材料力学第9讲扭转3-5_3-6.附录A。ppt
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材料力学土木类扭转PPT课件
符号T表示。
扭矩大小可利用截面法来确定。
Me
1
Me
A Me
A
1
B
1
T
x 1 1
T Me
Me
T
1
B
第4页/共42页
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定: 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
T T
T (+)
T T
T (-)
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
第5页/共42页
l
Me (b)
D2
Ⅱ
Me
l
第31页/共42页
解：Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 16
1 4
t 1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16M πd13
e
t 2,max
T2 Wp 2
Me Wp 2
16M e
πD23 1 4
t t 1，max
2,max
已知 0.8
得
D2 d1
3
Me
A Me
A
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图
第6页/共42页
例 3-1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮 输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
第7页/共42页
e
t
t
x
f b
t'
材料力学课件 扭转
x ＝ y
2020/3/22
17
5.3 纯剪切
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直的平面 上，垂至于两平面交线的剪 应力总是同时存在，且大小 相等，都指相（或都背离） 两平面的交线。
纯剪应力状态：
y
τy
d
a
τx
τx
x
dy
b
τy
z
dx
c
单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元
体为纯剪应力状态。
2020/3/22
4、扭矩图——扭转变形的内力图
➢扭矩图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标， “正在上，负在下”； ③标注正负号、值的大小及图形名称。
➢扭矩图的注意事项：
①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；
②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力
19
思考题
指出下面图形的剪应变
剪应变为 α
2020/3/22
剪应变为 0
20
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
前面推导得到：薄壁圆筒横截面 剪应力与扭矩之间的关系：
T 2R 2t
t——壁厚 R ——平均半径
τ
T
τ
剪应力沿壁厚均匀分布
2020/3/22
21
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆截面杆受扭时横截面上的应力
值的大小，不带正负号；
④202阴0/3/2影2 线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
8
例题：
例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别 为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
材料力学-扭转ppt课件
´
a
b
dy
´
c
d
T
①无正应力 dx
②横截面上各点处只产生垂直于半径
的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小
不变，. 方向与该截面的扭矩方向一19 致。
二、薄壁圆筒剪应力
根据实验观测的结果，圆轴截面
上应力应该如右图分布:
且扭矩T应该是截面上所有剪切
力对圆心的矩的总和。因此有
T
AdAr0 T
r0 AdAr02r0tT
由 m 0 x
m2 1 m3 2
T1
A1 B2
m1 3 m4
x
C 3D
分别有
T1m2 0 T1m2 4.78kNm
.
13
②求扭矩（扭矩按正方向设）
利用截面法: 分别用1-1 ， m2
2-2 ， 3-3截面将AB ， BC与CD段截开,选研究 对象，画受力图：
由 m 0 x
A
m3 2 m1
T2
.
21
四、薄壁圆筒扭转变形
L
A
A'
在圆轴截面上 AA' R
在圆轴表面上 AA' L
RL
.
22
五、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系:
.
23
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
薄壁圆筒横截面
T T 2 r02 t 2A0 t
扭转剪应力的计
算公式
其中A0：平均半径所作.圆的面积。
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
材料力学-扭转课件
dz z B dx C
At
D
n
t
t
Bt C
扭转试验和破坏分析
利用截面法和静力衡，
F x 0 d A c o s td A sin td A x 0 y F y 0 d A sin td A c o s td A y 0
注意到：
dAx=dAsin dAy=dAcos
得： t sin2 t t cos2
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
与所设方向相同（扭矩 MB MC
MD
的正向）；若为负，表
T2
明扭矩与所设方向相反
T3
外力偶矩、扭矩和扭矩图
绘制扭矩图。 最大扭矩产生
在CA段上，其值为
B
C
A
主动轮 D
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549PA n
11.68103
N m
MB
MC
9549PB n
3.50103
N m
MD
9549PD n
4.68103
方向如图所示
N m
MB
MC
MA
MD
外力偶矩、扭矩和扭矩图
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
圆轴扭转强度条件
45o
受扭轴的破坏标志仍为屈服和断裂 屈服时横截面上的最大切应力称为扭转
屈服应力，记为ts
断裂时横截面上的最大切应力称为扭转
强度极限，记为tb 它们统称为扭转极限应力，记为tu
材料力学扭转PPT课件
方向如图所示
Nm
MB
MC
MA
MD
14
材
料 力
外力偶矩、扭矩和扭矩图
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
B
C
A
主动轮 D
13
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549 PA n
11.68 103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68 103
材 料 力 学
Mechanics of Materials
第四章 扭转
1
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
工程实例
2
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
受力特点：两个等值反向的 力偶矩分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点：杆件的各横截面 绕杆的轴线发生相对转动
12
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
例 如图所示的传动轴的转速n=300转 /分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动 轮B、C及D的输出功率分别为 PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴 的扭矩图，并确定最大扭矩Tmax及其所在位
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学课件-扭转
T
max
max
WP
即须使抗扭截面系数 Wp 相等
18
例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心 圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下， 求空心圆轴外径，并求两者的重量比。
m1=1kNm
D = 60
m2 =3kNm
D1
2 kNm
T
1 kNm
[解] （1）内力扭矩图：
y
Fx x
水平方向和竖直方向分量为
T
x (r)sin
T r sin
IP
y
(r)cos
T r cos
IP
水平方向合力为
Fx
xdA
A
A
Tr sin
IP
rdr d
T IP
d2
π2
r 2dr sin d
0
0
Td 3 24 I P
27
竖直方向合力为
Fy
A
ydA
A
Tr IP
cos
TC tL
C max
TC WP C
tL [ ]
πd
3 2
16
d2
16 t L
π[ ]
13
22
t
C
例5.3 图中结构由两段等截面圆轴
d1 A
L1 B L2
d2 构成。圆轴总长度为 L ，全长上作 用着均布力偶矩 t 。材料许用切应
L
力为 [ ]。要使圆轴重量为最轻，确
tL1
tL
定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直
A
T
GI P
d
dx
d T
dx GIP
材料力学扭转概要PPT课件
j AC
=
M x2lAC GIP
=
320 0.5
80109 0.054
= 0.0033rad
第30页/3共259页
T
2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN·m Mx2 =0.32kN·m
lAB=300mm
B
A
lAB
T
T1
2
φAB
B
A
lAB
C
lAC
d
T3
φAC
C
lAC
G=80GPa
d=50mm
j AB
单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。
解：（1）轴的扭矩图
7
Mx (kN·m)
+
第43页/共59页
3.5
+
（2）求直径
max
=
M xmax Wp
[ ]
Mx (kN·m)
7
+
3.5
+
Wp
M xmax
[ ]
=
7103 N m 40106 Pa
=
0.175106 mm 3
d 3 16WP = 3 16 0.175106 mm 3 = 96mm
= 51.0MPa
第22页/共59页
（2）空心圆截面
T
由面积相等，且内、外直径比
α =0.5
1 d 2 = D2 (1 2 )
4
4
D
D/2
T
D =115mm
WP
=
πD3 16
(1 4 )
=
3.14 (115)3 16
109 m3
[1 (0.5)4 ]
材料力学课件第三章扭转
C
B
第三章 扭 转
D
d
D
解：（1）计算扭矩
m
m95 4P995 479.519N 9m
n
360
Tm19N 9m
A
C
（2）计算极惯性矩
IP13 D423.13 42 347.9c5m 4
D
IP 2(D 3 4 d 2 4)3 .1 4 3 (3 4 2 2 4) 6 .3c84 m
m
B
d D
第三章 扭 转
第三章 扭 转
解：取 AB 为研究对象
mA
1.静力平衡方程
M x 0m A m B m 0 A
2.变形协调方程
AC BC
3.物理方程
ACm GAapI, BCG mBbpI
m
mB
C
B
解得：
mAabm b, mBaam b
第三章 扭 转
第三章 扭 转
第三章 扭 转
n
Tili
i1 GIpi
二、圆轴扭转的刚度条件
d T
dx GIp
—— 单位长度扭转角
maxTGmIpax[]rad/m
工程表达形式：
maxT GmpaIx180[]/m
第三章 扭 转
例题2
已知：n=300r/min， P =7.5KW，AC段为实心圆截 面，CB段为空心圆截面，D =3cm，d = 2cm。
dx
d ?
dx
3.静力学关系
T
A dA
Gd 2dA
A dx
Gd 2dA
dx A
令:
Ip
2dA
A
极惯性矩
d T
dx GIp
G d
材料力学第三章_扭转 PPT课件
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
极惯性矩I p 2dA
A
实心圆轴
Ip
D 4
32
d
o
D
空心圆轴
Ip
（D4
32
d4）
D
4
（1
4）
32
dD
d
o
d D
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
强度条件：
max
T WP
圆轴扭转强度条件：
max
例6-3 图示轮C为主动轮，
A、B、D轮为从动轮，转 速为n=300r/min，TA=351N•m， TB=351N•m， TC=1170N•m， TD=468N•m， G=80GPa，
[]=40MPa，[]=0.3°/m，
试设计传动轴的直径d。
解： 1.绘扭矩图 Mnmax=702 N•m
2. 按强度条件设计直径d
参考坐标系如图所示，矩形1和2的面
积及形心位置分别为:
120 1
A1=10120=1200 mm2
A2=1070=700 mm2
2
10 z yc1 =120/2=60 mm
80
zc1 =10/2=5 mm
yc2 =10/2=5 mm，zc2 =10＋70/2=45 mm
zc
Sy A
S y1 S y2 A1 A2
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
扭转平面假设：圆杆的横截面变形后仍保持为平面，直径变形后 仍为直径 推论：横截面上只有切应力，没有正应力
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
（二）圆轴扭转应力
材料力学课件：扭转-
d1
16 16
A空 A实
D2 (1 0.52 )
4
d12
0.783
4 1
思考題三
實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半
時，橫截面的最大切應力是原來的 8 倍？圓軸的扭轉角是原來
的 16 倍？
解：
max
T
Wt
T
d3
16
Tl GI p
Tl
G
d
4
32
1
3.5、圓軸扭轉時的強度條件 剛度條件
1. 等截面圓軸：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
1
三、圓軸扭轉時的變形
m
dx l
m
1
T
T
d d
G dx IP T
dx
d Td x GIP
1
T
T
d G dx IP
T
d Td x
l
GIP
d Td x Tl
lTl
GIP
l GIP GIP
max1
MT x
WP1
16MT
πd13
x
40MPa
16 716.2
d1 3 π 40106 0.045m=45mm
1
空心軸
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切應力不得超過40MPa,空心圓軸的
內外直徑之比 = 0.5。二軸長度
相同。
求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外 直徑D2；確定二軸的重量之比。
﹢縱線仍近似為直線， 但都傾斜了一個角度， 使原來的矩形都變成了 平行四邊形。
16 16
A空 A实
D2 (1 0.52 )
4
d12
0.783
4 1
思考題三
實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半
時，橫截面的最大切應力是原來的 8 倍？圓軸的扭轉角是原來
的 16 倍？
解：
max
T
Wt
T
d3
16
Tl GI p
Tl
G
d
4
32
1
3.5、圓軸扭轉時的強度條件 剛度條件
1. 等截面圓軸：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
1
三、圓軸扭轉時的變形
m
dx l
m
1
T
T
d d
G dx IP T
dx
d Td x GIP
1
T
T
d G dx IP
T
d Td x
l
GIP
d Td x Tl
lTl
GIP
l GIP GIP
max1
MT x
WP1
16MT
πd13
x
40MPa
16 716.2
d1 3 π 40106 0.045m=45mm
1
空心軸
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切應力不得超過40MPa,空心圓軸的
內外直徑之比 = 0.5。二軸長度
相同。
求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外 直徑D2；確定二軸的重量之比。
﹢縱線仍近似為直線， 但都傾斜了一個角度， 使原來的矩形都變成了 平行四邊形。
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定 义
静
矩
静矩 — 平面图形面积与某一 轴的一次矩，如图所示。
S y zdA
A
Sz y A 形 心 z Sy A
S z ydA
A
量纲为长度的三次方。
附录 平面图形的几何性质
静 矩
平面图形对形心 轴的静矩为零。
静矩的几何意义：
形心位置与轴的距离大小乘以面积。
i
于是有距离
b x 24.1 mm
2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy 槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x1 I xC a12 A 3 690.45104 mm4 0 3 690104 mm4
I y1 I yC b12 A 218.415104 mm4 19.21mm 26.7 mm 24.1 mm 4 491mm4
2 I x y 2 d A yC a d A yC d A 2a yC d A a 2 d A 2 A A A A A
I xC 2a S xC a 2 A
注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 S xC等于零，从而有
I x I xC a A
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
I x I x1 2I x2 12 27010源自 mm4非对称组合截面情况？
思考题 例题7【类似例I-6 P381】
试计算如图所示 “T” 形平面图形的主惯性
4 4 2
267104 mm4
于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：
I x I x1 2 I x2 3690104 mm4 2 2110104 mm4 7910104 mm4 I y I y1 2 I y2 431104 mm4 2 267104 mm4 965104 mm4
A
I yC a 2 A
公式
I y I y a2 A C I z I zC b 2 A I I yC zC abA yz
同一平面内对相互平行 轴的惯性矩和惯性积中， 对形心轴的最小。
Ⅰ. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式证明与不同坐标系的公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC
A 20.30 cm2 I xC I yC 149.22 cm4
形心位置如图所示
1. 求组合截面的形心位置
组合截面的形心C在对称轴x
上。以两个角钢截面的形心连线
为参考轴先求组合截面形心C以该 轴为基准的横坐标 x ：
A x x A
i
i
2 2 030 mm2 0 4 491 mm2 19.21 mm 26.7 mm 2 2 030 mm2 4 491 mm2 24.1 mm
附录 平面图形的几何性质
静 矩
组合图形时：
Ai yi y Ai Ai zi z Ai
S y Ai zi
i 1 n
S z Ai yi
i 1
n
静矩有可加性。
附录 平面图形的几何性质
确定图形形心位置。
例题2
解：1）确定每块图形面积和形心位置：
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y b
d1
h
例题6、 试求图a所示
截面对于x轴的惯性矩Ix 。
(a)
解：将截面看作由一个矩形和两个半圆
形组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 I x ，每个半圆形
顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对 于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。
课外作业 • 习题3－34 • 习题Ｉ－2c、3b、6
和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。 截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为
x b和y a。
因截面上的任一元素dA在x，y
坐标系内的坐标为
x xC b，
于是有
y yC a
◆ ￥I－4平行移轴公式
￥I－4平行移轴公式
坐标轴与形心轴间的坐标变换：
平行移轴公式
y yC b z zC a
则：
I y z 2dA ( zC a) 2 dA
A
A I yC 2aS yC A a 2 A
2 zC dA 2a zC dA a 2 dA A
第9讲 附录Ｉ（1－4）
• 教学基本要求与教学重点： • 附录Ｉ（1－4）
附录I 平面图形的几何性质
江苏科技大学
2013年7月21日
附录I 平面图形的几何性质
◆ 静矩和形心 ◆ 惯性矩和惯性半径 惯性积
◆ 平行移轴公式 ◆ 习题
附录 平面图形的几何性质
◆￥I-1静矩和形心
◆￥I-1静矩和形心
90 mm×90 mm×12 mm等边
角钢截面组成。试求此截面
分别对于形心轴x和y的惯性
矩Ix 和 Iy 。
解：由型钢规格表查得： 25c号槽钢截面
A 44.91cm2， I xC 3 690.45 cm4 I yC 218.415 cm4
形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角 钢截面
2
I x I xC a 2 A
同理可得
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要 注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移
轴公式时要特别注意。
Ⅱ. 组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
1
对x轴的惯性矩为 I x ，则有
2
I x I x1 2I x2
其中： I x1
d 2a 80 mm200 mm 5 333104 mm4 12 12
3 3
至于I x 则需先求出半圆形对其自身 2 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可 2 2 2d πd ，而半圆形对于 得 I x I x C 8 3π 直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴 πd 4 的一半，于是得 的惯性矩 64
若截面对坐标轴的惯性积为零，则称此坐标轴为惯 性主轴。称截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
通过截面形心的主惯性轴，称为形心惯性主轴。截 面对形心惯性主轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。 截面若有对称轴，则该轴一定是形心主轴。
附录 平面图形的几何性质 例题3 求Iy
Iy
bh 12
3
例题
例题4
附录 平面图形的几何性质
2
431104 mm4
角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x2 I xC a 2 A 149.22104 mm4 98.3 mm 20.30 mm2
2
2110104 mm4 I y 2 I yC b 2 A 149.2210 mm 24.1 mm 2030mm2
I y Aiy
2
I z Aiz
2
iy 和 iz 分别称为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径
附录 平面图形的几何性质
二、极惯性矩
I p 2dA
A
惯性矩和惯性半径
量纲为长度的四次方，恒为正。
因为： 2 y 2 z 2 所以：
A
I p y 2 z 2 dA I y I z
A1 12010 1200mm2 y1 5 mm,z1 60 mm A2 800 mm2 y2 50 mm,z2 5 mm
2）图形形心位置：
A1 y1 A2 y2 y 23 mm A1 A2 A1 z1 A2 z2 z 38 mm A1 A2
附录I 平面图形的几何性质
◆ ￥I-2惯性矩和惯性半径
￥Ｉ-2惯性矩和惯性半径
一、轴惯性矩和惯性半径
I y z dA
2 A
惯性矩和惯性半径
I z y dA
2 A
量纲为长度的四次方，恒为正。
组合图形时：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
有时也把惯性矩写成如下形式
极惯性矩的几何意义：
表征了面积与原点距离的远近程度。
￥Ｉ-3 惯 性 积
惯性积
I yz yzdA
A
惯性矩和惯性半径
量纲为长度的四次方，可正可负。
惯性积的几何意义：
图形分布到一对轴距离的远近程度。
平面图形对对称轴的惯性积为零。
附录 平面图形的几何性质
惯性积
I yz yzdA
A
惯性矩和惯性半径
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
静
矩
静矩 — 平面图形面积与某一 轴的一次矩，如图所示。
S y zdA
A
Sz y A 形 心 z Sy A
S z ydA
A
量纲为长度的三次方。
附录 平面图形的几何性质
静 矩
平面图形对形心 轴的静矩为零。
静矩的几何意义：
形心位置与轴的距离大小乘以面积。
i
于是有距离
b x 24.1 mm
2. 利用平行移轴公式求Ix和Iy 槽钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x1 I xC a12 A 3 690.45104 mm4 0 3 690104 mm4
I y1 I yC b12 A 218.415104 mm4 19.21mm 26.7 mm 24.1 mm 4 491mm4
2 I x y 2 d A yC a d A yC d A 2a yC d A a 2 d A 2 A A A A A
I xC 2a S xC a 2 A
注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩 S xC等于零，从而有
I x I xC a A
将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得
I x2 3 467104 mm4
从而得图a所示截面对x轴的惯性矩：
I x I x1 2I x2 12 27010源自 mm4非对称组合截面情况？
思考题 例题7【类似例I-6 P381】
试计算如图所示 “T” 形平面图形的主惯性
4 4 2
267104 mm4
于是有组合截面对x轴和y轴的惯性矩：
I x I x1 2 I x2 3690104 mm4 2 2110104 mm4 7910104 mm4 I y I y1 2 I y2 431104 mm4 2 267104 mm4 965104 mm4
A
I yC a 2 A
公式
I y I y a2 A C I z I zC b 2 A I I yC zC abA yz
同一平面内对相互平行 轴的惯性矩和惯性积中， 对形心轴的最小。
Ⅰ. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式证明与不同坐标系的公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC
A 20.30 cm2 I xC I yC 149.22 cm4
形心位置如图所示
1. 求组合截面的形心位置
组合截面的形心C在对称轴x
上。以两个角钢截面的形心连线
为参考轴先求组合截面形心C以该 轴为基准的横坐标 x ：
A x x A
i
i
2 2 030 mm2 0 4 491 mm2 19.21 mm 26.7 mm 2 2 030 mm2 4 491 mm2 24.1 mm
附录 平面图形的几何性质
静 矩
组合图形时：
Ai yi y Ai Ai zi z Ai
S y Ai zi
i 1 n
S z Ai yi
i 1
n
静矩有可加性。
附录 平面图形的几何性质
确定图形形心位置。
例题2
解：1）确定每块图形面积和形心位置：
I x I xi，
i 1
n
I y I yi，
i 1
n
I xy I xyi
i 1
n
d2
y2
x
O x
y1 y b
d1
h
例题6、 试求图a所示
截面对于x轴的惯性矩Ix 。
(a)
解：将截面看作由一个矩形和两个半圆
形组成，半圆形的形心位置如图b所示。
(1)求Ix 设矩形对x轴的惯性矩为 I x ，每个半圆形
顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因此截面对 于x，y这对轴的惯性积Ixy等于零。
课外作业 • 习题3－34 • 习题Ｉ－2c、3b、6
和yC的惯性矩 I xC，I yC 及惯性积 I x y ，现需导出该截面对于 C C 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。 截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为
x b和y a。
因截面上的任一元素dA在x，y
坐标系内的坐标为
x xC b，
于是有
y yC a
◆ ￥I－4平行移轴公式
￥I－4平行移轴公式
坐标轴与形心轴间的坐标变换：
平行移轴公式
y yC b z zC a
则：
I y z 2dA ( zC a) 2 dA
A
A I yC 2aS yC A a 2 A
2 zC dA 2a zC dA a 2 dA A
第9讲 附录Ｉ（1－4）
• 教学基本要求与教学重点： • 附录Ｉ（1－4）
附录I 平面图形的几何性质
江苏科技大学
2013年7月21日
附录I 平面图形的几何性质
◆ 静矩和形心 ◆ 惯性矩和惯性半径 惯性积
◆ 平行移轴公式 ◆ 习题
附录 平面图形的几何性质
◆￥I-1静矩和形心
◆￥I-1静矩和形心
90 mm×90 mm×12 mm等边
角钢截面组成。试求此截面
分别对于形心轴x和y的惯性
矩Ix 和 Iy 。
解：由型钢规格表查得： 25c号槽钢截面
A 44.91cm2， I xC 3 690.45 cm4 I yC 218.415 cm4
形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm等边角 钢截面
2
I x I xC a 2 A
同理可得
I y I yC b2 A
I xy I xC yC abA
以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式。需要 注意的是式中的a，b为坐标，有正负，应用惯性积平行移
轴公式时要特别注意。
Ⅱ. 组合截面的惯性矩及惯性积
若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y 两轴的惯性矩和惯性积分别为
1
对x轴的惯性矩为 I x ，则有
2
I x I x1 2I x2
其中： I x1
d 2a 80 mm200 mm 5 333104 mm4 12 12
3 3
至于I x 则需先求出半圆形对其自身 2 形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可 2 2 2d πd ，而半圆形对于 得 I x I x C 8 3π 直径轴x'(图b)的惯性矩等于圆形对x'轴 πd 4 的一半，于是得 的惯性矩 64
若截面对坐标轴的惯性积为零，则称此坐标轴为惯 性主轴。称截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
通过截面形心的主惯性轴，称为形心惯性主轴。截 面对形心惯性主轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。 截面若有对称轴，则该轴一定是形心主轴。
附录 平面图形的几何性质 例题3 求Iy
Iy
bh 12
3
例题
例题4
附录 平面图形的几何性质
2
431104 mm4
角钢截面对x轴和y轴的惯性矩为
I x2 I xC a 2 A 149.22104 mm4 98.3 mm 20.30 mm2
2
2110104 mm4 I y 2 I yC b 2 A 149.2210 mm 24.1 mm 2030mm2
I y Aiy
2
I z Aiz
2
iy 和 iz 分别称为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径
附录 平面图形的几何性质
二、极惯性矩
I p 2dA
A
惯性矩和惯性半径
量纲为长度的四次方，恒为正。
因为： 2 y 2 z 2 所以：
A
I p y 2 z 2 dA I y I z
A1 12010 1200mm2 y1 5 mm,z1 60 mm A2 800 mm2 y2 50 mm,z2 5 mm
2）图形形心位置：
A1 y1 A2 y2 y 23 mm A1 A2 A1 z1 A2 z2 z 38 mm A1 A2
附录I 平面图形的几何性质
◆ ￥I-2惯性矩和惯性半径
￥Ｉ-2惯性矩和惯性半径
一、轴惯性矩和惯性半径
I y z dA
2 A
惯性矩和惯性半径
I z y dA
2 A
量纲为长度的四次方，恒为正。
组合图形时：
I y I yi
i 1
n
I z I zi
i 1
n
有时也把惯性矩写成如下形式
极惯性矩的几何意义：
表征了面积与原点距离的远近程度。
￥Ｉ-3 惯 性 积
惯性积
I yz yzdA
A
惯性矩和惯性半径
量纲为长度的四次方，可正可负。
惯性积的几何意义：
图形分布到一对轴距离的远近程度。
平面图形对对称轴的惯性积为零。
附录 平面图形的几何性质
惯性积
I yz yzdA
A
惯性矩和惯性半径
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π