2008年考研数学二

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2008年考研数学(二)真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

OxyD (,())A a f a ()y f x =(,0)B a yxO222x y u +=221x y +=vuvD 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为（A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()d axf x x '⎰等于（A ）曲边梯形ABOD 的面积.（B ）梯形ABOD 的面积.（C ）曲边三角形ACD 的面积.（D ）三角形ACD 的面积.（3）在下列微分方程中，以123e cos 2sin 2xy C C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是（A ）440y y y y ''''''+--=.（B ）440y y y y ''''''+++=.（C ）440y y y y ''''''--+=.（D ）440y y y y ''''''-+-=.（4）设函数ln ()sin 1x f x x x =-，则()f x 有（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点.（B ）1个可去间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点.（D ）2个无穷间断点.（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（A ）若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛.（B ）若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.（C ）若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.（D ）若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数()f x 连续.若22(,)d uvD F u v x y =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（A ）2()vf u .（B ）2()vf u u.（C ）()vf u .（D ）()vf u u.（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若3=A O ，则（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆.（B ）-E A 不可逆，+E A 可逆.（C ）-E A 可逆，+E A 可逆.（D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.（8）设1221⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（A ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(e 1)()x x xf x f x →-=-，则(0)f =.（10）微分方程2(e )d d 0xy x x x y -+-=的通解是y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程是.（12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为.（13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248=-A ，则λ=.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）(本题满分9分)求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.（16）(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20(),ln(1)d .t x x t y u u =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0d 2e 0,d |0.xt x t tx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22d d y x .（17）(本题满分9分)计算21x ⎰.（18）(本题满分11分)计算{}max ,1d d Dxy x y ⎰⎰，其中{(,)02,02}D x y x y = .（19）(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.（20）(本题满分11分)（Ⅰ）证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；（Ⅱ）若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()d x x ϕϕϕϕ>>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ''<使得.（21）(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值.（22）(本题满分12分)设n 元线性方程组=Ax b ，其中2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，100⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .（Ⅰ）证明行列式(1)nn a =+A ；（Ⅱ）当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.（23）(本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323=+Aααα.（Ⅰ）证明123,,ααα线性无关；（Ⅱ）令()123,,=P ααα，求-1P AP .2008年考研数学(二)试卷答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）D （4）A （5）B （6）A（7）C （8）D二、填空题（9）2（10）(e )xx C --（11）1y x =+（12）(1,6)--（13）2(ln 21)2-（14）1-三、解答题（15）61.（16）22(1)[ln(1)1]t t +++.（17）21π416+.（18）2ln 419+.（19）e e 2x xy -+=.（20）略.（21）222max (2)(2)872u =-+-+=,222min 1126u =++=.（22）（Ⅰ）略.（Ⅱ）0≠a ,1(1)nx n a =+.（Ⅲ）0a =,1001,0000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x 为任意常数.（23）（Ⅰ）略.（Ⅱ）1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】D .【解答】222()2(1)(2)(2)(1)(494)0f x x x x x x x x x x x '=--+-+-=-+=，有三个实数根，所以有三个零点.故答案选D .（2）【答案】C .【解答】()d d ()()()d aa axf x x x f x af a f x x '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，()d af x x ⎰为曲边梯形的面积，0()d a xf x x '⎰为曲边三角形的面积.故选C .（3）【答案】D .【解答】由123e cos 2sin 2xy C C x C x =++可知其特征根为12,31,2i λλ==±.故对应的特征方程为2(1)(2)(2)(1)(4)0i i λλλλλ-+-=-+=，即方程为440y y y y ''''''-+-=，故选D .（4）【答案】A .【解答】因为[]111ln 1(1)ln 1(10)lim sin lim sin sin1limsin1111x x x x x x f x x x x x ++→→→+--+===⋅=---，[]111ln 1(1)ln 1(10)lim sin lim sin sin1lim sin1111x x x x x x f x x x x x --→→→+---==-=-⋅=----，所以1x =为跳跃间断点；又因为000021ln ln limsin lim ln lim lim 011|1|x x x x x xx x x x x x x→→→→=⋅===--，所以0x =为可去间断点；故答案选A .（5）【答案】B .【解答】若{}n x 单调，则由()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，{}()n f x 单调有界.由单调有界收敛定理可知{}()n f x 收敛，故答案选B .（6）【答案】A .【解答】由条件可知在极坐标下化二重积分为累次积分22011()(,)d d ()d v uu f r F u v v r r v f r r r==⎰⎰⎰，所以2()Fvf u u∂=∂，故答案选A .（7）【答案】C .【解答】因为3=A O ，所以32()()=-=-++E E A E A E A A .由可逆矩阵的定义可知-E A 可逆，且12()--=++E A E A A .同理，32()()=+=+-+E E A E A E A A ，所以+E A 可逆，且12()-+=-+E A E A A .故答案选C .（8）【答案】D .【解答】12||(1)(3)021λλλλλ---==+-=--E A ，则121,3λλ=-=.所以矩阵A 的正负惯性指数都是1；A 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ+-=++=-+，负惯性指数为2，不合同；B 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ-=--=-，正惯性指数为2，不合同；C 选项，特征方程21(1)(3)012λλλλ--=--=--，正惯性指数为2，不合同；D 选项，特征方程12(1)(3)021λλλλ-=+-=-，则121,3λλ=-=，正负惯性指数都为1，合同.故答案为D .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】2.【解答】由22220001()1cos[()]121lim lim ()()2(e 1)()x x x x x f x xf x f x x f x f x →→→-===-，得0lim ()2x f x →=.因为()f x 连续，所以(0)2f =.（10）【答案】(e )xy x C -=-.【解答】方程可变形为d e d x y yx x x-=，通解为()11d d ee e d ed (e )xx x xx xxy x x C x x C x C ------⎛⎫⎰⎰=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰.（11）【答案】1y x =+.【解答】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()1d 1d cos()x y y xy F y y x x F x xy y x-+-'-=-=-'+-，在(0,1)处，得1k =，因此切线方程为1y x =+.（12）【答案】(1,6)--.【解答】21133325()(5)(2)33f x x x x x x --'=+-=-，4310()(1)9f x x x -''=+，由4310()(1)09f x x x -''=+=，得1x =-，且1x <-时，()0f x ''<；1x >-时，()0f x ''>，所以1x =-对应的点(1,6)--为拐点.（13）【答案】(ln 21)2-.【解答】令,y xu v x y==，方程变为v z u =，取对数得ln ln z v u =.方程两边对x 求导得，111ln ln x xz vy v u u z x u y x y∂''=+=-∂，所以，(1,2)(1,2)(1,2)11112(ln )()()(ln 21)2xy z y y y z x y x y x y x y∂=-=-=-∂.（14）【答案】1-.【解答】因为A 是3阶矩阵，248=-A ，所以848=-A ，即6=-A .而23λ=⋅⋅A ，所以1λ=-.三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分9分）解：[]43sin sin(sin )sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=20cos cos(sin )cos lim 3x x x x x →-⋅=20cos (1cos(sin ))lim 3x x x x →-=613sin 21lim 220==→x xx .（16）（本题满分10分）解：解方程d 2e 0d x xt t--=，且0|0t x ==，可得2ln(1)x t =+.因为函数()y y x =由参数方程20()ln(1)d t x x t y u u =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，所以，()2222d d ln(1)2d 1ln(1)d 2d d 1yy t t t t t x t x t t +⋅===+++，故，()222222d d d ln(1)221ln(1)12d d d 1y y t t tt t t x x x t +⋅+⎛⎫⎡⎤===+++ ⎪⎣⎦⎝⎭+.（17）（本题满分9分）解：令sin x t =，则ππ22122sin 1cos d (1cos 2)d cos 2t t x t t t t t t ⋅==-⋅⎰⎰⎰ππ22200111πd cos2d 22416t t t t t =-=+⎰⎰.（18）（本题满分11分）解：如图，取111{(,)2,2}2D x y x y x= ，2D 是区域D 去掉1D 的剩余部分.则，()12max ,1d d d d 1d d DD D xy x y xy x y x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，12211215d d d d ln 24xD xy x y x x y y ==-⎰⎰⎰⎰，21221121d d 1d d 1d d 4d d 12ln 2xD DD x y x y x y x y =-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以，()1219max ,1d d d d 1d d ln 24D D D xy x y xy x y x y =+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1（19）（本题满分11分）解：旋转体体积2()πd tV t y x =⎰，侧面积0()2πtS t x =⎰.因为，202π2πd tt x y x =⎰⎰,两边对变量x求导可得2y =，整理得，221y y '+=,再对变量求导化简可得二阶微分方程y y ''=.由特征方程为210λ-=，特征根为1λ=±，通解为12e exxy C C -=+.将通解代入方程221y y '+=，得1241C C =.再由(0)1f =，得112C =.故该曲线方程为e e 2x xy -+=.（20）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）设M 和m 分别是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值及最小值，则()()d ()b am b a f x x M b a --⎰ ，1()d ba m f x x Mb a -⎰ .由介值定理，在[,]a b 上至少存在一点η，1()d ,()b af x x a b b a ηη=-⎰ ,即()d ()(),()baf x x f b a a b ηη=-⎰.（Ⅱ）由积分中值定理，则至少存在一点(2,3)c ∈，使得32()d (),(2,3)x x c c ϕϕ=∈⎰，且32(2)()d x x ϕϕ>⎰，则(2)(1),(2)()c ϕϕϕϕ>>.对()x ϕ分别在区间[][]1,2,2,c 上应用拉格朗日中值定理，可得1(2)(1)()0,21ϕϕϕη-'=>-2(2)()()0,2c cϕϕϕη-'=<-则在区间[]12,ηη上对()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有1212()()()0ϕηϕηϕξηη''-''=<-.（21）（本题满分11分）解：构造拉格让日函数2222212(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λλ=++++-+++-，由1212122222022020040x x y y z x y z x y z λλλλλλ++=⎧⎪++=⎪⎪-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎩，解得228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.则点(2,2,8)--和(1,1,2)为函数222u x y z =++在约束条件下的最值点，带入有222max (2)(2)872U =-+-+=，222min 1126U =++=.即最大值为72，最小值为6.（22）（本题满分12分）解：（Ⅰ）利用初等变换进行计算222222121321012221122a a aa a a a a a aaa a==A 2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a n n a n+==⋅⋅⋅=++.（Ⅱ）方程组=Ax b 有唯一解，需0≠A .因为||(1)nn a =+A ，所以有0a ≠.利用克莱姆法则可得唯一解为111(1)(1)n n D na nx n a n a-===++A ，其中2111000*********2a a a D a=（Ⅲ）当0=A 时，即0a =时，方程组=Ax b 有无穷多解.此时原矩阵变为010010100100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .由0100100100(,)0001000000⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭A A b ，得(,)()1r r n ==-A b A .所以=0Ax 的解为()T1,0,0,,0k ，k 为任意常数.方程组=Ax b 特解为0100η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以通解为10010000k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为任意常数）.（23）（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，所以1122,=-=AααAαα，且12,αα线性无关.令，112233k k k ++=0ααα①则等式两侧左乘A 得，1122331122323()k k k k k k ++=-+++=0AαAαAααααα，整理可得1123233()k k k k -+++=0ααα②由①和②两式相减可得11322k k -=0αα.所以，130k k ==.再由①可知20k =，故123,,ααα线性无关.（Ⅱ）由于123,,ααα线性无关，()123,,=P ααα，所以P 可逆.因为()()()1231223123100,,,,,,011001-⎛⎫ ⎪==-+= ⎪ ⎪⎝⎭AP A αααααααααα，所以-1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .。

2008年考研数学二真题答案解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5325y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)1dydy t tdt t t dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫===⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+，即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

考研数学二真题29套：1989年至2018年

六、(本题满分 7 分) 证明方程ln x
x 1 cos 2xdx 在区间(0, ) 内有且仅有两个不同实根. e 0
含 29 套考研数学二历年真题：1985 年至 2018 年全国考研数学二真题真题目录（29 套）
1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 2、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 3、1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 4、1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 5、1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 6、1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 7、1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 8、1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 9、1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 10、1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 11、1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 12、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 13、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 14、2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 15、2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 16、2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 17、2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 18、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 19、2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 20、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 21、2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 22、2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 23、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 24、2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 25、2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 26、2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 27、2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 28、2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 29、2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc

（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限( )．

2008年考研数学高数点评

2008年考研数学高数点评——刘德荫（北京新东方学校）2008年考研数学其中高等数学部分在全试卷中所占比例分析如下：数学（一）、（三）、（四）客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分50分，一共82分，占54.7%，考纲规定约占56%。

数学（二），客观性试题11个，满分44分，主观性试题7个，满分72分，一共116分，占77.3%，考纲规定约占78%。

农学门类客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分52分，一共84分，占56%，考纲规定约占56%。

通过上述统计可知2008年考研数学高等数学在全卷中的比例符合考试大纲规定的比例。

2008年考研数学高等数学部分，在考查基本概念，基本方法和基本原理为主，例如数学（一）第（4）题，数学（二）第（5）题，考查单调有界数列收敛准则，数学（一）第（9）题，考查最简单的可分离变量的一阶微分方程，可以说是送分题。

数学（一）第（10）题，数学（二）第（11）题，农学门类第（11）题，考查曲线在某定点的切线方程。

在往年考研数学试题中很少见到的就是考高等数学教材中定理的证明，例如数学（一）第（18）（I ）题数学（二）第（20）（I ）题，有是题目是考查考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，例如数学（三）第（19）题，总之08年考研高数试题难易适中，无偏题、怪题，完全符合考试大纲要求。

下面对具体考题作一些分析一、数学（一）、（二）第（15）题4sin sin sin sin limx xx)](x-[x →略解：原式＝300)sin(sin sin sin lim limx x x x x x x -→→ ＝1613)cos(sin cos 3lim=-→x cox x x x 点评：本小题主要考查，利用洛必达法则示“60”型权限以及重要权限1sin lim=→x xx 等知识。

类似题：《新东方考研数学高等数学讲义（强化班）》（以下简称《讲义》）P6第38题：例38. 22201cos lim()sin x xx x →-二、数学（三）、（四）第15题求极限x xxx sin ln 12lim→ 略解：x x xx x x x x lm x x x x x x sin 2sin cos ln sin sin ln 122020lim lim lim-=-=+++→→→ 61tan 2cos 300lim lim -=-=++→→x x x x x x 同理 61s i n l n 120lim-==-→x x x x 所以 61s i n ln 12lim-==→x x xx点评：与1相同类似题：《讲义》P10第73（2）题。

考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2.doc

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.(2010年试题，2)设y 1，y 1是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）3.(2003年试题，二) 2.00）4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x 2.00）B.2πC.π5.(2011年试题，一)微分方程y "一λ2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）A.a(e λx +e -λx )B.ax(e λx +e一-λx )C.x(ae λx +be -λx )D.x 2 (ae λx +be -λx )6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1，C 2，C 3为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）A.y """ +y ""一4y " -4y=0B.""" +y "" +4y " +4y=0C.""" -y "" -4y " -4y=0D.""" -y "" +4y " -4y=07.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）A.y ""一y "一2y=3xe xB.y ""一y "一2y=3e xC.y "" +y "一2y=3xe xD.y ""一y "一2y=3e x8.(2004年试题，二)微分方程y "" +y=x 2 +1+sinx的特解形式可设为( )．（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.)y * =x(ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx)C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx9.(2000年试题，二)具有特解y 1=e -x，y 2=2xe -x,y 3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )．（分数：2.00）A.y """一y ""一y " +y=0B.y """ +y ""一y "一y=0C.y """一6y "" +11y "一6y=0D.y """一2y ""一y " +2y=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.(2012年试题，二)微分方程ydx+(x一3y 2 )dy=0满足条件y｜x=1 =1的解为y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________11.(2011年试题，二)微分方程y " +y=e -x满足条件y(0)=0的解为y= 1（分数：2.00）填空项1:__________________12.(2008年试题，二)微分方程(y+x 2 e -x )dx一xdy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________13.(2006年试题，一) 2.00）填空项1:__________________14.(2005年试题，一)微分方程xy " +2y=xlnx满足 2.00）填空项1:__________________15.(2004年试题，一)微分方程(y+x 2 )dx一2xdy=0满足 2.00）填空项1:__________________16.(2001年试题，一) 2.00）填空项1:__________________17.(2002年试题，一)微分方程xy "" +y 12 =0满足初始条件 2.00）填空项1:__________________18.(2010年试题，9)三阶常系数线性齐次微分方程y """一2y "" +y "一2y=0通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________19.(2007年试题，二)二阶常系数非齐次线性微分方程y ""一4y "+3y=2e 2x的通解为y= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________20.(1999年试题，一)微分方程y ""一4y=e 2x的通解为 1.（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1987-2008年考研数学数二

（Ｃ）有三个不同实根．
（Ｄ）有五个不同实根．
( ) （３）曲线ｙ＝ｃｏｓｘ
－
π ２
≤ｘ≤
π ２
与ｘ轴所围成的图形，绕ｘ轴旋转一周所成的旋转体的体积为（）
（Ａ）
π ２
．
（Ｂ）π．
（Ｃ）
π２２
．
（Ｄ）π２．
５
历年考研数学真题解析及复习思路（数学二）
（４）设两函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都在ｘ＝ａ处取得极大值，则函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）在ｘ＝ａ处（）
＝
ｘ
＋ｘ２
１
填写下表．
单调减少区间单调增加区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线
八、（本题满分１０分）
设抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ过原点，当０ ≤ ｘ ≤ １时，ｙ ≥ ０．又已知该抛物线与ｘ轴及直线ｘ＝１所
围图形的面积为
１３
．
试确定
ａ，ｂ，ｃ
．
∫１
（５）设ｆ（ｘ）是连续函数，且ｆ（ｘ）＝ｘ＋２ｆ（ｔ）ｄｔ，则ｆ（ｘ）＝
．
０
{ （６）设ｆ（ｘ）＝
ａ＋ｂｘ２，
ｓｉｎｘ
ｂｘ，
ｘ ≤ ０，在ｘ＝０处连续，则常数ａ与ｂ应满足的关系是
ｘ＞０
．
（７）设ｔａｎｙ＝ｘ＋ｙ，则ｄｙ＝
．
１９８７年真题
１９８７年全国硕士研究生招生考试试题
【编者注】１９８７年到１９９６年的数学试卷Ⅲ为现在的数学二．
（试卷Ⅲ）
一、填空题（本题共５小题，每小题３分，满分１５分）

2008年考研数学二试题答案与解析

(B) E − A 不可逆, E + A可逆. (D) E − A 可逆, E + A不可逆.
[C]
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
,则在实数域上与
A
合同的矩阵为
(A)
⎛ −2
⎜ ⎝
1
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
.
(B)
⎛2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
2
⎟ ⎠
.
(C)
⎛2
⎜ ⎝
1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(D)
⎛1
⎜ ⎝
NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导!
由定积分性质,有
m(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x )dx
≤
M
(b
−
a)
即
m
≤
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)dx
≤
M
由连续函数介值定理可知,至少存在一点η ∈[a,b] ,使得
f
(η
)
=
b
1 −
a
b
∫a
f
( x)dx
即
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a)
x = ln (1+ t2 )
dy dx
=
dy
dt dx
=
ln (1+ t2 ) ⋅ 2t
2t
=
(1+ t2 ) ln (1+ t2 )
dt

2008考研数学二真题及答案

2008考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()at af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020xt dx te dtx --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭OO O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -. 参考答案一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)z x ∂=-∂本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A = 32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)xd ye x dx=+本题的难度值为0.742.(17)【详解】方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524. (19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+，即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O O M此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

考研数学二历年真题2004-2012

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++ ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ . (11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<. (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++= n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题

数学二线性代数（22）（本题满分11分）（2018）2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解；(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.（23）（本题满分11分）（2018）1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵(I) ;a 求(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵（22）（本题满分11分）（2017）三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+（1）证明()2r A =（2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解（23）（本题满分11分）（2017）设二次型132221232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .（22）（本题满分11分）（2016）设矩阵11110111a A a a a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，0122a β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组T TA Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）（2016）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。

记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。

22、（本题满分11分）（2015）设矩阵111100a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且O A =3.（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,22=+--为3阶单位矩阵，求X 。

2008考研数学2真题

文登考研高质量高水平高信誉2008 年研究生入学考试数学二试题及分析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 f ( x ) = x2( x − 1)( x − 2 ) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为[ ]（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【分析】先求导函数，然后判断. 【详解】 f ′ ( x ) = 2 x ( x − 1)( x − 2 ) + x2( x − 2 ) + x 2 ( x − 1)= 2 x ( 2 x 2 − 3x + 1) = 2 x ( 2 x − 1)( x − 1) ，则 f ′ ( x ) 的零点个数为 3. 故选（D）. 【评注】易看出 f ( x ) 的零点个数为 3，由罗尔定理能得出 f ′ ( x ) 在 ( 0,1) ， (1, 2 ) 两区间内至少有两个零点，又 x = 0 是 f ( x ) 的二重零点，所以 x = 0 是 f ′ ( x ) 的零点. 故选（D）. 类似例题见文登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 15】. （2）如图，曲线段的方程为 y = f ( x ) ，函数 f ( x ) 在区间[0, a ] 上有连续的导数，则定积分 ∫0 xf ′ ( x )dx 等于a（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 的面积 [ ] 【分析】先利用分部积分法变换积分，然后结合定积分的几何意义即可看出. 【详解】∫a0xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，a a 0 0 a a 0 0而∫ f ( x )dx 表示曲边梯形 OBAD 的面积，故可知 ∫ ∫b axf ′ ( x )dx 应为曲边三角形ACD 的面积，故选（C）.【评注】定积分f ( x)dx 表示曲线 y = f ( x) 与直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形 xf ′ ( x )dx = ∫ xdf ( x ) = af ( a ) − ∫ f ( x )dx ，然后才能解出.a a 0 0位于 x 轴上方的图形面积减去位于 x 轴下方的图形面积的差值. 本题必须先利用分部积分法∫a0本题考查定积分的几何意义和分部积分法，相关结论见 08 版《数学复习指南》（理—1—文登考研高质量高水平高信誉工类）P77.知识点精讲一（2）、四（3），类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P180 精选习题六 1（5）. （3）在下列微分方程中，以 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为x通解的是（A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征值，然后从特征方程入手. 【详解】因为 y = C1e + C2 cos 2 x + C3 sin 2 x （ C1 , C2 , C3 是任意常数）为通解，x所以微分方程的特征值为 1, ±2i . 于是特征方程为 ( λ − 1)( λ − 2i )( λ + 2i ) = 0 ，即λ 3 − λ 2 + 4λ − 4 = 0 .故微分方程为 y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 ，故选（D）. 【评注】本题考查微分方程解的结构. 因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P144【例 5.17】，文登强化班讲义《高等数学》第 7 讲【例 9】【例 10】. ，（4）设函数 f ( x ) =ln x sin x ，则 f ( x ) 有 x −1（A）有 1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B）有 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C）有两个无穷间断点（D）有两个跳跃间断点【分析】利用间断点的定义. 【详解】 f ( x ) =[]ln x sin x 在 x = 0 ， x = 1 无定义， x −1 ln x sin x = 0 ，所以 x = 0 为可去间断点； x −1而 lim f ( x ) = limx →0 x →0lim f ( x ) = limx →1ln 1 + x − 1 x −1 sin x = lim sin x ， x →1 x →1 x − 1 x −1而 lim +x →1x −1 x −1 sin x = sin1, lim sin x = − sin1 ， x →1− x − 1 x −1—2—文登考研高质量高水平高信誉所以 x = 1 为跳跃间断点，故选（A）. 【评注】首先确定间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断. 第一类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 均存在，则称x → x0 x → x0x = x0 为函数 f ( x) 的第一类间断点. 其中：（1）跳跃型间断点： lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) .x → x0 x → x0（2）可去型间断点： lim− f ( x) = lim+ f ( x) ≠ f ( x0 ) .x → x0 x → x0第二类间断点： x = x0 为函数 f ( x) 的间断点，且 lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 之中至少有一个不x → x0 x → x0存在，则称 x = x0 为函数 f ( x) 的第二类间断点. 其中：（1）无穷型间断点： lim− f ( x)与 lim+ f ( x) 至少有一个为 ∞ .x → x0 x → x0（2）振荡型间断点： lim f ( x ) 为振荡型，极限不存在.x → x0本题为常规题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P31【例 1.42】，文登强化班讲义《高等数学》第 1 讲【例 4】. （5）设函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界， { xn } 为数列，下列命题正确的是（A）若 { xn } 收敛，则 f （C） f 若n({ x }) 收敛n n（B）若 { xn } 单调，则 f （D） f 若n({ x }) 收敛n n则 ({ x }) 收敛， { x } 收敛则 ({ x }) 单调， { x } 收敛[]【分析】利用单调有界数列必收敛. 【详解】若{ xn } 单调，而由题设可知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内单调有界，则 f ({ xn }) 单调有界，故收敛，故选（B）【评注】本题为基础题型. 定理可见各教材和辅导讲义.（6）设函数 f 连续，若 F ( u , v ) =Duv∫∫f ( x2 + y2 ) x2 + y2dxdy ，其中区域 Duv 为图中阴影不分，则∂F = ∂u—3—文登考研高质量高水平高信誉（A） vf u( )2（B） vf ( u )（C）v v f ( u 2 ) （D） f ( u ) u u[]【分析】本题中二重积分的积分域由图形表示，易联想到需变换为极坐标形式，然后再求偏导. 【详解】 F ( u , v ) = 所以Duv∫∫2 f ( x2 + y 2 ) v u f (r ) u rdr = v ∫ f ( r 2 ) dr ， dxdy = ∫ dθ ∫ 0 1 1 r x2 + y2∂F = vf ( u 2 ) ，故选（A）. ∂u【评注】本题考查了二重积分的坐标变换，变上限积分的求导. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P310【例 12.11】，文登强化班讲义《高等数学》第 10 讲【例 4】. （7）设 A 为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A = O ，则3（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆（C） E − A 可逆， E + A 可逆【分析】从 A = O 入手.3（B） E − A 不可逆， E + A 可逆（D） E − A 可逆， E + A 不可逆[]【详解】 A = O ⇒ A + E = E ⇒ ( A + E ) A − A + E = E ，所以 A + E 可逆，3 3 2()A3 = O ⇒ A3 − E = − E ⇒ ( E − A ) ( A2 + A + E ) = E ，所以 E − A 可逆，故选（C）. 【评注】也可这么求解：A 是幂零矩阵，只有零是其特征值，所以 ±1 不是其特征值， E − A 和 E + A 都可逆 . 故完全类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P367【例 2.27】，文登强化班讲义《线性代数》第 2 讲【例 4】.—4—文登考研高质量高水平高信誉（8）设 A = ⎢⎡1 2⎤ ⎥ ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 ⎣2 1⎦（B） ⎢（A） ⎢⎡ −2 1 ⎤ ⎥ ⎣ 1 −2 ⎦⎡ 2 −1⎤ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎡ 1 −2 ⎤ ⎥ ⎣ −2 1 ⎦[ ]（C） ⎢⎡2 1⎤ ⎥ ⎣1 2⎦（D） ⎢【分析】实对称矩阵必可对角化，求出题中每个矩阵的特征值，然后根据实对称矩阵合同的充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数进行判断. 【详解】因为 A = ⎢⎡1 2⎤ T 为实对称矩阵， A 的特征值为 −1,3 ， x Ax 的正负惯性指数为 1， 2 1⎥ ⎣ ⎦1； ⎢⎡ 2 −1⎤ ⎡2 1⎤ ⎡ −2 1 ⎤ 的特征值为 −1, −3 ； ⎢ 的特征值为 1,3 ； ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 的特征值为 −1, −3 ， ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣1 2⎦⎡ 1 −2 ⎤ ⎢ −2 1 ⎥ 的特征值为 −1,3 ；故选（D）. ⎣ ⎦【评注】本题为基础题型. 完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P454【例 6.1】. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （9）已知函数 f ( x ) 连续，且 lim1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ ⎣ ⎦ = 1 ，则 f 0 = __________. ( ) x2 x →0 e −1 f ( x)()【分析】利用等价无穷小代换及函数 f ( x ) 的连续性即可.1 2 2 x f ( x) 1 − cos ⎡ xf ( x ) ⎤ 1 1 ⎣ ⎦ = 1 = lim 2 【详解】 1 = lim = lim f ( x ) = f ( 0 ) ， 2 x2 x →0 x →0 x →0 2 2 x f ( x) e −1 f ( x)()则 f ( 0) = 2 . 【评注】本题已知极限和函数的连续性，求函数点的值，为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P31【例 1.43】. （10）微分方程 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 的通解是______.【分析】本题变换后可为全微分方程. 【详解】 y + x e(2 −x) dx − xdy = 0 ，即( ydx − xdy ) + x 2e− x dx = 0 ，—5—文登考研高质量高水平高信誉当 x ≠ 0 时，ydx − xdy − x y ⎛ y⎞ + e dx = 0 ⇒ d ⎜ − ⎟ − d ( e− x ) = 0 ⇒ − − e − x = −C 2 x x ⎝ x⎠−x即 y = x C−e(). (−x显然 x = 0, y = 0 满足微分方程，且满足上述解，故所求通解为 y = x C − e 【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P135【例 5.11】. （11）曲线 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 在点 ( 0,1) 的切线方程为__________. 【分析】本题实质上为隐函数方程求导. 【详解】 sin ( xy ) + ln ( y − x ) = x 两边对 x 求导得).cos ( xy )( y + xy′ ) +y′ − 1 = 1 ，则 y′ y−x( 0,1)= 1 ，所以切线方程为y − 1 = x ，即 y = x + 1 .【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类）【例 2.20】，精选习题二 1（9）. （12）函数 f ( x ) = ( x − 5 ) x 的拐点坐标为________. 【分析】利用判断拐点的充分条件求解. 【详解】 f ′ ( x ) = ( x − 5 ) x 3 =2 2 35 2 10 − 1 x3 − x 3 ， 3 3f ′′ ( x ) =10 − 1 10 − 4 10 − 4 x 3 + x 3 = x 3 ( x + 1) . 9 9 910 − 1 ⎛ 1 ⎞ x 3 ⎜1 + ⎟ = 0 ，得 x = −1 9 ⎝ x⎠令 f ′′ ( x ) =f ′′ ( x )x =0⎛ 10 − 1 10 − 4 ⎞ =⎜ x 3 + x 3⎟ 9 ⎝9 ⎠x =0不存在.f ′′ ( x ) 经过 x = 0 时不变号，而经过 x = −1 时由负变正，且 f ( −1) = −6故拐点坐标为 −1, f ( −1) ，即 ( −1, −6 ) . 【评注】拐点的判别定理 1 若在点 x0 处有 f ′′( x0 ) = 0（或 f ′′( x0 ) 不存在），当 x 经过 x0 时，()—6—文登考研高质量高水平高信誉f ′′( x) 变号，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.拐点的判别定理 2 设函数 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有三阶导数，且 f ′′( x0 ) = 0 ，f ′′′( x0 ) ≠ 0 ，则 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y = f ( x) 的图形的拐点.本题为基础题型，类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P167【例 6.30】.x∂z ⎛ y ⎞y （13）已知 z = ⎜ ⎟ ，则 ∂x ⎝x⎠x ⎛ y⎞ ln ⎜ ⎟ y ⎝ x⎠(1,2 )=【分析】本题求幂指函数的偏导数，应先对数化处理，然后再求偏导.【详解】∂z ∂x(1,2 )=∂e∂x(1,2 )⎧ ⎡ ⎤⎫ y ⎪ x ln ⎛ x ⎞ ⎢ 1 ⎛ y ⎞ x 1 ⎛ y ⎞ ⎥ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ = ⎨e y ⎝ ⎠ ⋅ ⎢ ln ⎜ ⎟ + ⋅ − y ⎜ x2 ⎟⎥ ⎬ ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪ ⎢y ⎝ x⎠ y ⎪ x ⎣ ⎦⎪ ⎩ ⎭(1,2 )=2 ( ln 2 − 1) . 2【评注】多元函数对一个变量求偏导时，需将其他变量看作常数. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P236【9.6】【例 9.10】. （14）阶矩阵 A 的特征值是 2,3, λ ， 3 其中 λ 未知，若行列式 2 A = −48 ， λ = 则【分析】因为 A = 2 ⋅ 3 ⋅ λ ，联合 2 A = −48 可解出. 【详解】 2 A = −48 ⇒ 2 A = 8 ⋅ λ ⋅ 2 ⋅ 3 = −48 ⇒ λ = −1 .3.【评注】本题利用行列式求特征值.. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P446【例 5.25】，文登强化班讲义《线性代数》第 5 讲【例 16】.三、解答题：15～23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） (本题满分 9 分) 求极限 lim⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x ⎣ ⎦ . x →0 x4 ⎡sin x − sin ( sin x ) ⎤ sin x sin x − sin ( sin x ) ⎣ ⎦ = lim x →0 x →0 x4 x3—7—【分析】利用等价无穷小代换和洛必达法则即可. 【详解】 lim文登考研高质量高水平高信誉= limcos x − cos ( sin x ) ⋅ cos x x →0 3x 2cos x ⎡1 − cos ( sin x ) ⎤ ⎣ ⎦ 3x 2= limx →01 2 sin x 1 − cos ( sin x ) 1 = lim = lim 2 2 = . 2 x →0 x →0 3x 3x 6【评注】本题为基础题型. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P25【例 1.24】，文登强化班讲义《高等数学》第 1 讲【例 17】. （16） (本题满分 10 分)⎧ x = x (t ) ⎪ 设函数 y = y ( x ) 由参数方程 ⎨ 确定，其中 x ( t ) 是初值问题 t2 ⎪ y = ∫0 ln (1 + u ) du ⎩⎧ dx −x d2 y ⎪ − 2te = 0 dt 的解，求 2 . ⎨ dx ⎪ x t =0 = 0 ⎩ ⎧ dx −x ⎪ − 2te = 0 求出 x ( t ) ，然后利用参数方程的求导公式求解. 【分析】先根据 ⎨ dt ⎪ x t =0 = 0 ⎩【详解】由dx − 2te− x = 0 得 e x dx = 2tdt ，积分并由条件 x dtt =0= 0 ，得 ex = 1 + t 2 ，即x = ln (1 + t 2 ) .dy 2 dy dt ln (1 + t ) ⋅ 2t = = = (1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ， 2t dx dx dt 1+ t2 d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt= d ⎡(1 + t 2 ) ln (1 + t 2 ) ⎤ ⎣ ⎦ dx dt—8—文登考研高质量高水平高信誉2t ln (1 + t 2 ) + 2t = = (1 + t 2 ) ⎡ ln (1 + t 2 ) + 1⎤ . ⎣ ⎦ 2t 1+ t2【评注】本题为一道参数方程求导和一阶微分方程求解的综合题. 求d2 y 时要注意 dx 2d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ dy ⎞ 1 . = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⋅ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dt ⎝ dx ⎠ dx dt类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P45【例 2.11】，文登强化班讲义《高等数学》第 7 讲【例 15】. （17） (本题满分 9 分) 求积分∫1x 2 arcsin x01 − x2dx .【分析】本题需做变量代换 arcsin x = t . 【详解】由于 lim −x →1x 2 arcsin x1 − x2= +∞ ，故 ∫ ⎡ π⎞ ⎟. ⎣ 2⎠1x 2 arcsin x01 − x2dx 是反常积分.令 arcsin x = t ，有 x = sin t , t ∈ ⎢ 0,∫1x 2 arcsin x01 − x2dx = ∫π2 0t sin 2 t cos tdt cos t1 − cos 2t t2 dt = 2 4 t sin 2t 4π2 0= ∫2t⋅0ππ2 0−1 π ∫02 t ⋅ d sin 2t 4=π216−+1 π 2 sin 2tdt 4 ∫0cos 2t = − 16 8π2π2 0=π216+1 . 4【评注】本题虽然是一道反常积分，但由于无穷间断点在端点，所以可按通常定积分求解. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P80【例 3.27】，文登强化班讲义《高等数学》第 5 讲【例 15】.（18）（本题满分 11 分）—9—文登考研高质量高水平高信誉计算∫∫ max ( xy,1) dxdy ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .D【分析】被积函数为 max ( xy ,1) ，为非初等函数，实质为求分区域积分. 【详解】曲线 xy = 1 将区域 D 分成如图所示的两个区域 D1 和 D2 .∫∫ max ( xy,1) dxdyD= ∫∫ xydxdy + ∫∫ dxdyD1 D2= ∫1 dx ∫1 xydy + ∫ 2 dx ∫ dy + ∫1 dx ∫ x dy2x2212210020=15 19 − ln 2 + 1 + 2 ln 2 = + ln 2 . 4 4【评注】对分段函数 max { x, y} , min { x, y} 及带绝对值符号的被积式须将积分域 D 作分析处理. 完全类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）第一篇第十章【例 10.4】，文登强化班讲义《高等数学》第十讲【例 12】（19） (本题满分 11 分) 设 f ( x ) 是区间 [ 0, +∞ ) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f ( 0 ) = 1 . 对任意的t ∈ [ 0, +∞ ) ，直线 x = 0, x = t ，曲线 y = f ( x ) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体. 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x ) 的表达式. 【分析】本题为微分方程的应用题，需先利用平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转体的体积和表面积公式列出方程，然后求解. 【详解】旋转体的体积 V = π 条件知∫t0f 2 ( x ) dx ，侧面积 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx ，由题设t0∫t0f 2 ( x ) dx = ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x ，t0上式两端对 t 求导得 f 由分离变量法解得2(t ) = f (t )1 + f ′2 ( t ) ，即 y′ = y 2 − 1 .ln y + y 2 − 1 = t + C1 ，即 y+()y 2 − 1 = Ce t—10—文登考研高质量高水平高信誉将 y ( 0 ) = 1 代入知 C = 1 ，故 y + 于是所求函数为 y = f ( x ) =y 2 − 1 = et ， y =1 t −t (e + e ) ， 21 x −x (e + e ) . 2【评注】由曲线 y = f ( x) > 0 和直线 x = a, x = b 及 x 轴围成的图形（1）绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vx = π∫bbaf 2 ( x)dx ；侧面积公式为S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′2 ( x )dx .b a（2）绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： Vy = 2π∫axf ( x)dx .类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P176【例 6.45】，精选习题六 3(4)，文登强化班讲义《高等数学》第 6 讲【例 3】【例 4】.（20） (本题满分 11 分) （Ⅰ）证明积分中值定理：若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续，则至少存在一点ξ ∈ [ a, b ] ，使得∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）若函数 ϕ ( x ) 具有二阶导数，且满足 ϕ ( 2 ) > ϕ (1) ， ϕ ( 2 ) > 一点 ξ ∈ (1,3) 使得 ϕ ′′ (ξ ) < 0 .∫ ϕ ( x )dx ，则至少存在3 2【分析】（Ⅰ）利用闭区间上连续函数的介值定理；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论及拉格朗日中值定理证明. 【详解】（Ⅰ）设 M 和 m 分别是 f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的最大值和最小值，则有m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) ，b a不等式各除以 b − a ，得m≤1 b f ( x ) dx ≤ M ， b − a ∫a根据闭区间上连续函数的介值定理，在 [ a, b ] 至少存在一点η ，使得f (η ) =1 b f ( x ) dx ，两端各乘以 b − a ，即得 b − a ∫a∫ f ( x ) dx = f (η )( b − a ) .b a（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，可知至少存在一点η ∈ [ 2,3] ，使得—11—文登考研高质量高水平高信誉∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η )( 3 − 2 ) = ϕ (η ) .3 2又由 ϕ ( 2 ) >∫ ϕ ( x )dx = ϕ (η ) 知， 2 < η ≤ 3 .3 2对 ϕ ( x ) 在 [1, 2] 和 [1, 2] 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到 ϕ (1) < ϕ ( 2 ) ，ϕ (η ) > ϕ ( 2 ) ，得ϕ ′ (ξ1 ) =ϕ ′ (ξ 2 ) =ϕ ( 2 ) − ϕ (1)2 −1> 0 ， 1 < ξ1 < 2 ，ϕ (η ) − ϕ ( 2 ) < 0 ， 2 < ξ2 < η ≤ 3 . η −1在 [ξ1 , ξ 2 ] 上对导函数 ϕ ′ ( x ) 应用拉格朗日中值定理，有ϕ ′′ (ξ ) =ϕ ′ (ξ 2 ) − ϕ ′ (ξ1 ) < 0 ， ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) ⊂ (1,3) . ξ 2 − ξ1【评注】（Ⅰ）为教材中定理，证明教材中均有；（Ⅱ）中证明 ϕ ′′ (ξ ) < 0 需两次运用拉格朗日中值定理. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P317【例 12.26】，文登强化班讲义《高等数学》第 8 讲§2【例 2】.（21） (本题满分 11 分) 求函数 u = x + y + z 在约束条件 z = x + y 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值.2 2 2 2 2【分析】本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解. 【详解】设 F ( x, y, z; λ , µ ) = x + y + z + λ x + y − z + µ ( x + y + z − 4 ) ，2 2 2 2 2()⎧∂F ⎪ ∂x = 2 x + 2λ x + µ = 0 ⎪ ⎪ ∂F 令⎨ = 2 y + 2λ y + µ = 0 联合 z = x 2 + y 2 ， x + y + z = 4 可解得 ⎪ ∂y ⎪ ∂F = 2z − λ + µ = 0 ⎪ ⎩ ∂x—12—文登考研高质量高水平高信誉⎧ x = −2 ⎧ x = 1 ⎪ ⎪ ⎨ y = −2 ， ⎨ y = 1 ⎪z = 8 ⎪z = 2 ⎩ ⎩而 x +y +z2 2(2)(−2, −2,8 )= 72 ， ( x 2 + y 2 + z 2 )(1,1,2 )=6.故所求的最大值为 72，最小值为 6. 【评注】类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P253【例 9.36】，文登强化班讲义《高等数学》第 8 讲【例 17】.（22） (本题满分 12 分) 设 n 元线性方程组 Ax = b ，其中⎡ 2a 1 ⎢ a 2 2a ⎢ 矩阵 A = ⎢ ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣0⎤ 0 0⎥ ⎥ ⎥ ， x = ( x1 , x2 , ⎥ 2a 1 ⎥ a 2 2a ⎥ n×n ⎦ 0n, xn ) ， b = (1, 0,T, 0) ，（Ⅰ）证明行列式 A = ( n + 1) a ；（Ⅱ）当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x1 ；（Ⅲ）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. 【分析】（Ⅰ）为 n 阶行列式的求解，可利用递推法；（Ⅱ）（Ⅲ）利用通常的方法.2a 1 a 2 2a【详解】（Ⅰ） Dn = A =0 00 0 = 2aDn −1 − a 2 Dn − 2 .0 00 02a 1 a 2 2a现用数学归纳法证明.n = 2 时， D2 =2a 1 = 3a 2 = ( 2 + 1) a 2 . 2 a 2ak假设 n ≤ k 时， Dk = ( k + 1) a ，则 n = k + 1 时，有.Dk +1 = 2aDk − a 2 Dk −1= 2a ( k + 1) a k − a 2 ka k −1 = ( k + 2 ) a k +1 ，综上可得， A = ( n + 1) a .n—13—文登考研高质量高水平高信誉（Ⅱ） A = ( n + 1) a ≠ 0 ，即 a ≠ 0 时，方程组有惟一解，设将 A 的第一列用 b 替换后所n得矩阵为 A1 ，根据克莱姆法则可得A1 Dn −1 na n −1 n . x1 = = = = n n A (n + 1)a (n + 1)a ( n + 1) a（Ⅲ）当 a = 0 时，方程组有无穷多解. 此时⎡0 ⎢0 ⎢ A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣1 0 0 00 0 0 00⎤ ⎧ x2 = 0 0⎥ ⎪x = 0 ⎥ ⎪ ⎥ ，则 Ax = 0 的同解方程组为 ⎨ 3 . ⎥ ⎪ 1⎥ ⎪ xn = 0 ⎩ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0) .T易求得 Ax = 0 的基础解系为 (1, 0,⎡0 1 ⎡0⎤ ⎢ ⎢1 ⎥ ⎢ 0 0 因为 A ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣0⎦ ⎢ ⎣0 0 从而 Ax = b 的通解为 x = k (1, 0,T0 0 0 0 , 0 ) + ( 0,1,0⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ，所以 ⎢ ⎥ 是 Ax = b 的特解， ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣0⎦ 0 ⎥ n×n ⎦ , 0 ) ，其中 k 为任意常数.T【评注】n 阶方阵的求解见 08 版《数学复习指南》（理工类）P346【例 1.18】，方程组求解类似例题见《数学复习指南》（理工类）P411【例 4.9】，文登强化班讲义《线性代数》第 4 讲【例 4】. （23） (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵，α1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 −1,1 的特征向量，向量 α 3 满足Aα 3 = α 2 + α 3 ，（Ⅰ）证明： α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，求 P AP .−1【分析】（Ⅰ）利用线性无关的定义；（Ⅱ）利用题设条件将 A (α1 , α 2 , α 3 ) 变换成矩阵乘积—14—文登考研高质量高水平高信誉⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 的形式，即 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦【详解】（Ⅰ）由题设可知，向量 α1 , α 2 是属于 A 的特征值 −1,1 的特征向量，则 α1 , α 2 线性无关，且 Aα1 = −α1 , Aα 2 = α 2 . 假设存在数 k1 , k2 , k3 ，使得 k1α1 + k2α 2 + k3α 3 = 0 ，则等式两边乘以 A ，可得 ①A ( k1α1 + k2α 2 + k3α 3 ) = k1 Aα1 + k2 Aα 2 + k3 Aα 3 = − k1α1 + k2α 2 + k3 (α 2 + α 3 ) = − k1α1 + ( k2 + k3 ) α 2 + k3α 3 = 0②①－② 2k1α1 − k3α 2 = 0 ，因为 α1 , α 2 是 A 的分别属于不同特征值的特征向量，所以 α1 , α 2 线性无关，从而 k1 = k3 = 0 ，代入①式可得 k2α 2 = 0 ，又由于 α 2 ≠ 0 ，所以 k2 = 0 ，故 α1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α1 , α 2 , α 3 ) ，则 P = (α1 , α 2 , α 3 ) 可逆.⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 因为 A (α1 , α 2 , α 3 ) = ( Aα1 , Aα 2 , Aα 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 ) 0 1 1 ， ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ 所以 P AP = 0 1 1 . ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦−1【评注】抽象的向量线性无关的证明一般用定义. 类似例题见 08 版《数学复习指南》（理工类）P380【例 3.5】【例 3.6】，文登强化班讲义《线性代数》第 3 讲【例 4】【例 14】. ，—15—。

2008年清华大学考研公共课数学二重积分专项练习

经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专2008 年清华大学考研公共课数学第一轮复习专项训练二重积分题目:ex +y ex +y dσ .求证. I = 2 ∫∫ dσ . 1.设 R > 0 , I = ∫∫ 2 2 2 1 + xy 2 2 2 1 + xy x + y ≤R x + y ≤R2 22 2x ≥02.设f (t ) =x 2 + y 2 ≤t 22 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ[()].当 t→ 0 + 时, f (t ) 是 t 的几阶无穷小?3. 变换积分次序 (1) I (2) I (3) I= ∫ 0 dx ∫ x f ( x , y ) dy1x2= ∫ 0 dx ∫ 0 f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 01 2x22 xf ( x , y ) dy2 x= ∫ 0 dx ∫ 012 x x2f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 02f ( x, y )dy4. 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分: (1) ∫02Rdy ∫0R2 Ry y 2f ( x, y )dxR(2) ∫0 1+ R 2y Rx R dx ∫0 f ( )dy + ∫ x21dx ∫0R2 x21+ R 2y f ( ) dy x5.计算 ∫∫D ( x 6.计算+ y 2 ) 2 dxdy ,其中 D 为矩形 0 ≤ x, y ≤ a .∫∫Dx y dxdy , 其中 D 为圆域 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 2 y} .nn 7.设 P0 ∈ R 为定点.对于任意的 P ∈ R ,令 f ( P ) = d ( P, P0 ) .在任一点 P ≠ P0 求f (P ) 的梯度与微分.8.求由等式 lim n xn →∞ 2n+ y 2 n + z 2 n = 1 确定的 ( x, y, z ) 的集合.9. f ( x, y ) =| x |α+ | y | β + | xy |γ .讨论: α , β , γ 满足什么条件时,① f ( x, y ) 在原点连续?② f ( x, y ) 在原点可微?10.已知2z = y , z ( x,0) = 1 . z′y ( x,0) = x 则 z ( x, y ) = ( y 2) .1经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专′ *11.若连续可微函数 f ( x, y ) 在原点之外处处满足不等式 xf x′ + yf y > k x + y ( k > 0 ) ,2 2则原点是 f ( x, y ) 的惟一极值点.并且当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ .提示:在从原点出发的任一条射线上, f ( x, y ) 的方向导数大于一个正常数.2经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专答案:ex +y ex +y dσ .求证. I = 2 ∫∫ dσ . 1.设 R > 0 , I = ∫∫ x 2 + y 2 ≤ R 2 1 + xy x 2 + y 2 ≤ R 2 1 + xy2 2 2 2x ≥0证明思路:域 D : x + y ≤ R 关于原点对称,将其在第 i 象限的部分记为 Di (i=1,2,3,4)2 2 2可以证明证明:∫∫D1= ∫∫ , ∫∫ = ∫∫ .D3 D2 D4ex +y ∫∫ 1 + xy dσ = D12 2∫π2 0dθ ∫2R0t =π + re r dr = 1 + r 2 cos θ sin θ2∫π3π 2dt ∫R0re r dr 1 + r 2 cos( t π ) sin( t π )2=∫π3π 2dt ∫R0re r dr = 1 + r 2 cos t sin tex +y ∫∫ 1 + xy dσ , D32 2同理可证∫∫D2= ∫∫D4ex +y dσ . ,所以, I = 2 ∫∫ 2 2 2 1 + xy x + y ≤R2 2x ≥02.设f (t ) =2x + y ≤t22 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ2[()].当 t→ 0 + 时, f (t ) 是 t 的几阶无穷小?t解:f (t ) =x 2 + y 2 ≤t 2t2 2 2 ∫∫ 1 cos x + y dσ = ∫0 dθ ∫0 (1 cos r )rdr[()]2π= 2π ∫ (1 cos r 2 ) rdr ,0显然,当 t→ 0 + 时, f ( t ) → 0 .f ′( t ) = 2π (1 cos t 2 ) t ,当 t → 0 + 时, 1 cos t 2 = Ο( t 4 ) ,所以,f (t ) 是 t 的 6 阶无穷小.3. 变换积分次序 (1) I= ∫ 0 dx ∫ x f ( x , y ) dy1x2解:求曲线 y= x 2 与直线 x = 1 及直线 x = 1 与直线 y = x 的交点坐标,y = x2 x = 1 y = x x = 1 由得 ;由得 x = 1 y = 1 x = 1 y =13经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专因此, (2) II = ∫ 1 dy ∫ y f ( x, y )dx + ∫ 0 dy ∫0 1 11yf ( x, y )dx .= ∫ 0 dx ∫ 0 f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 01 2x22 xf ( x , y ) dy解:求曲线 y 由= x 2 与直线 x = 1 及直线 x = 1 与直线 y = 2 x 的交点坐标,x = 1 y = 2 x x = 1 ;由得 , y =1 x =1 y =12 y yy = x2 x =1得因此, I = (3) I∫1 0dy ∫f ( x, y ) dx= ∫ 0 dx ∫ 012 x x2f ( x, y )dy + ∫1 dx ∫ 021 2 y 1 y 22 xf ( x, y )dy解:改变积分次序得I = ∫ 0 dy ∫ 1f ( x, y )dx .4. 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分: (1) ∫02Rdy ∫0R2 Ry y 2f ( x, y )dxR(2) ∫0 1+ R 2y Rx R dx ∫0 f ( )dy + ∫ xπ2 R sin θdx ∫0R2 x21+ R 2y f ( ) dy x[解] (1) ∫02 dθ ∫0 (2) ∫0arctan Rf (r cosθ , r sin θ )rdr ,dθ ∫0 f (tan θ )rdrR5.计算 ∫∫D ( x2+ y 2 ) 2 dxdy ,其中 D 为矩形 0 ≤ x, y ≤ a .1解:由于 D 关于直线 y = x 对称,∫∫D( x 2 + y 2 )1/ 2 dxdy = 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )1/ 2 dxdy .其中D1D1 = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ x}∫∫=D( x 2 + y 2 ) 2 dxdy = 2 ∫ 4 dθ ∫ cos θ r 2 dr =1πa002a 3 3∫π40dθ cos3 θ2a 3 1 1 [ + ln(1 + 2)] 3 2 26.计算∫∫Dx y dxdy , 其中 D 为圆域 {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 2 y} .解: ∫∫D | x y | dxdy =∫∫D1( x y)dxdy + ∫∫ ( y x )dxdy .D2其中 D1 = {( r , θ ) | 0 ≤ θ ≤π4,0 ≤ r ≤ 2 sin θ } , D2 = {( r , θ ) |π4≤ θ ≤ π ,0 ≤ r ≤ 2 sin θ }π /4 2 sin θ π /4 2 sin θ 2 ∫∫D1 ( x y )dxdy = ∫0 dθ ∫0 r (cos θ sin θ )rdr = ∫0 (cos θ sin θ )dθ ∫0 r dr4经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专=8 π /4 5 π 3 ∫0 (cos θ sin θ ) sin θdθ = 6 4 3∫∫D2 ( y x)dxdy =所以∫ππ/4dθ ∫2 sinθ0r (sin θ cos θ )dr =∫∫Dx y dxdy =n5 π + . 3 25 3π + 6 4n 7.设 P0 ∈ R 为定点.对于任意的 P ∈ R ,令 f ( P) = d ( P, P0 ) .在任一点 P ≠ P0 求f (P ) 的梯度与微分.答案:梯度 P0 P / P0 P . 8.求由等式 lim n xn →∞22n+ y 2 n + z 2 n = 1 确定的 ( x, y, z ) 的集合.2 2解:设 a = max{ x , y , z } ,由夹逼定理可得, lim n xn→∞1 12n+ y 2n + z 2n = a .(a ≤nx2n+y2n+z2nx2n + y 2n + z 2n n = a[ ] ≤ a 3 n ,而 lim n 3 = 1 ) n→ ∞ an2 2 2所以 ( x, y , z ) 应满足 max{ x , y , z } = 1 ,即, ( x, y , z ) 在由 x = 1, y = 1, z = 1 所围成的区域的边界曲面上. 9. f ( x, y ) =| x |α+ | y | β + | xy |γ . α , β , γ 满足什么条件时,① f ( x, y ) 在原点连续?②f ( x, y ) 在原点可微?解:① f ( 0,0 ) = 0 ,当 α , β , γ 都大于零时, f ( x, y ) 在原点连续.α② f ( x ,0 ) = x , lim +x →0x 0 xα= lim x +x →0α 1, lim x →0x 0 xα= lim ( 1)α x α 1 x →0当 α > 1 , f x′ ( 0,0) = 0 ,同理,当 β > 1 , f y′ ( 0,0 ) = 0 , 当 α > 1 , β > 1 时,有 0 ≤f ( x , y) x 2 + y2≤ xα 1+ yβ 1+1 1 γ xy 2 , 2所以,当 α > 1 , β > 1 , γ > 当α > 1 , β > 1 ,γ >1 f ( x, y) 时, lim = 0 ,即, x →0 2 x 2 + y2 y→ 01 时, f ( x, y ) 在原点可微. 210.已知1 2z = y , z ( x,0) = 1 . z′y ( x,0) = x 则 z ( x, y ) = ( y 3 + xy + 1 ) 2 6 y5经管人考研机构考研公共课专项训练系列追求卓越唯有业精于专解:对于z 1 2 1 2z = y + f ( x) , 再积分得到 z = y 3 + yf ( x) + g ( x) . 由 = y 积分得到 2 y 2 6 y1 3 1 y + yf ( x) + 1 , z ′y = y 2 + f ( x ) .再由 z′y ( x,0) = x 得到 2 6z ( x,0) = 1 得到 g ( x ) = 1 ,于是 z =f ( x) = x .′ *11.若连续可微函数 f ( x, y ) 在原点之外处处满足不等式 xf x′ + yf y > k x + y ( k > 0 ) ,2 2则原点是 f ( x, y ) 的惟一极值点.并且当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ .提示:在从原点出发的任一条射线上, f ( x, y ) 的方向导数大于一个正常数. (1)反证法证明在 (0, 0) 外的任何一点,都不可能是极值点; (2)利用中值定理证明 f (0, 0) 是最小值点.也就是极值点.同时证明当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞ 1 (θxf x′ + θyf y′ ) (θx ,θy )f ( x , y ) = f ( 0,0) + ( xf x′ + yf y′ ) (θx ,θy ) = f ( 0,0 ) +θ> f ( 0, 0 ) +1θk (θx ) 2 + (θy ) 2 = f ( 0,0 ) + k x 2 + y 2所以 f (0, 0) 是最小值点.也就是极值点.同时当x 2 + y 2 → ∞ 时, f ( x, y ) → +∞6。

2008年考研数学真题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at xf x dx⎰等于（）（A ）曲边梯形ABOD 面积.（B ）梯形ABOD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积.（D ）三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uvD 为图中阴影部分，则Fu ∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.（D ）E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同的矩阵为（）（A ）2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）（A ）()2F x .（B ）()()F x F y .（C ）()211F x --⎡⎤⎣⎦.（D ）()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dxy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限201sin limln x x x x →.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（Ⅰ）求dz（Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求ux ∂∂.(17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()22t tf x dx f x dx+=⎰⎰；（Ⅱ）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （Ⅰ）求证行列式()1nA n a =+;（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。

2008年考研数学二真题及参考答案

2008年考研数学二真题及参考答案一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【】． (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(D).【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()axf x dx '⎰在几何上表示【】．(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积．【答案】应选(C). 【详解】'0()()()()aa axf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以'()axf x dx ⎰为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).(3)在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】．(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).(4) 判定函数ln ()|1|xf x x =-，(0)x >间断点的情况【】．(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】应选(A).(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】应选(B).【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).(6)设函数()f x 连续，221x y +=，222,1x y u u +=>，若22(,)DF u v =，则Fu∂=∂【】． (A) 2()vf u (B) ()vf u (C)2()v f u u (D) ()vf u u【答案】应选(A).【详解】利用极坐标，得2222011()(,)()v uu Df r F u v dv rdr v f r drr===⎰⎰⎰，所以Fu∂=∂2()vf u ．故应选(A). (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是【】． (A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).(8) 设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为【】． (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.【答案】应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)f =【答案】应填2．(10)微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是 . 【答案】应填()xy x C e -=-．(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】应填1y x =+．【详解】(12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为 . 【答案】 (1,6)--．【详解】 (13)设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂ . 【答案】21)-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．三、解答题(15－23小题，共94分)．(15)(本题满分9分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-．【详解1】[]40sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]3sin sin(sin )lim x x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim3x x x →-= 0sin(sin )cos lim6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x →=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=) 16=．【详解2】[]40sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x x x→-=＝30sin lim t t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=． (16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．【详解1】由20x dxte dt--=得 2x e dx tdt =，积分得2x e t C =+．由条件00t x ==，得1C =，即21x e t =+，故 2ln(1)x t =+．方程组220ln(1)ln(1)t x t y u du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰两端同时对t 求导得 22212ln(1)dx t dt t dy t t dt⎧=⎪⎪+⎨⎪=+⎪⎩．所以22(1)ln(1)dy dy dt t t dxdx dt==++，从而222222(1)ln(1)(1)ln(1)d t t d t t d y dtdx dx dxdt⎡⎤++⎣⎦⎡⎤++⎣⎦==22222ln(1)2(1)[ln(1)1]21t t t t t t t ++==++++．17（本题满分9分）计算21⎰．【详解1】由于21lim x -→=+∞，故21⎰是反常积分．令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．2122200cos 2sin ()22t tt tdt dt ππ==-⎰⎰⎰222001sin 244t td t ππ=-⎰2220sin 21sin 21644t t tdt πππ=-+⎰ 2201cos 2168t ππ=-21164π=+．【详解2】2112201(arcsin )2x d x =⎰⎰21222001(arcsin )(arcsin )2x x x x dx π=-⎰2120(arcsin )8x x dx π=-⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．1222001(arcsin )sin 22x x dx t tdt π=⎰⎰222001(cos 22cos 2)4t t t tdt ππ=--⎰21164π=-，所以2211164π=+⎰． (18)(本题满分11分) 计算max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰，其中{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤．【详解】将区域D 分成如图所示得两个子区域12,D D 和3D ．于是123max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}DD D D xy dxdy xy dxdy xy dxdy xy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12311D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122222111022x xdx xydy dx dy dx dy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1519ln 212ln 2ln 244=-++=+． (19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式．【详解】根据题意，因为旋转体体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰．所以 22()2(tt f x dx f x ππ=⎰⎰．上式两边同时对t 求导得2()(f t f t =解得 1ln(y t C =+，t y Ce +=．由(0)1y =，得1C =．所以 t y e = 或 1()()2t t y f x e e -==+．(20)(本题满分11分) (I)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<．【证法1】若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大值M 和最小值m ．即()m f x M ≤≤，[,]x a b ∈于是有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．即1()b a m f x dx M b a≤≤-⎰ 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点[,]a b η∈，使得1()()b a f f x dx b aη=-⎰ 因此而的证．（II ）存在[2,3]η∈，使得32()()x dx ϕϕη=⎰．由32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知(2,3]η∈．由(2)(1)ϕϕ>，利用微分中值定理，存在1(1,2)ξ∈，使得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>-．由(2)()ϕϕη>，利用微分中值定理，存在2(2,)ξη∈，使得2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<-．存在存在12(,)(1,3)ξξξ∈⊂，使得2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<-．（21）(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数22222(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμ=++++-+++-．令2222022020040xy z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎪⎩解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．【详解2】由题意知，4422222u x y x y x y =++++在条件224x y x y +++=下的最值．令323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y x y x y λλ⎧'=++++=⎪⎪'=++++=⎨⎪+-++=⎪⎩2222022020040xy z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎪⎩解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．(22) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12n b bb b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得2212212121212212n n n a a a a aD aD a a a a --=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=21213122110111n n na a aan r ar nn a n n a n ----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(23) (本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=．用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=．因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+，所以 1123233()0k k k k ααα-+++=，即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．。

考研数学二多元函数微分学历年真题试卷汇编1_真题-无答案

考研数学二（多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(总分150,考试时间180分钟)选择题1. 1.[2007年] 二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．A. [f(x，y)一f(0，0)]=0B.C.D. [f′x(x，0)一f′x(0，0)]=0，且[f′y(0，y)一f′y(0，0)]=02. 2.[2012年] 设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有＞0，＜0，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．A. x1＞x2，y1＜y2B. x12＞x2，y1＞y2C. x1＜x2，y1＜y2D. x1＜x2，y1＞y23. 3.[2017年] 设f(x)具有一阶偏导数，且对任意的(x，y)都有＞0，＜0，则( )A. f(0，0)＞f(1，1)B. f(0，0)＜f(1，1)C. f(0，1)＞f(1，0)D. f(0，1)＜f(1，0)4. 4.[2002年] 考虑二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处下面四条性质：①f(x，y)在点(x0,y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A. B.C. D.5. 5.[2016年] 已知函数f(x，y)=，则( )．A. f′x一f′y=0B. f′x+f′y=0C. f′x一f′y=fD. f′x+f′y=f6. 6.[2013年] 设z=f(xy)，其中函数f可微，则=( )．A. 2yf′(xy)B. 一2yf′(xy)C. f(xy)D. 一f(xy)7. 7.[2015年] 设函数f(u，v)满足f(x+y，)=x2一y2，则与依次是( )．A. ，0B. 0，C. 一，0D. 0，一8. 8.[2005年] 设有三元方程xy一zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D. 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)9. 9.[2010年] 设函数z=z(x，y)由方程F=0确定，其中F为可微函数，且F′z≠0，则=( )．A. xB. zC. 一xD. 一z10. 10.[2005年] 设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+∫x-yx+yΨ(t)dt，其中φ具有二阶导数，Ψ具有一阶导数，则必有( )．A. B.C. D.11. 11.[2009年] 函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )．A. 不是f(x，y)的连续点B. 不是f(x，y)的极值点C. 是f(x，y)的极大值点D. 是f(x，y)的极小值点12. 12.[2011年] 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)=g′(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．A. f″(0)＜0，g″(0)>0B. f″(0)＜0，g″(0)＜0C. f″(0)＞0，g″(0)>0D. f″(0)＞0，g″(0)＜013. 13.[2014年] 设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D内具有2阶连续偏导数，且满足≠0及=0，则( )．A. u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B. u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C. u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得D. u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得14. 14.[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ′y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A. 若f′x(x0，y0)=0，则f′y(x0，y0)=0B. 若f′x(x0，y0)=0，则f′y(x0，y0)≠0C. 若f′x(x0，y0)≠0，则f′y(x0，y0)=0D. 若f′x(x0，y0)≠0，则f′y(x0，y0)≠0填空题15. 15.[2008年] 设z==________.16. 16.[2012年]设z=f(lnx+)，其中函数f(u)可微，则x=_________.17. 17.[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，z=f，则=_________.18. 18.[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz∣(0,0)=________.19. 19.[2004年] 设函数z=z(x，y)由方程z=e2x-3y+2y确定，则3=________.20. 20.[2018年] 设函数z=z(x，y)由方程lnz+ez-1=xy确定，则=________.21. 21.[2011年] 设函数F(x，y)=∫0xydt，则=__________.22. 22.[2017年] 设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+32(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=__________．解答题23. 23.[2011年] 设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1．求.24. 24.[2017年] 设函数f(u，v)具有二阶连续的偏导数，y=f(ex，cosx)，求.25. 25.[2009年] 设z=f(x+y，x—y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与.26. 26.[2004年] 设z=f(x2一y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求.[2006年] 设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=f()满足等式=0. ①27. 27.验证f″(u)+f′(u)／u=0；②28. 28.若f(1)=0，f′(1)=1，求函数f(u)的表达式.29. 29.[2010年] 设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0．确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为=0．30. 30.[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．31. 31.[2015年] 已知函数f(x，y)满足f″xy(x，y)=2(y+1)ex，f′x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．32. 32.[2012年] 求函数f(x，y)=x的极值．33. 33.[2016年] 已知函数z=z(x，y)由方程(x2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0确定．求z=z(x，y)的极值．34. 34.[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．35. 35.[20l8年] 将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．36. 36.[2005年] 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2．求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)∣x2+y2／4≤1}上的最大值和最小值．37. 37.[2008年] 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值．38. 38.[2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．。

2007-2010年考研数学二真题及部分答案

2010年考研数学二真题（强烈推荐）一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（）（A ）不是(,)f x y 的连续点（B ）不是(,)f x y 的极值点（C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xx dx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（）（A ）有极值点，无零点（B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。

2008年考研数学二真题答案解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)x Î，21(1,2),2)x Î使12()()0f f x x ¢¢==，所以()f x ¢至少有两个零点. 又()f x ¢中含有因子x ，故0x =也是()f x ¢的零点，的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C【详解】000()()()()()()aaaaa xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx ¢==-=-òòòò其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ò为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()a xf x dx ¢ò为曲边三角形的面积．曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ¢¢¢¢¢¢-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点是函数的间断点因为因为 0000ln11lim ()limlimlim csc |1|csc cot x x x x x x f x xx x x++++®®®®=×=--20sin lim lim 0cos cos x x x xx xx++®®=-=-= 同理同理 0lim ()0x f x -®= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++®®®®æö=×==ç÷-èø所以所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486. (5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-¥+¥内单调有界，且{}nx 单调. 所以{()}nf x 单调且有界. 故{()}nf x 一定存在极限. 本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vuuf r rDf u v F u v dudv dvrdr vf r dr u v +===+òòòòò所以所以 ()2F vf u u ¶=¶本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -æö=ç÷-èø，则()2121421E D l l l l --==---，又()2121421E A l l l l ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值. 又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x ®®®-×==×- 011lim ()(0)122x f x f ®=== 所以所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为xdy y xe dx x--=所以所以 111()dx dx x x x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----éùæöòò=+=×+=-+êúç÷èøëûòò本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--¢-=-=-¢+-，将(0)1y =代入得01x dydx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)--【详解】53235y xx=-Þ23131351010(2)333x y x x x -+¢=-= Þ134343101010(1)999x y xx x --+¢¢=+= 1x =-时，0y ¢¢=；0x =时，y ¢¢不存在不存在在1x =-左右近旁y ¢¢异号，在0x =左右近旁0y ¢¢>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以所以121()ln v v z z u z vy vu u u x u x v xx y -¶¶¶¶¶=×+×=-+×¶¶¶¶¶ 2ln 11ln x y vvy u y y u uxy x y x æöæöæö=-+=×-+ç÷ç÷ç÷èøèøèø所以所以 (1,2)2(ln 21)2zx ¶=-¶本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1 【详解】||236A l l =´´= 3|2|2||A A =32648l \ ´=- 1l Þ=- 本题的难度值为0.839. 三、解答题 (15)【详解】【详解】方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x xx x xx x x x ®®--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x ®®®--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x x x o x x x x ®®éù-\ =+=êúëû 本题的难度值为0.823. (16)【详解】【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdt t +×===+++ 222222[(1)ln(1)]2ln(1)221d t t d y d dy t t t dtdx t dx dx dx dt t ++++æö===ç÷èø+22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt --=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t t dt t t e x dx t dxdt t +×===++=+ 所以所以22(1)xd ye x dx =+本题的难度值为0.742. (17)【详解】【详解】方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-®=+¥-，故212arcsin 1x x dx x-ò是反常积分. 2)1dx tx ppp-22200sin 244tt t p p 2ppp21dx x -20pp p 221x xòòòD 1D 3 D 2(19)【详解】旋转体的体积2()t V f x dx p =ò，侧面积202()1()tS f x f x dx p ¢=+ò，由题设条件知设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx ¢=+òò上式两端对t 求导得求导得 22()()1()f t f t f t ¢=+，即 21y y ¢=- 由分离变量法解得由分离变量法解得 21l n (1)y y t C +-=+，即 21t y y C e +-=将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t ye e -=+于是所求函数为于是所求函数为 1()()2xxy f x ee -==+本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即上的最大值与最小值，即()m f x M ££ [,]x a b Î由定积分性质，有由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -££-ò，即，即 ()baf x dx m M b a££-ò由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b h Î，使得，使得 ()()b af x dx f b ah =-ò即()()()baf x dx f b a h =-ò(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]h Î，使，使 32()()(32)()x dx j j h j h =-=ò又由又由 32(2)()()x d x j j j h>=ò，知，知 23h <£ 对()x j 在[1,2][2,]h 上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)j j <，()(2)j h j <得1(2)(1)()021jjj x -¢=>- 112x <<2()(2)()02j h j j x h -¢=<- 123x h <<£在12[,]x x 上对导函数()x j ¢应用拉格朗日中值定理，有应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0j x j x j x x x ¢¢-¢¢=<- 12(,)1(1,3),3)x x x ÎÌ 本题的难度值为0.719. (21)【详解】【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z l m l m =++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z l ml m l m l m ¢=++=ì¢=++=ïï¢=-+=íï¢=+-=ï¢=++-=ïî解方程组得111222(,,)1(1,1,1,1,2),(,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6. 方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y l l ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y ll l ¢ì=++++=ï¢=++++=íï¢=+++-=î 解得1122(,)1(1,1,1,1),(),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：222212221213211221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n a r ar a n a nnn a n--+-=×××=++证法二：记||nDA =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-21221222(1)(1)n n nn n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||nD A =，将其按第一列展开得，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以所以 2211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+ 1(1)2(1)n nn n a a a n a -=-+×=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ¹，又(1)nA n a =+，故0a ¹．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a a a aa aa aD naa a a a --´-´-===所以所以 11(1)n nD nxD n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为，则方程组为12101101001000n n x x x x -æöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,a a a 线性相关．因为12,a a 分别属于不同特征值的特征向量，故12,a a 线性无关，则3a 可由12,a a 线性表出，不妨设31122l l a a a =+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3a 为0，由323A a a a =+可知20a =，而特征向量都是非0向量，矛盾) 11,A a a =-22A a a =\32321122A l l a a a a a a =+=++，又311221122()A A l l l l a a a a a =+=-+ \112221122l l l l a a a a a -+=++，整理得：11220l a a +=则12,a a 线性相关，矛盾. 所以，123,,a a a 线性无关. 证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k a a a ++= (1) 用A 左乘(1)的两边并由11,A a a =-22A a a =得1123233()0k k k k a a a -+++= (2) (1)—(2)得 113220k k a a -= (3) 因为12,a a 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,a a 线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k a =，又由于20a ¹，所以20k =，故123,,a a a 线性无关. (II) 记123(,,)P a a a =，则P 可逆，可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A a a a a a a ==1223(,,)a a a a =-+123100(,,)01101a a a -æöç÷=ç÷ç÷èø10001101P -æöç÷=ç÷ç÷èø所以所以 1100011001P AP --æöç÷=ç÷ç÷èø. 本题的难度值为0.272. 。

2008年考研数学二试题答案与解析

(sin x4
x)]sin
x
.
=
lim
x→0
sin
x
−
sin(sin x3
x)
.
cos x − cos(sin x) cos x
= lim
.
x→0
3x2
1− cos(sin x)
= lim x→0
3x2
.
1 sin2 x
=
lim
x→0
2
3x2
.
=1 6
（16）（本题满分 10 分）
设函数
y
=
[A]
（5）设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
(A)若{xn}收敛，则{ f (xn )} 收敛
(B)若{xn}单调，则{ f (xn )} 收敛
(C)若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛
(D)若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛 [B]
⎢
⎢
⎢
⎣
2a a2
1 2a 1 %%
a2
% 2a a2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥
⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
,
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
,
b
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢# ⎥
,
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
⎢⎣0⎥⎦
2a ⎦ n×n
(Ⅰ) 证明行列式 A = (n + 1)an ;
(Ⅱ) 当 a 为何值时,该方程组有唯一解,并求 x1 ;
=
(A) vf (u2 ) .
(C) vf (u) .
(B) v f (u2 ) . u

考研数学二解答题专项强化真题试卷32(题后含答案及解析)

考研数学二解答题专项强化真题试卷32(题后含答案及解析)题型有：1.1．求极限正确答案：2．(2008年)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3．(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P＝[α1，α2，α3]，求P-1AP．正确答案：(Ⅰ)设存在一组常数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0 ①用A左乘①式两端，并利用Aα1＝－α1，Aα2＝α2，－k1α1(k2＋k3)α2＋k3α3＝0 ②①一②，得2k1α1－k3α2＝0 ③因为α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而由③式知k1＝k3＝0，代入①式得k2α2＝0，又由于α2≠0，所以k2＝0，故α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)由题设条件可得AP＝A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3] ＝[－α1，α2，α2＋α3] ＝[α1，α2，α3] 由(Ⅰ)知矩阵P可逆，用P-1左乘上式两端，得涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量3．(1999年试题，三)求正确答案：解析：在求极限过程中，应先将非零因子项计算出来，尽量用无穷小量的等价代换进行简化，然后再用洛必达法则求极限，这样比较简便．知识模块：函数、极限、连续4．(2002年试题，五)已知函数f(x)在(0，+∞)内可导f(x)>0，96，且满足求f(x)．正确答案：本题考查由重要极限导出微分方程，再求解微分方程，由题设，因此f’(x)分离变量得两边积分得即又由已知，可求出C=1，所以涉及知识点：函数、极限、连续5．(2006年试题，一)广义积分正确答案：解析：对于广义积分，运用牛顿一莱布尼兹公式求解时，要取极限．知识模块：一元函数积分学6．(2007年试题，三(22))设二元函数计算二重积分，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}正确答案：设区域D1={(x，y)｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1解析：将区域D2转化为区域D减去D1，用以计算．比较简便，因为区域D和D1方便积分．知识模块：重积分7．(91年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内满足f(x)=f(x一π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，计算∫π3πf(x)dx．正确答案：当x∈[π，2π)时，x一π∈[0，π)，由f在[0，π)上的定义知f(x一π)=x一π故f(x)=f(x一x)+sinx=x一π+sinx，x∈[π，2π)当x∈[2π，3π)时，x一π∈[π，2π) f(x一π)=[(x一π)一π]+sin(x一π)=x一2π一sinx故f(x)=f(x一π)+sinx =x一2π—sinx+sinx=x一2π，x∈[2π，3π)则∫π3πf(x)dx=∫π2πf(x)dx+∫2π3πf(x)dx=∫π2π(x一π+sinx)dx+∫2π3π(x一2π)dx=π2一2 涉及知识点：一元函数积分学[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．8．根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；正确答案：液面的面积以πm2／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为π·22+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ2(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t 时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ2(y)=4π+πt，从而t=φ2(y)一4．涉及知识点：一元函数积分学9．求曲线x=φ(y)的方程．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分钟)正确答案：液面的高度为y时，液体的体积为π∫0yφ2(y)dy=3t=3φ2(y)一12．该式两边对y求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ′(y)，即πφ(y)=6φ′(y)．解此微分方程，得φ(y)=C，其中C为任意常数，由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为x=2．涉及知识点：一元函数积分学10．[2009年] 设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；正确答案：可用基础解系和特解的简便求法求解Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1．A ξ2=ξ1，用初等行变换将其系数矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵，即对应的齐次线性方程组的基础解系只含一个解向量α=[1／2，一1／2，1]T，原方程的一特解为η=[一1／2，1／2，0]T，故满足Aξ2=ξ1的所有向量ξ2=k1α+η=k1[1/2，一1／2，1]T+[一1／2，1／2，0]=[k1／2—1／2，一k1／2+1／2，k1]T，其中k1为任意常数．解方程组A2ξ3=ξ1，易求得A2=，因[A2:ξ1]=对应的齐次线性方程组的一个基础解系含两个解向量α1=[一1，1，0] T，α2=[0，0，1]T，一特解为β=[一1／2，0，0]T，满足A2ξ3=ξ1的所有向量ξ3=k2α1+k3α2+β=[一1／2一k2，k2，k3]T．涉及知识点：线性方程组。

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2008年考研数学二试题一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.) (1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【D 】．(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()axf x dx '⎰在几何上表示【C 】．(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积．【详解】'()()()()aa axf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以'()axf x dx ⎰为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C).(3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【D 】．(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+--32444λλλ=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).(4) 判定函数ln ()|1|xf x x =-，(0)x >间断点的情况【A 】．(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点.(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【B 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).(6)设函数()f x 连续，221x y +=，222,1x y u u +=>，若2222()(,)Df u v F u v dudv u v+=-⎰⎰，则Fu∂=∂【A 】． (A) 2()vf u (B) ()vf u (C)2()v f u u (D) ()vf u u【详解】利用极坐标，得22222211()()(,)()vuu Df u v f r F u v dudv dv rdr v f r dr ru v+===-⎰⎰⎰⎰⎰，所以F u ∂=∂2()vf u ． (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是【C 】．(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).(8) 设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为【D 】． (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=-- 则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=- 则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)(9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)f =2．(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是()x y x C e -=-． (11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为1y x =+． (12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为(1,6)--． (13)设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂2(ln 21)2-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=1-．三、解答题(15－23小题，共94分)． (15)(本题满分9分)求极限[]40sin sin(sin )sin limx x x x x →-．【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x →-=0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x →=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x x x →-[]40sin sin(sin )sin lim sin x x x x x→-=＝30sin limt t t t →-201cos lim 3t t t →-=2202lim 3t t t →=（或0sin lim 6t t t →=） 16=． (16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dt x -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ．【详解1】由20x dxte dt--=得 2x e dx tdt =，积分得2x e t C =+．由条件00t x ==，得1C =，即21x e t =+，故 2ln(1)x t =+．方程组220ln(1)ln(1)t x t y u du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰两端同时对t 求导得 22212ln(1)dx t dt t dy t t dt⎧=⎪⎪+⎨⎪=+⎪⎩．所以22(1)ln(1)dy dy dt t t dxdx dt==++，从而222222(1)ln(1)(1)ln(1)d t t d t t d y dtdx dx dxdt⎡⎤++⎣⎦⎡⎤++⎣⎦==22222ln(1)2(1)[ln(1)1]21t t t t t t t ++==++++．17（本题满分9分）计算212arcsin 1x x dx x-⎰．【详解1】由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分．令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．21222200arcsin cos 2sin ()221x x t tdx t tdt dt x ππ==--⎰⎰⎰222001sin 244t td t ππ=-⎰2220sin 21sin 21644t t tdt πππ=-+⎰ 2201cos 2168t ππ=-21164π=+．【详解2】211222arcsin 1(arcsin )21x x dx x d x x =-⎰⎰21222001(arcsin )(arcsin )2x x x x dx π=-⎰2120(arcsin )8x x dx π=-⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．1222001(arcsin )sin 22x x dx t tdt π=⎰⎰ 222001(cos 22cos 2)4t t t tdt ππ=--⎰21164π=-，所以2212arcsin 11641x x dx x π=+-⎰． (18)(本题满分11分) 计算max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰，其中{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤．【详解】将区域D 分成如图所示得两个子区域12,D D 和3D ．于是123max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}DD D D xy dxdy xy dxdy xy dxdy xy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12311D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122222111022x xdx xydy dx dy dx dy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1519ln 212ln 2ln 244=-++=+．(19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式．【详解】根据题意，因为旋转体体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰．所以 2202()2()1()tt f x dx f x f x dx ππ'=+⎰⎰．上式两边同时对t 求导得22()()1()f t f t f t '=+．解得 21ln(1)y y t C +-=+，21t y y Ce +-=．由(0)1y =，得1C =．所以 21t y y e +-= 或 1()()2tt y f x e e -==+． (20)(本题满分11分) (I)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<．【证法1】若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大值M 和最小值m ．即()m f x M ≤≤，[,]x a b ∈于是有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．即1()b am f x dx M b a ≤≤-⎰根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点[,]a b η∈，使得1()()b af f x dx b a η=-⎰因此而的证．（II ）存在[2,3]η∈，使得32()()x dx ϕϕη=⎰．由32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知(2,3]η∈．由(2)(1)ϕϕ>，利用微分中值定理，存在1(1,2)ξ∈，使得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>-．由(2)()ϕϕη>，利用微分中值定理，存在2(2,)ξη∈，使得2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<-．存在存在12(,)(1,3)ξξξ∈⊂，使得2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<-．（21）(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数22222(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμ=++++-+++-．令2222022020040xy z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎪⎩解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．【详解2】由题意知，4422222u x y x y x y =++++在条件224x y x y +++=下的最值．令323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y x y x y λλ⎧'=++++=⎪⎪'=++++=⎨⎪+-++=⎪⎩2222022020040xy z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎪⎩解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6．(22) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12n b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a aa aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得2212212121212212n n n a a aa aD aD a a a a --=-2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a aa aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212na a a r ar a aa a a a -=21213122110111n n na a aan r ar nn a n n a n ----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a a a aa aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(23) (本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=．用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=．因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+，所以 1123233()0k k k k ααα-+++=，即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．。

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