北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第一章 1.1 归纳推理 含解析
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 归纳推理 参考教案1
归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。
由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。
”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。
这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表： 多面体面数（F ）棱数（E ）顶点数（V ）三棱锥 4 6 4 四棱锥 5 8 5 五棱锥 6 10 6 三棱柱 5 9 6 五棱柱 7 15 10 立方体 6 12 8 八面体 8 12 6 十二面体 123020从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
数学北师大选修22教材基础 第一章§1归纳与类比 含答案
第一章推理与证明走近学科思想推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,演绎推理具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.知识要点重要指数链接考题学习策略合情推理★★P5，例1（2007浙江高考，理8）；P6，例2（2007福建高考，理16）通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法综合法和分析法★★★★P22，例4（2006辽宁高考，理18文19）；P24，例5（2007海南、宁夏高考，理22（A））弄清综合法和分析法的证明方法特征,通过一些实例证明熟练两种证明方法的证明过程反证法★★★P42,例6（2007河南郑州模拟）；P43，例7（2007江西高考，理16）弄清楚使用反证法的常见情形及适用条件,形成使用反证法的意识数学归纳法★★★★P60，例9（2007天津高考，理21）；P60,例8（2006湖南高考，理19）关键是找出从n=k到n=k+1时的递推关系式§1 归纳与类比在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.高手支招1细品教材一、推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.状元笔记合情推理中,当前提为真时,结论可能为真,也可能为假.2.合情推理(1)当前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,其推理过程为：(2)两种合情推理:归纳推理和类比推理.二、归纳推理1.概念根据一类事物的部分事物具有某种性质,推出这类事物中每一个都具有这种属性的推理方式,叫做归纳推理(有时简称归纳).归纳推理是从个别到一般.由部分到整体的过程. 状元笔记归纳推理的前提与结论不具有必然性联系,其结论不一定正确.2.特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.3.归纳推理的步骤其一般步骤为:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例:已知:数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nn a a +1(n=1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式. 思路分析：数列{a n }的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列{a n }的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1,当n=2时,a 2=21111=+,当n=3时,a 3=3121121=+,当n=4时,a 4=4131131=+,…… 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出:a n =n1. 三、类比推理1.概念两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,这类推理叫做类比推理(简称类比).类比推理是数学推理的一种重要形式,它的实质是根据两对象之间的相似,把信息从一个对象转移到另外一个对象,类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用.2.特点(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(3)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.类比推理在数学发现中有重要作用.(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.状元笔记类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式,目的是寻找事物之间的共同或相似性质,它是一种似真推理.类比推理的结论需要进一步证明其正确性,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.例如，据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等.又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念.惠更斯在这里运用的推理就是类比推理. 3.类比推理的步骤其一般步骤为:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).状元笔记类比推理是两类事物特征之间的推理,利用类比推理得出的结论可能是正确的,也可能是错误的.【示例】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是（）①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③思路分析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案：C高手支招2基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式.任何推理都由前提和结论两部分组成,前提与结论的关系是理由与推断.原因与结果的关系.本节则主要讲述合情推理的两种类型:归纳推理和类比推理.其主要知识结构如下:。
高中数学北师大版选修22第1章归纳推理word教案3
归纳推理教学进程：一：创设情景，引入概念师：今天咱们要学习第一章：推理与证明。
那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的进程。
（学生观看flash动画）。
师：有哪位同窗能描述一下这段flash动画中的人物的推理进程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是取得推理：天下乌鸦一般黑。
师：很好！那么能不能把这个推理的进程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断取得一个新的判断的进程。
师：超级好！（引出推理的概念）。
师：推理包括合情推理和演绎推理，而咱们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。
那么，什么是归纳推理呢？下面咱们通过介绍数学中的一个超级出名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。
（引入哥德巴赫猜想）师：听说哥德巴赫无心中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。
大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。
师：对。
咱们看来这些式子都是简单的加法运算。
可是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子互换了一下位置，即变成：10=3+7，20=3+17，30=13+17。
大家观察这两组式子，他们有什么不同的地方？生：变换之前是把两个数加起来，变换以后却是把一个数分解成两个数。
师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。
师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。
师：那咱们就可以够取得什么结论？生：偶数=奇数+奇数。
师：这个结论咱们在小学就知道了。
大家在挖掘一下，等式右边的数除都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。
）师：那么咱们是不是可以取得一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。
生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。
师：超级好！那么咱们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。
（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那咱们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。
北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第一章 常用逻辑用语 章末综合检测一 含解析
章末综合检测(一)[学生用书P91(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④对任意x∈R，5x－3＞6．A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选D．①无法判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④为命题．2．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是()A．若x＜－3，则x≤0B．若x＞－3，则x≥0C．若x＜0，则x≤－3D．若x≥0，则x＞－3解析：选D．逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x≥0，则x＞－3”．3．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A．此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，使得e x≤x2”．4．已知条件p：x＞0，条件q：x≥1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．因为{x|x≥1}{x|x＞0}，所以p是q的必要不充分条件．5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C ．因为b ⊥β，α∥β，所以b ⊥α，又a α，所以a ⊥b ．6．命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期是π，则命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图像，所以命题p 是假命题，“非p ”是真命题，“p 且q ”是假命题． 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝ cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －π6·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝ cos 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π32＋12，最小正周期为π，命题q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故真命题有2个，故选C ．7．关于x 的函数f (x )＝sin(φx ＋φ)有以下命题：①任意φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )；②存在φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )；③任意φ∈R ，f (x )都不是偶函数；④存在φ∈R ，使f (x )是奇函数．其中假命题的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④D ．②③解析：选A ．对于命题①，若f (x ＋2π)＝sin(φx ＋2πφ＋φ)＝sin(φx ＋φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f (x )＝sin(φx ＋φ)，当φ＝π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题．所以选A ．8．已知平面α，直线l ⊆/α，直线m α，则“直线l ∥α”是“l ∥m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．l ∥α，l ⊆/α，m α，l 与m 可能平行或异面；反过来，若l ∥m ，l ⊆/α，m α，则l ∥α．9．命题p ：“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ．因为p 真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B ． 10．已知命题p ：函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(非p )且(非q )D ．p 或(非q )解析：选B ．函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π2知命题p 为假命题；若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )关于x ＝1对称，据此可知命题q 为真命题，根据真值表可得“p 或q ”为真命题．11．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( ) A ．x ＜0 B ．x ＜0或x ＞4 C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3解析：选C ．由x 2－4x ＞0有x ＞4或x ＜0，故f (x )＞0的必要不充分条件中x 的取值范围应包含集合{x |x ＞4或x ＜0}，验证可知，只有C 选项符合．12．下列判断正确的是( )A ．命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”B ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是假命题C ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ≤0D ．x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y解析：选D ．对于A ：其逆否命题为“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”，排除A ．对于B ：若“p 或q ”为假命题，则p 、q 均为假命题，非p 、非q 均为真命题，故非p 且非q 为真命题，排除B ．对于C ：ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集， 当a ＝0时，可得b ＝0，c ＞0，当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，排除C ，故选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若“x ＝2”是“x 2－2x ＋c ＝0”的充分条件，则c ＝________． 解析：由题意x ＝2⇒x 2－2x ＋c ＝0，所以22－2×2＋c ＝0，所以c ＝0． 答案：014．若命题“存在x <2 017，x >a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为“存在x <2 017，x >a ”是假命题，所以其否定：“对任意x <2 017，x ≤a ”为真命题，所以a ≥2 017．答案：[2 017，＋∞)15．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 解析：若a·b ＝a·c ，则a·b －a·c ＝0，即a·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )；反之，若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0，即a·b －a·c ＝0，所以a·b ＝a·c .从而有a·b ＝a·c ⇔a ⊥(b －c )．答案：充要16．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p 或q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：“p 或q ”为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞)三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)判断下列命题的真假． (1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“对于任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定． 解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题． 18．(本小题满分12分)已知命题p ：x －5x ＜0，命题q ：函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义．(1)若“p 且q ”为真命题，求实数x 的取值范围； (2)若“p 或(﹁q )”为假命题，求实数x 的取值范围． 解：由x －5x ＜0，得0＜x ＜5，要使函数y ＝log 2(x 2－x －12)有意义， 需x 2－x －12＞0， 解得x ＜－3或x ＞4．(1)若“p 且q ”为真命题，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜5，x ＜－3或x ＞4， 解得4＜x ＜5．(2)若“p 或(﹁q )”为假命题，则p 与﹁q 都为假命题， 所以﹁p 与q 都为真命题， 因为﹁p ：x ≤0或x ≥5，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥5，x ＜－3或x ＞4，解得x ＜－3或x ≥5．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋43sin 2x －23－1，且给定条件p ：“⎝⎛⎭⎫x －π4⎝⎛⎭⎫x －π2＞0”(x ∈R )． (1)在非p 的条件下，求f (x )的值域；(2)若条件q ：“－2＜f (x )－m ＜2”，且非p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)非p ：⎝⎛⎭⎫x －π4⎝⎛⎭⎫x －π2≤0，即x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋43sin 2x －23－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )∈[3，5]． (2)q ：m －2＜f (x )＜m ＋2， 因为非p 是q 的充分条件，所以{f (x )|3≤f (x )≤5}⊆{f (x )|m －2＜f (x )＜m ＋2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜3，m ＋2＞5，即m ∈(3，5)．20．(本小题满分12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：x －5x －3≥2，所以x －1x －3≤0，所以1≤x ＜3．因为q ：x 2－ax ≤x －a ， 所以x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0． ①当a ＜1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a ＞1时，1≤x ≤a ． 因为非p 是非q 的充分条件， 所以q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ， 当a ＜1时，A ⊆/B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a ＞1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1＜a ＜3．综上，a 的取值范围为a ∈[1，3)．21．(本小题满分12分)对于函数f (x )，若命题“任意x 0∈R ，f (x 0)≠x 0”的否定为真命题，则称x 0为函数f (x )的不动点．(1)若函数f (x )＝x 2－mx ＋4有两个相异的不动点，求实数m 的取值集合M ；(2)在(1)中的条件下，设不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知方程x 2－mx ＋4＝x ，即x 2－(m ＋1)x ＋4＝0有两个相异的实根，所以Δ＝[－(m ＋1)]2－16＞0，解得m ＞3或m ＜－5，即M ＝{m |m ＜－5或m ＞3}．(2)解不等式(x －a )(x ＋a －2)＞0，当a ＞1时，N ＝{x |x ＞a 或x ＜2－a }；当a ＜1时，N ＝{x |x ＞2－a 或x ＜a }；当a ＝1时，N ＝{x |x ≠1}．因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的充分不必要条件，所以N M .当a ＞1时，⎩⎨⎧2－a ≤－5，a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≥7；当a ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5，2－a ≥3(等号不同时取到)，解得a ≤－5；当a ＝1时，不合题意，舍去．综上可得实数a 的取值范围是a ≥7或a ≤－5．22．(本小题满分12分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2． (1)当b ＞0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ． 证明：(1)此题等价于对所有x ∈R 有ax －bx 2≤1，即bx 2－ax ＋1≥0， 因为b ＞0，所以Δ＝a 2－4b ≤0． 又因为a ＞0，所以a ≤2b ．(2)①必要性：设对所有x ∈[0，1]，有|f (x )|≤1，即－1≤ax －bx 2≤1． 令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1． 因为b ＞1，所以12－12b ≤a 2b ≤12＋12b ．这说明a2b∈[0，1]．所以f ⎝⎛⎭⎫a 2b ≤1，即a 22b －b ·a24b 2≤1． 所以a 2≤4b ，a ≤2b ．综上所述，有b －1≤a ≤2b ． ②充分性：设b －1≤a ≤2b ． 因为b ＞1，所以a 2b ＝a 2b ·1b＜1．所以当x ∈[0，1]时f (x )的最大值为f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a ·a 2b －b ·a 24b 2＝a24b＜1． 又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线， 所以当x ∈[0，1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝ min{f (0)，f (1)}＝min{0，a －b }≥－1． 所以当x ∈[0，1]时，|f (x )|≤1．综合①②可知，当b ＞1时，对任意x ∈[0，1]有|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ．。
高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课后篇巩固提升含解析北师大版选修2_2
第一章DIYIZHANG推理与证明§1归纳与类比课后篇巩固提升A组1.下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中第1个图形由1个小正方形组成,第2个图形由3个小正方形组成,第3个图形由7个小正方形组成,第4个图形由13个小正方形组成,……,那么第8个图形中小正方形的个数是()A.72B.73C.57D.581个图形中的小正方形个数为1;第2个图形中的小正方形个数为1+2=3;第3个图形中的小正方形个数为1+2+4=7;第4个图形中的小正方形个数为1+2+4+6=13;所以第8个图形中的小正方形个数为1+2+4+6+8+10+12+14=57.故选C.2.下列几种推理中是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质.②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均为180°,归纳出所有三角形的内角和均为180°.③教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了.④由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.A.①②B.①③④C.①②④D.②④是类比推理,②④是归纳推理,故①②④都是合情推理.3.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“a+bc =ac+bc(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比推出“(a+b)n=a n+b n”4.已知数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7),数对中两数之和为2的有1个,为3的有2个,为4的有3个,…,为11的有10个,则根据数对规律可推出第56个数对为(1,11),往下的数对依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),….故选D .5.在平面直角坐标系中,点(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离d=00√A 2+B 2,类比可得在空间直角坐标系中,点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离为( ) A.4B.5C.163D.203,点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=000√A 2+B 2+C 2,故点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离d=√12+22+22=4.故选A .6.若数列{a n }是等差数列,则数列b n =a n+1+a n+2+…+a n+mm(m ∈N *)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若正项数列{c n }是等比数列,则数列d n = 也是等比数列.√c n+1c n+2…c n+m7.观察下列等式:sin30°+sin90°cos30°+cos90°=√3,sin15°+sin75°cos15°+cos75°=1,sin20°+sin40°cos20°+cos40°=√33. 照此规律,对于一般的角α,β,有等式 .,发现tan 30°+90°2=√3,tan15°+75°2=1,tan20°+40°2=√33,故对于一般的角α,β的等式为sinα+sinβcosα+cosβ=tan α+β2.tanα+β28.阅读以下求1+2+3+…+n (n ∈N +)的过程:因为(n+1)2-n 2=2n+1,n 2-(n-1)2=2(n-1)+1,…,22-12=2×1+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+…+n )+n ,所以1+2+3+…+n=n 2+2n -n2=n (n+1)2.类比上述过程,可得12+22+32+…+n 2= (n ∈N +).(n+1)3-n 3=3n 2+3n+1,n 3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,…,23-13=3×12+3×1+1,以上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+…+n 2)+3(1+2+…+n )+n ,所以12+22+32+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6.9.已知数列{a n }满足a 1=1,a na n+1=nn+1(n ∈N +).(1)求a 2,a 3,a 4,a 5,并猜想通项公式a n ;(2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6S4=a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15试求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+…+S2n-1的值.因为a1=1,由a na n+1=nn+1,知a n+1=n+1na n,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可归纳猜想出a n=n(n∈N+).(2)根据(1)中的猜想,数阵为:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,当n>2时,有c n>a n+b n成立,请你类比直角三角形的这个性质,猜想一下空间四面体的性质.,与Rt△ABC对应的是四面体P-DEF;与Rt△ABC的两条边交成一个直角相对应的是四面体P-DEF的三个面在一个顶点D处构成3个直二面角;与Rt△ABC直角边a,b相对应的是四面体P-DEF 的平面△DEF,△FPD,△DPE的面积S1,S2,S3;与Rt△ABC的斜边c相对应的是四面体P-DEF的平面△PEF的面积S.由此猜想:当n>2时,S n>S1n+S2n+S3n.B组1.已知点P(10,3)在椭圆C:x2a2+y299=1上.若点N(x0,y0)在圆M:x2+y2=r2上,则圆M过点N的切线方程为x0x+y0y=r2.由此类比得椭圆C在点P处的切线方程为()A.x33+y11=1 B.x110+y99=1C.x11+y33=1 D.x99+y110=1P(10,3)在椭圆C:x 2a2+y299=1上,故可得100a 2+999=1,解得a 2=110.由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为10x110+3y99=1,整理可得x11+y33=1.故选C .2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }{n ∈N +}的前12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则a 2 013+a 2 014+a 2015=()A.1 006B.1 007C.1 008D.2 015,偶数项的值等于其项数的一半,则a 4n-3=n ,a 4n-1=-n ,a 2n =n ,∵2013=4×504-3,2015=4×504-1, ∴a 2013=504,a 2015=-504,a 2014=1007. ∴a 2013+a 2014+a 2015=1007.3.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,利用倒序求和法,可将S n 表示成首项a 1,末项a n 与项数n 的一个关系式,即S n =n (a 1+a n )2;类似地,记等比数列{b n }的前n 项积为T n ,且b n >0(n ∈N +),试类比等差数列求和的方法,可将T n 表示成首项b ,末项b n 与项数n 的一个关系式,即T n =( ) A.n (b 1+b n )2B.(b 1+b n )n2C.√b 1b n nD.(b 1b n )n 2,若m+n=p+q ,则b m ·b n =b p ·b q ,利用倒序求积法可得{T n =b 1·b 2·…·b n ,T n =b n ·b n -1·…·b 1,两式相乘得T n 2=(b 1b n )n ,故T n =(b 1b n )n2.4.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,根据以上式子可以猜想:1+122+12+…+120212< .:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,1+122+132+…+1n 2<2n -1n,故可得1+122+132+…+120212<40412021.5.在长方形ABCD 中,对角线AC 与两邻边所成的角分别为α,β,则cos 2α+cos 2β=1,请在立体几何中,给出类比猜想.,如图.ABCD中,cos2α+cos2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.证明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=(ml )2+(nl)2+(gl)2=m2+n2+g2l2=l2l2=1.6.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案,按照如此规律,第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用归纳推理,归纳出f(n+1)与f(n)的关系式;(3)猜想f(n)的表达式,并写出推导过程.图①中只有一个小正方形,得f(1)=1;图②中有3层,以第2层为对称轴,有1+3+1=5(个)小正方形,得f(2)=5;图③中有5层,以第3层为对称轴,有1+3+5+3+1=13(个)小正方形,得f(3)=13;图④中有7层,以第4层为对称轴,有1+3+5+7+5+3+1=25(个)小正方形,得f(4)=25;第五步所对应的图案中有9层,以第5层为对称轴,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(个)小正方形,得f(5)=41.(2)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,∴f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,∴f(n+1)-f(n)=4n.∴f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)=2n2-2n+1.由(2)可知f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,……f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4,将上述n-1个式子相加,得f(n)-f(1)=4[1+2+3+4+…+(n-1)],则f(n)=2n2-2n+1.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 解读归纳推理
解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。
简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。
由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。
在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。
应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。
二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。
⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。
解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。
⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。
⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。
点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。
- 1 - / 2四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。
⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。
北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法(1)
1 思考:问题 问题2中证明数列的通项公式 思考 问题 中证明数列的通项公式 an = 这个猜想 n
由条件知,n=1时猜想成立 时猜想成立. 由条件知 时猜想成立 如果n=k时猜想成立 即 a = 1 ,那么当 时猜想成立,即 那么当n=k+1时猜 如果 时猜想成立 那么当 时猜 k k 1 想也成立,即 想也成立 即 a k +1 =
k +1
与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗 你能类比多米诺骨 牌游戏解决这个问题吗? 牌游戏解决这个问题吗
事实上, 事实上
a k +1 =
ak 1 = = 1 + ak 1 + 1 k + 1 k
8
1 k
时猜想也成立. 即n=k+1时猜想也成立 时猜想也成立
1 an = n
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 问题 ：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
4
问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 曾经提出一个猜想： 费马
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如F 形如 n＝2 的纳法得到的某些与自然数有关 自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性： 们的正确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 证明当n取第一个值n 例如n 成立; 成立; 【归纳奠基】 归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 假设当n=k(k∈N 证明当n=k+1时命题也成立. 归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立【归纳递推】 n=k+1时命题也成立.
2019-2020学年北师大版数学选修2-2新素养同步讲义：第一章 推理与证明 章末复习提升课
章末复习提升课1．推理合情推理⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧归纳推理⎩⎪⎨⎪⎧定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理⎩⎪⎨⎪⎧定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：是由特殊到特殊的推理2．证明 (1)直接证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止实质由因导果执果索因框图 表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→… →Q n ⇒QQ ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇒P 3→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．归纳推理及应用自然数按下表的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.【答案】 D类比推理及应用如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i＝1，2，3，4)，此四边形内任一点到第i 条边的距离记为h i (i ＝1，2，3，4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝________．因为V ＝13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)，S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，所以V ＝13(KH 1＋2KH 2＋3KH 3＋4KH 4)，所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK.【答案】3V K综合法与分析法的应用已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； (3)当0<b ≤1时，讨论对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件．【解】 (1)证明：因为b >0，f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b ，所以f (x )在R 上的最大值为a 24b.因为对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，所以a 24b≤1.因为a >0，b >0，所以a ≤2b .(2)证明：先证明必要性．因为b >1， 所以0<1b<1. 由x ∈[0，1]时，都有|f (x )|≤1， 可得f (1)≥－1，f ⎝⎛⎭⎫1b ≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥－1，a b－1≤1.所以b －1≤a ≤2b .再证充分性．由0<b －1≤a ≤2b 和0≤x ≤1，可得f (x )＝ax －bx 2≥(b －1)x －bx 2＝bx (1－x)－x≥－x≥－1，且f(x)＝ax－bx2≤2bx－bx2＝1－(1－bx)2≤1.所以|f(x)|≤1.综合以上讨论，证得当b>1时，对任意x∈[0，1]都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.(3)当a>0，0<b≤1时，对任意x∈[0，1]，都有f(x)＝ax－bx2≥－bx2≥－b≥－1.若对任意x∈[0，1]都有f(x)≤1，则f(1)≤1，即a－b≤1，得a≤b＋1.反之，若a≤b＋1，由于0<b≤1，则对任意x∈[0，1]都有f(x)≤(b＋1)x－bx2＝bx(1－x)＋x－1＋1＝(1－x)·(bx－1)＋1≤1，综合起来得：当a>0，0<b≤1时，对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是a≤b＋1.反证法如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【解】(1)如图所示，取CD的中点G，连接MG，NG，设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG＝2，NG＝2，因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，所以∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．因为MN＝6，所以sin∠MNG＝6，3所以直线MN与平面DCEF所成角的正弦值为63.(2)证明：连接EN，假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，因为两正方形不共面，所以A B 平面DCE .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN .又AB ∥CD ∥EF ，所以EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，即它们是异面直线．数学归纳法已知数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，且S n 是2a 与－2na n 的等差中项，其中a 是不等于零的常数．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．【解】 (1)由题意S n ＝a －na n ，当n ＝1时，S 1＝a 1＝a －a 1，所以a 1＝a2；当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝a －2a 2，所以a 2＝a6；当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a －3a 3，所以a 3＝a12.(2)猜想：a n ＝an （n ＋1）(n ∈N ＋)．证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即：a k ＝ak （k ＋1），则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a －(k ＋1)a k ＋1－(a －ka k )，所以(k ＋2)a k ＋1＝ka k ＝a k ＋1，所以a k ＋1＝a（k ＋1）（k ＋2）＝a（k ＋1）[（k ＋1）＋1]，即n ＝k ＋1时等式也成立．综合①②知：a n ＝an （n ＋1）对任意n ∈N ＋均成立．1．下面几种推理是合情推理的是( )①由正三角形的性质，推测正四面体的性质；②由平行四边形、梯形内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；③某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④详细分析：选C.①是类比，②④是归纳．故选C.2．用反证法证明命题“3－2是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设3－2是有理数详细分析：选D.“3－2是无理数”的反设为“3－2不是无理数”，也就是“3－2是有理数”．故选D.3．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是________．详细分析：根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.答案：(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋14．已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x＋y|≤|1＋xy|.证明：要证|x＋y|≤|1＋xy|，即证(x＋y)2≤(1＋xy)2，即证x2＋y2≤1＋x2y2，即证(x2－1)(1－y2)≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，所以x2－1≤0，1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，不等式得证．。
北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第一章 §1 命 题 含解析
[A基础达标]1．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：选D．对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D．2．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A．因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．3．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a的平方等于0，则a不是正数，则p是q的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选C．根据四种命题的关系，知“正数a的平方不等于0”的逆否命题是“若a 的平方等于0，则a不是正数”．4．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C．方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B．因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x ∈R ，则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a －1)2－4×1×1≤0，解得：a ∈[－1，3]． 答案：[－1，3]8．命题“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题的真假性为________． 解析：该命题的否命题为“若∠C ≠90°，则△ABC 不是直角三角形”．因为∠A 、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题． 判断如下：因为ac ＜0，所以－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根⇒ax 2＋bx ＋c ＞0有解，所以该命题是真命题．10．已知A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4．故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x ＞1，则x ＞25”．[B 能力提升]11．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A ．a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A ． 12．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，所以1≤m ≤2．答案：[1，2]13．证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1．证明：“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．因为a ＝2b ＋1， 所以a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0．所以命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．14．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q的等比数列{a n}中，前n项和为S n，若a m，a m＋2，a m＋1成等差数列，则S m，S m＋2，S m＋1成等差数列．(2)因为{a n}为等比数列，所以a n≠0，q≠0．由a m，a m＋2，a m＋1成等差数列．得2a m＋2＝a m＋a m＋1，所以2a m·q2＝a m＋a m·q，所以2q2－q－1＝0．解得q＝－12或q＝1．当q＝1时，a n＝a1(n＝1，2，…)，所以S m＋2＝(m＋2)a1，S m＝ma1，S m＋1＝(m＋1)a1，因为2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，即2S m＋2≠S m＋S m＋1，所以S m，S m＋2，S m＋1不成等差数列．即q＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q＝－12时，2S m＋2＝2·a1（1－q m＋2）1－q，S m＋1＝a1（1－q m＋1）1－q，S m＝a1（1－q m）1－q，所以2S m＋2＝S m＋1＋S m，所以S m，S m＋2，S m＋1成等差数列．即q＝－12时，原命题的逆命题为真命题．。
北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第一章 推理与证明 章末综合检测一 含解析
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc， 所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c .所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形．2．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：选C.类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 3．数列1，5，10，16，23，31，x ，50，…中的x 应为( ) A ．38 B ．39 C ．40D ．41解析：选C.因为5－1＝4，10－5＝5，16－10＝6，23－16＝7，31－23＝8，所以x －31＝9，所以x ＝40，验证50－40＝10.4．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)解析：选D.要到达第n 级台阶有两种走法：(1)在第n －2级的基础上到达；(2)在第n －1级的基础上到达．5．用反证法证明命题：“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于12解析：选 B.“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．6．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选 D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.7．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：选B.由A 可知其为椭圆的定义；B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，属于归纳推理；C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πab ，是类比推理；D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理．故选B. 8．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N ＋)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：选B.当x ＝1时，f (2)＝2f （1）f （1）＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f （2）f （2）＋2＝24＝23＋1；当x ＝3时，f (4)＝2f （3）f （3）＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1，故选B.9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2， 则cos A 1＝cos (90°－∠A 2)， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在(0，π)内无解．故选D. 10．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D.因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0， 又因为a 2＋b 2＋c 2≥0，所以2(ab ＋bc ＋ac )≤0.故选D.11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.1140B.1105C.160D.142解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.故选A.12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛⎭⎫n （n ＋1）2C ．n (n ＋2) D.n （n ＋1）2f (1)解析：选C.f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，所以f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)， …f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n （n ＋1）2f (1)．所以A 、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n （n ＋1）2， 所以B 也正确，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有________个小正方形．解析：第1个图中有3个小正方形，第2个有3＋3＝6个小正方形，第3个有6＋4＝10个小正方形，第4个图形有10＋5＝15个小正方形，第5个图形有15＋6＝21个小正方形，第6个图形中有21＋7＝28个小正方形．答案：2814．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有r ＝2SL ，类比此结论，在四面体中设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有________．解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形，于是有12L ·r ＝S ，即r ＝2SL ，四面体可分解为四个以四面体各面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥．于是13·S ·R ＝V ，即R ＝3V S.答案：R ＝3VS15．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1416. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b ，0)、C (c ，0)．点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a 、b 、c 、p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F ，某同学已正确求得直线OE 的方程⎝⎛⎭⎫1b －1c x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.请你完成直线OF 的方程：(________)x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.解析：由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋ya ＝1.直线CP ：x c ＋yp＝1，两式相减得⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．答案：1c －1b三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)观察图，可以发现： 1＋3＝4＝22， 1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， …由上述具体事实能得出怎样的结论？ 解：将上述事实分别叙述如下： 对于正整数，有前2个奇数的和等于2的平方； 前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方； …由此猜想：前n (n ∈N ＋)个奇数的和等于n 的平方，即1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 18．(本小题满分12分)已知a 与b 均为有理数，且a 与b 都是无理数，证明：a ＋b 是无理数．(用反证法证明)证明：假设a ＋b 为有理数，(a ＋b )(a －b )＝a －b ， 由a >0，b >0，得a ＋b >0， 所以a －b ＝a －b a ＋b，因为a 、b 为有理数，且a ＋b 为有理数， 所以a －ba ＋b，即a －b 为有理数， 所以(a ＋b )＋(a －b )，即2a 为有理数，从而a 也为有理数，这与已知a 为无理数矛盾，假设不成立，所以a ＋b 一定为无理数．19．(本小题满分12分)已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN ＝－b 2a 2.试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN ＝b 2a2. 证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N 点的坐标为(－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. 所以y 2－n 2＝b 2a2(x 2－m 2)． 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2.20．(本小题满分12分)用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明：法一：(分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.因为α∈(0，π)，所以sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． 因为1－cos α>0，所以11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4（1－cos α）＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．所以4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．所以不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．法二：(综合法)因为11－cos α＋4(1－cos α)≥4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号所以4cos α≤11－cos α.因为α∈(0，π)，所以sin α>0. 所以4sin αcos α≤sin α1－cos α.所以2sin 2α≤sin α1－cos α.21. (本小题满分12分)已知在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD .(2)判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD . 解： (1)证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，又AD ＝2，所以DF 2＋AF 2＝AD 2， 所以DF ⊥AF ，又P A ⊥平面ABCD ，所以DF ⊥P A ，又P A ∩AF ＝A ，所以⎭⎪⎬⎪⎫DF ⊥平面P AF PF 平面P AF ⇒DF ⊥P . (2)过点E 作EH ∥FD ，交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ，再过点H作HG ∥DP 交P A 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP .所以平面EHG ∥平面PFD ， 所以EG ∥平面PFD .从而线段AP 上满足AG ＝14AP 的点G 即为所求．22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3. 解：(1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1） ＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立， 综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)， 所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n 3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.。
北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第一章 统计案例 章末综合检测一 含解析
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．散点图在回归分析中的作用是( ) A ．查找个体个数B ．比较个体数据大小关系C ．探究个体分类D ．粗略判断变量是否相关 答案：D2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ＝0.4x ＋2.3B ．y ＝2x －2.4C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4解析：选A.由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C 、D.而所有的回归直线必经过点(x －，y －)，由此排除B ，故选A.3．若线性回归方程中的回归系数b ＝0时，则相关系数为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．无法确定解析：选C.当b ＝0时，∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝0，即∑ni ＝1x i y i －n x －y －＝0， 所以r ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2∑ni ＝1y 2i －n y －2＝0.4．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A.12 B ．18C.14D ．13解析：选B.理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AC B －，且A ，C ，B －之间彼此独立，且P (A ) ＝P (B －)＝P (C )＝12. 所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.5．有一个回归方程为y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 的值的变化情况是( ) A ．平均增加3个单位 B ．平均减少5个单位 C ．平均增加5个单位 D ．平均减少3个单位 答案：B6．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (单位：千元)与居民人均消费水平y (单位：千元)统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：选A.因为当y ＝7.675时，x ≈9.262，所以7.6759.262≈0.829≈83%.7得到如下几个判断：①有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；②有90%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关出错的可能性为10%；④认为患肝病与嗜酒有关出错的可能性为1%.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由已知的2×2列联表，得χ2＝577×（360×5－210×2）2570×7×215×362≈3.538>2.706，故有90%的把握认为患肝病与嗜酒有关．由此估计判断出错的可能性为10%.从而②③正确．8．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P （B ）P （A ）是可能的C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝0解析：选B.显然当P (AB )＝P (B )时，选项B 成立．9．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D.D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 项不正确．10．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( )A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰好有1个是白球的概率解析：选C.记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．11．已知两个变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35，若有90%的把握认为“X 与Y 有关系”，则c 等于( )A ．8B ．5C ．6D ．7解析：选B.由a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35可得n ＝66，d ＝35－c ，a ＋b ＝31，a ＋c ＝10＋c ，b ＋d ＝56－c ，ad ＝10(35－c )，bc ＝21c .因为有90%的把握认为“X 与Y 有关系”，则随机变量χ2>2.706， 则66×（350－10c －21c ）231×35×（10＋c ）（56－c ）>2.706， 此时代入检验，得c ＝5符合题意．12．一个口袋内装有大小相同的8个白球和4个黑球，从中不放回地任取出两个球，在第一次取出是黑球的前提下，第二次取出黑球的概率为( )A.311 B ．12C.13D ．712解析：选A.法一：把第一次取出的是黑球记作事件A ，第二次取出的是黑球记作事件B ， 则P (A )＝412＝13，P (AB )＝4×312×11＝111，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11113＝311.法二：从袋中摸出一个黑球后，袋中还有11个球，其中有3个黑球，这时再从袋中任摸一球，摸到黑球的概率为311.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．一般来说，一个人的脚长与身高有相关关系，现对10名成年男性的脚长x (cm)与身高y (cm)进行测量，从而得出它们具有很强的线性相关性且线性回归方程为y ＝7x ，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高约为________cm.解析：由题意知，当x ＝26.5 cm 时，y ＝185.5 cm.答案：185.514．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x ＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．解析：由y ＝3e 2x ＋1，得ln y ＝ln(3e 2x ＋1)， 即ln y ＝ln 3＋2x ＋1.令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v .答案：u ＝ln 3＋2x ＋1(其中u ＝ln y )15．在某年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，则销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．解析：∑5i ＝1x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑5i ＝1(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ＝－3.2，所以，a ＝y －－b x －＝40，故回归直线方程为y ＝－3.2x ＋40.答案：y ＝－3.2x ＋4016．甲、乙二人从1，2，3，…，15中依次任取一个数(不放回)，已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是________．解析：记事件A ＝“甲数是5的倍数”，事件B ＝“甲数大于乙数”，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4＋9＋1415×143×1415×14＝914.答案：914三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某电视台联合报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：根据表中数据，是否有99%的把握认为对这一问题的看法与性别有关系？解：假设对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别无关，由列联表中的数据，可以得到χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝1 000×（198×109－217×476）2415×585×674×326≈125.161＞6.635，故有99%的把握认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．18．(本小题满分12分)一机器可以按各种不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的个数随机器运转速度的变化而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件的个数，现观测得到(x ，y )的4组观测的值为(8，5)，(12，8)，(14，9)，(16，11)．(1)假定y 与x 之间有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若实际生产中所容许的每小时生产的有缺点物件不超过10个，则机器的运转速度不得超过多少转/秒(精确到1转/秒)?解：(1)因为x －＝12.5，y －＝8.25，∑4i ＝1x 2i ＝660，∑4i ＝1x i y i ＝438，所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52＝25.535＝5170，a ＝y －－b x －＝8.25－5170×12.5＝－67，所以所求线性回归方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≤10，得x ≤76051≈15，即机器的运转速度不得超过15转/秒．19．(本小题满分12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则k ＞3.841， 由k ＝3x 2×⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ×x 2×x 2×x＝38x ＞3.841， 解得x ＞10.24，因为x 2，x6为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．(本小题满分12分)某省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人依次不放回地抽取两道题，问：(1)第一次抽到简答题的概率；(2)第一次和第二次都抽到简答题的概率；(3)在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率．解：设“第一次抽到简答题”为事件A ，“第二次抽到简答题”为事件B ，则 (1)法一：按位置排列法可得P (A )＝3×45×4＝35.法二：依次不放回地抽取两道题才算完成一个事件，而第一次抽到简答题后，分两种情况：第二次抽到简答题或抽到论述题．当第二次抽到简答题时，概率为35×24＝310；当第二次抽到论述题时，概率为35×24＝310.综上知，第一次抽到简答题的概率为以上两个互斥事件的概率之和，即310＋310＝35.(2)第一次和第二次都抽到简答题即为事件AB ，于是P (AB )＝35×24＝310.(3)第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题为一条件概率事件，即 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝35×2435＝12.21．(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，估计A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3) 解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466χ2＝200×（62×66－34×38）2(100×100×96×104)≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．22．(本小题满分12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如表：刹车时的车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离(m)0.31.02.13.65.57.8(1)(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式．(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时的速度为多少．请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：(1)散点图如图所示：(2)由图像，设函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将(0，0)，(10，0.3)，(20，1.0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0， 解得a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0.所以，函数的表达式为y ＝0.002x 2＋0.01x (0≤x ≤140)． 经检验，表中其他各值也符合此表达式． (3)当y ＝46.5时， 即0.002x 2＋0.01x ＝46.5， 所以x 2＋5x －23 250＝0. 解得x 1＝150，x 2＝－155(舍去)． 故可推测刹车时的速度为150 km/h ， 而150＞140，因此发生事故时，汽车属于超速行驶．。
2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2_课件_课后训练案巩固提升__第一章 推理与证明 1.1
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用归纳推理解决数列问题
【例1】 已知正项数列{an}满足Sn= 推测正项数列{an}的通项公式.
1 2
1 ������������ + ������������
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将以上各式相加可得,f(n)-f(3)=12(n+2)(n-3). 因为 f(3)=2,所以 f(n)=12(n+2)(n-3)+2. 化简整理,得 f(n)=12(n-2)(n+1)(n>4). 答案:5 12(n-2)(n+1)(n>4) 反思感悟在几何中,随着点、线、面等元素的增加,探究相应的
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反思感悟解决此类问题的关键是根据前几项发现项与序号的一 一对应关系,归纳出数列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推 理中,根据同一个前提,可以归纳出不同的结论.
.
解析:先由f1(x)的表达式,根据f2(x)=f1(f1(x))求f2(x)的表达式,再由
f3(x)=f2(f2(x))求f3(x)的表达式,最后猜想fn(x)的表达式.
∵f1(x)=f(x)=1���-��������� ,
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北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第一章 3 反证法 含解析
[A 基础达标]1．用反证法证明命题“若直线AB 、CD 是异面直线，则直线AC 、BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾． ②所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线．③假设直线AC 、BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( )A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③①解析：选B.结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至少有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B.“至少有一个”即“全部中最少有一个”，其反设词为一个也没有．3．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a 、b 、c 恰有一个偶数”时正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.在自然数a 、b 、c 中，奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．故选D.4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确．5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．6．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为________．解析：a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 答案：a ，b ，c 都不是偶数7．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设________． 解析：“x ≠a 且x ≠b ”形式的否定为“x ＝a 或x ＝b ”．答案：x ＝a 或x ＝b8．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：若a ＝13，b ＝23，则a ＋b ＝1，但a ＜1，b ＜1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2＞2，故④不能推出．对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1.反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.答案：③9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1.又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实数根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2－4（－4a ＋3）＜0，Δ2＝（a －1）2－4a 2＜0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）＜0，解得⎩⎨⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1，所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根． [B 能力提升]11．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( )A ．a ，b ，c 都是正数B ．a ，b ，c 都大于1C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 至少有一个不小于12解析：选D.假设a ，b ，c 均小于12，则a ＋2b ＋c <12＋1＋12，与已知矛盾．故选D. 12．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a ＝b ＝1”是“a ＝1且b ＝1”，又因为“p 且q ”的否定为“¬p 或¬q ”，所以“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”．答案：a ≠1或b ≠113．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明：假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)，① 因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p.② 当p ，q 异号时，p q ＋q p<0，与②相矛盾； 当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p>2，与②相矛盾． 故数列{c n }不是等比数列．14．(选做题)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时f (x )＞0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明：1a＞c . 证明：(1)因为f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的一个根，又因为x 1x 2＝c a. 所以x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，所以1a 是f (x )＝0的另一个根，即1a是函数f (x )的一个零点． (2)由第一问知1a ≠c ，故假设1a＜c ， 易知1a＞0，由题知当0＜x ＜c 时，f (x )＞0， 所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， 所以1a＞c .。
高中数学单元素养评价第一章推理与证明含解析北师大版选修2_
学习资料单元素养评价(一）(第一章)（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“四边形是矩形,四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是( )A。
正方形都是对角线相等的四边形B。
矩形都是对角线相等的四边形C。
等腰梯形都是对角线相等的四边形D。
矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】选B.根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据,因为由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形.2。
观察下列式子:1+〈，1++<，1+++〈,…,则可归纳出1+++…+小于（)A。
B。
C. D.【解析】选C.所猜测的分式的分母为n+1，分子恰好是第n+1个正奇数,即2n+1。
3.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是（)A。
假设是有理数B。
假设是有理数C。
假设或是有理数 D.假设+是有理数【解析】选D.应对结论进行否定，则+不是无理数，即+是有理数.4。
用数学归纳法证明1+++…+=时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是( )A。
B。
C。
D。
【解析】选D.由n=k到n=k+1时，左边需要添加的项是=。
5.观察下列等式：13+23=32,13+23+33=62，13+23+33+43=102,记f=13+23+33+…+n3.根据上述规律，若f=225，则正整数n的值为( ）A.8B.7 C。
6 D。
5【解析】选D。
由已知等式的规律可知f==，当f=225时，可得n=5.6。
我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫作相似体。
下列几何体中，一定属于相似体的有（)①两个球体;②两个长方体；③两个正四面体;④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥。
A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C。
类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体。
【教案】高中数学北师大版选修22第1章归纳推理word教案2
【关键字】教案1.1 归纳推理教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 4 4 6四棱锥 5 5 8三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15截角正方体7 10 15尖顶塔9 9 16说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？解析：先由学生计算：归纳：说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2：（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
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[A基础达标]
1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()
A．28B．32C．33D．27
解析：选B.因为5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，
则x－20＝12，47－x＝15，
所以x＝32，
故选B.
2．观察：(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()
A．f(x)B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：选D.通过观察可归纳推理出一般结论：若f(x)为偶函数，则导函数g(x)为奇函数．故选D.
3．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是() A．a k＋a k＋1＋…＋a2k
B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1
C．a k－1＋a k＋…＋a2k
D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2
解析：选D.利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2，故选D.
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选 C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
5．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
6．一同学在电脑中打出如下若干个圈：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中●的个数是________．
解析：由1＋2＋3＋…＋12＝78(个)白圈，78＋12＝90.依规律再出现13个白圈，所以前100个圈中●的个数为12.
答案：12
7．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a2n－na n＋1(n∈N＋)，归纳推理a n＝________.
解析：a1＝2；a2＝a21－1×a1＋1＝3；a3＝a22－2×a2＋1＝4；a4＝a23－3×a3＋1＝5；故推出a n＝n＋1.
答案：n＋1
8．如图所示，图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)、图(3)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n 1234…
S n136____…
10
(3)S n ＝________.
解析：S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，
S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）
2.
答案：(1)10 (2)55 (3)n （n ＋1）
2
9．观察如图所示的图形，设第n 个图形中黑点的总数为f (n )．
(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；
(2)找出f (n )与f (n ＋1)的关系，并求出f (n )的表达式． 解：(1)由题意知，f (1)＝3，f (2)＝f (1)＋3＋3×2＝12， f (3)＝f (2)＋3＋3×4＝27， f (4)＝f (3)＋3＋3×6＝48， f (5)＝f (4)＋3＋3×8＝75.
(2)由(1)知，f (n ＋1)＝f (n )＋3＋3×2n ＝f (n )＋6n ＋3， 即f (n ＋1)－f (n )＝6n ＋3，
所以当n >1时，f (2)－f (1)＝6×1＋3， f (3)－f (2)＝6×2＋3， f (4)－f (3)＝6×3＋3， …
f (n )－f (n －1)＝6×(n －1)＋3， 将上面(n －1)个式子相加，得：
f (n )－f (1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋3(n －1) ＝6×（1＋n －1）（n －1）2＋3(n －1)
＝3n 2－3，
所以f (n )＝3n 2，
当n ＝1时，f (1)＝3，符合上式，所以f (n )＝3n 2.
10．已知f (x )＝1
3x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一
般性结论，并证明你的结论．
解：f (x )＝1
3x ＋3，
所以f (0)＋f (1)＝
130＋3＋131＋3
＝3
3， f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝3
3，
f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝3
3.
归纳猜想一般性结论：f (－x )＋f (x ＋1)＝
33
. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x ＋1
3x ＋1＋3＝3·3x 3＋3x ＋1
＋
13x ＋1＋3＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13（1＋3·3x ）＝3
3
.
[B 能力提升]
11．观察下列数表规律
则数2 015的箭头方向是( )
解析：选D.因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 015在上行，则2 015＝3＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N ＋.
故2 015在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D. ↓
12．已知数对如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第60个数对是________．
解析：由前面的几个数对不难发现，数对中两数之和为2的有1个，为3的有2个，为4的有3个，…，为11的有10个，则根据数对规律可推出第56个数对为(1，11)，往下的数对依次为(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，(6，6)，….
所以第60个数对是(5，7)． 答案：(5，7) 13．观察下面两式：
(1)tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1； (2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.
分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论． 解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2，
则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1.
证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π
2－γ，
所以tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝1tan γ， 所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋(tan α＋tan β)tan γ
＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan γ ＝tan αtan β＋(1－tan αtan β)
1
tan γ
tan γ ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.
14．(选做题)如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N ＋，m ≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义；
(4)已知a n＝9 900，问a n是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，….故所求数列为6，12，20，30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。