关于曲线上某个点的切线的斜率的推理

（理论上曲线都可以用函数表示）
由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可 以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p,y+q）代入N 次方程中
然而，如果将不同指数的每一项分开看的话 （这里以三次项为范例）
a(x+p)^3+b(x+p)^2a+(xc+(px+)^p3)+d = y+q 3ax^2p+3axp^2a+xa^p3^+33+a2xb^2xp+b3pa^x2p+^2cp+a=p^q3
a(x+p)^3
ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^3
3ax^2p
3ax^2
由各次方的展开式的系数的规律（杨辉三角 形）我们可以知道，这一项(式子中提出只 带有一个p的这一项)的展开后的系数就等于 这一项的指数。
这处理为：ax^n 变为 anx^(n-1)
ax^n 变为 anx^(n-1) 比如，将四次函数（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e）经过处理，变为
点（x，y）的斜率=4ax^3+3bx^2+2cx+d (零次项算在（将原有部分去除）里)
综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以 ax^n 变为 anx^(n-1)
的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（x,y）的点的斜率。
3ax^2+3axp3+aax^p2^p2+32abxp+^b2p++acp=^3q/p 3ax3^a2x+^32a+x2pb+xa+pc^=2 q/p
展开 将原有的部分去除
除以p 仍带有p的忽略
所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，再除以p a(x+p)^3 ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^3 3ax^2p 3ax^2
p^2-3p = -q -p+3 = q/p
因为p，q 无限接近于0 所以q/p=3
(展开) (两边同除以p)
所以，L1的斜率为3 设L1：y=3x+b 再将A（4，-3）代入
可得：L1：y=3x-15
那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函 数表达式应该是可以求的了，但若每一点都 这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到 一个通用的公式。
(展开并整理) (除以p)
所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.
同先样画的个，图作。出A’.
设此函数式为：y=ax^3+bx^2+cx+d 可以列出方程：
a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d = y+q 3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp = q (和前几次一样展开、化简)
首先，既然 是求某曲线 上某点的切 线，那么必 然得先有一 个曲线，从 最基本的二 次函数曲线 开始。右边， 就是一个任 意构造的二 次函数曲线。
然后由只，图为再可方在这以便条得计曲知算线上，) 任y取=一x^点2，-5设x+为1点,AA。(4,-3) .(取整点
再过A点，作一条切线 L1
对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲 线上有另一个点A’，直线L1’通过点A和A’。
那么，当点A和A’之间的距离变近时，L1’就越接近 L1。而如果点A和A’靠近到极限——也就是重合的时 候，L1’就成为了L1。
因为A(4,-3) 所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）
因为A’在抛物线上 由此我们可以列出方程
(4-p)^2-5*(4-p)+1 = -3-q
(4-p)^2-5*(4-p)+1 = -3-q 16-8p+p^2-20+5p+1 = -3-q
3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c = q/p (两边同除以p)
3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c = q/p (两边同除以p)
因为p可以忽略不计，所以3axp,ap^2,bp可以忽略 所以，q/p=3ax^2+2bx+c
即对于所有3次函数曲线（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某点（x，y）的斜率 为3 ax^2+2bx+c。
设该点的坐标为（x,y）
再按照上面方法求一遍
(x-p)^2-5*(x-p)+1 = y-q (x^2-5x+1)+p^2-2px+5p = y-q
p^2-2px+5p = -q p-2x+5 = -q/p
p可以忽略不计 所以，q/p=2x-5
(展开并整理) (同除以p)
可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设这个函数式的解析式为：
y=ax^2+bx+c 同样有点A,A’,切线L1，L1’。
设A(x,y),A’(x+p,y+q)
a(x+p)^2+b(x+p)+c = y+q (ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp = y+q
2apx+bp+ap^2 = q 2ax+b+ap = q/p 所以p/q=2ax+b