小波变换与地震信号特征分析
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1 修正小波的引入
1. 1 小波变换 根据小波定义, 设任意给一个信号 f ( t) ∈ L 2( R, dt ) , t ∈ R , L 2( R) 为平方可积函数空
收稿日期: 2001-12-10; 修改回日期: 2002-03-12 作者简介: 刘峡( 1967-) , 女, 北京市人, 工程师, 2000 年在读硕士生, 主要从事地形变资料分析等研究。
图 1 修正的 morlet 小波的性质
小波变换可反映信号的时间域分辨率和频率域分辨率, 进行信号分析时采用何种分辨 率可使用整形参数 d 进行控制。整形参数 d 与小波时间长度 T 成正比, 与小波频带宽度成反 比。小波的长度越短, 频带宽度越大, 则其分辨率越高。而小波的频带宽度直接与整形参数 d 有关, 增加 d 值, 小波的有效频带就会减小。小波有效频带 B 与整形参数 d 的关系定义为
振幅信息是相互独立的地震信号的瞬时参数, 如图 5a, b 所示。因此, 瞬时相位信息中无地震
2 修正小波的特性
该小波为一复函数, 其振幅谱也是高斯函数。实部的中心位于小波主频 f c, 其相位为 0°。其虚部相当于将实部信号旋转了 90°。图 1a 所示为 f c = 30 Hz, d = 2 时, 修正小波的 实部( 实线) 和虚部( 虚线) 。图中同时绘出了高斯曲线的包络( 实线) 。
54 地 震 22 卷
程中有一个频率。如果为了获取小波的高频分辨率而选取较大的整形参数 d 值时, 应该在每 一倍频程内增加中心分辨频率个数, 从而避免信号的某些频率成分遗漏。例如, 对于上述振 幅谱, 当其他参数相同, 增大整形参数 d 时, 小波振幅谱的形态如图 2 所示。
为研究地震波波形特征与地球内部介质间的关系, 通常采用地震记录的瞬时参 数[ 4] , [ 5] , 如瞬时振幅、瞬时相位等。解析信号的瞬时振幅 A 定义为
56 地 震 22 卷
A = FR + FI
( 12)
式中, 下标 R 和 I 分别代表解析信号的实部和虚部。而瞬时相位定义为
每一倍频程中小波的个数与中心频率的取值密切相关, 当小波个数取得太大时, 不同小 波之间振幅谱就会产生重叠, 也就意味着小波变换系数中包含了多余的信息。最小中心频率 的取值应当根据整形参数而定, 避免在最小中心频率处产生边界效应。
3 实际资料处理
使用基本小波可将能量有限信号变换到不同尺度下的时间-尺度域( 或频率域) 。能量有 限函数( 即信号) 相对于解析小波的变换结果也是一解析函数( 或解析信号) 。其实部与虚部 存在一种线性关系, 即其虚部可通过对实部进行 Hilbert 变换得到。当小波变换沿着信号的 不同方向进行变换时, 可获得信号的不同方向上的较高分辨率。由于小波变换具有计算窗口 短, 且能获得信号的局部分辨率的信息, 故可利用不同尺度域小波变换的极大值确定信号的 局部变化信息[ 3] 。图 4a 为某一时间段内记录的地震波形, 采用本文所述方法对其进行小波 变换分别得到变换信号的实部信息图 4b 和虚部信息图 4 c。为了便于对比所有记录进行了 归一化处理。
3 期 刘 峡 等: 小 波变换与地 震信号特 征分析 5 5
图 4 地震记录的小波变换结果 ( d = 2, f c = 28 Hz) ( a) 原始地震记录; ( b ) 小波变换的实部; ( c) 小波变换的虚部
图 5 对应于图 4a 记录的瞬时相位与瞬时振幅记录 ( a) 瞬时相位记录; ( b) 瞬时振幅记录
# = arctan( FI/ FR )
( 13)
根据瞬时振幅及瞬时相位的定义, 本文利用图 4 所示的小波变换结果分别计算了图 4a 所示
记录的瞬时振幅和瞬时相位, 其结果如图 5 所示。瞬时振幅记录反映了地震波所穿过岩性界 面的声阻抗差异, 或较大的岩性变化界面。因此, 瞬时振幅的变化与不同岩性界面组合直接
-∞
-∞
- 1d < + ∞
( 3)
式中, G( ) 为 g( t ) 的傅立叶变换, 即
∫+ ∞
G( ) =
g( t ) e- i tdt
-∞
( 4)
1. 2 修正的 Morl rt 小波 小波函数在信号分析中起重要作用 , 选择合适的小波函数是小波研究中的一个重要课
题。一般而言, 任意一个平方可积函数通过一定算法使之满足条件式( 3) , 便可作为小波变换
52 地 震 22 卷
间, 则 f ( t ) 相应于母小波 g( t ) 的小波变换可表示为
∫ F( b, a) =
1 a
+∞
f
-∞
( t)
g(
t
a
b)
dt
( 1)
式中, a >
0,
b
∈
R,
g(
t
a
b)
表示
g(
t
a
b)
的共轭。相应的频域计算表达式为
!( t ) = ei te- ( t2/ 2) + ∀
( 6)
式中, ∀ 为修正项; 为角频率。当 f 足够大时修正项可忽略( f = 2 ) 。
地震信号往往受记录的长度和频带限制, 为适应地震信号分析, 需对 M orlet 小波进行
必要的修改。本文采用一个复指数函数乘以高斯函数, 进而对 Morlet 小波进行修正, 以便使 修正的基本小波能适应对有限长度和频率记录的分析要求。改进后的小波形式如下:
第 22 卷 第 3 期 2002 年 7 月
地 震
EA R T HQU AK E
Vo l. 22, No . 3 Jul. , 2002
小波变换与地震信号特征分析
刘 峡1, 张学民2
( 1. 中国科学技术大学地球与空间科学系, 安徽 合肥 230026; 2. 河北省地震局, 河北 石家庄 050021)
的母小波。
正态分布函数在信号分析中, 具有重要应用价值。现以高斯函数为例, 说明小波函数的 构造及其性质, 高斯函数来源于正态分布密度
d( t ) = 1 e- ( t2/ 2)
( 5)
2
为使高斯函数满足母小波定义, M orlet 等[ 1] 在高斯函数中引入了复三角函数, 并构造了
Morlrt 小波
相关。图 5b 显示, 位于时间 1 800 ms 左右处的较高振幅实际上对应着一套低速不整合面引
起的强阻抗界面, 该界面的位置在图 4a 中清晰可见。 地震记录的瞬时相位信息与地震波波前特征相关。因此, 瞬时相位的变化可反映地震波
的相速度的变化、所穿过介质的几何形态信息, 如断裂、整合面等信息。瞬时相位信息与瞬时
关键词 : 小波变换; 整形参数; 中心频率; 瞬时振幅; 瞬时相位 中图分 类号: P315. 72; P315. 3 文献标识码: A 文章编号: 1000-3274( 2002) 03-0051-07
引言Fra Baidu bibliotek
传统傅立叶变换对数字化记录的分析、处理具有非常重要的作用。但因其对所需变换信 号的频带要求, 限制了傅立叶变换的应用范围。为了获得局部有意义信号部分的特性, Gabor 首先引入了一个高斯窗口函数实现了加窗傅立叶变换, 该方法解决了对信号的局部信息进 行频域分析的问题。但这种信号变换方法只适用于平稳信号, 对于突变或非平稳信号, 如地 震记录, 使用该方法变换的效果受其固定频带宽度限定。
∫+
∞
e-
a2t2 dt
=
0
/ 2a ( ∨ a > 0)
( 9)
根据式( 7) , 并注意该函数的实部为偶函数这一性质, 可得
∫ ∫ ∫ + ∞ G( ) d ≤ 1 G( ) d + + ∞ G( )
-∞
0
1
( 10)
上述方程中第二项积分被积函数为高斯函数的线性组合, 故其积分值为有限正数, 第一
对信号进行小波变换可解决上述问题, 小波变换通过平移和伸缩参数可实现对信号局 部信息的任意“放大”或“缩小”, 从而可得到局部信号的不同频率分量的相应时频分辨率。小 波变换的这一显著特点已被广泛地应用于各种信号分析中。本文由小波变换的基本原理构 造了一个解析小波基, 并对该小波函数进行了详细的讨论, 最后给出了应用该小波对地震信 号分析的示例, 说明该小波对地震记录分析是非常有用的。
由该图可知, 整形参数愈大, 小波所覆盖的频带宽度也就越窄。由式( 11) 可知, 对于固定的
整形参数 d , 小波的带宽正比于其中心频率。图 1c 显示了中心频率分别为 10, 20, 40 及 80
Hz, 整形参数 d = 2 时, 小波的振幅谱。该图反映了整形参数与小波中心频率之间的关系。
如图 1d 所示, 在不同的中心频率中每一个频率都是前一个频率的一倍。因此, 每一倍频
小波变换的实部波形与原始波形的相位角一致, 如图 4a 与图 4b 所示。小波变换的实部 与虚部波形也很相似, 只是两者间的相位角差了 90°, 如图 4b 与图 4c。因此, 对实地震记录 进行小波变换就相当于对实信号进行一种特殊类型的带通滤波。滤波后的记录为一解析信
号, 其实部是零相位滤波器对实信号的滤波结果, 虚部则是 90°相位形式的滤波器对实信号 的滤波结果。
∫ F( b, a) =
1 2
+∞
ei bF(
-∞
) G(
)
d
( 2)
式中, 为角频率。须要注意的是, 所谓小波指它具有衰减性和波动性, 如局部非零, 振幅呈
正负相间的震荡形式。小波函数 g( t ) 为平方可积函数, 且满足下列条件:
∫ ∫ + ∞
+∞
g( t) 2dt < ∞; G( ) 2
摘要: 地震波的瞬时信号, 如瞬时振幅、瞬时频率及瞬时相位等, 是研究地球介质的重要参数。根 据小波 定义, 对 M o rlet 小波进行了修正, 并对修正后 的小波形态进行了 深入讨论。理论分析表 明, 小波变换效果受到整形参数、小波长度、中心频率、频带宽度及小波个数等参数的 制约, 特别 是整形 参数与小波中心频率及频带之间关系对小波变换起到决定性作用。在地震波信号的实际 处 理中, 可选 取恰当的整形参数, 同时采用合 适的小波中心频 率以避免小 波变换对 信号产生的 遗漏和 冗余。文 中给出了实际地震记录处理的示例。
B=
f cC d
( 11)
两者间的关系如图 1b 所示, 该图显示了中心频率 f c = 30 Hz, 整形参数 d = 1, 2, 4 时小
波包络的形态( 其中最内的曲线 d = 1, 最外的曲线 d = 4) 。当 d = 2 时的实际小波形态见图
1a。
图 1c 显示了对应于图 1b 小波的振幅谱( 其中, 峰值最低的 d = 1, 峰值最高的 d = 4) 。
g( t) =
e e -
(
fi d
)
2c
it
( 7)
式中, f 是小波的中心的频率; d 是一个整形的参数; C 为常系数, 依计算精度而定。低频条件 下可取 C = 1. 2 左右, 可获得较理想的分辨率。由于[ 2]
∫+ ∞ ei te- atdt = -∞
2
a e- 4a
( 8)
对于高斯函数有
3 期 刘 峡 等: 小 波变换与地 震信号特 征分析 5 3
项积分不是广义积分, 其积分值也是一个有限正数[ 2] 。故修正的小波函数满足小波母函数条 件。因该小波是由 M orlet 小波形式推出, 故称此小波为修正的 Morlet 母小波。
图 2 小波的振幅谱形态( 中心频率为 10、20、40、80 Hz, d = 6 时 )
图 3 小波的振幅谱形态( 中心频率为 10、14、 20、28、40、56、80、112 Hz, d = 6 时 )
显然, 图 2 中不同中心频率的振幅谱之间存在空缺, 意味着空缺处的频率成分将会遗 漏。解决该问题的方法就是在每一倍频程内增加小波的个数, 进而使所有频率成分都包含在 小波的振幅谱中。如对图 2 中每一倍频程使用二个小波时, 并分别取第二个小波的中心频率 为第一小波的中心频率的 2 倍, 小波振幅谱的形态如图 3 所示, 该图显示了中心频率为 10、14、20、28、40、56、80、112 Hz 时的振幅谱形态。说明通过在倍频程内增加小波, 可弥补因 整形参数增大而引起的频率成分遗漏。
1. 1 小波变换 根据小波定义, 设任意给一个信号 f ( t) ∈ L 2( R, dt ) , t ∈ R , L 2( R) 为平方可积函数空
收稿日期: 2001-12-10; 修改回日期: 2002-03-12 作者简介: 刘峡( 1967-) , 女, 北京市人, 工程师, 2000 年在读硕士生, 主要从事地形变资料分析等研究。
图 1 修正的 morlet 小波的性质
小波变换可反映信号的时间域分辨率和频率域分辨率, 进行信号分析时采用何种分辨 率可使用整形参数 d 进行控制。整形参数 d 与小波时间长度 T 成正比, 与小波频带宽度成反 比。小波的长度越短, 频带宽度越大, 则其分辨率越高。而小波的频带宽度直接与整形参数 d 有关, 增加 d 值, 小波的有效频带就会减小。小波有效频带 B 与整形参数 d 的关系定义为
振幅信息是相互独立的地震信号的瞬时参数, 如图 5a, b 所示。因此, 瞬时相位信息中无地震
2 修正小波的特性
该小波为一复函数, 其振幅谱也是高斯函数。实部的中心位于小波主频 f c, 其相位为 0°。其虚部相当于将实部信号旋转了 90°。图 1a 所示为 f c = 30 Hz, d = 2 时, 修正小波的 实部( 实线) 和虚部( 虚线) 。图中同时绘出了高斯曲线的包络( 实线) 。
54 地 震 22 卷
程中有一个频率。如果为了获取小波的高频分辨率而选取较大的整形参数 d 值时, 应该在每 一倍频程内增加中心分辨频率个数, 从而避免信号的某些频率成分遗漏。例如, 对于上述振 幅谱, 当其他参数相同, 增大整形参数 d 时, 小波振幅谱的形态如图 2 所示。
为研究地震波波形特征与地球内部介质间的关系, 通常采用地震记录的瞬时参 数[ 4] , [ 5] , 如瞬时振幅、瞬时相位等。解析信号的瞬时振幅 A 定义为
56 地 震 22 卷
A = FR + FI
( 12)
式中, 下标 R 和 I 分别代表解析信号的实部和虚部。而瞬时相位定义为
每一倍频程中小波的个数与中心频率的取值密切相关, 当小波个数取得太大时, 不同小 波之间振幅谱就会产生重叠, 也就意味着小波变换系数中包含了多余的信息。最小中心频率 的取值应当根据整形参数而定, 避免在最小中心频率处产生边界效应。
3 实际资料处理
使用基本小波可将能量有限信号变换到不同尺度下的时间-尺度域( 或频率域) 。能量有 限函数( 即信号) 相对于解析小波的变换结果也是一解析函数( 或解析信号) 。其实部与虚部 存在一种线性关系, 即其虚部可通过对实部进行 Hilbert 变换得到。当小波变换沿着信号的 不同方向进行变换时, 可获得信号的不同方向上的较高分辨率。由于小波变换具有计算窗口 短, 且能获得信号的局部分辨率的信息, 故可利用不同尺度域小波变换的极大值确定信号的 局部变化信息[ 3] 。图 4a 为某一时间段内记录的地震波形, 采用本文所述方法对其进行小波 变换分别得到变换信号的实部信息图 4b 和虚部信息图 4 c。为了便于对比所有记录进行了 归一化处理。
3 期 刘 峡 等: 小 波变换与地 震信号特 征分析 5 5
图 4 地震记录的小波变换结果 ( d = 2, f c = 28 Hz) ( a) 原始地震记录; ( b ) 小波变换的实部; ( c) 小波变换的虚部
图 5 对应于图 4a 记录的瞬时相位与瞬时振幅记录 ( a) 瞬时相位记录; ( b) 瞬时振幅记录
# = arctan( FI/ FR )
( 13)
根据瞬时振幅及瞬时相位的定义, 本文利用图 4 所示的小波变换结果分别计算了图 4a 所示
记录的瞬时振幅和瞬时相位, 其结果如图 5 所示。瞬时振幅记录反映了地震波所穿过岩性界 面的声阻抗差异, 或较大的岩性变化界面。因此, 瞬时振幅的变化与不同岩性界面组合直接
-∞
-∞
- 1d < + ∞
( 3)
式中, G( ) 为 g( t ) 的傅立叶变换, 即
∫+ ∞
G( ) =
g( t ) e- i tdt
-∞
( 4)
1. 2 修正的 Morl rt 小波 小波函数在信号分析中起重要作用 , 选择合适的小波函数是小波研究中的一个重要课
题。一般而言, 任意一个平方可积函数通过一定算法使之满足条件式( 3) , 便可作为小波变换
52 地 震 22 卷
间, 则 f ( t ) 相应于母小波 g( t ) 的小波变换可表示为
∫ F( b, a) =
1 a
+∞
f
-∞
( t)
g(
t
a
b)
dt
( 1)
式中, a >
0,
b
∈
R,
g(
t
a
b)
表示
g(
t
a
b)
的共轭。相应的频域计算表达式为
!( t ) = ei te- ( t2/ 2) + ∀
( 6)
式中, ∀ 为修正项; 为角频率。当 f 足够大时修正项可忽略( f = 2 ) 。
地震信号往往受记录的长度和频带限制, 为适应地震信号分析, 需对 M orlet 小波进行
必要的修改。本文采用一个复指数函数乘以高斯函数, 进而对 Morlet 小波进行修正, 以便使 修正的基本小波能适应对有限长度和频率记录的分析要求。改进后的小波形式如下:
第 22 卷 第 3 期 2002 年 7 月
地 震
EA R T HQU AK E
Vo l. 22, No . 3 Jul. , 2002
小波变换与地震信号特征分析
刘 峡1, 张学民2
( 1. 中国科学技术大学地球与空间科学系, 安徽 合肥 230026; 2. 河北省地震局, 河北 石家庄 050021)
的母小波。
正态分布函数在信号分析中, 具有重要应用价值。现以高斯函数为例, 说明小波函数的 构造及其性质, 高斯函数来源于正态分布密度
d( t ) = 1 e- ( t2/ 2)
( 5)
2
为使高斯函数满足母小波定义, M orlet 等[ 1] 在高斯函数中引入了复三角函数, 并构造了
Morlrt 小波
相关。图 5b 显示, 位于时间 1 800 ms 左右处的较高振幅实际上对应着一套低速不整合面引
起的强阻抗界面, 该界面的位置在图 4a 中清晰可见。 地震记录的瞬时相位信息与地震波波前特征相关。因此, 瞬时相位的变化可反映地震波
的相速度的变化、所穿过介质的几何形态信息, 如断裂、整合面等信息。瞬时相位信息与瞬时
关键词 : 小波变换; 整形参数; 中心频率; 瞬时振幅; 瞬时相位 中图分 类号: P315. 72; P315. 3 文献标识码: A 文章编号: 1000-3274( 2002) 03-0051-07
引言Fra Baidu bibliotek
传统傅立叶变换对数字化记录的分析、处理具有非常重要的作用。但因其对所需变换信 号的频带要求, 限制了傅立叶变换的应用范围。为了获得局部有意义信号部分的特性, Gabor 首先引入了一个高斯窗口函数实现了加窗傅立叶变换, 该方法解决了对信号的局部信息进 行频域分析的问题。但这种信号变换方法只适用于平稳信号, 对于突变或非平稳信号, 如地 震记录, 使用该方法变换的效果受其固定频带宽度限定。
∫+
∞
e-
a2t2 dt
=
0
/ 2a ( ∨ a > 0)
( 9)
根据式( 7) , 并注意该函数的实部为偶函数这一性质, 可得
∫ ∫ ∫ + ∞ G( ) d ≤ 1 G( ) d + + ∞ G( )
-∞
0
1
( 10)
上述方程中第二项积分被积函数为高斯函数的线性组合, 故其积分值为有限正数, 第一
对信号进行小波变换可解决上述问题, 小波变换通过平移和伸缩参数可实现对信号局 部信息的任意“放大”或“缩小”, 从而可得到局部信号的不同频率分量的相应时频分辨率。小 波变换的这一显著特点已被广泛地应用于各种信号分析中。本文由小波变换的基本原理构 造了一个解析小波基, 并对该小波函数进行了详细的讨论, 最后给出了应用该小波对地震信 号分析的示例, 说明该小波对地震记录分析是非常有用的。
由该图可知, 整形参数愈大, 小波所覆盖的频带宽度也就越窄。由式( 11) 可知, 对于固定的
整形参数 d , 小波的带宽正比于其中心频率。图 1c 显示了中心频率分别为 10, 20, 40 及 80
Hz, 整形参数 d = 2 时, 小波的振幅谱。该图反映了整形参数与小波中心频率之间的关系。
如图 1d 所示, 在不同的中心频率中每一个频率都是前一个频率的一倍。因此, 每一倍频
小波变换的实部波形与原始波形的相位角一致, 如图 4a 与图 4b 所示。小波变换的实部 与虚部波形也很相似, 只是两者间的相位角差了 90°, 如图 4b 与图 4c。因此, 对实地震记录 进行小波变换就相当于对实信号进行一种特殊类型的带通滤波。滤波后的记录为一解析信
号, 其实部是零相位滤波器对实信号的滤波结果, 虚部则是 90°相位形式的滤波器对实信号 的滤波结果。
∫ F( b, a) =
1 2
+∞
ei bF(
-∞
) G(
)
d
( 2)
式中, 为角频率。须要注意的是, 所谓小波指它具有衰减性和波动性, 如局部非零, 振幅呈
正负相间的震荡形式。小波函数 g( t ) 为平方可积函数, 且满足下列条件:
∫ ∫ + ∞
+∞
g( t) 2dt < ∞; G( ) 2
摘要: 地震波的瞬时信号, 如瞬时振幅、瞬时频率及瞬时相位等, 是研究地球介质的重要参数。根 据小波 定义, 对 M o rlet 小波进行了修正, 并对修正后 的小波形态进行了 深入讨论。理论分析表 明, 小波变换效果受到整形参数、小波长度、中心频率、频带宽度及小波个数等参数的 制约, 特别 是整形 参数与小波中心频率及频带之间关系对小波变换起到决定性作用。在地震波信号的实际 处 理中, 可选 取恰当的整形参数, 同时采用合 适的小波中心频 率以避免小 波变换对 信号产生的 遗漏和 冗余。文 中给出了实际地震记录处理的示例。
B=
f cC d
( 11)
两者间的关系如图 1b 所示, 该图显示了中心频率 f c = 30 Hz, 整形参数 d = 1, 2, 4 时小
波包络的形态( 其中最内的曲线 d = 1, 最外的曲线 d = 4) 。当 d = 2 时的实际小波形态见图
1a。
图 1c 显示了对应于图 1b 小波的振幅谱( 其中, 峰值最低的 d = 1, 峰值最高的 d = 4) 。
g( t) =
e e -
(
fi d
)
2c
it
( 7)
式中, f 是小波的中心的频率; d 是一个整形的参数; C 为常系数, 依计算精度而定。低频条件 下可取 C = 1. 2 左右, 可获得较理想的分辨率。由于[ 2]
∫+ ∞ ei te- atdt = -∞
2
a e- 4a
( 8)
对于高斯函数有
3 期 刘 峡 等: 小 波变换与地 震信号特 征分析 5 3
项积分不是广义积分, 其积分值也是一个有限正数[ 2] 。故修正的小波函数满足小波母函数条 件。因该小波是由 M orlet 小波形式推出, 故称此小波为修正的 Morlet 母小波。
图 2 小波的振幅谱形态( 中心频率为 10、20、40、80 Hz, d = 6 时 )
图 3 小波的振幅谱形态( 中心频率为 10、14、 20、28、40、56、80、112 Hz, d = 6 时 )
显然, 图 2 中不同中心频率的振幅谱之间存在空缺, 意味着空缺处的频率成分将会遗 漏。解决该问题的方法就是在每一倍频程内增加小波的个数, 进而使所有频率成分都包含在 小波的振幅谱中。如对图 2 中每一倍频程使用二个小波时, 并分别取第二个小波的中心频率 为第一小波的中心频率的 2 倍, 小波振幅谱的形态如图 3 所示, 该图显示了中心频率为 10、14、20、28、40、56、80、112 Hz 时的振幅谱形态。说明通过在倍频程内增加小波, 可弥补因 整形参数增大而引起的频率成分遗漏。