福建省基地校(福州三中)2015年高三数学10月专项练习圆.

《圆锥曲线》平行性测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1） 已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为5，则C 的渐近线方程为
（A ） x y 2±= （B ）x y 21±
= （C ）x y 3
1±
=
（D ）x y 4
1
±=
（2） 已知椭圆18
22
=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，则21PF PF ⋅的最大值是 （A ） 8
（B ）22
（C ）10
（D ） 24
（3） 设21,F F 为椭圆两焦点，点P 是以21,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若
12215F PF F PF ∠=∠，则椭圆离心率为
（A ）
3
2 （B ）
3
6 （C ）
2
2 （D ）
2
3 （4） 已知点P 是抛物线2
4x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛
物线准线的距离之和的最小值为 （A ）
2
17 （B ）5 （C ）22
（D ）
2
9 （5） 已知),(00y x M 是双曲线12
:22
=-y x C 上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若021<⋅MF MF ，则0y 的取值范围是
（A ）（33
,33-
） （B ）（63
,63-
） （C ）（223-，22
3
） （D ）（233-
，23
3
）
（6） 抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM 的
外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π36，则p 的值为 （A ）2
（B ）4
（C ）6
（D ）8
（7） 已知21,F F 分别是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，以21F F 为直径
的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则21cos PF F ∠等于 （A ）
3
5
（B ）
34
（C ）
45
（D ）
56
（8） 设点P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为
21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是
（A ）
4
1 （B ）
2
2 （C ）
2
1 （D ）
2
3 （9） 已知以F 为焦点的抛物线x y 42
=上的两点B A ,满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到
准线的距离为 （A ）
3
8
（B ）
3
4 （C ）2 （D ）1
（10） 已知抛物线C ：x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一
个焦点，若QF PF 4=，则||QF 等于 （A ）
2
7 （B ）3
（C ）
2
5 （D ）2
（11） 已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的
左、右两个焦点，且21PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交N M ,两点，点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是 （A ）5
（B ）2
（C ）3
（D ）2
（12） 设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2
22
50x y r r -+=>相切于点
M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（A ）()13，
（B ）()14，
（C ）()23，
（D ）()24，
二、填空题：本大题4小题，每小题5分．
（13） 如果双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则双曲线的
离心率为__________．
（14） 若点O 、F 分别为椭圆
22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为 ．
（15） 平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率
为 ．
（16） 设抛物线x y C 4:2
=的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，
过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ，若2
3
=
PF ，则弦长AB 等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17） （本小题满分10分）
已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b
y a x 的一个焦点为)0,1(F ，离心率21
=e ，椭圆的
左、右顶点分别为A 、B ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过A 作直线l ，与椭圆交于异于A 、B 的另一点P ，与直线2=x 交于点Q ．当直线l 绕点A 转动时，判断以BQ 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．
（18） （本小题满分12分）
已知点P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点(1F 是圆心)，点2F 与点1F 关于原点对称．线段2PF 的中垂线m 分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l 经过2F ，与抛物线x y 42
=交于1A ，2A 两点，与C 交于1B ，2B 两点．当以21B B 为直径的圆经过1F 时，求21A A ．
（19） （本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5
||||4
QF PQ =
． （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
（20） （本小题满分12分）
双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线x y 3=为C 的一条渐近线． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点)4,0(P 的直线l ，交双曲线C 于B A ,两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当12PQ QA QB λλ==，且3
8
21-
=+λλ时，求Q 点的坐标． （21） （本小题满分12分）
已知圆1)1(:2
2
=++y x M ，圆9)1(:2
2
=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并与圆
N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的
半径最长时，求AB ．
（22） （本小题满分12分）
已知定点)0,2(-A ，)0,1(F ，定直线4:=x l ，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的
距离的1
2
．设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交M 、N 两点． （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理
由．
《圆锥曲线》平行性测试卷参考答案
一、选择题 （1） A ．
解析：由题设5==a c e ，所以512
222222=+=+=a
b a b a a
c ，所以2=a b
， 所以双曲线的渐近线方程为x y 2±=． （2） A ．
解析：21PF PF ⋅8)2
2(
)2
(22
22
1===+≤a a PF PF ，当且仅当21PF PF =时等号成立．
（3） B ．
解析：因为P 是以21,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，则︒=∠9021PF F ，又
12215F PF F PF ∠=∠所以︒=∠7521F PF ，︒=∠1512F PF ，
所以
21020190sin ||75sin ||15sin ||F F PF PF ==， 1275sin 15sin ||||0021c
PF PF =++，
而a PF PF 2||||21=+，所以 3
6
75sin 15sin 100=+=a c ． （4） B ．
解析：抛物线x 2
=4y 的焦点F 的坐标为F （0，1），准线方程为1-=y ，设P 点到准线的距离为d ，则PF d =，所以FM PF PM d PM ≥+=+，当且仅当M P F ,,三点共线时等号成立，所以最小值为5=FM ． （5） A ．
解析：依题意得)0,3(1-F ，)0,3(2F ，12
2
02
0=-y x ， 所以01332
0202021<-=-+=⋅y y x MF MF ，所以)3
3
,33(0-
∈y ． （6） D ．
解析：依题意得，OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆的半
径等于6，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，2
p
OF =， 所以64
2=+p
p ，解得8=p ． （7） C ．
解析：设m PF =1，n PF =2，则a m n 2=-，由于21F PF ∆为直角三角形， 因此2224c n m =+，又5==a
c
e ，所以a c 5=，解得a m a n 6,8==， 所以5
41082cos 2
1212===
=∠a a c n F F PF F PF ． （8） C ．
解析：设21F PF ∆的内切圆的半径为r ，则由21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+， 可得
r F F r PF r PF ⨯⨯⨯=⨯+⨯21212
1
22121， 所以21212F F PF PF =+，即c a 42=，所以2
1
=e ． （9） A ．
解析：抛物线的焦点坐标)0,1(F ，准线方程1-=x ． 设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为)1(-=x k y
由⎩⎨⎧-==)
1(42x k y x y ，消去x 得：0442=--y k y
所以421-=⋅y y ，因为FB AF 3=，所以213y y -=，所以3
3
2,3221-==y y 所以3
1,321==x x ，AB 中点的横坐标350=x ，所以AB 中点到准线的距离为38．
（10） B ．
解析：因为QF PF 4=，所以
4
3=
PF
PQ ，过点Q 作l QM ⊥，垂足为M ，则x QM //轴，所以4
3
4
=
=
PF
PQ MQ ，所以3=MQ ，由抛物线定义即3=QF ． （11） A ．
解析：在21F PF ∆中，点N 恰好评分线段2PF
，点O 恰好平分线段21F F ，所以1//PF ON ，又ON 的斜率为a b ，所以a
b F PF =∠21tan ．
在21F PF ∆中，设bt PF =2，at PF =1，根据双曲线的定义有a at bt 2=-，
又在直角三角形，2
2
2
4)()(c at bt =+，所以22
22
2
4)
(4)(c a b a b a =-⋅+， 所以2
2)(a b a -=，所以a b 2=，所以5=
e ．
（12） D ．
解析：显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设．当直线l 的斜率存在时，
设斜率为k ．设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2
112224,
4,
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-．由于12x x ≠， 所以
1212
12
22y y y y x x +-⋅=-，即02ky =．圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥， 得00000
1,55
y k ky x x -⋅
=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上． 将3x =代入2
4y x =，得2
12y =，所以02323y -<<．
因为点M 在圆()()2
22
50x y r r -+=>上，
所以22222
000(5),412416x y r r y -+==+<+=．
又2
044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），
所以2
04416y <+<，24r <<．
二、填空题 （13） 3．
解析：双曲线渐近线x a
b
y =
与抛物线22+=x y 联立，得022=+-a bx ax ， 因为相切，所以0822=-=∆a b ，所以a c 3=，所以3=e ． （14） 2-．
解析：设),(y x P ，则2
2
),1)(,(y x x y x y x PF OP ---=---=⋅，又点P 在椭圆上，
所以22
433x y -
=，所以2)2(4
1
341)433(2222-+-=---=----x x x x x x ， 又因为22≤≤-x ，所以当2-=x 时，有最大值为2-．
（15）
2
3． 解析：设OA 所在的直线方程为b y x a =
，则OB 所在的直线方程为b y x a
=-，解方程组2,
2,b y x a x py ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2
22,2,pb x a pb y a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 抛物线的焦点F 的坐标为0,
2p ⎛
⎫
⎪⎝⎭
．因为F 是ABC ∆的垂心， 所以1OB AF
k k ⋅=-，所以222212pb p b a pb a a ⎛⎫
- ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，即2
2
54b a =． 所以222
229
14
c b e a a ==+=，解得32e =．
（16） 6．
解析：抛物线焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ．
设),(11y x A ，),(22y x B ，直线AB 的方程为)1(-=x k y ，
由⎩⎨⎧-==),
1(,42x k y x y 消去x 得0442
=--y k y ，
所以k y y 4
21=+，所以设),(00y x P ，则k y 20=，22
0014k
y x ==
． 所以)2
,1(
2k
k M ． 因为23
=
PF ，所以234)11(222=+-k
k ，解得22=k ，所以421=+x x ， 所以621=++=p x x AB ．
三、解答题
（17） 解：（Ⅰ）依题意，得1=c ．………………………………………………2分
又2
1
=
e ，所以2=a ，3222=-=c a b ． 所以椭圆的标准方程为13
42
2=+y x ．…………………………………………4分
（Ⅱ）设直线l 的方程为)2(+=x k y （0≠k ），点),(00y x P ． 则点Q 的坐标为)4,2(k ，BQ 的中点)2,2(k M ．
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,134
),2(22y x x k y 得0121616)43(2222=-+++k x k x k ，
则2
204312
162k
k x +-=-， 所以2
204368k k x ++-=，20
04312)2(k k
x k y +=+=．………………………6分 ①当x PF ⊥轴时，10=x ，解得2
1±=k ． 所以)2
3,1(±P ，)2,2(±Q ．
此时圆的半径为1，点Q 到直线PF 的距离1=d ，以BQ 为直径的圆与直线PF 相切；………………………………………………………………………8分 ②当21
±
≠k 时，直线PF 的斜率为2004141k
k x y k PF -=-=， 所以直线PF 的方程为)1(4142
--=
x k
k
y ， 所以点Q 到直线PF 的距离k k k k k k k k k k
k k k d 2414141821)
41(1641424182
2232
22
2
2=-+-+=+---
--=
， 圆的半径等于k 2，以BQ 为直径的圆与直线PF 相切．
综上所述，以BQ 为直径的圆与直线PF 相切．………………………10分 （18） 解：（Ⅰ）由题意得，12(1,0),(1,0)F F -圆1F 的半径为4，且2|||MF MP =，
从而121112||||||||||4||MF MF MF MP PF F F +=+==>，
所以点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，…………………………………………3分 长轴长24a =，所以2a =，焦距22c =，则3b =，
因此椭圆方程为22
143
x y +=．………………………6分
（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时，)23
,1(1B ，)2
3,1(2-B ，又)0,1(1-F ， 此时11210B F B F ⋅≠，所以以21B B 为直径的圆不经过1F ，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设)1(:-=x k y l ．
由22(1),1,4
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-=．………………………8分
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
设),(111y x B ，),(222y x B ，则22121222
8412
,3434k k x x x x k k
-+==++． 因为以21B B 为直径的圆经过1F ，所以11210B F B F ⋅=，又)0,1(1-F , 所以0)1)(1(2121=+----y y x x ，
即01))(1()1(2
212212=+++-++k x x k x x k ，解得2
97
k =
， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得0)42(2222=++-k x k x k ． ………………………10分 因为直线l 与抛物线有两个交点，所以0k ≠．
设),(331y x A ，),(442y x A ，则23422
244
2k x x k k
++==+，341x x =． 所以12342464
229
A A x x p k =++=+
+=．………………………12分 （19） 解：（Ⅰ）设)4,(0x Q ，代入px y 22
=，得p
x 8
0=
， p
PQ 8
=
，p p x p QF 8220+=+=．……………………………2分
由题设得
p
p p 8
4582⋅=+，解得2-=p （舍去）或2=p ， 所以C 的方程为x y 42
=．…………………………………………5分 （Ⅱ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为)0(1≠+=m my x ， 代入x y 42
=，得0442
=--my y ．
设),(11y x A ，),(22y x B ，则4,42121-==+y y m y y ． 故AB 的中点为)2,12(2
m m D +，
1412212+=-+=m y y m AB ，………………………7分
又l '的斜率为m 1-，方程为3212++-=m y m
x ，代入x y 42
=， 整理得0)32(44
22=+-+
m y m
y ． 设),(),,(4433y x N y x M ，则m
y y 443-=+，)32(42
43+-=m y y ． 故MN 的中点为)2,322(
2
2
m m m E -++．
2
221
2)1(4m
m m MN ++=，………………………9分 由于MN 垂直平分线AB ，故N B M A ,,,四点在同一圆上等价于
MN BE AE 21=
=，从而2
2
2
4
14
1MN DE AB =
+， 即4
2222
22
2
)12()1(4)22()22()1(4m m m m m m m ++=+++++，
解得1±=m ，所求直线l 的方程为01=--y x 或01=-+y x ．
……………………………………………………………………………………12分
（20） 解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-=，
由椭圆22
184
x y +=，求得两焦点为(2,0),(2,0)-， 所以对于双曲线:2C c =，………………………………………………2分 又3y x =为双曲线C 的一条渐近线， 所以
3b
a
=，解得221,3a b ==， 故双曲线C 的方程为2
2
13
y x -=．………………………5分 （Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零．
设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ，则4
(,0)Q k
-
， 1PQ QA λ=1114
4(,4)(,)x y k k
λ∴--=+， 所以111144(),4,x k k y λλ⎧-=+⎪⎨⎪-=⎩从而11
1
144,4,x k k y λλ⎧=--⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
11)(,A x y 在双曲线C 上，∴
21211
11616()10k λλλ+--=，………………7分 ∴22
22111616321603
k k λλλ++-
-=， ∴2221116
(16)321603
k k λλ-++-=．
同理有22
22216(16)32160.3
k k λλ-++-=………………………9分 若2
160k -=，则直线l 过顶点，不合题意，2
160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程222
16(16)321603
k x x k -++-
=的两根． 122
328163
k λλ∴+=
=--，2
4k ∴=， 此时0,2k ∆>∴=±．∴所求Q 的坐标为(2,0)±．………………………12分 解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-．
12PQ QA QB λλ==，111222444
(,4)(,)(,)x y x y k k k
λλ∴--=+=+．
11224y y λλ∴-==，114y λ∴=-
，22
4y λ=-， 又128
3λλ+=-
，121123
y y ∴+
=，即12123()2y y y y +=，………………7分 将4y kx =+代入2
2
13
y x -=，得222(3)244830k y y k --+-=， 230k -≠，否则l 与渐近线平行．
2
121222
24483,33k y y y y k k
-∴+==--．………………………9分 2
22
244833233k k k
-∴⨯=⨯--，2k ∴=±，(2,0)Q ∴±．………………………12分 （21） 解：（Ⅰ）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，
所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=，………………………3分 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的
椭圆（左顶点除外），其方程为
22
1(2)43
x y x +=≠．………………………5分 （Ⅱ）对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于22PM PN R -=-≤（R 为圆P 的半径），所以R ≤2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为2
2
(2)4x y -+=； 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得23AB =；
若l 的倾斜角不为90°，由1r R ≠，知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
1
QP R
QM
r =
，可求得(4,0)Q -，………………………………………………8分 所以可设l ：(4)y k x =+， 由l 与圆M 相切得
2
311k k =+，解得2
4
k =±
；………………………10分 当24k =
时，直线224
y x =
+，联立直线与椭圆的方程解得18
7AB =； 同理，当24
k =-
时，18
7AB =．………………………12分
（22） 解：（Ⅰ）(10)F ，
，设()P x y ，为C 上任意一点， 依题意有
22(1)1
42
x y x -+=-，……………………3分 所以22
143
x y +=． ………………………5分 （Ⅱ）易知直线DE 斜率不为0，设直线DE 方程为1+=ty x ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,134
,12
2y x ty x 得22(34)690t y ty ++-=． 设11()D x y ，，22()E x y ，， 则122634t y y t -+=
+，12
29
34
y y t -=+ ．………………………7分 由(20)A -，，知AD 方程为1100(2)2y y x x --=
++，点M 坐标为116(4)2
y
M x +，． 同理，点N 坐标为2
26(4)2
y N x +，
．………………………9分 由对称性，若定点存在，则定点在x 轴上．设(0)G n ，在以MN 为直径的圆上， 则21212
12126636(4)(4)(4)022(2)(2)
y y y y GM GN n n n x x x x ⋅=-⋅-=-+=++++，
，， 所以221212
21212123636(4)(4)0(3)(3)3()9
y y y y n n ty ty t y y t y y -+
=-+=+++++，
即2
22
36(9)
(4)093(6)9(34)
n t t t t ⨯--+
=-+-++，亦即2(4)90n --=， 解得1n =或7n =，
故以MN 为直径的圆恒过x 轴上两定点(10)，和(70)，．………………12分。