等差数列的前n项和公式

小题recycle ：
题组三
S10 10, S20 10 ，该数列前多少项的
和最大？
变式 2 : 等差数列{an }中（m n), 若S m S n , 求S m n
例题
1、在等差数列中{an}，若a1=25，且S9=S17， 求数列前多少项和为最大？
例题
an 0 a1 0, d 0, Sn有最大值 a n1 0
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10，d= -6-(-10)=4. n（n 1) 设 Sn= 54, Sn na1 d 2
n( n 1) 10n ·4 54 2 得
n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去）。 因此等差数列 －10，－6，－2，2， · · · · · · ·前9项和是54。
何求 an ?
练习：在下列所给出的数列中，是等差 * （1）（2）（3）（6） 数列的有( n N ) 。
(1)an1 an 0;
n
如何证明一 ( 2)2an an1 an1 ; 个数列是等 差数列？ ( 3)a 2n 1;
(4)an n 1; (5) S n n 1; (6) S n n n;
an 0 a1 0, d 0, Sn有最小值 a n1 0
Sn An Bn, 配方，看对称轴
2
例题
例2、 一个等差数列的前12项之和为354， 前12项中偶数项与奇数项之比为32：27， 求公差。 12 11 12a1 d 354 解1： 2 65 2d 设首项为a1，公差为d, 则 6( a1 d ) 32 2 27 6a 6 5 2d 1 2
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=？
首项与末项的和： 1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
····· ····· 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101， · · 于是所求的和是： 101×50＝5050。
想 一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
n（n 1) Sn na1 d 2
an a 1 ( n 1)d
结论：知 三 求 二
题组二 1、已知数列 {an } 的通项公式
2
an an bn c(a , b, c R且a , b, c是常数）
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=？
S100 = 1+2+3+ · · · · · ·+100 = 101×50 = 5050 100 =(1+100) ·
2
100 (a 1 a 100 ) · 2
问题 2
一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放一 支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就 这样一层一层地往上放。最上面一层放120支。 求这个V形架上共放着多少支铅笔？
2、若要判断一个数列是等差数列，还可以：
Sn an bn(a , b为常数）
小题reuse ：
1、等差数列{an }中，已知a5 5, a10 12, 求an ?
S 20 30，则Sn ?
2、已知等差数列 {an }其前n项和为Sn，且S10 10，
两例是否还存在其他做法？ 函数的思想，待定系数
配方法求得最值时n的值
王新敞
奎屯
新疆
等差数列奇，偶项和问题
结论：设数列 {an} 是等差数列，且公差为 d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项， S奇 an 则① S 偶 S 奇 nd ；② S偶 an1 ；
结论：设数列{an } 是等差数列，且公差为 d ， （Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1 项， 则① S
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
50 （50 1) 50 100 ( 2) 2550 2
32 14.5 n 1 26, 0.7
26 (14.5 32) 604.5. 2
课 堂 小 练
n (1 n) n(n 1) . 解：Sn 2 2
1、可以用性质； 2、可以回归到基本量 进行运算；
解完这组 已知等差数列 {an }的前n项和为Sn，且S10 10， 数列是一类特殊的函数 1 题，你有 2 1 S 20 30，则Sn ? Sn n n( n N * ) 待定系数 20 2 什么收获？
问：此等差数列前 n项和Sn是否存在最值；若 用函数思想 存在，请求出；若不存在，请说明理由？ 数形结合 变式1：记等差数列 {an } 的前n项和为 Sn ，若
2. (1) 求正整数列中前n个数的和.
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n ( 2 2n) 解： Sn n(n 1). 2
3. 等差数列 5,4,3,2, · · ·前多少项和是 – 30？
解： a1=5 , d = -1 , Sn = -30
n( n 1) S n 5n ( 1) 30 2 n 15 或 n 4(舍 )
Sn
求数列前n项和方法之一：裂项相消法
1 例1：求数列{ } 的前n项和 n(n 1) 1 1 1 Sn 1 2 2 3 n( n 1)
变式：等差数列{an }中，a1 3, d 2 1 1 1 Sn为前n项和，求 S1 S2 Sn
对于一般数列前n项和Sn与a n间的关系：
n（a1 an )
n（a1 an ) Sn 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) Sn na1 d 2
an a1 ( n1)d
例 题 解 析
例1：等差数列－10，－6，－2， 2， · · · · · · · 前多少项和是54 ？
奇
S
偶
S奇 n 1 an1 a中 ； ② S偶 n ．
例 2．已知等差数列 {an } 的项数为偶数，且奇 数的和为 24，偶数项的和为 30，最后一项与 首项之差为 10.5，求此数列的首项，公差及 项数。
例 3．已知等差数列 {an } 的项数为奇数，且奇 数的和为 44，偶数项的和为 33，求此数列的 中间项及项数。
S1，n 1； an Sn Sn-1，n>1.
热身练习
1.若一个等差数列前3项和为34，最 后三项和为146，且所有项的和为 390，则这个数列共有______项。
2.已知两个等差数列{an},{bn}， 它们的前n项和分别是Sn,Tn，若
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整体思想
S n 2n 3 a9 ,求 . Tn 3n 1 b9
怎么计算呢？
怎么计算呢？
想：探求三角形面积情景 先补后分
S120 =1+2+3+ · · · · · ·+120
120 = 121 · = 7260 2 120
= (1 + 120 ) ·
2
120 (a1 a120 ) · 2
猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
课 堂 小 练
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
(1)a1 5, an 95, n 10;
an 的 Sn
解：S 解：S
10
(2)a1 100 , d 2, n 50;
50
10 (5 95) 500. 2
an a1 解： 由d n 1
S26
王新敞
奎屯
新疆
（可由 an ≥0，且 a n1 ≤0，求得n的值） 当 a1 <0，d>0，前n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
（可由 an ≤0，且 a n1 ≥0，求得n的值 ）
王新敞
奎屯 新疆
d 2 d （2） 利用 S n ：由 S n 2 n (a 1 2 )n 二次函数
S3n - S 2 n 成等差数列
等差数列前项和的最值问题：
例 2．在等差数列中， a1 60 ， a17 12 ， （1）该数列第几项开始为正？ （2）前多少项和最小，并求其最小值？ （3）求 an 前 n 项和 Sn？ （4）求 an 前 n 项和 Tn？
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用 an : 当 a1 >0，d<0，前n项和有最大值
例 题 解 析
例2：等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。
解： 由
an= a1+(n-1)d n( n 1) Sn na 1 d 2 得： 18= a1+(n-1)4 n( n 1) 48 na 1 4 2
解得： n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
（3）记数列 { a n } 的前项和为 Tn ， 求的表达式
练习
1、等差数列{an}中，a5+a16=30,则S20等于
2、在项数为2n的等差数列中，各奇数项的和 为75，各偶数项的和为90，末项与首项的 差为27，则项数2n的值为多少？ 3、设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别
a7 7n 2 为Sn,S’n,且 ' ，求 b7 n3 Sn