概率统计A试卷(A2010-2011-2)(答案评分标准修改稿)

解答：1． 1 p ；
n
2． e

；
3． P
1 ； 6
4．3；
5．0.5； 7． lim P X ；
n
n
6．解：(1) N ,

2
n
(2)正态随机变量线性组合仍服从正态分布；
n


8． ；
9．相互独立；
ˆ y ˆ x, ˆ 10． 0 1 1
1 n
Xn
服从________________（请填写分布的类型和参数） ，为什么？因为_______________________。
7．设总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知， 未知， X 1 , , X n 是来自总体 X 的一个样本，则样本均
值 X 是总体均值 的相合估计量，这是因为：由大数定律，对任意给的 0 ，都有_____ ______=1 成立。
…………………..2 分
y y2 e d y 2；
(1) E ( )

0

0
xe x dx 1 ，
E ( )
0
E ( 2 )

x 2 e x dx 2 ，
2
E ( 2 )

0
y 3e y dy 6 ；
2
D( ) E( 2 ) E( ) 1 ， D( ) E ( 2 ) E ( ) 2 。
因为： E[ f1 ( x1 , x2 )] E ( x1 ∴ f1 , f 2 均是 E(X)的无偏估计。 ………4 分
1 3
1 2 1 4 5 x2 ) D( x1 ) D( x2 ) D( X ) 3 3 9 9 9 1 5 1 25 26 D[ f 2 ( x1 , x2 )] D( x1 x2 ) D( x1 ) D( x2 ) D( X ) 6 6 36 36 36
且由长期经验知道 0.9kg 。且保持不变，某天开工后，为检查打包机工作是否正常，随机抽取 9 袋，称得其净重为(单位：kg)：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，105.1，102.6，100.5，问该天 休包机的工作是否正常？( 0.05 ，已知标准正态分布的分位数 Z 0.025 1.96 )。 解答：设该天打包机包装的每袋大米净重为 ，由题意知 ~ N ( , ) ，
K
k!
, k 0,1, 2, ，常数 0 ，则 C 的值应是
3．掷两颗均匀骰子， 与 分别表示第一和第二颗骰子所出现点，则
P{ } =_______________。
4．设 的概率密度为 ( x)
e x x 0 0 x0
则 E (2 1) ___________________。
所以拒绝 H 0 ，即认为该天打包机工作不正常要停机调整。
四、证明（1 小题，共 10 分）
设总体 X 的期望 EX ，方差 DX 均存在， X 1 , X 2 是 X 的一个样本，试证明统计量
f1 ( X 1 , X 2 )
1 2 1 5 X 1 X 2 ， f 2 ( X 1 , X 2 ) X 1 X 2 都是 EX 的无偏估计量，并说明那一个较为 3 3 6 6
x, y x y 故 , 独立；从而也不相关(由 0 也得 , 不相关) ………2 分
第 2 页，共 6 页
2． 某人射击二次，用事件 Ai 表示“第 i 次击中” ，事件 A 表示“第二次才击中” ， B 表示“二次射击，
恰有一次击中” ，请用事件 Ai (i=1、2)表示 A 与 B 。 解答： A1 A2 ，A1 A2 A1 A2 ………3 分
三、计算（4 小题，共 40 分）
1．在设计汽车的仪表板中，警告灯是用来警告司机即将发生的机械故障。因此希望当故障即将来临
时有一盏灯高概率开启，当没有故障的时候没有灯开启。假设 T 是事件“机械故障” ， O 是事件“灯 开启” 。设 P(O T ) p 和 P(O T ) q. 假设 P(T ) 0.01, 计算： （1）事件“灯开启”的概率； （2） P(T O) ； （3） P(T
………2 分 ………3 分


0
x e x dx

0
y e y dy
………3 分

1


1


2

………2 分 16 件算出样本均值 x 507.75 ( 克 ) ，样本方差
第 1 页，共 6 页
10．设样本 ( x1 , y1 ), , ( xn , yn ) 是 ( X , Y ) 的一个样本，样本平均值记为 ( x , y ) ，y 对 x 的回归方程为
ˆ =________, ˆ =________。 ˆ 0 1 x ，则可用样本表示出数 0 与 1 的估计为 y 0 1
1．设 n 个事件 A1 , A2 , , An 互相独立，且 P{ AK } p, ( K 1, 2, , n) ，则这 n 个事件至少有一件不
发生的概率是________________.
2．设某离散型随机变量 的分布律是 P k C
____________。
样本，求参数 的最大似然估计量。 解答：似然函数为: L( B) ( 1)i ( 1) i

n i 1 i 1 n n
, n 是来自总体的一个

………3 分
第 3 页，共 6 页
ln L( ) n ln( 1) ln i
E
0


0
xy 2 e x y dxdy

0
xe x dx

0
y 2 e y dy 2 ，
cov( , ) E( ) E E 2 2 0 ，
(2)
cov , D D
0。
………3 分
而 D[ f1 ( x1 , x2 )] D( x1 可见 D[ f1 ( x1 , x2 )] D[ f 2 ( x1 , x2 )] ，即 f1 ( x1 , x2 ) 较有效。 ………4 分
五、应用（2 小题，共 20 分）
1．一系统 L 由元件 L1 与备用元件 L2 并联而成， L1 ， L2 互相独立，当元件 L1 损坏时， L2 立即开始
P(T
O) 0.011 p
2．设公共汽车到达某车站的时刻服从 10 点到 10 点半之间的均匀分布，现有乘客 10 点钟到达这个
车站，求他等车时间至少要 10 分钟的概率。 解答：该公共汽车到达车站的时刻是 10 点钟后 分， ………2 分
1 0 x 30 则 的密度为： x 30 。 0 其它
5．设每次射击击中目标的概率为0.001，如果射击5000次，试用中心极限定理击中的次数大于5的概
率是______________。已知： (0)=0.5； (1)=0.8413
2 6． 若 X 1 , X 2 , , X n 为正态总体 X ~ N ( , ) 的一组简单随机样本， 则 X X1 X 2
( x x )( y y ) ( x x )
i 1 i i i 1 i
2
。
二、问答（2 小题，共 10 分）
1．设 与 的联合分布密度为 x, y
ye x y 0
x 0, y 0
其它
(1)求 E , E , D , D ,cov( , ) 和相关系数 ； (2) 与 是否独立？是否相关？ 解答：先求 、 的边缘分布密度 x , y
上 海 海 洋 大 学 试 卷（ 答 案 评 分 标 准 ）
学年学期 课程名称 课程号 姓名： 20 10 ~ 20 11 学年第 2 学期 概率论与数理统计 A 1106402 学号： 学分 4 考核方式 A/B 卷 学时 专业班名： 闭卷笔试 （ A ）卷 64
一、填空（10 小题，共 20 分）
i 1 n n ln L( ) ln i 0 1 i 1
n
………2 分
列似然方程得：
………2 分
ˆ 1 [ 解之得的最大似然估计量为：
1 n ln i ]1 n i 1
………3 分
4．某粮食加工厂用打包机包装大米，每袋标准重量为 100kg，设打包机装得大米重量服从正态分布
第 4 页，共 6 页
有效？ 解答：证明:因为 X 1 , X 2 是 X 的样本，故独立、同分布。 ………2 分
2 1 2 x2 ) E ( x1 ) E ( x2 ) E ( X ) ， 3 3 3 1 5 1 5 E[ f 2 ( x1 , x2 )] E ( x1 x2 ) E ( x1 ) E ( x2 ) E ( X ) 6 6 6 6
进而 P 10
………2 分


10
x dx
1 30 10 20 2 dx 。 30 30 30 3
………3 分 ………3 分

30
10
( 1) x 0 x 1, 1 3．设总体的密度为: f ( x) ， 1 , 2 , 其它 0
O) 。
解：利用全概率公式可得 P (O ) P (T ) P (O | T ) P (T ) P (O | T ) 0.01 p 0.99(1 由贝叶斯公式得： 进而
0.01 p 0.01 p 0.99 1 q