最新高一培优专题：数列选择题填空题简答题难题汇编(含解析)

高一培优专题：数列

一．选择题（共8小题）

1．已知数列{a n}、{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n ∈N*，都有，则=（）

A．81 B．9 C．729 D．730

2．在正项数列{a n}中，若a1=1，且对所有n∈N*满足na n+1﹣（n+1）a n=0，则a2017=（）

A．1013 B．1014 C．2016 D．2017

3．已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）

A．2 B．1 C．D．﹣1

4．设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最

小值为（）

A．7 B．8 C．D．

5．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）

A．（，）B．（，）C．[，]D．[，] 6．设数列{a n}满足，a n+1=a n2+a n（n∈N*），记，

则S10的整数部分为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．若函数，，

，，在等差数列{a n}中，a1=0，

a2019=1，b n=|g k（a n+1）﹣g k（a n）|（k=1，2，3，4），用p k表示数列{b n}的前2018项的和，则（）

A．P4＜1=P1=P2＜P3=2 B．P4＜1=P1=P2＜P3＜2

C．P4=1=P1=P2＜P3=2 D．P4＜1=P1＜P2＜P3=2

8．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前64项和为（）A．4290 B．4160 C．2145 D．2080

二．填空题（共9小题）

9．已知数列{a n}满足则{a n}的通项公式．

10．在数列{a n}中，a1=2，2a n+1=a n2+1，n∈N*，设b n=，若数列{b n}的前

2018项和S2018＞t，则整数t的最大值为．

11．已知数列{a n}满足a1=﹣1，|a n﹣a n﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2018=．

12．数列{a n}中，a n=3n﹣1，现将{a n}的各项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：（2，5），（8，11，14，17），（20，23，26，29，32，35），…，则第n 组中各数的和为．

13．已知数列{a n}的前n项和是S n，，4S n S n﹣1+S n=S n﹣1（n≥2），则S n=．

14．设数列{a n}的前n项和为S n．若S n=2a n﹣n，则+++

=．

15．已知数列{a n}的首项a1=m，其前n项和为S n，且满足S n+S n+1=3n2+2n，若对∀n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则m的取值范围是．

16．已知数列{a n}中，a1=，2a n a n﹣1=a n﹣a n﹣1，则数列a n的通项公式为．17．在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，则a30=．

三．解答题（共23小题）

18．已知数列{a n}满足．

（1）设，求数列{b n}的通项公式；

（2）求数列{a n}的前n项和S n；

（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．

19．已知数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2=a+a+…a．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求证：数列{}的前n项和T n＜；

（3）若0＜λ＜1，b n=，求证：

20．函数y=（n∈N*，y≠1）的最大值为a n，最小值为b n且c n=4（a n b n ﹣）

（1）求数列{c n}的通项公式；

（2）求f（n）=（n∈N*）的最大值．

21．已知f（n）是平面区域I n：（x，y∈R，n∈N*）内的整点（横

纵坐标都是整数的点）的个数，记a n=2n f（n），数列{a n}的前n项和为S n

（1）求数列{a n}的前n项和为S n

（2）若对于任意n∈N*，≤c恒成立，求实数c的取值范围．

22．已知数列{a n}满足4a n=a n﹣1﹣3（n≥2且n∈N*），且a1=﹣，设b n

（a n+1），n∈N*，数列{c n}满足c n=（a n+1）b n

（1）求证{a n+1}是等比数列并求出数列{a n}的通项公式；

（2）求数列{c n}的前n项和S n

（3）对于任意n∈N*，c n≤m2﹣m﹣恒成立，求实数m的取值范围．

23．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（αβ）=αf（β）+βf（α），且f（2）=2，数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N+）．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）令b n=（﹣1），c n=，记T n=（c1+c2+…+c n）（n∈N+）．问：是否存在正整数M，使得当n＞M时，不等式|T n﹣|＜恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；若不存在，请说明理由．

24．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=0，n•a n+1=S n+n（n+1），

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和；

（3）设P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2，Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．

25．在等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2n+r（r为常数），记b n=1+log2a n．（1）求r的值；

（2）求数列{a n b n}的前n项和T n；

（3）记数列{}的前n项和为P n，若对任意正整数n，都有P2n

+≤k+P n，求

+1

实数k的最小值．

26．已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．

（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．

（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．