论向量法解几何问题的基本思路
论向量法解几何问题的两个基本要点
Ｃ
Ｃ
图３
图１
证 明 ： Ｂ 的 Ｂ Ｃ 两 边 的高 线 相 交 于 点 Ｐ（ １ ， Ｐ 设 Ｃ Ｃ、Ａ 图 ）证 Ｃ上
ＡＢ 即可 。
证 明： 中线 Ｂ 和 Ｃ 设 Ｅ Ｆ相 交 于 点 Ｇ， 为 Ｂ 的 中点 （ ３ ， 结 Ｄ Ｃ 图 ）连
ＡＧ ．
设 ：， ： ， ： 亩 ｉ 一 ， ：一， ：一 二 ；ｉ ； 由 上 ．￣ｉ ， ｐ 得 － －
值 得 研 究和 探 讨 的课 题 。 本 文 主 要 论 述 向 量 法 解 几 何 问 题 的 两 个 基 本要 点 ： 一是 向 量 的 回路 ， 是 向量 的代 数 表 示 式 的 几 何 意 义 。 二
【 关键词 】 向量 ； 几何 问题 ； 基本要点 ； 向量回路 ； 几何意义
几何的代数化研究已成为现代 几何研究 的发展方向 ， 向量兼有几 ２ 向 量 法解 几 何 问题 的 两 个 基 本 要 点 何 与 代 数 双 重 属 性 ， 几 何 代 数 化 的 重 要 组 成 部 分 ， 如 张 奠 宙 和 袁 是 正 ２１ 向量 的 回路 ． 雷东两位教授在“ 话说 向量” 一文 中所说 ， 向量 与几何 的融合 ， “ 已成为 向量 回路是 向量解几何问题区别于其他解题方法的本质特点 ， 所 不 可 阻挡 的潮 流 ” 于是 有 关 向量 研 究 几 何 的 问 题 ， 括 向 量 研 究 几 何 。 包 谓 向量 回路 是 指 向量 加 法 的 三 角 形 法则 ： ＋ ＝ 藏 （ 广 到 有 限多 推 的基 本 思 路 、 本 法 则 和 基 本 要 点 等 一 系 列 问 题 就 成 为值 得 研 究 和 探 基
纵观立体几何考题感悟向量方法解题
纵观立体几何考题感悟向量方法解题在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。
立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。
但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。
本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。
一、向量的基本概念及运算向量的表示法是用箭头表示。
箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定的点B之间的向量$\vec{AB}$。
向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。
向量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。
向量的运算有向量加法和向量数乘。
向量加法的定义是：$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。
其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。
向量数乘的定义是：$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。
其中，$\lambda$是一个实数。
二、应用向量方法求解空间几何问题1.立体几何基本概念首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。
此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。
了解这些概念是建立解题基础的必要条件。
2.向量表达式的转化在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。
因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
巧用向量解决几何问题
巧用向量解决几何问题
向量知识在几何问题中有着非常广泛的应用，在具体问题中，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量运算来研究点、线段等几何元素之间的关系，最后将结论转化为几何问题，特别是在有些情况下，应用向量还能起到事半功倍的效果，下面就举几个简单的例子。
一、利用向量求直线夹角
例1 已知直线,，求和夹角的余弦值。
，解:由直线方程知道和的方向向量分别为，
则和夹角的余弦值即为所成角的余弦值或其相反数，设夹角为，
则。
所以和夹角的余弦值即为。
1.
利用向量研究直线的垂直与平行
例2 已知两直线，
1.
如果，求的值；
2.
如果，求的值。
解：由直线的方程可得直线的法向量分别为：和
，
，解得：或
当时，与重合，
，
1.
利用向量求解曲线方程
例3 已知两点，试求以为直径的圆的方程。
解：设为圆上任意一点，则， ,
而，
即为所求圆的方程。
四、利用向量证明几何问题
例4 已知 ,证明：四边形为矩形。
证明： ,
,所以四边形为平行四边形。
, ,
所以四边形为矩形。
当然向量在几何问题当中还有好多方面的应用，在这里仅举几个简单的例子以说明向量的应用问题，巧用向量，就能很容易地解决相关问题。
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题在数学中，向量是一种重要的数学工具，能够用来描述和解决许多与几何相关的问题。
利用向量解决几何问题是一种简洁、直观且有效的方法。
本文将介绍如何利用向量解决几何问题，并提供一些例子来说明。
一、向量及其运算在开始讨论如何利用向量解决几何问题之前，先对向量及其运算进行简要介绍。
向量由大小和方向两个要素构成，通常用箭头表示。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的减法：将第二个向量取负，再进行向量的加法。
数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
点乘：将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，得到一个实数。
二、向量解决几何问题的基本方法1. 向量共线与相关问题向量a、b共线的充要条件是它们与一个非零向量c的关系式ka+lb=c成立，其中k、l为实数。
利用这一性质，可以判断两个向量是否共线，并求解系数k、l。
例题1：已知向量a=(2,3)和向量b=(4,6)，判断两个向量是否共线，并求解k、l的值。
解答：由向量共线的性质可知，两个向量共线时，它们满足ka+lb=c。
代入已知向量，得到2k+4l=2×2+4×3=16。
解这个方程组，可以得到k=2，l=3。
因此，向量a和b共线，并且k=2，l=3。
2. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，用数值表示，记作|a|。
单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模得到。
例题2：已知向量a=(3,4)，求向量a的模和单位向量。
解答：向量a的模可以通过求解平方和再开平方的方式得到，即|a|=√(3^2+4^2)=5。
单位向量可以通过将向量a除以模得到，即a/|a|=(3/5,4/5)。
3. 向量的投影和垂直向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过向量的点乘计算得到。
两个向量垂直时，它们的点乘为零。
例题3：已知向量a=(3,4)和向量b=(4,3)，求向量a在向量b上的投影和判断两个向量是否垂直。
向量法解立体几何的运算特点及策略
向量法解立体几何问题中的运算策略潘承猛（广西壮族自治区南宁市广西大学附属中学，530004）在高考全国卷中，立体几何是一道必考解答题，其中理科数学解答题的第（Ⅱ）问主要考察向量法解决空间角的问题．这道题是数学科临界生高考数学成绩能否达到一本有效分的关键，大多数学生感觉这道题的运算量大、容易出错，在考试中花时间多，不易拿分．因此，部分学生在考试中把这道题放到最后面来做或者放弃，导致数学成绩无法上升到一个新的台阶．其实要解决这些问题关键在于“四破”：第一破“建系关”——构建恰当的空间直角坐标系；第二破“求点的坐标关”——准确写出相关点的坐标；第三破“求法向量关”——快速准确求出平面的法向量；第四破“应用公式关”——准确的应用公式．这四关相互关联，环环相扣，每一个步骤的处理恰当与否都会影响到下一步的运算量及运算难度．下面我们来谈谈如何突破这四关．第一关：如何建立合适的空间直角坐标系建立空间直角坐标系首先要保证三条坐标轴两两垂直．在实际操作中，第一步是要找线面垂直，一般是找垂直于底面的直线，这条直线或与这条直线平行的直线作为z 轴．若题目条件中没有给出线面垂直条件，则必须证明后才能建系．第二步是确定x 轴与y 轴，一般情况是先将底面的直观图还原成平面图，然后找出相互垂直的两条直线分别作为x 轴与y 轴，如果没有现成的两条相互垂直直线，则需要做出辅助线，并给予证明．在正确建系的基础上，再考虑如何建立合适的空间直角坐标系．合适的空间直角坐标系即要保证几何体中的相关点坐标能求出来，还要使得这些点坐标容易求且运算简单．最容易确定坐标的点是坐标轴上的点，其次是坐标平面上的点，因此，建系的第一个原则是使相关点尽量多的在坐标轴上．第二个原则是图形有对称性质时，尽量对称建系．第三个原则是在尽量使得相关点的坐标为正数、有理数、整数．这三个原则有冲突时应依次优先满足．我们来看以下例子． 例1：（2013年全国Ⅰ卷改编）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA AB BC AC ===，ο601=∠BAA ，平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 分析：本题应先由面面垂直证明线面垂直再建系，取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，B A 1．因为CB CA =，所以AB OC ⊥．又平面⊥ABC 平面11BB AA ，交线为AB ，所以⊥OC 平面11BB AA ．由于1AA AB =，ο601=∠BAA ，故B AA 1∆为等边三角形，所以AB OA ⊥1．故OA ，OC ，1OA 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，||OA 为1个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则)0,0,1(A ，)0,3,0(1A ，)0,0,1(-B ，)0,3,2(1-B ，)3,0,0(C ．我们把这种建系方法记为方法1，除了这种建系方法外，学生常见的建系方法有以下三种，相对于方法1来说不足之处有：方法2方法3 方法4)0,1,0(A，)0,0,3(1-A，)0,1,0(-B，)0,2,3(1--B，)3,0,0(C)0,0,2(A，)0,3,1(1A，)0,0,0(B，)0,3,1(1-B，)3,0,1(C)0,0,3(A，)0,1,0(1A，)0,1,0(-B，)0,0,3(1-B，)3,21,23(-C相关点坐标都带“－”号增多，增加运算因素，容易算错．C点和A1点的坐标变复杂，增加运算难度．C点坐标不好确定且复杂，增加运算难度．由此可见，建系是否恰当对于点的坐标的确定难易有很大的影响．第二关：如何正确的求出点的坐标我们建立了合适的空间直角坐标系以后．在图形上标注线段长度，如果题目只给出线段之间的长度关系而没有给出线段具体长度，一般情况下假设最短线段为一个单位长度可以减少坐标为分数的情况．求几何体顶点的坐标应该按照先轴后面再其它的顺序来求．第一步，先写出坐标轴上的点的坐标，坐标轴上的点的坐标有两个零．第二步，根据题目给的已知条件把底面还原成平面图，并标注x轴和y轴，求出底面上点的坐标，坐标平面上的点的坐标有一个坐标为零．还原底面对于正确写出坐标平面上的点的坐标至关重要，近几年高考全国卷所给的几何体大多数是椎体，而锥体只有一个顶点不在底面上，由于底面直观图相对于原平面图是严重变形的，空间想象能力不足的学生很容易写错底面上的点的坐标．而对于顶点的坐标，我们也只需要找出它在底面上射影点的坐标，并求出它到底面距离就可以求得顶点的坐标．最后是其余点的坐标，一般可分为两类，第一类是定点，首先考虑该点坐标是否有必要求出，求点的坐标是为下一步求向量做准备，如果涉及到该点的向量可以用相等向量来替代，则不需要求出该点的坐标．若必须求出，则先看是否可以通过相等向量列方程求出该点的坐标．最后才是考虑通过找出该点在底面上的射影求出它的坐标．下面我们以例1的4(C AB)方法1 方法2 方法3 方法41容易写错，方法4中点C坐标是比较容易写错，而且问题的解答必须求出这两个点坐标．前三种方法中点B 1的坐标是比较容易写错，但在解题过程中，点B 1的坐标不是必须求出的，在求面平面C C BB 11的法向量时，用到BC 和1BB ，其中11AA BB =，从而避免去求点B 1坐标． 而对于动点坐标，如果这一个动点是在坐标轴上或者是某一个坐标平面上，我们可以直接假设这个点的坐标，如果这个点是在几何体的某一条棱上，一般情况是通过共线向量的方法假设该点的坐标．然后根据题目所给的条件列方程求出动点的坐标． 例2：（2017全国Ⅱ卷改编）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=，点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45o ，求二面角M AB D --的余弦值．解：取AD 的中点O ，连接PO ，CO ．则AD PO ⊥，AD CO ⊥，因为面PAD ⊥底面ABCD ，面PAD I 底面ABCD =AD ，PAD PO 面⊂，所以ABCD PO 面⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB 为1个单位长度，则()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()003P ，，，(100)AB =u u u r ，，，)3,0,1(-=CP ，)0,1,0(=BC ， 设()()λλλλ3,0,3,0,1-=-==CP CM ， 则()()()λλλλ3,1,3,0,0,1,0-=-+=+=CM BC BM 底面ABCD 的法向量()1,0,0=n ， 由题意><=n BM ,cos 45sin ο，即241322λλ+＝， 解之得，22＝λ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=26,1,22BM ．设平面ABM 的法向量，()z y x m ,,=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m AB m BM ，得，()2,6,0-=m ，从而10cos ,⋅==⋅m n m n m n ， 故二面角M AB D --的余弦值为10． 从例2可以看到，点M 的坐标不需具体求出来，如果需要也可以由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=26,1,22BM 和点()110B -，，求出点M 的坐标． 第三步：求向量空间向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标，这对大多数同学来说不存在什么问题，只是在运算中尽量选坐标带“－”号少的向量，以减少运算失误．真正的问题是如何快速准确的求出平面的法向量．求平面的法向量，比较常见的有三种方法．（1）解不定方程法我们设()321,,a a a a =，()321,,b b b b =为平面为平面α的两个不共线向量，()z y x n ,,=是平面α的一个法向量．则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，得不定方程组⎩⎨⎧=++=++00321321z b y b x b z a y a x a ，可令x （或y 、z ）取一个特殊值（一般是整数），代入方程组可得一个二元二次方程组，解这个方程组即可求出平面的一个法向量．例3：已知()3,2,1=a ，)1,1,2(-=b ，则求的过程如下： 解：设),,(z y x =，则由a n ⊥，b n ⊥，得⎩⎨⎧=⋅=⋅00b n a n ，即⎩⎨⎧=-+=++02032z y x z y x ， 不妨设3=z ，得⎩⎨⎧=+-=+3293y x y x ，解之得⎩⎨⎧-==75y x ， 可取)3,7,5(-=”． 以上的常规方法比较繁琐，很容易出错，特别是如果，b 的坐标含有根式、参数时就更难处理了．（1）矩阵法 若()321,,a a a a =，()321,,b b b b =为平面为平面α内的两个不共线向量， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯212131313232,,b b a a b b a a b b a a ()()122113312332,,b a b a b a b a b a b a ----=是平面α的一个法向量．由此，例3中的法向量()3,7,51221,1231,1132--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⨯=，这种方法需要学生熟记公式．熟练掌握以上方法，可以迅速求出平面的法向量，也降低了运算难度．但是这种方法容易出现符号错误，要解决这个问题，最好的方法是代回检验．所以，基于检验思想，对于一些特殊情况，还有更简便的方法．（3）坐标交叉赋值其中一个变号法（坐标含0情况）如果平面α内的两个不共线向量a ，b 的坐标中含有零，我们就从零最多的向量入手，通过对应坐标交叉赋值，并且改变其中一个坐标的符号的方法快速求出平面α的一个法向量．两个向量中不妨假设坐标含零个数最多． 第一种情况，a 坐标含有两个零．例如：()0,0,1a =，()321,,b b b b =，则可通过观察便可直接写出平面α的一个法向量()z y x ,,=．由于a 中x 坐标不为零，所以可令法向量的0=x ，此时不管法向量的z y ,取任何值（不能同时取零）都满足0=⋅n a ，接下来只需要考虑z y ,取任何值时0=⋅ ，显然，坐标交叉赋值其中一个变号可令23,b z b y -== （或23,b z b y =-=）可使得0=⋅，所以可取()23,,0b b -=（或()23,,0b b -=）．为了便于记忆，可记以下有两个零的口诀：非零付零，交叉赋值，其中一个要变号． 第二种情况，a 坐标含有一个零．例如：()0,,21a a =，()321,,b b b =，则可通过坐标交叉赋值其中一个变号法设α的一个法向量()z a a ,,12-=（或()z a a ,,12-=），此时满足0=⋅，然后再由0=⋅n b 列方程()031221=+-+z b a b a b （或()031221=++-z b a b a b ），当03≠b 时可求得z 值，从而求得法向量．若03=b ，显然可取()1,0,0=．为了便于记忆，可记以下只有一个零的口诀：非零坐标交叉赋值其中一个变号；有零坐标设未知数，再列方程可求解．例4：已知向量a 、b 是平面α内的两个不共线的向量，根据以下条件，求平面α的一个法向量n ．（1）()1,0,0=，)1,1,2(-=b ；（2）()3,0,1=，)1,1,2(-=b ；（3）()0,2,2m m -=，)2,1,2(=． 解：（1）由()1,0,0=可设)0,,(y x =，由)1,1,2(-=的x ，y 坐标交叉赋值其中一个变号得)0,2,1(-=（2）由()3,0,1=的x ，z 坐标交叉赋值其中一个变号可设)1,,3(-=y ，则由0=⋅n b ，得()()01132=-⨯-++⨯y ，即7-=y ，所以，可取)1,7,3(--=．（3）由()0,2,2m m -=的x ，y 坐标交叉赋值其中一个变号可设),2,2(z m m -=，则由0=⋅，得()02222=++⨯-z m m ，解得m z 22-=，所以，可取)22,2,2(m m m --=．以上两种特殊情况在平时的解题中还是比较常见的情形．因此，在实战中，若平面α内的两个不共线向量有多种选择的话，尽量选择坐标含零多的向量，点的坐标含0的越多运算越简单．由此可见，点坐标含0的多少对法向量运算难易的影响．以上三种方法，不管是哪一种方法我们都建议学生求出法向量以后检验是否正确．第四步：应用公式空间向量的最常见的应用是求空间角，即根据空间角与两个向量夹角关系求空间角，因此，一定要明确以下三种空间角与对应两个向量夹角的关系．（1）两条异面直线所成的角θ∈(]οο90,0，它与两条这两条异面直线的方向向量b a ,的夹角><,的关系是>=<,θ或><-=,180οθ，所以有公式><=b a ,cos cos θ．（2）直线与平面所成的角θ∈[]οο90,0，它与直线的方向向量及平面的法向量的夹角><m a ,的关系是><-=,90οθ或ο90,->=<θ，所以有公式><=,cos sin θ．（3）二面角的平面角θ∈[]οο180,0，它与两个平面的法向量,的夹角><,的关系是>=<,θ或><-=,180οθ，所以有公式><±=,cos cos θ，若θ为锐角公式取正号，θ为钝角公式取负号．由以上关系可知，空间角问题最终都转化为两个向量夹角问题，而决定两个向量夹角大小的是两个向量方向，与向量的模无关，因此，在求两个向量夹角时，可以用方向相同的向量来替代运算以降低运算难度，其中也包含平行和垂直关系． 例如已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=34,334,338，()32,2,0-=，求这两个向量夹角余弦值时若直接代入公式运算量很大，因此，可将()1,3,3243--=m 和()3,1,021-=n 代入公式求夹角余弦值，即><>=<21,43cos ,cos ()()()()()()4341632311332311322222=⋅=-+⋅-++--⨯-+⨯= ())()43416323113222=⋅=-+⋅-⨯．可见，这种替代方法可以极大的降低运算量，从而提高运算的准确性． 用向量求空间距离问题是利用向量数量积运算的几何意义，主要有两种类型．（1）平面外的点P 到面α的距离d 等于点P 与面内任意一点A 连线所得向量PA 在平面α法向量上投影的绝对值，即d =．（2）而直线外的一点P 到直线l 的距离d ．可以先在直线上任意取一个点A．求出在直线方向向量=d ． 直线与平面平行时的线面距离、两个平行平面的距离、异面直线公垂线段长问题都可以转化为点到面的距离问题来求解；两条平行线间距离的问题可以转化为点到线的距离问题来求解．例5：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，动点P 在棱A 1B 1上．当A 1P=34A 1B 1时，求点C 到平面D 1DP 的距离．解:如图，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Dxyz ．由题设知正方体棱长为4，则D(0，0，0)，D 1(0，0，4)，C(0，4，0)．由题设可得P(4，3，4)，设平面D 1DP 的法向量=(x ，y ，z)，1DD u u u u r =(0，0，4)，DP u u u r =(4，3，4)．则10,0,n DD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r 即0,4340.z x y z =⎧⎨++=⎩ 令x=-3，则y=4．所以n 的一个取值为(-3，4，0)．又DC u u u r =(0，4，0)．所以点C 到平面D 1DP 的距离为=165．由以上例子可见，用向量法来解决空间立体几何问题是将几何问题转化为代数问题，对学生空间想象能力要求降低，它主要难点在于运算的准确性和运算的速度，而这又取决于建立空间直角坐标系的合理性以及运算过程中的运算习惯和策略．在考试的过程当中，如果学生能按照这以上原则解题，可以极大的提高运算的准确率以及解题的速度．参考文献：[1]人教版A 版数学选修2-2教材及教师用书[2]平面法向量在解立体几何题中的应用探究[j]． 梁毅麟． 科技传播． 2010(03)[3]立体几何的金钥匙——法向量[j]． 苏宝强． 教育教学论坛． 2010(07)作者简介：潘承猛：男，数学教师、数学备课组组长，中学一级教师．担任“Z+Z 智能教育平台运用于国家数学课程改革实验研究”西大附中课题组副组长．对中考、高考有深入研究，主编《中考宝典•数学》．。
初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例
《义务教育数学课程标准（2011年版》）（以下简称《标准》）中指出，自学能力对每个人都是终身有用的，阅读是提高自身能力的重要途径.数学阅读是理解数学语言的过程，是学生用特定的数学符号及符号之间的关系对自身原有认知结构进行改造、调整和建构；数学阅读也是心理活动的过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等；数学阅读还是一个不断假设、证明、想象、推理的思维认知过程.可见，数学阅读对提升学生的数学学习能力有着极大的价值，是促进学生数学思维和数学素养发展的重要途径.沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“沪教版教材”）中编排了许多阅读材料，按功能大致可以分为以下几类：介绍知识，开阔视野；激发兴趣，发展思维；培养爱国主义思想，增强民族自豪感；加强知识和技能的实际应用，培养学生的应用意识，提高解决问题的能力.值得一提的是，沪教版教材将平面向量的部分基础内容纳入初中数学课程中.一方面，为学生的几何学习提供了“新观点”和“新手段”；另一方面，有助于让学生逐步体会数学与物理等其他学科的联系.我们知道，一些平面几何问题经过转化，可以通过向量运算来解决.这样的学习经验可以促进学生数学思维的灵活性和创新性，有利于学生数学素养的培育.同时，教材对初中平面向量主要采用直观描述，控制了难度（仅限于认识向量、表示向量；用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减法、向量分解的作图操作；至于向量的数量积与坐标运算，仍然是高中的学习内容）.为此，作为一个良好的内容载体，本文谨以阅读材料“用向量方法证明几何问题”为例，谈谈对数学阅读课的教学实践与思考.一、教学实践“用向量方法证明几何问题”是沪教版教材八年级第二学期第二十二章“四边形”章末的一篇阅读材料，安排在第四节“平面向量及其加减运算”的学习之后，用举例说明的方式介绍了用向量方法证明一些简单平面几何问题的基本思路，是对向量知识的进一步拓展.希望学生通过阅读、讨论与交流，初步了解平面向量及其加减运算在平面几何中的运用，感受几何证明的新方法，开阔眼界；同时，在数学问题解决初中数学阅读课教学的实践与思考——以“用向量方法证明几何问题”一课为例罗佳骏收稿日期：2020-08-15作者简介：罗佳骏（1984—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：数学阅读是学生数学素养发展的重要方法之一.沪教版初中数学教材中编排了较多阅读材料，这些材料紧扣教材中的相关知识，丰富了教学内容，是拓展学生数学知识、提升学生数学阅读能力、激发学生数学学习兴趣、培养学生创新意识的有效载体.这些内容的教学成为上海市数学素质教育综合体现的重要组成部分.文章以“用向量方法证明几何问题”一课为例，给出关于初中数学阅读课教学的一些思考.关键词：数学阅读；数学交流；实践与思考··21过程中，增进对平面向量的理解，初步体会平面向量的工具价值，领略用向量方法证明一些几何问题的过程和优越性，激发学生学习向量知识的兴趣和运用向量知识的积极性.对于本节阅读课，笔者设计了“泛读—通读—精读—解读—延读”五个环节.1.泛读——初步感知泛读是本节课的准备阶段.通过观看微视频，梳理“四边形”这一章的主要内容，引起学生思考：将平面向量这一内容安排在“四边形”一章的原因，初步认识平面向量与四边形内容之间的联系；同时，梳理演绎证明的一般过程，为后面的学习做好铺垫. 2.通读——问题展示通读是整体感知阶段.通过通读初步了解阅读材料的主要内容和知识点.为了让学生的阅读有更明确的指向性，从而提高阅读效率，教师可以布置一些阅读任务，通常包含学习目标、导读问题、阅读检测、阅读体会等，带着任务阅读能使学生的阅读更有针对性，更能启发学生去思考、探究.这无疑对提高学生的阅读能力是很有帮助的.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者布置的阅读任务如下：①圏划你认为重要的部分；②记录你在阅读过程中的困惑或不理解的地方；③比较用向量方法证明几何问题与演绎证明的区别与联系.学生通过通读阅读材料，初步了解向量知识在平面几何中的运用，感受用向量方法证明几何问题的新方法.通过比较阅读材料中给出的两道例题的不同解法，初步感受两种解法的区别与联系.由于学生的个体差异性，不同层次的学生在阅读后对新知会有不同程度的理解，形成自己尚不完善的认识，也会产生许多疑问.例如，下面是一些学生的疑问.生1：如何用向量方法证明几何问题？生2：如何选取合适的向量？生3：向量关系与几何关系如何转化？生4：已经学习了演绎证明的方法，阅读材料中给出的两道例题都可以通过演绎证明来解决，为什么还要学习向量方法？向量方法似乎并没有简单很多. 3.精读——问题解决精读是本节数学阅读课的核心环节.数学阅读的目的在于理解，每个数学概念、符号、术语都有其精确性和逻辑性.当一名学生试图阅读、理解一段阅读材料或一个概念、定理或其证明时，他必须了解其中出现的每个数学术语和每个数学符号的精确含义.这就要求学生必须在通读材料、提出问题的基础上，运用分析、联想、类比、归纳、猜想、反思等思维方法，对疑难点各个击破.这里，活动的设计尤为关键，以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了讨论和交流两个活动，放手让学生自己解决问题，大胆地让学生展示自己的阅读与思考成果.以下为节选的部分小组交流片断.第一组：演绎证明是运用相关定义、定理、公理，按照逻辑规则进行推导，也就是从几何问题的已知条件出发得到结论.向量证明的方法是适当选取向量，进行正确的向量运算得到结论.第二组：我们分析比较了例1中的解法.例1是根据已知条件引出向量，给出的条件是“如图1，四边形ABCD，AC与BD交于点O，AO=OC，DO=OB”，求证“四边形ABCD是平行四边形”.首先，这个条件给出的意义是线段相等，还有AC和BD各自是一条直线，向量需要两个条件，一个是大小，一个是方向.已知条件已经给出了向量的大小，我们只要判断它的方向就可以从条件中选取向量，然后通过向量的加法，能得出AO+OB=AB，DO+OC=DC.相等向量所在的有向线段DC=AB，这是数量关系.还有平行关系，得出线段AB∥DC，且AB=DC，然后再回到几何证明.图1第三组：用向量方法证明几何问题是因为向量既具有代数的特征，又具有几何的形态.由于向量有运算系统，并且与几何图形有密切联系，所以它才可以用来证明几何问题.第四组：向量的证明方法比演绎推理的证明方法更加简洁.用几何方法要证明线段平行且相等，用向量方法只需要说明“向量相等”就能说明“两条线段平行且相等”.可以看到，整个活动过程中，学生的思维是无限··22的，在师生、生生合作交流中梳理形成用向量方法证明几何问题的基本步骤、要点和依据，提高了对“用平面向量的运算来作为推理方法”的认识，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解.期间，笔者仅对学生分析过程中存在的不足做必要的补充和调整，让学生获得了准确、完整和深刻的认识，最终得到如图2所示的知识框架图.演绎推理方法证明几何题图24.解读——巩固练习解读是检验与完善的阶段.在学生对阅读内容有了比较清晰的认识以后，通过适当的练习加以巩固，进一步理解和内化知识.以“用向量方法证明几何问题”为例，笔者设计了如下一道练习题.已知：如图3，四边形ABCD 是平行四边形，CN =AM ，AE =CF.求证：四边形NEMF 是平行四边形.AB CD E FM N图3考虑到沪教版教材定位“在初中的向量教学中，不要求学生会用向量方法证明几何问题”，故而采用让学生独立思考与相互交流相结合的方式研究.以下是学生的交流片断.生1：根据已知条件，作 EA ， AM ， EM ，CF ， NC ，NF .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB 平行且等于CD.因为CN =AM ，所以 AM =NC .因为AE和CF 在同一直线上，且AE =CF ，所以 EA =CF .所以 EA + AM = CF + NC ，即 EM =NF .所以EM ∥NF ，且EM =NF.所以四边形NEMF 是平行四边形.5.延读——拓展延伸阅读型作业的思路来源是数学阅读教学和分层作业理念的结合.一方面，数学阅读课的目标之一是学生数学阅读能力的发展和自学能力的提升；另一方面，课堂教学的时间是有限的，教师可以根据相关知识点设计一些与阅读材料有关的问题，或者收集、编制一些阅读材料，让学生带着这些问题继续阅读、思考，并做出解答，以此来优化教学效果.以“用向量方法证明几何问题”一课为例，笔者设计了如下阅读作业.阅读下列材料，并完成证明.我们知道，两个相同的实数a 相加，结果为2a ，即a +a =2a .那么两个相同的向量a 相加，是否也有类似的结果呢？即a +a =2a 吗？如图4，已知向量a ，在平面内取一点O ，作向量OA =a ， AB =a ，由向量加法运算法则，得OB =a +a .aOA B图4同时，我们不难看到：向量OB 的方向与向量a 的方向相同，向量OB 的长度是向量a 的长度的2倍，即|| OB =2||a .我们把这样的向量OB 记为向量2a ，即OB =2a .由上可知，2a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的2倍.类似地，3a 表示这样的一个向量，其方向与向量a 的方向相同，且长度是向量a 长度的3倍.那么，32a 表示为；12()a +b 表示为.反过来，如果 MN =2PQ ，则意味着MN 和PQ 平行（或共线），且MN =2PQ .上述结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题，如三角形中位线定理.请同学们小组合作，用向量方法证明该定理.求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图5，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点.求证：EF ∥BC ，EF =12BC .··23ACE F图5该作业的主要任务是开展“拓展阅读”.学生需要在完成阅读后，理解实数和向量的乘法的基本概念及其表示方法，然后用所学的向量方法尝试证明三角形中位线定理.其目的在于通过对阅读材料的学习，进一步让学生体会材料中用向量方法证明一些简单的平面几何问题的基本思路，了解平面向量及其运算在解决一些平面几何问题中的作用，增进对平面向量“数”与“形”双重特征的理解，体会平面向量的学习价值，发展自主学习和数学阅读的能力.在布置作业时，要求学生先独立阅读材料并尝试完成材料中提出的学习任务，然后撰写简单的学习体会并与其他学生交流.二、几点思考1.阅读课的目标定位读有所得、读有所疑、读有所悟、读有所用是一切阅读活动的共同目标.数学学科还有自己的特点，即高度的抽象、严密的逻辑和广泛的应用.这决定了数学阅读不同于一般的阅读，不仅要理解文本、获取知识，还要了解知识产生的背景和内在的逻辑关系，经历知识的形成过程，并能合理运用到实际生活中.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学过程中，笔者布置了阅读任务，目的是让学生有充裕的阅读和思考的时间，使学生不仅仅了解用向量方法证明几何问题这个方法；还能在阅读和思考过程中不断产生疑问.例如，向量关系与几何关系如何转化？两种方法孰优孰劣？学生在交流合作中经历用向量方法证明几何问题的过程，梳理了知识框架图，从中获得数学阅读和思考的一般方法，引发对数学阅读和思考的兴趣.2.阅读课的主体定位数学阅读课的整个教学过程是教师协助学生主动建构知识的过程，这极大地凸显了学生的主体地位.在“用向量方法证明几何问题”这节课阅读课的教学过程中，笔者的任务首先是倾听，其次是捕捉、梳理和完善学生思维中零散、不完全准确的结论.学生在阅读中产生疑问，在交流中解决疑问，再围绕笔者提出的较深层次的问题阅读、思考、交流.这些做法使得学生获得了更多的自主阅读与思考的时间和空间.3.阅读课的方式定位数学阅读课的学习方式通常是开放式的.数学阅读过程是不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，在向知识的广度和深度进军的过程中遇到问题或者困惑是在所难免的.开放的阅读方式能让学生在阅读与思考活动中分享信息结论和疑问，通过交流合作解决疑问，达到阅读和思考的最优效果.另外，在当今的信息时代，学生阅读的渠道不仅仅是教材和教师给予的阅读材料，还可以借助网络资源搜索相关资料进行深入学习.4.阅读素材的选择各地现行的初中数学教材普遍编排了许多阅读材料，主要包括：透过数学历史故事，学生可以感受到数学知识在研究过程中的曲折、艰辛，以及获得成功后的快乐，感悟理性精神；通过知识拓展或运用数学知识解决生活中的问题，可以增进数学与生活的联系，理解数学的学习价值等.随着数学学习的深入，笔者认为阅读不能仅仅局限于教材的阅读，应该给学生提供更多的课内外阅读资料.以平面向量为例，该部分知识虽然没有纳入《标准》，但是从上海市的经验来看，平面向量的初步知识在初中阶段的讲授还是具有较好的可操作性的.即使其他地区的数学教材中没有向量知识，教师也可以通过阅读材料的方式呈现给学生，让其自主学习.通过学习，学生有机会从运算的视角看待几何证明，丰富学生解决平面几何问题的手段，以更好地促进学生思考，挖掘学生的思维潜力，发展数学素养.5.阅读课的评价方式不同于重结果轻过程的传统数学评价，数学阅读课更侧重于学习过程，应采用多样化的评价方式.笔者认为可以从课堂评价和作业评价的转变开始.（1）课堂评价.学生的能力是多方面的，每名学生都有各自的优势.在阅读活动中，学生表现出来的能力不是单一维度的··24数值反映，而是多维度、综合能力的体现，因此对学生的学习评价应该是多方面的.在“用向量方法证明几何问题”一课的教学中，笔者采用了学生自评、小组互评和教师评价相结合的方式，从阅读表现、合作表现、交流表现、理答表现四个方面进行评价.（2）作业评价.传统的作业评价大多数基于知识与技能，更侧重于学生对知识的掌握情况、解题表现等，评价的维度比较单一.如何才能更好地发挥评价的导向、调控和激励功能？以“用向量方法证明几何问题”的阅读型作业为例，对于该作业的批改，笔者采用等第制评价的方法，学生互评和教师评价相结合，从阅读表现、解题表现和交流表现等方面重点开展评价，以下是评价标准.优秀：能圈划阅读材料中的关键词和重要信息，准确理解材料的内容；在解决问题的过程中，表现出对阅读材料介绍的方法的正确运用；解题过程完整，能用规范、简洁的语句进行交流；能清晰地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.良好：能圈划阅读材料，材料分析基本准确；解题过程基本正确；能用较为规范、简洁的语句进行交流；能较清楚地向他人介绍自己的解题思路和阅读体会.合格：基本理解阅读材料，材料分析不够准确；有解题过程，但解答存在一定错误；能与他人进行一定交流，但解题思路和阅读体会介绍较为简单. 6.阅读课的局限性（1）不同学生的差异.不同层次的学生受益效果不同，无法带动所有学生.笔者执教的班级学生水平差异较大，通过多次实践发现：原本学习能力强的学生在这样的课堂上学习方法能有提高，学习能力能有进步，对相关知识点的迁移，学习效率很高，他们学习的自信和主动性都会有飞跃；但是对于学困生却不一定有帮助.虽然笔者教学中一直关注个体差异，一有机会就会对学困生进行个别辅导，但是在自主阅读环节，学困生的学习效率非常低.没有了教师的教，学生不知道阅读和思考的方向，寸步难行.（2）阅读时间的把握.确定阅读时间是数学阅读课的重点和难点.阅读时间长了，留给学生对话交流的时间就少了，有些问题得不到解决，能力的发展受到限制，也就失去了阅读课的价值；阅读时间少了，学生对材料的理解不充分，思考的深度不够，也达不到效果.这就对教师提出了很高的要求，既要研读材料，把握教学的学习内容，又要研究学生，把握学生的学习水平，在此基础上，做出规划和预设.另外，数学阅读教学是学生、教师、文本之间对话的过程.学生作为读者，是富有巨大认知潜力和主观能动性的，尤其是经历交流对话后会生成新的学习需求，需要二次阅读甚至三次阅读，这就需要教师对预设的教学做出及时调整，朝着有利于加深对数学阅读文本的理解和感悟、有利于学生数学素养发展的方向转化.参考文献：［1］倪湘丽.初中数学阅读教学的实践研究：以苏科版教材七上、八上的教学实践为例［D］.苏州：苏州大学，2014.［2］朱丽霞.数学阅读为学生的思维进阶插上翅膀：以“三角形内接正方形的作法”阅读课为例［J］.上海中学数学，2020（1/2）：42-44，64.［3］谷荷莲.高中数学“阅读与思考”栏目的教学实践与思考：以《圆锥曲线的光学性质及其应用》阅读与思考教学为例［J］.数学教学通讯，2020（9）：3-4，10.［4］朱纪英.初中数学阅读教学有效性研究与实践［D］.上海：上海师范大学，2012.··25。
利用向量积求解解析几何问题的技巧
利用向量积求解解析几何问题的技巧摘要：本文总结归纳了向量积在求解平面方程和直线方程中的基本应用，并通过一些实例例举了向量积在综合问题中的应用。
关键词：向量积；平面方程；直线方程；法向量；方向向量解析几何中求平面直线方程的问题一般都比较灵活，学生在求解的时候往往找不到下手的方向，尽管如此，有一些类型的问题如果使用了向量积这个强大的工具就能迎刃而解。
学好向量积对学好解析几何有很大帮助，正因为如此本文就向量积在解直线平面问题中的应用做一个归纳。
1向量积在求平面方程中的应用求平面方程绝大多数情况是使用点向式，而要使用点向式的关键是求出直线的法向量，一般有以下几种基本情况。
以下都记平面πi的法向量为ni，直线li 的方向向量为si1）平面π过两条相交直线l1,l2，则其法向量为n=s1×s22）平面π经过不共线的三点M1,M2,M3，则其法向量为3）平面经过l1和l1外一点M0，则其法向量为（M1是l1上一点）4）平面π过两点M1,M2，且垂直于平面π1，则其法向量为5）平面π过两条平行直线l1和l2，则其法向量（M1M2分别为l1,l2上任意一点）以上五种情况是向量积在求平面问题中的基本应用，一些更复杂的问题都可经分析后化归到这五种，下面就举例说明。
例1.1（过已知直线及线外一点的平面方程）求过点M0（0,-1,2）和直线的平面π的方程．分析：由于已知平面过点M0，只要据已知条件确定出所求平面的法向量n,就可根据点法式写出平面方程。
为此需在已知直线上任取点M1，（s为已知直线的方向向量）。
解：已知直线的方向向量s=（3,2,-1），M1（1,-3,1）在已知直线上。
若π的法向量为n，则，所以可取n=×s．据点法式，所求平面的方程为-4（x-0）+2（y+1）-8（z-2）=0，即-2x+y-4z+9=0．例1.2设平面π垂直于平面π1:5x-y+3z-2=0且与它的交线l在x0y面上,求此平面.解设平面π的法向量是n,平面π1的法向量是n1,由于平面π与π1交线在x0y 面上,所以l的方向向量是s满足:（k为x0y面的法向量）,于是又由于,得在直线l上取点（0,2,0）,从而平面的点法式方程为即2向量积在求直线问题中的应用和求平面方程类似,求直线方程的关键是找到直线的方向向量,而求方向向量就要用到向量积.一般有以下几种基本情况1）直线一般式为,则其方向向量为.2）直线与两平面π1,π2平行,则其方向向量l=n1×n2.3）直线过点M0,且与两直线l1,l2相交,则直线的方向向量（M1,M2分别为l1,l2上任意一点）.4）直线l与两直线l1,l2垂直,则其方向向量s=s1×s2例2.1与z轴垂直的直线l在平面π：x+y=1上，且过点M0（2,-1,4）,求其方程．分析直线生成方式之一是两个平面的交线，因为直线在一已知平面上，可设l是已知平面与另一平面的交线，再从中得到能确定直线方程的条件．解设l是π与平面π1：Ax+By+Cz+D=0的交线。
向量法解题中的数学思想方法
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战 有 略 助 实 施 新 课 程 后 。 量 从 幕 后 走 到 台 向
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数与 形 是数 学 中最 基本 的 两 大概 念 ，
前 ． 为 高 中 数 学 的核 心概 念 ． 用 向 量 成 运
法解 题 受到 空前 重 视 ， 而要 提 高 向量 法解 题 的能 力 ． 首先 要 从 战 略 上 、 观上 重 视 宏 数 学 思 想 方 法 ．正 如 普 通 高 巾 数 学 课程
量运算 问题（ 个过 程称为 关系映 射 ） 这 ．
其次 ， 向 量运 算 问题 求 解 ， 到 向量 结 对 得
～
实 现 的．因此 ， 量提 供 了一 种通 过 代 数 向
运算 刻 画几 何 对象 、 置关 系以 及度 量 问 位
题 的工具 ．
Ｄ
图 ３
二， ／一 ／
论 ， 向量 结 论 作 出几 何 解 释 ， 出几 何 对 得
分析 注意到条件Ｉ （， Ｉｌ 耐一２ ） 有 ０＝
明显 的几 在 以Ｃ（ ， ） ， ２０ 为
圆 心 ， 为 半 径 的 圆 上 ． 当 ， Ｃ三 点 共 线 １ Ｂ，
时， Ｊ到最 Ｉ ＝（ １ （０Ｉ Ｉ 取 值， Ｉ ， 一 ， ． 赢Ｉ １ ） ２ ）
试题 研究 ） 识延 知 伸
数学 教学通讯（ 教师版 ）
投稿邮 ｓ ｋ ｒ ， ３ ＯＩ 箱：ｊ ｉ１ Ｉ ｘ ＠ ｐ ６ ＣＴ
霸墨
摘
要
向量法解题中的数学思想方法
提 数 向
高 等 量 向 四 法
关 键 词
丘 志仪
量 种 洚
用向量法解决中学几何问答
新教材中“向量”的魅力浙江省湖州中学 张根荣（313000）新教材中的向量是新增的内容，是我们所熟知的代数内容，它是沟通数和形内在联系的有力工具。
在几何学中，把几何图形看作是点的集合，而点可以与其向径一一对应。
因此可以把作为点的集合的几何图形看作是向量的集合。
这样，几何中所涉及的度量关系和位置关系，都可以转化为某种向量代数的运算。
这种借助于向量代数的运算来证几何题的方法有其独特的魅力： 1、用向量法解题用向量法来解决中学几何问题，克服了综合证法常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，因此使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。
这是因为向量具有多方面的特性：向量的起点可以任意选择；同时对向量可以进行线性运算、数量积和向量积，并且向量既有有向线段表达式又有坐标表达式，任一空间向量都可以在三个不共面向量（包括三个互相垂直的向量）上分解，同样对于平面上的任一向量，也均可在两个不共线的向量上进行分解。
这样就可使得空间的几何结构数量化了。
另外向量运算的定义与运算的规律，是和坐标系的选择无关的。
所以向量法证几何题明显优越于解析法。
因此，所有向量的这些特性，决定了向量代数知识在解答几何问题上，具有突出的简化作用和广泛的适用范围，是我们解中学几何题的捷径。
利用向量法解中学几何题的方法是多种多样的，但我们有一般规律可循： 1.1证线段相等问题用向量法证明线段的相等问题过程较为简明，基本思路是证明向量的模或模的平方相等。
也就是说，欲证两线段CD AB =，可设法证明22CD AB =。
例1 ABC ∆的中线1AA 和1BB 相等，求证：BC AC =.证明：设d BC ,c AC ,b BB ,a AA ====11， b a =，则 d a c 21=- , c b d 21=- d c a 21-= c d b 21-=∴c d d c 2121=- 两边平方，整理可得22d c =，故BC AC =。
此证法是运用向量知识，经过简单的运算就可得到答案，书写也很方便。
巧用向量法，妙解立体几何题
思路探寻立体几何问题的命题方式较多，常见的有证明线面平行、求二面角、求点到平面的距离等.由于立体几何问题对同学们的空间想象和运算能力有较高的要求，所以对大部分的同学来说，解答这类问题存在一定的难度.若根据题意和几何图形的特点构造空间向量，则可利用向量法，简便、快速地求得问题的答案.接下来，通过几个例题介绍一下如何巧妙运用向量法解答立体几何问题.一、运用向量法求点到平面的距离一般来说，求点到平面的距离，可以运用定义法、等体积法、向量法.运用向量法求点到平面的距离，要先求出平面的一个法向量n ；再求出一个已知点P 与平面内任意一点M 的方向向量MP ，可得点P 到平面的距离为d =| MP |∙|cos < n , MP >|=| n ∙ MP || n |，其中| MP |是向量 MP 的模，| n |是平面的法向量n 的模.例1.如图1所示的多面体是由底面为ABCD 的长方形被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB =4，BC =2,CC 1=3,BE =1.试求点C 到平面AEC 1F 的距离.解：以DA 、DC 、DF 为坐标轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0),C (0,4,0),E (2,4,1),C 1(0,4,3)，CC 1=(0,0,3)，设F 点的坐标为（0，0，z ），由于AEC 1F 为平行四边形，所以 AF =EC 1，又 AF =(-2,0,z ), EC 1=(-2,0,2)，即z =2.设n 为平面AEC 1F 的一个法向量，因为 n 不垂直于平面ADF ，所以设 n =(x ,y ,1)，于是{n ∙ AE =0， n ∙ AF =0，即{4y +1=0，-2x +2=0，解得ìíîx =1，y =-14，设 CC 1与n 的夹角为α，可得cos α=| CC 1∙ n || CC 1|∙| n |=31，则点C 到平面AEC 1F 的距离为d =|CC 1cos α|=3×.先根据图形的特点建立空间直角坐标系，得到 CC 1；然后求出平面AEC 1F 的法向量，即可利用公式d =| CC 1|∙|cos < n , CC 1>|=| n ∙CC 1|| n |求解.在求平面的法向量时，可采用待定系数法，先设出平面的法向量；然后根据法向量与平面内的两个直线垂直的关系，建立方程组，解该方程组即可求出待定系数、法向量的坐标.二、运用向量法证明线面平行由线面平行的判定定理可知，要证明线面平行，只要证明直线与平面内的两条相交直线平行即可.但有时候很难在平面内找到两条相交的直线与已知直线平行，此时，可建立合适的空间直角坐标系，求得平面外一条直线的方向向量 l 和平面的法向量n ，只要证明 n ∙l =0，就说明直线l 与平面平行.例2.如图2，在直三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P =A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，求证：PB 1//平面BDA 1.图2图3证明：如图3所示，以A 1为原点，以 A 1B 1, A 1C 1,A 1A为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,2,0),B 1(1,0,0),B (1,0,1),D (0,1,0.5)，所以 PB 1=()1,-2,0, BD =æèöø-1,1,-12, BA 1=(-1,0,-1)，设平面BDA 1的法向量为n =(x ,y ,z )，由ìíî BD ∙n =0，BA 1∙ n =0，得{-x +y -0.5z =0，-x -z =0，不妨令z =2，则x =-2，y =-1，可得n =(-2,-1,2)，则 PB 1∙ n =1×()-2+()-2×()-1+0×2=0，得 PB 1⊥ n ，所以PB 1//平面BDA 1.先建立空间直角坐标系，求得 PB 1、 BD 、BA 1，根据BD 、 BA 1垂直平面BDA 1的法向量，建立方程组，求得法向量n ，并证明 PB 1∙ n =0，即可证明平面BDA 1的法向量n 与PB 1的方向向量 PB 1垂直，这就说明PB 1//平面BDA 1.求解空间几何中的二面角、线面角等问题，也可以采用向量法.运用向量法求解立体几何问题，一要寻找题目或图形中的垂直关系，有时可以作一个平面的垂线，以建立方便求点的坐标的空间直角坐标系；二要熟记并灵活运用一些空间向量的运算法则、公式、定义等.（作者单位：江西省南昌市第十九中学）肖雪芝图147Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
法向量做题方法
法向量做题方法
法向量是一个向量，垂直于平面上的所有向量。
在数学中，我们可以使用法向量来解决许多与平面相关的问题，例如求平面的方程、判断平面的位置关系等。
以下是使用法向量解决问题的一般步骤：
1.确定平面上的两个不共线向量。
我们可以选择平面上的任意两个不共线向量作为基础向量。
2.计算法向量。
法向量可以通过将两个基础向量作叉积得到。
叉积的结果是一个垂直于这两个基础向量的向量，即法向量。
3.使用法向量解决问题。
一旦我们得到了平面的法向量，我们就可以使用它来解决各种问题，例如求平面的方程、判断平面的位置关系等。
在使用法向量解决问题时，需要注意以下几点：
1.法向量的方向是垂直于平面的，因此它可以用来判断平面的方向。
2.法向量的长度可以用来表示平面的陡峭程度。
3.如果两个平面的法向量相同，则这两个平面是平行的。
4.如果两个平面的法向量垂直，则这两个平面是垂直的。
总之，法向量是解决平面相关问题的重要工具，掌握其使用方法可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
高考数学中的向量法求解几何问题
高考数学中的向量法求解几何问题近年来，高考数学中的向量法求解几何问题越来越受到重视，因为该方法时间快、计算简单、通用性强，几乎可以解决所有几何题。
本文将从基础概念、基本操作、经典案例三个方面入手阐述高考数学中向量法求解几何问题的特点与优势。
一、基础概念向量是一个有大小和方向的量，通常由有向线段表示，记作AB →，其中A、B分别为起点和终点。
向量的模长指向量的大小，方向指向量的方向。
我们可以用线段或箭头表示向量，符号上用小写字母加一个小箭头来表示，比如a →。
向量的加、减、数乘运算值得我们重点掌握。
向量的加法等效于将两个向量尖尾相接，尖头所在点就是新向量的头部；向量的减法等效于将两个向量尖尾相接，第一个向量的尖头连接第二个向量的尾部，尖头所在点就是新向量的头部；向量的数乘则是将向量的大小进行比例扩大或缩小，同时也会改变向量的方向。
以上几个基础概念是进一步学习向量法求解几何问题所必备的知识储备，下面介绍一下常见的几何问题如何用向量法进行求解。
二、基本操作(一) 向量的坐标表示法；在空间中任取一个定点O，将其称为坐标系的原点，并规定三条相互垂直的轴，分别为x轴、y轴、z轴，之后任何一个点都可以用三个坐标表示。
用一个向量带有的大小和方向来表示一个位置向量实际上是一个较为复杂的表示方式，而在直角坐标系中，我们可以将位置向量与特定的坐标轴相对应，用坐标表示出向量。
(二) 向量的法线向量；在三维坐标系中，我们经常会遇见由三个不在同一条直线上的点所构成的三角形。
此时，我们可以定义三角形所在平面的法线向量来便于后续求解。
(三) 向量的叉乘运算；向量的叉乘运算是一种用于构造垂直于当前向量的辅助向量的方法，最常见于寻找向量的法线向量以及两个向量所构成的平面所对应的法向量。
向量的叉乘运算可以表示为A × B，其中A × B = |A| × |B| × sinθ，其中θ是两个向量之间的夹角，结果为一个新的向量，其大小为两个向量所围成的平行四边形的面积，方向与右手定则相符。
数学习题解析：几何题解题技巧
数学习题解析：几何题解题技巧起初，几何题可能令人感到棘手和令人沮丧。
然而，通过掌握一些基本的几何题解题技巧，您将能够更轻松地应对这些挑战。
本文将探讨一些常见的几何题解题技巧，为您提供解决几何问题的方法和思路。
1. 几何基础知识在开始讨论解题技巧之前，我们先回顾一些几何基础知识。
几何是研究空间、形状和运动的数学分支。
几何题通常涉及到平面图形、角度、线段、圆和三角形等概念。
2. 问题分析和图形绘制解决几何问题的关键是良好的问题分析和图形绘制能力。
在解题之前，仔细阅读题目，理解问题要求。
然后，绘制出几何图形，以便更好地理解问题。
Tips:•记得使用尺子和直尺来确保图形的准确性。
•如果是三角形题，可以使用量角器来测量角度。
•如果是圆的题，使用圆规绘制圆形。
3. 利用几何定理和性质几何定理和性质是解决几何问题的重要工具。
熟悉并灵活运用这些定理和性质将有助于您更高效地解题。
一些常见的几何定理和性质包括：•勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
•正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
•余弦定理：在任意三角形ABC中，有c² = a² + b² - 2abcos(C)。
•相似三角形性质：具有相同形状但可能不同尺寸的三角形具有相似的性质。
•平行线和对应角性质：平行线之间的对应角相等。
当遇到几何题时，查看是否可以应用这些定理和性质，以便更快地解决问题。
4. 角度关系的应用角度关系在解决几何问题时起着重要的作用。
掌握以下常见的角度关系和性质可以帮助您更好地解决几何题。
•相同角度：如果两条直线被一条直线截断，那么对应的角度是相等的。
•同位角和内错角：平行线之间的同位角相等，内错角互补。
•垂直角：相互垂直的两条线之间的角度为90度。
•同中弧和同弦角：位于同一个圆弧上的两个角或两个弦对应的角度相等。
通过运用这些角度关系，我们可以更好地理解和解决几何问题。
利用向量的叉积求解几何问题
利用向量的叉积求解几何问题向量运算是线性代数中的基本运算之一，其性质和方法不仅在数学领域得到了广泛的应用，也在物理、计算机、工程等领域中具有重要的作用。
其中，利用向量的叉积求解几何问题是向量运算中的一个重要应用。
1. 向量的叉积向量的叉积又称为向量积，是向量运算中的一种。
具体来说，对于三维空间中的两个向量a和b，它们的叉积可表示为以下公式：a ×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为向量a和b之间的夹角，n为法向量。
叉积的结果是一个向量，其模长等于|a| |b| sinθ，方向垂直于向量a 和b所在平面，遵循右手法则，即将右手伸出，让食指指向向量a，中指指向向量b，那么大拇指指向的方向就是结果向量的方向。
2. 向量的叉积在几何问题中有着广泛的应用，例如计算平面的法向量、判断向量是否共面、计算点到直线的距离等。
以下将介绍利用向量的叉积求解几何问题的具体方法。
2.1 计算两线段之间的距离假设有线段AB和CD，首先可以使用向量AB和向量CD来表示两线段的方向，即u = B - Av = D - C接下来，可以通过计算向量u和向量v的叉积的模长，再除以向量u的模长，即可得到线段CD到线段AB的距离，计算公式如下：d = |u × v| / |u|其中，|u × v|表示向量u和向量v的叉积的模长，|u|表示向量u的模长。
2.2 判断点是否在三角形内部假设有三角形ABC和点P，在平面内，可通过以下方法判断点P是否在三角形ABC内部：- 计算向量AB、向量AC和向量AP的叉积，若三个叉积的法向量方向相同，则点P在三角形ABC内部；若三个叉积的法向量方向不同，则点P在三角形ABC外部。
2.3 判断线段是否相交假设有线段AB和CD，可通过计算向量AB和向量CD的叉积，以及向量AC和向量CD的叉积，判断线段AB和CD是否相交，具体方法如下：- 若向量AB和向量CD的叉积与向量AC和向量CD的叉积方向不同，则线段AB和CD相交；否则，线段AB和CD不相交。
利用向量解决几何问题的技巧
利用向量解决几何问题的技巧在数学中，几何问题是一种常见的难题，许多学生常常感到困惑。
然而，利用向量解决几何问题可以为我们提供新的思路和方法，使解题过程更加简洁和直观。
本文将介绍一些利用向量解决几何问题的技巧，并举例说明其应用。
一、向量的表示与计算在开始介绍向量解决几何问题的技巧之前，我们需要先了解向量的表示与基本计算方法。
在几何问题中，向量通常用字母加上箭头来表示，例如向量AB用→AB表示。
向量的计算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法和减法可以通过将向量的坐标分量进行相应的运算得到。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
点积运算可以用来计算两个向量之间的夹角或者两个向量之间的投影关系。
二、向量的长度和方向在几何问题中，我们常常需要求解向量的长度和方向。
向量的长度可以通过向量的坐标分量计算得到，即利用勾股定理求解向量的模。
向量的方向可以通过计算向量相对于坐标轴的夹角得到。
利用这些计算方法，我们可以更准确地描述问题中所涉及的向量。
三、向量的平移和旋转向量的平移和旋转是几何问题中常用的操作。
平移是指将一个向量沿着另一个向量的方向移动一定的距离，而保持其大小和方向不变。
旋转是指将一个向量绕着某个点或者轴旋转一定的角度，而保持其长度和方向不变。
利用向量解决几何问题时，我们可以利用平移和旋转来简化问题的表达和求解过程。
通过将问题中的向量进行平移或者旋转，我们可以将问题转化为更简单和直观的形式，从而更容易求解。
四、向量的投影和垂直性向量的投影和垂直性是几何问题中常用的概念。
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以利用向量的点积运算来计算。
向量的垂直性是指两个向量之间的夹角为90度，可以利用向量的点积运算来判断。
利用向量的投影和垂直性，我们可以解决一些几何问题，如求解点到直线或者平面的距离，判断两个直线或者平面是否垂直等。
这些概念和方法为我们提供了一种新的思路和工具，使解题过程更加简单和直观。
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这是消去定比分点的有效工具． 利用定比分点 的向量形式来解题， 会比其坐标形式更加方便． 文 〔 ４ 」 中证明梅涅劳斯定理的过程就是如此， 显然比文 〔 ２ ， 续 幻的证明显得思路更为清晰， 过程也更简练．
ＡＡ
证 ： 令 ＋令 二３ ． 一 ｈ・ ｋ 一 ’
向量 ａ ， 存在唯一的一对实数 入 ， ， 又 ２ ， 使得 ａ ＝ 又 ｌ ｌ ｅ
＋几 ２ ｅ ２ ．
从这条基本定理可知， 如果四个 向ｔ之间有 等式 ａ ＋ｂ 二ｃ ＋ｄ ， 并且 ａ和 ｃ共线， ｂ和 ｄ共线， 但ａ 和 ｂ不共线， 立刻推得 ａ ＝ｃ 和ｂ ＝ｄ ． 此法则 的重要性不言而喻． 初等几何解题要用许多公理和定理， 而向量 法仅仅用这几条， 这从根本上体现了向量法平易
Ｚ ｂ （ １ 一ｍ） ＝Ｚ ｂ ， 即所欲证． 例 ８ 如图 ８ ， 一直线经过三角形重心 Ｇ， 且
， 、 口 ： ＊ 二 。， 。ｎ ， ｎ 。 ， Ｃ Ｐ＿ ， Ｃ Ｑ＿ ， 李 分别交边 Ａ、 Ｃ Ｂ于 Ｑ， 若 若 专＝ｈ ， 若 尝＝ｋ ， 求 刀刀 切 ￣￣ Ｃ ￣ ‘ 一 、 ￣ ￣ Ｊ 尸、 ‘、 严 ’ 叼Ｃ Ａ ”， Ｃ Ｂ ’ 、 ’ ， 、
简捷 的特色．
特别是解初等几何问题有浓厚的兴趣， 希望知道 向量方法解题的基本思路和技巧． 读了几种教材上以及大量文章中有关向量解 题的例子， 我们感到， 目前许多老师还不了解用 向 量法解几何问题的基本途径， 所用的方法偏于繁 琐， 远不及综合几何的初等方法， 体现不出向量解 题平易简捷的优势． ，些参考书上谈到向量法解 题， 也只是介绍坐标法， 对于直接用向量基本性质 和运算律的简便方法则语焉不详． 于是感到有必 要在〔 １ ， ２ 〕 两文的基础上， 更具体地探讨用向量法 解几何问题的基本思路和技巧．
Ｍ 作 直线 交 Ａ Ｂ、 Ａ Ｃ 于 Ｐ、 Ｑ 两 点， 问
Ｚ ＡＣ
普 “ 合 （ 孩 十 而 ） 一 合 （ 青 序 ＋ 告 必 ） ・
因为 岔、 冲、 员 共起点， 且ｐ 、 Ｇ 、 Ｑ三点共
线 ， 所 以 卜 合 （ 贵 ＋ ，即 ） ｆ 贵 十 奋 一 ３ ・
例 ， 如图 ９ ， 在 凸四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的对角线 ＡＣ上取点 Ｋ 和Ｍ ， 在对角线 Ｂ Ｄ上取点 Ｐ和 Ｔ，
ｍ ） ， ａ ＋Ｚ ｂ＝４ ｍ ＋《１ 一耐 ＝４ ， 即为所求． ， 类似的思路 可以解决下面的例题． 例 ７ 如图 ７ ， 在△Ａ Ｂ Ｃ中， 设Ａ Ｍ是Ｂ Ｃ边 上的中线． 任作一直线， 使之顺次交 Ａ Ｂ 、 Ａ Ｃ 、 Ａ Ｍ
这个范围．
第１ 条， 是 向量相加 的“ 首尾相连法则” ， 即
万 咨 十 石 亡 ＝ 万 老 ． 这个法则可以推广到多个向量，
用来写 出许多向量等式 ；
几何问题中图形的构造， 一般是先作几个任 意点 ， 从这些点出发相继作图得到一些受到几何 条件约束的点一约束点 ， 例如连接两点成为线段， 取线段的中点或定比分点， 作线段的交点等等． 所 要证明的结论或要计算的几何ｔ ， 总可 以写成含 有约束点的等式或数学表达式． 只要不断地把后 作 出的点代换成先前的点， 直 到消去所有的约束
． 二 ． 瑞 贬 １一 ； 代 民．２＝ 月 乌 ， 。 ４一 ； 二 气
１ 二 二 次 ．２，
过 ＡＤ和 Ｂ Ｃ中点 的连线， 通过 尸 Ｍ 和 ＫＴ 的中 点． （ 第１ ７ 届全俄数学奥林匹克试题）
Ａ
Ｃ
任
Ｃ
第 ２ 条， 是向量数乘的意义和运算律， 特别是 可 以用数乘 一个 向量 来表示 和它平行 或共线 的
向量 ；
第 ３ 条， 是向量内积（ 数量积） 的意义和运算 律， 特别是相互垂直的向量内积为 ０ ； 第４ 条， 是平面向量的基本定理： 如果 ｅ ； ， 几 是平面上两个不共线的向量 ， 则对 于平面上任一
１－ ４
ＡＱ
＝？Байду номын сангаас
思路 用两种方法将兀 府 写成ｕ 万 节＋ｖ 入 奋
的形式 ， 再用平面向量基本定理．
解 设庙 二 ａ 入 节， 北 ＝ｂ 功， 兀 府＝ｍ 萨 ‘ ＋（ １ 一ｍ ） 顽．
使得 ＡＫ一ＭＣ ＝
， ＵＩ ’＝ １ 刀＝ 下 万ｂＵ ． 址 明 ：
。，
＿，
１ 。＿ 、 ￣， ｔ ｒ
Ｂ、
图 ２
证明 如图２ ， 百 古＝ 刃 丈十万 套＝音 放＋
宁ＡＢ＝宁 ＤＢ＝令 ＤＣ＋ 舟 Ｃ Ｂ＝ ＧＣ十 Ｃ Ｆ＝Ｇ Ｆ，
２‘ 一 ２一一 ２一一 ’ ２￣一 ““ ’￣‘ “‘’
ｌｅ ｅ 二 ， 吮 １二 ： ， 吮 １二 共 月 吮 ． １二 二 欠 二 ； ， 叱 。二 二 月 赎 二 二 ， 赎
圈４
思路 利用回 路等式 石 太 ＋ 万 百 ＝ 万 老 ＋ 棘和 中 点条件 把 两 个回 路 等 式 万 亡 ＝ 万 大 ＋ 万 查 和 况＋
亡 声 ＝ 石 育 连起来．
Ｇ 一 Ｃ
证明 如图 ４ ，２ 丽丈＝（ 丽 方 ＋万 老 ＋乙 丈） ＋（ 丽太 ＋ 万 方 十 石 丈） ＝（ 丽 方 ＋丽太 ） ＋（ 石 资＋ 乙 丈） ＋（ 万 秀＋石 老 ） ＝ 万 直 十 万 亡 ， 证毕． 推论 如果ｃ ， Ｄ两点重合， ２ 丽丈＝ 万 夯 ， 此
证毕 ．
圈 ５
例３ 求证： 梯形 Ａ Ｂ ｃ Ｄ的两对角线的中点
的连线平行于底边且等于两底差的一半［ ３ 〕 ．
思路 类似例１ ， 将回 路等式石 声 二 石 太 ＋ 入 声
万方数据
数 学通报
２ ０ ０ ８ 年
第４ ７卷
第２ 期
和 石 声 ＝ 旅十 石 声 的＊ 倍相加 ． 解 如图５ ， 将等式百 声 ＝ ２ 汰＋万 节 和 石 声 － 石 方 ＋ 石 多 的＊ 倍相加， 应用条件 万 节 ＋ ＊ 石 声 ＝ ０
思路 把回路等式丽 丈＝ 丽 咙＋ 万 夯 ＋ 石 丈和 乙 才 ＋ 万 夯 ＋ 百 方 ＋ 石 亡 ＝ ０ 用中 点条件联系 起来．
证明
如图 ３ ， 消去两中点后整理即得 ：
乙
， 阮。 １， 二 二 ￣ 卜‘ 二 六 赶 、 丽丈＝丽 宜＋万 直 ＋石 丈＝二 八Ｕ十 飞 犷气 Ｌ八 一 Ｕ 口 少
即三角形中位线定理 ， 如果 Ａ Ｂ ／Ｃ Ｄ， 此时四边形
为梯形， 则Ａ Ｂ ／ｃ Ｄ ／ＭＮ ， ２ 丽 丈＝ 万 恋 ＋ 石 亡 表
示梯形的中位线定理． 例 ５ 求定 比分点 的向量形式（ 如图 ５ ， 已知
万 声 ＝ ； 户 宫 ， 将石 卢 表成ｕ 百 才 ＋ ｖ 口 方 的 形式） ．
证明 ２ 万 方＝（ 万 杏 ＋ 石 方 ） ＋（ 万 乙 ＋ 乙 方 ） ＝
万 直 ＋ 入 亡 ， 证毕．
圈３
‘ Ａ
例 ４ 在任意 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， 点 Ｍ， Ｎ分 ・
得（ １ ＋ ＊ ） 砂＝ 砍＋ 久 丽， 即 萨＝
放 ＋孟 丽’
１ ＋孟
证明 设庙 二ａ 萨 ， 万 前＝ｂ 五 丈， 淤 ＝ 。 功 风资＝ ｍ 入 节 十（ １ 一 ｍ ） 破． 由２ 万 商＝ 丽＋ 能 得２ 占 入 育＝ ａ 入 节＋‘ 劝 ＝２ 占 （ ｍ入 声＋（ １ 一 ｍ 仄直 ） ， 有ａ 二 ２ ｏ ｍ ， ‘ ＝ ２ 。 （ １ 一 ｍ ） ， ａ ＋‘ ＝２ ｏ ｍ ＋
一 ”十 告 （ “ ＋ 丽＋ 茄＋ 动 ） 十 动 ） 一 合 （ 庙一 茄 ） ．
＝ ， 次 ．１， 二 二 一 卜
八月 十 二 丁 Ｌ廿八
乙
中 点， 求证： ２ 万 方 ＝ 万 恋 ＋ 万 亡 ． 思路 将回 路等式五 方＝ 入 直 ＋石 亡和 入 方＝
万 之 ＋ 乙 方 相加；
万方数据
２ ０ ０ ８年
第４ ７卷
第 ２期
数 学通报
点， 一般总会水落石出而得到解答． 如果作图过程只涉及 中点或定比分点而无交 点， 用向ｔ法很容易消去约束点而得到简捷的解 法． 下面就从这类比较简单的问题开始探讨． ２ 涉及 中点或定比分点的几何问题 这类比较简单的题 目， 只要用向量和的首尾 连接法则选择适当的回路 ， 写出回路等式 ， 再根据 题 目条件把回路等式简化， 最后有时可使用基本 定理 ， 即可奏效． 例 １ 如图 １ ， 在△Ａ Ｂ Ｃ中， 点 Ｄ是 Ｂ Ｃ边上
数 学通报
２ ０ ０ ５ 年
第４ ７ 卷
第２ 期
论向量法解几何问题的基本思路
张景 中’ ２ 彭翁成， ，
１ 武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心 ４ （ ３ ｏ ０ ７ ９
２广州 广州大学教 育软件研 究所 ５ １ ０ ０ ０ ） ６
引言
随着向量知识进人高中教材， 很多老师希望 进一步学习研究有关向量的理论和方法． 《 数学通 报》 针对广大读者的需求 ， 近期先后推出李尚志教 授和齐民友教授的指导性文章「 １ ， Ｚ ｊ ， 深人浅出地 阐述了有关向量的基本数学理论 ， 以及教学 中应 该注意的关键点 ， 实为雪中送炭之举． 学生们学过平面几何和立体几何 ， 知道一些 几何问题 ， 一旦学了向量， 自然想用新的知识处理 原来熟悉的问题． 新课程的教材， 也常常选用一些 例题 ， 说 明向量方法能够解决几何问题 ， 并介绍用 向量方法解决几何问题的途径． 在这样的背景下 ， 近年来刊物上发表了大量有关用向量法解初等几 何问题的文章． 这表明老师们不仅希望进一步学 习研究有关向量的理论和方法， 更对向量法解题 ，
１ 向ｔ法解题的基本工具和基本思路 向量法解题的基本工具不多， 只有 ４ 条：
以上几条的意义和背景， 教材上都有叙述， 文 ｌ， ［ ２ 」 中有更详细深刻的阐述 ， 此处不再多说． 下 面结合具体 的例子， 循序渐进 ， 说 明这些工具的
用法．
本文所讨论的问题， 只涉及点和线段． 这类问 题已经足够广泛． 我们在中学数学教学类书刊中 所看到的有关向量解几何问题 的例子， 都不超出