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苏教版高中数学选修4-5：苏教版高中数学选修4-4：运用柯西不等式求最大(小)值

…＋2－1 an≥n2，而(2－a1)＋(2－a2)＋…＋(2－an)＝2n－1，
所以，S≥n1×2nn－2 1＝2nn－1，当且仅当 a1＝a2＝…＝an＝n1时，上面几个不等式的等号成立，于是 S 的最小值为2nn－1.
[例5] 已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
2
2 1g x 1 2 x 3g 5 30 .
2
22
故当且仅当 2g 2 x 1 x 1 ,
2
即 x7
6
时，f(x)取得最大值30为.
2
【互动探究】若例题(1)条件不变，求 4x 1 4y 1 4z 1 的最大值. 【解析】由柯西不等式，得
（ 4x 1 4y 1 4z 1)2 （1 4x 1 1 4y 1 1 4z 1）2 (12 12 12 )(4x 1 4y 1 4z 1) ［3 4(x y z) 3］ 21.
∴由柯西不等式知［（2x）2 （ 5y）2 （ 6z）2］［（1 ）2 （ 2 ）2
2
5
( 3 )2］（2xg1 5yg 2 6zg 3 ）2
6
2
5
6
=（x+2y+3z)2=9.
于是（4x2 5y2 6z2 )(1 4 3) 9.
452
即 4x2 5y2 6z2 20 9 60 .
w＝2 时取到“＝”号， ∴当 u＝65，v＝85，w＝2 时u94＋1v64＋w254的最小值为3225.
n
[例 4] 设 ai∈R＋(i＝1,2，…，n)且 ai＝1，求：
i＝1
S
＝

一步到位一招制胜——巧用柯西不等式破解数学竞赛题

一步到位一招制胜——巧用柯西不等式破解数学竞赛题
林维铭
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2011(000)003
【摘要】《数学通讯》2010年第10期（下半月）文【1】介绍了巧妙构造二次函数破解数学竞赛题，读后颇受启发，但美中不足的是此方法技巧性强，过程较繁．其实，若能利用柯西不等式来解决这一类数学竞赛题，则可以一步到位，一招制胜，快速破解，从而使问题化难为易、化繁为简．文【1】中的12道竞赛题都可以利用柯西不等式来快速破解，下面一一列举（原例题顺序有所调整），并把问题归结为四种类型：
【总页数】3页(P44-46)
【作者】林维铭
【作者单位】福建省莆田市城厢区教师进修学校,351100
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧用柯西不等式的变式解竞赛题 [J], 李歆
2.利用柯西不等式解数学竞赛题举例 [J], 苏化明;
3.三角换元破解数学竞赛题 [J], 查正开
4.巧用柯西不等式解决数学竞赛试题的探究 [J], 刘小树
5.数学解题追求简单勿忘简捷——从柯西不等式变式简解竞赛题谈起 [J], 洪恩锋;李洋
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(完整版)柯西不等式

柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当时, 等号成立. 证法20.（构造法）分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征那么，证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧

由柯西不等式的几种证法所挖掘出的解题技巧邓军民（广州市育才中学数学科）柯西不等式：设n n b b b a a a ,......,,;,......,,2121为两组实数，则()()()222212222122211.n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当时取等号，，，，约定)210(2211n i a a b a b a b i nn =≠===。

柯西不等式证法一：构造二次函数（n i a i ，，， 21,0=≠）()()()()2222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a x f +++++++-+++=()()()()()()()()()()时取等号。

即，，当且仅当nn n n nn n n n n n n n n a b a b a b b x a b x a b x a b b b a a a b a b a b a b b b a a a b a b a b a b x a b x a b x a x f ====-=-=-++++++≤+++∴≤++++++-+++=∆∴≥-++-+-= 2211221122221222212221122221222212221122222110000440这种证法则是利用了二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12的两个特点：（1）、二次项系数大于0 ；（2）、函数值 ()0,0≤∆≥则可得出结论：x f 。

有些不等式题则可根据已知条件和条件的特点，巧妙地构造二次函数()()∑=-=ni i i b x a x f 12，从而利用()0≥x f 恒成立，0≤∆来求解。

例1、设()n i x i ,2,10=>，求证：n n x x x x x x xx x +++≥+++ 2112322221()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-++++=∴=>123222212121322,2,10x x x x x x x x x x x x x x x x f n i x n n n i 可构造函数证明：21123232212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x n()()()()()nn n nn nn n x x x x x x x xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f ++++≥+++∴+++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∴≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++-+++=∆∴≥ 3211232222122112322221132123222211322210440恒成立例2、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b+c+d=3,56322222=+++d c b a ,试求a 的最大值和最小值。

柯西不等式在解题中的几点应用(二)

x 1 x 2 x 1 x 21 2 1 2 1 21 2 n x 2柯西不等式在解题中的几点应用（二）a) 用柯西不等式证明条件不等式n nn柯西不等式中有三个因式∑ a 2， ∑ b 2，∑ a b 而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不ii =1ii =1i i i =1等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一。

又柯西不等式中诸量 a i ， b i具有广泛的选择余地，任意两个元素 a i ， a j （或b i ， b j ）的交换，可以得到不同的不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。

这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。

例：已知 a,b ∈ R + ，a+b=1, x , x ∈ R + ,求证： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 ) ≥ x 1 x 2分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。

若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。

证明： (ax 1 + bx 2 ) • (bx 1 + ax 2 )= (ax 1 + bx 2 ) • (ax 2 + bx 1 )≥ (a + b )2= (a + b )2x x = x x 。

例、设 x , x , , x ∈ R + , 求证：x 2 x 1 + x 2 x 3+ + x x n x 2 + n x 1≥ x 1 + x 2 + + x n （1984 年全国高中数学联赛题）证明：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2 + x 3 + + x n + x 1 ) ，也即嵌以因式(x 1 + x 2 + + x n )，由柯西不等式，得( 1 + xx 2 x 3 + + x x n x 2 + n x 1) • (x 2 + x 3 + + x n + x 1 )x 2 x 3x n x 1x 2x 3x nx 1x 2 x 2 x 3 x 3 x n x n x 1 x 1 1⎡⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎛ x ⎫2 ⎛ x ⎫2⎤ ⎡ 2222⎤ = ⎢ 1 ⎪ + 2 ⎪ + + n -1 ⎪ + n ⎪ ⎥ • ⎢( ) + ( ) + + ( ) + ( )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎦ ⎛ x x x x⎫ ≥ 1 • + 2 • + + n -1 • + n • ⎪ ⎝ ⎭= ( x + x + + x )2,12x 2x于是 1+ x 2 x 3n+ + x x nx 2 + n x 1≥ x 1+ x 2+ + x n .b) 利用柯西不等式求函数的极值有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。

重点高中数学柯西不等式

种类一：利用柯西不等式求最值例 1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为.当函数分析式中含有根号经常利用柯西不等式求解【变式 1】设且，求的最大值及最小值。

利用柯西不等式得, 故最大值为 10，最小值为 -10 【变式 2】已知，，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式 3】设 2x+3y+5z=29，求函数的最大值．依据柯西不等式，故。

当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6，即时等号建立，此时，变式 4：设 a ，， 22 2 的最大值为(1 0 2) ， b (x ，y ，z) ，若 x y z 16，则 a b。

【解】∵ a (1 ，0， 2) ， b (x ，y ，z) ∴ a ． b x 2z由柯西不等式 [1 2 0 ( 2) 2](x 2 y 2 z 2 ) (x 0 2z) 25 16 (x2z) 24 5 x454 5 a ． b 4 5 ，故 a ． b 的最大值为 4 5 :变式 5：设 x ， y ， z R ，若 x 2 y 2 z 2 4，则 x 2y 2z 之最小值为时， (x ，y ，z)解(x 2y 2z)222 22224．9 36(x y z )[1 ( 2) 2 ]∴ x 2y 2z 最小值为 6，公式法求 (x ， y ， z) 此时xy z6 222∴ x 2 ，12222( 2)233y4， z433变式 6：设 x,y,z，若 2x 3y z 3，则 x 2( y 1)2 z 2 之最小值为 ________，又此时Ry ________。

分析： [ x 2 ( y 1) 2 z 2 ][ 22 ( 3) 2 12 ] ( 2x 3y 3 z) 2 [ x2( y 1) 2 z 2 ] 36 ∴最小值1832 147∴t∴y77变式 7：设 a ， b ， c 均为正数且 a b c 9，则4916之最小值为ab c解：(2a3 b4c )2(49 16)(a b c)abca bc( 4 9 16 )．9 (2 3 4) 2 814 916 81 9ab ca bc 9变式 8：设 a,b,c 均为正数，且 a2b 3c 2，则123之最小值为 ________a b c解：: [( a ) 2(2b) 2( 3c ) 2 ][( 1 )2 ( 2)2( 3)2](1 2 3) 2ab c∴(12 3) 18 ，最小值为 18 ab c精心整理变式 9：设 x ， y ， z R 且( x1) 2 ( y 2)2( z 3) 21，求 x y z 之最大、小值 :16 5 4【解】∵( x 1) 2 ( y 2)2( z 3) 216541由柯西不等式知[4 （5)22] ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 222452． x 1．y 2) 2． z 3225 1 (x y z 2)2∴4 ()5 (5()5 |x y z 2|5 x y z 2 5423 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3种类二：利用柯西不等式证明不等式基本方法：（ 1）巧拆常数（例 1）（2）从头安排某些项的序次（例 2）（ 3）改变构造（例 3）（4）添项（例 4）例 1．设、、为正数且各不相等，求证：又、、各不相等，故等号不可以建立∴。

柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设12
12,,,R n n a a a b b b ∈，则当且仅当1212n n a a a b b b ===或120n b b b ====时等号成立．
其结构对称，形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作用极大．应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等，方法灵活，技巧性强． 2
n a b 和
21求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++
例７设,121+>>>>n n a a a a 求证：
练习题
1.(2009年浙江省高考自选模块数学试题)已知实数z y x ,,满足,12=++z y x 设.2222z y x t ++=
(1)求t 的最小值；
(2)当2
1=t 时，求z 的取值范围 2(2010年浙江省第二次五校联考)已知,,a b c R +∈，1a b c ++=。

(1)求()222149a b c +++的最小值；
(2)
≥3
45678求x
z z y y x +++++值． 9(2008年陕西高考理科数学压轴题)已知数列{}n a 的首项135
a =， 13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+(1)求{}n a 的通项公式； (2) 证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n x a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+。

柯西不等式常见题型解法例说

上海中学数学2014年第3期柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。

1‘是基本百鬲、百7而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。

6，+口：6：+a。

63)2揭示了任意两组数组即(n。

，n。

)、(6，，6。

，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。

，以。

)、(6。

，6：，6。

)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．1一次与二次例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，可知n。

+462+9c。

≥婺一12，即最小值为12．例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2≥一5≤z+y+z一2≤5．．‘．一3≤T+y+z≤7．故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．2整式与分式2．1两组数组对应的数分别为倒数型例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．(1)求m的值；(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，由柯西不等式得Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

巧用柯西不等式解题

z = 13 …(1), 4x2 + 9y2 + z2 − 2x +15y + 3z = 82
…(2)
解可令: x1 = 2x, x2 = 3y + 3, x3 = z + 2 .则
x1
+
x2
+
x3
= 18
且
x2 1
+
x2 2
+
x2 3
= 108
,由此及
柯西不等式得:
182 = (x1 + x2 + x3 )2
所组成的方程组无解,故所求值不存在.
例 7(第 18 届全俄中学生数学奥林匹克试
题)求满足方程 x2 + (1− y)2 + ( y − x)2 = 1 / 3 的
一切实数解( x, y ).解设 x1= Nhomakorabeax, y 1
=1−
y, z1
=
y−
x, 则 x1
+
y1
+z1 = 1, x12 + y12 + z12 = 1 / 3 由柯西不等式得:
2
)
=(1 +
n i =1
1 ai
)2
≥(n2
+ 1)2
.
n
2
∑ 所以 (ai + (1/ ai )) ≥ (n2 +1)2 / n .
i =1
2 用于求解最值问题
利用柯西不等式的等号与最值的密切关
系来求最值问题. 例 4 (第七届美国数学奥林匹克试题)设
实数 a, b, c, d, e 满足 a + b + c + d + e = 8 ,且 a2

苏州实验中学苏教版高中数学4-5不等式：柯西不等式在椭圆最值问题中的运用教案

柯西不等式在椭圆最值问题中的运用苏州高新区第一中学摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，它本身和它的推广,对解决不等式证明、最值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果,笔者发现在解析几何中，灵活巧妙地使用柯西不等式，能使一些难题迎刃而解,大大减少运算量,起到事半功倍的效果，本文通过实例阐述如何运用柯西不等式解决椭圆最值问题关键词：柯西不等式，解析几何,椭圆最值问题苏教版新课标的选修教材《不等式选讲》中介绍了柯西不等式，它对解决不等式证明、最值求解、几何三角证明和概率统计学等方面能起到很好的效果，柯西不等式的学习和使用能够拓展学生的知识面，提高学生的数学学习能力。

二维柯西不等式：设,,,a b c dR ，则22222()()()a b c d acbd ，当且仅当abcd时，不等式取等号，由此可以推得结论一:如果22221x y ab ，则222()()()mxny ma nb ，当且仅当22x y ma nb 时,不等式取等号证明：2222222()()()()()()()x yma nb ma nb mxny ab当且仅当22x y ma nb 时，不等式取等号结论二：如果2222112222221,1x y x y ab ab ，则（1）2221221()x y x y a b ,当且仅当1122bx ay ay bx 时，不等式取等号 , （2）2221221()x yx y a b ，当且仅当1122bx ay ay bx 时，不等式取等号证明:（1）2222222222221212112212122222()()()()x y y x x y y x x y y x a b a b a b a bb aab b a，当且仅当1122bxay ay bx 时，不等式取等号（2)2222222222221212112212122222()()()()x y y x x y y x x yy x a b a b a b a bb aab b a当且仅当1122bxay ay bx 时,不等式取等号下面笔者通过实例阐述如何运用上述结论解决椭圆最值问题：例1.设实数,x y 满足条件22123x y ，求2zxy 的最大值。

妙用柯西不等式的变形解题

例 2 已知a,b,c 是互不相等的正数,
求证 :a2 +b+b2 +c+c+ 2a>a+b 9+c。证明:a,b,c 是正数,由柯西不等式的变
形形式得:
2
2
2
22
a+b + b+c + c+a = 2(a+b) +
22
2(b+c)
+
22
2(c+a)
≥
(2+2+2)2
36
2(a+b)+2(b+c)+2(c+a)=4(a+b+c)
=a+b 9+c。
所以a2 +b+b2 +c+c+ 2a ≥a+b 9+c,当
且仅当2(a2+b)=2(b2+c)=2(c2+a)时,即 a=b=c 时,取得等号。
又因为a,b,c 是互不相等的正数,所以
a2 +b+b2 +c+c+ 2a>a+b 9+c。
式得:
1 x1
1 +x2
+
…
1 +xn
12 =x1
12 +x2
+
…
12 +xn
≥
(1+1+ … +1)2 x1+x2+ … +xn
=n2
。
因
此

浅析中学数学中柯西不等式的应用(2)

浅析中学数学中柯西不等式的应用（2）刘小菲2.2 利用柯西不等式在求函数最值中的应用例1 设1x y z ++=，求函数22223u x y z =++的最小值。

解：根据已知条件和柯西不等式，我们有11x y z z=++=++⋅112222211(1)(23)23x y z ≤++++=611u ∴≥，由此推得 min 611u ≥z λ===，即,,23x y z λλλ===，代入条件1x y z ++=，得611λ=，此时326,,111111x y z ===. 故当326,,111111x y z ===时，min 611u =.例2 设实数,x y 满足22326x y +≤，求2p x y =+的最大值。

解：由柯西不等式，得222222(2)))]p x y =+≤++2241()(32)1132x y =++≤p ∴≤max p =例 3 若u ,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值。

解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=，当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立。

max u ∴=例3 设,a b R +∈，且1a b c ++=，求222111a b c ++的最大值解：根据条件和柯西不等式，得2222111111()(111)()a b c a b c ++++≥++，2111()()(111)9a b c a b c ++++≥++= 1119a b c ∴++≥，即2222111()(111)9a b c ++++≥ 22211127a b c ∴++≥，当且仅当a b c ==时等号成立 min 222111()27a b c∴++= 利用柯西不等式在平面几何中的应用柯西不等式不仅在代数方面能够帮助我们解决问题，在解决几何问题上也给我们带来了方便。

例 1 P 为ABC ∆内一点，,,D E F 分别为P 到,,BC CA AB 各边所引垂线的垂足，求所有使BC CA ABPD PE PF++为最小的P 点。

柯西不等式在解题中的几点应用(一)

其中等号当且仅当 x1 ky1 ， x2 ky2 时成立。
巧拆常数：
例：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
分析：∵ a 、 b 、 c 均为正
∴为证结论正确只需证：
2(a
b
c)[ a
1
b
b
1
c
c
1
a
]
9
而 2(a b d ) (a b) (b c) (c a)
(1) 式就是著名的柯西不等式的一个简单特例。柯西不等式的一般形式为：
对任意的实数 a1 , a2 ,, an 及b1 , b2 ,, bn有
n
i1i
aibi
2
n i 1
ai2
n i 1
bi2
,
(2)
n
n
n
或 aibi
ai2 *
bi2 ,
(3)
i 1
i 1
i 1
其中等号当且仅当 a1 b1
求证：ac+bd a 2 b 2 * c 2 d 2 这题用比较法是很容易证明的，这里用比值的方法来证明。
证明：当 a=b=c(或 c=d=0)时，显然成立；
假设 a 2 + b 2 0 且 c 2 + d 2 0,则
ac bd
ac bd
a2 b2 * c2 d 2
a2 b2 * c2 d 2
a2 b2
an bn
时成立（当 bk
0 时，认为 ak
0,1 k
n).
柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。一、柯西不等式在解题中的应用 a) 利用柯西不等式证明恒等式

多方面剖析,例谈柯西不等式的妙用

多方面剖析,例谈柯西不等式的妙用陶飞【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)023【总页数】2页(P47-48)【作者】陶飞【作者单位】江苏省海州高级中学【正文语种】中文众所周知，柯西不等式在数学各个领域都有着广泛应用，它在不同领域的应用灵活多变，柯西不等式在数学当中有着很高地位，它的应用是数学知识之间渗透性、统一性的表现.柯西不等式相关应用有一些基本的方法和技巧，下面通过具体例子来阐述这方面内容.利用柯西不等式求最值是定理的基本应用，这种题目的关键就是要构造一组数或者一组式子，使得题目中不等式转化成柯西不等式的近似形式，这样在通过变形、缩放等方法得到最后要求的结果.学生对定理的灵活掌握来源于平常的勤奋练习，所以学习要动脑又动手.例1 已知a，b，c，d满足a+b+c+d=m，a2+2b2+3c2+6d2=1.（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求a的最值.解析：（1）由柯西不等式得a2+2b2+3c2+6d2·所以m2≤2，即（2）由柯西不等式得即0≤a≤1，当且仅当时等号成立.因此，当b=c=d=0时，amax=1；当时，a=0.min点拨：例1是柯西不等式求最值的典型题，我们从题目中可以看出应用柯西不等式的要点，而不等式缩放后为常数是应用柯西不等式的基本要点之一，是需要熟练掌握的基本点，在日常的做题练习当中，大家要注意总结这类关键点，做到一通百通.由于柯西不等式应用广泛，在很多题目当中都会看到它的身影.在近年来的高考题目中各部分知识的综合考查成为重点，也是同学们学习和掌握的难点，大家都知道函数贯穿于整个中学学习阶段，将两者结合之后同学们是否还能从容应对呢？下面来看例题是如何做的.例2当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=_______.解析：由柯西不等式可得时，（fx）取得最大值，所以又由上面的柯西不等式取等号的条件可知，解方程组得点拨：这里通过题目可以看到柯西不等式结合函数知识的应用，所以同学们在解题当中不能一味地“死做题，做死题”，要将数学知识中不同章节内容联系起来，用发展和联系的眼光看数学知识，有创造性地思考问题，这样才不会在这些新题型面前不知所措.在浩瀚的数学知识体系当中，任何两个知识点的碰撞都可能会有引起火花.下面介绍的是在几何当中嵌入柯西不等式的解题方法，这里重在引导学生的思路，开拓学生的眼界和思维，培养学生的创新意识和发现意识，希望大家能够通过例题洞悉其中的一些奥秘.例3 在平面直角坐标系内，求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离.解析：点P（x0，y0）到直线的最小距离，实际上就是点P到直线上某点Q（m，n）之间的距离最小值，即的最小值.根据柯西不等式知，由Q（m，n）在直线上得，所以即，从而得要求的最小值为点拨：活学活用是数学解题的重要思维之一，这里展示的例题便充分说明了这一点.柯西不等式在几何题当中的应用，是非常具有创新性的题目，这类新颖的题目是近年来高考的难点，能够突破书本中知识的“枷锁”，便决定了在难点测试中最后的成败.利用柯西不等式可以快速求得参数的范围，提高解题的效率.解决这类问题的关键在于仔细分析题目中的已知条件，找到各个条件之间的关系，再结合柯西不等式将它们联系起来，从而高效地解决问题.例4 已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围.解析：先来看一种错误的解法：根据（a2+b2+c2）（1+22+22）≥（a+2b+2c）2，解得（1+c）2≤9，则-4≤c≤2.这种解法忽略了柯西不等式等号成立时所需要满足的条件，所求得的结果两边不能够取得等号，因此将范围扩大，导致解题结果的错误.下面来看正确的解法：通过观察两个式子的特点，可以根据柯西不等式建立与参数c有关的一元二次不等式，从而求出参数c的取值范围.根据（a2+b2）（1+22）≥（a+2b）2，可以得到5（1-c）2≥（1-c）（21-c）2，即3c2-c-2≤0，解得，所以所求参数c的取值范围为点拨：本题的关键在于根据柯西不等式建立含有参数c的一元二次不等式，同时也不能忽略柯西不等式等号成立时所需要满足的条件，只要注意以上的要点，利用柯西不等式求参数范围的问题将会迎刃而解.本文展示的四个例题是柯西不等式应用的一部分类型，这在柯西不等式应用当中还只是冰山一角，柯西不等式是工具，数学的其他知识是基础，只有打好这个基础，才能运用好这个工具.希望学生能通过四个例题的反思，锻炼自己的思维，将自己的能力提高一个档次.。

柯西不等式三维形式应用举例

，所以 1 sin2A
=
4R2 a2
，同
理1 sin2B
=
4R2 b2
，1 sin2C
=
4R2 c2
于是左边
≥ ≥ ≥ ≥ =(a2+b2+c2)
4R2 a2
+
4R2 b2
+
4R2 c2
≥
a·2R a
+b·2R b
+c·2R c
2
=36R2
4、利用柯西不等式解方程
例 4 在实数集内解方程
≤x2+y2+z2= 9 4 - 8x+6y- 24y=39
— 405 —
（上接第 404 页）来控制其进行自检，从而方便用户检修与维护。边界扫描测试不仅可以用来测试芯片或电路板的功能，还可以用
来测试芯片或电路板之间的连接是否有问题。边界扫描测试技术在 CUT 核心部分的每一个输入端和输出端都设置了一个寄存器，叫做边界扫描单元，这些寄存器均可以输入和输出数据，而且串联成一个移位寄存器链。当测试电路的功能时，将电路输入端的寄存器设为输出方式，输出端的寄存器设为输入方式，在控制电路的控制下，把测试激励通过输入端的寄存器驱动 CUT，并将测试响应采集到输出端的寄存器。当测试连线时，可将连线一端的寄存器设为输出方式，另一端设为输入方式，再按一定的方式施加测试激励并捕捉响应，比较这两个寄存器中
22 22
a2 b3 +a3 b2 ≥2a2 b2 a3 b3（当且仅当 a2 b3 =a3 b2 时，等号成立）
222 2 2 2
2
故(a1 +a2 +a3 )(b1 +b2 +b3 )≥(a1 b1 +a2 b2 +a3 b3 )

第10讲柯西不等式的应用技巧(打印含有答案)

第十讲柯西不等式的应用技巧一、知识概要定理: 设12,,n a a a ,12,,n b b b 是两组实数,则有222111n nn i i i i i i i a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑,其中等号成立当且仅当i i a b λ=,(1,2,3i n =.),其中λ是常数. 推论１：设12,,n a a a 是正实数,则21212111()()n na a a n a a a ++++++≥, 其中等号成立当且仅当12n a a a ===.推论2：设12,,n a a a 是实数,则有2211nn i i i i n a a ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑,其中等号成立当且仅当12n a a a ===,(1,2,3i n =.).变形１：2111nnn i i i i i i i i a a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑.变形2: 22111nnn i i i i i i iab a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑. 变形3 :1ni =.变形4: 22111()ni nii ni iii a a b b===≥∑∑∑.二、解题指导 1.常数的巧拆、增添例1.当,,a b c 是正实数，求证：32a b c b c a c b a ++≥+++.例2 .设123,,,,n x x x x 为任意实数，证明：1222222211212111nn x x x x x x x x x +++<+++++++奥 204 )2.项的增添例3.已知非负实数123,,,n a a a a ，满足1231n a a a a ++++=，证明：1223131231111nn n n a a a a a a a a a a a a a -++++++++++++++++存在最小值，并求出最小值.3.依系数构建柯西不等式例4.已知,x y 为实数，且满足22326x y +≤，求证：2x y +例5.已知,,,a b c d 是实数，且满足21a ≤，225a b +≤,222230,a b c d +++≤22214,a b c ++≤222230,a b c d +++≤ 求证: 222211110234a b c d +++≤变式：10a b c d +++≤.4.待定系数的巧设例 6.求最大的正数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数,,x y z 成立的不等式：xy yz λ+.5.因式分解构建两个和式的乘积例7.已知,a b 为正实数，且有111a b+=，试证明：对每一个n N +∈，都有21()22n n n n n a b a b ++--≥-.6.增加因式构建两个和式的乘积例8. 设12,,n a a a R +∈ 12,,n a a a R +∈，且121n a a a +++=，求证：222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++.例9.已知,,a b c 是正实数，且2221112111a b c ++=+++，求证：32ab bc ac ++≤.三、习题演练 1.已知12,,n a a a 是正实数，12n s a a a =+++求证：12121n n a a ans a s a s a n +++≥----.2. 设123,,,(1)n a a a a n >是实数，1ni i A a ==∑，且221111nn i i i i A a a n ==⎛⎫+< ⎪-⎝⎭∑∑，试证：2(1)i j A a a i j n <≤<≤.3.设方程432210x ax x bx ++++=至少有一个实数根，证明：228a b +≥.4.设()P x 是正系数多项式，如果1()()1P x P x ≥对于x=1成立，则对一切正数都有1()()1P x P x≥5.若352x ≤≤，则<(p 自主招２６)6.已知0,0a b >>，求证：1112a b a ba nb++++++7.设123,,,,n a a a a R +∈求证：2121222223341212()2()n nn a a a a a a a a a a a a a a a +++≤+++++++++。

应用柯西不等式解中学数学题

知识改变命运应用柯西不等式解中学数学题（竞赛专题）温州中学谢正康柯西不等式是一个重要的不等式，利用它可以证明其他一些不等式，有时还较为简捷。

柯西不等式内容是：若21,a a …，n a 与21,b b …，n b 为两组实数，则()()2222122211n n n a a a b a b a b a +++≤+++ ())(22221A b b b n +++⨯当且仅当nn b a b a b a === 2211时，（A ）式取等号。

证明：因为()()()02222211≥-≥-≥-x b a x b a x b a n n所以把上列n 个不等式相加得()()()())1(,02222211 ≥-++-+-=x b a x b a x b a x f n n()()()())2(02222212211222221 ≥+++++++-+++=n n n n a a a x b a b a b a x b b b x f 因为,022221 n b b b +++且()0≥x f ，所以关于x 的二次三项式()x f 的判别式△0≤ 即△=()()()044222212222122211≤++++++-+++n n n n a a a b b b b a b a b a即()()())(222212222122211A b b b a a a b a b a b a n n n n ++++++≤+++现在研究（A ）式取等号问题。

若（A ）式取等号，则△=0，于是由（2）知方程0)(=x f 有二重实根,k x =代入（1）得 ()()()02222211=-++-+-k b a k b a k b a n n知识改变命运于是，02211=-==-=-k b a k b a k b a n n 所以)3(2211 k b a b a b a nn ==== 这样，就是由若（A ）式取等号，推导得（3）成立。

怎么用柯西不等式解题？

怎么用柯西不等式解题？
答：
1.柯西不等式是高中数学中的一个重要不等式，因其结构简单，功能强大而倍受解题者青睐，另外柯西不等式的应用非常广泛，因此掌握好柯西不等式对解题大有裨益。

2.在高考解题中，主要是通过添项、拆项、分解、组合、配凑等变换方式改变其结构，从而达到使用柯西不等式的目的。

一·柯西不等式
二·柯西不等式在高考题中的应用
1·求最值问题
2·利用取等条件解题
3·证明不等式
三·脑洞点拨
1.柯西不等式的证明方法也十分广泛，诸如利用向量证明，构造函数证明，利用数学归纳法证明等等，在此不作赘述。

2.上述我们给出的是柯西不等式的一般形式，当然在高考中，二维的柯西不等式应用得也非常多，读者不妨自行尝试。

以上，祝你好运。

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巧用向量性质妙解三角问题
刘福年
将向量引入高中教材后，为解题提供了一个有力工具，某些数学问题，若以向量为视角，运用向量知识加以解决，会显得简洁明快，令人耳目一新。

以下举例说明向量性质 222||||||n m n m ≤⋅ 在三角解题中的一些应用，供同学们参考。

例1 已知 α、β为锐角，且 2
3)cos(cos cos =+-+βαβα，
求α、β的值。

解将已知条件变为 ββαβαc o s 23
s i n s i n )c o s 1(c o s -=⋅+- 令 (cos ,sin )m αα=， (1cos ,sin )n ββ=-，则
2
2222|cos (1cos )sin sin |(cos sin )[(1cos )sin ]22cos αβαβααβββ
-+⋅≤+-+=-
既 23
(cos )22cos 2ββ-≤-
整理得 041cos cos 2≤+-ββ
既 0)21(cos ≤-β ∴21cos =β 又 β为锐角， ∴3π
β= 代入原式解得 3π
α=
例2 设方程m +=+θθθ22cos 22sin sin 有实数解，试求实数m 的
取值范围。

∴原函数的最大值为
3
3。