2017届高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 三 1.2.1
【师说】2017届高考数学(人教版文科)二轮专项训练：课时巩固过关练(三)
过平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋a ≥0，x ＋y ＋2≤0，若z，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m ，)答案：C7．(2016·广东惠州二调)已知变量x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0，则x＋y＋3x＋2的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.⎣⎡⎦⎤54，52C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x－2y＋4≥0，x≤2，x＋y－2≥0所对应的区域(如图阴影)，变形目标函数可得x＋y＋3x＋2＝x＋2＋y＋1x＋2＝1＋y＋1x＋2，表示可行域内的点与A(－2，－1)连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B(2,0)时，目标函数取最小值为1＋0＋12＋2＝54；当直线经过点C(0,2)时，目标函数取最大值为1＋2＋10＋2＝52，故答案为⎣⎡⎦⎤54，52答案：B8．(2016·云南师大附中月考)设实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，，则z＝yx＋xy的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤13，103 B.⎣⎡⎦⎤13，52C.⎣⎡⎦⎤2，52 D.⎣⎡⎦⎤2，103解析：设k＝yx，则z＝yx＋xy＝k＋1k，作出不等式组对应的平面区域如图．k的几何意义为过原点的直线的斜率．由图象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x－y－2＝0，x＋2y－5＝0，得若实数x ，y 满足1x 2＋1y2＝1，则．最小值3＋2 2 ．最小值62＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＝1＋2＋x 2y 2相切时，切点恰为(0,0)，故此时＝e 5－a ，故a ＝e 5＋1；结合图象可知，M (x ，y )是不等式组⎨⎧0≤x ≤y ≤3，，b 都是正实数，且满足a ＋b ＝ab ，即1a ＋9b ＝当且仅当a ＝1＋3，b ＝(如图所示)．显然，∴25－2a＝b，∴a220(0<a<5)，利用二次函数求最值，5)2＝4，即a2＋b2定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1)导函数f′(x)>0，原函数单调递增，<2，画出可行域如图．(2,0)时，k最小，最小值为12.所以所求目标函数的最小值为11.已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则xz＋4xz＋4z2＝1x＋4z＋4≤18，当且仅当xz＝ON的最大值为11.浙江温州十校联合体初考)若直线ax＋by＝4与不等式组＋b的取值范围是__________．由已知不等式组可画出其所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，，N(2,1)．令直线t＝a＋b，即；当直线t＝a＋b过点N时，t有最大值为3,3)．，y满足2x＋y－3＝0，则4y－xy。
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练二1.1.2含解析
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课时巩固过关练二向量运算与复数运算、算法、合情推理(40分钟80分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.（2016·襄阳一模)复数(1+2i)23−4i的值是( )A。
-1 B。
1 C.—i D.i【解析】选A.(1+2i)23−4i =1+4i+4i23−4i=−3+4i3−4i=—1.2.(2016·潍坊一模）下面几种推理过程是演绎推理的是( ）A。
两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B。
由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质C。
某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人，由此推测各班都超过50人D。
在数列{a n｝中,a1=1，a n=12(a n−1+1a n−1)(n≥2），计算a1,a2,a3,a4,由此推测通项a n【解析】选A。
演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C是归纳推理;选项D是归纳推理.3。
（2016·全国卷Ⅲ）若z=4+3i,则z−|z|= （）A。
1 B.-1 C.45+35i D.45—35i【解析】选D。
|z|=√42+32=5，z−=4-3i,则z−|z|=45—35i.4.（2016·全国卷Ⅱ)已知z=（m+3)+(m—1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A。
(-3,1）B。
(-1,3)C。
（1,+∞) D。
（—∞,-3)【解析】选A.z=(m+3）+（m-1）i对应点的坐标为(m+3,m-1）,该点在第四象限,所以{m+3>0,解得—3<m<1。
m−1<0,5.(2016·漳州一模)已知｜a｜=｜b|=2，a，b的夹角为90°,向量d 满足｜d—a-b｜=1，则｜d|的最大值为( )A.2√2+1 B。
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练十三1.5.2Word版含解析
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课时巩固过关练十三点、直线、平面之间的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.(2016·资阳三模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是( )A.若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βD.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β【解析】选C.在长方体ABCD-A′B′C′D′中，(1)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，A′B′为直线m，BC为直线n，显然α∥β，m∥α，n∥β，但m与n不平行.故A错误.(2)令平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，直线BB′为直线m，直线CC′为直线n，显然α⊥β，m⊥α，n∥β，m∥n.故B错误.(3)令平面ABCD为平面α，平面A′B′C′D′为平面β，直线BB′为直线m，直线B′C′为直线n，显然m⊥α，n⊂β，m⊥n，但α∥β.故D错误.2.(2016·石家庄二模)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n 异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③若m⊂α，显然结论错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误.3.(2016·南昌二模)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD(如图2)，则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解题导引】对于原图：由于AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，可得AD⊥BC.在四面体ABCD中，由于AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面BCD，进而得到AD⊥BC.利用异面直线的定义即可判断：AD与BC是异面直线.【解析】选C.在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.对于原图：因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在四面体ABCD中，因为AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=D，所以AD⊥平面BCD.所以AD⊥BC.又AD与BC是异面直线，综上可知，在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面且垂直.二、填空题(每小题5分，共10分)4.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行于四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是__________.【解析】如图，由题意知，EFGH为平行四边形，设EH=x(0<x≤2)，EF=y(0<y≤8)，xy=S(S为所求面积)，由EH∥BD，可得==，==，两式相加，得：=1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，(当且仅当2x=y时等号成立)，解得：xy≤4，解得：S=xy≤4.答案：45.(2016·湛江二模)设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号是________.①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线.【解析】①x⊥平面z，平面y⊥平面z，所以x∥平面y或x⊂平面y.又因为x⊄平面y，故x∥平面y，①成立；②x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；③x⊥平面z，y⊥平面z，x，y为不同直线，故x∥y，③成立；④x，y，z均为直线，则x与y可平行，可异面，也可相交，故④不成立；⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面，所以x∥y，⑤成立.答案：①③⑤【加固训练】(2016·兰州二模)α，β是两个平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________.【解析】①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF.又AB⊥α且EF⊂α，所以EF⊥AB.因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD.因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以①可以成为增加的条件.②AC与α，β所成的角相等，AC与EF位置关系不确定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不一定垂直，所以就推不出EF与BD垂直.所以②不可以成为增加的条件.③AC与CD在β内的射影在同一条直线上，因为CD⊥α且EF⊂α，所以EF⊥CD.所以EF与CD在β内的射影垂直，若AC与CD在β内的射影在同一条直线上.所以EF⊥AC，因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF.所以③可以成为增加的条件.④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF，所以④不可以成为增加的条件.答案：①③三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)6.(2016·安庆二模)如图，在圆柱O-O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点E，F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1.(1)求证：平面ADF⊥平面CBF.(2)若DF与底面所成角为，求几何体EF-ABCD的体积.【解析】(1)由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，又因为BF⊂平面CBF，所以平面ADF⊥平面CBF.(2)因为AD垂直于底面，若DF与底面所成角为，则∠AFD=，故AF=1，则四棱锥F-ABCD的高为，又S四边形ABCD=2，V F-ABCD=××2=，三棱锥C-BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，所以S△BEF=，则V C-BEF=×1×=，所以几何体EF-ABCD的体积为V F-ABCD+V C-BEF=+=.7.(2016·吉林二模)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2).(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.【解析】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC，又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD=D.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，DP，QE，则PQ ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.ABCD -A1B1C1D1是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”.质点的运动规则如下：运动第i段与第i+2段所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数).问质点从A点出发又回到起点A走完的段数是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B.不妨设质点运动路线为AB1→B1C→CD1→D1A，即走过4段后又回到起点A.可以看作以4为周期，所以段数是4.【加固训练】下列关于空间的直线和平面的叙述，正确的是( )A.平行于同一平面的两直线平行B.垂直于同一平面的两平面平行C.如果两条互相垂直的直线都分别平行于两个不同的平面，那么这两个平面平行D.如果一个平面内一条直线垂直于另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直【解析】选C.对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误.对于B，垂直于同一个平面的两个平面可能相交，如直三棱柱的两个侧面都与底面垂直，故B错误.对于C，设a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，a⊥b，过空间一点P分别作a，b 的平行线m，n，则m∩n=P.设m，n所确定的平面为γ，过P作平面γ的垂线l，则l⊥m，l⊥n.因为a∥α，b∥α，所以存在直线a′⊂α，b′⊂α，使得a∥a′，b∥b′，且a′与b′为相交直线.所以l⊥a′，l⊥b′，所以l⊥α，同理l⊥β，所以α∥β.故C正确.对于D，在长方体ABCD-EFGH中，AB⊂平面ABCD，FG⊂平面EFGH，AB⊥FG，显然平面ABCD∥平面EFGH，故D错误.2.已知α，β为两个平面，l为直线，若α⊥β，α∩β=l，则( )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直【解析】选D.由α⊥β，α∩β=l，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面与l的关系有l在平面内或l与平面平行或相交，故C不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确.【加固训练】已知异面直线a与b所成角为锐角，下列结论不正确的是( )A.不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂αB.存在一个平面α使得a∥α，b∥αC.不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥αD.存在一个平面α使得a∥α，b⊥α【解析】选D.在A中，因为异面直线a与b，所以不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂α，故A正确；在B中，在空间中找一点A，A∉a且A∉b，过点A分别作直线a与b 的平行线a′，b′，则a′，b′确定一个平面α使得a∥α，b∥α，故B正确；在C中，若存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，这与已知异面直线a与b相矛盾，故不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥α，故C正确；在D中，若存在一个平面α使得a∥α，b⊥α，则a⊥b，这与已知异面直线a与b所成角为锐角矛盾，故D错误.3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β.正确的命题有( )A.②④B.①②④C.①④D.①③【解析】选C.由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确.4.如图，已知一个八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题正确的是( )A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为1D.以上都不对【解析】选B.因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，所以在四棱锥E-ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，而AE与CE 所成的角为90°，故A错；因为AE=CE=1，AC=，满足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四边形AECF是正方形，故B正确；设点A到平面BCE的距离为h，由V E-ABCD=2V A-BCE，所以×1×1×=2××h，解得h=，所以点A到平面BCE的距离为，故C错误.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在三棱锥C-ABD中(如图)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=.其中真命题是________(填序号).【解析】对于①，因为△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以CO⊥BD，AO⊥BD，AO∩OC=O，所以BD⊥平面AOC，所以AC⊥BD，因此①正确；对于②，假设CO⊥AD，又CO⊥BD，可得CO ⊥平面ABD，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，这与已知二面角A-BD-C为60°矛盾，因此不正确；对于③，由△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，所以OC=OA，由①可得：∠AOC是二面角A-BD-C的平面角且为60°，所以△AOC为正三角形，因此③正确；对于④，AB=4，由①可得：AC=OA=2，AD=CD=4，所以cos∠ADC==≠，因此不正确；综上可得：只有①③正确. 答案：①③6.如图已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.给出下列结论：①CD∥平面PAF；②DF⊥平面PAF；③CF∥平面PAB：④DF∥平面PAB.其中正确结论的个数为________.【解析】因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形.所以AF∥CD，由线面平行的判定定理，得CD∥平面PAF，故①正确；由正六边形的特点易知DF⊥AF，因为PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，由线面垂直的判定定理，得DF⊥平面PAF，故②正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，得CF∥平面PAB，故③正确；连接AC，由正六边形的特点易知DF∥AC，又AC∩平面PAB=A，故DF与平面PAB相交，故④不正确，故正确结论的个数是3.答案：3【加固训练】下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交.综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP 的图形的序号是①③.答案：①③三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.(1)求证：DM∥平面APC.(2)求证：平面ABC⊥平面APC.(3)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积.【解析】(1)由已知得，MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP，因为MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，所以MD∥平面APC.(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB，所以AP⊥PB.又因为AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又因为BC⊥AC，AC∩AP=A，所以BC⊥平面APC，因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意可知，三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.MD⊥平面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2.MD是三棱锥D-BCM的高，S△BCD=×4×2×=2.所以V D-BCM=V M -DBC=S△BCD·MD=×2×5=10.8.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB.(1)求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解题导引】(1)由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE 中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值.(2)连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD. 【解析】(1)因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，在直角三角形CBE中，sin∠CEB==.可得：cos∠CEB==.即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为.(2)存在点F，且=时，有EC∥平面FBD.证明如下：连接AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连接MF，BF，DF，因为AB∥CD，AB=2CD，所以==，所以=，因为=，所以FM∥EC，EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD.即点F满足=时，有EC∥平面FBD.【加固训练】如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=.(1)求三棱锥A-PCD的体积.(2)问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】(1)取CD的中点G，连接AG，因为CD=2AB，AB∥CD，所以AB ∥GC，AB=GC，所以四边形AGCB为平行四边形，所以∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，因为AG=BC=1，DG=CD=1，所以AD==，所以PD2=3=PA2+AD2，所以∠PAD=90°，即PA⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD，因为S△ACD=CD·AG=1，所以V A-PCD=V P-ACD=S△ACD·PA=×1×1=.(2)棱PB上存在点E，当=时，PD∥平面ACE.证明如下：连接BD交AC于点O，连接OE.因为AB∥CD，CD=2AB，所以==，所以=，又=，所以=，所以OE∥DP，又OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，所以PD∥平面ACE.关闭Word文档返回原板块。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 三 1.2.1 Word版含解析
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课时巩固过关练三
函数的图象与性质
(分钟分)
一、选择题(每小题分,共分)
.(·合肥一模)函数的定义域是( )
.[)∪(,]
.()∪(,)
.[)∪(]
.()∪()
【解析】选.⇔
⇔⇔
即≤<或<≤.所以的定义域为[)∪(,].
.(·福州一模)(≤≤)的最大值为( )
.
【解析】选.令()()(),而且≤≤,由此可得函数()的最大
值为,故(≤≤)的最大值为.
.(·承德二模)若°,则的大小关系是 ( )
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【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与的大小得答案.
【解析】选.因为><°,所以<<.
.(·宝鸡一模)下列函数中,在区间(∞)上为增函数的是 ( )
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【解析】选在区间(∞)上为减函数是减函数,在()上是减函数,在(∞)上为增函数()在区间(∞)上为增函数,所以不符合题意.
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届高三数学二轮复习1.2.1函数的图象与性质课时巩固过关练理新人教版【含答案】
课时巩固过关练三函数的图象与性质(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2016·合肥一模)函数y=的定义域是( )A.[-,-1)∪(1,]B.(-,-1)∪(1,)C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)【解析】选A.⇔⇔⇔即:-≤x<-1或1<x≤.所以y=的定义域为[-,-1)∪(1,].2.(2016·福州一模)(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.C.3D.【解析】选B.令f(a)=(3-a)(a+6)=-+,而且-6≤a≤3,由此可得函数f(a)的最大值为,故(-6≤a≤3)的最大值为=.3.(2016·承德二模)若a=ln2,b=5-0.5,c=sin30°,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与0.5的大小得答案.【解析】选C.因为a=ln2>ln=,b=5-0.5===<,c=sin30°==,所以b<c<a.4.(2016·宝鸡一模)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x-1B.y=C.y=x+D.y=ln(x+1)【解析】选D.y=x-1在区间(0,+∞)上为减函数,y=是减函数,y=x+,在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上为增函数,y=ln(x+1)在区间(0,+∞)上为增函数,所以A,B,C不符合题意.5.(2016·全国卷Ⅲ)已知a=,b=,c=2,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【解析】选 A.因为a==,c==,函数f=在上单调递增,所以<,又<,所以b<a<c.6.(2016·株洲一模)函数y=的图象大致是( )【解题导引】先由奇偶性来确定是A,B还是C,D选项中的一个,再通过对数函数,当x=1时,函数值为0,可进一步确定选项.【解析】选D.因为f(-x)=-f(x)是奇函数,所以排除A,B,当x=1时,f(x)=0排除C.7.(2016·惠州三模)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是( )A.y=-x2+1B.y=|x+1|C.y=e|x|D.y=【解析】选C.因为f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=,所以当x>0时函数f(x)为增函数,则在(-2,0)上,f(x)为减函数,A.在(-2,0)上,y=-x2+1为增函数,不满足条件.B.y=|x+1|在(-∞,-1)上是减函数,在(-2,0)上不单调,不满足条件.C.y=e│x│在(-2,0)上是单调递减函数,满足条件.D.当x<0时,f(x)=x3+1是增函数,不满足条件.8.(2016·揭阳二模)已知函数f(x)=则不等式f(x)>1的解集为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(0,2)【解析】选C.画出函数f(x)的图象,如图,由log2x=1,得x=2,由2-x=1,得x=0,所以,由图可得不等式f(x)>1的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).9.(2016·合肥一模)已知f(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)>0的解集为(a2,b),g(x)>0的解集为,且a2<,则f(x)g(x)>0的解集为( )A.∪B.∪C.∪(a2,b)D.(-b,-a2)∪【解题导引】根据函数奇偶性的性质,求出不等式f(x)<0和g(x)<0的解集,进行求解即可. 【解析】选A.因为f(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)>0的解集为(a2,b),g(x)>0的解集为,且a2<,所以f(x)<0的解集为(-b,-a2),g(x)<0的解集为,则不等式f(x)g(x)>0等价为或即a2<x<或-<x<-a2,故不等式的解集为∪.10.(2016·佛山一模)已知函数f(x)=xln(e2x+1)-x2+1,f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2【解析】选B.因为f(x)+f(-x)=xln(e2x+1)-x2+1+[-xln(e-2x+1)-(-x)2+1]=x[ln(e2x+1)-ln(e-2x+1)]-2x2+2=xln-2x2+2=xlne2x-2x2+2=2x2-2x2+2=2,所以f(a)+f(-a)=2.因为f(a)=2,所以f(-a)=2-f(a)=0.11.(2016·长沙二模)偶函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为奇函数，且f(1)=1，则f(89)+f(90)为( )A.-2B.-1C.0D.1【解题导引】根据函数的奇偶性的性质，得到f(x+8)=f(x)，即可得到结论.【解析】选D.因为f(x+2)为奇函数，所以f(-x+2)=-f(x+2)，因为f(x)是偶函数，所以f(-x+2)=-f(x+2)=f(x-2)，即-f(x+4)=f(x)，则f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即函数f(x)是周期为8的周期函数，则f(89)=f(88+1)=f(1)=1，f(90)=f(88+2)=f(2)，由-f(x+4)=f(x)，得当x=-2时，-f(2)=f(-2)=f(2)，则f(2)=0，故f(89)+f(90)=1+0=1.12.(2016·深圳二模)已知函数f(x)=则关于m的不等式f<ln-2的解集为( )A. B.(0,2)C.∪D.(-2,0)∪(0,2)【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,因为x>0时,-x<0,f(-x)=-lnx-x=f(x),同理:x<0时,f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=-ln2-2=ln-2,所以当m>0时,由f<ln-2,得f<f(2),所以>2,解得0<m<.根据偶函数的性质知当m<0时,得-<m<0.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2016·厦门一模)已知函数f(x)=则f(ln3)=________.【解析】因为1<ln3<2,所以2<ln3+1<3,由分段函数的表达式可知,f(ln3)=f(1+ln3)=f(ln(3e))=e ln3e=×3e=e.答案:e14.(2016·邯郸一模)已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于y轴对称,则f(x)=kx+b的图象关于__________对称.【解析】f(x)=ax2+bx+c的图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以b=0,所以f(x)=kx+b=kx,为奇函数,所以图象关于原点对称.答案:原点15.(2016·汕头一模)已知f(x)是定义域为R的单调递减的奇函数,若f(3x+1)+f(1)≥0,则x的取值范围是________.【解析】f(x)是单调递减的奇函数,因为f(3x+1)+f(1)≥0,所以f(3x+1)≥-f(1),又因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以-f(1)=f(-1),f(3x+1)≥f(-1),所以3x+1≤-1,x≤-.答案:x≤-16.(2016·衡阳一模)已知f(x)=若不等式f(x-2)≥f(x)对一切x∈R 恒成立,则a的最大值为________.【解析】因为不等式f(x-2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,所以若x≤0,则x-2≤-2.则不等式f(x-2)≥f(x)等价为:-2(x-2)≥-2x,即4≥0,此时不等式恒成立,若0<x≤2,则x-2≤0,则不等式f(x-2)≥f(x)等价为,-2(x-2)≥ax2+x,即ax2≤4-3x,则a≤=-,设h(x)=-=4-,因为0<x≤2,所以≥,则h(x)≥-,所以此时a≤-,若x>2,则x-2>0,则f(x-2)≥f(x)等价为a(x-2)2+(x-2)≥ax2+x,即4a(1-x)≥2,因为x>2,所以-x<-2,1-x<-1,则4a≤=-,即2a≤-,则g(x)=-在x>2时,为增函数,所以g(x)>g(2)=-1,即2a≤-1,则a≤-,故a的最大值为-.答案:-(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列函数,在其定义域内,既是减函数又是奇函数的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=log22-x【解析】选D.对于选项A,y=的图象不关于原点对称,不是奇函数,所以该选项错误; 对于选项B,y=的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,不是奇函数,所以该选项错误; 对于选项C,y=2x的图象不关于原点对称,不是奇函数,所以该选项错误;对于选项D,y=log22-x=-x,所以该函数为奇函数且为减函数,即该选项正确.2.已知函数f(x)=则f(log29)的值为( )A.9B.C.D.【解析】选D.log29>log28=3,所以f(log29)=f(log29-1)=f(log29-3)===.3.设a=2-2,b=30.5,c=log25,则a,b,c的大小关系为( )A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c【解析】选D.因为a=2-2=,1=30<b=30.5=<2,c=log25>log24=2,所以a<b<c.4.函数f(x)=(0<a<1)图象的大致形状是( )【解析】选C.特殊值法.取a=,当x=2时,f(2)=-1<0,排除A,B;当x=-2时,f(-2)=1>0,排除D.5.已知函数f1(x)=;f2(x)=(x-1)·;f3(x)=log a(x+)(a>0,a≠1);f4(x)=x·(x≠0),下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是( )A.都是偶函数B.一个奇函数,一个偶函数,两个非奇非偶函数C.一个奇函数,两个偶函数,一个非奇非偶函数D.一个奇函数,三个偶函数【解析】选C.对于函数f1(x)=可知:1-x2>0,│x2-2│≠2,它的定义域为(-1,0)∪(0,1),f1(-x)=f1(x),故f1(x)为偶函数.对于函数f2(x)=(x-1)·的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),它的定义域不关于原点对称,故函数f2(x)没有奇偶性.对于函数f3(x)=log a(x+)(a>0,a≠1),它的定义域为R,f3(-x)=log a(-x+)=log a=-log a(x+)=-f3(x),故函数f3(x)为奇函数.对于函数f4(x)=x·(x≠0),它的定义域为{x|x≠0},因为f4(-x)=-x·=-x·=x·=x·=x·=x·=f4(x),故f4(x)为偶函数.6.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)= ( )A.2B.-2C.-98D.98【解析】选B.因为f(x+4)=f(x),所以函数的周期是4,因为f(x)在R上是奇函数,且当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,所以f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)=-2.7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(f(-7))=( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2【解析】选D.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x+1),因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1),所以g(x)=-log2(-x+1)(x<0),所以f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3,所以g(-3)=-log2(3+1)=-2.8.一天,小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯,桶和玻璃杯的形状都是圆柱形,桶口的半径是杯口半径的2倍,其主视图如图所示.小亮决定做个试验:把塑料桶和玻璃杯看作一个容器,对准杯口匀速注水,注水过程中杯子始终竖直放置,则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )【解析】选 C.向玻璃杯内匀速注水,水面逐渐升高,当玻璃杯中水满时,开始向塑料桶内流,这时水位高度不变,因为杯子和桶底面半径比是1∶2,则底面积的比为1∶4,在高度相同情况下体积比为1∶4,杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3,所以高度不变时,杯外注水时间是杯内注水时间的3倍,当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后,继续注水,水面高度再升高,升高的速度开始慢.9.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】选D.因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)的周期为8,所以f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1),又因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-25)<f(80)<f(11).10.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,有>-1,且f(1)=1,则不等式f(log2│3x-1│)<2-log2│3x-1│的解集为( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,0)∪(0,1)【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,有>-1,即>0,故函数R(x)=f(x)+x是R上的增函数,由不等式f(log2│3x-1│)<2-log2│3x-1│,可得f(log2│3x-1│)+log2│3x-1│<2=f(1)+1,所以log2│3x-1│<1,故-2<3x-1<2,且3x-1≠0,求得3x<3,且x≠0.解得x<1,且x≠0.11.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c 的取值范围是( )A.(1,2016)B.(1,2017)C.(2,2017)D.[2,2017]【解析】选C.因为0≤x≤1,所以sinπx∈[0,1],且x∈[0,]时,函数f(x)=sinπx单调递增,函数值由0增加到1;x∈[,1]时,函数f(x)=sinπx单调递减,函数值由1减少到0;x>1,所以log2016x>0,且函数f(x)=log2016x单调递增,log20162016=1.不妨设0<a<b<c,因为f(a)=f(b)=f(c),所以a+b=1,2016>c>1,所以a+b+c的取值范围是(2,2017).12.定义:若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换T是f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中T不属于f(x)的同值变换的是( )A.f(x)=(x-1)2,T是将函数f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)=2x-1-1,T是将函数f(x)的图象关于x轴对称C.f(x)=2x+3,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称D.f(x)=sin,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称【解析】选B.对于A:T是将函数f(x)的图象关于y轴对称,此变换不改变函数的值域,故T 属于f(x)的同值变换;对于B:f(x)=2x-1-1,其值域为(-1,+∞),将函数f(x)的图象关于x轴对称,得到的函数解析式是y=-2x-1+1,值域为(-∞,1),T不属于f(x)的同值变换;对于C:f(x)=2x+3,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,得到的函数解析式是2-y=2(-2-x)+3,即y=2x+3,它们是同一个函数,故T属于f(x)的同值变换;对于D:f(x)=sin,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,得到的函数解析式是y=-sin(-2-x+),它们的值域都为[-1,1],故T属于f(x)的同值变换.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f+f(1)=__________.【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f=f=f=-f,因为x∈(0,1)时,f(x)=4x,所以f=-2,因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(-1)=f(1),f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f+f(1)=-2.答案:-214.下列四个函数中:①y=-;②y=log2(x+1);③y=-;④y=,在(0,+∞)上为减函数的是________(填上所有正确选项的序号).【解析】因为函数y=在(0,+∞)上为增函数,所以函数y=-为减函数;又因为y=log2x在(0,+∞)上为增函数,所以函数y=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数;又因为函数y=在(0,+∞)上为减函数,所以函数y=-在(0,+∞)上为增函数,函数y=-在(0,+∞)上为增函数;因为函数y=在R上为减函数,所以函数y=在(0,+∞)上为减函数.所以只有①④符合题设要求.答案:①④15.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2016)的值为__________.【解析】由题意得:f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,…所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2016)=f(6)=0.答案:016.若函数f(x)=g(x)=f(x)+ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a=________.【解析】因为f(x)=所以g(x)=f(x)+ax=因为g(x)=为偶函数,所以g(-1)=g(1),即-a-1=1+a-1=a,所以2a=-1,所以a=-.答案:-。
高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练 十三 1.5.2 Word版含解析
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课时巩固过关练十三
点、直线、平面之间的位置关系
(分钟分)
一、选择题(每小题分，共分)
.(·资阳三模)设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是( )
.若α∥β，∥α，∥β，则∥
.若α⊥β，⊥α，∥β，则⊥
.若∥α，∥α，∥β，∥β，⊥，则α∥β
.若⊥α，⊂β，⊥，则α⊥β
【解析】选.在长方体′′′′中，
()令平面为平面α，平面′′′′为平面β，′′为直线，为直线，显然α∥β，∥α，∥β，但与不平行.故错误.
()令平面为平面α，平面′′为平面β，直线′为直线，直线′为直线，
显然α⊥β，⊥α，∥β，∥.故错误.
()令平面为平面α，平面′′′′为平面β，直线′为直线，直线′′为直线，
显然⊥α，⊂β，⊥，但α∥β.故错误.
.(·石家庄二模)设，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若⊂α，∥α，则∥；
②若α∥β，β∥γ，⊥α，则⊥γ；
③若α∩β，∥，则∥α且∥β；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中真命题的个数是( )
【解析】选.①若∥α，则α内的直线可能与平行，也可能与异面，故①错误；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若⊥α，则⊥γ，故②正确；
③若⊂α，显然结论错误；
④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误.
.(·南昌二模)将图中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到四面体(如图)，则在四面体中，与的位置关系是( )。
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练三1.2.1含解析
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[-√2,-1）∪（1，√2] B 。
(—√3，-1）∪(1，√2) C 。
[—2,—1）∪(1，2] D 。
(-2,—1)∪（1，2) 【解析】选A 。
{x 2−1>0,log 0.5(x 2−1)≥0,⇔{x 2>1,x 2−1≤1,⇔{x 2>1,x 2≤2,⇔{x >1或x <−1,−√2≤x ≤√2,即：—√2≤x<—1或1<x ≤√2.所以y=√l og 0.5(x 2−1)的定义域为[—√2,—1）∪（1,√2］.2.（2016·福州一模）√(3−a)(a +6)(-6≤a ≤3）的最大值为 ( ）A 。
9 B.92 C.3 D.3√22【解析】选B 。
令f （a ）=(3-a)(a+6）=-(a +32)2+814,而且—6≤a ≤3,由此可得函数f （a)的最大值为814,故√(3−a)(a +6)（-6≤a ≤3）的最大值为√814=92.3。
(2016·承德二模)若a=ln2，b=5—0.5,c=sin30°，则a，b,c的大小关系是（)A.a〈b〈c B。
b〈a<cC。
b〈c〈a D.c〈b<a【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与0。
5的大小得答案.【解析】选C。
因为a=ln2〉ln√e=12，b=5-0。
5=√5=√55=√15〈12，c=sin30°=1 2=√14，所以b<c<a。
4。
(2016·宝鸡一模）下列函数中,在区间（0,+∞）上为增函数的是（)A。
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课时巩固过关练十五1.6.1Word版含解析
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课时巩固过关练十五直线与圆(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·衡水一模)已知圆x2+y2+mx-=0与抛物线y=x2的准线相切,则m=( ) A.±2 B.± C. D.【解析】选B.抛物线的准线为y=-1,将圆化为标准方程+y2=,圆心到直线的距离为1=⇒m=±.2.(2016·长春一模)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.l1,l2间的距离为=.原点到l2的距离为=,所以点M到原点的距离最小值为+=3.3.(2016·承德二模)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+ (y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-【解析】选D.由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为光线与圆相切,圆心为(-3,2),所以=1.整理得12k2+25k+12=0,解得:k=-或k=-.4.(2016·湘潭二模)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R且ab≠0,则+的最小值为( ) A.1 B.3 C. D.【解析】选A.x2+y2+2ax+a2-4=0即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0即x2+(y-2b)2=1,依题意可得,两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,则=1+2=3,即a2+4b2=9,所以+==≥=1,当且仅当=,即a=±2b时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案:(x-2)2+y2=96.(2016·长沙二模)若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.【解析】由题意得直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b截得圆的弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为r=2,即==2⇒a2+b2=(2+1)2+(-2+1)2=18.答案:18三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·南昌一模)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，点A(3，5).(1)求过点A的圆的切线方程.(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.【解析】(1)由圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，配方，得(x-2)2+(y-3)2=1，圆心C(2，3).当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3)，即kx-y+5-3k=0.由d==1，得k=.又斜率不存在时直线x=3也与圆相切，故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.(2)直线OA的方程为y=x，即5x-3y=0，点C到直线OA的距离为d==，又|OA|==，所以S=|OA|d=.8.(2016·洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图所示,|AB|=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,所以圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,所以|AD|=2,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).在Rt△ACD中,可得|CD|=2.若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0. 由点C到直线AB的距离公式:=2,得k=.故直线l的方程为3x-4y+20=0.直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0,所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.【误区警示】在本题(1)的求解中不可忽视直线l斜率的存在性,在由距离公式求出一个k时应考虑直线斜率不存在的情况,否则会造成漏解.【加固训练】(2016·新乡二模)已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.(1)求圆O的方程.(2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求·的取值范围.【解析】(1)圆M的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心M(1,1),半径R=2.圆O的圆心为O(0,0),因为|MO|=<2,所以点O在圆M内,故圆O只能内切于圆M.设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M,所以|MO|=R-r,即=2-r,解得r=.所以圆O的方程为x2+y2=2.(2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由解得或故E(-,0),F(,0).设D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,得|DE|·|DF|=|DO|2,即·=x2+y2,整理得x2-y2=1.而=(--x,-y),=(-x,-y),所以·=(--x)(-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1.由于点D在圆O内,故有得y2<,所以-1≤2y2-1<0,即·∈[-1,0).(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.直线l1:ax-y-3=0,l2:2x+by+c=0,则ab=-2是l1∥l2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当ab=-2且c=3时,l1与l2重合,而l1∥l2时一定有ab-2×(-1)=0,即ab=-2,所以ab=-2是l1∥l2的必要不充分条件.【加固训练】设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,则直线b2x+y=0与直线x-a2y=0的位置关系是( )A.平行B.相交且垂直C.相交但不垂直D.重合【解析】选B.由题意知两直线都经过点(0,0),因为a⊥b,所以a·b=a+b=0,所以a=-b,由于直线b2x+y=0的斜率为-b2,直线x-a2y=0的斜率为,则(-b2)·=-1,故两直线垂直.2.已知直线l:x·cosα+y·sinα=2(α∈R),圆C:x2+y2+2cosθ·x+2sin θ·y=0(θ∈R),则直线l与圆C的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相离【解析】选D.x2+y2+2cosθ·x+2sinθ·y=(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1,所以圆的圆心坐标为(-cosθ,-sinθ),半径为1,则直线到圆心的距离为d==|2+cos(α-θ)|∈[1,3],所以直线l与圆C的位置关系是相切或相离.3.命题p:0<r<4,命题q:圆(x-3)2+(y-5)2=r2(r>0)上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则q是p的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题导引】先求出圆心到直线的距离,因为到直线4x-3y=2的距离等于1有两条,数形结合可得答案.【解析】选A.因为圆心(3,5)到直线4x-3y=2的距离等于1,所以圆(x-3)2+(y-5)2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,0<r<2,所以q是p充分不必要条件.【加固训练】动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C 与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积( )A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π【解析】选D.由题意圆C的圆心在以F为焦点,以x=-1为准线的抛物线上,抛物线方程为y2=4x.因为与直线y=x+2+1总有公共点,所以圆C的面积有最小值,最小半径为抛物线上的点到直线的距离的最小值.设与直线y=x+2+1平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+t,由得y2-4y+4t=0,由Δ=0得t=1.所以直线y=x+1与y=x+2+1间的距离=2即为最小半径. 所以圆C的最小面积为4π.4.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且有|+|≥||,则k的取值范围是( )A.(,+∞)B.[,2)C.[,+∞)D.[,2)【解析】选B.由已知得圆心到直线的距离小于半径,即<2,由k>0得0<k<2. ①如图,又由|+|≥||得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥,因为|OB|=2,所以|OM|≥1,故≥1⇒k≥, ②综合①②得≤k<2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知直线x+y-a=0与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|2-3|=|2+3|,则实数a的值为________.【解析】由|2-3|=|2+3|得·=0,即OA⊥OB,则直线x+y-a=0过圆x2+y2=2与x轴、y轴正半轴或负半轴的交点,故a=±.答案:±【加固训练】已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是________.【解析】依题意,设所求直线l1的方程是3x+4y+b=0,则由直线l1与圆x2+(y+1)2=1相切,可得圆心(0,-1)到直线3x+4y+b=0的距离为1,即有=1,解得b=-1或b=9.因此,直线l1的方程是3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.答案:3x+4y-1=0或3x+4y+9=06.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且=6,则圆C的方程为________.【解题导引】先求圆心坐标,再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,最后根据勾股定理求圆的半径.【解析】设所求圆的半径为r,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则圆C 的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1, 故圆C的方程是x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=10【加固训练】已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是________.【解析】依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是-+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2×=3+.答案:3+三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知半径为2,圆心在直线y=-x+2上的圆C.(1)当圆C经过点A(2,2),且与y轴相切时,求圆C的方程.(2)已知E(1,1),F(1,-3),若圆C上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圆心的横坐标a的取值范围.【解析】(1)因为圆心在直线y=-x+2上,半径为2,所以可设圆的方程为(x-a)2+[y-(-a+2)]2=4,其圆心坐标为(a,-a+2).因为圆C经过点A(2,2),且与y轴相切,所以有解得a=2,所以圆C的方程是(x-2)2+y2=4.(2)设Q(x,y),由|QF|2-|QE|2=32,得(x-1)2+(y+3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32,解得y=3,所以点Q在直线y=3上.又因为点Q在圆C:(x-a)2+[y-(-a+2)]2=4上,所以圆C与直线y=3必须有公共点.因为圆C的圆心的纵坐标为-a+2,半径为2,所以圆C与直线y=3有公共点的充要条件是1≤-a+2≤5,即-3≤a≤1.所以圆心的横坐标a的取值范围是[-3,1].8.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H.(1)若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程.(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值范围. 【解析】(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为=,☉H的方程为x2+(y-3)2=10.设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被☉H截得的弦长为2,所以d==3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=,直线l的方程为4x-3y-6=0.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),因为点M是线段PN的中点,所以M,又M,N都在半径为r的☉C上,所以即因为此关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,故r2≤且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对∀m∈[0,1]成立,即r2<.故☉C的半径r的取值范围为.【加固训练】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】方法一:(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,所以·k AB=-1,即·=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点),且E,F,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与圆C相切时,由=得k=±,又k DE=-k DF=-=,结合上图可知当k∈∪[-,]时,直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.方法二:(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为C1(3,0).(2)设M(x,y),因为A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB 的中点,所以由圆的性质知:MC1⊥MO,所以·=0.又因为=(3-x,-y),=(-x,-y),所以由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx,当直线l与圆C1相切时,d==2,解得m=±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,所以<x≤3.所以点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.(3)由题意知直线l表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线l的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,其中<x≤3,化简得(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2=0,其中<x≤3,记f(x)=(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2,其中<x≤3.若直线l与曲线C只有一个交点,令f(x)=0.当Δ=0时,解得k2=,即k=±,此时方程可化为25x2-120x+144=0,即(5x-12)2=0,解得x=∈,所以k=±满足条件.当Δ>0时,①若x=3是方程的解,则f(3)=0⇒k=0⇒另一根为x=0<,故在区间上有且仅有一个根,满足题意.②若x=是方程的解,则f=0⇒k=±⇒另外一根为x=,<≤3,故在区间上有且仅有一个根,满足题意.③若x=3和x=均不是方程的解,则方程在区间上有且仅有一个根,只需f·f(3)<0⇒-<k<.故在区间上有且仅有一个根,满足题意.综上所述,k的取值范围是-≤k≤或k=±.关闭Word文档返回原板块。
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练一1.1.1含解析
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课时巩固过关练一集合、常用逻辑用语(40分钟80分)一、选择题(每小题5分，共60分)1。
（2016·天津高考)已知集合A=｛1,2,3，4},B=｛y|y=3x—2，x∈A｝,则A∩B=( ）A.{1} B.｛4} C.{1，3｝ D.｛1,4}【解析】选D.因为A={1,2,3,4},B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4}。
【加固训练】（2016·邯郸一模)已知集合A={x｜x2-5x+6≤0｝，B={x｜2x-1〉3},则集合A∩B= （)A。
{x|2≤x≤3｝B。
｛x｜2≤x〈3｝C。
{x｜2〈x≤3｝D。
{x｜-1<x〈3}【解析】选C.已知集合A=｛x|x2-5x+6≤0｝=｛x｜2≤x≤3},集合B=｛x|2x—1>3}={x|x>2},则集合A∩B={x｜2<x≤3}.2。
（2016·长春一模）设p,q是两个命题，若(p∨q）是真命题，那么( )A。
p是真命题且q是假命题B。
p是真命题且q是真命题C。
p是假命题且q是真命题D.p是假命题且q是假命题【解析】选D.因为(p∨q)是真命题,则p∨q为假命题，因此p是假命题且q是假命题.3.(2016·山东高考)设集合A={y｜y=2x,x∈R｝，B={x|x2-1〈0｝，则A ∪B= ( )A.(—1,1)B.(0，1）C.（-1，+∞）D。
（0，+∞)【解析】选C。
因为A={y|y=2x,x∈R｝，B={x|x2-1<0}，所以集合A 表示大于0的实数,而集合B表示在-1与1之间的实数，所以A∪B=（-1，+∞)。
【加固训练】(2016·广州一模）若全集U=R,集合A={x|0<x<2｝,B={x｜x—1>0｝，则A∩UB= （）A。
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练十1.4.1含解析
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关闭Word文档返回原板块.课时巩固过关练十等差数列、等比数列(35分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1。
（2016·太原二模)已知等差数列｛a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列，则a6等于( ）A.-2 B。
—4 C.0 D。
2【解析】选D。
由题意（a1+4）2=a1（a1+6),解得a1=—8，所以a6=—8+2×5=2.【加固训练】（2016·承德二模）在等比数列｛a n｝中，若公比q=4,S3=21,则该数列的通项公式a n= （)A。
4n-1 B.4n C.3n D。
3n—1【解析】选A.设等比数列｛a n}的首项为a1,=21,由公比q=4,S3=21得，a1(1−43)1−4所以a1=1，则a n=4n-1.2.(2016·襄阳一模)在等差数列{a n}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于( ）A。
290 B。
300 C.580 D.600【解析】选B。
由a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87得,a1+a20=30,所以S20=20×(a1+a20)=300。
23.（2016·湛江一模)已知数列｛a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列,则数列{a｝是( ）b nA.公差为5的等差数列B.公差为6的等差数列C。
公比为6的等比数列 D.公比为8的等比数列【解析】选D。
由数列｛a n}是公比为2的等比数列,可得a n=a1·2n—1。
由数列{b n｝是公差为3且各项均为正整数的等差数列,所以b n+1—b n=3，｝是公比为8的等比数列。
所以数列｛ab n4.(2016·福州一模)若a，b是函数f(x)=x2—px+q(p〉0，q〉0）的两个不同的零点,且a，b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ）A。
2017届高三数学二轮复习 坐标系与参数方程课时巩固过关练 理 新人教版
课时巩固过关练二十一坐标系与参数方程(建议用时:30分钟)1.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程.(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l 的斜率.【解析】(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)由题意可得直线过原点且斜率存在.记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知:=,即=,整理得k2=,则k=±.【加固训练】(2016·合肥二模)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsinθ+ρcosθ=m.(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系.(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆;直线l的直角坐标方程为:x+y=0,圆心C到直线l的距离d===r,所以直线l与圆C相切.(2)由已知可得:圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.2.(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)由得+y2=1.(2)由题意,可设点P的直角坐标为,因为C2是直线,所以的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.【加固训练】(2016·哈尔滨一模)在直角坐标系xOy中,直线l的方程是y=8,圆C的参数方程是(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和圆C的极坐标方程.(2)射线OM:θ=α与圆C交于O,P两点,与直线l交于点M,射线ON:θ=α+与圆C交于O,Q两点,与直线l交于点N,求·的最大值.【解析】(1)直线l的极坐标方程是ρsinθ=8.圆C的普通方程是x2+(y-2)2=4,所以圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ.(2)依题意得,点P,M的极坐标分别为和所以|OP|=4sinα,|OM|=,从而==.同理,=.所以·=·=,故当α=时,·的值最大,该最大值是.3.(2016·安庆二模)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.【解析】(1)当α=时,直线l的普通方程为x=-1;当α≠时,直线l的普通方程为y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=-,故直线l倾斜角α为或.【加固训练】(2016·郑州二模)平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.以O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.【解析】(1)曲线C的普通方程为:(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x,即ρ2=2ρcosθ,即曲线C的极坐标方程为:ρ=2cosθ.直线l的参数方程为(t为参数).(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,得t2+(m-)t+m2-2m=0.所以t1t2=m2-2m,由题意得|m2-2m|=1,得m=1,1+或1-.4.(2016·武汉二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos(a>0).(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π).(2)若直线l与C2相切,求a的值.【解析】(1)曲线C1的普通方程为y=x2,x∈[-,],直线l的普通方程为x+y=2,联立解得或(舍去),故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为.(2)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax-2ay=0,即(x+a)2+(y-a)2=2a2(a>0),由直线l与C2相切,得=a,故a=1.(建议用时:30分钟)1.已知参数方程为(t为参数)的直线l经过椭圆+y2=1的左焦点F1,且交y轴正半轴于点C,与椭圆交于两点A,B(点A位于点C上方).(1)求点C对应的参数t C(用θ表示).(2)若|F1B|=|AC|,求直线l的倾斜角θ的值.【解析】(1)在椭圆+y2=1中,因为a2=3,b2=1,所以c==,即F1(-,0),故x0=-,在直线l的参数方程中,令x=0,解得t C=.(2)方法一:把代入椭圆方程,并整理得:(1+2sin2θ)t2-2tcosθ-1=0,设点A,B对应的参数为t A,t B,由|F1B|=|AC|结合参数t的几何意义得:t A+t B=t C,即=,解得sin2θ=,依题意知θ∈,所以θ=.方法二:设A,B两点的横坐标分别为x A,x B,将直线l的普通方程y=tanθ(x+)代入椭圆方程并整理得:(1+3tan2θ)x2+6tan2θx+6tan2θ-3=0,则x A+x B=-,因为|F1B|=,|AC|=,所以x A+x B=-=-,解得tanθ=±,依题意知θ∈,得θ=.2.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程.(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上点(x,y).依题意,得即由+=1,得+=1,即曲线Γ的方程为+=1.故Γ的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为.所求直线的斜率k=,于是所求直线方程为y-=(x-1),即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,得4ρcosθ-6ρsinθ+5=0.3.已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程.(2)求C1与C2交点所在直线的极坐标方程.【解析】(1)由消去θ得:(x-3)2+(y-4)2=16,即x2+y2-6x-8y+9=0,将x=ρcosφ,y=ρsinφ代入得极坐标方程为ρ2-6ρcosφ-8ρsinφ+9=0.(2)由ρ=4sinθ得C2的普通方程为:x2+y2-4y=0,由得:6x+4y-9=0,所以C1,C2的交点所在直线的方程为6x+4y-9=0,所以其极坐标方程为:6ρcosθ+4ρsinθ-9=0.4.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)判断曲线C1与曲线C2的位置关系.(2)设点M(x,y)为曲线C2上任意一点,求2x+y的最大值.【解析】(1)消去t得C1的方程为x+y-1=0.由ρ=2cos得ρ=cosθ-sinθ,所以ρ2=ρcosθ-ρsinθ,即x2-x+y2+y=0,化为标准方程为+=1,所以d==<1,故曲线C1与曲线C2相交.(2)由M(x,y)为曲线C2上任意一点,可设则2x+y=+2cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),所以2x+y的最大值是+.【加固训练】已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10. 曲线C1:(α为参数).(1)求曲线C1的普通方程.(2)若点M在曲线C1上运动,试求出M到曲线C的距离的最小值. 【解析】(1)曲线C1的普通方程是:+=1.(2)曲线C的普通方程是:x+2y-10=0,设点M(3cosα,2sinα),由点到直线的距离公式得d==|5cos(α-φ)-10|,其中cosφ=,sinφ=,所以α-φ=0时,d min=,此时M.。
2017届高三数学二轮复习 1.3.1 三角函数的图象与性质课时巩固过关练 理 新人教版
课时巩固过关练八三角函数的图象与性质(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·太原一模)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)的单调递增区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选D.根据已知得=π,得ω=2.由不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).2.(2016·郑州一模)将函数y=sin(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图象的解析式为( )A.y=sin(x∈R)B.y=sin(x∈R)C.y=sin(x∈R)D.y=sin(x∈R)【解析】选B.原函数图象向左平移个单位后得y=sin=sin(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y=sin(x∈R)的图象.3.(2016·山东高考)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是( ) A. B.π C. D.2π【解析】选B.f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=3sinxcosx-sin2x+cos2x-sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin.所以,最小正周期是π.4.(2016·成都一模)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称,则实数a的值为( )A.-B.-C.D.【解题导引】由函数图象的对称性可知,函数在x=时取得最值,利用f=±确定a的值.【解析】选 B.由函数f(x)=sinx+acosx的图象关于直线x=对称,可知f=±,可求得a=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·哈尔滨一模)函数y=sinx+cosx,x∈的单调递增区间是_____.【解析】因为y=sinx+cosx=sin,所以函数的单调递增区间为(k∈Z),又x∈,所以单调递增区间为.答案:6.(2016·浙江高考)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+ )+b(A>0),则A=________,b=________. 【解析】2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,所以A=,b=1.答案: 1三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=4tanxsin cos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期.(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【解析】f=4tanxsin cos-=4sinx-=sin2x+-=sin2x-cos2x=2sin.(1)定义域,最小正周期T==π.(2)-≤x≤,-≤2x-≤,设t=2x-,因为y=sint在t∈时单调递减,在t∈时单调递增.由-≤2x-≤-,解得-≤x≤-,由-≤2x-≤,解得-≤x≤,所以函数f在上单调递增,在上单调递减.【加固训练】已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.8.(2016·丹东一模)已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A,B,ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.(1)求f(x)的解析式.(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)因为f(x)=sin(ωx+ϕ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π. 又当x=时,f(x)max=2,知π+ϕ=2kπ+(k∈Z),即ϕ=2kπ+(k∈Z),所以f(x)=2sin=2sin(k∈Z).故f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z),由≤k+≤,解得≤k≤.又k∈Z,知k=5,由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知直线x=和点恰好是函数f(x)=sin(ωx+ϕ)图象的相邻的对称轴和对称中心,则ω,ϕ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,D.4,【解析】选B.由题意可知,=-=,T=π=,所以ω=2.又因为sin=0,所以ϕ=kπ-,k∈Z,当k=0时,ϕ=-.2.已知函数f(x)=sin(2x+α)在x=时有极大值，且f(x-β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.，-B.，C.，-D.，【解析】选D.依题意得2×+α=2k1π+，k1∈Z，即α=2k1π+，k1∈Z，因此选项A，B均不正确；由f(x-β)是奇函数得f(-x-β)=-f(x-β)，即f(-x-β)+f(x-β)=0，函数f(x)的图象关于点(-β，0)对称，f(-β)=0，sin(-2β+α)=0，sin(2β-α)=0，2β-α=k2π，k2∈Z，结合选项C，D，则α=得β=+，k2∈Z.3.同时具有性质“周期为π,图象关于直线x=对称,在上是增函数”的函数是( )A.y=sinB.y=cosC.y=cosD.y=sin【解析】选A.因为周期为π,所以ω=2,排除选项D.图象关于x=对称,即函数在x=处取得最值,排除选项C.又x∈,所以2x-∈,则函数y=sin在上为增函数.4.已知函数f(x)=2sin,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是( )A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解题导引】利用函数f(x)=2sin的单调性结合诱导公式进行比较大小.【解析】选B.f(x)=2sin=2sin,a=f=2sin,b=f=2sin,c=f=2sin=2sin,因为y=sinx在上单调递增,且0<<<,所以sin<sin<sin,即c<a<b.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间上是减函数,则a的最大值是________.【解题导引】将函数f(x)=cos2x+asinx化为关于sinx的二次函数的形式,结合图象求解. 【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈,则t∈,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合抛物线图象可知,≤,所以a≤2.所以a的最大值是2.答案:26.已知函数f(x)=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ-sin(0<ϕ<π),将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象,且g=,则ϕ=________.【解析】因为f(x)=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ-sin=sin2xsinϕ+cosϕ-cosϕ=sin2xsinϕ+cos2xcosϕ=cos(2x-ϕ),所以g(x)=cos=cos.因为g=,所以2×+-ϕ=2kπ(k∈Z),即ϕ=-2kπ(k∈Z).因为0<ϕ<π,所以ϕ=.答案:三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间. 【解析】因为由f(x)的最小正周期为π，则T==π，所以ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ)，展开整理得sin2xcosφ=0，由已知上式对∀x∈R都成立，所以cosφ=0，因为0<φ<，所以φ=.(2)f(x)的图象过点时，sin=，即sin=.又因为0<φ<，所以<+φ<π.所以+φ=，φ=.所以f(x)=sin.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 【加固训练】已知函数f(x)=sinωx+cos2-,ω>0.(1)若ω=1,求f(x)的单调递增区间.(2)若f=1,求f(x)的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.【解析】(1)当ω=1时,f(x)=sinx+cos2-=sinx+cosx=sin.令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z.解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由f(x)=sinωx+cos2-=sinωx+cosωx=sin.因为f=1,所以sin=1.则+=2nπ+,n∈Z.解得ω=6n+,n∈Z.又因为函数f(x)的最小正周期T==,n∈Z,且ω>0,所以当ω=时,T的最大值为4π.8.已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值.(3)当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)=-cos-cos2x=2sin,故f(x)的最小正周期为π.(2)h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ(k∈Z),又t∈(0,π),故t=或.(3)当x∈时,2x-∈,所以f(x)∈[1,2].又|f(x)-m|<3,即f(x)-3<m<f(x)+3,所以2-3<m<1+3,即-1<m<4.。
2017届高三数学二轮复习 1.7.1 计数原理、二项式定理课时巩固过关练 理 新人教版
课时巩固过关练十八计数原理、二项式定理(35分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2016·襄阳一模)从8名女生和4名男生中，选取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的选取方法数为( )A.224B.112C.56D.28【解析】选B.根据分层抽样，从8个人中选取男生1人，女生2人，所以选取2个女生1个男生的方法：=112(种).2.(2016·三明一模)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A.12种B.20种C.40种D.60种【解析】选C.五个元素没有限制全排列数为，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列，可得有×2=40(种).3.(2016·郑州一模)设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2n x2n，则a2+a4+…+a2n的值为( )A. B. C.3n-2 D.3n【解析】选B.令x=1，得a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n=3n.①再令x=-1得，a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n=1.②令x=0得a0=1.由①+②得2(a0+a2+…+a2n)=3n+1，所以a0+a2+…+a2n=，所以a2+a4+…+a2n=-a0=-1=.4.(2016·合肥一模)(2-)8的展开式中，不含x4的项的系数的和为( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.由通项公式，可得展开式中含x4的项为T8+1=28-8(-1)8x4=x4，故含x4的项的系数为1，令x=1，得展开式的系数的和S=1，故展开式中不含x4的项的系数的和为1-1=0.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2016·福州一模)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为__________(用数字作答). 【解析】先从6行5列中选出3行3列，有=200种选法，再从这3行3列中选出符合要求的3人，有3×2×1=6种选法，所以共有200×6=1200种选法.答案：12006.(2016·济南一模)若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10，则a9=________. 【解析】x3+x10=[(x+1)-1]3+[(x+1)-1]10，因为[(x+1)-1]3的展开式中x+1的最高次幂为3，故其展开式中没有含(x+1)9的项；[(x+1)-1]10的展开式中，含(x+1)9的项为T2=(x+1)9×(-1)1=-10(x+1)9，其系数为-10.因为x3+x10的展开式中，(x+1)9项为-10(x+1)9，所以(x+1)9项的系数a9为-10.答案：-10三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.(2016·石家庄一模)如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？【解析】方法一：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2=24(种)涂法，然后再按B，C，F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1+1×2)=8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1+1×2)=3(种)涂法.所以，涂色方法共有24×(8+3)=264(种).方法二：按使用颜色种数分类：①三色涂完，必然两两同色，即A与C，B与E，D与F或A与F，B与D，C与E同色，有2=48(种).②四色涂完，A，D，E肯定不同色，有种涂法，再从B，F，C中选一位置涂第四色有3种，若选B，则F，C共3种涂法，所以··3=216(种).综上，涂色方法共有48+216=264(种).8.(2016·黄冈一模)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端.(2)甲、乙两人必须排在两端.(3)男女相间.【解析】(1)方法一(元素分析法)：先排甲有6种，再排其余人有种，故共有6·=241920(种)排法.方法二(位置分析法)：中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有·=336×720=241920(种)排法.方法三(等机会法)：9个人全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是×=241920(种).方法四(间接法)：-3·=6=241920(种).(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有·=10080(种)排法.(3)(插空法)先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有·=2880(种)排法.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若(1+)4=a+b(a，b为有理数)，则a+b=( )A.36B.46C.34D.44【解析】选 D.二项式的展开式为1+()1+()2+()3+()4= 1+4+18+12+9=28+16，所以a=28，b=16，所以a+b=28+16=44.2.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A.8种B.16种C.18种D.24种【解析】选A.可分三步：第一步，最后一个排商业广告有种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有种.根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有=8(种).【加固训练】现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( )A.12B.24C.36D.72【解析】选B.依题意，满足题意的不同排法种数是·(·)·=24.3.已知函数f(x)=ln(x2+1)的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为( )A.8B.9C.26D.27【解题导引】先由函数值求出相应的自变量的值，再根据函数概念确定定义域中元素个数，即可确定函数个数.【解析】选B.因为值域为{0，1，2}，即ln(x2+1)=0⇒x=0，ln(x2+1)=1⇒x=±，ln(x2+1)=2⇒x=±，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，=4，②当定义域中有4个元素时，=4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况.所以共有4+4+1=9(个)这样的函数.4.为配合国家足球战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足球学校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A.60B.120C.240D.360【解析】选D.先分配王教练有种方案，其余5人分两种情况讨论：(1)当王教练所去学校只有1人时，这5人分两组去另外两所学校，有(+)=30种方案.(2)当王教练所去学校不止1人时，这5人分三组去这三所学校有(+)=150种方案.所以分配方案共有(30+150)=360(种).【加固训练】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的种数为( )A.360B.520C.600D.720【解析】选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2=480，当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为=120，则不同的发言顺序的种数为480+120=600.二、填空题(每小题5分，共10分)5.若(x2+1)(x-2)11=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a13(x-1)13，则a1+a2+…+a13= __________.【解析】记f(x)=(x2+1)(x-2)11=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a13(x-1)13，则f(1)=a0=(12+1)(1-2)11=-2，而f(2)=(22+1)(2-2)11=a0+a1+a2+…+a13，即a0+a1+a2+…+a13=0，所以a1+a2+…+a13=2.答案：26.已知f(x)=(ax+2)6，f′(x)是f(x)的导数，若f′(x)的展开式中x的系数大于f(x)的展开式中x的系数，则a的取值范围是__________.【解题导引】分别求出f(x)和f′(x)展开式中x的系数，由此建立不等式求解a的取值范围.【解析】f(x)的展开式中x的系数是25a6-5=192a.f′(x)=6(ax+2)5(ax+2)′=6a(ax+2)5，f′(x)的展开式中x的系数是6a24a5-4=480a2.依题意得480a2>192a，解得a>或a<0.答案：a>或a<0三、解答题(7题12分，8题13分，共25分)7.某医科大学的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年志愿者医疗队.(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有=816(种).(2)只需从其他18人中选5人即可，共有=8568(种).(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有·种选法；甲、乙两人都参加，则有种选法.故共有·+=6936(种).(4)方法一(直接法)：男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女，所以共有·+·+·+·=14656(种).方法二(间接法)：由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得-(+)=14656(种).8.设f(n)=(a+b)n(n∈N*，n≥2)，若f(n)的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f(n)具有性质P.(1)求证：f(7)具有性质P.(2)若存在n≤2016，使f(n)具有性质P，求n的最大值.【解析】(1)f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7，=21，=35，因为+=2，即，，成等差数列，所以f(7)具有性质P.(2)设f(n)具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n-1，使，，成等差数列，所以+=2，整理得：4k2-4nk+(n2-n-2)=0，即(2k-n)2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442<2016+2<452，所以n的最大值为442-2=1934，此时k=989或945.。
2017届高三数学二轮复习 1.6.3 定点、定值、存在性问题课时巩固过关练 理 新人教版
课时巩固过关练十七定点、定值、存在性问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·安阳一模)如果椭圆+=1的弦AB被点M(x0,y0)平分,设直线AB的斜率为k1,直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1·k2= ( )A.4B.C.-1D.-【解析】选D.设直线AB方程为y=k1x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并整理得:(1+4)x2+8k1bx+4b2-36=0,x1+x2=,又中点M在直线上,所以=k1+b,从而得弦中点M的坐标为,所以k2==-,所以k1k2=-.2.(2016·乌鲁木齐一模)过抛物线的焦点F的直线,交抛物线于A,B两点,交准线于C点,若=2,=λ,则λ= ( )A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】选A.如图,|AF|=2|FB|,所以|AA1|=2|BB1|,所以BB1是△CAA1的中位线,所以|CB|=|AB|=3|FB|,|CF|=4|FB|,所以λ=-4.3.(2016·沈阳一模)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则·的值是( )A. -B.C.-D.不能确定【解析】选A.令点P(x0,y0),因该双曲线的渐近线分别是-y=0,+y=0,所以|PA|=,|PB|=,又cos∠APB=-cos∠AOB=-cos2∠AOx=-cos=-,所以·=|PA|·|PB|·cos∠APB=·cos∠APB=·=-.此题可以用特殊位置法解决:令P为实轴右顶点,此时||=||=,<,>=,所以·=-.4.(2016·四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM斜率的最大值为( )A. B. C. D.1【解析】选C.如图,由题可知F,设P点坐标为显然,当y0<0时,k O M<0;y0>0时,k O M>0,要求k OM的最大值,不妨设y0>0.则=+=+=+(-)=+=,k O M==≤=,当且仅当=2p2时等号成立.【加固训练】(2016·长春二模)过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( )A.10B.13C. 16D. 19【解析】选B.由题可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.答案:26.(2016·衡阳一模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,O 为坐标原点,若|OP|=|F1F2|,且|PF1|·|PF2|=a2,则该椭圆的离心率为________.【解析】由于|OP|=|F1F2|,所以点F1,F2,P三点均在以O为圆心的圆上,F1F2为直径,所以PF1⊥PF2,故知:|PF1|2+|PF2|2=4c2,又因为|PF1|·|PF2|=a2,且由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=4c2,即(2a)2-2a2=4c2,所以=⇒e2=,所以e=.答案:三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·衡水二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+12=0相切.(1)求椭圆C的方程.(2)设A(-4,0),过点R(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P,Q两点,连接AP,AQ分别交直线x=于M,N两点,若直线MR,NR的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.【解析】(1)由题意得所以故椭圆C的方程为+=1.(2)k1k2为定值-.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+3,由所以(3m2+4)y2+18my-21=0,所以y1+y2=,y1y2=,由A,P,M三点共线可知=,所以y M=,同理可得y N=,所以k1k2=×==.因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49.所以k1k2==-.8.(2016·武汉模拟)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的上焦点为F,上顶点为A,B为虚轴的端点,离心率e=,且S△ABF=1-.抛物线N的顶点在坐标原点,焦点为F. (1)求双曲线M和抛物线N的方程.(2)设动直线l与抛物线N相切于点P,与抛物线的准线相交于点Q,则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点?如果经过,试求出该点的坐标,如要不经过,试说明理由.【解析】(1)在双曲线M中,c=,由e=,得=,解得a=b,故c=2b.所以S△ABF=(c-a)×b=(2b-b)×b=1-,解得b=1.所以a=,c=2.所以双曲线M的方程为-x2=1,其上焦点为F(0,2),所以抛物线N的方程为x2=8y.(2)由(1)知y=x2,故y′=x,抛物线的准线方程为y=-2.设P(x0,y0),则x0≠0,且直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q.假设存在点R(0,y1),使得以PQ为直径的圆恒过该点,也就是·=0对任意的x0,y0恒成立.又=(x0,y0-y1),=,由·=0,得x0×+(y0-y1)(-2-y1)=0,整理得-2y0-y0y1+2y1+=0,即(+2y1-8)+(2-y1)y0=0.(☆)由于(☆)式对满足y0=(x0≠0)的任意x0,y0恒成立,所以解得y1=2.故存在y轴上的定点R(0,2),使得以PQ为直径的圆恒过该点.【加固训练】已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，过焦点F的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB的中点为M.(1)求椭圆的方程.(2)过点A与椭圆只有一个公共点的直线为l1，过点F与AF垂直的直线为l2，求证：l1与l2的交点在定直线上.【解析】(1)由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即F(-c，0)，设弦与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得+=1，①+=1，②①-②，得-=，③因为点M平分弦AB，弦经过焦点，所以=-，=，=，代入③式得，-=，即=又因为=，a2-b2=c2，所以c2=b2=a2，所以=即c=1，a=，所以椭圆方程为+y2=1.(2)设点A坐标为(x1，y1)，由对称性，不妨设y1>0，由+y2=1得椭圆上半部分的方程为y=，y′=(-x)=.所以k切==，所以A点处的切线方程为y-y1=(x-x1)，①过F且垂直于FA的直线方程为y=(x+1)，②由①②两式，消去y，得y1=-(x+1)+(x-x1)，③其中+=1，代③式可得x=-2.所以点P在定直线x=-2上.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于( )A.-3B.-C.-或-3D.±【解析】选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.【加固训练】已知椭圆+=1(0<b<2),左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( )A.1B.C.D.【解析】选D.由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.2.如图,已知F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足=a,·=0,线段PF2与双曲线C交于点Q,若=5,则双曲线C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解题导引】先把,用a表示出来,用余弦定理分别求cos∠QF2F1,cos∠PF2F1利用它们相等求出a,b的关系,最后求出渐近线方程.【解析】选A.因为·=0,所以==2c,又因为=5,所以=a,所以=a+2a=a,在△F1F2Q中,cos∠QF2F1=在△F1F2P中,cos∠PF2F1=,所以=⇒c2=a2⇒a2=4b2.所以渐近线方程为y=±x=±x.【加固训练】若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是( )A.(1,2)B.(1,2]C.(1,]D.(1,]【解析】选B.因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤2.3.经过椭圆+=1的右焦点任意作弦AB,过A作直线x=4的垂线AM,垂足为M,则直线BM 必经过定点( )A.(2,0)B.C.(3,0)D.【解题导引】可过右焦点作垂直于x轴的弦,进行探究定点.【解析】选B.依题意,选取过椭圆+=1的右焦点且垂直于x轴的弦AB,则A,B的坐标分别为,,所以过点A作直线x=4的垂线,垂足为M,所以直线BM的方程为y=x-,由于所给选项均为x轴上的点,而直线BM与x轴的交点为.4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,且过点(2,).又M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,则+为定值( )A. B. C. D.【解析】选A.由已知e==,所以e2==,解得a2=2b2.所以椭圆C:+=1,即x2+2y2=2b2.因为椭圆C过点,所以22+2=2b2,得b2=4,a2=8.所以椭圆C的方程为+=1.所以椭圆C的焦点坐标为F1(-2,0),F2(2,0).根据题意,可设直线MN的方程为y=k(x+2),由于直线MN与直线PQ互相垂直,则直线PQ的方程为y=-(x-2).设M(x1,y1),N(x2,y2).由方程组消y得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0.则x1+x2=-,x1x2=.所以==·=.同理可得=所以+=+==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=________.【解析】因为双曲线的离心率e==2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,与抛物线的准线x=-相交于A(-,p),B(-,-p),所以△AOB的面积为××p=,又p>0,所以p=2.答案:2【加固训练】直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A,B,C,D,则的值为________.【解题导引】求出直线与抛物线的交点坐标,设抛物线的焦点为F,利用|AB|=|AF|-1,|CD|=|DF|-1求解.【解析】由得x2-3x-4=0,解得x A=-1,x D=4,从而y A=,y D=4,直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1),因此|AF|=y A+1=,|DF|=y D+1=5,所以==.答案:6.已知斜率为的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是______.【解题导引】设直线方程为x=2y+t,联立抛物线方程,求出t的范围和y1+y2,y1y2,把k1+k2用t,p表示出来,最后根据t的范围求k1+k2的范围.【解析】设直线l:x=2y+t联立抛物线方程y2=2p(2y+t)⇒y2-4py-2pt=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),Δ=16p2+8pt>0⇒t>-2p,y1+y2=4p,y1y2=-2pt>0⇒t<0,即-2p<t<0.x1x2=(2y1+t)(2y2+t)=4y1y2+2t(y1+y2)+t2=4(-2pt)+2t·4p+t2=t2,k1+k2=+====-.-2p<t<0,->2,即k1+k2的取值范围是(2,+∞).答案:(2,+∞)【加固训练】已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,直线l:y=k(x+1)与抛物线C交于A,B两点,记直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)又F(1,0),则k1+k2=+=+=;将y=k(x+1)代入y2=4x中;整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以x1x2=1,故k1+k2=0.答案:0三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知抛物线C:x2=2py(p>0),抛物线上一点Q到焦点的距离为1.(1)求抛物线C的方程.(2)设过点M(0,2)的直线l与抛物线C交于A,B两点,且A点的横坐标为n(n∈N*).①记△AOB的面积为f(n),求f(n)的表达式;②探究是否存在不同的点A,使对应不同的△AOB的面积相等?若存在,求点A的坐标;若不存在,请说明理由.【解题导引】(1)利用Q到焦点的距离为1,计算即得结论.(2)①通过A点横坐标及直线过点M可得直线l斜率的表达式,将其代入S△AOB,计算即可;②设存在不同的点A m,A n(m≠n,m,n∈N*),利用f(m)=f(n),计算即可. 【解析】(1)依题意得=y Q+=+=1,解得p=1,所以抛物线C的方程为x2=2y.(2)①因为直线l与抛物线C交于A,B两点,所以直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:y=kx+2,联立方程组化简得:x2-2kx-4=0,此时Δ=(-2k)2-4×1×(-4)=4(k2+4)>0,由根与系数的关系,得:x1+x2=2k,x1x2=-4,所以S△AOB=··=×2==2,(*)又因为A点横坐标为n,所以点A坐标为A,又直线过点M(0,2),故k==-,将上式代入(*)式,可得:f(n)=2=2=2=n+(n∈N*);②结论:当A点坐标为或(4,8)时,对应不同的△AOB的面积相等.理由如下:设存在不同的点A m,A n(m≠n,m,n∈N*),使对应不同的△AOB的面积相等,则f(m)=f(n),即m+=n+,化简得:m-n=-=,又因为m≠n,即m-n≠0,所以1=,即mn=4,解得m=1,n=4或m=4,n=1,此时A点坐标为,(4,8).8.在平面坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且过点(0,),椭圆C的长轴的两端点为A,B,点P为椭圆上异于A,B的动点,定直线x=4与直线PA,PB分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)在x轴上是否存在定点经过以MN为直径的圆,若存在,求定点坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)⇒所以椭圆C的方程为+=1. (2)设PA,PB的斜率分别为k1,k2,P(x0,y0),则k1=,k2=,k1k2====-,由l PA:y=k1(x+2)知M(4,6k1),由l PB:y=k2(x-2)知N(4,2k2),所以MN的中点G(4,3k1+k2),所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+(y-3k1-k2)2=(6k1-2k2)2=(3k1-k2)2,令y=0,所以x2-8x+16+9+6k1k2+=9-6k1k2+,所以x2-8x+16+12k1k2=0,所以x2-8x+16+12×=0,即x2-8x+7=0,解得x=7或x=1,所以存在定点(1,0),(7,0)经过以MN为直径的圆.【加固训练】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,P为椭圆E上的任意一点(不含长轴端点),且△PF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程.(2)设直线l:x=my+1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,试探究:点M(3,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系,并证明你的结论.【解析】(1)由已知有()max=×2c×b=bc=2,因为e=⇒a=c,又a2=b2+c2,所以b=c=,所以a=2,所以椭圆E的方程为+=1.(2)方法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0),由⇒(m2+2)y2+2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=,所以y0=.所以=(x0-3)2+=(my0-2)2+=(m2+1)-4my0+4.====(1+m2)(-y1y2)所以-=-4my0+4+(1+m2)y1y2=+4+(1+m2)=>0.所以>,因此,点M(3,0)在以线段AB为直径的圆外.方法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),由⇒(m2+2)y2+2my-3=0,所以y1+y1=,y1y2=,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3,y1)·(x2-3,y2),=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=(m2+1)·-2m·+4=>0,所以cos<,>>0,又,不共线,所以∠AMB为锐角.因此,点M(3,0)在以AB为直径的圆外.1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(0,1).(1)求椭圆方程.(2)过A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M,N,求证:直线MN恒过定点P. 【解析】(1)由题意知,e==,b=1,a2-c2=1,解得a=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设直线l1的方程为y=kx+1(k≠0),由方程组得(4k2+1)x2+8kx=0,解得x1=-,x2=0,所以x M=-,y M=,用-代替上面的k,可得x N=,y N=.因为k MP=,k NP==,所以k MP=k NP,因为MP,NP共点于P,所以M,N,P三点共线,故直线MN恒过定点P.【加固训练】已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,上顶点为B.已知=,且△AOB的面积为.(1)求椭圆的方程.(2)直线y=2上是否存在点M,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由已知得即为解得故椭圆的方程为+=1.(2)假设直线y=2上存在点M满足题意,设M(m,2),显然,当m=±2时,从点M所引的两条切线不垂直,当m≠±2时,设过点M所引的切线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-m)+2.由消y得(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0,因为Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,所以(m2-4)k2-4mk+2=0,(*)设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(*)的两根,故k1k2==-1,解得m=±,所以直线y=2上存在两点(,2)和(-,2)满足题意.2.(2016·临沂一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程.(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点.①若线段AB中点的横坐标为-,求斜率k的值;②已知点M(-,0),求证:·为定值.【解析】(1)因为+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,=,根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,可得×b×2c=.从而可解得a2=5,b2=,所以椭圆方程为+=1.(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=k(x+1)代入+=1中,消元得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)=48k2+20>0,x1+x2=-,因为AB中点的横坐标为-,所以-=-,解得k=±.②由①知x1+x2=-,x1x2=,所以·=(x1+,y1)(x2+,y2)=+y1y2=+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++k2=(1+k2)+++k2=++k2=.3.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,焦距为2,设点P(a,b)满足△PF1F2是等腰三角形.(1)求该椭圆方程.(2)过x轴上的一点M(m,0)作一条斜率为k的直线l,与椭圆交于A,B两点,问是否存在常数k,使得+的值与m无关?若存在,求出这个k的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)根据题意,设|F2F1|=|F2P|,所以解得:故所求椭圆方程为+=1.(2)联立方程:整理得: (3+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),在Δ>0的情况下有:+=(1+k2)[(x1-m)2+(x2-m)2]=(1+k2)[(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+2m2]=[(-24k2+18)m2+96k2+72]令-24k2+18=0,得k2=,即k=±,此时+=7与m无关,符合题意.。
高三数学二轮复习 不等式选讲课时巩固过关练 理 新人教版(2021年整理)
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课时巩固过关练二十二不等式选讲（建议用时：30分钟) 1.(2016·全国卷Ⅰ）已知函数f(x）=|x+1|-|2x—3｜。
(1)画出y=f(x)的图象.(2)求不等式｜f(x）|〉1的解集.【解析】（1）如图所示：（2）f(x)=|f(x）|〉1,当x≤-1时，|x—4｜>1,解得x>5或x〈3，所以x≤—1。
当-1<x〈时，|3x—2|〉1，解得x〉1或x<,所以—1〈x〈或1〈x<。
当x≥时,｜4—x|>1，解得x〉5或x<3，所以≤x<3或x>5。
综上,x〈或1<x〈3或x〉5,所以|f（x)|>1的解集为∪(1，3)∪(5,+∞）.【加固训练】(2016·贵阳一模)已知函数f（x）=｜x—2|-｜x+1｜.（1）求证:—3≤f(x）≤3.（2)解不等式f(x)≥x2-2x.【解析】(1)当x≤—1时,f(x)=3，成立;当—1〈x〈2时，f（x）=-2x+1，—4<—2x〈2,所以-3〈-2x+1〈3，成立;当x≥2时，f（x）=—3,成立;故—3≤f（x）≤3.（2)当x≤—1时，x2-2x≤3,所以—1≤x≤3，所以x=—1;当—1<x〈2时，x2-2x≤-2x+1,所以—1≤x≤1，所以—1<x≤1;当x≥2时,x2—2x≤-3,无解;综合上述，不等式的解集为:［-1,1].2.（2016·衡阳二模）已知a∈（0，+∞)，b∈（0，+∞）,a+b=2.(1)求+的最小值。
2017届高三数学(理)二轮复习课时巩固过关练五1.2.3含解析
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课时巩固过关练 五 不等式、线性规划（35分钟 55分）一、选择题（每小题5分,共20分）1.(2016·邯郸二模)已知a 〈b 〈0,则下列不等式成立的是 ( ）A.a 2<b 2 B 。
a b 〈1 C.a 〈1-b D 。
1a 〈1b【解析】选C.因为a 〈b<0，所以a 2>b 2，a b>1,1a >1b ，a+b 〈1.因此A ，B ，D 不正确，C 正确.2.（2016·北京高考）若x,y 满足{2x −y ≤0,x +y ≤3,x ≥0,则2x+y 的最大值为( ）A 。
0B 。
3C 。
4D 。
5【解析】选C 。
作出可行域如图所示,平移2x+y=0过点(1，2)时,2x+y 取得最大值4.【加固训练】(2016·蚌埠一模)已知x,y 满足{x ≥2,y ≥2,x +y ≤8时,z=x-y的最大值为（ ）A 。
4 B.-4 C.0 D.2【解题导引】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案。
【解析】选A.由约束条件{x ≥2,y ≥2,x +y ≤8作出可行域如图,联立{y =2,x +y =8得A(6,2），化目标函数z=x —y 为y=x-z ，由图可知,当直线y=x —z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小,z 有最大值为4。
3。
（2016·武汉二模)设m 〉1,x ，y满足约束条件{y ≥x,y ≤mx,x +y ≤1,且目标函数z=x+my 的最大值为2,则m 的取值为 （ ) A.2 B 。
1+√2 C.3 D.2+√2【解题导引】根据m>1,可以判断直线y=mx 的倾斜角位于区间(π4,π2)上,由此判断出满足约束条件{y ≥x,y ≤mx,x +y ≤1的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+my 对应的直线与直线y=mx 垂直,且在直线y=mx 与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m 的方程,从而求得m 值. 【解析】选B 。
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[推荐学习]2017届高三数学二轮复习1.3.2三角恒等变换与解三角形课时巩固过关练理新人教版课时巩固过关练九三角恒等变换与解三角形(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·唐山一模)已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α= ( )A.-B.C.-或0D.或0【解析】选D.因为所以或所以tan2α=0或tan2α=.【加固训练】sin2α=,0<α<,则cos的值为( )A. B.- C. D.±【解析】选C.因为sin2α=cos=2cos2-1,所以cos=±,因为sin2α=,所以cos=±,所以AC=.3.(2016·太原二模)设α∈,β∈,且tan α=,则( )A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.由tanα=,得=,即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,所以sin(α-β)=cosα=sin.因为α∈,β∈,所以α-β∈,-α∈,所以由sin(α-β)=sin,得α-β=-α, 所以2α-β=.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选B.tanα====cot=tan=tan,所以α=kπ+,k∈Z.所以2α-β=2kπ+,k∈Z.当k=0时,满足2α-β=.4.(2016·秦皇岛一模)△ABC的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B= ( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为asinBcosC+csinBcosA=b, 所以,由正弦定理得,sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,即sin(A+C)=,又a>b,所以A+C=π,B=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.【解析】方法一:因为θ是第四象限角,所以-+2kπ<θ<2kπ,k∈Z,则-+2kπ<θ+<2kπ+,k∈Z,而sin=,所以cos=.又sinθ=sin=sin cos-cos sin,则sinθ=-,cosθ=.所以tanθ==-,所以tan===-.答案:-方法二:由题意,sin=,cos=,所以解得所以tanθ=-,tan===-.答案:-【加固训练】(2016·三亚一模)设α为锐角,若cos=,则sin(α-)=__________.【解题导引】利用α-=,并结合三角变换公式求解.【解析】由于α为锐角,则0<α<,则<α+<,因此sin>0,所以sin===,所以sin=sin=sin·cos-cos sin=×-×=.答案:6.(2016·银川一模)如图，港口A在港口O正东的120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向上，且在港口A的北偏西30°的方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A沿AB方向以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛装运补给物资后以相同的航速送往科学考察船.已知两船同时出发，补给物资装船时间为1小时.给养快艇驶离港口A后，能和科学考察船相遇的最少时间为________小时.【解析】由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时.为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行.如图，设快艇驶离小岛B后t小时恰与科学考察船在C处相遇，在△OAB中，计算可得OB=60. 在△OCB中，BC=60t，OC=20(2+t)，∠BOC=30°，由余弦定理得BC2=OB2+OC2- 2OB·OC·cos∠BOC，即(60t)2=(60)2+[20(2+t)]2-2×60×20(2+t)×，即8t2+5t-13=0，解得t=1或t=-(舍去). 故t+2=3，即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科学考察船相遇.答案：3三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·唐山一模)在如图所示的四边形ABCD 中，∠BAD=90°，∠BCD=120°，∠BAC=60°，AC=2，记∠ABC=θ.(1)求用含θ的代数式表示DC.(2)求△BCD面积S的最小值.【解析】(1)在△ADC中，∠ADC=360°-90°-120°-θ=150°-θ，由正弦定理可得=，即=，于是：DC=.(2)在△ABC中，由正弦定理得=，即BC=，由(1)知：DC=，那么S===，故θ=75°时，S取得最小值6-3.【加固训练】(2016·西安一模)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(1)求b的值.(2)求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中,由题意知,sinA==,又因为B=A+,所以sinB=sin=cosA=.由正弦定理,得b===3.(2)由B=A+,得cosB=cos=-sinA=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=.因此△ABC的面积S=absinC=×3×3×=.8.(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2+ccos2=b.(1)求证：a，b，c成等差数列.(2)若B=，S=4，求b.【解析】(1)由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，所以+=sinB，所以sinA+sinC+sin(A+C)=sinB，所以sinA+sinC=2sinB，所以a+c=2b，所以a，b，c成等差数列.(2)因为S=acsinB=ac=4，所以ac=16.又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac，由(1)得：a+c=2b，所以b2=4b2-48，所以b2=16，即b=4.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b等于( ) A. B. C. D.【解析】选C.因为cosA=,所以sinA===,所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=. 由正弦定理=,得b=×sin45°=.2.已知函数f(x)=4sin,f(3α+π)=,f=-,其中α,β∈,则sin(α+β)的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.由f(3α+π)=,得4sin=,即4sin=,所以cosα=,又α∈,所以sinα=.由f=-,得4sin=-,即sin(β+π)=-,所以sinβ=.又β∈,所以cosβ=.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( ) A.3 B. C.D.3【解析】选 C.c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6. ①因为C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab, ②由①和②得ab=6,=absinC=×6×=.所以S△ABC4.化简= ( )A.1B.C.D.2【解析】选C.原式=====.二、填空题(每小题5分,共10分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,B<,则B=________.【解题导引】先由正弦定理求出sinB,再求角B.关键在于对解的个数的判断.【解析】由正弦定理,得=.把A=,a=1,b=代入,解得sinB=.因为b>a,所以B>A,结合题意可知B=或.又因为B<,所以B=.答案:6.在△ABC中,BC=2,A=,则·的最小值为__________.【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos≥2AB·AC+AB·AC=3AB·AC,AB·AC≤.所以·=AB·AC·cos≥-,=-,等号当且仅当AB=AC时取得. (·)min答案:-三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acosB+bcos(B+C)=0.(1)证明：△ABC为等腰三角形.(2)若2(b2+c2-a2)=bc，求sinB+sinC的值.【解析】(1)因为acosB+bcos(B+C)=0，所以由正弦定理得sinAcosB+sinBcos(π-A)=0，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0，所以A-B=kπ，k∈Z，因为A，B是△ABC的两内角，所以A-B=0，即A=B，所以△ABC是等腰三角形.(2)由2(b2+c2-a2)=bc，得=，由余弦定理得cosA=，cosC=cos(π-2A)=-cos2A=1-2cos2A=，因为A=B，所以cosB=cosA=，所以sinC==.所以sinB==.sinB+sinC=+=.8.已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,cos2x),函数f(x)=m·n+.(1)若x∈,f(x)=,求cos2x的值.(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c-a,求f(B)的取值范围. 【解析】(1)f(x)=m·n+=sinxcosx-cos2x+=sin2x-cos2x-+=sin.因为x∈,所以-≤2x-≤.又因为f(x)=sin=>0,所以cos=.所以cos2x=cos=cos×-sin=×-×=-.(2)由2bcosA≤2c-a,得2b·≤2c-a,即a2+c2-b2≥ac.所以cosB=≥,所以0<B≤,从而得-<2B-≤,故f(B)=sin∈.1.(2016·衡水一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2acosC-(2b-c)=0.(1)求角A.(2)若sinC=2sinB,且a=,求边b,c.【解析】(1)在△ABC中,由题意可得2acosC=2b-c,结合正弦定理可得2sinAcosC=2sinB-sinC,所以2sinAcosC=2sin(A+C)-sinC,所以2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC, 所以2cosAsinC=sinC,即cosA=,所以A=60°.(2)因为sinC=2sinB,所以c=2b,因为a=,所以3=b2+c2-2bc·,所以3=b2+4b2-2b2,所以b=1,c=2.2.(2016·衡阳三模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan=2.(1)求的值.(2)若B=,△ABC的面积为9,求边长a的值. 【解析】(1)由tan=2,即=2,得tanA=,所以===.(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=.由sinC=sin(A+B)=sin,得sinC=.设△ABC的面积为S,则S=acsinB=9.又由正弦定理=,解得a=3.3.(2016·南昌一模)已知函数f(x)=(sinωx+cosωx)cosωx-(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求f(x)的单调递增区间.(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.【解析】(1)f(x)=sinωxcosωx+cos2ωx-=sin,因为T==4π,所以ω=,所以f(x)=sin,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为(2a-c)cosB=bcosC,所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,所以cosB=,所以B=.因为f(A)=sin,0<A<,所以<+<,所以f(A)∈.。
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课时巩固过关练三函数的图象与性质(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2016·合肥一模)函数y=错误！未找到引用源。
的定义域是( )A.[-错误！未找到引用源。
,-1)∪(1,错误！未找到引用源。
]B.(-错误！未找到引用源。
,-1)∪(1,错误！未找到引用源。
)C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)【解析】选A.错误！未找到引用源。
⇔错误！未找到引用源。
⇔错误！未找到引用源。
⇔错误！未找到引用源。
即:-错误！未找到引用源。
≤x<-1或1<x≤错误！未找到引用源。
.所以y=错误！未找到引用源。
的定义域为[-错误！未找到引用源。
,-1)∪(1,错误！未找到引用源。
].2.(2016·福州一模)错误！未找到引用源。
(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.错误！未找到引用源。
C.3D.错误！未找到引用源。
【解析】选B.令f(a)=(3-a)(a+6)=-错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
,而且-6≤a≤3,由此可得函数f(a)的最大值为错误！未找到引用源。
,故错误！未找到引用源。
(-6≤a≤3)的最大值为错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.3.(2016·承德二模)若a=ln2,b=5-0.5,c=sin30°,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a【解题导引】利用有理指数幂的化简求值及对数的运算性质比较三个数与0.5的大小得答案.【解析】选C.因为a=ln2>ln错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,b=5-0.5=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
<错误！未找到引用源。
,c=sin30°=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,所以b<c<a.4.(2016·宝鸡一模)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A.y=x-1B.y=错误！未找到引用源。
C.y=x+错误！未找到引用源。
D.y=ln(x+1) 【解析】选D.y=x-1在区间(0,+≦)上为减函数,y=错误！未找到引用源。
是减函数,y=x+错误！未找到引用源。
,在(0,1)上是减函数,在(1,+≦)上为增函数,y=ln(x+1)在区间(0,+≦)上为增函数,所以A,B,C不符合题意.5.(2016·全国卷Ⅲ)已知a=错误！未找到引用源。
,b=错误！未找到引用源。
,c=2错误！未找到引用源。
,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【解析】选A.因为a=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,c=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
,函数f错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上单调递增,所以错误！未找到引用源。
<错误！未找到引用源。
,又错误！未找到引用源。
<错误！未找到引用源。
,所以b<a<c.6.(2016·株洲一模)函数y=错误！未找到引用源。
的图象大致是( )【解题导引】先由奇偶性来确定是A,B还是C,D选项中的一个,再通过对数函数,当x=1时,函数值为0,可进一步确定选项.【解析】选 D.因为f(-x)=-f(x)是奇函数,所以排除A,B,当x=1时,f(x)=0排除C.7.(2016·惠州三模)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=错误！未找到引用源。
,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是( )A.y=-x2+1B.y=|x+1|C.y=e|x|D.y=错误！未找到引用源。
【解析】选C.因为f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=错误！未找到引用源。
,所以当x>0时函数f(x)为增函数,则在(-2,0)上,f(x)为减函数,A.在(-2,0)上,y=-x2+1为增函数,不满足条件.B.y=|x+1|在(-≦,-1)上是减函数,在(-2,0)上不单调,不满足条件.C.y=e│x│在(-2,0)上是单调递减函数,满足条件.D.当x<0时,f(x)=x3+1是增函数,不满足条件.8.(2016·揭阳二模)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
则不等式f(x)>1的解集为( ) A.(2,+∞) B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(0,2)【解析】选C.画出函数f(x)的图象,如图,由log2x=1,得x=2,由2-x=1,得x=0,所以,由图可得不等式f(x)>1的解集为(-≦,0)∪(2,+≦).9.(2016·合肥一模)已知f(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)>0的解集为(a2,b),g(x)>0的解集为错误！未找到引用源。
,且a2<错误！未找到引用源。
,则f(x)g(x)>0的解集为( )A.错误！未找到引用源。
∪错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
∪错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
∪(a2,b)D.(-b,-a2)∪错误！未找到引用源。
【解题导引】根据函数奇偶性的性质,求出不等式f(x)<0和g(x)<0的解集,进行求解即可.【解析】选A.因为f(x),g(x)都是R上的奇函数,f(x)>0的解集为(a2,b),g(x)>0的解集为错误！未找到引用源。
,且a2<错误！未找到引用源。
,所以f(x)<0的解集为(-b,-a2),g(x)<0的解集为错误！未找到引用源。
,则不等式f(x)g(x)>0等价为错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
即a2<x<错误！未找到引用源。
或-错误！未找到引用源。
<x<-a2,故不等式的解集为错误！未找到引用源。
∪错误！未找到引用源。
.10.(2016·佛山一模)已知函数f(x)=xln(e2x+1)-x2+1,f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2【解析】选B.因为f(x)+f(-x)=xln(e2x+1)-x2+1+[-xln(e-2x+1)-(-x)2+1]=x[ln(e2x+1)-ln(e-2x+1)]-2x2+2=xln错误！未找到引用源。
-2x2+2=xlne2x-2x2+2=2x2-2x2+2=2,所以f(a)+f(-a)=2.因为f(a)=2,所以f(-a)=2-f(a)=0.11.(2016·长沙二模)偶函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为奇函数，且f(1)=1，则f(89)+f(90)为( )A.-2B.-1C.0D.1【解题导引】根据函数的奇偶性的性质，得到f(x+8)=f(x)，即可得到结论.【解析】选D.因为f(x+2)为奇函数，所以f(-x+2)=-f(x+2)，因为f(x)是偶函数，所以f(-x+2)=-f(x+2)=f(x-2)，即-f(x+4)=f(x)，则f(x+4)=-f(x)，f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即函数f(x)是周期为8的周期函数，则f(89)=f(88+1)=f(1)=1，f(90)=f(88+2)=f(2)，由-f(x+4)=f(x)，得当x=-2时，-f(2)=f(-2)=f(2)，则f(2)=0，故f(89)+f(90)=1+0=1.12.(2016·深圳二模)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
则关于m 的不等式f错误！未找到引用源。
<ln错误！未找到引用源。
-2的解集为( )A.错误！未找到引用源。
B.(0,2)C.错误！未找到引用源。
∪错误！未找到引用源。
D.(-2,0)∪(0,2)【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称,因为x>0时,-x<0,f(-x)=-lnx-x=f(x),同理:x<0时,f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.因为f(x)在(0,+≦)上为减函数,且f(2)=-ln2-2=ln错误！未找到引用源。
-2,所以当m>0时,由f错误！未找到引用源。
<ln错误！未找到引用源。
-2,得f错误！未找到引用源。
<f(2),所以错误！未找到引用源。
>2,解得0<m<错误！未找到引用源。
.根据偶函数的性质知当m<0时,得-错误！未找到引用源。
<m<0.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(2016·厦门一模)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
则f(ln3)=________.【解析】因为1<ln3<2,所以2<ln3+1<3,由分段函数的表达式可知,f(ln3)=f(1+ln3)=f(ln(3e))=错误！未找到引用源。
e ln3e=错误！未找到引用源。
×3e=e.答案:e14.(2016·邯郸一模)已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象关于y轴对称,则f(x)=kx+b的图象关于__________对称.【解析】f(x)=ax2+bx+c的图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以b=0,所以f(x)=kx+b=kx,为奇函数,所以图象关于原点对称.答案:原点15.(2016·汕头一模)已知f(x)是定义域为R的单调递减的奇函数,若f(3x+1)+f(1)≥0,则x的取值范围是________.【解析】f(x)是单调递减的奇函数,因为f(3x+1)+f(1)≥0,所以f(3x+1)≥-f(1),又因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以-f(1)=f(-1),f(3x+1)≥f(-1),所以3x+1≤-1,x≤-错误！未找到引用源。
.答案:x≤-错误！未找到引用源。
16.(2016·衡阳一模)已知f(x)=错误！未找到引用源。
若不等式f(x-2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,则a的最大值为________.【解析】因为不等式f(x-2)≥f(x)对一切x∈R恒成立,所以若x≤0,则x-2≤-2.则不等式f(x-2)≥f(x)等价为:-2(x-2)≥-2x,即4≥0,此时不等式恒成立,若0<x≤2,则x-2≤0,则不等式f(x-2)≥f(x)等价为,-2(x-2)≥ax2+x,即ax2≤4-3x,则a≤错误！未找到引用源。