的关系
r E = − gradU r 的方法： 给出又一种求 E 的方法：
q
3. 均匀带电圆环轴线上的电势分布： 均匀带电圆环轴线上的电势分布：
U =
q 4 πε 0 ( R + x )
2 2 1 2
Hale Waihona Puke 17r r ∫L E ⋅ d l = 0
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零.反映了 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零. 静电场是保守力场，是有势场。 静电场是保守力场，是有势场。 二.电势、电势能、电势差 电势、电势能、 电势能： 电势能：
W a = q0
零势点
r r ∫ E ⋅ dl
a
电
势：
r r U a = ∫ E ⋅ dl
§8-5 等势面 电场与电势梯度的关系
1. 等势面
在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。 在静电场中，电势相等的点所组成的面称为等势面。
1.1 典型等势面
点电荷的等势面
VP
q = 4πε0r
1
电势沿电场线方向衰减
电偶极子的等势面
+
2
平行板电容器电场的等势面
++ ++ + + + + +
3
9
2.2 电势梯度与电场强度的关系
r r E l o E n d =q ⋅d =q ⋅d ⋅c sϕ=q ⋅d A E l
电荷q从等势面 移动到等势面 电荷 从等势面1移动到等势面 ，电场力做功 从等势面 移动到等势面2， 电场力做功等于电势能的减少量
A=q (V − 2) 0 1 V
∴
d =− ⋅d A q U
12
计算均匀带电圆盘轴线上的电场。 例2 计算均匀带电圆盘轴线上的电场。 解：
σ 2 U= ( R +x2 −x ) 20 ε
∂ U E=E =− x ∂ x σ x = (− 1 ) 2 20 ε R +x2
p x
O
R
与用叠加原理得到的结果一致。 与用叠加原理得到的结果一致。
13
小结
一.静电场环路定理： 静电场环路定理：
E q0
θ
∴
即
c s =0 oθ
S
dl
E ⊥ dl
4
电力线与等势面垂直。 电力线与等势面垂直。
等势面画法规定： 等势面画法规定：相邻两等势面之间的电 势间隔相等。 势间隔相等。
U U+∆U U+2∆U U+3∆U
（3）等势面稠密处 —— 电场强度大 ）等势面稠密处 等势面越密 电势变化越 快
（当规定相邻两等势 面的电势差为定值） 面的电势差为定值）
电偶极子的电场线和等势面
作心电图时人体的 等势面分布
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2. 场强与电势的微分关系 电势梯度
2.1 电势梯度
在电场中任取两相距很近的等势面1 在电场中任取两相距很近的等势面1和2， 电势分别为U和 电势分别为 和U+dU，且dU>0 ， 2 等势面1上 等势面 上P1点的单位法向矢量为 n 1 与等势面2 与等势面2正交于P2 点。 在等势面2 在等势面2任取一点P3 ，设
电场强度大
5
静电场中电场线与等势面的关系
电场线与等势面处处正交，指向电势降低的方向. 电场线与等势面处处正交，指向电势降低的方向. 电场强处等势面较密，电场弱处等势面较稀。 电场强处等势面较密，电场弱处等势面较稀。 沿等势面移动电荷，电场力不作功。 沿等势面移动电荷，电场力不作功。
6
实际问题中常常先由实验测得等势面分布， 实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通 过电场线与等势面的关系得出电场线分布。 过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
1.2
等势面与电场线的关系
q0在等势面上移动, E 与 d l 成θ 角。 在等势面上移动, A12 = q(V1 − V2 ) = 0
沿等势面移动电荷， 沿等势面移动电荷，电场力不作功
q ≠0 0
r r d =q E d =q E d ⋅c s =0 A 0 ⋅ l 0 ⋅ l oθ
E≠0 d ≠0 l
n ϕ P2 P3
p p =d n 1 2
p p =d l 1 3
d U d U = cs oϕ d l d n
P1
则 d =d ⋅c sϕ n l o
U
U+dU
8
d r U rd 定义电势梯度 ga U= n d n
2 1
其量值为该点电势增 加率的最大值。 加率的最大值。 P1 方向与等势面垂直， 方向与等势面垂直，并 指向电势升高的方向。 指向电势升高的方向。 U ϕ P2 P3 U+dU
零势点 a
电势差： 电势差：
U ab
r r = U a − U b = ∫ E ⋅ dl
b a
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电势的计算（两种基本方法） 三. 电势的计算（两种基本方法） 1.场强积分法（由定义求） .场强积分法（由定义求）
势 r r 零点 U = ∫ E⋅d = ∫ Ec s d 计 U l oθ l 算 a a 零 点 势 a a
1 d q 1 d q U=∫ =∫ 4 0 r πε 4 0 (R +x2)1/2 πε 2
q = 4 ε (R +x2)1/2 π0 2
R o
r p x E X
q x ∂ U = P点电场 E=E =− x 2 2 3/2 πε ∂ x 4 0(R +x )
与用叠加原理得到的结果一致。 与用叠加原理得到的结果一致。
d U E=− d n
2 1 P1 ϕ P2
n
负号：电场线指向电势降低的方向） （负号：电场线指向电势降低的方向）E 写成矢量形式
P3
r d r U E=− n=− r d ga U d n
U
U+dU
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r d r U E=− n=− r d ga U d n
在直角坐标系中
dU Ex = − dx dU Ey = − dy dU Ez = − dz
r r r r E=Ei +E j +Ek x y z ∂ r ∂ r ∂ r U U U i+ j+ k =− x ∂ y ∂ z ∂
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2.3 场强与电势梯度的关系的应用
电势叠加为标量叠加，故可先算出电势， 电势叠加为标量叠加，故可先算出电势，再 应用场强与电势梯度的关系算出场强。 应用场强与电势梯度的关系算出场强。 例.计算均匀带电圆环轴线上的电场。 计算均匀带电圆环轴线上的电场。 点电势 解： P点电势