2010年高考数学试题分类汇编——函数

2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）9.函数3()log (3)
f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 (0,-2) 。

解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=x y ，另x=0，有y=-2
法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数
3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）
（2010陕西文数）13.已知函数f （x ）＝232,1,,1
,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .
解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2
（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241
t t y t -+=的最小值为____________ .
解析：2411
42(0)t t y t t t t
-+=
=+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =-
（2010浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。

答案：20 （2010
重庆理数）（15）已知函数
()f x 满足：()114
f =
，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.
解析：取x=1 y=0得2
1)0(=
f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)= 2
1
（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-1
x
,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________
【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

已知f （x ）为增函数且m ≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意。

M<0，时有221111
02()012m mx mx mx m x mx x m x m
-
+-<⇒--∙<⇒+<因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+21
2m
<即2m >1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

（2010
天津理数）（16）设函数2
()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

依据题意得22222
214(1)(1)14(1)x m x x m m
---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即
2
2213241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。

当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以2
21543
m m -≤-，即
22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
（2010湖南理数）14．过抛物线22(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于
,A B 两点，,A B 在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为，则p = ．
3. （2010福建理数）15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），
恒有f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈
（1，2时，f(x)=2-x 。

给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m
f (2)=0
；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n
f(2+1)=9；
④“函数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得
1(,)(2,2)k k a b +⊆”。

其中所有正确结论的序号是 。

【答案】①②④
【解析】对①，因为m
2>0，所以m f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

4 . （2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是奇函数，则实数a =_______▲_________ 5. （2010江苏卷）11、已知函数2
1,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的
范围是__▲___。

[解析]
考查分段函数的单调性。

2
2
12(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩
6. （2010江苏卷）14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其
中一块是梯形，记2
(S =梯形的周长）
梯形的面积
,则S 的最小值是____▲____。

设剪成的小正三角形的边长为x
，则：22
2
(3)(01)1x S x x -==<<- 令111
3,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈
，则：222186681
t S t t t t
==-+--+-
故当131,83x t =
=时，S。

（2010上海文数）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题
满分5分，第3小题满分8分。

若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若2
1x -比3接近0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：2
2
a b ab +比3
3
a b +
接近2 （3）已知函数()f x 的定义域{}
,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和
1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小
值和单调性（结论不要求证明）.。