GCT数学高数讲义
GCT考试数学必知公式、定理
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ， b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ， c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 。
1 1 1 S Δ = bc sin A = ac sin B = ab sin C 。 2 2 2
AI A = A， AU A = A， AI∅ = ∅， AU∅ = A， AU A = I ， AI A = ∅ ， A I B = B I A， A U B = B U A，
A I ( B I C ) = ( A I B) I C ， A U ( B U C ) = ( A U B) U C ，
A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ， A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) ， AU B = AI B， AI B = AU B。
card ( A U B) = card ( A) + card ( B) − card ( A I B) ，card（*）为集合中元素个数。
n > 0 y 过（1,1） ， （0，+ ∞ ）上是减函数。
4.6 指数函数 y = a x ， a > 0, a ≠ 1 ，y 在 x 轴上方，过（0,1）点， a > 1 是增 函数； 0 < a < 1 是减函数。 ， 4.7 对数函数 y = log a x ， a > 0, a ≠ 1 ，是 y = a x 的反函数；定义域（0，+ ∞ ） y 在 y 轴的右方，过点（1,0） ， ， a > 1 是增函数； 0 < a < 1 是减函数。 对数运算：
2019年年安通学校GCT数学内部讲义23.doc
五、中值定理与导数应用【大纲要求】微分中值定理与导数应用：中值定理，导数的应用。
1．中值定理（1）Rolle 定理：若),()(],,[)(b a D x f b a C x f ∈∈，且)()(b f a f =，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。
（2）Lagrange 中值定理：若),()(],,[)(b a D x f b a C x f ∈∈，则存在),(b a ∈ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ。
（3）柯西中值定理：若),()(),(],,[)(),(b a D x g x f b a C x g x f ∈∈，且0)(≠'x g ，则存在),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--。
2．洛必达法则（1）00型：)()(lim)()(lim 00x g x f x g x f x x x x ''=→→ （2）∞∞型：)()(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x ''=→→（3）其他不定式（000,,1,,0∞∞-∞∞⋅∞）3．函数的单调性与极值 （1）函数单调性的判别法0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 内单调增加；0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 内单调减少。
可能的极值点：0)(='x f 和)(x f '不存在的点； （2）函数极值点的求法定理 设函数)(x f 在点0x 处连续，1）若)(x f '在0x 点左正右负，则)(0x f 为极大值； 2）若)(x f '在0x 点左负右正，则)(0x f 为极小值。
定理 设函数)(x f 在点0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，则 1）若0)(0<''x f ，则)(0x f 为极大值，0x 为极大值点； 2）若0)(0>''x f ，则)(0x f 为极小值，0x 为极小值点； 3）若0)(0=''x f ，判别法失效。
GCT高等数学第三章word资料78页
第三章 微分中值定理与导数应用主讲------姜进进第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ, 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例4 证明当0>x 时,x x xx<+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件于是)0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ又xx f f +='=11)(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故11111<+<+ξx 从而 x x x x <+<+ξ11, 即x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立例5 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明与分析: 结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2设2)(x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 即)]0()1([2)(f f f -='ξξ第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法. 教学内容：一． 00型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ;(3))()(lim)(x F x f x ax ∞→→存在(或无穷大),则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ax ax ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 例1 求x x x tan lim→, (0型) 解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim20=→x x 例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23例3 求 xx x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解 原式=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型). 解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅→= ax bxx cos cos lim 0→=1例5 求 xx x 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解 原式=xx x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 222cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→π= x x x 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim 2=→x xx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求xx x x x tan tan lim20-→解 原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31二．0,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例7 求.lim 2xx e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim xx e+∞→=.+∞=型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例8 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型 解 原式=xx xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例9 求.lim 0x x x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xxx e 1ln lim 0+→=2011limx x x e-+→=0e =.1=例10 求.lim111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xx x e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例11 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=)cos 11(lim x xx +∞→.1=第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。
Gct讲义(综合)
前言一、近4年来Gct 国家考试的情况简介二、特点：1、强调能力的考查（运用知识）；例题1 （07/3）如图：大长方形被平行于边的直线分成了 9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则第4个小长方形的面积等于[ ]Ａ．22 Ｂ．20 Ｃ．18 Ｄ．11.25例题2、（07/8）如图所示，090,BAF FEB EBC ECD ∠=∠=∠=∠=00030,45,60ABF BFE BCE ∠=∠=∠=，且2AB CD =，则tan CDE ∠=[ ]Ａ．3Ｂ．8Ｃ．3 Ｄ．6例题3、（07/15）在圆2268210x y x y +--+=所围区域（含边界）中，(,)Q(,)P x y x y 和是使得yx分别取得最大值和最小值的点，线段PQ 的长是[ ]Ａ．5 Ｂ．5 Ｃ．5 Ｄ．5例题4、（07/9）两个不等的实数a 和b ，均满足方程231x x -=，则22b a a b+的知等于[ ]Ａ．-18 Ｂ．18 Ｃ．-36 Ｄ．36例题5、（08/1）已知：375,,,592a b d b c c =-=-=-则ad=[ ]Ａ．1475-Ｂ．1475 Ｃ．7514 Ｄ．7514-例题6、（08/2）请你想好一个数，将他加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果是（ ）Ａ．12 Ｂ．1 Ｃ．32Ｄ．32、注意应会用一些解选择题的技巧解题 [排除法]例题1、（07/2）2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-=+++++++[ ] Ａ．1151 Ｂ．1151- Ｃ．2251 Ｄ．2251-例题2、ABC A B C 327∠∠∠=△中，、、：：，如果从AB 上一点D 作射线l ， 交AC 或BC 边于点E ，使0AD E 60∠=，且l 分△ABC 两部分图形的面积相等，那么[ ]Ａ．l 过C 点（即C 与E 重合） Ｂ．l 不过C 点而于AC 相交 Ｃ．l 不过C 点而于BC 相交 Ｄ．l 不存在例题 3、2007年我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占全国生产总值的 d%，乙省人口是全国人口的e%，其生产总值占全国生产总值的f%，则2007年 甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是[ ]Ａ．cd ef Ｂ．ce df Ｃ．cf de Ｄ．decf例题4、三个不同的非零实数，a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则a b等于[ ]Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．-2 Ｄ．-4[特殊值法]例题1、n {a }是等差数列，已知m k ≠，m k S =S =b ，则m+k S = [ ] Ａ．0 Ｂ．b Ｃ．2b Ｄ．4b例题2、（05/12）已知a<0,2a 1cos 2aθ+=，则cos(+)6πθ的值是[ ]Ａ．2- Ｂ．12-Ｃ．2Ｄ．12例题3、（08/14）两个正数a ，b （a >b ）的算术平均值是其几何平均值的2倍，则与ab最接近的整数是[ ]Ａ．12 Ｂ．13 Ｃ．14 Ｄ．15例题4、（08/16）设函数(0)()1(0)xx f x x x >⎧=⎨-<⎩，则有（ ）Ａ．2[()][()]f f x f x = Ｂ．[()]()f f x f x = Ｃ．[()]()f f x f x > Ｄ．[()]()f f x f x <[执果导因法]例题1、（08/7）把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为浓度为30%酒精溶液，需要加水（ ）A.60千克B.70千克C.85千克D.105千克3、初等数学的很多公式或结论应尽量记一些。
考试点：GCT数学考点精讲
目 录 第一部分 初等数学第１讲 ＧＣＴ数学基础能力测试考点概述（１）第２讲 数的概念与性质以及四则运算（２）第３讲 算术部分应用题（６）第４讲 算术部分习题课（９）第５讲 数与式（１３） 第６讲 数与式经典习题解析（１５）第７讲 方程和不等式的解法（１９）第８讲 数学归纳法和数列（２４）第９讲 二项式定理、排列与组合（２９）第１０讲 概率与统计基本知识及应用（３５）第１１讲 初等代数部分习题课（４２）第１２讲 平面图形和立体图形的简单计算和应用（４６）第１３讲 三角函数，正弦定理以及余弦定理基本知识（５４）第１４讲 三角函数，正弦定理以及余弦定理习题课（６１）第１５讲 直线与方程，圆与方程知识精讲（６７）第１６讲 圆锥曲线基本知识精讲（７２）第１７讲 平面解析几何习题解析（一）（７７）第１８讲 平面解析几何习题课（二）（８１）第１９讲 函数及其图形：集合、映射和函数的应用（８５）第２０讲 函数及其图形经典习题解析（９１）第二部分 高等数学（９５） 一元函数微积分部分（９５） 第２１讲 极限与连续（９５）第２２讲 一元函数微分学（１０２）第２３讲 一元函数积分学（１０８）第２４讲 考点总结（１１９） 线性代数部分（１２０） 第２５讲 第一章 行列式（１２０）第２６－２７讲 第二章 矩阵（１２０）第２８讲 第三章 向量（１２１）第２９－３０讲 第四章 线性方程组（１２１）第３１－３２讲 第五章 特征值和特征向量（１２１）ＧＣＴ数学基础能力测试考点精讲第一部分 初等数学第１讲 ＧＣＴ数学基础能力测试考点概述讲义略，精彩内容见视频课程。
第２讲 数的概念与性质以及四则运算考点一 数的概念１．自然数、整数：自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。
０，正整数，负整数统称整数．整数也可以说是由自然数和负整数组成的。
２．分数：把整体“１”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数。
gct高数(公式)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
在职硕士GCT考试上海交通大学高等数学讲义—第六讲空间解析几何
第六讲 空间解析几何 向量代数与空间解析几何1、向量的坐标表示及其线性运算k a j a i a a a a a z y x z y x ++==),,()1(模222z y x a a a a ++= ，方向余弦aa a a a a z y x ===γβαcos ,cos ,cos 已知点),,(),,,(22221111z y x M z y x M ),,(12121221z z y y x x M M ---=（2）线性运算),,(),,(),,(),,,(z y x z z y y x x z y x z y x a a a a b a b a b a b a b b b b a a a a λλλλ=±±±=±== （3）向量的数量积。
向量积 数量积 b a a b b a b a b a b a )()(),cos(+==⋅∧z z y y x x b a b a b a ++=性质 满足交换律、结合律、分配律0=⋅↔⊥b a b a2.平面及其方程已知平面π过点M 0（x 0、y 0、z 0），}{C B,A,n = 为π的法矢量。
1> 点法式：A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=02> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A 、B 、C 不全为零。
3> 截距式：1cz b y a x =++，a ，b ，c 分别为平面在x 轴、y 轴、 z 轴上的截距。
2121n n ππ ⊥↔⊥↔21ππ1n ψ2n点M 0(x 0、y 0、z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为222000C B A DCz By Ax d +++++=xoy 平面， )1,0,0(,0==n z yoz 平面 )0,0,1(,0==n xxoz 平面， )0,1,0(,0==n y例1 习题求 通过点P （2，-1，-1），Q （1，2，3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。
新版GCT精讲班_第一部分_算术讲义
1第一部分算术机动目录上页下页返回结束2算术:内容综述1.数的概念：整数、分数、小数、百分数等等．2.数的运算:（1）整数的四则运算;（2）小数的四则运算;（3）分数的四则运算*3.数的整除 ：整除、ml k mn +=、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数、1111mn nm m n m n == 公约数、最大公约数、互质数、最简分数4.比和比例：比例、d cb a =，正比例关系、k b a =)(kb a =，反比例关系等k ab =)(bka =．机动目录上页下页返回结束3典型例题：数的概念与性质例1．（2003）记不超过10的质数的算术平均数为M ，则与M 最接近的整数是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．5 答：C．分析：本题主要考查了质数的概念及加法与乘法运算． 由于不超过10的质数只有四个，即7,5,3,2，它们的算术平均数为机动目录上页下页返回结束4典型例题：数的概念与性质例2．（样题）某人左右两手分别握了若干颗石子，若其左手中的石子数乘以3加上其右手中的石子数乘以4的和为29，则此人左手中的石子数是奇数，还是偶数？A．奇数 B．偶数 C．无法确定 D．无石子 答：A．分析：本题主要考查了奇数、偶数的运算性质．设此人左手中的石子数为x ，右手中的石子数为y ，根据题中条件可知2943=+y x ，即 y x 4293−=．由于y 4是偶数，所以x 3是奇数，从而x 也必是奇数．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束5典型例题：数的概念与性质例3．（2004）E D C B A ,,,,五支篮球队相互进行循环赛，现已知A 队已赛过4场，B 队已赛过3场，C 队已赛过2场，D 队已赛过1场，则此时E 队已赛过（ ）．A．1场 B．2场 C．3场 D．4场答：B．分析：本题是2004年的一道考题，主要考查了奇偶数的运算性质及选择题的排除解法．由于E D C B A ,,,,五支队总的比赛场次一定是2的倍数，即为偶数，已知D C B A ,,,四队的比赛场次之和为101234=+++，所以E 队的比赛场次只能是偶数，这样就排除了选项A，C．又因为D 队只赛一场且已与A 队赛完，所以E 队的比赛场次不能是4，这样选项D 也被排除．故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束6典型例题：数的概念与性质注：本题也可用列赛程表的方式求解． A B C D E AT T T T BT T T C D E机动目录上页下页返回结束7典型例题：数的概念与性质例4．如果正整数n 的15倍除以10的余数为5，那么n 的最末一位数字不可能为（ ）．A．1 B．3 C．5 D．6 答：D．分析：本题主要考查数的概念与运算．根据题中条件可知，1051015+=k n ，即51015+=k n ．由于510+k 的个位数是5，所以n 的个位数与5相乘所得数的个位数也是5．在题中所给的四个数目中，机动目录上页下页返回结束8典型例题：数的概念与性质例5．从不超过10的质数中任取两个分别相乘和相除，不相等的积和商个数分别是（ ）．A．12,6 B．6,12 C．20,10 D．10,20 答：A．分析：本题主要考查了质数的概念、乘法与除法的简单性质，同时也用到了排列与组合的简单知识．不超过10的质数共有7,5,3,2四个，由于乘法运算满足交换律，所以任取两个相乘共得到6123424=××=C 个不同乘积．同样，由于除法运算没有交换律，所以两个不同的数作除法运算会得到两个不同的商，因此从7,5,3,2中任取两个数相除共得到123424=×=A 个不同的商．综上可知正确选项为A．机动目录上页下页返回结束9典型例题：分数运算例1．方程01212112=−−++−x x x 的根的个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3 答：A．分析：本题主要考查了方程根的概念及分数的加减运算． 由于0131)1(2)1(21121211222≠−−=−+−−+=−−++−x x x x x x x ，所以方程 01212112=−−++−x x x 没有解，即其根的个数为0．故正确选项为A． 机动目录上页下页返回结束10典型例题：分数运算例2．设m b a ,,均为大于零的实数，且 a b >，则（ ）． A．>++m b m a b a B．<++m b m a baC．=++m b m a baD．m b m a ++与ba的大小关系与m 有关 答：A．分析：本题是一个比较两个数大小的问题，这类问题处理方法较多，常用的有以下几种： 法1：由于)()(m b b a b m b a m b m a +−=−++，根据题中条件可知0>−++b a m b m a ，即>++m b m a ba ．机动目录上页下页返回结束11典型例题：分数运算法2：由于m b m a ++与b a 都大于零，且amab bmab a b m b m a ++=×++，所以在题中条件下有1>×++a b m b m a ，即>++m b m a ba．法3：考虑函数x b b a x b x a x f +−+=++=1)(，由于0)()(2>+−=′x b ab x f ,所以函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增的，故)0()(f m f >，即>++m b m a ba． 注：如果仅仅需要判断选项A，B，C，特殊值代入式最有效的方法，如取2,1,1===b a m ，则m b a ,,满足题中条件，且21,32==++b a m b m a ，这时谁大谁小就一目了然了．机动目录上页下页返回结束12典型例题：分数运算例3．（2003）已知 20042003,20032002,20022001===c b a ，则（ ）． A．c b a >> B．a c b >> C．b a c >>D．a b c >>答：D．分析：本题是2003年的一个考题，主要考查了数的简单运算及判断两个数大小的常用方法．法1：由于1120022002)12002)(12002(20022003200120022222>−=+−=×=a b ，所以a b >．类似地可以得到b c >．法2：考虑函数xx x x f 111)(−=−=，可知)(x f 在),0(+∞是单调递增函数，故)2004()2003()2002(f f f <<，即a b c >>．机动目录上页下页返回结束13典型例题：分数运算例4．（2004）设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则( )． A．b a c << B．a c b << C．c b a << D．a b c <<答：A．分析：本题是2004年的一个考题，主要考查了分数运算与不等式的简单性质． 因为ba cc b a +>+，所以 0))(())(())(()())(())((22>++−++=++−+−+=++−−+=+−+c b b a c a c b a c b b a c a b c a c a c b b a c cb ab a b a c c b a ， 在题中条件下可知 c a >．同样地，利用ac bc b a +<+可以得到a b >． 综上可知b a c <<．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束14典型例题：分数运算本题作为选择题还有一个简便的解法．因为四个选项中有且仅有一个正确选项，所以我们只要看看哪个选项中的大小关系能够满足题干中的不等关系便可．在选项A 中，由于b a c <<，故正分数ac bc b a b a c +++,,的分子依次增大、而分母依次减小，所以ac b c b a b a c +<+<+．故正确选项为A． 机动目录上页下页返回结束15典型例题：分数运算例5．（2008）25,97,53−=−=−=c d c b b a ，则=da（ ）． A．7514− B．7514C．1475 D．1475− 分析：本题是算术题，主要考查分数的乘除运算．因为375,,592a b d b c c =−=−=−，所以3721459575a a b c d b c d ⎛⎞⎛⎞⎛⎞==−−−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束16典型例题：比与百分数例1．（2004）甲、乙两种茶叶以y x ：（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则y x ： 等于（ ）． A ． 1 : 1 B ． 5 : 4 C ． 4 : 5D ． 5 : 6答：C．分析：本题是2004年的一道考题，主要考查了两个数之比与百分数的概念及处理简单应用问题的方法．在甲、乙两种茶的价格变化前后每斤成品茶的价格分别为y x 4050+（元）和 y x )104040()105050(0000×−+×+（元）， 根据题意可知 y x y x )1.04040()1.05050(4050×−+×+=+， 解得 54=y x．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束17典型例题：比与百分数例2．如果甲、乙两座水库的存水量之比为2：1，要使两座水库的水量相等，甲水库向乙水库的输水量占甲水库存水量的（ ）． A．006.16． B．0025 C．0033 D．0050 答：B．分析：本题也是一个考查两数之比与百分数的问题．设甲水库的存水量为x 、乙水库的存水量为y ，再设甲水库向乙水库的输水量为a ．根据题意可知a y a x +=−，将x y 21=代入的a x 221=，所以002541==x a ．故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束18典型例题：比与百分数例3．（2003）某工厂二月份产值比一月份的增加0010，三月份比二月份的减少0010，那么（ 0．A．三月份与一月份产值相等． B．一月份比三月份产值多991． C．一月份比三月份产值少991． D．一月份比三月份产值多1001． 答：B．分析：本题是2003年的一道考题，主要考查了百分比的概念及数的简单运算．设一月份的产值为 a ，则二月份的产值为a a a 1.11000=×+，三月份的产值为a a a 99.0101.11.100=×−，所以一月份的产值比三月份的产值多99199.099.0=−a a a ． 故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束19典型例题：比与百分数例4．（2005）2005年，我国甲省人口是全国人口的c %，其生产总值占国内生产总值的d %；乙省人口是全国人口的e %，其生产总值占国内生产总值的f %，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）． A．cd ef B． ce df C． cfdeD． de cf 分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为cpdh，乙省人均生产总值为ep fh ，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是cfde，即正确选项为D．机动目录上页下页返回结束20典型例题：比与百分数例5．（2006）某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别为48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比． A． 8 B． 9 C． 10 D． 12 答：A分析：（本题是算术题．考查两个数的比的大小） 由于16242436,24243636,12242448,12361648====，所以这种自行车共可获得8412=−种不同的变速比．机动目录上页下页返回结束21典型例题：比与百分数例6．（2006）一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a 升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a 升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a 为（ ）升．A． 2．55 B． 3 C． 2．45 D．4 答：B分析：（本题是算术题．考查比与百分数） 根据题意，()()49.010101010=−−−aa a ，即49)10(2=−a ，解得3=a ．机动目录上页下页返回结束22典型例题：比与百分数例7．（2007）图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形．其中位于角上的3个长方形的面积已经标出，则第4个角上的小长方形面积等于（ B ）． A．22 B．20C．18D．11．25 题3图分析：这是算术、几何综合题，考查平移变换，长方形面积，比例计算． 设第4个角上的小长方形面积为x , 将这四个角上的4个小长方形平移拼在一起，显然有比例关系式：91512x=，解得 20x =． 机动目录上页下页返回结束23典型例题：比与百分数解法2：如图，由于43129,53159====c a d b ，所以209=cd ab ，又9=ab ，所以20=cd ． 故选（B）．a b c d91215 ？机动目录上页下页返回结束24典型例题：比与百分数例8．（2008）把浓度为50%的酒精溶液90千克全部稀释为30%的酒精溶液，需要加水（ ）千克．A．60 B．70 C．85 D．105 分析：本题是算术题，主要考查了百分数的概念和运算．设需要加水x 千克，则根据题意可知00009050(90)30x ×=+×，解得60x =．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束25典型例题：比与百分数例9．若某公司2008年6月份的产值是1月份产值的k 倍，则该公司上半年的月产值平均增长率是（ ）．A．6k B．16−k C．5k D．15−k 答：D．分析：本题主要考查了增长率的概念．设该公司一月份的产值为a 、上半年的月产值平均增长率是x ，则该公司二月份的产值为a x ax a )1(+=+．类似地可以得到其六月份的产值为a x 5)1(+，根据题意可知ka a x =+5)1(，解得 15−=k x ．故正确选项为D．机动目录上页下页返回结束26典型例题：表达式求值例1．（2003）=−∑∑=−=1111111)1(i i i ii（ ）．A．10 B．11 C．12 D．13答：B． 分析：本题是2003年的一道考题，主要考查了对数学运算符号的了解及一些常用的简单公式．因为66)111(11211110987654321111=+××=++++++++++=∑=i i ，，611)109()87()65()43()21(1110987654321)1(1111=+−+−+−+−+−=+−+−+−+−+−=−∑=−i i i 所以11666)1(1111111==−∑∑=−=i i i ii．故正确选项为B． 机动目录上页下页返回结束27典型例题：表达式求值例2．（2004）设n S n n 1)1(4321−−++−+−="，则=+20052004S S （ ）． A．2 B．1 C．0 D．1− 答：B．分析：本题是2004年的一道考题，考查的知识点与上一例题相同，只是更强调了问题的一般性．由于1002)20042003()43()21(2004−=−++−+−="S ，200520042005+=S S ，所以12005)1002(220052200420052004=+−×=+=+S S S ．故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束28典型例题：表达式求值例3．（2006）1． 11111111223344556677248163264++++++=（ C ）．A． 1530816 B． 3130832 C． 6330864 D． 127308128分析：本题是算术题．考查拆项分组的数字计算方法, 等差数列、等比数列的求和公式 ．解1：11111111223344556677248163264++++++ 111111(11223344556677)248163264⎛⎞=++++++++++++⎜⎟⎝⎠611(1177)7163632308308122646412⎛⎞−⎜⎟+×⎝⎠=+×=+=−．机动目录上页下页返回结束29典型例题：表达式求值解2：考虑到选择题特点，该备选答案中整数部分相同，分数部分不相同，因此只须计算各项的分数部分之和: 即 1111116324816326464+++++=, 由此可知选C．机动目录上页下页返回结束30典型例题：表达式求值例4．（2007）2222222222012345671234567891022222222−+−+−+−+−+++++++的值是（ B ）A．1151 B．1151− C．2251D．2251−分析：本题是算术题，考查拆项分组的数字计算方法，等差数列、等比数列求和公式．因为()22(1)2121k k k k −+=−−=−+，所以222222222201234567(12)(34)(56)(78)(910)22222222−+−+−+−+−+++++++83711151955112125551++++=−=−=−−．机动目录上页下页返回结束31典型例题：表达式求值例5．（2008）请你想好一个数，将它加5，将其结果乘以2，再减去4，将其结果除以2，再减去你想好的那个数，最后的结果等于（ ）． A．21B．1C．23D．3分析：本题是算术题，主要考查了数的四则运算的概念． 设所想的数为x ，则根据题意的2(5)4(5)232x x x x +−−=+−−=．故正确选项为D．机动目录上页下页返回结束32典型例题：平均值问题例1．筑路队修一条公路，前6天共修350m，后8天共修504m，平均每天修多少米？ 分析：6114504350=+． 例2．有8个数，最小的是11，从第二个数起，每个数都比它的前一个数多5，求这8个数的平均数是多少？ 分析：2578721581118)7654321(5118=××××+=+++++++×，或2572)3511(11=++．机动目录上页下页返回结束33典型例题：平均值问题例3．如果c b a ,,的算术平均数是5，那么7,3,2,1+++c b a 的算术平均数是（ ）．A．313B．418 C．5 D．7答：D．分析：本题主要考查了几个数的算术平均值的概念及数的简单运算． 由于53=++cb a ，所以15=++c b a ，从而 74131541347)3()2()1(=+=+++=++++++c b a c b a ． 故正确选项为D．机动目录上页下页返回结束34典型例题：平均值问题例4．（样题）张某以51.10元/股的价格买进股票20手，又以8.9元/股买进30手，又以47.11元/股买进50手，他要不赔钱，至少要卖到每股（ ）元．（1手=100股）A．98.9 B．32.10 C．78.10 D．02.11 答：C．分析：本题主要考查了几个数的加权平均数的概念及数的运算． 由于张某每股股票的平均购进价格是78.10777.105030205047.11308.92051.10≈=++×+×+×（元），所以如果他不想赔钱，他的抛出价格至少是每股10．78元．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束35典型例题：平均值问题例5．某公司共有员工50名，业绩考核平均成绩为81分，按成绩将公司员工分成优秀和非优秀两类，优秀员工的平均成绩为90分，非优秀员工的平均成绩为75分．优秀员工的人数是（ ）． A．15 B．20 C．30 D．35 答：B．分析：本题主要考查了算术平均数的概念及简单分类问题的处理方法． 设该公司优秀员工的人数为x ，则非优秀员工的人数为x −50．根据题意可知8150)50(7590=−+x x ，解得2015)7581(50=−=x ．故正确选项为B． 机动目录上页下页返回结束36典型例题：平均值问题例6．（2008）五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15，这五个数的平均值是（ ）． A．18．8 B．8．4C．5．6 D．4．2分析：本题主要考查了分组问题及平均数的概念与计算．根据题意可知所求的平均值为134567*********4.245+++++++++×=．故正确选项为D．注：设5个不同数分别为,,,,a b c d e ，则()()()()()()()()()()34567811121315a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e +++++++++++++++++++=+++++++++ 机动目录上页下页返回结束37典型例题：植树问题例1．全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽．求共栽梧桐多少棵？ 分析：232)1121380(2=+． 机动目录上页下页返回结束38典型例题：植树问题例2．（2003）1000米大道两侧从起点到终点每隔50米安装一盏路灯，相邻路灯间安装一面广告牌，这样共需要（ ）．A．路灯40盏，广告牌40面 B．路灯42盏，广告牌40面 C．路灯42盏，广告牌42面 D．路灯40盏，广告牌42面 答：B．分析：本题是2003年的一道考题，主要考查了简单植树问题的处理方法．本题也是过去五年125道数学考题中得分率最高的一道． 根据题意可知共需路灯的盏数为42)1501000(2=+；共需广告牌的面数为405010002=×．故正确选项为B． 机动目录上页下页返回结束39典型例题：植树问题例3．（2004）在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）． A ． 50 和40 B ． 40 和 50 C ． 60 和30 D ． 30 和60答：D．分析：本题是2004年的一道考题，考查的是植树问题的处理方法及最小公倍数问题．由于40和60的最小公倍数是120，故只要弄清开始的120米长的范围内的情况便可．而在开始的120米的距离内需在60米的位置挖一个新坑和填掉在40米与80米位置上的两个旧坑，所以在3600米的公路一边需重新挖坑和填坑的个数分别是3011203600=×和6021203600=×．故正确选项为D． 机动目录上页下页返回结束40典型例题：植树问题例4．（2008）假设地球有两颗卫星A、B 在各自固定的轨道上绕地球运行，卫生A 绕地球一周用541小时，每经过144小时，卫星A 比卫星B 多绕地球35周，卫星B 绕地球一周用（ ）． A．312B．322C．513 D．533分析：本题是算术题，表面上是运动问题，实质上植树问题．卫星A 绕地球一周用时 1.8小时，144小时绕地球144801.8=（周），所以卫星B 144小时绕地球803545−=周，每周用时1443.245=小时．故正确选项为C． 机动目录上页下页返回结束41典型例题：植树问题例5．将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，则需要的最少钉子数是（ ）．A．24 B．26 C．27 D．28答：D．分析：本题可以看成是在环形路线上的植树问题，这是的间隔数与所需树木的棵数一致．根据题目要求，每边至少需要7个空隔，所以需要的空格数至少是2874=×，即至少需要28颗钉子．故正确选项为D． 注：本题也可以处理成带有端点的简单植树问题．机动目录上页下页返回结束42典型例题：相遇与追击问题例1．运动场的跑道周长400米，甲、乙两名运动员从起跑点同时同向出发．甲每分钟跑390米，乙每分钟跑310米．求多少分钟后甲超过乙一圈？ 分析：所求时间为5310390400=−．机动目录上页下页返回结束43典型例题：相遇与追击问题例2．快、慢两列车的长度分别为160米和120米，它们相向行驶在平行轨道上．若坐在快车上的人看到整列慢车驶过的时间是3秒，那么坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是（ ）． A．2秒 B．3秒 C．4秒 D．5秒答：C．分析：本题考查了两个运动物体在相遇过程中距离、速度和时间的关系． 设两列车的速度之和为v ，则坐在快车上的人看到整列慢车驶过的时间是3120=v 秒，所以40=v （米/秒），从而坐在慢车上的人见整列快车驶过的时间是440160=秒．故正确选项为C． 机动目录上页下页返回结束44典型例题：相遇与追击问题例3．一辆卡车从甲地驶向乙地，每小时行60千米，另辆一卡车从乙地驶向甲地，每小时行55千米．两车同时出发，在离中点10千米处相遇，则甲、乙两地之间的距离是（ ）．A．230千米 B．345千米 C．460千米 D．575千米答：C．分析：本题是一个运动问题，考查了追击过程与相遇过程中距离、速度、时间的关系．根据题意可知两辆卡车驶过的距离之差为20千米，所以从开始行驶到相遇所用的时间为4556020=−（小时），从而甲、乙两地之间的距离为460)5560(4=+×千米．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束45典型例题：相遇与追击问题例4．（2004）在一条公路上，汽车A 、B 、C 分别以每小时80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B 、车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇两小时后再与车C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）． A ． 2010 公里 B ． 2005 公里C ． 1690 公里D ． 1950 公里分析：本题是2004年的一道考题，考查了运动物体在相遇过程中的距离、速度、时间的关系．设甲乙两站相距l 公里，则A，B 两车从开始行驶到相遇所用的时间为7080+l小时，而A，C 两车从开始行驶到相遇所用的时间为5080+l小时．根据题意可知508027080+=++ll ， 解得 1950=l （公里）．故正确选项为D． 机动目录上页下页返回结束46典型例题：相遇与追击问题例5．（2007）甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A 区到B 区, 甲要用30分钟，乙要用40分钟．如果乙比甲早出发5分钟去B 区，则甲出发后（ ）分钟可以追上乙． A．10 B．15C．20 D．25答：B．分析：设由A 区到B 区的路程为1，则甲每分钟走全程的130，乙每分钟走全程的140; 甲每分钟比乙多走1113040120−=． 乙比甲先出发5分钟，则乙已走了全程的115408×=， 因此, 甲追上乙需要用11158120÷=（分钟）．机动目录上页下页返回结束47典型例题：相遇与追击问题例6．甲、乙两人同时从O 点出发，相背而行，1小时后他们分别到达A，B 两地．如果从O 点出发，互换方向，那么甲在乙到达A 地之后35分钟到达B 地，则甲的速度与乙的速度之比是（ ）． A．43B．34 C．127 D．125 答：A．分析：本题既考查了运动问题中距离、速度、时间的关系，又考查了分析、处理简单综合问题的能力，同时还考查了一元二次方程的求解问题．是一道具有一定难度的简单综合题．机动目录上页下页返回结束48典型例题：相遇与追击问题设甲、乙的速度大小分别为21,v v ，则O 点到A 点的距离是1v ，O 点到B 点的距离是2v ．若设乙从O 点到A 点所用的时间为t ，则12v tv =，即t v v =21．根据题意又有 21)6035(v v t =+， 将t v v =21代入得 0127122=−+t t ，即0)43)(34(=+−t t ，解得43=t ，34−=t （舍去）．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束49典型例题：相遇与追击问题例7．某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾．已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，那么行军部队队列的长度是（ A ）． A．1200米B．1800米C．2400米D．3600米分析：本题是相遇、追击问题中的一道经典题目，在整个问题中，既有追击的过程，又有相遇的过程．处理时只要将两个过程分开讨论便可．设队伍长度为 l ，则队尾的通信员以3倍于行军的速度跑到部队的排头所用的时间为100300−l ，通信员从队伍排头返回队尾所用的时间是100300+l，根据题意可知9100300100300=++−ll ，解得 1200=l （米）．故正确选项为A．机动目录上页下页返回结束50典型例题：顺流与逆流问题例1．两个码头相距144千米，一艘汽艇顺水行完全程需要6小时．已知这条河的水流速度为每小时3千米，那么这艘汽艇逆水行完全程需要（ ）． A．7小时 B．8小时 C．9小时 10小时 答：B．分析：本题主要考查了顺流与逆流问题的处理方法，处理这类问题的关键是抓住船的实际航速与船本身的航速和水流速度之间的关系．设汽艇本身的航速为v ，则顺流时的实际航速为3+v ．根据题意可知63144=+v ，解得得 21=v ，所以逆流行完全程需要的时间为 8321144=−（小时）．故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束51典型例题：顺流与逆流问题例2．两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时．求这条河的水流速度． 分析：因为1635211352=−=+水水，v v v v ，所以 ⎩⎨⎧=−=+,22,32水水v v v v 解得 5=水v ．机动目录上页下页返回结束52典型例题：过桥与穿洞问题一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒．求这条隧道的长．分析：设隧道长为 l ，则 5018270×=+l ，所以 630=l ．机动目录上页下页返回结束53典型例题：一般运动问题（2008）某人从家到工厂的路程为d 米，有一天，他从家去工厂，先以每分钟a 米的速度走了2d 米后，他加快了速度，以每分钟b 米的速度走完了剩下的路程，记该人在t 分钟走过的路程为)(t s 米，那么函数)(t s s =的图象是（ ）．分析：本题主要是算术题，考查了运动距离、速度和时间的关系．由于走过的距离随着时间的增加应该增大，所以正确选项不可能是选项A, B，在选项C, D 中，选项C 表示的是走了2d后速度变慢的情形．故正确选项为D． 注：由导数的物理意义与几何意义可直接得到正确选项．机动目录上页下页返回结束54典型例题：单位量与总量问题例1．修整一条水渠，原计划由16人修，每天工作5.7小时，6天可以完成任务．由于特殊原因，现要求4天完成，为此又增加了2人，求每天要工作几小时？ 分析：设每天要工作 x 小时，则4)216(65.716××+=××x ，所以 10=x ．机动目录上页下页返回结束55典型例题：单位量与总量问题例2．某单位有同一型号效率相同的机器若干台，现有一加工任务，要求30天完成．单位安排18台机器加工，工作12天后完成了全部工作的31．若要按时完成，需要增加的机器台数为（ C ）． A．4B．5C．6D．8分析：本题是一道关于单位量与总量的题目，处理此类问题的关键是要搞清每种方案或每个过程中所完成的工作量，以及这些工作量与总的工作量之间的关系．设需要增加的机器台数为x ，由于18台机器工作了12天完成的工作量1218×占总工作量的31，所以x +18台机器工作18天完成的工作量18)18(×+x 应占总工作量的32．因此1218218)18(××=×+x ，解得 6=x ．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束56典型例题：单位量与总量问题例3．一件工程，甲单独做30天可以完成，乙单独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，如果这样甲、乙二人合起来共做了22天，那么甲、乙两人各做了（ ）．A．4，18 B．6，16 C．10，12 D．11，11答：B．分析：本题主要考查了单位量与总量问题的处理方法．设甲、乙两人工作的天数分别为x 和y ，则22=+y x ．由于甲每天可完成总工作量的301，所以他完成的工作量是总工作量的30x；类似地可知乙完成的工作量是总工作量的20y ，所以 12030=+y x ．求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12030,22y x y x 得⎩⎨⎧==.16,6y x 故正确选项为B．机动目录上页下页返回结束57典型例题：单位量与总量问题例4．（2004）某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有－间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）．A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7答：C．分析：本题是2004年的一个考题，也是一个单位量与总量的问题，考查的主要是每种住宿方案下住下的人数与总人数之间的关系．设该校有女生宿舍的房间数为x ，则该校的女生人数是204+x ．每间住8人没有住满说明x x 8204<+，而只有一间没住满则意味着204)1(8+<−x x ．由不等式x x 8204<+得5>x ，由不等式204)1(8+<−x x 得7<x ，考虑到x 是整数得6=x ．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束58典型例题：单位量与总量问题注：本题也可利用选项验证的方法处理．若只有4间女生宿舍，则女生人数是36人，每间8人不可能住下，故选项A 错误；若只有5间女生宿舍，则女生人数是40人，每间8人恰好住满，说明选项B 错误；当有6间女生宿舍时，女生人数是44人，这时每间8人5间住不下、6间住不满，符合题意．故正确选项为C．机动目录上页下页返回结束59典型例题：单位量与总量问题例5．（2005）某项工程8个人用35天完成了全工程量的13，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）． A．18 B．35 C．40 D．60分析：设完成剩余的工程还需要的天数是x ，则x )68(21358+=×，故40=x ，即正确选项为C．机动目录上页下页返回结束60典型例题：和差、和倍与差倍问题例．把324分为A,B,C,D 四个数，如果A 数加上2，B 数减去2，C 数乘以2，D 数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？ 分析：根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧==−=+=+++,21222,324D C B A D C B A 解得 144,36,74,70====D C B A机动目录上页下页返回结束。
GCT考试真题解析高数部分教案
GCT 考试真题解析——高数部分116.lim () 4. A. C. x=1(x 1)f(x)>2 D. x=1(x 1)f(x)4x f x →=≠≠≠若则必定（ ）f(1)=4B.f(x)在x=1处无定义在的某临域中，在的某临域中，17.设0)(>x f ，且导数存在，则=+∞→)()1(ln lim a f n a f n n （ ）。
A. 0 B. ∞ C. )(ln a f ' D.)()(a f a f ' 18. ()11limsin x x xππ→-=( )．A ．π-B ．-1C ．0D ．119．若函数)(x f 可导，且2)0()0(='=f f ，则h h f h 2)(lim20-→=（ ）。
A ．0B ．1C ．22D ．420．函数)(x f 在[]+∞,1上具有连续导数，且0)(lim ='+∞→x f x ，则（ ）。
A ．)(x f 在[]+∞,1上有界 B ．)(lim x f x +∞→存在C ．))()2((lim x f x f x -+∞→存在 D ．0))()1((lim =-++∞→x f x f x2x 117.ln(tan )ln 22y πππ'=-设，则y ()=( )248A. -1B. 1C.D.16+16+21.设函数)(x f 可导，且1)0(=f ，x x f =-)ln ('，则)1(f ＝（ ）18.()(0)1,(ln ),(1)f x f f x x f =-==-1-1-1-1设函数可导，且则( ) A. 2-e B. 1-e C. 1+e D. e22. 若可导函数f(x)满足，f'(x)=f 2(x)，且f(0)=-1，则在点x=0的三阶导数f'''(0)=( )．A ．6B ．4C ．-4D ．-623．若a,b ，c ，d 成等比数列，则函数y=A.有极大值，而无极小值 B ．无极大值，而有极小值 C.有极大值，也有极小值 D ．无极大值，也无极小值24 .曲线{21),2()1(10,)1(22≤<--≤≤-=x x x x x x y 在（0，2）区间内有（）。
GCT数学复习公式高数部分.docx
GCT 高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
GCT 数学 讲义 第二部分 代数
第二部分 代数 Created by huzhiming 第 1 页 共 14 页第二部分 代数本部分内容包括：考试要求、样题、重要问题、内容综述、典型例题、模拟练习． [考试要求]代数式和不等式的变换和计算．包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等． [样题]1．#5棵大小不同的柳树，6棵大小不同的杨树，栽到5个坑内，一坑一棵，5个坑内至多栽2棵柳树，5个坑都栽了，有[ ]种栽法． (A)281(B)200(C)81(D)2752．求阶乘不超过200的最大整数[ ]。
(A)3(B)4(C)5(D)63．设函数1)(-=x xx f ，1,0≠≠x x ，则=))(1(x f f [ ] (A)x -1(B)x11-(C)1-x x(D)1-x4．设30≤≤x ，则函数2)2(2--=x y 的最大值为[ ] (A)2-(B)1-(C)2(D)35．##袋中有3个黄球，2个红球，1个兰球，每次取一个球，取出后不放回，任取两次，取得红球的概率是[ ] (A)151(B)3011 (C)31 (D)32 6．现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？[ ](A)第一个人 (B)第二个人(C)第三个人 (D)一样大7．比较 6.04.0与4.06.0谁大？[ ](A)前者(B)后者(C)一样大(D)无法确定8．函数)1ln()(2x x x f ++=是[ ] (A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单调减少函数9．在连乘式)5)(4)(3)(2)(1(+++++x x x x x 展开式中，4x 前面的系数为[ ] (A)13(B)14(C)15(D)16[重要问题]样题中问题类型：排列组合（1）、函数求值（3）、二次函数（4）、简单概率问题（5，6）、幂函数与指数函数（7）、函数奇偶性（8）、代数式运算（9）．已考问题类型：2003年：二次函数（单调区间）、函数图像(对称性)、乘方开方运算、简单概率问题、比赛场次；2004年：分数运算、绝对值概念、二次方程求根、幅角概念与两角和三角公式、简单概率问题；2005年：简单代数公式（两数差的平方）、复数的模、数列（等差、等比）、简单概率问题（古典概型）。
[整理]GCT高等数学第七章微分方程.
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第七章：微分方程主讲-----姜进进教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4．会用降阶法解下列微分方程：()()ny f x=，(,)y f x y'''+和(,)y f y y'''=5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()ny f x=，(,)y f x y'''+和(,)y f y y'''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§7. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程.含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。
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GCT 辅导班数学资料一、数学内容要求 内容：1.算术：数的概念和性质，四则运算与运用．2.代数：代数式和不等式的变换和计算．（实数和复数；乘方和开方；代数式的运算；方程；不等式；数学归纳法；数列；二项式定理，排列，组合；概率与统计的基本知识等．3.几何：常见平面和空间图形的计算和运用；三角；解析几何．4.一元微积分：函数及图形；极限；导数及微分及应用；积分．5.线性代数：行列式；矩阵，向量；线性方程组；特征值问题．要求：逻辑推理能力；数学运算能力；空间想象能力；综合思维能力．题目：25题（每题4分）标准选择题．180分钟四门课，平均每门课（数学）45分钟．每题平均1.8分钟．二、复习阶段建议1.全面复习阶段：把大纲要求的知识点复习明白，掌握清楚．2.归纳总结阶段：把复习要求的知识点进一步浓缩和提升，从全局上把握所复习的知识，突出重点和难点．从自己的实际出发，自己总结和提高． 3．冲刺阶段：通过做模拟题或考试真题来检查自己的重点掌握的程度和处理问题的能力，查缺补漏，进一步提高应试的能力和技巧． 注意：复习数学离不开做数学题，只有通过典型问题的分析和练习相关的数学题才能达到上述的目的． 三、应试常用方法和几种解题技巧1.统观考题，沉着冷静，先易后难．2.分析题型，正确应用，对号入座．3.时间不够，定向猜测，争取得分． 常用的几种解题技巧 1.取特殊值代入法：例1. 函数)(x a f y +=与)(x a f y -=的图形关于 。
A ．直线a x =对称。
B ．直线a x -=对称。
C ．直线0=x 对称。
D ．直线0=y 对称。
例2．在平面α上給定线段AB=2,在α上的动点C ，使得A,B,C 恰为一个三角形的三个顶点，且线段AC 与BC 的长是两个不等的正整数，则动点C 所有可能的位置必定在某（ ）上。
A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D.直线 (C)例 3.两个相似多边形的周长分别为21,L L ,面积分别为21,S S .若3:2:21=L L ,且,3012=-S S 则=+12S S ( )A. 88B. 78C. 68D. 58 ( B) 例4. 设m b a ,,均为大于零的实数，且,a b >则m b m a ++与ba谁大？ A.前者 B.后者 C. 一样大 D ．不能确定 （A ）2. 选项代入法:例5.．一辆汽车从甲地出发按某一速度行驶，可在预订时间到达乙地，但在距乙地180公里处意外受阻30分钟，因此在继续行驶时车速每小时必须增加5公里，才能准时到达乙地。
gct高数(公式)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹〔Leibniz 〕公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
GCT数学第一讲 数学周远飞老师
4．正比：若 y kx ( k 不为零)，则称 y 与 x 成正比， k 称为比例系数。 5．反比：若 y
k ( k 不为零)，则称 y 与 x 成反比， k 称为比例系数。 x
【详解】 ：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总值为
人均生产总值与乙省人均生产总值之比是
de ，即正确选项为 D。 cf
B． b c a ． C． c a b ． D． c b a ．
A． a b c ．
【例 6】 （2009） A． 41
2010 2008 1 （ (1 3 5 7 9 11 13) 2
C． 1681 D． 2401
）
B． 49
【例 6】 （2003）设 Sn 1 2 3 4 A. 2 C. 0 B. 1 D. –1
a 1 b a 0 1 b
【例 9】设
am a bm b am a bm b
( m 0) ( m 0)
1 1 1 : : 4 : 5 : 6 ，则使 x y z 74 成立的 y 值是 x y z
（B） 36 （C）
（A） 24
74 3
（D）
37 2
【例 10】已知 （A）5
成功的义
主讲
周远飞
卓越源于专业
第一讲
一、基础概念
1.自然数、整数 2.分数 3.小数
算术
二、数的整除、分类与运算
1.数的整除：当整数 a 除以非零整数 b，商正好是整数而无余数时，则称 a 能被 b 整除或 b 能整除 a。 2.倍数，约数：当 a 能被 b 整除时，称 a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数。 3.奇数、偶数：整数中，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数，偶数可用 2k 表示，奇数可用 2k+1 表 示， k 是整数。 4.质数（素数）:除了本身和 1 以外并没有任何其他因子的正整数称为质数（素数） 。 合数：除了 1 和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。 1 既不是质数也不是合数。自然数中最小的质数是 2。 质数中只有 2 是偶数。 5.质因数: 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个 数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 6.公倍数、最小公倍数 7.公约数、最大公约数 8.互质数:公约数只有 1 的两个数称为互质数。 9.最简分数：
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GCT 数学.微积分部分第1章函数的极限与连续 1.1函数 一 函数1定义 设x 和y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。
2 表示法3 基本初等函数二 特性1函数的有界性设函数)(x f 在区间I 上有定义，如果0>∃M ，使得对I x ∈∀，有M x f ≤)(，则称)(x f 在区间I 上有界，否则，称)(x f 在区间I 上无界。
2函数的单调性设函数)(x f 在区间I 上有定义,如果I x x ∈∀21,且21x x <时，有)()(21x f x f ≤（或)()(21x f x f ≥）则称)(x f 在区间I 上是单调增（或单调减）的。
3函数的奇偶性设函数)(x f 的定义域X 关于原点对称，（即若∈x X ，则必有∈-x X ），如果∀∈x X ，有)()(x f x f =-成立，则称)(x f 为偶函数，如果∀∈x X ，有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f 为奇函数。
4函数的周期性设函数)(x f 的定义域是X ，如果∃常数0≠T ，使得对∀∈x X ，有∈±T x X ，且)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 是周期函数，使上式成立的最小正数T 称为)(x f 的周期。
三 函数的运算 1 四则运算 2 反函数3复合函数与初等函数 （1）复合函数设)(u f y =，定义域为u D ；)(x u ϕ=，定义域为x D ，值域为u W ，当u W ⊆u D 时，称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，它是由)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成的函数，它的定义域为x D ，称u 为中间变量。
（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的并用一个式子所表示的函数称为初等函数。
四 典型例题例1.1.1 下列函数是否相同？ （1） x x g x x f lg 2)(lg )(2==；（否） （2） 33341)(,)(-=-=x x x g x x x f ；（是） （3） 1)(,)1()(2-=-=x x g x x f 。
（否） 例1.1.2设函数)(x f 的定义域是]1,0[，则函数)cos 1(1)(sin 1)(x f x x f x x g π+⋅++π⋅-=的定义域是[ )(D ])(A 1≤x )(B 10≤≤x )(C 5.0≤x )(D 15.0≤≤x例1.1.3（08）设,0,0,1,)(x ＜x ＞x x x f ⎩⎨⎧-=则有[ ]。
（A ）2))(())((x f x f f = （ B ）)())((x f x f f =（C ）)())((x ＞f x f f （D ）)())((x ＜f x f f 答（B ）。
分析：本题主要考查函数的概念与函数求值的运算。
解法1：由,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩易知，当0≠x 时，()0f x >。
又(())()(),()0f x f x f f x f x f x f x >=<,0,1,0,xx xx >⎧=⎨-<⎩所以)())((x f x f f =。
故正确选项为（B ）．解法2：利用特殊值代入法与排除法更简单．取2x =，则(2)2,((2))(2)2f f f f ===，这时选项（A ）,（ C ）,（Ｄ）都不成立。
故正确选项为（B ）． 1.2数列的极限1定义 给定数列}{n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋近于某个常数A ，则称数列}{n x 以A 为极限，记作A x n n =∞→lim 或者)(∞→→n A x n 。
单调性 设数列}{n x ，如果对于n ∀，有1+≤n n x x （1+≥n n x x ），则称数列}{n x 是单调递增（单调递减）的。
3如果0>∃M ，对于n ∀有M x n ≤，则称数列}{n x 是有界的。
4 数列极限的性质（1）若数列}{n x 是收敛的，则它的极限是唯一的。
（2）数列}{n x 是收敛的，则称数列}{n x 是有界的。
5 数列极限的四则运算设A x n n =∞→lim ，B y n n =∞→lim （1）B A y x n n n ±=±∞→)(lim （2）AB y x n n n =∞→lim （3）)0(lim≠=∞→B BAy x n n n1.3函数的极限 1 函数极限的定义（1）设函数)(x f 在区间),[+∞a 上有定义，A 为常数，如果当+∞→x 时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当+∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =+∞→)(lim 。
（2）设函数)(x f 在区间],(a -∞上有定义，A 为常数，如果当-∞→x 时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当-∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =∞-→)(lim 。
（3）设函数)(x f 在区间),(),(+∞⋃--∞a a )0(>a 上有定义，A 为常数，如果当x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称当∞→x 时，)(x f 以A 为极限，记作A x f x =∞→)(lim 。
（4）定理 A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是A x f x =∞-→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim 。
（5）当x 无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x 趋近于0x 时，函数)(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
（6）当0x x <无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x 趋近于0x 时，函数)(x f 的左极限为A ，记作A x f x f x x ==--→)(lim )0(00。
（7）当0x x >无限趋近于0x （≠x 0x ）时，函数)(x f 的值无限趋近于A ，则称x 趋近于0x 时，函数)(x f 的右极限为A ，记作A x f x f xx ==++→)(lim )0(00。
（8）定理 A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x ==--→)(lim )0(00且A x f x f x x ==++→)(lim )0(00。
（9）设A x f x =*→)(lim ，B x g x =*→)(lim （i ）若B A >，则极限点附近有)()(x g x f >。
（ii ）极限点附近有)()(x g x f ≥，则B A ≥。
2 函数极限的性质（1）如果)(lim x f 存在，则极限值是唯一的。
（2）如果A x f =)(lim ，则)(x f 在极限点附近是有界的。
3 函数极限的运算法则 （1）四则运算（2）复合函数的运算法则设复合函数)]([x f y ϕ=在0x 的某邻域内（0x 可除外）有定义，如果0)(lim 0u x x x =ϕ→ （00)(,u x x x ≠ϕ≠）且A u f u u =→)(lim 0，则A u f x f u u x x ==ϕ→→)(lim )]([lim 00。
4 重要极限 *（1）1sin lim0=→xxx（2） e x xx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→1)1(lim典型例题例1.3.2设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>-=232421214)(2x x x x x x x f ，求)(lim 2x f x → 。
（7） 例1．3．3 =I m m m m n n n n x b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----∞→11101110lim ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>∞=mn m n b a mn 000例1．3．4 213lim 415320-++-∞→x x x x x ，0213lim 415312=-++-∞→x x x x x ，252215lim 420320=-++-∞→x x x x x例1．3．5（1）xxx tan lim 0→ （1）（2）20cos 1lim x x x -→（21） （3）xx x 11lim-+→（21）（4）=I 22sin lim nxn n ∞→（x ） （5）nn n n )11(lim -+∞→ （2e ）1.4 无穷大量与无穷小量一 1 定义（1）如果函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时的极限为零，则称函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时为无穷小量。
（2）如果函数)(x f 当0x x →（或∞→x ）时)(x f 无限变大，则称函数)(x f 当0x x → （或∞→x ）时为无穷大量。
记作∞=)(lim x f . 2 无穷大量与无穷小量的关系在自变量的同一变化过程中，如果函数)(x f 为无穷大量，则)(1x f 为无穷小量，反之，如果函数)(x f 为无穷小量且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大量。
3无穷小量与有极限量的关系)()()(lim x A x f A x f α+=⇔=，其中0)(lim =x α 4 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5无穷小量的比较设*→x 时，0)(,0)(→β→αx x(1)若0)()(→βαx x ，则称*→x 时)(x α比)(x β高阶无穷小，记作))(()(x x βο=α 若c c x x ()()(→βα是不等于零的常数），则称*→x 时)(x α与)(x β同阶无穷小。
特别地，当1=c 时称*→x 时)(x α与)(x β是等价无穷小，记作*→x 时，)(x α)(~x β。
当0→x 时，x x ~sin ，，x x ~t a n，，x x ~)1l n (+ x x x x 21~11,21~cos 12-+-，x e x ~1-。
若∞→βα)()(x x ，则称*→x 时)(x α比)(x β低阶无穷小。
6等价无穷小替换定理设*→x 时，0)(,0)(→β→αx x ，0)(,0)(11→β→αx x 且~)(x α)(1x α，~)(x β)(1x β，)()(lim11x x x βα→*存在，则 =βα→*)()(lim x x x )()(lim 11x x x βα→*。