材料力学-组合变形杆件的强度计算

例：托架受荷载 F = 45 kN 作用。设 AC 杆为
工字钢，容许应力[s ]= 160 MPa，试选择工字钢
型号。
FAx FAy
FN ( kN )
－
104 kN
FB
45 60 kN
M ( kN·m )
104
＋
P199 例 9-3
§9-4 偏心压缩(拉伸)
F FM
F Mz
F 产生轴向压缩
My
My ＝ F ·zF 纯弯曲
组合变形杆件的强度计算
◆ 概述 ◆ 斜弯曲 ◆ 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 ◆ 偏心压缩(拉伸) ◆ 截面核心 ◆ 弯曲与扭转的组合变形
§9-1 概述
组合变形
FF M
偏心压缩
螺旋桨 支臂
M F
拉—扭 组合变形
Fy
F
拉—弯
Fx 组合变形
传动轴
弯—扭 组合变形
在小变形、线弹性的条件下： 可用叠加原理求解组合变形问题。
斜弯曲
Iy ＝ Iz
b ＝j
总挠度方向与力
F 的方向重合，
均垂直于中性轴
平面弯曲
例：简支梁由 22a 工字钢制成，已知 l =1 m，
F1 = 8 kN ，F2 = 12 kN ，工字钢的 Wy = 40.9 cm3，
Wz = 309 cm3，试求梁的最大正应力。 12 kN
z
12 kN
2
A
B
C 8 kN D
Iy
B点总应力： s ＝s ＋s ＋s
Iz = A·iz2
＝－( F ＋ F yF y ＋ F zF z )
A
Iz
Iy
Iy = A·iy2
＝－ F ( 1 ＋ yF y ＋ zF z )
A
iz2
iy2
横截面上正应力是平面分布的
s ? max ＝
中性轴的位置 ?
s ＝－ F ( 1 ＋ yF y ＋ zF z )
l
y
s F、q 共同引起的： ＝ s ＋ s ＝ FN － M ( x ) y
smax ＝
FN A
＋
Mmax Wz
A
Iz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smax ＞s
smax ＝s
中性轴
smax ＜s
强度条件：
中性轴
s s tmax ≤ [ t ] s s cmax ≤ [ c ]
中性轴
D2
y
D1
横截面无凸角： 用图解法确定产生最大应力
的点。
z
中性轴
D2
y
e
l
z
x
中
f
y
j
F
性 轴
危险截面：固定端
危险点：e 点和 f 点（单向应力状态）
强度条件：
stmax ≤ [st] scmax ≤ [sc]
z y
l
三、变形计算
Fz x F j Fy
求悬臂梁自由端 截面形心的挠度
Fy
引起的：
P204例 9-7
①
1
z
d/8
y d
例：画出图示截面的截面核心的大致形状。
②
ad
1
2
①
z
y a
例：画出图示截面的截面核心的大致形状。
3
②
①
1
2
z
③
y
§9-6 弯曲与扭转的组合变形
钢制直角曲拐
上顶点
FT
下顶点
横向力F ：平面弯曲 力偶矩T ：扭转
Mz ＝ F l
上拉 下压
Mx ＝ F a
上顶点：
分别在横截面形心的两侧。
① 横截面有凸角
② 横截面无凸角
D1
(0, az)
中性轴
(ay , 0) z
A( yF , zF ) y D2
强度条件：
D1
中性轴
(ay , 0)
(0, az) A
z
D2
y
stmax ≤ [st]
scmax ≤ [sc]
例：一端固定并有切槽的杆，在自由端左上角 点受与轴线平行的压力 F 作用，试求最大正应力。
＝M (－ y ＋ z )
t ？ Iz
Iy
= t 存在，但不考虑。
二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件
s
cosj
＝M(－
y＋
sinj
z)
Iz
Iy
横截面上正应力 是平面分布的
设 ( y0 , z0 ) 是中性轴上任一点的坐标
s ＝0
cosj
sinj
(－ Iz y0 ＋ Iy z0 ) ＝ 0
中性轴方程
向，设钢的 [s ] = 160 MPa。试按第三强度理论校核
轴的强度。
5 kN 1.5 kN·m
12 kN
12.5 kN
2.1 kN
7 kN 9.1 kN
1.5 kN·m
4.5 kN
与P206 例 9-8 略有不同
内力图
作业：
9－17(a)、23
A
iz2
iy2
在中性轴上任取一点( y0 , z0 )
s ＝0
1 ＋ yF y0 ＋ zF z0 ＝ 0
iz2
iy2
中性轴方程 中性轴是一条不过横截面形心的直线
中性轴方程
1＋
yF y0 ＋ zF z0 ＝ 0
iz2
iwenku.baidu.com2
中性轴在 y、z 轴上的截矩：
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
负号说明中性轴的位置与外力作用点的位置
＝－
iz2
ay
zF
＝－
iy2
az
(ay , 0)
④
①
2
3
14
③
y
(0, az) z
②
例：试确定矩形截面的截面核心。
b
P203 例 9-6
A
④
D
①
h
2
③
1 h/6
3
h/6
z
4
b/6 b/6
B
②
中直性线轴方方程程
C
y
1 ＋ yF yB0 ＋ zF zB0 ＝ 0
iz2
iy2
例：试确定圆形截面的截面核心。
A
压
z yB 拉
P202例 9-5
FN ＝ F
Mz ＝ F ·5 cm 下拉上压 My ＝ F ·2.5 cm 右拉左压
§9-5 截面核心
偏心压缩问题中，中性轴在 y、z 轴上的截矩：
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
压力作用点离截面形心越近
中性轴离截面形心越远
压力作用点离截面形心越远
中性轴离截面形心越近
Iy＝Iz 的梁，只要横向力过截面形心，梁只产生平面弯曲。
中性轴将横截面分成二 个区：拉应力区和压应力区
中 性 轴
scmax ＝－ (
Mz Wz
＋
My )
Wy
stmax
＝
M
(
cosj
Iz
ymax ＋
sinj
Iy zmax )＝
Mz Wz
＋
My Wy
D1
横截面有凸角：
最大应力发生在角点上，根据
z
变形确定产生最大应力的点。
平面弯曲
② 若梁不具有纵向对称面
外力作用在弯曲中心、 F
且平行于形心主惯性平面的 平面（即弯心平面）内
A
梁变形后的轴线位于形 心主惯性平面内
平面弯曲
③ 若梁或有纵向对称面，或无纵向对称面
外
F
外力
j
外
F力
力
j
与形心主
作
作 用
用
惯性平面
A
在
在
既不平行
弯
形 心
也不重合
曲 中
心
梁变形后的轴线不在形心主惯性平面内
斜弯曲
研究矩形截面悬臂梁的应力、变形及强度计算
l
z
O
Fz
x
j Fy
y
F
一、正应力计算
F ＝ Fy ＋ Fz
斜弯曲是两个正交的平面弯曲的组合
l
z
O
A(x,y,z)
Fz
x
y
x
j Fy F
任意截面上的任一点的应力：
Fy 引起的： 弯矩 Mz ＝ Fy ( l－x ) ＝ M cosj
正应力
s ＝－
Mz y
x
8 kN
z
yl
l
l
1
y
内力图
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
q
z
O
Fx
l
y
弯曲变形是小变形 轴向力引起的弯矩很小，可略去不计。
q
z
O
A(x, y, z)
Fx
x
y
l
s 轴向力 F 引起的： ＝ FN
A
M(x)y
横向力 q 引起的： s ＝－
Iz
q
危险截面
z
固定端
A(x, y, z)
F x 危险点?
①对荷载进行分解或简化，使得杆件在每一组 荷载作用下只产生一种基本变形；
②计算每一组荷载单独作用下的应力和变形；
③由叠加原理求出杆件在组合变形下的应力和 变形。
小变形
计算按杆件原始形状和尺寸
§9-2 斜弯曲
F
① 若梁具有纵向对称面
外力作用在纵向对称面内 梁变形后的轴线也位
于外力所在的平面（即纵 向对称面）内
t
下顶点：
s
二向应力状态
t
s
√ s1
s3
＝
s
2
±
(s
2
)2
＋t
2
s2 ＝ 0
√ √ sr3 ＝
s 2 ＋4t 2 ＝
Mz2＋ Mx2 ≤ [ s ]
Wz
√ √ sr4 ＝
s 2 ＋3t 2 ＝
Mz2＋0.75Mx2 ≤ [ s ]
Wz
例：一钢质圆轴，直径 d = 8 cm，其上装有直径 D = 1 m、重为 5 kN 的两个皮带轮。已知 A处轮上的 皮带拉力为水平方向，C处轮上的皮带拉力为铅直方
Iz
＝－
M cosj Iz
y
z
O
y
x
l
A(x,y,z)
Fz
x
j Fy F
Fz 引起的： 弯矩 My ＝ Fz ( l－x ) ＝ M sinj
正应力 s ＝ My z ＝ M sinj z
Iy
Iy
l
z
O
A(x,y,z)
Fz
x
y
x
j Fy F
F 引起的：正应力 s ＝s ＋s
cosj
sinj
wy ＝
Fy l 3
3EIz
Fz
引起的：
wz ＝
Fz l 3
3EIy
总挠度： w wy2 wz2
b
wj
力F 的 作用线
Iy ≠ Iz
设总挠度与 y 轴成 b 角
az
中性轴
y
tanb ＝
wz wy
＝
Iz tanj
Iy
tana ＝ Iz tanj
Iy
b ≠j
总挠度方向与力F 的方向不重合
b ＝a
总挠度方向 垂直于中性轴
在 xz 平面内
产生平面弯曲
Mz ＝ F ·yF 纯弯曲
在 xy 平面内
产生平面弯曲
压-弯-弯 组合变形
F My
Mz
FN ＝ F
My ＝ F ·zF Mz ＝ F ·yF
FN My
Mz
轴力FN 引起的：
s ＝－ F
A
弯矩 Mz 引起的：
s ＝－ Mz y
Iz
弯矩 My 引起的：
s ＝－ My z
中性轴是一条过横截面形心的直线
j
力F 的 作用线
cosj
(－
Iz
y0 ＋
sinj
Iy
z0 ) ＝ 0
az
设中性轴与 z 轴成 a 角
中性轴
y
tana ＝
y0 z0
＝
Iz tanj
Iy
中性轴和外力作用线在相邻的象限内
Iy ≠ Iz
a ≠j
中性轴不垂直力F
斜弯曲
Iy ＝ Iz
a ＝j
中性轴垂直力F
平面弯曲
当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证
中性轴不穿过横截面。
截面核心
横截面上不 偏心压缩杆件
出现拉应力
压力必须作用 在截面核心上
截面核心的边界如何确定 ？
当压力作用在截面核心的边界上时，与此 相对应的中性轴正好与横截面相切。
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
截面核心 是凸区域
yF