重点名校人教版数学必修五数列单元导学案(全案附详解)

第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法A级基础巩固一、选择题1．如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3解析：这4个着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂．猜想数列的通项公式为a n＝3n－1.答案：A2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A．511个B．512个C．1 023个D．1 024个解析：3小时含9个20分钟，分裂9次后细菌个数为29＝512.答案：B3．已知数列{a n}的前n项的S n＝n2－9n，第k项满足5＜a n＜8，则k等于()A．9 B．8 C．7 D．6解析：a1＝－8，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n －1)＝2n －10.由5＜a k ＜8，得152＜k ＜9.所以k ＝8.答案：B4．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n 2，…，则它的第5项的值为( )A.15 B ．－15 C.125 D ．－125解析：易知，数列的通项公式为(－1)n〃1n2，当n ＝5时，该项为(－1)5〃152＝－125.答案：D5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( )A ．第28项B ．第24项C ．第23项D ．第22项解析：数列的通项公式为a n ＝2n －1. 令2n －1＝35，所以n ＝23. 答案：C 二、填空题6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1＋1a n，则a 5＝________．解析：a 3＝a 2＋1a 1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝133.a 5＝a 4＋1a 3＝5512.答案：55127．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则37是这个数列的第________项．解析：由2n ＋1＝37⇒n ＝18. 答案：188．图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME —7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．图1 图2解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . 答案：n 三、解答题9．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n ，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，因为n ∈N *，所以1627不是此数列中的项． 10．(1)设数列{a n }满足⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 （n ＞1），写出这个数列的前5项；(2)求数列{－2n 2＋9n ＋3}(n ∈N *)的最大项． 解：(1)由题意可知： a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝1＋11＝2，a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝23，a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.(2)令a n ＝－2n 2＋9n ＋3， 所以a n 与n 构成二次函数关系，因为a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058，且n 为正整数，所以当n 取2时，a n 取得最大值13， 所以数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为13.B 级 能力提升1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33 a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 010＝( )A ．－ 3B ．0 C. 3 D ．3解析：a 1＝0，a 2＝－31＝－ 3.a 3＝－23－3＋1＝3，a 4＝3－33＋1＝0，a 5＝－31＝－3，…，由此可知，a n ＋3＝a n .又2 010＝3×670， 所以a 2 010＝a 3＝ 3. 答案：C2．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n.写出若干项，并归纳出通项公式a n ＝______________．解析：a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋133－13＝24，a 4＝1＋243－24＝35，a 5＝46，猜想：a n ＝n －1n ＋1.答案：n －1n ＋13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1－1a n ＝12，求数列{a n }的通项公式．解：设b n ＝1a n，则b 1＝1，b n ＋1－b n ＝12，所以b n －b n －1＝12(n ≥2)，b n －1－b n －2＝12，…， b 2－b 1＝12，所以b n －b 1＝12×(n －1)，所以b n ＝1＋n －12＝n ＋12(n ≥2)，又当n ＝1时，b 1＝1＋12＝1，符合上式，所以b n ＝n ＋12＝1a n (n ∈N *)，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．第二章 数列 2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．有穷等差数列5，8，11，…，3n ＋11(n ∈N *)的项数是( ) A ．n B ．3n ＋11 C ．n ＋4D ．n ＋3解析：在3n ＋11中令n ＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n ＋3.答案：D2．若{a n }是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n }也一定是等差数列的是( )A ．b n ＝a 2nB ．b n ＝a n ＋n 2C ．b n ＝a n ＋a n ＋1D ．b n ＝na n解析：{a n }是等差数列，设a n ＋1－a n ＝d ，则数列b n ＝a n ＋a n ＋1满足：b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d . 答案：C3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n 1＋3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A.87B.85C.165D.219解析：因为1a n ＋1＝1＋3a na n ，所以1a n ＋1＝1a n ＋3，所以1a n ＋1－1a n ＝3，所以1a n ＝12＋3(n －1)，1a 4＝12＋3(4－1)＝192， 所以a 4＝219. 答案：D4．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：由已知，⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以a 1＝－1，d ＝1，a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98，故选C. 答案：C5．若lg 2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32 D ．0或32 解析：依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3)， 所以(2x －1)2＝2(2x ＋3)， 所以(2x )2－4·2x －5＝0， 所以(2x －5)(2x ＋1)＝0， 所以2x ＝5或2x ＝－1(舍)， 所以x ＝log 2 5. 答案：B二、填空题6．已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点有________个．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，又因为Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个． 答案：1或27．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________．解析：设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2，由题意知x 1＝14，所以x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，所以数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712.所以x 1〃x 2＝m ＝316.x 3〃x 4＝n ＝512×712＝35144.所以m ＋n ＝316＋35144＝3172.答案：31728．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，所以n ＝5. 答案：5 三、解答题9．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. 解：(1)因为a 5＝－1，a 8＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以a 9＝2×9－1＝17.10．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .B 级 能力提升1．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1 C.n m D.n ＋1m ＋1解析：设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2，第一个数列共(m ＋2)项，所以d 1＝y －x m ＋1； 第二个数列共(n ＋2)项，所以d 2＝y －x n ＋1，这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 答案：D2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________．解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝ 3 n ，a n ＝3n 2.答案：3n 23．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 2 015. (1)证明：因为f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项， x n ＝f (x n －1)，所以x n ＝3x n －1x n －1＋3，所以1x n ＝1x n －1＋13， 所以1x n －1x n －1＝13， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)解：x 1＝12时，1x 1＝2， 所以1x n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， 所以x n ＝3n ＋5， 所以x 2 015＝32 020.第二章数列2.2 等差数列第2课时等差数列的性质A级基础巩固一、选择题1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由a n＋b n所组成的数列的第37项值为() A．0 B．37 C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故c n＝100(n∈N*)，从而c37＝100.答案：C2．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有() A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.答案：B3．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，a n组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是()A．新数列不是等差数列B．新数列是公差为d的等差数列C．新数列是公差为2d的等差数列D．新数列是公差为3d的等差数列解析：因为(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1＋a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列． 答案：C4．在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于( )A.13B.12C.23D ．1 解析：依题意得1a 3＋1＋1a 11＋1＝2·1a 7＋1， 所以1a 11＋1＝21＋1－12＋1＝23， 所以a 11＝12. 答案：B5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－5解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6＝a 1＋5d >0，a 7＝a 1＋6d <0.又因为a 1＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧d >－235，d <－236，即－235<d <－236， 又因为d 是整数，所以d ＝－4.答案：C二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．解析：由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.答案：37．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________． 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23，a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m 33成等差数列， 所以2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m 33， 所以m ＝－12. 答案：－128．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________________．解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 2三、解答题9．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝10＋10，所以a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，所以a11＋a12＋…＋a15＝130.10．已知无穷等差数列{a n}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}．(1)求b1和b2；(2)求数列{b n}的通项公式；(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项？解：(1)由题意，等差数列{a n}的通项公式为a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b 2＝a 7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n ＋1－b n ＝a 4(n ＋1)－1－a 4n －1＝4d ＝－20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1＝－7，公差为d ′＝－20，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ′＝－7＋(n －1)×(－20)＝13－20n .(3)因为m ＝4n －1，n ∈N *，所以当n ＝110时，m ＝4×110－1＝439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．B 级 能力提升1．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2，因为a 1＝14，所以d ＝12， 所以a 2＝14＋12＝34， a 3＝14＋1＝54， a 4＝14＋32＝74， 所以|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12. 答案：C2．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝______________．解析：法一：因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q ×(－1)＝0.法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB 的斜率 k ＝p －q q －p＝－1，如图所示，由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q ＝0.答案：03．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)． 又因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n＝13n－2.又当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以数列{a n}的通项公式是a n＝13n－2.2.3 等差数列的前n项和第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是() A．12 B．24 C．36 D．48解析：由S10＝10（a1＋a10）2，得a1＋a10＝S105＝1205＝24.答案：B2．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为() A．765 B．665 C．763 D．663解析：因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.答案：B3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9 B．10 C．19 D．29解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．答案：B4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝210，得n ＝14.答案：B5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12解析：S 9S 5＝92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案：A二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________．解析：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋d ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n . 答案：2n7．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d ＝________．解析：S 12＝354，所以S 奇＝354×2732＋27＝162， S 偶＝354×3232＋27＝192， 所以S 偶－S 奇＝30＝6d ，所以d ＝5.答案：58．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________．解析：a n ＝2n －30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：190三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d 以及a 1＝12， d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n （n －1）2〃2， 即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．(2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 5＋a 13＝34，S 3＝9.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＋a 1＋12d ＝34，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝9， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t， 所以b 1＝11＋t ，b 2＝33＋t， b m ＝2m －12m －1＋t， 若b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列，则2b 2＝b 1＋b m ，所以63＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t， 即6(1＋t )(2m －1＋t )＝(3＋t )(2m －1＋t )＋(2m －1)·(1＋t )(3＋t )，整理得(m －3)t 2－(m ＋1)t ＝0，因为t 是正整数，所以(m －3)t －(m ＋1)＝0，m ＝3时显然不成立，所以t ＝m ＋1m －3＝m －3＋4m －3＝1＋4m －3， 又因为m ≥3，m ∈N ，所以m ＝4或5或7，当m ＝4时，t ＝5；当m ＝5时，t ＝3；当m ＝7时，t ＝2.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列． 即当t ＝5时，b 1，b 2，b 4成等差数列；当t ＝3时，b 1，b 2，b 5成等差数列；当t ＝2时，b 1，b 2，b 7成等差数列．B 级 能力提升1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0， 所以193≤k ≤223，因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：B2．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11＞0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＞0. 又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19＝19×（a 10＋a 10）2＝19a 10＜0， 故满足S n ＜0的n 的最大值为19.答案：193．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)依题意，得S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝1也适合．即a n ＝6n －5.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.第二章数列2.3 等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和(习题课)A级基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A．30 B．31 C．32 D．33解析：中间项为a n＋1.S奇＝（a1＋a2n＋1）2〃(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.S偶＝a2＋a2n2〃n＝n·a n＋1＝480.所以a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32. 答案：C2．等差数列{a n}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()A．52.5 B．72.5 C．60 D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.答案：C3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为()A.310 B.13 C.18 D.1 9解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，因为S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )A ．1 113B ．4 641C ．5 082D ．53 361解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S 21＝21×211＋21×202×1＝4 641. 答案：B二、填空题 6．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2， 则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2， 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1＝(n －1)2，所以na n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1n. 当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1n. 答案：a n ＝2n －1n7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42 d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1.所以a 5＝a 1＋4d ＝0，所以S 4＝S 5同时最大．所以n ＝4或5.答案：4或58．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________．解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ， 因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，所以－247＜d ＜－3.(2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0.所以a 6＞0，又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负． 所以数列前6项和最大．10．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2S 2n 2S n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：因为a n ＝S n －S n －1，所以S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，即(S n －S n －1)(2S n －1)＝2S 2n ，即S n －1－S n ＝2S n S n －1，即1S n －1S n －1＝2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，且1S 1＝1a 1＝1， 所以1S n ＝1＋2(n －1)，即S n ＝12n －1. 所以a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2（2n －1）（2n －3）(n ≥2)，又a 1＝1≠－2（2×1－1）（2×1－3）， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1），－2（2n －1）（2n －3）（n ≥2）. B 级 能力提升1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析： a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5.答案：C2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006.答案：4 0063．数列{a n }的各项都为正数，且满足S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)，求数列的通项公式a n .解：法一(消S n )：由S n ＝（a n ＋1）24(n ∈N *)， 得4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，因为a n ＞0，所以a n ＋1－a n ＝2，又4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2得a 1＝1，故{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1.法二(消a n )：由上可知2S n ＝a n ＋1，所以2S n ＝S n －S n －1＋1(n ≥2)，化简可得(S n －1)2＝S n －1， (S n ＋S n －1－1)(S n －S n －1－1)＝0，又S 1＝1，{a n }的各项都为正数， 所以S n －S n －1＝1. 所以S n ＝n ，从而S n ＝n 2，所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，a 1＝1也适合，故a n ＝2n －1.第二章 数列2.4 等比数列第1课时 等比数列的概念与通n 项公式A 级 基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3. 答案：C3．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是()A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，所以log2b2＝log2ac即2log2b＝log2a＋log2c，所以log2a，log2b，log2c成等差数列．答案：A4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于()A．6 B．－6 C．±6 D．±12解析：a＝1＋22＝32，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16， 所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54， 解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ， 所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， 所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ； 当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列． 所以a n ＝a 1〃q n －1＝a 1〃⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1〃⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1〃⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1， 又因为a 2〃a 5＝23a 1〃1681a 1＝827， 所以a 21＝94.又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681， 则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级 能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________． 答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值． (1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎨⎧α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n . 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n＝3. 所以a n ＋1＝12a n ＋13. (2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13， 所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23. 若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0， 即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列． 所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。