2013年高考数学一轮复习 9.6 空间向量及其运算精品教学案(学生版) 新人教版.doc
高考数学一轮复习 空间向量的坐标运算教学案
§1空间向量的坐标表示及基本定理二、教学目标1.了解空间向量的基本概念；2.掌握空间向量的运算及性质. 三、重点：空间向量的运算难点：利用向量证明有关问题 四、知识导学1.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使 .2.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb =++{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 . 3.空间向量的坐标表示概念 4.设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3),若a 、b 为两非零向量，则a b ⊥⇔ =0⇔ =0. 五、课前自学1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量总可以唯一表示为c z b y a x p ++=．其中正确命题的个数为 ．2．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点， BE ＝3ED ，以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．3．向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b 位置关系是 ． 4. m ＝（8，3，a ），n ＝（2b ,6,5），若m ∥n ，则a +b 的值为 ． 5．a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为 ． 六、合作、探究、展示例题1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN ，用基底向量,,OA OB OC 表示向量例题2．已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点。
高三数学下册《空间向量》教案、教学设计
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 9-6空间向量及其运算 理 新人教A版
9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.(2011·芜湖模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15[答案] B[解析] ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ， ∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.2．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585B.6985C ．－1515D ．0[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[答案] B[解析] AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， AB →＝－3CD →，又BC →＝(5,3，－5)，AB →∥\'BC →， ∴AB ∥CD .4．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657[答案] D[解析] 由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216a B.66a C.156a D.153a [答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋AA 1→＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a . 6.(2012·丽水调研)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(1,1，12)C ．(1,1，32)D ．(1,1,2)[答案] A[解析] 由题意知A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0,2m )(m >0)，则E (1,1，m )，∴AE →＝(－1,1，m )，DP →＝(0,0,2m )，∴|AE →|＝2＋m 2，|DP →|＝4m 2，AE →·DP →＝2m 2，∵cos 〈DP →，AB →〉＝33，∴2m 22＋m 2·4m 2＝33， 解之得m ＝1，故选A.7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______.[答案] 2[解析] ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.8．若a ＝(3x ，－5,4)与b ＝(x,2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4[解析] ∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，∴3x 2－10x －8<0，∴－23<x <4，又当a 与b 方向相反时，a ·b <0， ∴存在λ<0，使a ＝λb ，∴(3x ，－5,4)＝(λx,2λx ，－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λx ，－5＝2λx ，4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23<x <4.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 分别在直线AA 1和BD 1上运动．当M 、N 在何位置时，|MN |最小，且|MN |的最小值是________．[答案]22[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设M (1,0，t )，BN →＝λBD 1→，则0≤t ≤1,0≤λ≤1，设N (x 0，y 0，z 0)，则(x 0－1，y 0－1，z 0)＝λ(－1，－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－1＝－λ，y 0－1＝－λ，z 0＝λ，∴N (1－λ，1－λ，λ)，∴MN →＝(－λ，1－λ，λ－t )，|MN →|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t )2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t )2＝2(λ－12)2＋(λ－t )2＋12，当且仅当λ＝12＝t 时，|MN →|2取到最小值12，∴|MN →|的最小值为22.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)． (1)因为cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.所以S ＝|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. 即以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，已知CA ＝CB ＝CC 1，AC ⊥BC ，E 、F 分别是A 1C 1、B 1C 1的中点．则AE 与CF 所成角的余弦值等于( )A.45B.1213C.35D.513[答案] A[解析] 以C 为原点，CA →、CB →、CC 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC ＝1，则A (1,0,0)，B 1(0,1,1)，C (0,0,0)，C 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∵E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，∴E (12，0,1)，F (0，12，1)，∴AE →＝(－12，0,1)，CF →＝(0，12，1)，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝152×52＝45，故选A.12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 的长为( )A ．1 B.52 C. 2 D ．2[答案] C[解析] EF →＝EA →＋AF →＝－12(AB →＋AC →)＋12AD →，由条件知|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝2，AB →·AC →＝AB →·AD →＝AC →·AD →＝2，∴|EF →|2＝14[|AD →|2＋|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →－2AB →·AD →－2AC →·AD →]＝2，∴|EF →|＝ 2.13．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c [答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝c －12a ＋12b ，故选A.14．(2011·泰安模拟)如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于________．[答案] －23a ＋12b ＋12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . [点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2011·东营期末)若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .(3)以坐标原点O 为起点作向量OA →＝a ，OB →＝b ，求O 到直线AB 的距离． [解析] k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.(3)由条件知A (1,5，－1)，B (－2,3,5)， ∴AO →＝(－1，－5,1)，AB →＝(－3，－2,6)，AO →·AB →＝19，|AB →|＝7，∴O 到直线AB 的距离d ＝|AO →·AB →||AB →|＝197.16.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . [解析]由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上，则GH 綊BC ， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，所以 EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →， 又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )， 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0， 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知四边形ABEG 是正方形， 故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，∴BG ⊥ED .又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( )A ．0 B.32 C ．1D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.3．已知斜三棱柱ABC －A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)，求证：三向量MN →、a 、c 共面．[解析] AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →)＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，AM →＝kAC ′→＝k (AA ′→＋AC →)＝k b ＋k c ， MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a －k c .∵向量a 和c 不共线，∴MN →、a 、c 共面．。
高三数学高考第一轮复习向量复习教案空间向量及其运算强化训练
芯衣州星海市涌泉学校第三课时空间向量及其运算强化训练一、复习目的：1、理解空间向量的概念，理解空间向量的根本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的一一共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步纯熟理解和掌握上述概念和运算方法，进步学生的灵敏和综合运用才能。
二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程〔一〕、根底自测〔分组训练、一一共同交流〕 1.有4个命题：①假设p=xa+yb ，那么p 与a 、b 一一共面；②假设p 与a 、b 一一共面，那么p=xa+yb ；③假设MP =x MA +y MB ，那么P 、M 、A 、B 一一共面；④假设P 、M 、A 、B 一一共面，那么MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是〔B 〕。
A.1 B.2C.3D.42.以下命题中是真命题的是(D)。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，那么这两个向量不是一一共面向量B.假设|a|=|b|，那么a ，b 的长度相等而方向一样或者者相反C.假设向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，那么AB ＞CDD.假设两个非零向量与满足+=0，那么∥ 3.假设a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，那么 〔C 〕。
A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.A 〔1，2，3〕，B 〔2，1，2〕，P 〔1，1，2〕，点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是.答案⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34,345.在四面体O-ABC 中，OA =a,OB =b,OC =c,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，那么OE =(用a,b,c 表示).答案21a+41b+41c 〔二〕、典例探析例1、如下列图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA =a ，AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点， 试用a ，b ，c 表示以下各向量：〔1〕AP ；〔2〕N A 1；〔3〕MP +1NC .解〔1〕∵P 是C1D1的中点，∴AP =1AA +11D A +P D 1=a+AD +2111C D =a+c+21AB =a+c+21b. 〔2〕∵N 是BC 的中点，∴N A 1=A A 1+AB +BN =-a+b+21BC =-a+b+21AD =-a+b+21c. 〔3〕∵M 是AA1的中点，∴MP =MA +AP =21A A 1+AP =-21a+(a+c+21b)=21a+21b+c ， 又1NC =NC +1CC =21BC +1AA =21AD +1AA =21c+a ，∴MP +1NC =(21a+21b+c)+(a+21c)=23a+21b+23c. 例2、如下列图，空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点.〔1〕求证：MN⊥AB，MN⊥CD；〔2〕求MN 的长； 〔3〕求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值. 〔1〕证明设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =21〔AC +AD 〕-21AB =21〔q+r-p 〕，∴MN ·AB =21〔q+r-p 〕·p =21〔q·p+r·p -p2〕=21〔a2·cos60°+a2·cos60°-a2〕=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. 〔2〕解由〔1〕可知=21〔q+r-p 〕∴||2=2=41〔q+r-p 〕2=41［q2+r2+p2+2〔q·r -p·q -r·p〕］=41[a2+a2+a2+2〔22a -22a -22a 〕] =41×2a2=22a .∴||=22a,∴MN 的长为22a. (3)解设向量与的夹角为θ. ∵=21(+)=21(q+r),=-=q-21p, ∴·=21〔q+r 〕·〔q-21p 〕=21〔q2-21q·p+r·q -21r·p〕 =21(a2-21a2·cos60°+a2·cos60°-21a2·cos60°)=21〔a2-42a +22a -42a 〕=22a .又∵||=||=a 23， ∴·=||·||·cos θ=a 23·a 23·cos θ=22a .∴cos θ=32， ∴向量与的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32.例3、〔1〕求与向量a=(2,-1,2)一一共线且满足方程a·x=-18的向量x 的坐标；〔2〕A 、B 、C 三点坐标分别为〔2，-1，2〕，〔4，5，-1〕，〔-2，2，3〕，求点P 的坐标使得=21〔-〕；〔3〕a=〔3，5，-4〕，b=〔2，1，8〕，求：①a·b；②a 与b 夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得λa+μb 与z 轴垂直，且〔λa+μb 〕·〔a+b 〕=53. 解〔1〕∵x 与a 一一共线，故可设x=ka ，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k〔414++〕2=9k ，∴9k=-18，故k=-2. ∴x=-2a=〔-4，2，-4〕.〔2〕设P 〔x ，y ，z 〕，那么=〔x-2，y+1，z-2〕， AB =〔2，6，-3〕，=〔-4，3，1〕，∵AP =21〔AB -〕. ∴〔x-2，y+1，z-2〕=21［〔2，6，-3〕-〔-4，3，1〕］=21〔6，3，-4〕=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x ∴P 点坐标为(5，21，0).〔3〕①a·b=〔3，5，-4〕·〔2，1，8〕=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52,|b|=222812++=69,∴cos〈a,b 〉=b b a a ⋅=692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387.③取z 轴上的单位向量n=〔0，0，1〕，a+b=〔5，6，4〕.依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b b b a a a a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ 故⎩⎨⎧=+=+-531829084μλμλ解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ. 〔三〕、强化训练：如下列图，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. 〔1〕求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； 〔2〕求〈DM ,AO 〉.(1)证明设VA =a,VB =b,VC =c,正四面体的棱长为1, 那么VD =31(a+b+c),AO =61(b+c-5a), BO =61(a+c-5b),CO =61(a+b-5c) ∴AO ·BO =361〔b+c-5a 〕·〔a+c-5b 〕=361〔18a·b -9|a|2〕 =361〔18×1×1·cos60°-9〕=0.∴AO ⊥BO ，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO， ∴AO、BO 、CO 两两垂直.〔2〕解DM =DV +VM =-31〔a+b+c 〕+21c=61(-2a-2b+c).∴|DM |=()22261⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--c b a =21，|AO |=()2561⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a c b =22，DM ·AO =61〔-2a-2b+c 〕·61〔b+c-5a 〕=41，∴cos〈DM ,AO 〉=222141⋅=22，∵〈DM ,AO 〉∈(0,π),∴〈DM ,AO 〉=45°. 〔四〕、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法那么.一个向量在不同空间的表达方式不一样，本质没有改变.因此运算的方法和运算规律结论没变。
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算3。
1。
1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习,使学生理解空间向量的有关概念。
(2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1)培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力,能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点:（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义.（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。
(2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解.考点:空间向量的加减运算及其几何意义,空间想象能力，向量的应用思想.易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具:多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想:体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学过程：（老师):同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）:矢量，由大小和方向确定(学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板,重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动?这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）:我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么?(学生）向量（老师）:这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？(学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么?（学生):不能，得用空间向量（老师)：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师):实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生)举例（老师）：然后再演示(课件）几种常见的空间向量身影。
（教案）空间向量及其运算
（教案）空间向量及其运算空间向量及其运算【基础知识必备】⼀、必记知识精选１.空间向量的定义(1)向量：在空间中具有⼤⼩和⽅向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表⽰同⼀向量或相等向量．(２)向量的表⽰有三种形式：a ，AB ,有向线段.2.空间向量的加法、减法及数乘运算.(1)空间向量的加法.满⾜三⾓形法则和平⾏四边形法则，可简记为:⾸尾相连,由⾸到尾．求空间若⼲个向量之和时,可通过平移将它们转化为⾸尾相接的向量.⾸尾相接的若⼲个向量若构成⼀个封闭图形,则它们的和为0,即21A A +32A A +…1A A n =０.(2)空间向量的减法.减法满⾜三⾓形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点，可简记为“起点相同,指向⼀定”,另外要注意-=的逆应⽤.(3)空间向量的数量积．注意其结果仍为⼀向量.３.共线向量与共⾯向量的定义.(1)如果表⽰空间向量的有向线段在直线互相平⾏或重合,那么这些向量叫做共线向量或平⾏向量．对于空间任意两个向量a ，ｂ（b≠０),a∥b ?ａ＝λｂ,若A 、Ｂ、P 三点共线，则对空间任意⼀点O ,存在实数t ，使得OP ＝(1-t ）OA +t OB ,当t=21时,P 是线段A Ｂ的中点,则中点公式为OP =21(OA +OB )．（2)如果向量a 所在直线ＯA 平⾏于平⾯α或a 在α内，则记为ａ∥α，平⾏于同⼀个平⾯的向量,叫作共⾯向量,空间任意两个向量，总是共⾯的.如果两个向量a 、b 不共线.则向量p 与向量a 、ｂ共⾯的充要条件是存在实数对x 、y.使ｐ=xa+y ｂ.对于空间任⼀点O 和不共线的三点A 、B 、C,A 、B 、C 、Ｐ共⾯的充要条件是OP ＝x OA +y OB +ｚOC (其中ｘ+y+z=1）．共⾯向量定理是共线向量定理在空间中的推⼴,共线向量定理证三点共线,共⾯向量定理证四点共⾯.４．空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共⾯,那么对空间任⼀向量p ,存在⼀个惟⼀的有序实数组x 、y 、z,使p=x ａ+ｙb+ｚｃ.特别的，若a 、ｂ、c 不共⾯，且xa+ｙb+ｚｃ=Ｏ，则x=y ＝ｚ=０．常以此列⽅程、求值.由于０可视为与任意⼀个⾮零向量共线,与任意两个⾮零向量共⾯，所以三个向量不共⾯，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共⾯向量都可以作为空间向量的⼀个基底.要注意,⼀个基底是⼀个向量组，⼀个基向量是指基底中的某⼀向量．5．两个向量的数量积.ａ·b ＝|a ｜·|b |·ｃo ｓ(a,b ）,性质如下：（1）ａ·e ＝｜a|·cos；（2)a⊥b ?a ·b =0．(3）｜a |2=a ·a ;（4)|a |·|b |≥ａ·b .⼆、重点难点突破(⼀）重点空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平⾯向量参数⽅程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论,两个向量的数量积的计算⽅法及其应⽤.（⼆）难点空间作图，运⽤运算法则及运算律解决⽴体⼏何问题，两个向量数量积的⼏何意义以及把⽴体⼏何问题转化为向量计算问题.对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出:(１)向量等式也有传递性；(2）向量等式两边加(减）相同的量,仍得等式.即“移项法则”仍成⽴;(3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量,仍是等式．这样知识掌握更加深刻.⽤空间向量解决⽴体⼏何问题.⼀般可以按以下过程进⾏思考:（1）要解决的问题可⽤什么向量知识来解决？需要⽤到哪些向量?(2）所需要的向量是否已知？若未知,是否可⽤已知条件转化成的向量直接表⽰?（3）所需要的向量若不能直接⽤已知条件转化为向量表⽰,则它们分别易⽤哪个未知向量表⽰?这些未知向量与已知条件转化⽽来的向量有何关系?（4)怎样对已经表⽰出来的所需向量进⾏运算,才能得到所需要的结论?三、易错点和易忽略点导析两个向量的夹⾓应注意的问题:①（a ，ｂ)＝(b,a ）;②(a,b)与表⽰点的符号(a,b ）不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB ＝.图(b)中的∠A O B=π-（AO ,OB ),<-OA ，OB ＞＝【综合应⽤创新思维点拨】⼀、学科内综合思维点拨【例1】已知两个⾮零向量e 1、e 2不共线,如果＝e 1＋e 2，=2e 1+8e 2,=３e 1-３e 2．求证：A 、B 、C 、Ｄ共⾯．思维⼊门指导：要证A 、B 、Ｃ、D 四点共⾯,只要能证明三向量AB 、、AD 共⾯,于是只要证明存在三个⾮零实数λ、µ、υ使λ+µ+υ=0即可.证明:设λ(e １＋e ２)+µ(２e 1+8e 2)+υ（3e 1-3ｅ2)=0.则（λ+2µ＋3υ)ｅ１+(λ+8µ-３υ)e ２=0. ∵e 1、e 2不共线，∴?=-+=++.038,032υµλυµλ上述⽅程组有⽆数多组解,⽽λ=-5,µ=1,υ＝1就是其中的⼀组,于是可知-5AB ++AD =０．故AB、AC、AD共⾯，所以A、B、C、D四点共⾯.点拨：寻找到三个⾮零实数 =-5,µ＝1,υ=1使三向量符合共⾯向量基本定理的⽅法是待定系数法.⼆、应⽤思维点拨【例2】某⼈骑车以每⼩时α公⾥的速度向东⾏驶,感到风从正北⽅向吹来，⽽当速度为2α时,感到风从东北⽅向吹来.试求实际风速和风向．思维⼊门指导：速度是⽮量即为向量.因⽽本题先转化为向量的数学模型，然后进⾏求解,求风速和风向实质是求⼀向量．解:设a表⽰此⼈以每⼩时α公⾥的速度向东⾏驶的向量.在⽆风时,此⼈感到风速为－a,设实际风速为ｖ，那么此⼈感到的风速向量为v-ａ.如图9-5－2.设OA=-a，OB=-2ａ．由于PO+OA=PA,从⽽PA＝v－a.这就是感受到的由正北⽅向吹来的风.其次,由于PO+OB=PB,从⽽v－２=PB.于是，当此⼈的速度是原来的2倍时感受到由东北⽅向吹来的风就是PB．由题意,得∠ＰＢＯ=45°, PＡ⊥B O，BＡ=A O，从⽽△ＰB O为等腰直⾓三⾓形.故ＰO ＝PＢ=2α.即|ｖ|=2α.答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.点拨：向量与物理中的⽮量是同样的概念,因⽽物理中的有关⽮量的求解计算在数学上可化归到平⾯向量或空间向量进⾏计算求解．知识的交叉点正是⾼考考查的重点，也能体现以能⼒⽴意的⾼考⽅向.三、创新思维点拨【例3】如图9－５－3(1)，已知E、F、G、Ｈ分别是空间四边形ＡBCD边AB、BC、CD、D Ａ的中点.（１)⽤向量法证明E、F、Ｇ、Ｈ四点共⾯；（2）⽤向量法证明BＤ∥平⾯EFGH.思维⼊门指导:（1）要证E、F、G、Ｈ四点共⾯,根据共⾯向量定理的推论,只要能找到实数x，y,使EG＝x+y即可；(２）要证BD∥平⾯EＦＧH，只需证向量与共线即可.证明:（1)如图９-5-3(2）,连结ＢG,则 EG =EB +BG ＝EB ＋21（BC ＋BD ）＝EB＋BF +EH =EF +EH . 由共⾯向量定理推论知,E 、Ｆ、G 、H 四点共⾯. (２)∵EH =AH －AE =21AD -21AB =21（AD －AB )=21BD , ∴EH ∥B Ｄ．⼜EH ?⾯ＥFG Ｈ,BD ?⾯EFG Ｈ,∴BD ∥平⾯EF ＧＨ．点拨：利⽤向量证明平⾏、共⾯是创新之处，⽐较以前纯⼏何的证明，显⽽易见⽤向量证明⽐较简单明快.这也正是⼏何问题研究代数化的特点．【例4】如图9-５－４，在正⽅体AB ＣD —Ａ１B １C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1Ｃ1与D Ｅ所成⾓．思维⼊门指导：在正⽅体ＡC 1中，要求A １Ｃ１与D Ｅ所成⾓,只需求11C A 与所成⾓即可.要求11C A 与DE 所成⾓，则可利⽤向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和｜DE |即可.解:设正⽅体棱长为ｍ,＝ａ,=b ，1AA =c. 则｜ａ|＝|b |=|c |=ｍ,a ·b =ｂ·c =c ·a =０.⼜∵11C A =11B A +11C B =+＝a +b ，DE =1DD +E D 1=1DD +2111C D =c ＋21ａ，∴11C A ·DE =(a ＋b ）(c ＋21a)=ａ·c ＋b ·ｃ+21a 2+21a ·b ＝21a ２＝21m ２. ⼜∵|11C A |=2m ，|DE ｜＝25m, ∴cos<11C A ,DE >1111m m m 252212?=1010. ∴<11C A ,＞=a ｒｃcos 1010.即A １C 1与D Ｅ所成⾓为ａrc ｃｏs 1010．点拨:A 1Ｃ１与ＤE 为⼀对异⾯直线.在以前的解法中求异⾯直线所成⾓要先找（作)，后求.⽽应⽤向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及DE ⽤同⼀组基底表⽰出来,再去求有关的量是空间向量运算常⽤的⼿段.四、⾼考思维点拨【例5】（200０,全国,12分)如图９-５-5，已知平⾏六⾯体ABCD ⼀A 1B 1Ｃ1Ｄ1的底⾯AB ＣD 是菱形,且∠C 1ＣB=∠C1CD ＝∠ＢCD.(1)求证:C 1Ｃ⊥BD;(2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平⾯C 1ＢD?请给出证明. 思维⼊门指导:根据两向量的数量积公式a ·b ＝|a |·|ｂ｜ｃｏs知,两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为０,即a ⊥b ?a ·ｂ=0, 所以要证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.（１)证明:设CD =a ,CB ＝b ,1CC =ｃ.由题可知|a |＝|b |.设CD 、CB 、1CC 中两两所成夹⾓为θ,于是BD =CD -CB ＝a －ｂ，1CC ·=ｃ·（a -b )＝ｃ·a -c ·b =|c |·｜a |ｃos θ－|c |·｜b ｜c ｏs θ=0，∴C 1C ⊥BD.(2）解:若使Ａ1C ⊥平⾯Ｃ1BD ，只须证A 1C ⊥ＢＤ，A 1Ｃ⊥DC 1,由于:1CA ·D C 1=(CA +1AA ）·（CD -1CC )=(a +b +c ）·（a -c )＝|a |2+a ·ｂ-ｂ·ｃ-|c |2=|a |２+|ｂ｜·|a |·cos θ-|b |·|c ｜ｃｏs θ-｜ｃ｜2=０,得当|ａ|=|ｃ|时A 1C ⊥ＤＣ１．同理可证当|a |=|c |时，A １C ⊥BD. ∴1CC CD ＝１时,A １Ｃ⊥平⾯C 1ＢD. 点拨:对于向量数量积的运算⼀些结论仍是成⽴的.(ａ-b ）·(a +b )=ａ2-ｂ2;(a ±b )2＝ａ2±2a ·b +b 2.五、经典类型题思维点拨【例6】证明:四⾯体中连接对棱中点的三条直线交于⼀点，且互相平分.(此点称为四⾯体的重⼼)思维⼊门指导:如图9-５-6所⽰四⾯体AB ＣD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Ｑ分别为各棱中点.要证明ＥF 、ＧH 、P Ｑ相交于⼀点O ,且Ｏ为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、G Ｈ相交于⼀点O ,然后证明P 、O 、Q 三点共线,即OP 、OQ 共线.从⽽说明PQ 直线也过O 点．证明：∵E 、G 分别为ＡＢ、AC 的中点, ∴ＥG ∥21B Ｃ.同理HF ∥21BC.∴EG ∥HF. 从⽽四边形EGFH 为平⾏四边形，故其对⾓线EF 、ＧH 相交于⼀点O ，且O 为它们的中点，连接O Ｐ、ＯQ ．∵OP ＝OG ＋GP ，OQ =OH ＋HQ ,⽽O 为GH 的中点，∴OG +OH =０,GP ∥21ＣD,ＱH ∥21C Ｄ. ∴GP =21CD ,QH =21CD ．∴OP +OQ =OG +OH ＋GP +HQ =０+21CD －21CD =0．∴OP ＝-OQ .∴P Ｑ经过O 点,且O 为PQ 的中点.点拨:本例也可以⽤共线定理的推论来证明,事实上,设ＥF 的中点为O .连接O P 、O Q ，则FQ =EQ -EF ，⽽EQ =21AC =－FP ,EF =-2FO ，则FQ =-FP +2FO ,∴FO =21(FQ +FP )，从⽽看出O 、P 、Q 三点共线且O 为ＰＱ的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为G Ｈ的中点，从⽽原命题得证.六、探究性学习点拨【例7】如图9-5-7所⽰,对于空间某⼀点O ,空间四个点Ａ、Ｂ、C 、Ｄ（⽆三点共线)分别对应着向量a =OA ，b =OB ，c ＝OC ,d =OD .求证：A 、Ｂ、C 、D 四点共⾯的充要条件是存在四个⾮零实数α、β、γ、δ，使αａ+βb +γｃ+δd ＝0，且α＋β+γ+δ＝0.思维⼊门指导:分清充分性和必要性，应⽤共⾯向量定理.证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共⾯,因为Ａ、B 、C 三点不共线,故,两向量不共线,因⽽存在实数x 、y ，使=x +ｙAC ,即ｄ-a ＝x(b -ａ)+ｙ（ｃ-a ）,∴（x+y －１)ａ-xb -ｙc +ｄ＝0．令α=x+y-1, β=-ｘ，γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δｄ=０,且α＋β+γ+δ=0.(充分性)如果条件成⽴,则δ=-(α+β+γ),代⼊得αa +βb ＋γc +δd =αa ＋βb+γc －(α+β+γ）d=0．即α(a-ｄ)+ β(b-d ）＋γ(c －d ）=0.⼜∵ａ-ｄ=OA －OD =DA ,b-d=DB ,c-d ＝DC , ∴αDA +βDB ＋γDC =0.∵α、β、γ为⾮零实数,不妨设γ≠０.则DC =-γαDA －γβDB ．∴DC 与DA 、DB 共⾯,即A 、B 、C 、D 共⾯.点拨：在讨论向量共线或共⾯时，必须注意零向量与任意向量平⾏，并且向量可以平移，因⽽不能完全按照它们所在直线的平⾏性、共⾯关系来确定向量关系.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 (6０分 45分钟)⼀、选择题（每⼩题5分，共30分）1.点O 、A 、B 、Ｃ为空间四个点,⼜OA 、OB 、OC 为空间⼀个基底，则下列结论不正确的是（ )Ａ.O 、Ａ、B 、Ｃ四点不共线Ｂ. O 、Ａ、Ｂ、C 四点共⾯，但不共线Ｃ. O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线 D. O 、Ａ、B 、C 四点不共⾯2.在正⽅体ＡＢＣD-A 1B １C 1D １中,下列各式中运算的结果为的共有( )①(+BC )+1CC ②(1AA +11D A ）+11C D③（AB +1BB )+11C B ④(1AA +11B A )+11C BA.1个Ｂ.２个 C.3个 D ．4个3.设命题p ：a 、b 、c 是三个⾮零向量；命题ｑ：｛a ，b ,c }为空间的⼀个基底，则命题p 是命题q 的( ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件Ｄ.既不充分⼜不必要条件４.设A 、B 、C 、Ｄ是空间不共⾯的四点,且满⾜·AC =0,AC ·=0,·=0,则△BC Ｄ是( )A ．钝⾓三⾓形 B.锐⾓三⾓形 C.直⾓三⾓形 D.不确定5．下列命题中,正确的是( )Ａ.若ａ与b 共线，则a 与b 所在直线平⾏Ｂ.若a ∥平⾯β,a 所在直线为ａ,则a ∥βC.若｛a,b,ｃ｝为空间的⼀个基底，则{ａ-b,b-c ，c-a}构成空间的另⼀个基底D.若OP =21OA +21OB ,则P 、A 、Ｂ三点共线６.若ａ＝e １＋e 2＋e 3，ｂ=e 1－e 2-e 3，c =e 1+ｅ2，d =e 1+2e 2+3e 3，且d =x ａ＋ｙb ＋z c,则ｘ、y 、z 分别为（）Ａ.25,-21，-１ B ．25,21，1 C.－25，21，1 D.25,-21,1 ⼆、填空题(每⼩题4分,共16分)7.设向量a 与b 互相垂直,向量ｃ与它们构成的⾓都是60°，且|a |=5,｜b |＝3,｜ｃ|=8，那么（ａ+3ｃ）·(3b -２a ） ;(2a +b -3c ）２= .8.已知向量n A A 1＝2a ，a 与ｂ的夹⾓为30°,且｜ａ|=3，则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量ｂ的⽅向上的射影的模为 .9.如图9－5－8,已知空间四边形O AB Ｃ，其对⾓线为O B 、ＡC ，M 是边O A 的中点,G 是△ＡＢC 的重⼼，则⽤基向量OA 、OB 、OC 表⽰向量MG 的表达式为 .10.已知Ｐ、Ａ、Ｂ、C 四点共⾯且对于空间任⼀点O 都有OP =2OA +34OB +λOC ,则λ＝ .三、解答题（每⼩题７分，共１4分）１1.如图9-５－9,已知点O 是平⾏六⾯体ABC Ｄ—A １Ｂ1C １D 1体对⾓线的交点,点Ｐ是空间任意⼀点．求证：PA ＋PB +PC +PD ＋1PA +1PB +1PC +1PD =8PO .12.如图9－５-10，已知线段A Ｂ在平⾯α内,线段AC ⊥α,线段ＢD ⊥ＡB,且与α所成⾓是30°．如果A Ｂ＝ａ,ＡＣ=BD ＝b,求Ｃ、D 间的距离.Ｂ卷:综合应⽤创新练习题（90分 90分钟)⼀、学科内综合题（10分)１.如图９-５-11所⽰,已知□ABCD,O 是平⾯ＡＣ外⼀点，1OA ＝２OA ,1OB ＝2OB ,1OC =2OC ,1OD ＝2OD ．求证：A 1、B 1、C 1、D １四点共⾯．⼆、应⽤题（1０分）２.在△ABC 中,∠C=60°，CD 为∠C 的平分线,A Ｃ=4,B Ｃ=２,过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E,将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°,求折起后线段AB 的长度.三、创新题(60分)（⼀)教材变型题(10分)3.（P ３５练习2变型)如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对⾓线的长都等于ａ,求AB 与CD 的夹⾓.(⼆)⼀题多解（１5分）4．已知矩形ＡＢCD,Ｐ为平⾯ABCD 外⼀点,且ＰA ⊥平⾯AB ＣＤ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定⽐2，N 分PD 成定⽐1,求满⾜=x AB ＋y AD +z AP 的实数x 、y 、z 的值.（三）⼀题多变(15分）5．设a ⊥b,＝6π,且|a |=１,｜b ｜=２，｜c |=3,求|a +b +c |. (1)⼀变:设a ⊥ｂ，=3π，＜b ，ｃ>=6π，且｜ａ|=1，|ｂ|=2，|c|＝３，求|a+2ｂ-c|.（2)⼆变:设a ⊥b,=3π,且｜a|=１,｜ｂ|＝2，|ｃ|=3，|a+b+ｃ|=3617+,求-b 与ｃ的夹⾓.(四）新解法题(１0分）6.如图９－５－13,正⽅形A ＢCD 和正⽅形ＡBEF 交于A Ｂ,M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且ＡN=DM ，试⽤向量证明MN ∥平⾯EB Ｃ.7.O 为空间任意⼀点，A 、Ｂ、C 是平⾯上不共线的三点,动点P 满⾜OP ＝OA +λ(||||AC AB +）,λ∈[0，+∞)，则P 的轨迹⼀定通过△ＡBC 的( ）A.外⼼Ｂ.内⼼ C.重⼼ D.垂⼼四、⾼考题（１0分) 8．（20０２,上海,５分)若a 、ｂ、ｃ为任意向量，ｍ∈R ，则下列等式不⼀定成⽴的是( )Ａ.(a +b )＋c =a +（b +c ) B.(ａ+ｂ)·ｃ=a ·c ＋ｂ·cＣ.m(a +b )=ｍa+m ｂＤ.(a ·ｂ)·c =a ·(ｂ·c )加试题：竞赛趣味题(1０分）证明：ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22(a,b,c 为正实数).【课外阅读】⽤向量表⽰三⾓形的四⼼由⾼中数学新教材中的向量知识出发，利⽤定⽐分点的向量表达式，可以简捷地导出三⾓形的重⼼、内⼼、垂⼼、外⼼这四⼼的向量表达式.【例】如图9-5-１4，在△ABC 中，F 是A Ｂ上的⼀点,E 是ＡC 上的⼀点,且FB AF ＝l m ，EC AE =ln （通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数），连结C Ｆ、BE 交于点D.求D 点的坐标.解:在平⾯上任取⼀点O ，连结O Ａ、ＯB 、O Ｃ、O D 、ＯE 、ＯF,由定⽐分点的向量表达式，得:OF =(OA +l m ·OB ）÷(１＋lm ) =ml OB m OA l +?+? ①=ln OC l n OA +?+1=n l OC n OA l +?+? ②⼜=λλ+?+1OC OF =u OE u OB +?+1 ③（其中DCFD =λ,u DE BD =). 整理①、②、③式得λ=1+m n . 所以OD =n m l l ++OA +n m l m ++OB +nm l n ++OC ④由④式出发，可得三⾓形四⼼的向量表达式：（１）若BE 、ＣＦ是△A ＢＣ两边上的中线，交点G 为重⼼.由④式可得重⼼G 的向量表达式：OG =31(OA +OB +OC ). （2）若BE 、CF 是△AB Ｃ两内⾓的平分线,交点Ｉ是内⼼．因为FB AF =a b ,EC AE ＝a c , 由④式可得内⼼I 的向量表达式：OI ＝c b a a ++OA +c b a b ++OB ＋cb ac ++OC . （3)若BE 、ＣF 是△AB Ｃ两边上的⾼,交点Ｈ是垂⼼.EC AE =Ca A c cos cos ??＝Aa C ccos cos . 同理FBAF =Aa B bcos cos . 由④式可得垂⼼H 的向量表达式：OH =OA C c B b A a C a cos cos cos cos +++OB C c B b A a C b cos cos cos cos +++OC Cc B b A a C ccos cos cos cos ++．（4）若BE 、C Ｆ的交点O ′是△A ＢC 的外⼼,即三边中垂线交点,则O ′A=O ′B=Ｏ′Ｃ.根据正弦定理：EC AE =CBE C BE EBA A BE ∠?∠?sin sin sin sin =)(21sin sin )(21sin sin C BO A B AO C '∠-?'∠-?ππ =A A C C cos sin cos sin ??=AC 2sin 2sin .同理FB AF =A B 2sin 2sin ．由④式可得外⼼O ′的向量表达式:OO =C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +CB A B 2sin 2sin 2sin 2sin ++OB +OC CB AC 2sin 2sin 2sin 2sin ++. 这四个向量表达式,都由④式推出,都有着各⾃轮换对称的性质.好记，好⽤!新教材的优越性，由此可见.参考答案A 卷⼀、1.B 点拨：空间向量的⼀组基底是不共⾯的.２.Ｄ点拨:++1CC =+1CC ＝1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2）、(3)、(4）的计算结果也为1AC .3.B 点拨：当三个⾮零向量a 、b 、ｃ共⾯时,a 、b 、c 不能构成空间的⼀个基底，但是｛a,b,c }为空间的⼀个基底时，必有a 、b 、c 都是⾮零向量.因此由P 推不出ｑ,⽽由q 可推出P.4.B 点拨:·AB =０?AC ⊥A Ｂ.同理可得A Ｃ⊥ＡD,AB ⊥ＡD.设AB=a ，ＡC ＝b,AD=c.则BC=22b a +，ＣD=22c b +,B Ｄ=22c a +．∵c ｏs∠ＢCD ＝CDBC BD CD BC ?-+2222＞0,故△BCD 为锐⾓. 同理∠CBD 、∠B ＤC 亦为锐⾓.则△BC Ｄ为锐⾓三⾓形.5.D 点拨:向量共线则其所在直线平⾏或重合,故Ａ错误;向量平⾏于平⾯，则向量在⾯内或所在直线与⾯平⾏，故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1，则λ1(ａ-b ）+λ2(ｂ-c)+λ3(c-a)=０,即a-ｂ，b-ｃ,c －a 是共⾯向量，不能构成空间的基底,故C 错.x+y ＋z=1 ｘ＝25， 6．A 点拨: ｘ－y+z=2 ? y=-21, ｘ－y=３ z ＝-１.⼆、7.-62，373 点拨：(a+3c)·（３b －２a ）＝３a ·b-２ａ2+９c ·b －６a ·c=3|ａ。
高三数学一轮复习精品教案1：空间向量及其运算(理)教学设计
第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。
2013届高考数学第一轮复习空间向量及其应用教案
∙2013届高考数学第一轮复习空间向量
∙一．课标要求：
（1）空间向量及其运算
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分
解及其坐标表示；
③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂
直。
（2）空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量；
②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何
问题中的作用。
二．命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
三．要点精讲
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
高中高三数学《空间向量》教案、教学设计
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。
以下是教学案的详细内容。
目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。
2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。
3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。
教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。
2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。
3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。
4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。
教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。
2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。
3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。
4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。
结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。
希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。
空间向量复习教案设计
空间向量复习教案设计第一章：空间向量的基本概念1.1 向量的定义与表示介绍向量的定义：向量是具有大小和方向的量。
解释向量的表示方法：用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法：在三维空间中，向量可以用三个坐标表示，分别为x 轴、y轴和z轴上的分量。
1.3 向量的运算介绍向量的加法：两个向量相加，其结果向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量方向的和。
介绍向量的减法：两个向量相减，可以将减法转换为加法，即加上相反向量。
第二章：空间向量的几何性质2.1 向量的模介绍向量的模的定义：向量的模是指向量的长度，是一个非负实数。
介绍向量的模的运算：向量的模的平方等于向量的平方，即|a|²= a·a。
2.2 向量的数量积介绍向量的数量积的定义：两个向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
介绍向量的数量积的运算：两个向量的数量积等于它们的坐标乘积之和，即a·b = ax·bx + ay·+ az·bz。
2.3 向量的夹角介绍向量的夹角的定义：两个向量的夹角是指它们之间的最小正角度。
介绍向量的夹角的计算方法：使用向量的数量积公式，即cosθ= (a·b) / (|a||b|)。
第三章：空间向量的线性运算3.1 向量的数乘介绍向量的数乘的定义：将一个实数与一个向量相乘，结果是一个向量，其大小等于原向量的大小乘以实数，方向与原向量相同。
3.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合的定义：将两个或多个向量相加或相减，结果仍然是一个向量。
介绍向量的线性组合的运算：根据向量的加法和数乘运算，可以得到任意向量的线性组合。
3.3 向量的人格化介绍向量的人格化的定义：将向量表示为一组基向量的线性组合，其中基向量是相互正交的。
介绍向量的人格化的运算：通过选择适当的基向量，将任意向量表示为它们的线性组合。
2013年高考一轮复习教案数学(理)新课标第八篇立体几何6空间向量及其运算
第6讲 空间向量及其运算【2013年高考会这样考】1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用．基础梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB→＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ⇒a ∥b ；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．双基自测1．已知向量a ∥平面β，向量a 所在直线为a ，则( )． A ．a ∥β B ．a ⊂β C ．a 交β于一点 D ．a ∥β或a ⊂β答案 D2．(人教A 版教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b|＝|a ＋b|； ③中a 、b 所在直线可能重合；④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面． 答案 C3．(2012·福州质检)a ＝λb (λ是实数)是a 与b 共线的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝λb ⇒a ∥b 但⎩⎨⎧b ＝0，a ≠0，则a ∥b ，a ≠λb . 答案 A4．(2012·舟山月考)平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )． A ．5 B ．6 C ．4 D ．8解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2b·c ＋2c·a ＝25， 因此|AC 1→|＝5. 答案 A5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE→＝________(用a ，b ，c 表示)．解析 如图，OE→＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案 12a ＋14b ＋14c考向一 空间向量的线性运算【例1】►如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG→. [审题视点] 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量． 解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→ ＝AB →＋AD →＋AA1→ ＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G → ＝AA 1→＋13(A 1D →＋A 1B →)＝AA 1→＋13(AD →－AA 1→)＋13(AB →－AA 1→) ＝13AA 1→＋13AD →＋13AB → ＝13a ＋13b ＋13c .(1)通过以上表示可以看出AC 1→＝3AG →即证明：A 、G 、C 1三点共线．G为AC 1的三分之一分点．(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算．【训练1】 如右图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.设AB →＝a ，AC→＝b ，AD →＝c ，试用a ，b ，c 表示BG →，BN →. 解 BG→＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM → ＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c .说明 此问题事实上解决了B 、G 、N 三点共线问题，同学们可以通过此题想象正四面体外接球和内切球的球心位置．考向二 共线共面定理的应用【例2】►如右图，已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[审题视点] 四点共点，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明．证明 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴H G →与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面．证明E 、F 、G 、H 四点共线，只须证明HG→＝λEF →＋μEH →即可，即证HG →、EF→、EH →三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法．【训练2】 如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，试证A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ，则 BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→＝a ＋c ， AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ， AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵AB ⊄平面AC 1D ， 因此A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用【例3】►如图，在四面体S -ABC 中，若SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，试证SC ⊥AB .[审题视点] 可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直．证明 取SA→＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，由已知SA ⊥BC ，SB ⊥AC ， 即⎩⎨⎧a ·(c －b )＝0 ①b ·(c －a )＝0 ②②－①得c ·(b －a )＝0， 则SC ⊥AB .利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知⎩⎨⎧a ·(c －b )＝0，b ·(c －a )＝0，求证c ·(b －a )＝0 回避了传统几何法中作辅助线这一难题．以上证法同时也证明了平面几何中“三角形的三条高线交于同一点”这一命题．【训练3】 已知如右图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°. (1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CDCC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(1)证明 取CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c·(a －b )＝c·a －c·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴C 1C →⊥BD →，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，CA 1→＝a ＋b ＋c ，C 1D →＝a －c . ∴CA 1→·C 1D →＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a||c|－2c 2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.即当CD CC 1＝|a||c|＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .规范解答14——利用空间向量证明平行或垂直问题【问题研究】 从近几年高考试题的命题情况来看，高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行，线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，常和角与距离的求解.体积的计算等综合命题，同时考查判定定理、性质定理、定义以及对符号语言的识别和转化，难度以中低档题目为主.【解决方案】 建立空间直角坐标系，用坐标或基底表示相关的向量，把线面关系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算，用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化.【示例】► (本题满分12分)(2011·全国改编)如图，四棱锥SABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1. (1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．(1)本题可以通过计算边边关系证明SD ⊥平面SAB ，第2问也可作出AB 与平面SBC 所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键．[解答示范] 以C 为坐标原点，射线CD 为x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0)． 又设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0.(1)证明 A S →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS →|＝|BS→|得 (x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2， 故x ＝1.由|DS→|＝1得y 2＋z 2＝1， 又由|BS→|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4， 即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(6分)(2)解 设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，∴a ·BS →＝0，a ·CB →＝0.又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，故⎩⎨⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.(9分)取p ＝2得a ＝(－3，0,2)． 又AB →＝(－2,0,0)，cos 〈AB →，a 〉＝AB →·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.(12分)直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来判断．证明的主要思路是：(1)证明线线平行：可证两条直线的方向向量共线；(2)证明线面平行：①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，②证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线向量线性表示；(3)证明面面平行：可证两个平面的法向量共线；(4)证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；(5)证明线面垂直：①证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直，②证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(6)证明面面垂直：可证两个平面的法向量互相垂直． 【试一试】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．[尝试解答] 由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1.∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0， 知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎨⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.∴m 的取值范围是{m |m ≤－2，或－1≤m ＜3}．。
高考数学一轮复习 9.6 空间向量及其运算精品教学案(学生版) 新人教版
【考纲解读】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
b a AB OA OB+=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ加法交换率：.a b b a+=+加法结合率：).()(c b a c b a++=++数乘分配率：.)(b a b aλλλ+=+说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。
高考数学一轮复习 9.7 空间向量的应用精品教学案(教师版) 新人教版
D BA C α 2013年高考数学一轮复习精品教学案9.7 空间向量的应用【考纲解读】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
2013高考数学(理)一轮复习教案第八篇立体几何第6讲空间向量及其运算21450
第6讲 空间向量及其运算【2013年高考会这样考】1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用．基础梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA→＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )．(2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝x a＋y b＋z c.一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a＝λb⇒a∥b；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R使λa＝μb.③若OA→，OB→不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是OP→＝λOA→＋μOB→且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．双基自测1．已知向量a ∥平面β，向量a 所在直线为a ，则( )． A ．a ∥β B ．a ⊂β C ．a 交β于一点 D ．a ∥β或a ⊂β答案 D2．(人教A 版教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b|＝|a ＋b|； ③中a 、b 所在直线可能重合；④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面． 答案 C3．(2012·福州质检)a ＝λb (λ是实数)是a 与b 共线的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝λb ⇒a ∥b 但⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ≠0，则a ∥b ，a ≠λb . 答案 A4．(2012·舟山月考)平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )． A ．5 B ．6 C ．4 D ．8解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2b·c ＋2c·a ＝25， 因此|AC 1→|＝5. 答案 A5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE→＝________(用a ，b ，c 表示)．解析 如图，OE→＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .答案 12a ＋14b ＋14c考向一 空间向量的线性运算【例1】►如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG →.[审题视点] 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量．解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ ＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G → ＝AA 1→＋13(A 1D →＋A 1B →)＝AA 1→＋13(AD →－AA 1→)＋13(AB →－AA 1→) ＝13AA 1→＋13AD →＋13AB →＝13a ＋13b ＋13c .(1)通过以上表示可以看出AC 1→＝3AG →即证明：A 、G 、C 1三点共线．G 为AC 1的三分之一分点．(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算．【训练1】 如右图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.设AB →＝a ，AC →＝b ，AD→＝c ，试用a ，b ，c 表示BG →，BN →. 解 BG→＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM → ＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN→＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c . 说明 此问题事实上解决了B 、G 、N 三点共线问题，同学们可以通过此题想象正四面体外接球和内切球的球心位置．考向二 共线共面定理的应用【例2】►如右图，已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[审题视点] 四点共点，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明．证明 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→ ＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴H G →与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面．证明E 、F 、G 、H 四点共线，只须证明HG→＝λEF →＋μEH →即可，即证HG →、EF →、EH →三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法．【训练2】 如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点， 试证A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ，则 BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→＝a ＋c ， AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ， AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵AB ⊄平面AC 1D ， 因此A 1B ∥平面AC 1D .考向三 空间向量数量积的应用【例3】►如图，在四面体S -ABC 中，若SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，试证SC ⊥AB . [审题视点] 可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直． 证明 取SA→＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，由已知SA ⊥BC ，SB ⊥AC ， 即⎩⎨⎧a ·(c －b )＝0 ①b ·(c －a )＝0 ②②－①得c ·(b －a )＝0， 则SC ⊥AB .利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知⎩⎪⎨⎪⎧a ·(c －b )＝0，b ·(c －a )＝0，求证c ·(b －a )＝0 回避了传统几何法中作辅助线这一难题．以上证法同时也证明了平面几何中“三角形的三条高线交于同一点”这一命题．【训练3】 已知如右图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°. (1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CDCC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(1)证明 取CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c·(a －b )＝c·a －c·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴C 1C →⊥BD →，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，CA 1→＝a ＋b ＋c ，C 1D →＝a －c . ∴CA 1→·C 1D →＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a||c|－2c 2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.即当CD CC 1＝|a||c|＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .规范解答14——利用空间向量证明平行或垂直问题【问题研究】 从近几年高考试题的命题情况来看，高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行，线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，常和角与距离的求解.体积的计算等综合命题，同时考查判定定理、性质定理、定义以及对符号语言的识别和转化，难度以中低档题目为主.【解决方案】 建立空间直角坐标系，用坐标或基底表示相关的向量，把线面关系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算，用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运算过程具有程序化.【示例】► (本题满分12分)(2011·全国改编)如图，四棱锥SABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1. (1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．(1)本题可以通过计算边边关系证明SD ⊥平面SAB ，第2问也可作出AB 与平面SBC 所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键．[解答示范] 以C 为坐标原点，射线CD 为x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0)． 又设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0.(1)证明 A S →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS →|＝|BS →|得 (x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2， 故x ＝1.由|DS→|＝1得y 2＋z 2＝1， 又由|BS→|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4， 即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，DS →·AS →＝0，DS →·BS→＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(6分)(2)解 设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，∴a ·BS →＝0，a ·CB →＝0. 又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，故⎩⎨⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.(9分)取p ＝2得a ＝(－3，0,2)．又AB→＝(－2,0,0)， cos 〈AB →，a 〉＝AB →·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.(12分)直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来判断．证明的主要思路是：(1)证明线线平行：可证两条直线的方向向量共线；(2)证明 线面平行：①证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，②证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线向量线性表示；(3)证明面面平行：可证两个平面的法向量共线；(4)证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；(5)证明线面垂直：①证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直，②证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(6)证明面面垂直：可证两个平面的法向量互相垂直．【试一试】 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围． [尝试解答] 由⎩⎨⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1.∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0， 知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，⎩⎨⎧ m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.。
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2013年高考数学一轮复习精品教学案9.6 空间向量及其运算【考纲解读】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
b a AB OA OBb a OB OA BA)(R a OP加法交换率：.a b b a加法结合率：).()(c b a c b a数乘分配率：.)(b a b a说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量a （a≠0）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数 使b ＝ a注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝ a，其中 是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数 ，使b ＝ a （a ≠0），则有a ∥b（若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）。
⑵对于确定的 和a ，b ＝ a 表示空间与a 平行或共线，长度为 | a |，当 >0时与a同向，当 <0时与a反向的所有向量。
⑶若直线l ∥a，l A ，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。
推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OA OP a t①其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取a AB，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP ②当21t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。
⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面 平行或a在 平面内，我们就说向量a 平行于平面 ，记作a ∥ 。
注意：向量a∥ 与直线a ∥ 的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,y x ④或对空间任一定点O ，有.y x ⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。
①式叫做平面MAB 的向量表示式。
又∵.OM .OM 代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是R z y x c z b y a x p p 、、,|，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。
与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。
推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a OA，b OB ，则角∠AOB叫做向量a 与b 的夹角，记作 b a，说明：⑴规定0≤ b a ，≤ ,因而 b a，= a b ，； ⑵如果 b a ，=2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB = OB OA ,，图（4）中∠AOB = OB AO ,,从而有 OB OA ,= OB OA ,= OB OA ,.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积： b a b a ,cos 叫做向量a 、b的数量积，记作b a 。
即b a = b a b a ,cos ，向量AB 方向上的正射影在e:B A e a AB e a,cos ||（4）性质与运算率⑴ e a e a,cos 。
⑴()()a b a b r r r r ⑵a ⊥b b a =0 ⑵b a =b a r r⑶2||.a a a r r r ⑶()a b c a b a c r r r r r r r【例题精析】考点一 空间向量的概念及性质例 1. 有以下命题：①如果向量,a b r r 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b r r的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC uu u r uuu r uuu r不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c r r r 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c r r r r r，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③【变式训练】1. 下列命题正确的是（ ）()A 若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线；()B 向量,,a b c r r r 共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向；()D 若//a b r r ，则存在唯一的实数 使得a b r r；考点二 空间向量的基本运算ABABel例2. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD 中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a u u u r r，AD b u u u r r ，1AA c u u u r r，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）()A 1122a b c r r r ()B 1122a b c r r r()C 1122a b c r r r ()D c b a 2121【变式训练】2. 已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 【易错专区】 问题：综合应用例. 已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。
设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角 ；（2）若向量k a +b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值.【课时作业】1. 已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使a =k b2.(2012年高考重庆卷理科6)设,x y R ，向量 4,2,,1,1, c y b x a ，且c b c a //, ，则_______ b a（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）103．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a 且p n m ,,不共面.若a ∥b,求y x ,的值. 【考题回放】1. (2012年高考广东卷理科3) 若向量BA u u u r=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r =（ ）A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10) 2．(2010年高考安徽卷理科3)设向量 1,0 a ，11,22b ，则下列结论中正确的是（ ） A 、 a bB 、22•a bC 、 a b 与b 垂直D 、a ∥b3．（2010年高考陕西卷理科11）已知向量 2,1,,1,1,2 c m b a ，若b a ∥c ，则_________ m .4．（2010年高考广东卷理科10）若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b r r r=-2,则x = .。