二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)课件
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03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
22. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
10．(202X·德州)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋ a的图象可能是( C )
11．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4__， c＝_－__3_．
15．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，要求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12AB＝2，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3. 但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不合题意，∴点 Q 坐标为( 3，1)或(－
练习2：抛物线y＝－ 1 x2－3的顶点坐标是___(_0_，__－__3_)_____，对称轴 2
是__y_轴_____．
知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正 确的是( D )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
练 习 1 ： 将 抛 物 线 y ＝ x2 向 上 平 移 两 个 单 位 后 的 函 数 解 析 式 为 _______________．
y＝x2＋2
2 ． 对 于 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ k ， 当 a ＞ 0 时 ， 开 口 _向__上____ ， 对 称 轴 是 ___y_轴___，顶点为__(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而_增__大_____；当x ＜0时，y随x的增大而__减__小____．当a＜0时，开口_向__下_____，对称轴是 __y_轴___，顶点为___(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而___减__小___；当x ＜0时，y随x2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a ＝____－，3c＝____4．
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT教学课件(第1课)
C.y=2(x+2)2
D.y=2(x-2)2
解析:根据平移的规律可知把二次函数
y=2x2的图象向上平移2个单位长度,所得 图象对应的函数解析式为y=2x2+2.故选
A.
巩固练习
4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 轴是 直线x=2 .
下 ,对称
解析:抛物线y=-3(x-2)2中,因为-3<0,所
(1)自变量x的取值范围是什么?
(2)画函数图象时,x取哪些值列表能使函数图象
上的点均匀对称? (3)如何用平滑的曲线连接各点?
新知探究
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1 8
(1)三条抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？
(2)你有什么方法把抛物线y=2x2分别移 动到抛物线y=2x2+1的位置和抛物
注意： k带前 面的符 号！
探究二次函数
7. 抛物线
可以如何由抛物线
的图象和性质
得到？
当k>0时 向上平移 k 个单位长度
顶点
当k<0时 向下平移 个单位长度
顶点
巩固练习
抛物线
的开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，
图象存在最 高 点，坐标是
，当 x
时
， yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y 随 x 的增大而增大，当 x
时，y 随 x 的增大而减小. x
新知探究
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系 ？
y = ax2+k (k>0) y
结论：
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线
y=ax2的图象 向上（k＞0）或 向下（k＜0）平
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件
2
h 0, k 0 y ax k
2
k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 公开课课件
C．都有最高点
D．顶点都是原点
12．函数 y＝ax2－a 与 y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可
能是( C )
二、填空题(每小题4分，共16分) 13．已知抛物线的顶点是(0，－1)，对称轴为y轴，且经过点( －1，－2)，则抛物线的解析式为 y＝－x2－1 ．
14．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上 ，且开口向上，则m的取值范围为 0＜m＜2 ．
【综合运用】
19．(14分)桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道 亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是 一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经 过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系， 已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 m(图中用线段 AD，CO，BE等表示桥柱)CO＝1 m，FG＝2 m.
解：aa－ 2－54＜a－0，3＝2， 解得aa＝ ＜－ 5. 1或a＝5， ∴a＝－1， ∴抛物线的解析式为 y＝2x2－6. 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
知识点2 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移
6．(3分)将二次函数y＝x2的图象向下平移一个单位，则平移
后的二次函数的解析式为( A )
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
初三数学(人教版)《22.1.3二次函数y=a(x-h)2 +k的图象和性质(1)》国家中小学精品课
向上平移
抛物线 y1
抛物线 y2
1个单位长度
y
y2 y1
向下平移
抛物线 y1
抛物线 y3
1个单位长度
y3
x
初中数学
初中数学初三上册
探究二次函数 y ax2 k(a 0)的图象和性质
3. 抛物线 y1 2x2，y2 2x2 1 ，y3 2x2 1 有什么关系？
开口方向和大小相同
y2 y
图象从左 在对称轴左侧 至右的变 化趋势 在对称轴右侧
下降趋势 上升趋势
的变化趋势 在对称轴右侧，上升趋势
x
初中数学
初中数学初三上册
例题分析
在同一直角坐标系中画出 y1
y3
1 2
x2
3
的图象，并说明
1 2
x2
，y2
y2 ，y3 如何由
1 x2 3 和 2 y1 的图象得到.
x 3 2 1 0 1 2 3
y1 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
y2 1.5 1 2.5 3 2.5 1 1.5
初中数学
初中数学初三上册
探究二次函数 y ax2 k(a 0)的图象和性质
6. 二次函数 y ax2 k的性质
图象从左至右 在对称轴左侧 的变化趋势 在对称轴右侧
a>0 下降 上升
a<0 上升 下降
增减性 x 0 x0
a>0
y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
a<0
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》PPT课件
基础巩固练
9．抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 形状__相__同____，位置 __不__同____．把抛物线 y＝ax2 向上(下)和向左(右)平移，可以得 到抛物线 y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据 __h_，__k_____的值来决定．
基础巩固练
10．(2019·哈尔滨)将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向
基础巩固练 7．(中考·泰安)对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物
线的开口向下；
②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
基础巩固练
*8.(中考·天津)已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值 为 5，则 h 的值为( ) A．1 或－5 B．－1 或 5 C．1 或－3 D．1 或 3
素养核心练
解：∵点12，3是抛物线的顶点， ∴可设抛物线形水柱对应的函数解析式为 y＝ax－122＋3. ∵抛物线经过点(0，1)， ∴1＝0－122·a＋3，解得 a＝－8. ∴抛物线形水柱对应的函数解析式为 y＝－8x－122＋3.
点坐标． 解：图象的开口向上，对称轴为直线 x＝1， 顶点坐标为(1，－5)．
能力提升练 13．如图，已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 x 轴的一个交点为 A(3，
0)，与 y 轴的交点为 B(0，3)，对称轴为直线 x＝1. (1)求抛物线对应的函数解析式；
解：由题意可知 h＝1，则 y＝a(x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得4aa＋＋kk＝＝30，，解得ak＝＝－4. 1， 故抛物线对应的函数解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》PPT课件 湘教版
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=-1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
6.试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的异同．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同； (2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当 x>1时都是右升； (3)它们都有最小值． 不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1， 0)，y＝2(x－1)2＋5的顶点坐标是(1，5)； (2)y＝2(x－1)2的最小值是0， y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.
作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y 轴于点F，如图所示． 在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20； 在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18； 在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2. ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形．
课堂小结
图象特点 二次函数y=a(x-
24
平移方法2
y 1 x2 2
3
个 单 位
向 上 平 移
y 1 (x 1)2 3 2
向右平移 1个单位
y 1 x2 3 2
－4
8 6 4 2
－2
24
知识要点
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的(h>0，k>0).
平移规律 y = a( x - h )2 + k
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
《二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质》
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
坐标及增减性等；
2．掌握二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象的平移规律． 课堂导入
一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数
解析式为 y＝－510(x－25)2＋12，那么高尔夫球飞行过程中的最大高度是多少？
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
(3)当 y＝1.5 时，1.5＝－34(x－1)2＋3， 解得 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2， 故当 0<m<1＋ 2时，才不会淋湿衣裳．
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
8．[2018·湘潭]如图 22-1-16，点 P 为抛物线 y＝14x2 上的一动点．
后的铅球沿一段抛物线轨迹运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离为 4 m.
(1)求这个二次函数的解析式． (2)该同学把铅球推出去多远？ 图 22-1-14
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第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3， 把(0,0.6)代入，得 0.6＝a(0－4)2＋3，a＝－230， ∴y＝－230(x－4)2＋3. (2)当 y＝0 时，0＝－230(x－4)2＋3， 解得 x1＝4＋2 5，x2＝4－2 5(舍去)． 答：该同学把铅球推出去(4＋2 5) m.
2．[2017·金华]对于二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象与性质，下列说法正确的 是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
初中九年级上册数学课件 二次函数 4、二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
-2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
-3
y 1 x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5… 0.5 0 0.5 2 4.5
…
2
… y 1 (x 2)2 2
4.5 2 0.5 0 0.5 …
6
5
4
y 1 x 22
2
3
2
1
-6
-4
-2 B
对称轴方程；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，
使以P、A、B、O为顶点
y
的四边形为平行四边形，若
存在，求出P点坐标；若不
B
存在，请说明理由。
Ao x
二次函数y=a(x-ｈ)2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0
h<0
h>0
h<0
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
说出抛物线的开口方向、顶点、对称轴，最大值或最小值各是什么及增减性如何？
-7 -8 -9
-10
x=1
y
y
1(
1
2
x2
x
1)2
2
小结
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象有什么关系？
1.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右 平移|h|得到.
y=ax2 左右平移 y=a(x-h)2
左加右减
2、可由二次函数y=ax2的性质得到二次函数y=a(x-h)2的 性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值）.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]新课导入环节中, 引导学生在观察函数图象上下功夫, 同时给学生设置有悬念的问题, 使学生积极思考问题；在探究新知过程中, 让学生经历类比联想、归纳总结的过程, 应用由特殊到一般的思想, 增强学生的观察、分析、归纳和表达能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意三点: (1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质. ③[师生互动反思] 教学过程中, 教师对学生进行引导, 使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来, 养成探索的好习惯. ④[习题反思]好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现, 进一步提升操作流程和自身素质. 一、知识回顾: 画出二次函数y ＝－ (x ＋1)2, y ＝－ (x －1)2的图象, 并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……在坐标纸上描点并画图:(1)观察图象, 填开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增(2)请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).①抛物线y＝－ (x＋1)2, y＝－ x2, y＝－ (x－1)2的形状大小________.②把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x＋1)2；把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x－1)2.(2)对于抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象, 形状________, 位置__________.当h>0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；当h<0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．小试牛刀:2.抛物线y ＝4(x －2)2与y 轴的交点坐标是________, 与x 轴的交点坐标为________.3. (1)把抛物线y ＝3x2向右平移4个单位后, 得到的抛物线的表达式为________. (2)把抛物线y ＝3x2向左平移6个单位后, 得到的抛物线的表达式为________.4.(1)将抛物线y ＝－ (x －1)2向右平移2个单位后, 得到的抛物线表达式为__________． (2)将抛物线y ＝－13(x －4)2向________平移________个单位得到y ＝－13x 2.5. 写出一个顶点是(5, 0), 形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数表达式__________.当堂巩固检测(1)二次函数y ＝2(x ＋5)2的图象是________, 开口________, 对称轴是________, 当x ＝____________时, y 有最________值, 是________.(2)二次函数y ＝－3(x －4)2的图象是由抛物线y ＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________, 对称轴是________, 当x ＝________时, y 有最__________值, 是__________.(3)将二次函数y ＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象, 其对称轴是________, 顶点是________, 当x________时, y 随x 的增大而增大；当x________时, y 随x 的增大而减小.(4)将二次函数y ＝－3(x －2)2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象, 其顶点坐标是________, 对称轴是__________, 当x ＝________时, y 有最________值, 是________.(5)抛物线y ＝4(x －3)2的开口方向__________, 对称轴是__________, 顶点坐标是__________, 抛物线有最________点, 当x ＝__________时, y 有最________值, 其值为__________, 抛物线与x 轴的交点坐标为________, 与y 轴的交点坐标为________．三、课时小结1. 抛物线y ＝2(x ＋3)2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________； 当x ＞－3时, y 随x 的增大而__________；当x ＝－3时, y 有最________值是________. 2．抛物线y ＝m(x ＋n)2向左平移2个单位后, 得到的函数表达式是y ＝－4(x －4)2, 则m ＝________, n ＝________．3．二次函数y ＝a(x ＋h)2(a ≠0)的图象由y ＝ x2向右平移得到的, 且过点(1, 2), 试说明向右平移了几个单位？。
26.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件(华师大版)(1)
y= 1（x-2）2+1
2
的图像
师生互动
1
说出函数 y=2（x-2）2+1的性质
1 y= （2 x-2）2+1
师生互动
再画出y= （12 x-2）2-2的图像， 并与y= （1 x-2）2的图像作比较。
2
师生互动
试说出函数y=- （1 x-1）2+2的图象与函数y=- x12 的图象
3
3
之间的关系？由此进一步说明函数y=- （x1-1）2+2
师生互动
说出函数
1
y= 2
（x-2）2+1的图
象与函数y = 1（ x-2）2 的
2
图象之间的关系？
师生互动
说出函数y= （12 x-2）2+1的
图象与函数y= 1x2 的图象之
2
间的关系？
师生互动
填写下表： 开口方向
的y=图12像x2 向上
对称轴
Y轴
顶点坐标 （0, 0）
y=的12（图像x-2）2
4
5.y 0.5x 42 2; 6.y 3 x 32.
4
4.y 2x 22 5; 的图像可以看做是由y=2x2的图像怎
样平移得到的？
一条抛物线是由y=-3x2的图像左移5 个单位，向下平移6个单位得到的， 那么该抛物线的解析式是什么？
课堂小结
抛物线y=a(x－h)2＋k （1）开口方向由a决定，（2）对称轴是直线x=h，当 h<0时，在y轴左侧，当h>0时在y轴右侧，（3）顶点 坐标为（h,k），最值:当a>0时，x=h时y最小值=k,当a<0 时，x=h时y最大值=k. （2）形如y=a(h)2＋k（a≠0）的二次函数解析式称 为顶点式，顶点式能直接反应出抛物线的顶点坐标.
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－4
－6
1 y=－ ﹙x-1﹚2 2
－4
－2 －2
2
4
y=－ 1 ﹙x+1﹚2 2 可以看出，抛物线
y=－ 1 ﹙x-1﹚2 2
－4 －6
1 2 y x 1 的开口向下，对称轴 2 是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作
1 2 x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y x 1 2 x = 1 下 的开口向_________ ，对称轴是________________ ，顶点
y=x2
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象吗？
… …
-3 9
-2
-1
1
0 0
1
2
4
3
… …
4
1
9
y
9 8
y=x2
7
6
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2
O
-1
2
4
6
8
x
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】列表：
x … … … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … …
画出二次函数
x
y 1 x 12 2 1 2 y x 1 2
· · ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2
1
2
3
· · ·
· · ·
－2
0
－2 －4.5 －8 0
1 2
· · ·
· · ·
· · · －8 －4.5 －2
1 2
4
－2
－4
－2 －2
2
y=－
1 ﹙x+1﹚2 2
（3）它们的位置是由什么决定的？ 解析：(1)它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分 别是（0，1）（0，-1）. 抛物线 2 y=x 2 y=x +1 y=x2-1 开口方向 向上 向上 向上 对称轴 x=0 x=0 x=0 顶点坐标 （０,０） (0，1) (0，-1)
(2)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物 线y=x2-1. (3)它们的位置是由+1、-1决定的.
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=2(x+3)2
y=-3(x-1)2 y=5(x+2)2 y=-(x-6)2 y=7(x-8)2
向上, x=-3,(-3,0) 向下, x=1,(1,0) 向上, x=-2,(-2,0) 向下, x=6,(6,0) 向上, x=8,(8,0)
3.抛物线y=-3(x+2)2开口向 下 ，对称轴为 x=-2 (-2,0) 点坐标为________. 4.抛物线y=3x2+0.5 可以看成由抛物线 y=3x2 移 0.5 个单位得到的.
，顶
向 上 平
5.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点
y=2(x+2)2 （0，8）的抛物线解析式____________.
(1)抛物线y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象上下平移得到， 当 k＞0时,向上平移，当 k＜0时,向下平移，均平移︱k︱
个单位.
(2)抛物线 y=ax2+k 的性质： ①当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下;
22.1.3
二次函数y=a(xh)2+k的图象
第1课时
1.会画y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象； 2.了解y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，能结
合图象理解二次函数的性质.
二次函数y=ax2的图象是什么 形状呢？什么确定y=ax2的性质？ 通常怎样画一个函数的图象？ 我们来画最简单的二次函数y=x2的图象. x
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方
1 2 向、对称轴及顶点.你能说出抛物线 y x k 2 1 的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y x 2 2
1 2 1 2 1 2 y x , y x 2, y x 2 2 2 2
有什么关系？
1 1 2 2 y x 1 , y x 1 的图象，并 2 2 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
y=x2
y=x2+1 y=x2-1
9
4
1
0
1
4
9
10 8
5 3Leabharlann 2 01 -12 0
5 3
10 8
描点，连线
y
10
y=x2+1
8
6
y=x2-1
4
2
y=x2
-5
O
5
x
-2
（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点 各是什么？
（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？
②对称轴:y轴, 即直线 x=0;
③顶点坐标 (0,k)； ④增减性； ⑤最值；图象位置.
( 1 , 0 ) 是_________________ ．
1 2 1 2 1 2 抛物线 y x 1 y x 1 与抛物线 y x 2 2 2 有什么关系？ 1 2 可以发现，把抛物线 y x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 2 1 2 线 y x 1 ；把抛物线 y x 向右平移1个单位，就得到 2 2
抛物线 y
1 2 x 1 ． 2
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
1 2 y x 1 2 1 y x2 2
1 2 y x 1 2
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质: （1）开口方向： 当a＞0时，开口向上; 当a＜0时，开口向下； （2）对称轴： 对称轴是直线x=h; （3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0）.
1.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下， 2.对称轴是x=0（或y轴）， 3.顶点坐标是（0，k），
4.|a|越大开口越小，反之开口越大.
1.把抛物线向上平移6个单位，会得到哪条
2 抛物线？向下平移7个单位呢？ y=-3x +6
y=-3x2-7
2.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象:
1.说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶
点坐标 (1) (2) (3) y=5x2 向上，y轴,（0, 向上，y轴,（0, 向下，y轴,（0, 0) 2) 6) - 4)
y=-3x2 +2 向下，y轴,（0, y=8x2+6
(4)
y= -x2-4
2.说出下列二次函数的开口方向、对称轴
及顶点坐标
思考
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？
向下平移3.4个单位呢？ y=2x2+5 y=2x2-3.4
当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时， 抛物线将发生怎样的变化？
解析：二次项系数小于零时抛物线的开口向下；二次
项系数的绝对值越大开口越小，反之越大.
一般地抛物线y=ax2+k有如下性质：