长郡双语2014-10-12初三第二次月考数学试卷
2014-2015学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级(上)第二次月考数学试卷
2014-2015学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分1．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．2．（3分）函数y=中的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x=03．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF4．（3分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣10）=200 B．2x+2（x﹣10）=200 C．2x+2（x+10）=200 D．x（x+10）=2005．（3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有两个相等的实数根，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．96．（3分）将抛物线y=（x﹣3）2﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣37．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，添加以下条件（），不能使△ADE∽△ACB．A．=B．=C．∠ADE=∠ACB D．∠AED=∠ABC9．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．任意两个等边三角形B．任意两个直角三角形C．任意两个等腰三角形D．两个等腰梯形10．（3分）函数y=kx2﹣k和y=（k≠0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）A．B． C． D．二、填空题：每小题3分，共24分11．（3分）已知：x：y=2：3，则（x+y）：y=．12．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第象限．13．（3分）方程x2﹣3x=0的根为．14．（3分）已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是．15．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是．16．（3分）已知x2﹣x﹣3=0的两根是m和n，则+=．17．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法正确的是（填正确结论的序号）．①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．18．（3分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．三、解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E在CD延长线上，AB=10，DE=5，EF=6，求BF的长．20．（6分）一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于P（﹣2，1）、Q（1，n）两点，试求此反比例函数和一次函数的解析式．21．（8分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．22．（8分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．23．（9分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．（9分）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？四、阅读理解题25．（10分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．五、综合题26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分1．（3分）方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】用加减法解方程组即可．【解答】解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选：D．【点评】此题考查二元一次方程组的解法．2．（3分）函数y=中的自变量x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x=0【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，即可求解．【解答】解：依题意，得x≥0，故选：A．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．3．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．4．（3分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣10）=200 B．2x+2（x﹣10）=200 C．2x+2（x+10）=200 D．x（x+10）=200【分析】根据花圃的面积为200列出方程即可．【解答】解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为（x+10）米，∵花圃的面积为200，∴可列方程为x（x+10）=200．故选：D．【点评】考查列一元二次方程；根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．5．（3分）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有两个相等的实数根，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9【分析】直接利用一元二次方程隔得判别式得出b2+4am=0，进而利用二次函数顶点坐标得出m的值．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx=m有两个相等的实数根，∴b2+4am=0，∵y=ax2+bx的顶点坐标纵坐标为：=﹣3，则b2=12a，故12a+4am=0，则m=﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出a，b的关系是解题关键．6．（3分）将抛物线y=（x﹣3）2﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式．【解答】解：将抛物线y=（x﹣3）2﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是：y=（x﹣4）2﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．7．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．8．（3分）如图，添加以下条件（），不能使△ADE∽△ACB．A．=B．=C．∠ADE=∠ACB D．∠AED=∠ABC【分析】（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可【解答】解：A、，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故B选项正确；C、∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故C选项错误；D、∠ABC=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故D选项错误；故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．9．（3分）下列两个图形一定相似的是（）A．任意两个等边三角形B．任意两个直角三角形C．任意两个等腰三角形D．两个等腰梯形【分析】根据图形相似的判定判断，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似，依次判定从而得出答案．【解答】解：A、任意两个等边三角形一定相似，故本选项正确，B、任意两个直角三角形不一定相似，故本选项错误，C、任意两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误，D、两个等腰梯形不一定相似，故本选项错误，故选：A．【点评】本题考查了相似图形的判定，严格根据定义，可以得出答案，难度适中．10．（3分）函数y=kx2﹣k和y=（k≠0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）A．B． C． D．【分析】根据反比例函数的图象和二次函数的图象判断k的符号，确定两个式子中的k是否能取相同的值即可．【解答】解：A、二次函数图象可得二次项次数k＜0，与y轴相交于正半轴，则常数项﹣k＞0，则k＜0；根据反比例函数图象，k＜0．故选项正确；B、二次函数图象可得二次项次数k＞0，与y轴相交于正半轴，则常数项﹣k＞0，则k＜0；故选项错误；C、二次函数图象可得二次项次数k＜0，与y轴相交于正半轴，则常数项﹣k＜0，则k＞0；故选项错误；D、二次函数图象可得二次项次数k＜0，与y轴相交于正半轴，则常数项﹣k＜0，则k＞0；故选项错误．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，根据图象确定k的符号是关键．二、填空题：每小题3分，共24分11．（3分）已知：x：y=2：3，则（x+y）：y=．【分析】根据比例的性质，把写成+1的形式，然后代入已知数据进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴=+1=+1=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，把写成+1的形式是解题的关键，也是本题的难点．12．（3分）一次函数y=﹣2x+1的图象一定不经过第三象限．【分析】根据了一次函数与系数的关系可判断一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限．【解答】解：∵k=﹣2＜0，∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第二、四象限；∵b=1＞0，∴一次函数y=﹣2x+1的图象与y轴的交点在x轴上方，∴一次函数y=﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为三．【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．13．（3分）方程x2﹣3x=0的根为x1=0，x2=3．【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．14．（3分）已知反比例函数y=，当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k=10＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=1时，y=10，当x=2时，y=5，∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．故答案为：5＜y＜10．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x 的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．15．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是．【分析】首先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出=，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=解得：BC=．故答案为：．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键．16．（3分）已知x2﹣x﹣3=0的两根是m和n，则+=﹣．【分析】利用根与系数的关系得到m+n=2，mn=﹣3，再通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得m+n=2，mn=﹣3，所以+===﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．17．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，下列说法正确的是①②（填正确结论的序号）．①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0．∵x=﹣=1，∴a、b异号．∴b＞0．∴abc＜0故①正确．②由抛物线的对称性可知当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确；③∵x=﹣=1，∴2a+b=0，故③错误．由函数图象可知：④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．18．（3分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或2．【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．三、解答题（共6小题，满分46分）19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E在CD延长线上，AB=10，DE=5，EF=6，求BF的长．【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=10，AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠ABF，证出AB=AF，得出∠AFB=∠ABF，由对顶角相等得出∠E=∠DFE，得出DE=DF 即可【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，∴，∴BF=答：BF的长为12．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．20．（6分）一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于P（﹣2，1）、Q（1，n）两点，试求此反比例函数和一次函数的解析式．【分析】将P的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，确定出反比例函数解析式，将Q坐标代入反比例函数解析式中，即可求出n的值，确定出Q的坐标，将P和Q坐标代入一次函数解析式中，根据待定系数法即可确定出一次函数解析式．【解答】解：由一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于P（﹣2，1）、Q（1，n）两点，将P（﹣2，1）代入反比例函数解析式得：1=，解得：m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=﹣，将Q（1，n）代入反比例解析式得：n=﹣=﹣2，∴Q（1，﹣2），将P和Q坐标代入一次函数解析式得：，解得：．故一次函数解析式为y=﹣x﹣1．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．21．（8分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y=x2+bx+c 中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x﹣3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP 的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．22．（8分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB．求证：AF=DE．【分析】先根据CE=FB证明得到CF=BE，然后利用“边边边”证明△ABE和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等，然后根据全等三角形对应边相等得证．【解答】证明：∵CE=FB，∴CE+EF=FB+EF，即CF=BE，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（SSS），∴∠B=∠C，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据CE=FB证明得到CF=BE是解题的关键，注意本题需要两次证明三角形全等．23．（9分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理证明CD∥BF，从而得到∠ADC=∠F．根据圆周角定理的推论得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根据圆周角定理的推论得到∠C=∠A；根据两个角对应相等，证明两个三角形相似；（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例以及AF=2AD，可求得的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．【点评】本题主要考查三角形中位线定理、平行线的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的性质和判定等知识．24．（9分）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？【分析】（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．【解答】解：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8﹣x）+x2=x2﹣2x+16=（x﹣2）2+14，当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴x=8时，Z的最大值为32，答：当x=8时，z的最大值是32．【点评】本题第（1）个问题是已知一次函数和二次函数的图象，求函数的解析式，观察两个函数的图象可知，前者是正比例函数，后者是二次函数，顶点是（0，0），利用待定系数法，先设两个函数的解析式，再将P（1，2），Q（2，2）代入相应的解析式求出参数即可；第（2）个问题是已知自变量的取值范围求二次函数的最值，属于二次函数的条件最值问题．这类试题一般先将函数解析式配方，将函数解析式变成顶点形式，找出顶点坐标和对称轴方程，结合自变量的取值范围，画出函数图象（抛物线的一部分），根据抛物线的对称性、开口方向，确定函数的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，这种解题方法体现了数学中的数形结合的思想，它的优点是直观形象，避免死记公式．四、阅读理解题25．（10分）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的图象经过点A（1，1），y3=y1+y2，若y3与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．【分析】（1）写出顶点在原点，开口方向向上的两个二次函数解析式即可；（2）先把A点坐标代入y1可计算出m=1，则y1=2x2﹣4x+3，y2=ax2+bx+7，y3=y1+y2=（a+2）2+（b﹣4）x+10，再求出y1的顶点坐标，根据新定义得到二次函数y3的顶点坐标为（1，1），利用二次函数图象上点的坐标特征和对称轴方程得a+2+b ﹣4+10=1，﹣=1，解得a=7，b=﹣14，则函数y2的表达式为y2=7x2﹣14x+7，然后根据二次函数的性质求当0≤x≤3时，y2的最大值．【解答】解：（1）二次函数y=x2和y=2x2是“同簇二次函数”；（2）把A（1，1）代入y1=2x2﹣4mx+2m2+1得2﹣4m+2m2+1=1，解得m=1，则y1=2x2﹣4x+3，y2=ax2+bx+7，所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b﹣4）x+10，而y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，即二次函数y1的顶点坐标为（1，1），因为y3与y1为“同簇二次函数”，所以二次函数y3的顶点坐标为（1，1），则a+2+b﹣4+10=1，﹣=1，解得a=7，b=﹣14，所以函数y2的表达式为y2=7x2﹣14x+7，则抛物线y2的对称轴为直线x=﹣=1，当0≤x≤3时，x=3时，y2的值最大，最大值=7×9﹣14×3+7=28．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．五、综合题26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（4，0）和点C（0，﹣2）三点，列出三元一次方程组，解出a、b和c即可；（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0），根据AD∥BC，两直线斜率相等，列式求出D点的坐标，再证明出△ABC是直角三角形，然后分类讨论：①当∠E是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标，②当∠D是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标．（3）假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，根据S=S△ABD+S△ACB=S△ABP列式求出y的值，然后验证P点坐标是否存在．四边形ACBD【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣2），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）∵AD∥CB，∴两直线的斜率相等，∴k AD=k BC，∴==，∴y+1=x，又∵点D在抛物线上，∴y=x2﹣x﹣2，联立两式解得D点的坐标为（5，3），连接AC，AC=，BC=2，AB=5，∵AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，∵AD∥AC，∴∠DAB=∠ABC，∵Rt△ACB∽RtEDA，∴==，∴==，当a=5时，等式成立，∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，同理可知=，即=，解得a=，∴AE=，根据勾股定理求出DE=，检验：==，∴存在E点坐标（，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，综上这样的点有两个，分别是（5，0），（，0）；（3）由（1）（2）可知：AB=5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，﹣2），假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，S四边形ACBD=S△ABD+S△ACB=×5×3+×5×2=，S△APD=×AD×h=，解得h=，∴P到直线AD的距离为，直线AD的解析式为y=x+，P点到直线AD的距离d==，又知y=x2﹣x﹣2，解得x=∴这样的P点存在，坐标为（，）、（，）．【点评】本题考查了二次函数、三角形相似、平行线的性质、直线斜率等知识点，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（2）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．。
湖南省长沙市长郡教育集团九年级下学期期中联考数学试题
长郡教育集团2014-2015-2初三年级十三校联考期中考试数 学 试 卷命题学校：长郡双语实验中学总 分：120分 时 量：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1． 7-的倒数是 （ ）A ． 17-B ． 7C ． 17D ． －7 2．下列计算正确的是（ ） A ．235a a a +=B ．1234)(a a =C ．236a a a ⋅=D ．326a a a =÷3．今年春节“黄金周”某市接待游客总数为833100人次，833100用科学记数法表示为（ ） A ．0.833×106B ．83.31×105C ．8.331×105D ．8.331×1044．抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ） A. )1,2(B. )1,0(C. )0,1(D. )2,1(5．已知点M (－2，3 )在双曲线xky =上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ） A ．(3，2 ) B ．(－2，－3 ) C ．(2，3 ) D ．(3，-2)6．如图，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，∠DCE=18°，则∠B 等于（ ） A ． 18° B ．36° C ．45° D ．54° 7. 不等式组312840x x ->⎧⎨-⎩≤的解集在数轴上表示为 （ ）8．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． ﹣1 D ． 1 9．下列说法正确的是（ ）A. 一组数据 8 , 8 , 7 , 10 , 6 , 8 , 9 的众数和中位数都是 8； B ．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式； C. 一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖；D. 若甲组数据的方差2=0.01s ，乙组数据的方差2=0.1s ，则乙组数据比甲组数据稳定.10．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不 相同的几何体是 （ ）A ．B ．C ．D ．A．①②B．②③C ．②④D．③④11．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm12．如图，在ABCDY，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG = 42，则△CEF的面积是（）A．22B．2C．32D．42二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．分解因式：2327x-＝ .14．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=度.15．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为．16．使代数式有意义的x的取值范围是 .17．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则sin∠AFE的值为．18．函数2y x bx c=++与y x=的图象如图所示，有以下结论：①240b c->；②10b c++=；③360b c++=；④当13x<<时，2(1)0x b x c+-+<；其中正确的个数有个.第14题图第17题图第18题图三、解答题(本大题2个小题，每小题6分，共12分)x1y133O19．计算： 013133tan 308(2013)()3π--+---+o g20．先化简，再求值：23111x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中x ＝tan 602-o．四、解答题(本大题2个小题，每小题8分，共16分)21．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 人；（2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=26米，与亭子距离CE=18米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°．（注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）(1)求休息亭的铅直高度； (2) 求楼房AB 的高.(结果保留根号)五、解答题(本大题2个小题，每小题9分，共18分)23．某校为美化校园，计划对面积为1800m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？24.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作半圆⊙0，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5，sin ∠ADE=，求BF 的长．六、解答题(本大题2个小题，每小题10分，共20分)25.对于抛物线C:214y x m= (0m ≠,m 为常数),存在点F(0，m)和直线y m =- ，使抛物线C 上的任意一点到点F 和到直线y m =-的距离相等，我们把F 叫做抛物线C 的焦点，直线y m =-叫做抛物线C 的准线.(1)如图1，抛物线C ：214y x =的焦点为F,准线为l ，请直接写出F 的坐标和准线l 的解析式; (2)在图1中，抛物线C 的准线交y 轴于点C ，点A 是抛物线C 上任意一点，过A 作AB ⊥l 于点B ，连接FB交x 轴于点E ，连接CE.求证:2CE FO AB =g ; (3) 如图2，将抛物线218y x =沿x 轴向右平移1个单位后，得到抛物线C 1,此时抛物线C 1的焦点为F 1，准线为l 1，点N 的坐标为（5,5），点M 是抛物线C 1上的一动点，过点M 作MK ⊥l 1于点K ，连接MN,求MN MK -的最大值，并求出此时点M 的坐标.1图1 图226.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （m ，0）（0＜m＜2）、B （22，0），以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆的交点，连接BE 与AD 相交于点F ． （1）求证：BF ＝DO ；（2）若AE ︵＝DE ︵，试求经过B 、F 、O 三点的抛物线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，将抛物线l 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，若直线BE 向上平移t 个单位与新图象有两个公共点，试求t 的取值范围．AD C OE F x yB长郡教育集团2014-2015-2初三年级十三校联考期中考试数学试卷参考答案21. 解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人）………………….. （2分）（2）根据题意得：360°×=54°………………….. （1分）C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），如图：………………….. （1分）（3）根据题意得：4500×=900（人）………….. （1分）（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．………………….. （3分）22．解：(1)过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=12CE=1192=9米答：休息亭的铅直高度为9米…………………（4分）(2)BH=EF=9米，CF=9米,HE=BF=BC+CF=（26+9）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（26+9）米，∴AB=AH+HB=（35+9）米．答：楼房AB的高为（35+9）米．…………………（4分）23.解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；…………………（4分）（2）设安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+×0.25≤8解得：y≥10，答：至少应安排甲队工作10天．…………………（5分）24.解：（1）证明：连结OD，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC，∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；…………………（4分）（2）解：∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD==，而AB=10，∴AD=8，在Rt△ADE中，sin∠ADE==，∴AE=，∵OD ∥AE ，∴△FDO ∽△FEA ， ∴=，即=，∴BF=． …………………（5分）26.解：（1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAO ＝90°在△ABF 和△ADO 中，∵∠ABF ＝∠ADO ，AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAO∴△ABF ≌△ADO ，∴BF ＝DO ························································ 3分 （2）∵A （m ，0），B （22，0），∴OA ＝m ，OB ＝22，AB ＝22－m∵AE ︵＝DE ︵，∴∠EBO ＝∠EBD∵∠DAB ＝90°，∴BD 为直径，∴∠BEO ＝∠BED ＝90° 又∵BE ＝BE ，∴△BEO ≌△BED ，∴BD ＝BO ＝22 在Rt △BCD 中，∵BD ＝2AB ，∴22＝2(22－m ) ∴m ＝22－2∵△ABF ≌△ADO ，∴AF ＝AO ＝m ＝22－2 ∴点F 的坐标为（22－2，22－2） ∵抛物线l 经过O （0，0），B （22，0）∴设l 的解析式为y ＝ax (x －22)，将F （22－2，22－2）代入得：a ＝21∴抛物线l 的解析式为y ＝21x2－2x ··············································· 3分。
长郡双语实验学校初三第二次限时训练数学试卷与答案
长郡双语实验学校初三第二次限时训练数 学 试 卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1.-2的绝对值是( )11A. B.2 C. D.222- -2.我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67 500吨，用科学记数法表示这个数是( )A.6.75³103 吨B.67.5³103 吨C.6.75³104 吨D.6.75³105吨 3.16的平方根是( )A.4B.±4C.8 D ．±84.如图，直线l ∥m ，将含有45°角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若∠1=25°，则∠2的度数为( )A.20°B.25°C.30°D.35° 5.下列等式成立的是( )A.a 2.a 5=a 10+3)6=a 18a = 6．如图，是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是 ( )．7.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2.随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的概率是( )1125A. B. C. D.23368.分式方程12x 1x 1=-+的解是( )A.1B.-1C.3D.无解9.如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )x 10x 10x 10x 10A. B. C. D.2x 02x 0x 20x 20+≥+≤+≤+≥⎧⎧⎧⎧ ⎨⎨⎨⎨-≥-≥-≥-≥⎩⎩⎩⎩10、如图，△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ²CD ②BE 2＝EG ²AE③AE ²AD ＝AB ²AC ④AG ²EG ＝BG ²CG 其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11、分解因式：m 3一m= ． 12、已知：⎩⎨⎧=+=+73342b a b a 则a+b= ．13. 把方程x 2＋6x ＋3＝0变形为(x ＋h )2＝k 的形式后，h ＝ ，k ＝ ．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．15．一块直角边分别为6cm 和8cm 的三角木板，绕6cm 的边旋转一周，则斜边扫过的面积是2cm (结果用含π的式子表示).16. 如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一 交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c ＜0的解集是 .17. 如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方 形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．（第16题）18、若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是112-=-1，-1的差倒数为()11112=--，现已知121x x 3=-，是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依次类推，则x 2 014=____________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：012014--30tan 32）（π︒⋅+-20. （6分） 已知x =-32，求(1＋11x +)⋅(x ＋1)的值． 21. （8分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B 班征集到作品 件，请把图2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？ （3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参见学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写出用树状图或列表分析过程）ABCD α（第17题）1l3l 2l4lB22. （8分）己知：如图．△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 干点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD 。
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考数学一模试卷
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考数学一模试卷一、选择题（3×10=30分）1．（3分）下列计算错误的是（）A．﹣（﹣2）=2 B．C．2x2+3x2=5x2D．（a2）3=a52．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（4，3） C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．44．（3分）下列图象中，表示直线y=x+1的是（）A．B．C．D．5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，56．（3分）用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1 B．（a+2）2﹣5 C．（a+2）2+4 D．（a+2）2﹣97．（3分）如图所示，数轴上点P所表示的可能是（）A．B． C． D．8．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（）A．B． C．D．9．（3分）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤B．①②④C．①④D．①③④⑤10．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°二、填空题（3×8=24分）11．（3分）的倒数是．12．（3分）分解因式：2a2﹣2=．13．（3分）2014年4月29日是一个可以载入史册的日子，因为这一天，长沙步入地铁时代．紧接着的“五一”3天小长假，长沙地铁2号线总共发送乘客约920000人次，成为最火爆景点．其中920000用科学记数法可表示为（保留三个有效数字）．14．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为度．15．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是cm．16．（3分）如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是．17．（3分）在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB=7，CF=3，则=．18．（3分）当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是．（只填写序号）①y=2x；②y=2﹣x；③；④y=x2+6x+8．三、计算题（6×2=12分）19．（6分）计算：+（﹣）﹣1﹣2cos60°+（2﹣）0．20．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4=0．四、解答题（8×2=16分）21．（8分）暑假快要到了，某校准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图．（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC=CD；（2）求证：∠ADE=∠ABD；（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．五、解答题（9×2=18分）23．（9分）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=）24．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．六、解答题（10×2=20分）25．（10分）设x i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y=max{1，2}=2（1）求y=max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，}≥2②若函数y=max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．26．（10分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A （1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（3×10=30分）1．（3分）下列计算错误的是（）A．﹣（﹣2）=2 B．C．2x2+3x2=5x2D．（a2）3=a5【分析】分别根据二次根式的化简、合并同类项、幂的乘方的性质进行计算．【解答】解：A、﹣（﹣2）=2，正确；B、=2，正确；C、2x2+3x2=5x2，正确；D、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．故选：D．【点评】（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、二次根式的化简、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．（2）合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并．2．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（4，3） C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得到点（4，﹣3）关于y 轴对称的点的坐标．【解答】解：点（4，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（﹣4，﹣3），故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4【分析】根据根与系数的关系直接解答．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的两个根，∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．（3分）下列图象中，表示直线y=x+1的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数解析式计算出函数图象与x、y轴的交点坐标，然后画出图象，可得答案．【解答】解：当y=0时，x=﹣1，当x=0时，y=1，因此直线与x轴交于（﹣1，0），与y轴交于（0，1），故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数图象，关键是正确计算出函数图象与两坐标轴的交点坐标．5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，5【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．【解答】解：跳高成绩为170的人数最多，故跳高成绩的众数为170；共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为165，故中位数为165；故选：A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候注意数据的奇偶性．6．（3分）用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1 B．（a+2）2﹣5 C．（a+2）2+4 D．（a+2）2﹣9【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【解答】解：a2+4a﹣5=a2+4a+4﹣4﹣5=（a+2）2﹣9，故选：D．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．7．（3分）如图所示，数轴上点P所表示的可能是（）A．B． C． D．【分析】先对四个选项中的无理数进行估算，再由p点所在的位置确定点p的取值范围，即可求出点P表示的可能数值．【解答】解：设点P表示的实数为x，由数轴可知，3＜x＜3.5，2＜＜3，3＜＜4，符合题意的数为B．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．8．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（）A．B． C．D．【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．【解答】解：从正五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．9．（3分）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤B．①②④C．①④D．①③④⑤【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【解答】解：①任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；②任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；⑤正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．故选：B．【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意一种多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．10．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°【分析】根据圆周角定理，可求得∠A的度数；由于四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A，由此可求得∠DCE的度数．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE=∠A=50°．故选C．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理的应用．二、填空题（3×8=24分）11．（3分）的倒数是2014．【分析】根据倒数定义：乘积是1的两数互为倒数可得答案．【解答】解：的倒数是2014，故答案为：2014．【点评】此题主要考查了倒数，关键是以掌握倒数定义．12．（3分）分解因式：2a2﹣2=2（a+1）（a﹣1）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2a2﹣2，=2（a2﹣1），=2（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（3分）2014年4月29日是一个可以载入史册的日子，因为这一天，长沙步入地铁时代．紧接着的“五一”3天小长假，长沙地铁2号线总共发送乘客约920000人次，成为最火爆景点．其中920000用科学记数法可表示为9.20×105（保留三个有效数字）．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于920000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：920000=9.20×105，故答案为：9.20×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．14．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为36度．【分析】根据两个角的和等于180°，这两个角互为补角，设这个角为x，列一元一次方程求解即可．【解答】解：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x，根据题意，得180°﹣x=4x，解得x=36°，故这个角为36°．【点评】本题主要考查补角的定义，根据补角的定义设未知数并列方程是解题的关键．15．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是cm．【分析】钟表的分针经过40分钟转过的角度是240°，即圆心角是240°，半径是5cm，弧长公式是l=，代入就可以求出弧长．【解答】解：圆心角的度数是：360°×=240°，弧长是=cm．【点评】正确记忆弧长公式是解题的关键．16．（3分）如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是．【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中红色部分占3份，∴落在阴影区域的概率==．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．17．（3分）在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB=7，CF=3，则=．【分析】由平行四边形的性质知：CD=AB=7，由此可求出DF、CF的比例关系；易证得△ADF∽△ECF，可根据相似三角形的对应边成比例求出AD、CE的比例关系式．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7，AD∥BE，∴△ADF∽△ECF；∴，∵CF=3，DF=CD﹣CF=4，∴=．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，充分利用相似三角形对应边长成比例来求解．18．（3分）当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是①④．（只填写序号）①y=2x；②y=2﹣x；③；④y=x2+6x+8．【分析】根据每一个函数的性质及﹣2＜x＜2，结合图象判断函数值y随自变量x增大而增大的函数．【解答】解：①y=2x，正比例函数，∵2＞0，函数值y随自变量x增大而增大，故①正确；②y=2﹣x，一次函数，∵﹣1＜0，函数值y随自变量x增大而减小，故②错误；③，反比例函数，当﹣2＜x＜2时，增减性在﹣2＜x＜0和0＜x＜2时不同，故③错误；④y=x2+6x+8，二次函数，对称轴为x=﹣3，开口向上，当﹣2＜x＜2时，函数值y随自变量x增大而增大，故④正确．故答案为：①④．【点评】主要考查了函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a ≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y 随x的增大而减小．正比例函数中当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y 随x的怎大而减小．三、计算题（6×2=12分）19．（6分）计算：+（﹣）﹣1﹣2cos60°+（2﹣）0．【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=3﹣2﹣2×+1=3﹣2﹣1+1=1【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4=0．【分析】先把除法化为乘法，再利用分配律将原式进行化简，再把x2﹣2x﹣4=0代入求解即可．【解答】解：原式=×（x+1）=x2﹣2x﹣5，∵x满足x2﹣2x﹣4=0，∴x2﹣2x=4，∴原式=4﹣5=﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，解答此题的关键是把x2﹣2x看作一个整体代入原式求解．四、解答题（8×2=16分）21．（8分）暑假快要到了，某校准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图．（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？【分析】（1）假设出去B地的人数为x，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可；（2）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，∴设去B地的人数为x人，×100%=40%，解得：x=40，答：去B地的人数为40人；（2）列表：∴姐姐能参加的概率P（姐姐）==，弟弟能参加的概率为P（弟弟）=，∵P（姐姐）＜P（弟弟），∴不公平．【点评】此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识，正确列举出所有可能是解题关键．22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC=CD；（2）求证：∠ADE=∠ABD；（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．【分析】（1）由切线长定理，只需证明CB为⊙O的切线，再由已知的OB与AC 切于点D，即可得出证明；（2）根据已知及等角的余角相等不难求得结论．（3）易得：△ADE∽△ABD，进而可得=；代入数据计算可得BE=3；即⊙O 直径的长为3．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴OB⊥BC．（1分）∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．（2分）又∵CD切⊙O于点D，∴BC=CD．（3分）（2）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE=90°．∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）又∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）由（1）得BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．∴∠ADE=∠ABD．（6分）（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABD．（7分）∴=．（8分）∴=．∴BE=3．（9分）∴所求⊙O的直径长为3．（10分）【点评】此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的运用．五、解答题（9×2=18分）23．（9分）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=）【分析】（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意列式计算而得到结果，并检验是原方程的解，而求得．（2）设售价为每千克a元，求得关系式，又由630a≥7500×1.26，而解得．【解答】解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：，解得x=200，经检验x=200是原方程的解，∴x+2.5x=700，答：这两批水果共购进700千克；（2）设售价为每千克a元，则：，630a≥7500×1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元．【点评】本题考查了分式方程的应用，由已知条件列方程，并根据自变量的变化范围来求值．24．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD长为5．【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．六、解答题（10×2=20分）25．（10分）设x i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y=max{1，2}=2（1）求y=max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，}≥2②若函数y=max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．【分析】（1）根据规定，分x≥3和x＜3两种情况求解；（2）①画出函数y=x+1和y=的图象得到交点坐标为（1，2），然后根据规定写出不等式的解集即可；②画出函数y=|x﹣1|，y=x2﹣4x+3的图象，可知最小值为y=x+a与抛物线的交点，令y=1根据抛物线解析式求出x的值，再代入直线解析式求出a的值即可．【解答】解：（1）y=；（2）①由图可知，两函数图象交点为（1，2），∴不等式max{x+1，}≥2的解集为x＞0；②由图可知，最小值为y=x+a与抛物线y=x2﹣4x+3的交点，∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣，x2=2+（舍去），∴×（2﹣）+a=1，解得a=．【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，以及作函数图象，读懂题目信息，理解y=max{x1，x2，x3，…，x n}的意义是解题的关键．26．（10分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A （1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设出此抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可；（2）由与t的取值范围不能确定，故应分三种情况进行讨论，，过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△OPQ ①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积；②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，，由梯形的面积公式即可求解；重叠部分的面积是S梯形OAGP．③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC ﹣S△BMN，进而可求出答案；（3）利用已知得出∠BAO=∠QPC，只要=或者=即可得出以C、P、Q 为顶点的三角形与△OAB相似，进而求出即可；（4）根据图形旋转的性质可求出将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°时P、Q两点的坐标，再根据抛物线的解析式即可求出t的值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：，解得：，故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，如图1．在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．∴OQ=PQ=t．∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2（0＜t≤2）；②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ=∠QOP=45°∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t﹣2．∴S=S梯形AOPE=（AE+OP）•AD=（t﹣2+t）×1=t﹣1（2＜t≤3）；③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，重叠部分为五边形AOCFE，如图3．∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t﹣3．∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形∴BE=BF=1﹣（t﹣3）=4﹣t∴S=S=S梯形OABC﹣S△BEF，五边形AOCFE=（2+3）×1﹣（4﹣t）2=﹣t2+4t﹣（3＜t＜4）；（3）连接QC，OB，∵AB∥OC，∴∠BAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=45°，∠OQP=90°，∴∠QPO=45°，∵∠QPO+∠QPC=180°，∴∠BAO=∠QPC，只要=或者=即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，得出：3﹣t=×t 或3﹣t=×t解得：t=2或t=；（4）存在，t1=1，t2=2．将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）①当点Q在抛物线上时，=﹣×（t+）2+×（t+），解得t=2；②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得：t=1．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积公式、梯形的面积公式及图形旋转的性质，涉及面较广，难度较大．。
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考一模数学试卷(解析版)
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考数学一模试卷一、选择题（3×10＝30分）1．（3分）下列计算错误的是（）A．﹣（﹣2）＝2B．C．2x2+3x2＝5x2D．（a2）3＝a52．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1B．﹣1C．﹣4D．44．（3分）下列图象中，表示直线y＝x+1的是（）A．B．C．D．5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A．1.65，1.70B．1.70，1.65C．1.70，1.70D．3，56．（3分）用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2+4D．（a+2）2﹣97．（3分）如图所示，数轴上点P所表示的可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（）A．B．C．D．9．（3分）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤B．①②④C．①④D．①③④⑤10．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°二、填空题（3×8＝24分）11．（3分）的倒数是．12．（3分）分解因式：2a2﹣2＝．13．（3分）2014年4月29日是一个可以载入史册的日子，因为这一天，长沙步入地铁时代．紧接着的“五一”3天小长假，长沙地铁2号线总共发送乘客约920000人次，成为最火爆景点．其中920000用科学记数法可表示为（保留三个有效数字）．14．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为度．15．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是cm．16．（3分）如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是．17．（3分）在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7，CF＝3，则＝．18．（3分）当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是．（只填写序号）①y＝2x；②y＝2﹣x；③；④y＝x2+6x+8．三、计算题（6×2＝12分）19．（6分）计算：+（﹣）﹣1﹣2cos60°+（2﹣）0．20．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0．四、解答题（8×2＝16分）21．（8分）暑假快要到了，某校准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图．（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC＝CD；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．五、解答题（9×2＝18分）23．（9分）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率＝）24．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．六、解答题（10×2＝20分）25．（10分）设x i（i＝1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y＝max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y＝max{1，2}＝2（1）求y＝max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，}≥2②若函数y＝max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．26．（10分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O 或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（3×10＝30分）1．（3分）下列计算错误的是（）A．﹣（﹣2）＝2B．C．2x2+3x2＝5x2D．（a2）3＝a5【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，正确；B、＝2，正确；C、2x2+3x2＝5x2，正确；D、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．故选：D．2．（3分）在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）【解答】解：点（4，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（﹣4，﹣3），故选：A．3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1B．﹣1C．﹣4D．4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣（﹣4）＝4．故选：D．4．（3分）下列图象中，表示直线y＝x+1的是（）A．B．C．D．【解答】解：当y＝0时，x＝﹣1，当x＝0时，y＝1，因此直线与x轴交于（﹣1，0），与y轴交于（0，1），故选：B．5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A．1.65，1.70B．1.70，1.65C．1.70，1.70D．3，5【解答】解：跳高成绩为170的人数最多，故跳高成绩的众数为170；共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为165，故中位数为165；故选：A．6．（3分）用配方法将代数式a2+4a﹣5变形，结果正确的是（）A．（a+2）2﹣1B．（a+2）2﹣5C．（a+2）2+4D．（a+2）2﹣9【解答】解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣4﹣5＝（a+2）2﹣9，故选：D．7．（3分）如图所示，数轴上点P所表示的可能是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P表示的实数为x，由数轴可知，3＜x＜3.5，2＜＜3，3＜＜4，符合题意的数为B．故选：B．8．（3分）如图中的正五棱柱的左视图应为（）A．B．C．D．【解答】解：从正五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B．9．（3分）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是（）①三角形；②四边形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形．A．③④⑤B．①②④C．①④D．①③④⑤【解答】解：①任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；②任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；⑤正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能密铺．故选：B．10．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为（）A．40°B．60°C．50°D．80°【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE＝∠A＝50°．故选C．二、填空题（3×8＝24分）11．（3分）的倒数是2014．【解答】解：的倒数是2014，故答案为：2014．12．（3分）分解因式：2a2﹣2＝2（a+1）（a﹣1）．【解答】解：2a2﹣2，＝2（a2﹣1），＝2（a+1）（a﹣1）．13．（3分）2014年4月29日是一个可以载入史册的日子，因为这一天，长沙步入地铁时代．紧接着的“五一”3天小长假，长沙地铁2号线总共发送乘客约920000人次，成为最火爆景点．其中920000用科学记数法可表示为9.20×105（保留三个有效数字）．【解答】解：920000＝9.20×105，故答案为：9.20×105．14．（3分）如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为36度．【解答】解：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x，根据题意，得180°﹣x＝4x，解得x＝36°，故这个角为36°．15．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是cm．【解答】解：圆心角的度数是：360°×＝240°，弧长是＝cm．16．（3分）如图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是．【解答】解：∵圆被等分成6份，其中红色部分占3份，∴落在阴影区域的概率＝＝．17．（3分）在▱ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若AB＝7，CF＝3，则＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝7，AD∥BE，∴△ADF∽△ECF；∴，∵CF＝3，DF＝CD﹣CF＝4，∴＝．18．（3分）当﹣2＜x＜2时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是①④．（只填写序号）①y＝2x；②y＝2﹣x；③；④y＝x2+6x+8．【解答】解：①y＝2x，正比例函数，∵2＞0，函数值y随自变量x增大而增大，故①正确；②y＝2﹣x，一次函数，∵﹣1＜0，函数值y随自变量x增大而减小，故②错误；③，反比例函数，当﹣2＜x＜2时，增减性在﹣2＜x＜0和0＜x＜2时不同，故③错误；④y＝x2+6x+8，二次函数，对称轴为x＝﹣3，开口向上，当﹣2＜x＜2时，函数值y随自变量x增大而增大，故④正确．故答案为：①④．三、计算题（6×2＝12分）19．（6分）计算：+（﹣）﹣1﹣2cos60°+（2﹣）0．【解答】解：原式＝3﹣2﹣2×+1＝3﹣2﹣1+1＝120．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0．【解答】解：原式＝×（x+1）＝x2﹣2x﹣5，∵x满足x2﹣2x﹣4＝0，∴x2﹣2x＝4，∴原式＝4﹣5＝﹣1．四、解答题（8×2＝16分）21．（8分）暑假快要到了，某校准备组织同学们分别到A，B，C，D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图．（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数？（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定．父亲说：现有4张卡片上分别写有1，2，3，4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加．用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？【解答】解：（1）∵去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，∴设去B地的人数为x人，×100%＝40%，解得：x＝40，答：去B地的人数为40人；（2）列表：∴姐姐能参加的概率P（姐姐）＝＝，弟弟能参加的概率为P（弟弟）＝，∵P（姐姐）＜P（弟弟），∴不公平．22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC＝CD；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．（1分）∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．（2分）又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD．（3分）（2）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．∴∠ADE+∠CDB＝90°．（4分）又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°．（5分）由（1）得BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠ABD．（6分）（3）解：由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD．（7分）∴＝．（8分）∴＝．∴BE＝3．（9分）∴所求⊙O的直径长为3．（10分）五、解答题（9×2＝18分）23．（9分）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率＝）【解答】解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：，解得x＝200，经检验x＝200是原方程的解，∴x+2.5x＝700，答：这两批水果共购进700千克；（2）设售价为每千克a元，则：，630a≥7500×1.26，∴，∴a≥15，答：售价至少为每千克15元．24．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，所以MD长为5．六、解答题（10×2＝20分）25．（10分）设x i（i＝1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y＝max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y＝max{1，2}＝2（1）求y＝max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式max{x+1，}≥2②若函数y＝max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．【解答】解：（1）y＝；（2）①由图可知，两函数图象交点为（1，2），∴不等式max{x+1，}≥2的解集为x＞0；由图可知，最小值为y＝x+a与抛物线y＝x2﹣4x+3的交点，∴x2﹣4x+3＝1，解得x1＝2﹣，x2＝2+（舍去），∴×（2﹣）+a＝1，解得a＝．26．（10分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O 或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx（a≠0），将A．B点坐标代入得出：，解得：，故经过O、A、B三点的抛物线解析式为：y＝﹣x2+x．（2）①当0＜t≤2时，重叠部分为△OPQ，过点A作AD⊥x轴于点D，如图1．在Rt△AOD中，AD＝OD＝1，∠AOD＝45°．在Rt△OPQ中，OP＝t，∠OPQ＝∠QOP＝45°．∴OQ＝PQ＝t．∴S＝S△OPQ＝OQ•PQ＝×t×t＝t2（0＜t≤2）；②当2＜t≤3时，设PQ交AB于点E，重叠部分为梯形AOPE，作EF⊥x轴于点F，如图2．∵∠OPQ＝∠QOP＝45°∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE＝DF＝t﹣2．∴S＝S梯形AOPE＝（AE+OP）•AD＝（t﹣2+t）×1＝t﹣1（2＜t≤3）；③当3＜t＜4时，设PQ交AB于点E，交BC于点F，重叠部分为五边形AOCFE，如图3．∵B（3，1），OP＝t，∴PC＝CF＝t﹣3．∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形∴BE＝BF＝1﹣（t﹣3）＝4﹣t∴S＝S五边形AOCFE ＝S梯形OABC﹣S△BEF，＝（2+3）×1﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣（3＜t＜4）；（3）连接QC，OB，∵AB∥OC，∴∠BAO+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝45°，∠OQP＝90°，∴∠QPO＝45°，∵∠QPO+∠QPC＝180°，∴∠BAO＝∠QPC，只要＝或者＝即可得出以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，得出：3﹣t＝×t或3﹣t＝×t解得：t＝2或t＝；（4）存在，t1＝1，t2＝2．将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）①当点Q在抛物线上时，＝﹣×（t+）2+×（t+），解得t＝2；②当点O在抛物线上时，t＝﹣t2+t，解得：t＝1．。
2013-2014学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级(下)第七次月考数学试卷
2013-2014学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级（下）第七次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a3•a4=a12B．a10÷a2=a5C．a2+a3=a5 D．4a﹣a=3a3．（3分）2010央视为青海玉树县举办的赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学记数法表示为（）A．2.175×108元B．2.175×107元C．2.175×109元D．2.175×106元4．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA5．（3分）对于函数，下列说法错误的是（）A．它的图象分布在一、三象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小6．（3分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，则AB的长度为（）A．9 B．12 C．18 D．6+37．（3分）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2 B．C．1 D．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）下列命题正确的是（）个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似；②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为75°③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1；⑤三角形三条角平分线的交点是三角形的内心．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．1 B．12 C．13 D．25二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知∠A=20°，则∠A的余角等于度．12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于第象限．13．（3分）下列各数：，0，，0.23，cos60°，，0.303003…，1﹣中无理数有个．14．（3分）分解因式：4x2﹣2x=．15．（3分）若=（x+y）2，则x﹣y的值为．16．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．17．（3分）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为cm．18．（3分）已知关于x 的方程的解是正数，则m的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：（）﹣2﹣4tan45°﹣+|3﹣π|20．（6分）某中学准备搬迁新校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该学生如何到校进行了一次调查，并将调查结果制成了表格，条形图和扇形图统计图，请你根据图表信息完成下列各题．①此次共调查了多少位学生？②请将表格填充完整．③请将条形统计图补充完整．21．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为BC上一点，且BD=2，∠BDA=105°．（1）求AD的长度；（2）求cos∠DAC的值．22．（8分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求EB的长度．23．（9分）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？24．（9分）已知：如图，以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B，直线l的解析式为y=x+（1）求证：直线l与⊙C相切；（2）求图中阴影部分的面积．25．（10分）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q （除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．26．（10分）如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE 为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的？（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．2013-2014学年湖南省长沙市长郡双语实验中学九年级（下）第七次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C．D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．【解答】解：|﹣6|=6，故选：A．【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）下列运算中，结果正确的是（）A．a3•a4=a12B．a10÷a2=a5C．a2+a3=a5 D．4a﹣a=3a【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为a3•a4=a7，故本选项错误；B、应为a10÷a2=a8，故本选项错误；C、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、4a﹣a=3a，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及合并同类项，比较简单．3．（3分）2010央视为青海玉树县举办的赈灾晚会共募得善款21.75亿元．把21.75亿元用科学记数法表示为（）A．2.175×108元B．2.175×107元C．2.175×109元D．2.175×106元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：21.75亿=12 7500 0000=2.175×109，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D 不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．5．（3分）对于函数，下列说法错误的是（）A．它的图象分布在一、三象限B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵函数y=中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；B、∵函数y=是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x 的增大而减小．6．（3分）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，则AB的长度为（）A．9 B．12 C．18 D．6+3【分析】过点C作CE∥AD交AB于点E，从而可得到四边形AECD为菱形，由已知可推出△BCE是直角三角形，根据三角函数可求得BE的长，从而可得到AB的长．【解答】解：过点C作CE∥AD交AB于点E，∵AB∥CD，CE∥AD，AD=CD=6，∴四边形AECD为菱形，∴AE=CE=AD=6；由CE∥AD得∠CEB=∠A=60°；在△ECB中，∠CEB=60°，∠B=30°，∴∠ECB=90°，根据“直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半”得EB=2CE=12，故AB=6+12=18．故选：C．【点评】本题考查梯形，菱形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为菱形和直角三角形，从而由菱形和直角三角形的性质来求解．7．（3分）一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2 B．C．1 D．【分析】先判断出多边形的边数，再求多边形的半径．【解答】解：设多边形的边数为n．因为正多边形内角和为（n﹣2）•180°，正多边形外角和为360°，根据题意得：（n﹣2）•180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为6边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2，故选：A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c=0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y=位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．9．（3分）下列命题正确的是（）个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似；②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为75°③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1；⑤三角形三条角平分线的交点是三角形的内心．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别利用相似三角形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及三角形的内心分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①40°角为内角的两个等腰三角形必相似，错误；②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为75°，错误；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，正确；⑤三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，正确，故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质及三角形的内心，难度不大．10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．1 B．12 C．13 D．25【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=﹣，x1x2=，根据x12+x22=7，将（x1+x2）2﹣2x1x2=7，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2求出即可．【解答】解：∵x12+x22=7，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=7，∴m2﹣2（2m﹣1）=7，∴整理得：m2﹣4m﹣5=0，解得：m=﹣1或m=5，∵△=m2﹣4（2m﹣1）≥0，当m=﹣1时，△=1﹣4×（﹣3）=13＞0，当m=5时，△=25﹣4×9=﹣11＜0，∴m=﹣1，∴一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0为：x2+x﹣3=0，∴（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=7﹣2×（﹣3）=13．故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及运用配方法将公式正确的变形，这是解决问题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知∠A=20°，则∠A的余角等于70°度．【分析】根据余角的定义解答即可．【解答】解：∠A的余角=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．【点评】本题主要考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）位于第四象限．【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．【解答】解：因为点A（2，﹣3）的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点A在平面直角坐标系的第四象限．故答案为：四．【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．13．（3分）下列各数：，0，，0.23，cos60°，，0.303003…，1﹣中无理数有3个．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，0.303003…，1﹣是无理数，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．14．（3分）分解因式：4x2﹣2x=2x（2x﹣1）．【分析】可用提公因式法分解，公因式是2x．【解答】解：4x2﹣2x=2x（2x﹣1）．故答案为2x（2x﹣1）．【点评】此题考查运用提公因式法分解因式，确定公因式是关键．15．（3分）若=（x+y）2，则x﹣y的值为2．【分析】二次根号下为非负数，所以在=（x+y）2，可得出x的值，即得出等式左边的值，即可得出y的值，代入x﹣y即可代数式的值．【解答】解：根据题意，，解得x=1；把x=1代入=（x+y）2，解得y=﹣1，所以，x﹣y=2．【点评】考查了二次根式基本性质的运用，需要熟练掌握．16．（3分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．17．（3分）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，这个圆锥的高为2cm．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥高满足勾股定理，据此即可求得圆锥的高．【解答】解：设圆锥底面的半径是r，则2πr=4π，则r=2．则圆锥的高是：=2cm．故答案是：2．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．18．（3分）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m＞﹣6且m．≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．【解答】解：解关于x 的方程得x=m+6，∵x﹣2≠0，解得x≠2，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：（）﹣2﹣4tan45°﹣+|3﹣π|【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算就看到的结果．【解答】解：原式=9﹣4﹣2+π﹣3=π．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）某中学准备搬迁新校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该学生如何到校进行了一次调查，并将调查结果制成了表格，条形图和扇形图统计图，请你根据图表信息完成下列各题．①此次共调查了多少位学生？②请将表格填充完整．③请将条形统计图补充完整．【分析】（1）根据步行的人数60人占总体的20%进行计算总人数；（2）根据扇形统计图中各部分所占的百分比进行计算各部分的人数；（3）根据（2）中的数据补全统计图即可．【解答】解：（1）调查的学生人数为：60÷20%=300；（2）骑自行车的有300×30%=90（人）；坐公共汽车的有300×40%=120（人）；其他有300×10%=30（人）．如下表（3）如图【点评】本题考查了条形图与扇形图综合应用，培养学生从统计图中获取信息的能力，绘图的技能，本试题突出考查学生在学习数学和运用数学解决问题过程中最为重要的也是必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能．强化对数学通性通法的考查．21．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为BC上一点，且BD=2，∠BDA=105°．（1）求AD的长度；（2）求cos∠DAC的值．【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据sin∠DBE=，得出DE的长，再根据∠DAE=180°﹣45°﹣105°=30°，即可求出AD；（2）设CD=x，则AC=BC=2+x，在Rt△ACD中，根据勾股定理AC2+CD2=AD2，求出x的值，从而得出AC的值，最后根据余弦定理即可得出答案．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，∵sin∠DBE=，∴DE=sin45°×2=2，∵∠BDA=105°，∴∠DAE=180°﹣45°﹣105°=30°，∴AD=2DE=4；（2）设CD=x，则AC=BC=2+x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴（2+x）2+x2=42，解得：x1=﹣，x2=﹣﹣（舍去），∴AC=2+﹣=+，∴cos∠DAC==．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、余弦定理、三角形内角和定理，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．22．（8分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD且EB⊥GD；（2）若AB=2，AG=，求EB的长度．【分析】（1）在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB从而△GAD≌△EAB，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；（2）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在Rt△ABD中求得DB，利用勾股定理即可求得结果．【解答】证明：（1）如图1，在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD∴∠GAD=∠EAB，∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，在△GAD和△EAB中，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，∵∠EOH=∠AOG，∴∠EHG=∠EAG=90°，∴EB=GD且EB⊥GD；（2）如图2，连接BD，BD与AC交于点O，∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB==2，∴AO=，∴OG=OA+AG=+=2，∴EB=GD===．【点评】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，利用三角形全等是解题的关键．23．（9分）整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？【分析】（1）等量关系为：甲出厂价+乙出厂价=6.6；甲零售价+乙零售价=33.8；（2）关系式为：甲药品的利润+乙药品的利润≥900；乙种药品箱数≥40．【解答】解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元．则根据题意列方程组得：，解之得：，∴5×3.6﹣2.2=18﹣2.2=15.8（元）6×3=18（元），答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元；（2）设购进甲药品z箱（z为非负整数），购进乙药品（100﹣z）箱．则根据题意列不等式组得：，解得：57≤z≤60，则z可取：58，59，60，此时100﹣z的值分别是：42，41，40；有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱．【点评】找到相应的关系式是解决本题的关键，注意不低于意思是大于或等于；不超过意思是小于或等于．24．（9分）已知：如图，以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B，直线l的解析式为y=x+（1）求证：直线l与⊙C相切；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）作CD⊥l于D，设直线l交x轴与E，交y轴于F，由解析式求得，∠E=30°，E（﹣5，0），F（0，），通过解直角三角形函数求得OD=2=半径，即可证得结论；（2）根据S阴影=S△EOF﹣S扇形CAG﹣S△OCG求得即可．【解答】（1）证明：作CD⊥l于D，设直线l交x轴与E，交y轴于F，由直线l的解析式为y=x+可知，∠E=30°，令y=0，则x+=0，解得x=﹣5，∴E（﹣5，0），令x=0，则y=，∴F（0，），∵C（﹣1，0），∴EC=4，∴OD=EC=2，∵⊙C的半径为2，∴直线l与⊙C相切；（2）解：设⊙C于y轴交于G点，∵CG=2，OC=1，∴∠OCG=60°，∴∠AOG=2=120°，OG=CG=，∴S阴影=S△EOF﹣S扇形CAG﹣S△OCG=×5×﹣﹣×1×=﹣．【点评】本题考查了切线的判定，一次函数的性质，解直角三角形以及扇形面积的计算等，求得∠OCG=60°是解题的关键．25．（10分）如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q （除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M 两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M 的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x2），A（4﹣x，4x﹣x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解；（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP、OQ当底时，共有5个点符合条件．【解答】解：（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）．设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+4，过点M（4，0），则4a+4=0，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+4=4x﹣x2，即y=﹣x2+4x；（2）设C（x，0），则B（4﹣x，0），D（x，4x﹣x2），A（4﹣x，4x﹣x2）．∵l=2（BC+CD）=2[（4﹣2x）+（4x﹣x2）]=2（﹣x2+2x+4）=﹣2（x﹣1）2+10，=10；∵当x=1时，l有最大值，即l最大值（3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点，以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外），以P为圆心，OP为半径画圆，圆与抛物线也有1个交点（除O点以外）．这5个点都符合题意．【点评】能够根据已知条件选择恰当的待定系数法求得二次函数的解析式；能够利用建立函数关系式的方法求得周长或面积的最值；若要构成等腰三角形，则已知的边可以当底，也可以当腰．26．（10分）如图，在△ABC中，BC=12，AB=10，sinB=，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B 运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE 为边，在点A的异侧作正方形DEFG．设运动时间为t，（1）t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；（2）当GF运动到△ABC外时，EF、DG分别与BC交于点P、Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的？（3）设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．【分析】（1）根据题意作辅助线，然后根据相似三角形比例关系即可得出t的值；（2）根据题意将三角形面积用t表示出来，然后解方程即可；（3）分两种情况讨论得出答案．【解答】解：过点A作BC边上的高AM，垂足为M，交DE于N．∵AB=10，sinB=，∴AM=ABsinB=6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴DE=t，AN=t，MN=6﹣t．（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图1，DE=DG=MN，即t=6﹣t，∴t=，∴当t=时，正方形DEFG的边GF在BC上；（2）当GF运动到△ABC外时，如图2，S△CEP+S△BDQ==S△ABC=令（12﹣t）（6﹣t）=×36，解得t1=15（舍去），t2=5，∴当t=5时，△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的；（3）分两种情况：①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图3，S=DE2=（t）2=t2，此时t的范围是0≤t≤，当t=时，S的最大值为16．②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图2，S=DE•MN=t（6﹣t）=﹣t2+t，此时t的范围是＜t≤10，∵﹣＜0，∴当t=5时，S的最大值为18，∵18＞16，∴S的最大值为18．【点评】本题主要考查了作辅助线、相似三角形的证明及性质、二次函数最值及正方形的性质，难度较大．。
长郡双语实验中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题(word原卷)
初三数学作业精选练习一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中属于随机事件的是（）A．若今天是星期一，则明天是星期二B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上D．抛出的篮球会下落3．下列关于反比例函数y=−6xx的结论中正确的是（）A．图象过点（2，3）B．当x＝﹣1时，y＝6C．在每个象限内，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y＞04．如图，两条直线被三条平行线所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，则EF为（）A．5B．6C．7D．85．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）6．若圆锥的底面半径是3cm，母线长5cm，则这个圆锥侧面展开图的面积是（）A．30πcm2B．25πcm2C．20πcm2D．15πcm27．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，4），B（6，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（6，8） B．（4，4）或（﹣4，﹣4）C．（﹣6，﹣8） D．（6，8）或（﹣6，﹣8）8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AE ＝8，BE ＝2，则线段CD 的长为（ ）A ．8B ．5C ．4D ．39．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于54mm 3 B ．不小于45mm 3C ．小于54mm 3D ．小于45mm 310．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，AB ⊥y 轴于点B ，函数yy =kk xx（k ＞0，x ＞0）的图象与线段AB 交于点C ，且AB ＝3BC ．若△AOB 的面积为12，则k 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．某随机事件在试验过程中发生的频率如下表所示：试验次数 20 50 100 300 500 1000 5000事件发生的频率0.3000.3600.3500.3500.3520.3510.351通过试验估算这个事件发生的概率是 （精确到0.01）． 12．点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．13．若关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝ ．14．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝60°，⊙O与边AB，AC的另一个交点分别为D，E．则∠AED 的大小为°．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC＝2：3，AC与DE相交于点F，若△AFD 周长为6，则△EFC周长为．16．如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠APC＝∠ACB，若AP＝4，AC＝6，则AB的长为．第14题图第15题图第16题图三．解答题（共8小题，共72分）17．（6分）计算：√8+|√2−1|−ππ0+(12)−1．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（x﹣y），其中x=−38，y＝4．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．20．（8分）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：（1）这次抽样调查共抽取人，条形统计图中的m＝；（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；（3）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．21．（8分）已知反比例函数yy1=kk xx的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．连接AO，BO．（1）求△AOB的面积．（2）观察图象，直接写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；22．（9分）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元．（1）A 型与B 型汽车每辆的进价分别是多少万元？（2）该公司计划购进A 型与B 型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A 型汽车的数量少于B 型汽车的数量，请你列举出所有购买方案．23．（9分）如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点E ，与AC 交于点D ．（1）求证：AD ＝ED ； （2）若AC ＝6．①设CE ＝x ，⊙O 的半径为r ，求r 关于x 的函数表达式． ②当x ＝r 时，求图中阴影部分的面积．24．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为y 1，y 2，恒有点（x ，y 1）和点（x ，y 2）关于点)21,(x x 成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：x y 43=和x y 41=互为“友好函数”． （1）判断：①y ＝﹣x 和y ＝2x ；②321+=x y 和3-21x y =；③1212+=x y 和1-212x y =，其中互为“友好函数”的是 （填序号）．（2）若函数y ＝2x ﹣4的“友好函数”与反比例函数）（0≠=m xmy 的图象在第一象限内有两个交点C 和D ．①求m 的取值范围；②若△COD 的面积为24，求m 的值．（3）若M （1，m ），N （3，n ），P （t ，m ）三个不同的点均在二次函数y ＝﹣ax 2+（1﹣b ）x ﹣c （a ，b ，c 为常数，且a ＞0）的“友好函数”的图象上，且满足m ＜n ＜c ，若存在常数w ，使得2412+−−>t t w 恒成立，求w 的取值范围．25．（10分）如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AD 为⊙O 的直径，过点C 作CG ⊥AD 于点E ，交AB 于F ，交⊙O 于G ．连接AG ． （1）若∠B=30°，求∠DAC 度数； （2）若AG=5，求AF •AB 的值； （3）若10,(05),AB AG x x记19722025+×+×××=BCCF AD AE FG CB y ，求y 的最大值．。
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷(二)
2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各组数中，与﹣2014互为相反数的是（）A．B．2014 C．﹣D．﹣20142．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．明天一定不下雨B．一个袋中装有5个红球，从中摸出一个是红球C．购买1张彩票，中奖D．随意翻到一本书的某项，这页的页码是奇数3．（3分）如图，与∠1互为同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．（3分）下列运算正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．（a2）3=a5D．a2•a2=a45．（3分）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜46．（3分）如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A． B．C．D．7．（3分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．88．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠29．（3分）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，两等圆圆A，圆B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．πB．C．D．10．（3分）关于x的方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．8 C．4D．0或8二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）比较大小：（填“＞”“＜”“=”）．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于．13．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为．14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围为 ．15．（3分）若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k 的值是 ．16．（3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，OC ⊥AB 于C ，则OC 的长等于 ．17．（3分）“莫言荣获2012年诺贝尔文学奖”后，全社会掀起了莫言热”．某校文学社在九年级五个班的学生中就“阅读过莫言作品的人数”进行调查，调查结果如下：则这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为 ．18．（3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD=CD ，AD=1，BC=8，∠BDC=90°，则AB 的长为 ．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+2（π﹣2014）0﹣4sin45°+（﹣1）3．20．（6分）化简求值：++，其中a=2，b=． 21．（8分）为了建设“魅力校园”，某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服．学生会设计了如图1的调查问卷，在全校学生中进行了一次调查，统计整理相关数据并绘制了如下两幅不完整的统计图（图2，图3）．请根据图中信息，解答下列问（1）计算扇形统计图3中m=；（2）该校有名学生支持选项A，补全条形统计图2；（3）若要从该校某班支持选项A的50名学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服，则该班支持选项A的小美同学被选中的概率是多少？22．（8分）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC 于点H．求证：（1）AC是⊙O的切线．（2）HC=2AH．23．（9分）某工厂生产某品牌的护眼灯，并将护眼灯按质量分成15个等级（等级越高，灯的质量越好．如：二级产品好于一级产品）．若出售这批护眼灯，一级产品每台可获利润21元，每提高一个等级每台可多获利润1元，工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯，每个等级每天生产的台数如下表所示：（1）已知护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，请直接写出y与x之间的函数关系式：；（2）若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产哪一等级的护眼灯，才能获得最大利润？最大利润是多少？24．（9分）如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点P在直线BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周长的最小值．25．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数得到图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象讨论直线y=x+b（b＜k）与此图象交点个数，并求出相应的b的取值范围．26．（10分）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）记S=S△OEF ﹣S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2014年湖南省长沙市长郡双语中学中考直升数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各组数中，与﹣2014互为相反数的是（）A．B．2014 C．﹣D．﹣2014【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：与﹣2014互为相反数的是2014，故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．明天一定不下雨B．一个袋中装有5个红球，从中摸出一个是红球C．购买1张彩票，中奖D．随意翻到一本书的某项，这页的页码是奇数【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：明天一定不下雨是随机事件；一个袋中装有5个红球，从中摸出一个是红球是必然事件；购买1张彩票，中奖是随机事件；随意翻到一本书的某项，这页的页码是奇数是随机事件，故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）如图，与∠1互为同旁内角的是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【分析】根据同旁内角的定义：两直线的中间、截线的同旁，可得答案．【解答】解：由图形，得与∠1互为同旁内角的是∠2，故选：A．【点评】本题考查了同旁内角，熟记同旁内角的定义是解题关键．4．（3分）下列运算正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．（a2）3=a5D．a2•a2=a4【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答．【解答】解：A、=2，故本选项错误；B、2+，故本选项错误；C、（a2）3=a6，故本选项错误；D、a2•a2=a4，正确；故选：D．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．5．（3分）如果m=，那么m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．1＜m＜2 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【分析】先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．【解答】解：∵2＜3，m=，∴m的取值范围是1＜m＜2；故选：B．【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一道基础题．6．（3分）如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A． B．C．D．【分析】根据题意作出图形，即可进行判断．【解答】解：将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，故选：C．【点评】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．7．（3分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用多边形的内角和公式即可求解．【解答】解：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，所以（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，所以这个多边形的边数是6．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠2【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2=∠ACB，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．9．（3分）如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，两等圆圆A，圆B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．πB．C．D．【分析】首先计算出AB长，由等圆⊙B，⊙C外切，即可求得⊙B，⊙C的半径为5，又由△ACB中，∠C=90°，即可得∠B+∠A=90°，然后根据扇形的面积的求解方法求解即可求得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵等圆⊙B，⊙A外切，∴⊙B，⊙C的半径为5，∵△ACB中，∠C=90°，∴∠B+∠A=90°，∴两圆中阴影扇形的面积之和为：+=π×（∠B+∠C）×25=π．故选：A．【点评】此题考查了相切两圆的性质、扇形的面积以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．10．（3分）关于x的方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．0 B．8 C．4D．0或8【分析】根据方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根可得△=0，即（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，解方程即可得m的值．【解答】解：∵方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，解得：m=0或m=8，故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）比较大小：＞（填“＞”“＜”“=”）．【分析】因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算的整数部分，然后根据整数部分即可解决问题．【解答】解：∵﹣1＞1，∴＞．故填空结果为：＞．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE的值等于2．【分析】直接利用菱形的性质得出AD=AB，再利用锐角三角函数关系表示出AE，AD的长，进而求出DE，BE的长进而得出．【解答】解：∵在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，∴=，AD=AB，∴设AE=3x，则AD=5x，故DE=4x，则BE=5x﹣3x=2x，∴tan∠DBE===2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，正确表示出DE，BE的长是解题关键．13．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为11或13．【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可．【解答】解：x2﹣8x+15=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，可得x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x1=3，x2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13；若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11，综上，△ABC的周长为11或13．故答案为：11或13【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键．14．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围为﹣3＜m＜1．【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．【解答】解：∵点P（m+3，m﹣1）在第四象限，∴可得，解得：﹣3＜m＜1．故填：﹣3＜m＜1．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．15．（3分）若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是1．【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴2﹣k＞0，即k＜2．又∵k是正整数，∴k的值是：1．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．16．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于C，则OC的长等于3．【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理可将OC的长求出．【解答】解：连接OA，∵AB=8，OC⊥AB，∴AC=AB=4，在Rt△OAC中，OC===3．【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的应用．17．（3分）“莫言荣获2012年诺贝尔文学奖”后，全社会掀起了莫言热”．某校文学社在九年级五个班的学生中就“阅读过莫言作品的人数”进行调查，调查结果如下：则这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为40．【分析】根据算术平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．【解答】解：这五个班的学生中阅读过莫言作品的人数的平均数为（38+40+35+45+42）÷5=40（人）；故答案为：40．【点评】此题考查了算术平均数，掌握算术平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．18．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AD=1，BC=8，∠BDC=90°，则AB的长为5．【分析】作辅助线，先求出DM的长，再求出BN的长，在RT△ANB中运用勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作DM⊥BC交BC于点M，作AN⊥BC交BC于点N，∵BD=CD，BC=8，∠BDC=90°，∴DM=MC=BM=4，∵AD∥BC，AD=1，∴四边形ANMD是矩形，∴NM=1，AN=DM=4，∴BN=8﹣4﹣1=3，∴AB===5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了梯形及直角三角形的知识，解题的关键是求出DM的长．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：+2（π﹣2014）0﹣4sin45°+（﹣1）3．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2+2﹣4×﹣1=1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）化简求值：++，其中a=2，b=．【分析】先对原式化简，然后将a=2，b=代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：++====，当a=2，b=时，原式==．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．21．（8分）为了建设“魅力校园”，某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服．学生会设计了如图1的调查问卷，在全校学生中进行了一次调查，统计整理相关数据并绘制了如下两幅不完整的统计图（图2，图3）．请根据图中信息，解答下列问（1）计算扇形统计图3中m=70；（2）该校有1960名学生支持选项A，补全条形统计图2；（3）若要从该校某班支持选项A的50名学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服，则该班支持选项A的小美同学被选中的概率是多少？【分析】（1）用单位“1”减B，C，D的百分比就是A的百分比求解，（2）用支持B的学生数除以它对应的百分比就是全校学生数，用全校学生数乘支持A的学生百分比就是支持A的学生人数，再利用这个数据补全条形统计图．（3）利用概率的公式求解．【解答】解：（1）扇形统计图3中1﹣1%﹣4%﹣25%=m%，解得m=70，故答案为：70．（2）该校支持选项A的学生数为：700÷25%×70%=1960，如图，故答案为：1960．（3）该班支持选项A的小美同学被选中的概率是：．【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图及概率，解题的关键是能把条形和扇形统计图的数据相结合求解．22．（8分）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC 于点H．求证：（1）AC是⊙O的切线．（2）HC=2AH．【分析】（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：EC，根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．【解答】证明：（1）∵∠ADE=90°，∴AE为⊙O的直径，∵△ADE为等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，∴∠EAC=45°+45°=90°，∴AC⊥AE，∴AC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴△ABH∽△CEH，∴AH：CH=AB：EC，∵△ADE为等腰直角三角形，∴AD=ED，而AD=AB=DC，∴EC=2AB，∴AH：CH=1：2，即HC=2AH．【点评】本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形相似的判定与性质．23．（9分）某工厂生产某品牌的护眼灯，并将护眼灯按质量分成15个等级（等级越高，灯的质量越好．如：二级产品好于一级产品）．若出售这批护眼灯，一级产品每台可获利润21元，每提高一个等级每台可多获利润1元，工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯，每个等级每天生产的台数如下表所示：（1）已知护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，请直接写出y与x之间的函数关系式：y=﹣2x+80；（2）若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产哪一等级的护眼灯，才能获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）由于护眼灯每天的生产量y（台）是等级x（级）的一次函数，所以可设y=kx+b，再把（1，78）、（2，76）代入，运用待定系数法即可求出y与x 之间的函数关系式；（2）设工厂生产x等级的护眼灯时，获得的利润为w元．由于等级提高时，带来每台护眼灯利润的提高，同时销售量下降．而x等级时，每台护眼灯的利润为[21+1（x﹣1）]元，销售量为y元，根据：利润=每台护眼灯的利润×销售量，列出w与x的函数关系式，再根据函数的性质即可求出最大利润．【解答】解：（1）由题意，设y=kx+b．把（1，78）、（2，76）代入，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．故答案为y=﹣2x+80；（2）设工厂生产x等级的护眼灯时，获得的利润为w元．由题意，有w=[21+1（x﹣1）]y=[21+1（x﹣1）]（﹣2x+80）=﹣2（x﹣10）2+1800，所以当x=10时，可获得最大利润1800元．故若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出，工厂应生产十级的护眼灯时，能获得最大利润，最大利润是1800元．【点评】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式及二次函数的应用，难度中等．（2）中生产等级提高时，带来每台护眼灯利润的提高，同时销售量下降，列函数关系式时，要注意这“一增一减”，这是本题的难点．24．（9分）如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠BMC=90°，连接AN，DN，AN与BM交于点O．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点P在直线BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周长的最小值．【分析】（1）根据判定定理（SAS）进行判定．（2）只需求得PN+PD的最短距离即可．即只需证明：点A与点N关于直线BM 对称，故当点P与点M重合时，△PND的周长最小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AD，BC的中点，∴AM=CN，AB=CD，∠BAM=∠NCD∴在△ABM与△CDN中，∴△ABM≌△CDN（SAS）（2）∵四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AD，BC的中点，∴AM=CN，且AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，又∵∠BMC=90°，∴AN⊥BM，∵易证四边形ABNM是平行四边形，∴OA=ON，即：点A与点N关于直线BM对称，∴当点P与点M重合时，△PND的周长最小，由（1）知：即：△PND的周长的最小值=△MND的周长=++3=8．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上各知识点，证明点A与点N关于直线BM对称是难点．25．（10分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数得到图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象讨论直线y=x+b（b＜k）与此图象交点个数，并求出相应的b的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式△=24﹣8k≥0结合k为正整数即可得出k的值；（2）根据方程有两个非零的整数根即可得出k的值，将其代入二次函数解析式中再根据平移的性质找出平移后的函数图象的解析式；（3）根据函数解析式画出函数图象，通过移动直线y=x+b图象寻找交点个数与b之间的关系，此题得解．【解答】解：（1）∵方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k﹣1）=24﹣8k≥0，∴k≤3．∵k为正整数，∴k的值为1，2，3．（2）∵方程有两个整数根，∴△=24﹣8k为正整数的平方数，∵k=1，2，3，∴k=1，3．当k=1时，方程为2x2+4x=0，其中一根为0，∴k=1舍去；当k=3时，方程为2x2+4x+2=0，解得：x=﹣1．∴关于x的二次函数解析式为y=2x2+4x+2．根据平移的性质即可得出平移后图象的解析式为y=2x2+4x+2﹣8=2x2+4x﹣6．（3）依照题意画出图形，如图所示．令y=0，则2x2+4x﹣6=0，解得：x1=﹣3，x2=1，∴该抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）．当点（﹣3，0）在直线y=x+b上时，有0=﹣+b，解得：b=；当点（1，0）在直线y=x+b上时，有0=+b，解得：b=﹣．结合函数图象可得出：当交点个数为0个时，b＜﹣；当交点个数为1个时，b=﹣；当交点个数为2个时，﹣＜b＜；当交点个数为3个时，b=；当交点个数为4个时，＜b＜3．【点评】本题考查了根的判别式、平移的性质以及解一元二次方程，根据函数的解析式画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．26．（10分）已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）记S=S△OEF ﹣S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分别用点E，F的坐标表示出△AOE与△FOB的面积，进行比较；（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；（3）点F的横坐标已有，与点B的横坐标相同，利用折叠以及相似求得点F的纵坐标．【解答】（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，由题意得y1=，y2=，∴S1=x1y1=k，S2=x2y2=k，∴S1=S2，即△AOE与△FOB的面积相等；（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），∴S△ECF=EC•CF=（4﹣k）（3﹣k），∴S△EOF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF=12﹣k﹣k﹣S△ECF=12﹣k﹣S△ECF∴S=S△OEF ﹣S△ECF=12﹣k﹣2S△ECF=12﹣k﹣2×（4﹣k）（3﹣k）．∴S=﹣k2+k，即S=﹣（k﹣6）2+3，当k=6时，S有最大值．S最大值=3；（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M 点，过点E作EN⊥OB，垂足为N．由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4﹣k，MF=CF=3﹣k，∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，∴∠EMN=∠MFB．又∵∠ENM=∠MBF=90°，∴△EMN∽△MFB．∴，∴，∴MB=．∵MB2+BF2=MF2，∴，解得k=．∴BF=．∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）．【点评】此题综合性比较强，把反比例函数的图象和性质，图形的面积计算，二次函数最值的计算放在矩形的背景中，综合利用这些知识解决问题．在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．。
长郡双语2013-2014初三第一次月考试卷
长郡双语实验中学2018-2019—1学年初三第一次限时训练数学试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项。
本题共l0个小题，每小题3分，共30分)1、下列事件是必然事件的是（ ）A.随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6；B.抛一枚硬币，正面朝上C.3个人分成两组，一定有2个人分在一组；D.打开电视，正在播放动画片2、一只小狗在如图1的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）A 、154B 、31C 、51D 、152 3、下列函数中属于二次函数的是（ ）A 、12y x =B 、211y x x=++ C 、221y x =- D、y =4、将抛物线22x y =向左平移1单位，再向上平移3单位，则平移后抛物线的解析式是（ ）A 3)1(22++=x yB 3)1(22--=x yC 3)1(22-+=x y D3)1(22+-=x y5、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论：① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >.其中所有正确结论的序号是（ ）A 、③④B 、②③C 、 ①④D 、 ①② . 6、在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可为（ ）7、在下列各组交通标志中，两个图形不相似的是（ ）A B CD 图18、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）9、在爆破时，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒．为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）A ．66厘米B ．76厘米C ．86厘米D ．96厘米10、由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为( )A 、2或3B 、3C 、4D 、2 或4二、填空题(本题共8个小题，每小题3分，共24分)11、有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是 ．12、一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有 个黄球．13、已知1)2(2-+-=-x xm y m m 是关于x 的二次函数，则m=_______ 14、二次函数y=x x 422+-的对称轴是x =_____________15、已知二次函数m x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为_________．16、如图，BD 平分∠ABC ，且AB=4，BC=6，则当BD=_______时，△ABD ∽△DBC ． 17、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米.14题图18、若梯形的上底是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为_______厘米.三、解答题(本题共2个小题，每小题6分，共12分)19、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。
长沙市长郡教育集团2013-2014学年初三下期中考试数学试卷
长郡教育集团2013-2014-2初三年级统一考试数 学 试 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上．1． 31-的倒数是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．31-D ．31 2．下列运算正确的是( ).A.532a a a =+B.632a a a =⋅C. 6328)2(a a -=- D ． 248a a a =÷ 3.南海资源丰富,其面积约为350万平方千米,相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍.其中350万用科学记数法表示为 ( )A. 3.6510⨯B.3.7510⨯C. 0.83510⨯D.3.9510⨯ 4. 连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 不等式组⎩⎨⎧≥+->-2142x x 的解集在数轴上表示为（ ）A B C D6．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A .当AB =BC 时，它是菱形 B .当AC ⊥BD 时，它是菱形C .当∠ABC =90°时，它是矩形D .当AC =BD 时，它是正方形8. A 、B 两地相距10千米,甲、乙二人同时从A 地出发去B 地,甲的速度是乙的速度的2倍,圆柱 正方体 圆锥 球122121结果甲比乙早到13小时.设乙的速度为x 千米/时,则可列方程为 ( ) A.1010123x x -= B. 1010123x x -= C. 101123x x += D. 1011032x x += 9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为( ) A ． 2 B.3 C.2 D.110． 给出四个命题：①正八边形的每个内角都是135°；②半径为1cm 和3cm 的两圆内切，则圆心距为4cm ；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°；④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2－7x ＋12=0的两个根，则它外接圆的半径长为2.5以上命题正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.如果﹣2+△=﹣8，则“△”表示的数应是 ．12.一元二次方程0)1(=-x x 的解是 ．13.因式分解：3a 2﹣3= ．14．函数13++=x x y 的自变量x 的取值范围是 ．15.新概念：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程 11x -+1m=1的解为 ． 16．如图，在正方形网格中，∠AOB 的正切值是17．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，若β=110°，求α= 度．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③EFOG DOG S S 四边形=∆；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG 。
长郡双语实验中学初三下第四次月考数学试卷及答案
长郡双语实验中学2013—2014—2学年初三第四次限时训练数 学 试 题一、选择题（每小题3分，共30分） 1、－3的倒数为 ( )A ．－13B ．13C ．3D ．－3 2、如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是( )A ．B ．C ．D ．3、关于近似数3104.2⨯，下列说法正确的是（ ）A ．精确到十分位，有2个有效数字 B. 精确到百位，有4个有效数字 C. 精确到百位，有2个有效数字 D. 精确到十分位，有4个有效数字 4、下列计算正确的是（ ）A ．2a a a +=；B ．()3326a a =；C ．()2211a a -=-； D ．32a a a ÷=． 5、为了了解某校300名初三学生的睡眠时间，从中抽取30名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是 ( )A ．300名学生是总体B ．300是众数C ．30名学生是抽取的一个样本D ．30是样本容量6、下列根式中不是最简二次根式的是( )A ．10B ．8C ．6D ．27、不等式组431x x +>⎧⎨⎩≤的解集在数轴上可表示为（ ）8、已知正比例函数y kx =（0k ≠）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y kx k =+的图象大致是（ ）.1 2 0 2- A ． 1- 120 2- B ．1- 1 20 2- C ．1- 120 2- D ．1- OxyOxyOxyyxO9、二次函数y=-2(x-1)2+3的图象如何移动就得到y=-2x 2的图象（ ）A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
10、如图，边长为a 的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动） 一周，则它的中心O 点所经过的路径长为（ ） A ．6a B ．5a C ．2a π D ．3a π二、填空题（每小题3分，共24分）11、点(2,－3)关于原点的对称点的坐标为 ． 12、若代数式21a a +-有意义，则a 的取值范围为__________． 13、分解因式2x 2—18的最终结果是 ______________________.14、若关于x 的一元二次方程m x 2－3x ＋1=0有实数根，则m 的取值范围是 ． 15、在“我为红十字献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下，则在这次活动中，该班同学捐款金额的中位数是 元.金额（元） 20 30 35 50 100 学生数（人）375151016、一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 .17、如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且DE 与BC 不平行．请填上一个．．你认为合适的条件： ，使ADE ABC △∽△．（不再添加其他的字母和线段）18、已知2510m m --=，则22125m m m-+=___________. 三、解答题（每小题6分，共12分）19、计算：02)53(1260sin 2)21(-+-︒-+--（第10题）1 DC E 2 BA α16题图 17题图20、先化简，再求值：22282()24a a a a a a+-+÷--，其中2sin602tan45a =︒-︒．四、解答题（每小题8分，共16分） 21、重庆大学青年志愿者协会对报名参加2011年重庆大运会志愿者选拔活动的学生进行了一次与大运知识有关的测试.小亮对自己班有报名参加测试的同学的测试成绩作了适当的处理,将成绩分成三个等级:一般、良好、优秀,并将统计结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）小亮班共有 名学生参加了这次测试，如果青年志愿者协会决定让成绩为“优秀”的学生参加下一轮的测试,那么小亮班有 人将参加下轮测试； （2）请将两幅统计图补充完整；（3）在最后一轮测试中，李江和陈小兰的成绩完全一样，于是采用如下办法选取其中一人：箱中有4个形状、大小和质地等完全相同的小球,分别标有数字1、2、-2、3．从中随机摸出一个小球,然后放回箱中,再随机摸出一个小球.规定:两次摸出的小球的数字之和为4的整数倍,则李江去;否则,陈小兰去.用列表法或树状图求出他们各自去的概率.22、如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BE CF =，AF DE =． 求证：（1）ABF DCE △≌△； （2）四边形ABCD 是矩形．五、解答题（每小题9分，共18分）23、某超市推出两种优惠方法：①购1个水杯，赠送1包茶叶；②购水杯和茶叶一律按9折优惠．水杯每个定价20元，茶叶每包定价5元．小明需买4个水杯，茶叶若干包（不少于4包）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买茶叶包数x （包）之间的函数关系式； （2）若只选择一种优惠方法，请对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜； （3）小明需买这种水杯4个和茶叶12包，请你设计怎样购买最经济．24、如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且∠DBA=∠BCD ． （1）根据你的判断：BD 是⊙O 的切线吗？为什么？．（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，（第22题） A B CD E F FE B且△BEF 的面积为10，cos ∠BFA ＝32，那么，你能求出△ACF 的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．六、解答题（每小题10分，共20分）25、已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点，点C 、D 是某个函数图像上的点，当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图1中，正方形ABCD 是一次函数1y x =+图像的其中一个“伴侣正方形”． 如图1，若某函数是一次函数1y x =+，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长；（2）如图2，若某函数是反比例函数ky x=(0)k >，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，点(2,)D m (2)m <在反比例函数图像上，求m 的值及反比例函数的解析式；（3）如图3，若某函数是二次函数2y ax c =+(0)a ≠，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD ，C 、D 中的一个点坐标为(3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式．26、如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．（第25题图3）xy(3,4)-2 -1 O1 32 1 234 x y OB DA C1y x =+（第25题图1）（第25题图2） xy O长郡双语实验中学2013—2014—2学年初三第四次限时训练数 学 试 题 答 案一、选择题：ADCDD BAACC二、填空题：11、（-2,3）； 12、2a -≥且a ≠1；13、2(x+3)(x-3)；14、049≠≤m m 且；15、50；16、75°；17、1B ∠=∠或2C ∠=∠或AE ADACAB =；18、28 19、解：原式=13234+-+=35-．20、解：原式28(2)(2)(2)2a a a a a a a ⎡⎤+=-⋅⎢⎥-+--⎣⎦………………………………（3分） 2(2)(2)(2)2a a a a a a -=⋅+--12a =+．…………………………………………（3分） 当2sin 602tan 4532a =︒-︒=时，原式3322=-+4分） 21、解：（1）40；20；（2）略（3 李江1 2 -2 3 1 2 3 -1 4 2 3 4 0 5 -2 -1 0 -4 1 34 516（用树状图也可以．）∴P（李江去）=41164=； P （陈小兰去）=4322、解：（1）BE CF =，BF BE EF =+，CE CF EF =+，BF CE ∴=． ······························· 1分 四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=．······························· 2分 在ABF △和DCE △中，AB DC =，BF CE =，AF DE =，[来源:学科网]和陈小兰ABF DCE ∴△≌△． ·························· 3分 （2）解法一：ABF DCE △≌△，B C ∴∠=∠．······························· 4分 四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴∥．180B C ∴∠+∠=．90B C ∴∠=∠=． ···························· 5分∴四边形ABCD 是矩形． ·························· 6分解法二：连接AC DB ，． ABF DCE △≌△， AFB DEC ∴∠=∠．AFC DEB ∴∠=∠．···························· 4分 在AFC △和DEB △中，AF DE =，AFC DEB ∠=∠，CF BE =， AFC DEB ∴△≌△．AC DB ∴=．······························ 5分 四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． ·························· 6分23、解：（1）BD 是⊙O 的切线…………1’ 连接OB ∵AC 是⊙O 的直径∴∠ABC=900 ∴∠1+∠C=900∵OA=OB ∴∠1=∠2∴∠2+∠C=900∵∠3=∠C ； ∴∠2+∠3=900∴DB 是⊙O 的切线………………………4’（2）在Rt △ABF 中，∵cos ∠BFA=32 ∴32=AF BF …………………5’ ∵∠E=∠C ，∠4=∠5 ∴△EBF ∽△CAF ∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AF BF CFAS EBFS …………………………7’ 即23210⎪⎭⎫⎝⎛=∆ACF S 解之得：S △ACF =22.5…………8’24、解：（1）设按优惠方法①购买需用1y 元，按优惠方法②购买需用2y 元 ……1分,6054205)4(1+=⨯+⨯-=x x y725.49.0)4205(2+=⨯⨯+=x x y ． ……………………3分（2）①设12y y =，即5x+60=4.5x+72∴当24=x 时, 选择优惠方法①，②均可. ②设12y y >，即725.4605+>+x x ，∴24>x ．∴当24>x 的整数时，选择优惠方法②．……………………4分③设y 1＜y 2，即5x+60＜4.5x+72,∴当424x <≤整数时，选择优惠方法①．…………………………5分（3）因为需要购买4个水杯和12包茶叶，而2412<，所以有以下2种购买方案： 方案一：用优惠方法①购买，需12060125605=+⨯=+x ；…………6分方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个水杯，需要204⨯=80，同时获赠4包茶叶；用优惠方法②购买8包茶叶，需要8590%36⨯⨯=；共需80+36=116． 显然116<120． ……………………8分∴最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个水杯，获赠4包茶叶；再用优惠方法②购买8包茶叶．……………………9分 25、解：（1）（I ）如图1，当点A 在x 轴正半轴、点B 在y 轴负半轴上时：正方形ABCD 的边长为2．………………………………………………（1分） （II ）当点A 在x 轴负半轴、点B 在y 轴正半轴上时：设正方形边长为a ，易得32a =，………………………………………（1分）解得23a =，此时正方形的边长为23．………………………………（1分）∴所求“伴侣正方形”的边长为2或23．（2）如图2，作DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△ADE ≌△BAO ≌△CBF ．∵点D 的坐标为(2,)m ，2m <，∴DE = OA = BF = m ， ∴OB = AE = CF = 2 - m ．∴OF = BF + OB = 2，∴点C 的坐标为(2,2)m -．………………………（1分）（第24题图2）xyO 1321 32ABCD EF xy O BDAC1y x =+（第24题图1）∴22(2)m m =-，…………………………………………………………（1分） 解得1m =．…………………………………………………………………（1分）∴反比例函数的解析式为2y x=．…………………………………………（1分） （3）212388y x =+或272234040y x =-+或23177y x =+或235577y x =-+．…（5分）注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分26、（1）令0=y ，得04212=++-x x ，即0822=--x x ， 解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ． 设直线AB 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+404b b k ，解得⎩⎨⎧=-=41b k ，所以直线AB 的解析式为4+-=x y ．（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，当点)2,2(xx Q 在直线AB 上时，422+-=x x ，解得4=x ．所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ． （3）当点)2,(xx E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上）42+-=x x，解得38=x ．①当382<≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ， 此时，42)4(-=+--=x x x PC ，又PC PD =，所以22)2(221-==∆x PC S PCD ， 从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x 78)716(472+--=x ．因为387162<≤，所以当716=x 时，78max =S ． ②当438≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，此时，42)42(+-=-+-=x xx QN ，又QN QM =，所以22)4(2121-==∆x QN S QMN ， By PEQFM NOABP EQF xy（第24C D即2)4(21-=x S ． 其中当38=x 时，98max =S ．………5分。
2023年湖南省长沙市长郡双语实验学校中考二模数学试题(含答案解析)
2023年湖南省长沙市长郡双语实验学校中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．下列运算正确的是（）．．．．．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cmA ．20︒B ．408．下列说法正确的是（）A ．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，B ．已知某篮球运动员投篮投中的概率为C ．处于中间位置的数一定是中位数D ．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小9．关于x 的一元二次方程2x A ．32k >B ．k 10．如图，在ABC 中，CAB ∠得到AB C ''△，点B ，C 的对应点分别为定正确的是（）A ．70CCB ''︒∠=B ．C 二、填空题11．因式分解：24ax ay -12．方程24133x x+=--13．已知扇形的面积为3π14．在Rt ABC 中，C ∠15．如图，在Rt ABC 中，则DE 的长是__________16．4个人进行游泳比赛，赛前A，B，C，D等4名选手进行预测，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最后一名”，C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是_____．三、解答题(1)求证：四边形BECO是矩形；(1)求坡顶B的高度；(2)求楼顶C的高度CD．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰E，连结DE．(1)求证：BD＝DE；(2)若AB＝13，BC＝10，求CE的长．23．从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线表达式；(2)当PQN V 与ABC 相似时，求(3)当EPQ △的外接圆与线段AO 25．如图1，在线段XY 上找一点XQ QYQY XY=，则我们称点Q 为线段XQ QYQY XYϕ==．显然，品质数参考答案：D 、2222y y y --=-，故D 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答的关键．5．A【分析】分别求出不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：由21x -≤+，得3x ≥-；由11x +<，得x<0，不等式组的解集为30x -≤<，在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】本题考查的是数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答本题的关键．6．B【分析】分类讨论：当等腰三角形的腰长为2cm 时和当等腰三角形的腰长为5cm 时，再根据三角形的三边关系，分析即可得出答案．【详解】解：当等腰三角形的腰长为2cm 时，则三边为2cm 、2cm 、5cm ，∵225+<，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm 时，则三边为2cm 、5cm 、5cm ，∵255+>，∴能组成三角形，∴综上可得：第三条边的边长是5cm ．故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边之间的关系，明确三边能否组成三角形是解本题的关键．7．A【分析】由三角形外角性质求出3∠的度数，再由a 与b 平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到342∠+∠+∠的度数，根据3∠与4∠的度数求出2∠的度数即可．【详解】解：∵3∠为三角形的外角，∴3170B ∠=∠+∠=︒，∵a b ，∴342180++=︒∠∠∠，∵490∠=︒，370∠=︒，∴220∠=︒，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．8．D【分析】根据随机事件，概率，中位数，方差的意义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误，不符合题意；B 、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误，不符合题意；C 、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误，不符合题意；D 、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了随机事件，概率，中位数，方差，熟练掌握随机事件，概率，中位数，方差的意义是解题的关键．9．D【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：原方程整理得：24120x x k -+-=，∵一元二次方程2412x x k -+=有两个不相等的实数根，在Rt ABC △中，AB =∴22AC AB BC =-=∴2s n 3i AC B AB ==．故答案为：32．【点睛】本题考查了三角函数值的定义，数值等于对边比斜边．5:12i = ，512BM AM ∴=，13AB = 米，5BM ∴=米，12AM =米，5BM DF ∴==米，即坡顶B 的高度为5米（2）过点E 作EN AD ⊥，设EF 为x 米，则()4BF x =+米，45CBF ∠=︒ ，()4BF CF x ∴==+米，60CEF ∠=︒ ，34tan 601x x+∴︒==，()223x ∴=+米，13【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．(1)2105004000W x x =-+-，040x ≤＜(2)销售单价应定为15元(3)W 的最大值为2160元【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解方程即可求解；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，即可知当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，问题随之得解．【详解】（1）根据题意，有：()()()101040010W y x x x =⨯-=-+⨯-，化简，得：2105004000W x x =-+-，根据1040000y x x =-+≥⎧⎨⎩＞，解得：040x ≤＜，即函数关系为：2105004000W x x =-+-，040x ≤＜；（2）令1250W =，可得：21050040001250x x -+-=，解得：15x =，或者35x =，当15x =时，销量：10400250y x =-+=（件）；当35x =时，销量：1040050y x =-+=（件）；销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为15元；（3）根据题意有：104005028y x x =-+≥⎧⎨≥⎩，解得：2835x ≤≤，将2105004000W x x =-+-化为顶点式为：()210252250W x =--+，∵100-＜，∴当25x ＞时，函数值随着x 的增大而减小，∵2835x ≤≤，∵点E 为线段AB 的中点，∴()3,4E ，∵QP ⊥直线DE ，垂足为P ，∴4PQ =，6OQ t =-，∴()6,4P t -，()6,0Q t -，∴()363EP t t =--=-，由中点坐标公式得：当M 与y 轴相切时，则M∵正方形的边长为2，依题意，1,2CE EB AB ===，∴5AE =，∵折叠，∴2AG OA ==，FG OF =，【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
长郡双语初三下学期期中考数学试试卷
的距离是 2.7m，则 AB 与 CD 间的距离为
m。
4.8 米，则大树的高
14.计算： cos245° +tan30°· sin60° =
。
15. 如图（ 10），在△ ABC 中∠ C=90°， BC=4cm ，tanB= 3 ，
2
则 △ABC 的面积是
cm2 。
16.二次函数 y x 2 2x 6 的最大值为
正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的正前方有
6 米的空地，像这样改造
是否可行？请说明理由。 （参考数据： 2 10414，3 1.732， 6 2.449，以上结果均保留到小数
点后两位。）
24.如图，一名男生推铅球，铅球进行高度 y （单位： m）与水平距离 x （单位： m）之间的关系为：
其规则为：若 x、y满足 xy ＞6 则小明胜，若 xy ＜ 6 则小红胜。这个游戏公平吗？说明理由：若不
公平，请写出一种公平的游戏规则。
22.如图所示，平行四边形 ABCD 中， E 为 CD 的延长线上一点，
①求证：△ AB F∽△ CEB ； ②若△ DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积。
四、解答题： （ 2 8' 16' ）
21.在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1、 2、 3、 4 的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从
布袋里随机取出一个小球记下数字为 x ，小红在剩下的 3 个小球中随机取出一个小球记作数字 y 。 ①计算由 x、y确定点（ x、 y）在函数 y x 5 的图像上的概率；②小明和小红约定一个游戏，
AD AB
D.
AB AC
6.如图（ 4）是一个正方体的表面展开图