2013高三数学(人教新课标理)《必考问题10 数列求和》专题能力提升训练
高考数列求和专项训练及解答
高考数列求和专项训练及解答一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和S n为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣2．已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（）A．9B．10C．11D．133．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为T n，若T n=，则n=（）A．19B．20C．21D．22二．解答题（共5小题）4．已知数列{a n}的通项是a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）设数列的前n项和为T n，求T n．5．已知正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．6．已知等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．7．在数列{a n}中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想a n，无需证明；（2）若数列，求数列{a n}的前n项和S n．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出a n；（2）求S n；（3）令b n=，若对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和S n为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：S n=1+3+5+…+（2n﹣1）++…+=+=n2+．故选：A．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于基础题．2．已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（）A．9B．10C．11D．13【分析】利用项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．【解答】解：由题意，；；∴，∴n=11．故选：C．【点评】本题考查数列求和，数列的应用，考查计算能力．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为T n，若T n=，则n=（）A．19B．20C．21D．22【分析】等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求和可得前n项和T n，解方程可得n的值．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，S3=6，S5=15，可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，解得a1=d=1，即a n=1+n﹣1=n，==﹣，前n项和为T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由T n=，可得n=20，故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．二．解答题（共5小题）4．已知数列{a n}的通项是a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）设数列的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解数列的和即可．（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】（12分）解：（1）∵a n=2n﹣1，∴a1=1，∴（2）①，②①减②得：==，∴．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用错位相减法的应用，考查计算能力．5．已知正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由，可知当n≥2时，，两式作差可得a n﹣a n﹣1=2（n≥2），再求出首项，代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=，再由裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1=2（n≥2），又，得a1=1，∴a n=2n﹣1；（2）由（1）知，，∴T n=b1+b2+…+b n==．【点评】本题考查等差数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．6．已知等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；（2）化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，将a4=8代入得：a6=32．从而：a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1；（2）b n==2n•（）n﹣1，T n=2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………①T n=2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………②①﹣②得：T n=2×[（）0+2（）1+（）2+…+（）n﹣1]﹣2n•（）n=2+2×﹣2n•（）n=4﹣（n+2）•（）n﹣1．∴T n=8﹣（n+2）•（）n﹣2．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．（1）证明数列{}是等差数列，并求出a n；（2）求S n；（3）令b n=，若对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；（3）求得b n==（）n+（n﹣1）•（）n，讨论b n的单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：a1=1，a n+1=2a n+2n，可得=+，可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，可得=n，即a n=n•2n﹣1；（2）S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=﹣n•2n，化简可得S n=1+（n﹣1）•2n；（3）b n==（）n+（n﹣1）•（）n，b n+1﹣b n=（）n+1+n•（）n+1﹣（）n﹣（n﹣1）•（）n=，当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，当n≥3时，b n﹣b n＜0，即b3＞b4＞b5＞…，+1则n=3时，b n的最大值为b3=，不等式b n＜恒成立，可得＜，即为m2﹣m﹣6＞0，解得m＞3或m＜﹣2．则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性的运用：解不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．在数列{a n}中，a1=1，．（1）求a2，a3，a4，猜想a n，无需证明；（2）若数列，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）利用已知条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜想a n；（2）化简数列，利用裂项消项法求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3=═，a4=═．猜想：a n=．（2）由（1）知：b n===2[﹣]，从而s n=b1+b2+…+b n=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2[1﹣]=．【点评】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．。
高考数学一轮复习《数列求和》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列求和》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（ ） A ．351 B ．353C ．531D ．5332．已知)*n a n N =∈，则12380a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +=++，令nn a b n=，若对于任意*N n ∈，不等式142t n b +<-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],1-∞-C ．(],0-∞D ．(],1-∞4．数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（ ） A ．3950B ．3953C ．3840D ．38456．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010117．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12πcos 3n n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ）A ．0B ．12C ．lD ．328．已知函数0()e ,xf x x =记函数()n f x 为(1)()n f x -的导函数(N )n *∈，函数()n y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴相交的横坐标为n x ，则11ni i i x x +==∑（ ）A ．()132n n ++B ．()33nn +C ．()()23nn n ++D ．()()123n n n +++9．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．4040202110．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．20202019B ．20212020C ．20192020D ．2020202111．已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．404112．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（ ）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-二、填空题13．等差数列{}n a 中，11a =，59a =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =___________. 14．已知数列{}n a 满足，()2*111,(1)2,n n n a a a n n n N -=--=-⋅≥∈，则20a =__________.15．在等差数列{}n a 中，72615,18a a a =+=，若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ，则100S =__________．16．若数列{}n a 满足()1*1(1)2n n n n a a n ++=-+∈N ，令1351924620,S a a a a T a a a a =++++=++++，则=TS__________.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且32a =，47S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （1）求{}n a 通项公式； （2）设11n n n b a a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．19．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==，数列{}n b 满足*111,2,n n b b b n +=-=∈N .(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.21．已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S .22．已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+，数列{}n b 满足1142,4b a b a ==，221,.n n n b b b n N *++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记21(67),83log ,nnn n n b n S c b n +-⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式24(1)41n nn T n λ-+<+对一切n N *∈恒成立，求λ的取值范围．23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n n b n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<.24．已知数列{}n a 的各项均为正整数，11a =.(1)若数列{}n a 是等差数列，且101020a <<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；(2)若对任意的*n ∈N ，都有2112112n n n n a a a a +++-<+，求证：12n na a +=参考答案1．B2．B3．D4．D5．D6．C7．C8．B9．B10．D11．C12．D 13．102114．210 15．100 16．2317．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，47S =，可得1122,43472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111,2a d ==， 所以数列{}n a 的通项公式为()111122n n a n +=+-=. （2）由（1）知12n n a +=，则11221141212n n n b a a n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪++++⎝⎭， 故111111114442233412222n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=， 当1n =时，由113a S ==，符合上式.所以{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 19．（1）由已知111,2n n a a a +==所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -=数列{}n b 满足111,2n n b b b +=-=所以{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列 21n b n =-（2）()11132212n n S n -=⨯+⨯++-①对上式两边同乘以2，整理得()221232212n n S n =⨯+⨯++-②①-②得()()2112222212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---()2323n n =---所以()2323nn S n =⋅-+20．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+， 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+， 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-， 显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010. 21．（1）数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. 由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++， ∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++； 即公比2q，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得2nn b =，∴2nn a n +=，那么数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =-，数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()2121222(123)2222nn n n n +=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=---.22．（1）解：因为22n n S a n =+，当n =1时，得11a =，当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，所以22121n n n a a a -=-+，即221(1)n n a a -=-，又因为数列{}n a 为递增数列，所以11n n a a --=， 数列{}n a 为等差数列， 11a =，d =1, 所以n a n =；所以1142841,b a b a ====， 又因为221,.n n n b b b n N *++=∈ 所以数列{}n b 为等比数列，所以33418b b q q ===，解得2q，所以12n n b -=.（2）由题意可知：(1)2n n n S +=， 所以()2167,83log ,n n n n n b n c S b n +⎧-⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数,故2(67)2,443,n n n n c n n n n -⎧-⎪=+-⎨⎪⎩１为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q 所以135212462=,=,n n n n P c c c c Q c c c c -++++++++当n 为奇数时，()()2)2123(67)2(67222=,4432321n n n n n n n c n n n n n n --+----==-+-++-１１１１所以42220264135221222222==5195132414329n n n n P n c c c n c --⎛⎫⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫++++-+-+-++ ⎪ ⎪⎭-- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,44411=412=1n nn n --++ 当n 为偶数时n c n =，所以()()246222==246212n n n nQ c c c c n n n +++++++++==+，故()2,4=4=111n n n n T n n P Q n -++++故24(1)41n nn T n λ-+<+，即()()111144(1)(1)4141n nnn n n n n n n λλ-+<-+-++⇒-+<++当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，所以5λ<当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，所以此时1λ>- 故对一切n N *∈恒成立，则15λ-<< 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2） 由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212n T n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<24．(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，由10101920a d <=+<，可得1919d <<， 又由数列{}n a 的各项均为正整数，故2d =，所以21n a n =-， 于是()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，所以111111111121335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. (2)解：因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故112nna a ≥+，于是()211112122112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++， 又因为21121<12n n n n a a a a +++-+，所以121n n a a +-<， 由题意12n na a +-为整数，所以只能120n n a a +-=，即12n n a a +=。
浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题升级训练10 数列的求和及其综合应用 文
专题升级训练10 数列的求和及其综合应用(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．等差数列{a n }满足a 2＋a 9＝a 6，则S 9＝( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 010，S 2 0102 010－S 2 0042 004＝6，则S 2 012＝( )．A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．03．已知S n 是非零数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －1，则S 2 012＝( )． A ．1－22 012 B ．22 012－1 C ．22 011－1 D ．22 0124．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )．A ．5B ．6C ．7D ．85．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 6．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．2157．若向量a n ＝(cos 2nθ，sin nθ)，b n ＝(1,2sin nθ)(n ∈N *)，则数列{a n ·b n ＋2n }的前n 项和S n ＝( )．A ．n 2B ．n 2＋2nC ．2n 2＋4nD ．n 2＋n 8．(2012·浙江杭州二中高三月考，7)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，S 50＝0.设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值是( )．A ．23B ．25C ．23或24D ．23或25 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为__________．10．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.11．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.12．(2012·浙江高考名校《创新》冲刺模拟，15)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a n和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3，…)，则S n ＝__________.三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)(2012·甘肃兰州诊测，20)已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知{b n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数N *，都有b n ·n (3－4a n )a n＝1成立．求证：12≤S n ＜1.14．(本小题满分10分)已知数列{a n }是公比为d (d ≠1)的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求d 的值；(2)设数列{b n }是以2为首项，d 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，试比较S n 与b n 的大小．15．(本小题满分12分)(2012·广东广州综合测试，19)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.16．(本小题满分12分)(2012·浙江宁波高三模拟，19)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n .(1)求证：数列{a n }为等差数列，并求出通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎫1－1a n 2－a ⎝⎛⎭⎫1－1a n ，若b n ＋1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1．B 解析：方法一：∵a 2＋a 9＝a 6， ∴a 1＋d ＋a 1＋8d ＝a 1＋5d ，即a 1＝－4d . ∴S 9＝9a 1＋36d ＝9×(－4d )＋36d ＝0. 故选B.方法二：由a 2＋a 9＝a 6，得a 5－3d ＋a 5＋4d ＝a 5＋d ， ∴a 5＝0.则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝0，故选B.2．C 解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2， ∴S 2 0102 010－S 2 0042 004＝d 2×6＝3d . ∴d ＝2.故S n ＝na 1＋n 2－n ＝n (n ＋a 1－1)． ∴S 2 012＝2 012.故选C. 3．B 解析：∵S n ＝2a n －1，∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列． 由S 1＝2a 1－1得a 1＝1， ∴S 2 012＝1×(1－22 012)1－2＝22 012－1.故选B.4．B 解析：由a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，两式相减，得2d ＝－6， ∴d ＝－3.∵a 5＋a 7＝4，∴2a 6＝4，即a 6＝2. 由a 6＝a 1＋5d ，得a 1＝17. ∴a n ＝a 1＋(n －1)×(－3)＝20－3n .令a n ＞0，得n ＜203，∴前6项和最大，故选B.5．D 解析：由S k ＋2－S k ＝24，∴a k ＋1＋a k ＋2＝24， ∴a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝24，∴2a 1＋(2k ＋1)d ＝24. 又∵a 1＝1，d ＝2，∴k ＝5.6．C 解析：f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝212.7．B 解析：a n ·b n ＋2n ＝cos 2n θ＋2sin 2n θ＋2n ＝(1－2sin 2n θ)＋2sin 2n θ＋2n ＝2n ＋1， 则数列{a n ·b n ＋2n }是等差数列，∴S n ＝(3＋2n ＋1)n 2＝n 2＋2n ，故选B.8．D 解析：由a 1＞0，S 50＝0，得a 1，a 2，…，a 25＞0，a 26，a 27，…，a 50＜0， 于是b 23＝a 23a 24a 25＞0，b 24＝a 24a 25a 26＜0，b 25＝a 25a 26a 27＞0，且b 24＋b 25＝(a 24＋a 27)a 25a 26＝0，所以T 23＝T 25最大，故选D. 二、填空题9．110 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192×d ＝20，解之得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.10．2－2n ＋13n 解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a 1·a n ，∴数列{a n }是以a 1＝23为首项，23为公比的等比数列．∴S n ＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23＝2－2n ＋13n .11．2n ＋1－2 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n .当n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)． ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.12．n 2 解析：当n ≥2时，4a n ＝4(S n －S n －1)＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2＝a 2n －a 2n －1＋2a n－2a n －1，即2(a n ＋a n －1)＝a 2n －a 2n －1，又a n ＋a n －1＞0，得n ≥2时，a n －a n －1＝2. 又(a 1＋1)2＝4S 1＝4a 1，得a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．故S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n 2.三、解答题13．(1)解：∵a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N *)，∴1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝13＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，13为公差的等差数列，故1a n ＝2＋n －13＝n ＋53. ∴a n ＝3n ＋5.(2)证明：∵b n ·n (3－4a n )a n＝1，∴b n ＝a n n (3－4a n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， ∴12≤S n ＜1. 14．解：(1)∵2a 3＝a 1＋a 2， ∴2a 1d 2＝a 1＋a 1d . ∴2d 2－d －1＝0. ∵d ≠1，∴d ＝－12.(2)∵b n ＝2＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－12＝－n 2＋52， ∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝－n 2＋9n4.∴S n －b n ＝－n 2＋9n 4－⎝⎛⎭⎫－n 2＋52＝－(n －1)(n －10)4.∴n ＝1或n ＝10时，S n ＝b n ；2≤n ≤9时，S n ＞b n ；n ≥11时，S n ＜b n . 15．(1)解：因为数列{a n }是等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )，解得a 1＝6，d ＝4或a 1＝14(舍去)，d ＝0(舍去)． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n ， 所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋14⎝⎛⎭⎫12－14＋14⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38.因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列， 所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38.16．(1)证明：由Sn 2＝a 13＋a 23＋…＋a n 3，得S n －12＝a 13＋a 23＋…＋a n －13， 两式相减得a n 3＝S n 2－S n －12＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝a n (S n ＋S n －1)， 因为a n ＞0，所以a n 2＝S n ＋S n －1(n ≥2)． 所以a n －12＝S n －1＋S n －2(n ≥3)．两式相减得a n 2－a n －12＝S n －S n －2＝a n ＋a n －1， 所以a n －a n －1＝1(n ≥3)． 又S 12＝a 12＝a 13，且a 1＞0， 所以a 1＝1.S 22＝(a 1＋a 2)2＝a 13＋a 23， 所以(1＋a 2)2＝1＋a 23. 所以a 23－a 22－2a 2＝0. 由a 2＞0，得a 2＝2. 所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }为等差数列，且a n ＝n .(2)解：b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n＋a －2＞0， 所以1n ＋1＋1n ＋a －2＜0，即a ＜2－1n ＋1－1n对任意n ∈N *成立．所以实数a 的取值范围为a ＜12.。
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.设数列的前项积为，且（n∈N*）．（1）求，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【答案】（１），祥见解析；（２）．【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．试题解析：（1）由题意可得：，所以 5分（2）数列为等差数列，，， 10分【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．2.已知函数且an ＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100 C．-100 D．10200【答案】B【解析】由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，选B.3.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出. 试题解析：（1）解法1：当时，， 当时，.是等差数列， ，得. 又，，，、、成等比数列， ，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.， ，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，② ①②得..解法2：由（1）得.，.，① 由，两边对取导数得，.令，得..【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导4. 数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )． A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830【答案】D【解析】∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1， 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，从而a2k＋1＋a2k－1＝2，a2k＋3＋a2k＋1＝2，因此a2k＋3＝a2k－1，∴a1＝a5＝a9＝…＝a61，于是S60＝a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝1 830.5.如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是 .【答案】【解析】根据流程图可知它的作用是求的值，由等差数列的前项和公式可知，.【考点】1.程序框图及其应用；2.等差数列的前项和6.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图7.数列中，已知且，则前项和为，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以公差，由得，所以.【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的前项和公式.8.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{bn }的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由于数列的递推式的结构为，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，在比较与的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定与的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.试题解析：（1）当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.因为①，所以②.由①－②得，，所以.因为，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，.【考点】累加法、错位相减法、二项式定理9.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（）A．有3个B．有2个C．有1个D．不存在【答案】B【解析】时，，所以，此时从到共项，从到共项，或,有2个值【考点】数列求和点评：本题中数列求和要依据通项公式特点分两种情况，分别讨论所求各项所属的范围及应代入的公式，第二种情况找到各项中正负项分界的位置是难点10.已知数列满足，则的前n项和_____【答案】【解析】根据题意，由于故可知的前n项和，故答案为【考点】数列的递推关系点评：主要是考查了数列的递推关系的运用，来求解数列的通项公式以及数列的和的运用，属于中档题。
高中数学数列求和练习题及参考答案2023
高中数学数列求和练习题及参考答案2023数列求和是高中数学中的重要知识点，也是学生们经常需要练习和巩固的内容。
掌握数列求和的方法和技巧，对于解决各种数学问题具有重要的作用。
本文将为大家提供一些高中数学数列求和的练习题，并给出参考答案。
一、简单求和练习1. 求等差数列1，4，7，10，...的前20项和。
解析：这是一个等差数列，我们知道等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，我们可以求得前20项和为：S20 = (20/2)(1 + 1 + 19 * 3) = 20 * 10 = 200所以，等差数列1，4，7，10，...的前20项和为200。
2. 求等比数列3，6，12，24，...的前10项和。
解析：这是一个等比数列，我们知道等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
根据等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，我们可以求得前10项和为：S10 = 3 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 3 * (1 - 1024) / (-1) = 3 * (1023) = 3069所以，等比数列3，6，12，24，...的前10项和为3069。
二、综合应用题1. 若等差数列的首项为3，公差为2，且和为139，求该等差数列的项数。
解析：设等差数列的项数为n，根据等差数列的求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)，将已知条件代入，得到：139 = (n/2)(3 + a1 + (n - 1)2)化简得：139 = (n/2)(2n + 4)278 = n(2n + 4)2n^2 + 4n - 278 = 0解这个一元二次方程，得到n ≈ 11所以，该等差数列的项数为11。
2. 已知等差数列的首项为5，公差为3，前n项和为Sn = 105 - 2n，求该等差数列的项数n。
高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,
( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+
必考题型高考数学：数列求和问题大全
必考题型高考数学：数列求和问题大全第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2 ＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N)．(2)因为bn ＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n ＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二错位相减法求和例2已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N)，两式相减得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N)，又因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(n∈N)．(3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n，所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)，Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1，Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N)．题型三倒序相加法求和例3已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b ＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝.所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.(2)解由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1，k∈N)，即f()＋f()＝.所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②由①＋②，得2Sm＝(m －1)×＋2am＝－，即Sm＝－(m∈N)．(3)解由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，显然对任意n∈N，bn>0，则＝＝－，即＝－，所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.因为bn＋1－bn＝b>0，所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．所以Tn关于n递增，所以当n∈N时，Tn≥T1.因为b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.由题意，知Sm裂项相消法求和例4在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．破题切入点(1)列方程组(两个条件)确定an.(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn＝－对比求得公差．解设数列{an}的公差为d，由a 1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0，∴a1＝9d.(1)由数列{an}的前10项和为45可得S10＝10a1＋d ＝45，即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3，故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)·＝(n＋8)．(2)bn＝＝，则数列{bn}的前n项和为Tn＝[＋＋…＋]＝＝＝＝－.所以＝1，d＝±1.故数列{an}的公差d＝1或－1.总结提高数列求和的主要方法：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·(－)．其余还有公式法求和等．1．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn为()A．1－B.－－C.－－D.－－答案D解析方法一因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.方法二因为a1＝，a2＝，所以S1＝a1＝.令n＝1，选项B中，－1－＝0，选项C中，－1－＝，故排除B，C.又S2＝＋＝，选项A中，令n＝2，则1－＝，故排除A，应选D.2．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－答案A解析因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋1－.3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm －1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.4．在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N满足an＋T＝an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝a(a≤1)，xn＋2＝|xn＋1－xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2013项和S2013等于()A．1340B．1342C．1344D．1346答案B解析由xn＋2＝|xn＋1－xn|，得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，x4＝|x3－x2|＝|1－2a|，因为数列{xn}的周期为3，所以x4＝x1，即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.当a＝0时，数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，所以S2013＝2×671＝1342.当a＝1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,0，…，所以S2013＝2×671＝1342.综上，S2013＝1342.5．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于( )A．2008B．2010C．1D．0答案B解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案1830解析∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.7．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.答案解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1 －＝.8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案2n＋1－n－2解析因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.9．定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2) 设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)·(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．(1)证明由题意得an＋1＝2a＋2an，得2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)解因为lg(2a1＋1)＝lg5，所以lg(2an＋1)＝2n－1·lg5，所以2an＋1＝52n－1，即an＝(52n－1－1)．因为lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5.所以Tn＝52n－1.10．(2014·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an ＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2.B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋n＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)。
高三数列求和练习题
高三数列求和练习题数列是高中数学中的重要概念，求和是数列的基本操作之一。
在高三数学学习中，掌握数列求和的方法对学生来说至关重要。
本文将提供一些高三数列求和的练习题，帮助学生巩固相关知识。
1. 已知等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d 为公差。
求以下数列的部分和：a) 2 + 5 + 8 + 11 + 14，其中n=5；b) 10 + 13 + 16 + ... + 40，其中n=12；c) 3 + 6 + 9 + ... + 99，其中n=33。
解析：a) 对于等差数列，部分和Sn可以通过求首项和末项的平均值乘以项数得到。
首项a1=2，末项a5=14，项数n=5。
Sn = (a1 + a5) * n / 2 = (2 + 14) * 5 / 2 = 80b) 首项a1=10，末项a12=40，项数n=12。
Sn = (a1 + a12) * n / 2 = (10 + 40) * 12 / 2 = 275c) 首项a1=3，末项a33=99，项数n=33。
Sn = (a1 + a33) * n / 2 = (3 + 99) * 33 / 2 = 16832. 已知等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比。
求以下数列的部分和：a) 2 + 6 + 18 + 54，其中n=4；b) 5 + 10 + 20 + ... + 160，其中n=6；c) 3 + 6 + 12 + ... + 192，其中n=8。
解析：a) 对于等比数列，部分和Sn可以通过首项与首项乘以公比的n次方之差再除以公比减一得到。
首项a1=2，公比r=3，项数n=4。
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) = 2 * (1 - 3^4) / (1 - 3) = 728/2 = 364b) 首项a1=5，公比r=2，项数n=6。
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r) = 5 * (1 - 2^6) / (1 - 2) = 155c) 首项a1=3，公比r=2，项数n=8。
高三数学数列求和练习题
高三数学数列求和练习题假设有一位名叫小明的高三学生，他正在备战数学考试。
最近，他对数列的求和问题感到十分困惑，因此他向老师请教，老师给了他以下一些练习题。
下面，我们来一起解决这些题目，帮助小明理解数列求和的方法。
练习题一：等差数列求和已知等差数列的首项为a₁，公差为d，请计算这个等差数列的前n 项和Sn。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 102. a₁ = -2，d = 4，n = 153. a₁ = 0，d = -3，n = 8解答：对于等差数列来说，可以使用求和公式Sn = n(a₁ + an)/2来计算前n项和。
其中，an表示等差数列的第n项。
1. a₁ = 3，d = 2，n = 10根据公式，代入数据计算得到：Sn = 10(3 + a₁ + 2(n-1))/2= 10(3 + 3 + 2(10-1))/2= 10(6 + 18)/2= 10(24)/2= 1202. a₁ = -2，d = 4，n = 15代入数据计算得到：Sn = 15(-2 + a₁ + 4(15-1))/2= 15(-2 + -2 + 4(14))/2= 15(-4 + 56)/2= 15(52)/2= 3903. a₁ = 0，d = -3，n = 8代入数据计算得到：Sn = 8(0 + a₁ + -3(8-1))/2= 8(0 + 0 + -3(7))/2= 8(0 - 21)/2= 8(-21)/2= -84练习题二：等比数列求和已知等比数列的首项为a₁，公比为q，请计算这个等比数列的前n 项和Sn。
2. a₁ = 4，q = -2，n = 63. a₁ = -6，q = 0.5，n = 7解答：对于等比数列来说，可以使用求和公式Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)来计算前n项和。
1. a₁ = 2，q = 3，n = 5根据公式，代入数据计算得到：Sn = 2(1 - 3^5)/(1 - 3)= 2(1 - 243)/(-2)= 2(-242)/(-2)= 2422. a₁ = 4，q = -2，n = 6代入数据计算得到：Sn = 4(1 - (-2)^6)/(1 - (-2))= 4(1 - 64)/3= 4(-63)/3= -84代入数据计算得到：Sn = -6(1 - 0.5^7)/(1 - 0.5)= -6(1 - 0.0078125)/0.5= -6(0.9921875)/0.5= -11.859375通过解答以上练习题，我们可以得出结论：数列求和可以通过特定的公式来计算，对于等差数列可以使用Sn = n(a₁ + an)/2，对于等比数列可以使用Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)。
高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和
高考数学快速提升成绩题型训练——数列求和1. 求数列1357,,,,24816⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和.2 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.3. 求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。
4. 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++5. 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S6. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n8.已知数列{}n a 是等差数列，且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.9. 已知数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11 求它的前n 项的和.10. 在数列{}n a 中，).2(122,121≥-==n S S a a n n 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，并求出S n 的表达式.11. 数列{}na 为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n 项和为6560，且前n 项中数值最大的项为54. 求其首项a 1及公比q .12. 已知数列!)1(!32!21++++=n n a n 求2008a .13. 设{}na 为等差数列，S n 为数列{}n a 的前n 项和，已知S 7 = 7, S 15 = 75. 记T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n .14. 求数列)2112(815,413,211n n +- 的前项和15. 已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .16. 求和222222100994321-++-+- .17. ()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++，求n S 。
数列求和综合练习题(含答案)
数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （ ）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（ ）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（ ）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。
新课标高考数列《数列求和》大题专题含答案
数列求和1.公式求和1.12 22322n621)(2n 1)213 23 33n3n(n 1)23.数列a n 中，a 12,q13(1)求 a n ,S n(n)b n log3 a 1log 3 a 2 log 3 a 3log 3 a n ，求 b n-^(a n 1)( q 是常数且 q 0,q 1,)q 12. 错位相减法求和3. a n 3n 1 22n 2 ,求 S n且 b,1.(I)求 a n , b n(n )设T n 为数列b n 的前n 项和，求T n .2015高考数学专题复习：数列2015464.已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n 和通项a n 满足S n 七 11 (n) 当q ；时， 试证明 a 〔 a ?a n—32n 11 S n3n1. 2 S n2n 9n. 3 a n2 1,b3nlog 3 2. 4 a .n cq ,S1. a n 2n 1 3n，求 &2.a n2n 3n求S n4.已知数列a n 的前n 项和S na nn 2 1，数列b n 满足3n b n 1(n 1)a n 1 na n ,(i)求数列｛a n ｝的通项公式a nn n 1 25.设等比数列｛a n ｝的前项和为S n ，已知a n 1 2S n 2(I)求数列｛a n ｝的通项公式(I )求数列｛a n ｝的通项公式(n )设b n -^,求｛b n ｝的前n 项和公式「a2n 132'3S n丁牢 3.4a n 2n 1，b n亍.5% 233. 裂项法求和已知a n 通项公式，求前n 项和S n1. a n(n)在a n 和a . i 之间插入n 个数，使这n2个数组成公差为 d n 的等差数列，求数列1d n前n 项和T n6.已知数列｛a n ｝满足：S n1 a n (n N *)，其中S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.(I)试求｛a n ｝的通项公式 (n)若数列｛b n ｝满足：b na n (nN *)，求｛b n ｝的前n 项和公式T n7.正项等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 416 ,且a 2, a 3的等差中项为 S 2.1S n n 3n1.2S nn 11 n 1 115 n 5 — ,T n—d n 4 316 8 16n 11.6a n,T nn 1 2n 12. 7a n 2n, T n8 16 2n 9 9 22n 1(1 ) a n 为等差数列,1a n a n 11 1a na n 1(2) a n2. a n12n 1 2n 1S n3. a n13n 1 3n 2S n4. an23n 2 3n 124n21S n6. an26n 3 2n 1S n7. a n S n8. a n S n9. a n S n10. a S n11. a n2n1 2n 1111. a n4n4n3 4n 1 3S nS n13.已知数列务的前n 项和为&，且满足％^n1(I)求数列 a n 的通项公式1(n)若b n log 2 a n ，且C n，求数列C n 的前n 项和T nb n b n 2(I)求数列 a n 的通项公式a n4. 分组法求和3.已知a n 是首项为19，公差为 2的等差数列(I)求通项a n(n)设b n a n 是首项为1,公比为3的等比数列,4.已知数列 a n 满足a 11, a 1 a 2 a n 1 a n 1. n 2,n N(n)设 b na na n 11 a n 1b n 的前项和T n1 11 S n 11.12 a n3 4n 3*.12015. 2 99.3 a n 2n ,T n1 4 a n2 ,b n25 b n ,S n1.求数列的前n 项和：11,1 4,1 ,2* 13n求数列b n 的通项公式及其前n 项和4.求和：等差数列 a n 中，a 3 5,05 225(I)求通项a n 及S n(□)设b n 2an 2n 3，求数列｛bJ 的前n 项和S n2015高考数学专题复习：分类讨论5.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 6 5,S 4 62.(I)求｛a n ｝通项公式(n)求数列｛| a n |｝的前n 项和T n6.数列｛a n ｝中，a 1 1,a 2 4,a n a n 2 2, n 3(I)求｛a n ｝通项公式(n)求数列｛a “｝的前n 项和S n8. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 1 2,4Sn % a . 1, n N(I)求｛a n ｝通项公式1n 1 (n)设数列七的前n 项和T n ，求证：T n -a n 24n 429. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S n 2a n n 2 3n 2(I)求证：数列 a n 2n 为等比数列1 S n2n3 2 n n.2 S n n 22nn1n 11. 3 a n 21 2n, b nn 121 2n 32 2n 12T n20n nS n 2n ,T n22n2n. 5 S nnn3—In3 1, n 2k 2 n n 1 3n In 3 In 21, n 2k 122015高考数学专题复习：等差等比证明1.等差数列证明：a n 1 a n d (常数)2.等比数列的证明方法： 乩 q (常数)a n练习：1.在数列｛a n ｝中，已知a 1 3， a * 1 5a n 4(i)求证：数列 a n 1是等比数列(n)求数列｛a n ｝的通项公式a n 及前n 项和S n(n)设 b na n cosn，求数列b n 的前n 项和T n .4 S n2n 1. n 2k2n …n 2k15 a n3 2437 — n — n. n 2232 1 77n 7 n 7 . n 822n. n 2k 1n 2. n 2kn 2 3n 22 2kn 2 3n 2n 2k8 a n 2n.b n1 1 2・4n 4n n 1b n1 4n n 1n 4n 4T n12.9q 2bn 2n 21. n 2k 1 7 a nn. n 2k2n 1 2 n.. n 32k2n2k 13n 23.T n6 a na n a n 12.数列a n｝满足：a11,a22,a n 2(I)求证：a n 1 a n是等比数列(n)求数列｛a n｝的通项公式a n3.已知数列a n 满足a i 1，且a n 2a. 1 2n(n 2,且n N*) •a(I)证明数列n是等差数列2n(n)求数列｛a n｝的通项公式a n及前n项之和S n4.设数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a1 1, S! 14a n2(I)设b n a n 12a n，证明数列｛b n｝是等比数列(n)求a n5.数列a n的前n项和S n满足S n 2a n ( 1)n, n 1(I)求证数列a - ( 1)n为等比数列n 3(n)求a n及前n项和56.数列a n的前n项和S n满足q, a2S n a,，其中a20，求证：a n是首项为1的等比数列7.已知数列a n中，a15且a n 2a n i 2n 1 n 2 且n N(I)证明：数列a n 1 为等差数列(n)求数列a n的前n项和S n8.设数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a14, a n 1 S n 3n,b n S n 3n(I)求证：数列｛b n｝为等比数列，并求b n的通项公式(n)令C n 2log2 b n nb n 2，求数列c n的前n项和T n9.在数列｛a n｝中，a 1,a n 2(a n ! 1) n(n 2, n N*)(I)证明：数列｛a n n｝是等比数列(n)求数列｛a n｝的通项公式a n及前n项之和S n(n)设fn a n ,求fn 的最大值11.若数列a n 的前n 项之和为S n 2a n 4,b n 1 a . 2b n ，且b i 2 (I)求 a n(n)求b n 的前n 项和T n112.数列a n 中，a 1 1, n 2时，成等比数列 求｛a .｝的前n 项之和S n 及通项公式a n1(I)求证：是等差数列S n(n)求 a n13.设实数数列 a n 的前n 项和S n ，满足a 1 1, S n na n 2n n 1(I)求证 a n 为等差数列，并求a n 和S n1(n)设数列的前项和为T n ，试求T n 的取值范围a n a n 110.已知a1討13a n a n 3(I)证明：数列是等差数列a n1, n 12015高考数列复习测试题是等比数列,1.公比为2 等比数列{a n } 的各项都是正 数，且 a 3a 1116 ,则 log 2 a i0( )(A)4(B) 5(C)(D)2.等差数 列｛a n ｝中a 1a 510, a 47 ,则 数列{a n }的 公 差为( )A. 1B • 2C• 3D 4•选择题： 3.定义在(，0) U (0,)上的函数f (x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }， {f(a n )}仍9q4,a n 2,a n2,a n 1,S n 2nn,S n2n5n n 1.2 b nn. 6 q a 2.7 b nn 1.3d 1，S n n2 n 4.10 丄:d 〕 a n31,S nn 2n 1l 11a2n 3 2n 3. 4q 2,a n n.8q 2,b n 2n 1,S n 2n1,b n n 2n .T nn 3n 1 2n 11 2n 22.12d2,b n2n 1 2n,n 2.13an 2n 1,Sn n2,bn2n 1 2n 1,T n2n 1则称f(x)为“保等比数列函数” 现有定义在(,0) U (0,)上的如下函数:① f (x) x2；② f (x) 2x；③ f (x).两；④ f(x) ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )99 厂10099101 A.BCD101101100100 7.数列 a n 的首项为3, b n 为等差数列且b nan 1a n.若则b 3 2,b 1012，则a()A. 3B. 0C. 8D. 118.已知数列a n 的前n 项和S n 满足：S n S m S n m ，且印1 •那么印。
2013届高中人教B版理科数学专题训练及解析(30)数列求和
专 题练习(三十) [第30讲 数列求和][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，那么a 1的值为( ) A.421 B.631C.821D.21312． 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．553．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( )A.2 0072 008B.2 0102 011C.2 0092 010D.2 0122 0134．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x )＝1－f (1－x )，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.能力提升5． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856． 已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021C.1121D.20217． 设a 1，a 2，…，a 50是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( )A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个8． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－159．设m ∈N *，log 2m 的整数部分用F (m )表示，则F (1)＋F (2)＋…＋F (1 024)的值是( )A ．8 204B ．8 192C ．9 218D ．以上都不对10． 对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.11．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －2n，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n S n 的前n 项和T n ＝________.13．已知函数f (x )＝3x 2－2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )的图象上，b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则使得T n ＜m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m 等于________．14．(10分) 在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )．(1)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ、公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .15．(13分) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n －1·a 2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破16．(12分) 设数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n .(1)已知a 1＝1，d ＝2，①求当n ∈N *时，S n ＋64n的最小值； ②当n ∈N *时，求证：2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<516； (2)是否存在实数a 1，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式a m ≥n 的最小正整数解为3n －2？若存在，求a 1的取值范围；若不存在，请说明理由．专题练习(三十)【基础热身】1．A [解析] 由题设知log 2a n －log 2a n －1＝－1，∴log 2a n a n －1＝－1，即a n a n －1＝12， ∴{a n }是以a 1为首项，12为公比的等比数列， ∴S 6＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝38，∴a 1＝421，故选A . 2．C [解析] 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5，故选C .3．D [解析] 由题知f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f(n)＝n 2＋n ，∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1，∴S 2 012＝2 0122 013，故选D . 4．3 [解析] 由条件可知f(x)＋f(1－x)＝1，其中x ＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，f(0)＋f(1)＝1，设M ＝f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)，则M ＝f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(－2)，两式相加，得2M ＝6，即M ＝3.【能力提升】5．B [解析] 由已知a n ＝2n ＋1，得a 1＝3，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n(n ＋2)， 则b n ＝n ＋2，T 10＝10(3＋12)2＝75，故选B . 6．B [解析] 将直线方程化为(x ＋y －4)＋m(3x －y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线过定点(1,3)， 所以a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T 10＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－121＝1021，故选B . 7．A [解析] (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107， ∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39， ∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A .8．A [解析] a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.9．A [解析] ∵F(m)为log 2m 的整数部分，∴当2n ≤m ≤2n ＋1－1时，f(m)＝n ，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝F(1)＋[F(2)＋F(3)]＋[F(4)＋F(5)＋F(6)＋F(7)]＋…＋F(1 024)＝0＋2×1＋4×2＋…＋2k ×k ＋…＋29×9＋10.设S ＝1×2＋2×22＋…＋k ×2k ＋…＋9×29，①则2S ＝1×22＋…＋8×29＋9×210，②①－②得－S ＝2＋22＋…＋29－9×210＝2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－213－2， ∴S ＝213＋2，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝213＋12＝8 204，故选A .10．2n ＋1－2 [解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2，＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2. 11．－120 [解析] 由已知，得a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1，∴n ＋1－1＝10，解得n ＝120，即直线方程化为121x ＋y ＋120＝0，故直线在y 轴上的截距为－120.12．3·2n －12n ＋1－1 [解析] 根据公式法S n ＝4(1－4n )1－4－2(1－2n )1－2＝13(4n ＋1－3·2n ＋1＋2)＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， 故2n S n ＝32·2n(2n ＋1－1)(2n －1). 由于(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，所以2n S n ＝32·(2n ＋1－1)－(2n －1)(2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1， 所以T n ＝32121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝321－12n ＋1－1＝3·2n －12n ＋1－1. 13．10 [解析] 由S n ＝3n 2－2n ，得a n ＝6n －5，又∵b n ＝3a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1， ∴T n ＝121－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1＝121－16n ＋1＜12， 要使12⎝⎛⎭⎫1－16n ＋1＜m 20对所有n ∈N *成立， 只需m 20≥12，∴m ≥10，故符合条件的最小正整数m ＝10. 14．[解答] (1)∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a 1＝S 1＝2，d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由已知，∵λ＝1，∴1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)＝2n －1－⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝(1＋21＋22＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－2n 1－2－⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝(2n －1)－1＋1n ＋1＝2n －2n ＋1n ＋1. 15．[解答] (1)由已知得a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18. 当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，则a n ＝n ；当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ， 则a n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n 2－1＝⎝⎛⎭⎫12n 2. 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，n ＝2k －1，⎝⎛⎭⎫12n 2，n ＝2k .(2)因为b n ＝a 2n －1·a 2n ，则S n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ， 12S n ＝1·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋5·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， 两式相减得12S n ＝1·12＋2122＋…＋12n －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋2⎣⎡⎦⎤14－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴S n ＝3－(2n ＋3)·⎝⎛⎭⎫12n . 【难点突破】16．[解答] (1)①∵a 1＝1，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n 2， S n ＋64n ＝n ＋64n ≥2n ×64n＝16， 当且仅当n ＝64n，即n ＝8时，上式取等号， 故S n ＋64n的最小值是16. ②证明：由①知S n ＝n 2，当n ∈N *时，n ＋1S n S n ＋2＝n ＋1n 2(n ＋2)2＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2， 2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2＝14⎝⎛⎭⎫112－132＋14⎝⎛⎭⎫122－142＋ (14)⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2 ＝14112＋122＋…＋1n 2－14132＋142＋…＋1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2＝14⎣⎡⎦⎤112＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2， ∵1(n ＋1)2＋1(n ＋2)2>0， ∴2S 1S 3＋3S 2S 4＋…＋n ＋1S n S n ＋2<14⎝⎛⎭⎫112＋122<516. (2)对∀n ∈N *，关于m 的不等式a m ＝a 1＋(m －1)d ≥n 的最小正整数解为c n ＝3n －2， 当n ＝1时，a 1＋(c 1－1)d ＝a 1≥1； 当n ≥2时，恒有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(c n －1)d ≥n ，a 1＋(c n －2)d <n ，即⎩⎪⎨⎪⎧(3d －1)n ＋(a 1－3d )≥0，(3d －1)n ＋(a 1－4d )<0. 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3d －1≥0，(3d －1)×2＋(a 1－3d )≥0，3d －1≤0，(3d －1)×2＋(a 1－4d )<0，⇔d ＝13，1≤a 1<43. 当d ＝13，1≤a 1<43时， 对∀n ∈N *，且n ≥2时，当正整数m <c n 时，有a 1＋m －13<a 1＋c n －13， 所以a 1＋m －13<n ， 所以存在这样的实数a 1，且a 1的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，43.。
高考数学二轮强化突破：专题10《数列求和及综合应用》ppt课件
数列．
• 故an＝2n.
11
(2)由(1)得a1n＝21n. 所以 Tn＝12＋212＋213＋…＋21n＝1211－－1212n＝1－21n. 由|Tn－1|<1 0100，得|1－21n－1|<1 0100，即 2n>1 000. 因为 29＝512<1 000<1 024＝210， 所以 n≥10. 于是，使|Tn－1|<1 0100成立的 n 的最小值为 10.
{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. • (1)求{an}的通项公式； • (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：
b6与数列{an}的第几项相等？ • [立意与点拨] 本题主要考查等差数列、等比
数列的通项公式等基础知识，考查学生的分
析问题解决问题的能力、转化能力、计算能 力．第(1)问直接利用通项公式列方程组求解； 第(2)问先由条件求bn，然后令b6＝an解方程 求得n值．
走向高考 ·数学
高考二轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1
第一部分
微专题强化练
2
第一部分 一 考点强化练
10 数列求和及综合应用
3
1 考向分析 2 考题引路 3 强化训练
4
考向分析
5
• 近几年三角函数与平面向量的综合题，三角 函数与解三角形的综合题及数列综合应用的 题目交替命题．命题角度为：
• 1．等差数列与等比数列的综合，考查通项公 式及前n项和公式等基础知识的掌握和综合应 用数列知识解决问题的能力．
• 2．数列与函数、方程、不等式、三角、解析 几何等知识的综合．
• 3．增长率、分期付款、利润成本效益的增减 等实际应用问题.
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.设数列的前项积为，且（n∈N*）．（1）求，并证明：；（2）设，求数列的前项和．【答案】（１），祥见解析；（２）．【解析】（１）n取1,2,3求出，再利用与的关系将已知等式用表示即可证明；（２）由（1）问的结论利用等差数列的通项公式先求出的通项，再由通项利用裂项相消法求．试题解析：（1）由题意可得：，所以 5分（2）数列为等差数列，，， 10分【考点】１．数列的通项公式；２．数列的前n项和．2.设数列{an }的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋S n＝3(n∈N*)，则满足<<的所有n的和为________．【答案】7【解析】由2an＋1＋S n＝3得2a n＋S n－1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n＋a n＝0，化简得2an＋1＝a n(n≥2)，即＝(n≥2)，由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{a n}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn ＝=3[1－()n]，S2n＝3[1－()2n]代入<<，可得<()n<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.3.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出. 试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导4.已知数列{an }的前n项和为Sn＝3n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝ (Sn＋1)，求数列{bnan}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2×3n－1（2）－，n∈N*【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，综上所述，a n＝2×3n－1.(2)bn ＝ (Sn＋1)＝3n＝－n，所以bnan＝－2n×3n－1，Tn＝－2×1－4×31－6×32－…－2n×3n－1，3Tn＝－2×31－4×32－…－2(n－1)×3n－1－2n×3n，相减，得－2Tn＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n－1＋2n×3n＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n－1)＋2n×3n，所以Tn＝(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n×3n＝－n×3n＝－，n∈N*5.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为.【答案】2n+1-n-2【解析】该数列的通项公式an=1+2+22+…+2n-1=2n-1.故Sn =a1+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2.6.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.7.已知等差数列满足，，则它的前10项和（）A．85B．135C．95D．23【答案】C.【解析】由得．【考点】等差数列通项公式及前和公式．8.数列的通项公式，其前项和为，则．【答案】1006【解析】所以，于是.【考点】数列前n项和.9.(本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，等比数列中，，，是公比为64的等比数列．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)证明：.【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)先用等差数列等比数列的通项公式将已知表达式展开，解方程组，得到和，再写出通项公式；(Ⅱ)先用等差数列的求和公式求出，然后用裂项相消法求，再用放缩法比较大小.试题解析：(Ⅰ)设的公差为，为正数，的公比为，则，. 2分依题意有，由知为正有理数， 4分又由知，为6的因数1，2，3，6之一，解之得，. 故，. 6分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知， 7分. 12分【考点】1.等差、等比数列的通项公式；2.裂项相消法求和.10.在数列中，（1）试判断数列是否为等差数列；（2）设满足，求数列的前n项和；（3）若，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）根据递推关系得到，从而结合定义来证明、（2）（3）λ的取值范围是(－∞，].【解析】解：（1）∵，∴，∴由已知可得(n ≥ 2)，故数列{}是等差数列，首项为1，公差为3．∴（2）上面两式相减得（3）将代入并整理得，∴，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.设，则，故，∴Cn 的最小值为C2＝，∴λ的取值范围是(－∞，].【考点】数列的求和，数列的单调性点评：主要是考查了数列的求和以及数列的单调性的运用，属于中档题。
2013年高考数学复习-数列--第4讲-数列求和教案-理-新人教版
2013年高考数学复习-数列--第4讲-数列求和教案-理-新人教版第4讲数列求和【2013年高考会这样考】1．考查非等差、等比数列求和的几种常见方法．2．通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．【复习指南】1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．基础梳理数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 11－qn1－q ，q ≠1.2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．三个公式(1)1n n＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.双基自测1．(人教A版教材习题改编)等比数列{a n}的公比q＝12，a8＝1，则S8＝( )．A．254 B．255 C．256 D．257解析由a8＝1，q ＝12得a1＝27，∴S8＝a11－q81－q＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫1281－12＝28－1＝255.答案 B2．(2011·潍坊模拟)设{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝( )．A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a23＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝12，∴S n＝na1＋n n－12d＝n24＋74n.答案 A3．(2011·北京海淀模拟)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )． A ．120 B ．70 C ．75 D ．100 解析 ∵S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，∴S nn＝n＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75. 答案 C4．(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )． A.n [－1n－1]2B.－1n －1＋12C.－1n ＋12 D.－1n －12解析因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n＝－1－－1n×－11－－1＝－1n－12.答案 D5．若S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝________.解析S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.答案－25考向一公式法求和【例1】►已知数列{a n}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，S n是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求T n＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．[审题视点] 求出公比，用等比数列求和公式直接求解．解(1)由题意得2a5＝4a1－2a3.∵{a n}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2)∵a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴T n＝na2＝－4n .应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．【训练1】在等比数列{a n}中，a3＝9，a6＝243，求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n，并求a9和S8的值．解在等比数列{a n}中，设首项为a1，公比为q，由a3＝9，a6＝243，得q3＝a6a3＝2439＝27，∴q＝3.由a1q2＝a3，得9a1＝9，∴a1＝1.于是，数列{a n}的通项公式为a n＝1×3n－1＝3n－1，前n项和公式为S n＝1×1－3n1－3＝3n－12.由此得a9＝39－1＝6 561，S8＝38－12＝3 280.考向二分组转化求和【例2】►(2012·包头模拟)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项xn＝2n p＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{x n}前n项和S n的公式．[审题视点] 第(1)问由已知条件列出关于p、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p ＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p ＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋ (2))＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．【训练2】 求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12k .∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝2错误!＝2⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2.考向三 裂项相消法求和【例3】►在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .[审题视点] 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和．解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 【训练3】 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2.∴b n ＝2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S n ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝8nn ＋1. 考向四 错位相减法求和【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．[审题视点] 第(1)问列出关于首项a 1与公差d的方程组可求解；第(2)问观察数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的通项采用错位相减法．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，∵a n2n －1＝2－n 2n －1＝12n －2－n2n －1， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋1＋12＋122＋…＋12n －2－⎝⎛⎭⎪⎫1＋22＋322＋…＋n 2n －1.记T n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1， ①则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ，∴12T n ＝1－12n1－12－n 2n . 即T n ＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －n2n －1.∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n2n －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2n －1＝n2n －1. 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．【训练4】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3， ①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13， ②①－②得：3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，∴a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13也适合上式，∴a n ＝13n .(2)b n ＝na n＝n ·3n ，∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n， ③ 则3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1， ④∴③－④得：－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝31－3n1－3－n ·3n ＋1＝－32(1－3n )－n ·3n ＋1.∴S n ＝34(1－3n)＋n ·3n ＋12＝34＋2n －1·3n ＋14.阅卷报告7——未对q ＝1或q ≠1讨论出错【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列{a n }及一个等比数列{b n }对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．【防范措施】 两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n －1项是一个等比数列．【示例】►(2010·四川)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .错因 未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误． 实录 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·qn －1，∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋qn －1＋n ·q n＝1－q n1－q＋n ·q n.∴S n ＝1－q n1－q2＋n ·qn1－q.正解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·qn －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋qn －1－n ·q n＝1－q n1－q －n ·q n . ∴S n＝1－q n 1－q2－n ·q n 1－q＝n ·q n ＋1－n ＋1q n＋11－q2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12 q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n＋11－q 2q ≠1.【试一试】 (2011·齐齐哈尔模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n ∈N *)． ∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．。
高三数列专题练习30道带答案
高三数列专题训练二一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ． 13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
2013年高考数学二轮专题辅导与训练 专题三第2讲数列求和及数列的综合应用课时训练提能
专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分) 1．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于A.n n ＋12B ．－n n ＋12C ．(－1)n ＋1n n ＋12D ．以上答案均不对解析 对n 赋值验证，只有C 正确． 答案 C2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为 A ．11B ．99C ．120D ．121解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 答案 C3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝ A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析 ∵a n ＝(－1)n(3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案 A4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋1(n ∈N )，则f (n )等于 A.27(8n－1)B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1)D.27(8n ＋4－1)解析 显然，f (n )为数列{23n ＋1}的前n 项和S n ＝24＋27＋210＋…＋23n ＋1与2的和．数列{23n ＋1}为一个首项为a 1＝24，公比为q ＝23的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得S n ＝24[1－23n]1－23＝168n－17， 故f (n )＝2＋S n ＝2＋168n－17＝16×8n－27＝2×8n ＋1－27＝27(8n ＋1－1)． 答案 B5．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 010的值为A.2 0072 008 B.2 0082 009 C.2 0092 010D.2 0102 011解析 ∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，∴b ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 2 010＝1－12＋12－13＋…＋12 010－12 011＝1－12 011＝2 0102 011.答案 D6．甲、乙两间工厂的月产值在2010年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2010年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2011年6月份的月产值大小，则有A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定解析 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6，由于在等差数列{a n }中，公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6＞b 6.答案 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n ＝________.解析 由已知条件可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1. 答案4n n ＋18．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－29．数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________. 解析 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)． 两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1a n＝4. ∴{a n }为a 2为首项，公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴n ≥2时，a n ＝3·4n －2，S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.∴log 4S 10＝log 449＝9. 答案 9三、解答题(每小题12分，共36分)10．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n 为奇数，n ， n 为偶数，试求其前n 项和．解析 (1)当n 为奇数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n )＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n －1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－4n ＋121－4＋n －12×2＋n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－12×2＝13·2n ＋2＋n 24－1112. (2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n )＝21－4n21－4＋n2×2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－12×2＝13·2n ＋1＋n 24＋n 2－23. 11．(2012·武昌模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n(n ∈N ＋)．(1)设b n ＝a n －2n3n，证明：数列{b n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明 ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－a n －2n3n＝1，∴{b n }为等差数列． 又b 1＝0，∴b n ＝n －1. ∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n.(2)设T n ＝0·31＋1·32＋…＋(n －1)·3n，则 3T n ＝0.32＋1·33＋…＋(n －1)·3n ＋1.∴－2T n ＝32＋…＋3n －(n －1)·3n ＋1＝91－3n －11－3－(n －1)·3n ＋1.∴T n ＝9－3n ＋14＋n －1·3n ＋12＝2n －3·3n ＋1＋94.∴S n ＝T n ＋(2＋22＋ (2))＝2n －33n ＋1＋2n ＋3＋14.12．(2012·丰台一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，是否存在常数λ，使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1，因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)证明 因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为b 121＝1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以b n ＝(2n －1)·2n.(3)存在常数λ使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．因为T n ＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n①所以2T n ＝1·22＋3·23＋…＋(2n －5)·2n －1＋(2n －3)·2n＋(2n －1)·2n ＋1②由①－②得－T n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1，化简得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.因为T n －6T n ＋1－6＝2n －3·2n ＋12n －1·2n ＋2＝2n －34n －2＝12－24n －2＝12－12n －1. (ⅰ)当n 为奇数时，(－1)λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＞－1－T n －6T n ＋1－6，即λ＞－32＋12n －1.所以当n ＝1时，－32＋12n －1的最大值为－12，所以只需λ＞－12.(ⅱ)当n 为偶数时，λ＜1＋T n －6T n ＋1－6，所以λ＜32－12n －1，所以当n ＝2时，32－12n －1的最小值为76，所以只需λ＜76.由(ⅰ)(ⅱ)可知存在－12＜λ＜76，使得不等式(－1)nλ＜1＋T n －6T n ＋1－6(n ∈N ＋)恒成立．。
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训练10数列求和(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·山东省实验中学一诊)已知{a n}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()．A．－110 B．－90C．90 D．1102．(2012·宝鸡二模)已知等差数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的通项公式a n等于()．A．2n－3 B．2n＋1C．2n－5 D．2n＋33．数列112，314，518，7116，…的前n项和S n为()．A．n2＋1－12n－1B．n2＋2－12nC．n2＋1－12n D．n 2＋2－12n－14．已知数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为()．A．11 B．99 C．120 D．1215．(2012·福州一模)已知{a n}满足a1＝1，且a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为()．A．a n＝13n－2B．a n＝n2＋2C ．a n ＝3n －2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113n －3，n ≥2二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2012·枣庄一检)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为________．7．若1＋3＋5＋…＋(2x －1)11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝110(x ∈N *)，则x ＝________.8．(2011·北京)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________. 三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·泰安二模)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝35，且a 2，a 7，a 22成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求T n .10．(12分)(2012·济宁一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为A n ，且满足a 1＋a 5＝6，A 9＝63；数列{b n }的前n 项和为B n ，且满足B n ＝2b n －1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式a n ，b n ； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .11．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n1－a n (n ∈N *)．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记c n ＝b 2n －b 2n －1(n ∈N *)，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：对任意正整数n 都有T n ＜32；(3)设数列{b n }的前n 项和为R n .已知正实数λ满足：对任意正整数n ，R n ≤λn 恒成立，求λ的最小值．参考答案训练10 数列求和1．D [a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.]2．A [由题意知：2(a ＋1)＝(a －1)＋2a ＋3，解得：a ＝0， ∴a 1＝－1，d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.] 3．C [S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋(2n －1)12n4．C [∵a n＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.] 5．A [由题可知，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，两边取倒数可得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n＋3，即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝3n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2.]6．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.易知a 1＝－9 也适合上式．综上，a n ＝2n －11. 答案 a n ＝2n －117．解析 原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x －1)＝(1＋2x －1)x 2＝x 2， 原式分母为：11·2＋12·3＋…＋1x (x ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1x －1x ＋1＝x x ＋1，故原式为：x 2x x ＋1＝x 2＋x ＝110，解得x ＝10.答案 108．解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4， ∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12·(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n)1－2＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－129．解 (1)∵数列{a n }是等差数列， 由S 5＝5a 1＋5×42d ＝35. ∴a 1＋2d ＝7.①由a 2，a 7，a 22成等比数列，∴a 27＝a 2·a 22， ∴(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )(d ≠0)， ∴2a 1－3d ＝0.②解①②得：a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知，S n ＝3n ＋n (n －1)2·2＝n 2＋2n . ∴1S n＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12（1n －1n ＋2）.10．解 (1)∵A 9＝63，∴A 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝63，∴a 5＝7.由a 1＋a 5＝6，得a 1＝－1，∴d ＝a 5－a 14＝2. ∴a n ＝2n －3.∵B n ＝2b n －1，①∴B n －1＝2b n －1－1(n ≥2)，②由①－②得b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)． 又b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1.∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴b n ＝b 1·q n －1＝2n －1. (2)c n ＝a n ·b n ＝(2n －3)·2n －1， S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝－1×1＋1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －5)·2n －2＋(2n －3)·2n －1，① ∴2S n ＝－1×2＋1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －5)·2n －1＋(2n －3)·2n ，②①②两式相减得－S n ＝－1＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n －3)·2n ＝－1＋2(2＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －3)·2n ＝－1＋2×2(1－2n －1)1－2－(2n －3)·2n＝(5－2n )·2n －5. ∴S n ＝(2n －5)·2n ＋5.11．(1)解 当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，∴a 1＝－14， 又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1， ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1，即a n ＋1＝－14a n . ∴数列{a n }成等比数列，其首项a 1＝－14，公比q ＝－14，∴a n ＝－14n ，∴b n ＝.(2)证明 由(1)知b n ＝4＋5(－4)n －1，∴c n ＝b 2n －b 2n －1＝542n －1＋542n －1＋1＝25×16n (16n －1)(16n ＋4)＝25×16n (16n )2＋3×16n －4＜25×16n (16n )2＝2516n ，又b 1＝3，b 2＝133，∴c 1＝43. 当n ＝1时，T 1＜32；当n ≥2时，T n ＜43＋25×（1162＋1163＋…＋116n ）＝43＋25×＜43＋25×11621－116＝6948＜32.(3)解 由(1)知b n ＝4＋5(－4)n －1.一方面，已知R n ≤λn 恒成立，取n 为大于1的奇数时， 设n ＝2k ＋1(k ∈N *)，则R n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＋1 ＝4n ＋5×(－141＋1＋142－1－143＋1＋…－142k ＋1＋1) ＝4n ＋5×[－141＋1＋(142－1－143＋1）＋…＋(142k －1－142k ＋1＋1)]＞4n －1. ∴λn ≥R n ＞4n －1，即(λ－4)n ＞－1对一切大于1的奇数n 恒成立．∴λ≥4，否则，(λ－4)n ＞－1只对满足n ＜14－λ的正奇数n 成立，矛盾． 另一方面，当λ＝4时，对一切的正整数n 都有R n ≤4n 恒成立．事实上，对任意的正整数k ，有b 2k －1＋b 2k ＝8＋5(－4)2k －1－1＋5(－4)2k －1＝8＋516k －1－2016k ＋4＝8－15×16k －40(16k －1)(16k ＋4)＜8.∴当n 为偶数时，设n ＝2m (m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －1＋b 2m )＜8m ＝4n ； 当n 为奇数时，设n ＝2m －1(m ∈N *)，则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －3＋b 2m －2)＋b 2m －1＜8(m －1)＋4＝8m －4＝4n.∴对一切的正整数n，都有R n≤4n. 综上所述，正实数λ的最小值为4.。