方法技巧2圆锥曲线的综合应用PPT课件
圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
圆锥曲线的综合应用一
点评：运用几何法要注意数形结合，运用曲线的定义和 几何性质及平面几何中的有关重要结论．本例中，要使长轴 最短，由椭圆的定义可知，即要使|MF1|＋|MF2|最短，再由 平面几何的知识知，M点为F1关于l的对称点F1′与F2的连线 和l的交点．
第18页/共23页
【变式探究】
2．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，求AB的 中点到x轴的最短距离．
2 k2＋1.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
因为t＋4t ≥4，当且仅当t＝2，即k＝± 27时等号成立，
且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝
7 2
x－2或
y＝－ 27x－2.
y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入x42＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>43时，x1,2＝8k±42k2＋4k12－3.
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
第10页/共23页
又点O到直线PQ的距离d＝
所以F1′F2的方程为x＋2y－3＝0. 所以xx＋ －2y＋y－93＝＝00，， 得交点M(－5,4)， 即过M(－5,4)的椭圆，长轴最短． 由|MF1|＋|MF2|＝2a，则2a＝6 5，所以a2＝45， 又c2＝9，所以b2＝36. 故所求椭圆的方程为4x52 ＋3y62 ＝1.
第17页/共23页
第13页/共23页
解：(1)设椭圆C的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则
圆锥曲线中第二定义的三类用法(共10张PPT)
第二定义
第二定义：椭圆或双曲线中的一点P，满足条件
PF2 PD
e
（式右x 准线a2对应右焦点），其中PF2 称作焦半径，准线公
c
第二定义
例：在平面直角坐标系
xoy
中双曲线
x2 3
y2
1
的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，
其中 焦点是 ，F1, F2 ，则四边形 的面积是_______.
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点 ，交椭圆于A,B 两点，且有 | AF | 3 | B F | ，求椭圆的离心率.
解析：AF, B F 为左焦点上的焦半径，所以过A,B 两点
分别作垂直于准线的直线且和准线交于D,E 两点，
从B 点作 BH AD .
因为| AF | 3 | B F | ，设 BF m ，则 AF 3m
是右 ，根
据第二定义
PF2 PD
e
，解得
PF2
5 4
PD
5
所以
|
PM
|
4 5
|
PF2
|
PM
PD
因此当P,M,D三点共线时 PM PD 取得最小值，最小
值为从 M到右准线的距离 MH, MH 6 16 14 55
第二定义
本次课重点需要注意三点 ：
（1）是第二定义的用法； （2）是注意例2这个题目的常规做法，此外下次课会给出这种例题的常用结论； （3）需要注意焦半径的取值范围，这个范围是求离心率取值范围题目中常用的
在 RT PF1F2 中，满足 PF12 所以在 RT PF1F2 中，SPF1F
1
圆锥曲线复习-ppt课件经典
(2)
x b
2 2
y2 a2
=1 (a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点
坐标为⑤ F1(0,-c),F2(0,c).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
4.椭圆
x2 a2
近线方(5)程渐为近1线3 y：=±双b 曲x 线;双ax 22 曲 by线22
两条渐近线方程为
a
14
y=± a x
1 x2
a2
.
的两条渐
y2 b2
1
的
b
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
A.椭圆 C.线段F1F2
B.圆 D.直线F1F2
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动， 如果相关点P满足某一曲线方程，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把 相关点代入曲线方程，就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程；
a2
y2 b2
0
近线方程.
就是双曲线x 2
a2
y2 b2
1
的两条渐
湘教版高中数学选修1-1文科课件 2.4 圆锥曲线的应用课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．长度为1的线段AB在x轴上移动，点P(0,1)与点A连成直线 PA，点Q(1,2)与点B连成直线QB，求直线PA与直线QB交点的轨迹 方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例剖析 题型一 圆锥曲线在实际中的应用
【例1】 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的 土只能沿道路AP、BP运到P处(如图)，PA＝100 m，PB＝150 m， ∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(3)数学求解．根据所建立数学关系的知识系统，解出结果， 从而得到实际问题的解答．
解题的一般思想是：
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练2．圆锥曲线的应问题 解答圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通 过建立数学模型，实现实际问题向数学问题的顺利转化．要注 意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用圆 锥曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析 几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． 3．注意数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．
的解，
消去参数a，得点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型四 直线与圆锥曲线的位置关系问题
【例4】 (1)当k＝________时，曲线y＝k(x＋1)与y2＝4x恰有
圆锥曲线PPT课件
4
双曲线的定义
平面内到两定点 F1 F2的距离之差的 绝对值为常数（小 于F1 F2的距离）
2020年10月2日
Y
F1
0
p F2 X
5
对于第三种情形平面与圆锥的截线由两支曲线 构成，交线上任意一点到平面内两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于常数．
一般的：
平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线
两个定点F1，F2叫做双曲线的叫焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距
2020年10月2日
6
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
7
2020年10月2日
1
椭圆图图象 双曲线的图象 抛物线的图象
和定义
和定义
和定义
课堂练习
2020年10月2日
2
2020年10月2日
3
椭圆的定义
平(大于F1 F2距离）的点的轨 迹叫椭圆，两个定
点叫椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做
椭圆的焦距 2020年10月2日
高考数学文(二轮复习)课件讲《圆锥曲线中的综合问题》
2．有关弦长问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关 系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义 的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k |x2－x1|或|P1P2|＝
2
1 1＋k2 |y2－
4．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的 量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比 例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问 题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
3．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标 ——解析法(坐标法)； ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系； ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化； ④化简整理方程——简化； ⑤证明所得方程为所求的轨方程的常用方法： ①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程； ②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定 系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联 系； ④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动 直线交点的轨迹．
高考真题要回访，做好真题底气足 1．(2014· 四川高考)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在 → → 该抛物线上且位于x轴的两侧， OA · OB ＝2(其中O为坐标原点)， 则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( A．2 B．3 17 2 C. 8 ) D. 10
答案：B
解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， → → ∵OA· OB＝2，
圆锥曲线(2018-2)
(3)已知双曲线xa22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的
切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，
且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
热点二 圆锥曲线的几何性质
直
相切
只有一个交点且 0
线 与
椭圆 两个交点 0
圆
锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与渐近线平行）
的
位
交于两点 0
置 关 系
抛物线 交于一点(直线平行于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
热点三 直线与圆锥曲线
例 3. 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.
(3)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B
在椭圆2x52 ＋y92＝1
上，则sin
A＋sin sin B
C＝________.
解析
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
例 2(4) 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x
抛物线的标准方程与几何性质解题方略 (1)求抛物线的标准方程的方法及流程 ①方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，
圆锥曲线复习ppt课件
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几 何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线 的几何性质
3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线 的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图 形，并了解圆锥曲线的初步应用.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
x轴，长轴长2a， x轴，实轴长2a， y轴，短轴长2b y轴，虚轴长2b
(±c，0)
(±c，0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x轴 (p/2，0)
e=1
x=±a2/c x=±a2/c x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a) x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
A．k＜1 B．k＞2 C．k＜1或k＞2 D．1＜k＜2
2、已知方程 a x 2 b y 2 a b 和 a x b y c 0 ( 其 中 a b 0 , a b , c 0 ) 它们所表示的曲线可能是( B)
x1
和
A
B
C
D
3、双曲线 x 2 y 2 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( C )
y
A
O
x
B
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
5、设F1、F2分别是椭 圆
【高考精品复习】第九篇 解析几何 方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
方法技巧2圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．方法1：定义转化法解题步骤①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例1】►已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|P A|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|P A|＋|PF|－4≥5，即|P A|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|P A|的最小值为9.故填9. 答案9方法2：切线法解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例2】►求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝±3.当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0， 解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法解题步骤① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值．适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.【例3】►在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________． 解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)． 故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.答案 2方法4：基本不等式法解题步骤①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2≤22，当2k ＝1，即k ＝12时，取等号． 所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2. 二、圆锥曲线的范围问题【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题．方法1：曲线几何性质法解题步骤 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．适用情况利用定义求解圆锥曲线的问题.【例1】►已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3. 根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a3≥c －a ， 即c a ≤53，即e ≤53.又e ＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53方法2：判别式法解题步骤① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．适用情况当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零．此类问题可用判别式法求解.【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k . 三、圆锥曲线的定值、定点问题【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题． 方法1：特殊到一般法解题步骤① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行证明．适用情况根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.【例1】►已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值． 证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)2－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°. 综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点， 则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法解题步骤① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点．适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4， 所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝(y 1－y 2)2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3－y 4)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝(－16k )2(8＋9k 2)2＋4×64k 28＋9k 2(－16k )2(8＋9k 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．方法运用训练21．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5. 答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为( )． A.55＜e ＜35 B ．0＜e ＜25 C.25＜e ＜35D.35＜e ＜55解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即： ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋cb ＜b 2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35. 答案 A3．(2011·长郡中学1次月考)设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项， 则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110， 注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0. 那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线P A 的斜率为k P A ，PB 的斜率为k PB ， 由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k P A＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0， 同理k PB ＝2py 2＋y 0， 由于P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2.答案 －25．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程． 解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋c )b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0， |y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±ba ， 故直线方程为：y ＝±ba (x ＋c )．6．(长沙雅礼中学最新月考)已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦． (1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)， 则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2， ⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2， 令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ， 这说明|MN |是不变化，其为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |， 所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p 2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p ，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22p －p 2＝12p x 40＋4p 4.因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2， 又x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，所以r ＞d ， 即⊙O ′与抛物线的准线总相交．。
圆锥曲线的综合问题课件
圆锥曲线在生活中的应用和价值
展望未来研究方向
探索圆锥曲线在各个领域的应用前景
关注圆锥曲线研究的最新进展和趋势
深入研究圆锥曲线的性质和几何特征
探讨圆锥曲线与其他数学分支的联系与融合
汇报人：
感谢观看
立体与圆锥曲线的交点求解方法
典型例题的解析与讨论
立体与圆锥曲线的最值问题
定义：最值问题是指求解某个函数在一定范围内的最大值或最小值
解题方法：常用的解题方法有代数法、几何法、三角法等
注意事项：在解题过程中需要注意函数的定义域、取值范围等限制条件
分类：根据不同的分类标准，可以分为不同的类型
06
圆锥曲线在实际问题中的应用
椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线的一般方程
03
圆锥曲线与直线的综合问题
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的交点求解
直线与圆锥曲线的综合应用
直线与圆锥曲线的交点问题
直线与圆锥曲线的基本性质
直线与圆锥曲线的交点求解方法
直线与圆锥曲线交点的应用
直线与圆锥曲线交点问题的注意事项
,a click to unlimited possibilities
圆锥曲线的综合问题课件
目录
01
添加目录标题
02
圆锥曲线的定义和性质
03
圆锥曲线与直线的综合问题
04
圆锥曲线与平面的综合问题
05
圆锥曲线与立体的综合问题06圆锥来自线在实际问题中的应用07
总结与展望
01
添加章节标题
02
圆锥曲线的定义和性质
直线与圆锥曲线的最值问题
【课件】圆锥曲线光学性质的数学原理及应用(说课)课件 高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
动时，点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？ 实验探究
点Q的轨迹为椭圆.
证明过程：由于点在线段的垂直平分线
上，由图可知， + = + =
= , 且 > ||,根据椭圆的定义，点
的延长线会经过1 .
探究活动3 如图，为一定点，为不经过点的定直线，在直线上任
取一点，过点作的垂线，连接，设线段的垂直平分线交的垂线
于点, 点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？ 实验探究
的轨迹为抛物线
发现的垂直平分线是双曲线的切线，
切点为 , 且切线平分∠.
为过点且与双曲线相切的直线，
则平分∠1 1 .
你能否利用这个性质解释说明双曲线的光学性质？
如图，当光线从2 射入经双曲线
上的点反射时，过点作双曲线的切
线,过点作切线的垂线，则该垂线就
是光线反射的法线，根据性质2，该切
线平分∠1 2 ，故根据光的反射原理，
光线从2 射入经点反射后的反射光线
设计意图
通过这三个探究活
动，借助于信息技
术，构造几何图形，
让学生逐步自主探
究圆锥曲线光学性
质的数学原理,提升
学生自主探究和分
析问题、解决问题
的能力，培养学生
的直观想像和逻辑
推理素焦点发出的光
线，经双曲线反射后，反
射光线的的延长线会交于
双曲线的另一个焦点.
从抛物线焦点发出的
光线，经抛物线反射
后，反射光线会平行
于抛物线的对称轴.
我们把上述性质称为圆锥曲线的光学性质，你能否从数学角度来
解释圆锥曲线的光学性质呢？
圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)
（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5
高中数学(理)一轮复习课件：第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用
最值与范围
【例1】 在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P x2 y 2 且以椭圆 ＋ ＝1的焦点为焦点作椭圆． 12 3 1 P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？
1 若三角形F0 F1F2是边长为1的等边三角形，求 "果圆"
2 2 2 2 【解析】 1 因为 F c , 0 ， F (0 ， b c ) ， F (0 ，－ b c )， 1 0 2
所以 F0 F1 ＝ (b 2 c 2 ) c 2＝b＝1， F1 F2 ＝2 b 2 c 2＝1， 3 7 2 2 2 于是c ＝ ，a ＝b ＋c ＝ . 4 4 4 2 2 4 2 2 故所求“果圆”的方程为 x ＋y ＝1( x 0)，y ＋ x ＝1( x 0)． 7 3
x y 3.设椭圆C： 2 2 1 a b 0 相应于焦点 a b F 2,0 的准线方程为x 4，则椭圆C的方程 是
x2 y 2 2 1 2 8 4
2
2
.
c 2 2 2 a 8 a 解析:由题意得： ，所以 2 ， 4 b 4 c 2 2 2 a b c 2 2 x y 所以椭圆C的方程为 2 2 1 8 4
得点P的坐标．
【变式练习1】 x2 y 2 我们把由半椭圆 2 2 ＝1( x 0)与 a b y 2 x2 半椭圆 2 2 ＝1( x 0)合成的曲线 b c 称为"果圆"，其中a 2＝b 2＋c 2，a 0， b c 0.F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2 和B1、B2分别是“果圆”与x、y轴的交点． 的方程； b 2 若 A1 A2 B1B2 ，求 的取值范围； a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、圆锥曲线的范围问题 【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点， 一般出选择题、填空题． 方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式； 解题步骤
②化简关系式求解． 适用情况 利用定义求解圆锥曲线的问题.
【例1】►已知双曲线
x2 a2
－
by22＝1(a＞0，b＞0)的左来自右焦点分别即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9. 答案 9
方法2：切线法 ①求与直线平行的圆锥曲线的切线；
解题步骤 ②求出两平行线的距离即为所求的最值． 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直
适用情况 线的距离的最值时用此法.
3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝－233，此时y＝ 33，
即椭圆上的点－233， 33到直线y＝x＋2 3的距离最小，最小
值是 26； 当b＝－ 3 时，直线y＝x－ 3 到直线y＝x＋2 3 的距离d2＝
326，将b＝－ 3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，
解得x＝233，此时y＝－ 33，
方法2：判别式法
①联立曲线方程，消元后求判别式； 解题步骤 ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲
线性质求解． 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别 对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的 适用情况 一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于
零．此类问题可用判别式法求解.
【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过
即椭圆上的点233，－ 33到直线y＝x＋2 3的距离最大，最大
值是3
6 2.
方法3：参数法 ①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；
解题步骤 ②求解关于这个参数的函数最值．
适用情况 可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.
【例3】►在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆
x2 3
＋y2＝1
上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
h1＝|x1＋2k5x1－2|＝21＋25k＋1＋41k＋2 4k2， h2＝|x2＋2k5x2－2|＝21＋25k－1＋41k＋2 4k2， 又|AB|＝ 22＋1＝ 5，所以四边形AEBF的面积为 S＝12|AB|(h1＋h2)＝12· 5·4511＋＋24kk2＝211＋＋42kk2 ＝2 1＋1＋4k24＋k24k≤2 2， 当2k＝1，即k＝12时，取等号． 所以四边形AEBF面积的最大值为2 2.
解析 因为椭圆x32＋y2＝1的参数方程为
x＝ 3cos φ y＝sin φ，
(φ为参数)．
故可设动点P的坐标为( 3cos φ，sin φ)，
其中0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝
3 cos
φ＋sin
φ＝2
3 2 cos
φ＋12sin
φ
＝
2sinφ＋3π，所以，当φ＝6π时，S取最大值2.故填2.
点(0，
2
)且斜率为k的直线l与椭圆
x2 2
＋y2＝1有两个不同的交
点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否
存在常数m，使得向量
→ OP
＋
→ OQ
与
→ AB
共线？如果存在，求m
值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1， 整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q， 得Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0， 解得k＜－ 22或k＞ 22， 即k的取值范围为－∞，－ 22∪ 22，＋∞.
【例2】►求椭圆
x2 2
＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2
3 的距离的最
大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b，
代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝± 3.
当b＝ 3时，直线y＝x＋ 3与y＝x＋2 3的距离d1＝ 26，将b＝
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则O→P＋O→Q＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－14＋22kk2.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2＝1＋2 22k2.③ 由A( 2，0)，B(0,1)，得A→B＝(－ 2，1)．
方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题 【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空 题和解答题． 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程； 解题步骤
②将最值问题转化为距离问题求解． 此法为求解最值问题的常用方法，多数 适用情况 题可以用.
【例1】►已知点F是双曲线
为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲
线的离心率e的取值范围是________．
解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝23a，|PF2|＝23a. 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即23a≥c－a， 即ac≤53，即e≤53.又e＞1， 故双曲线的离心率e的取值范围是1，53.故填1，53. 答案 1，53
x2 4
－
y2 12
＝1的左焦点，定点A的坐标
为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为
________．
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，
答案 2
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．
解题步骤 ②利用基本不等式求得表达式的最值．
适用情况 最值问题中的多数问题可用此法.
【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶 点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x42＋y2＝1. 直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)． 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2， 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝ 1＋2 4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E，F到AB的距离分别为