2.4 均值定理
均值定理PPT教学课件
该定理是否还有另外的表述？
如果把 a+2b看作是正数a、b的等差中项， √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定 理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于 它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？ 一边是和，一边是积。
现在有谁能快速地求出函数y=x2+
1 x2
的最小值。
问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个 全等的三角形纸片，要求以正方形的边作为直 三角形的斜边，如何剪？
图
b a
c
图①
a b
c
图②
从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab （当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、 b∈R都成立呢？
由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则 是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的 定理及证明不等式的方法
有最小值2√P 。
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当
x=y时，积xy有最大值
1 4
S2。
证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ S，
∴ xy≤ 1S2。
2
4
上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最
大值 1 S2。 4
总结：
1）两个正数，积定和小，和定积大。
作文马虎 找我谈话
严格要求 教育有方
（轻轻地）抚摸 （温和地）问 （语重心长地）说
惭愧 后悔 懊丧 从 此不敢怠慢
夜幕降临 促膝长谈
学识渊博 寄教于乐
上下五千年
纵横九万里 娓娓动听
络绎不绝 新奇愉快
熟谙癖好 给予培养
高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.3～2.4_平均值不等式(选学)_最大值与最小值问题优化的数学模型
• ···• 24
x 4n
• 4
a x3n
n个 x 相乘 n
n＋1 ＝(n＋1)
nan，
由推广结论知nan＝1，∴a＝nn.
答案：A
一分耕耘一分收获
二、填空题
5．设 x，y∈R，且 xy≠0，则x2＋y12·x12＋4y2的最小值为______．
解
析
：
x2＋y12
x12＋4y2
＝
1
＋
4
＋
4x2y2
一分耕耘一分收获
∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，即 x＝ 33时取“＝”号．
∴y≤2
9
3 .
∴y
的最大值为2 9
3 .
一分耕耘一分收获
(1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简 记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一 正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件 决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如： 配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
一分耕耘一分收获
利用基本不等式求最值 [例 1] 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1， 求 x＋y 的最小值． [思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵 活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不 等式求得和的最小值． [精解详析] 法一：∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，
一分耕耘一分收获
[精解详析] 设圆柱体的底面半径为 r，如图， 由相似三角形的性质可得
H－ H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)． 根据平均不等式可得 V 圆柱＝4HπR2 2·H－2 h·H－2 h·h≤4HπR2 2H3 3＝247πR2H.
2.2.2均值定理
a b ab(a,b 0) 2
（1）若a>0，则 a 2a；
（2）若a>0且b>0，则 a 2 ab b
2
a b
；
（3）用比较法证明不等式的步骤：
① 作差 ； ② 计算（与0作比较） ；
③ 下结论 。
Ⅰ.探索与研究
1、分析问题： 一个矩形的长为a，宽为b，画两
（2）已知a>0, b>0, 且a+b=6,求a b的最大值.
解：a 0, b 0时，ab ( a b )2 （ 6 ）2 9
2
2
当且仅当a b 3时，等号成立
所以ab的最大值为9
1、 a b 2 ab
积为定值， 和有最小值
中,当a，b相乘积是一个定值时， 你能得出什么结论？
2、为了围成一个面积为49cm的矩形小框，至少要 用多长的铁丝？
演练 1 答案
解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm。
由已知条件得，x+y=
20 2
10
。 据均值定理得
xy x y 10 5 22
等号成立当且仅当 x y 5 时, 此时 xy 达到
最大值5，从而 xy 达到最大值25.
4:若x>-1,求 x 1 的最小值. x 1
求 x 1 (x 1) 的最小值，并求出相
x 1
应的x值。
Ⅲ 小 结：
均值定理必须满足：
• 一正：函数式中各项必须都是正数; • 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是
定值； • 三相等：等号成立条件必须存在.
演练反馈
1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框， 长与宽各为多少时，面积最大？
高二数学人教B版选修4-5第二章2.3～2.4平均值不等式(选学)最大值与最小值问题优化的数学模型含
平均值不等式(选学)最大值与最小值问题，优化的数学模型［读教材填要点］1. 平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)： 设a i , a 2,…，a n 为n 个正数，则 a i + a 2+…+ a *、 n ---------------a i a 2…a n , 等号成立 ? 岂=a 2=・・・=a n .① 推论1：设a i , a 2，…，a n 为n 个正数，且 a i a 2…a n = 1,贝U a i + a 2 + ^+ a n >n. 且等号成立? a ^= a ? = •••= a n = 1.② 推论2:设C 为常数，且a 1, a 2,…，a n 为n 个正数；则当a 1 + a 2+^+ a n = nC 时, a 1a 2 …a n < C ，且等号成立？ a 】=a ? = •••= a 』. ⑵定理2：设a 1, a ：,…，a n 为n 个正数，则 n ----------- n ______________a1a2…an > 1丄1丄丄1，a 1 a 2 a n 等号成立 ? a 1= a ?=•••= a n . ⑶定理3：设a 1, a ：,…，a n 为正数，则等号成立 ? a 1= a 2=・・・=a n . 推论：设a 1, a 2,…，a n 为n 个正数，则2. 最值问题设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 X o € D ，使得 f(x)W fU o )(f(x) >f(x o )), x € D ,拍象问题情境牝，新知无师自通［对应学生用书P33］2. 3〜2.4a 1 + a 2 +•+ a nn丄'a n(a 1+ a ：+…+ a n )d +右+…+右)》沁.则称f(x o)为f(x)在D上的最大(小)值，x o称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最x()()[]1a_2f b Vab(1)(2)⑶[1]6 10 16.y 9x 1 9 1x y x yx 4 y 12x 4 y 12 (x y)min 16・f(x) 3-(x 0)f(x) 1 P34](x 9y)(x y)高频考点题组化.名师一点就通x2x 3x 2.62xi)f(x) 12xf(x)max2]x22x (1(1y22 ,6y x(1 x2)x呢y x(ix2)2X2)2x22x2(1(1 x2)x2 131 x2 1(1)x2)2x)(1x2427.x2(1 x)2解：y = x (1 — x) = x x(1 — x) 1=x x (2 — 2x)x 2v 1 孜+ x + 2 — 2x1 x 8 - 土 、2 3 _2 27_27'当且仅当x = 2 — 2x ，即x = 3时取等号.34此时，y max =.□目 1利用平均值不等式解应用题［例3］已知圆锥的底面半径为 R ,高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆 柱的体积最大？并求出这个最大的体积.［思路点拨］本题考查算术一几何平均不等式在实际问题中的应用， 解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系, 等式求最大值.［精解详析］设圆柱体的底面半径为 r ,如图，由相似三角形的性质可得 H — h _ 匚 H = R ，R …r = H (H — h).2n R 2--V 圆柱=n h = -^2(H — h) h(0v h v H).根据平均不等式可得=27的.（1）在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值.⑵在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求 最值的.3. 如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿 虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图 （2）所示，求这个正六棱柱容器容积的最大然后利用算术一几何平均不24T R H — h H —4 n R H 3 "HF 3H _ h i当且仅当一厂=h ,即h =尹时,V 圆柱最大=27n 2H.2如图可知2h + 3x = 3,即 h = 23(1 - x),所以V = S 底人=6X —^3%2 h41 3.当且仅当2= i —x 即x = 2时，等号成立.2 32 1所以当底面边长为3时，正六棱柱容器容积最大值为3燦［:训舊超芙蛙、兰在锹娈走泓 ［对应学 生用书P35］一、选择题121.函数y = 3x + _2(x>0)的最小值是( 入 A . 6 C . 9c 12 3x 3x 12 3/3x 3x 12y = 3x + x 2= 2+7+=》3 込三 7 =9，答案：C2.已知x + 2y + 3z = 6，则2x + 4y + 8z 的最小值为(值.解：设正六棱柱容器底面边长为穿x2#(1— x) = 23 X 穿X ,二+；+1—x 2 2 _______ < 3 .) B . 6.6 D . 12解析: 当且仅当 3x2 -2，即x = 2时取等号.xx(x>0)，高为 h ,A122x>0,4y>0,8z>0 2x 4y 8z2y—3Zx 2y 40 ig(n2x3z2212^5 2x22y4 12.23z222‘z x 22yx 4y4ig yio. xy loo.lg xy2nx+o_1)n+1 x Jn nn(n 1) igloo 2.ax ~nx4y 40 lg x ig y104xy1 2x1x -xn 1(n N )二、填空题5. _______________________________________________________ 设x, y€ R，且xy 丰0,则x2+ y・步+ 4y2的最小值为__________________________________ .解析：x2+ 1 X2+ 4y2= 1 + 4+ 4x2y2+ x2y2> 1 + 4 + 2 - 4x2y2-^= 9，当且仅当4x2y2 =x2^时等号成立，即IxyU#时等号成立.答案：96. ____________________________________________________ 若x, y € R且xy= 1，则£+ y £+ x/勺最小值是_____________________________________________ .解析：•/ x>0, y>0,xy= 1,••• x+y -+ x = 1 + 2 x2卜乞+ xyy x y x> 1 + 3^x2y2= 4,2 2当且仅当—=y = xy,y x即x = y= 1时取等号.答案：47. 对于x€ [0,扌，，不等式壬 +—— > 16恒成立，则正数p的取值范围为、一'2丿sin x cos x解析：令t= sin2x,则cos2x= 1 —t. 又x € 0, t € (0,1).不等式一―+— > 16可化为sin x cos xP> 16—1 (1 —t), 而y = 16—十(1 —t)=17—；+ 16t W 17 —2 '1 16t= 9,当；=16t，即t =1时取等号，t 4因此原不等式恒成立，只需p> 9.答案：[9 ,+^ )&设三角形三边长为3,4,5, P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是_________ .解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x, y,乙三角形的面积为S.36S 1(3x 4y 5z)32 42 52 1S 23 46.3x 4y 5z 2 6 12.3习3x 4y 5z 3x 4y 5z 12.b- ya - X o24V2(.aabbx1-Vb -ya - X240V2o24Vo24VV2oQo 480V4V2Q00V 201615.4.3 (xX (.aab(xyz)maxbx.m m4801-V0013V 2 240100VV36答：轮船航行速度为 20千米/小时时，每千米航行费用总和最小. 11•如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯•大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低， 桌子的边缘处仍然是不亮的•由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮 度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角B 的正弦成正比，而和这里k 是一个和灯光强度有关的常数•那么究竟应该怎样选择灯 的高度h ，才能使桌子边缘处最亮?解:「r = cos 0.E 2= * sin 2 0 cos 4 016k 2 2 2 =32 （2sin 0 cos 0 cos 0 22222k 2sin 0+ cos 0+ cos 0 3 _ _108’当且仅当 2sin 2 e= cos 2 0 即卩 tan 2 0=1, tan0=h = 2tan 0= 2，即 h = \/2米时，E 最大.这一点到光源的距离r 的平方成反比•即E =譽02...E = k sin民os 0_ _ n ^^（o<毕口等号,。
调和函数的基本性质
调和函数的基本性质众所周知,调和函数的理论在数学和物理的众多分支中有重要的应用.本 文在整理已有文献的基础之上,归纳总结了调和函数的一些基本性质.主要包 括:调和函数的均值定理和最大值原理,刘维尔定理,关于调和函数的Harnack 不等式,欧氏nR 空间中球内Dirichlet 问题的解及其应用,以及上半空间1n R ++上边值为)(n p R L 函数的调和函数的特征刻画. 关键词:调和函数,均值定理，最大值原理,Dirichlet 问题,Poisson 积分第一章引言所谓调和函数, 就是满足拉普拉斯方程的函数. 关于调和函数的理论和研究是 数学中一个经典而一直备受关注的热点课题之一. 众所周知, 调和函数在现代数学的众多分支, 如偏微分方程, 数学物理, 位势论和调和分析等, 有着重要的理论意义和应用价值. 此外, 调和函数的理论也在物理学的许多领域有着重要的应用; 例如,在热传导问题, 流体流动问题和静电场问题等问题的解决中, 调和函数发挥了重要的作用.调和函数的相关理论发展到今天, 其结果非常丰富且比较成熟(例如, 参见专著[5]). 同时, 调和函数的理论在数学和其他学科的一些领域中有着非常重要的应用; 例如, 调和函数在现代偏微分方程和调和分析等数学分支中有重要的应用(参见专著[6, 7, 8]). 本文在已有研究工作的基础之上, 通过收集调和函数理论的相关文献资料, 对文献进行整理, 归纳总结了调和函数的基本性质及一些应用. 在整理文献的过程中, 本文主要参考了文献[1, 2, 4]中关于调和函数函数的内容. 具体地, 本论文的主要内容包括:• 均值定理; • 最大值原理; • 刘维尔定理;• 关于调和函数的Harnack 不等式;• 欧氏空间R n 中球内Dirichlet 问题的解及其应用;• 1++n R 上边值为L p (R n ) 函数的调和函数的特征刻画.第二章 nR 上的调和函数的基本性质在本章，我们主要总结了调和函数的均值定理和最大值原理，刘维尔定理，关于调和函数是Harnack 不等式，以及欧式空nR 中球内Dirichlet 问题的解及其应用.在总结本章内容时，我们主要参考了文献【2,4】中关于调和函数的相关内容。
均值定理
磐安县职业教育中心
计算：
a 1、已知：a=4,b=9 求：+ b = ， a.b = 2 a 2、已知：a=2,b=2 求： + b = ，a.b = 2 3、已知：a=2,b=6 求：a + b = ， a.b = 2 4、已知：a=15,b=5求：a + b = ， a.b = 2 a+b 5、已知：a=7,b=7求： 2 = ， a.b=
均值定理
• 时取“ （当且仅当a＝b时取“＝”号） 当且仅当 ＝ 时取
a +b 定理：如果a， 是正数 是正数， 定理：如果 ，b是正数，那么 2 =
≥
a.b
a.b • 1）我们称 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可 叙述为：两个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数.
a+b 为a，b的算，2
• 谢谢指导
几点说明
•
a+b 2） 2 ≥
a.b 成立的条件是a，b都是正数.
• 3）“当且仅当”的含义是充要条件.
几个变式
• ① a+b≥2
ab
a+b 2 • ②ab≤ ( ) 2
例题讲解
1 • （1）已知x是正数，求：x+ 的最小值 X
X Y • （2）已知x，y都是正数，求： + X 的最 Y 小值 1 • （3）已知x是正数，求：X+ 的最小 X +2
值 • （4）已知x，y都是正数且x+y=50，求： xy的最大值
利用均值定理求最值，应注意三个条件
• 一正、二定、三相等 一正、二定、
例2
• 已知一条长100m的绳子，用它围成一个 矩形，问长、宽各等于多少时，围出来 的矩形面积最大？
均值定理
§2.2 均值定理.2．会用均值定理求最值和证明不等式. .一．均值定理：ab b a ≥+2，其中,,+∈R b a 当且仅当b a =时取等号； 注：注意运用均值不等式求最值时的条件：（1）0,0>>b a ；（2）a 与b 的积ab 是一个定值（正数）；（3）当且仅当b a =时取等号.记忆时可记为一“正”、二“定”、三“等”.二、重要不等式（1）0)(2≥+b a ；（2）a b ab 222+≥， 其中a b R ，，∈当且仅当b a =时取等号.三． b a b a b a +≤±≤-||||1）如果8,0,0=+>>y x y x ，则xy 的最大值是 ；（2）如果9,0,0=>>xy y x ，则y x +的最小值是 .分析：两题显然都可以用均值定理求解.解：（1）16)28()2(22==+≤y x xy 当且仅当4==y x 时，xy 有最大值4.（2）6922==≥+xy y x当且仅当3==y x 时，y x +取最小值6. 【点评】（1）若+∈R y x ,，且k y x =+（常数），则2)2(k xy ≤； （2）若+∈R y x ,，且k xy =（常数），则k y x 2≥+.【例2】 当40<<x 时，求)28(x x -的最大值.分析：),4(2)28(x x x x -=-由于4)4(=-+x x 为定值，且依题意有04,0>->x x ，故可用均值定理，求最值.解：∵40<<x ,∴04,0>->x x8)24(2)4(2)28(2=-+≤-=-x x x x x x 当且仅当x x -=4, 即2=x 时，)28(x x -取最大值8.【例3】当1>x 时，求函数11-+=x x y 的最小值.分析： 111111+-+-=-+=x x x x y ，由于111)1(=-⨯-x x 为定值，且依题知01>-x ，故可用均值定理求最值.解：∵1>x ，∴01>-x3111)1(2111111=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y 当且仅当111-=-x x ，即2=x 时，11-+=x x y 取最小值3. 【例4】求函数)0(,322>+=x x x y 的最小值，下列解法是否正确？为什么？ 解法一： 3322243212321232=⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解法二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=，当x x 322=，即2123=x 时， ∴633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。
连续函数平均值与积分中值定理分析
连续函数平均值与积分中值定理分析1. 引言1.1 连续函数的概念连续函数是一种在实数集上具有特定性质的函数。
在数学上，连续函数是指在一个区间内能够被无限接近，即函数在该区间内没有断点或跳跃。
简单来说，就是函数的图像可以被画成一条连续的曲线，没有间断或断裂。
为了更清晰地理解连续函数的概念，我们可以通过几个例子进行说明。
考虑一个线性函数，比如f(x)=2x+1。
这个函数是连续的，因为它的图像是一条直线，没有间断。
另一个例子是f(x)=sin(x)，这是一个周期性函数，但在任意一个区间内它也是连续的，因为它的图像是一条平滑的曲线。
连续函数的概念在数学分析中扮演着重要的角色，它使我们能够更深入地研究函数的性质和行为。
通过对连续函数的研究，我们可以推论出许多关于函数的重要结论，比如平均值定理和积分中值定理。
在接下来的正文中，我们将更详细地探讨这些定理，并展示它们的应用和证明方法。
【内容达到200字】1.2 平均值定理与积分中值定理简介平均值定理与积分中值定理是微积分中的两个重要定理，它们揭示了函数在区间上的平均值与积分值之间的关系。
这两个定理在分析中具有重要的作用，广泛应用于各种领域的问题求解中。
平均值定理指出，如果一个函数在闭区间上连续，那么在该区间上一定存在一点，使得该点的函数值等于函数在整个区间上的平均值。
这个定理直观地表达了连续函数在一个区间上的均匀性。
平均值定理与积分中值定理提供了在分析问题时的重要工具，可以帮助我们更好地理解函数在区间上的性质，进一步分析函数的行为。
通过深入研究这两个定理的证明和应用，我们能够更准确地把握函数的变化规律，为进一步的数学研究提供重要参考。
2. 正文2.1 连续函数的性质连续函数的性质是数学分析中非常重要的内容，它们涉及到函数在定义域上的连续性、单调性和有界性等方面的性质。
连续函数的定义是指在一个区间上函数的函数值能够无限接近于函数在该区间上的某一点处的函数值。
这就意味着连续函数在整个区间上都没有间断点，可以通过画出函数图像来帮助理解。
高二数学均值定理
ysh15zvb
在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想
两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？
例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是 定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p 。 x+y 证明：因为x，y都是正数，所以 ≥√xy ，积 2 x+y xy为定值p时，有 2 ≥√P ， ∴x+y≥2√P . 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y
a+b ≥( 2
a+ b )2 ≥ ab ≥ 2
2
1 1 + a b
(a、b∈R + )
高中数学公式与二级结论全测答案
集合1.集合与简单逻辑（1） B ；⊆；⊆；∅；R . （2） B ；⊆；⊆；∅；R .（3）①相反；②假、真③真、假（4）不是；不都是；不大于；不小于；一个也没有；至少两个；至多有()1n −个；至少有()1n +个；存在某x ，不成立；p ¬且q ¬；p ¬或q ¬；存在某x ，成立.（5）x A ∃∈，是()p x ¬成立；x A ∀∈，使()p x ¬成立 （6）①充分条件；必要条件；充要条件.②充分不必要条件；必要不充分条件；充要条件.不等式1. 不等关系与不等式1.1.不等式的基本性质（1） （2） （3） （4） （5） ； （6） （7） （8） （9）≥ 推广：≥1.2.倒数性质（1） （2） （3） （4） ；1.3.有关分数的性质 （1） ； （2） ；2.基本不等式2.1基本不等式（12a b+≤；a b =；算术平均数；几何平均数； 注意：正数；求最值时和或积为定值；满足等号成立的条件. 变形1：2b aa b+≥（0,2ab ab = 时取等号） 变形2：112x x x x+=+≥（0,1x x ≠=±时取等号） （2）2ab （当且仅当a b =时取“=”号）； 变形1：()()2222a ba b +≥+，（当且仅当a b =时取“=”号）； 变形2：22a b ab +≤（当且仅当a b =时取“=”号）.（3）≤；≤；≤.2.2均值定理（1）≤；24S ；最大值.（2）≥；；最小值.2.3常见求最值模型模型一：；x =模型二：nx a−；ma ；；ma ；x a −模型三：≤；x =模型四：≤；24n m；2n x m =2.4其他不等式（1）3abc （当且仅当a b c ==时取“=”号） （2）;a b c ≥==（3）()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++（4）()2x y a b ++（5）①：≤；0ab ≥②：≤；0ab ≤③：≤；≤3.一元二次不等式解法3.1简单的分式不等式的解法 （1）;,;,. （2）;,;,. （3）,;,;,.=≥≤ （4）,;,;,.=≥≤ 3.3一元二次不等式的解①有两个不等实根()1212,x x x x ；②有两个相等实根122bx x a==−；③没有实根. ④{}12|x x x x x或； ⑤{}1|x x x ≠； ⑥R ⑦{}12|x x x x ； ⑧∅ ； ⑨∅3.4指数不等式的解法 （1） ， ；（2） ， .4.含参数的不等式的解法（1）①正，负，0； ②正，负，0；③大，小，0.5. 含有几何意义的目标函数（1）z =；z=（2）b y a a z d c x c−− =⋅ −−；(),x y ；,d b c a −− ；a c ；y b z x a −=−；y z x =. （3）z =(),x y ；0Ax By C++=.一、函数 1. 主方公式【答案】（1）()()22a b a ab b +−+（2）()()22a b a ab b −++ （3）322333a a b ab b +++ （4）322333a a b ab b −+−2.映射【答案】mn ；nm3函数定义域3.1.基本初等函数定义域【答案】（1）不为零 （2）大于或等于零 （3）大于0且不等于1；大于0（4）大于0且不等于1；大于0 （5）,,2x x R x k k zππ∈∈≠+∈（6）{},,x x R x k k zπ∈∈≠∈（7）{}|0x x≠3.2.抽象函数定义域4.函数的解析式5.函数值域的求法6.函数的单调性：注意单调区间书写“，”或“和”连接6.1.函数单调性的定义（1）【答案】增函数；增函数.（2）【答案】减函数；减函数.6.2.函数单调性的判别方法（2）①【答案】增函数；减函数；增函数；减函数；无法确定.②【答案】减函数；增函数；增函数；减函数；增函数.（3）【答案】增函数；减函数；减函数；增函数.（4）【答案】增函数；减函数；充分不必要条件.（5）【答案】增函数；减函数.7.函数的奇偶性（1）【答案】a：偶；b：偶；c：奇；d：奇；e：偶；f：无法确定. （3）【答案】奇函数；偶函数；偶函数；偶函数（4）a：【答案】y；原点. b：【答案】0 ；c：【答案】奇函数；非奇非偶d：【答案】()0f x=；e：【答案】()()()()() 22f x f x f x f xf x −−+−=+；f：【答案】偶函数；奇函数；g：【答案】充要条件h ：【答案】()()f x a f x a +=−−；()()()0f x a f x a a +=−+≠；()()f x a f x a +=−−−；()()()0f x a f x a a +=−−+≠；()()()200f x f x a a +−+=≠.（5）奇函数模型 【答案】①()2x xe eg x −−=；②()x xx xe ef x e e −−−=+；③()11ln 2x xf x +−=；④())lnf x x =+；⑤()11f x x x =+−−（6）偶函数模型【答案】①()22f x x =+；②()2x x e e g x −+=；③()()21ln x e f x x +=−； ④()11f x x x =++−8.函数的对称性：同号→对称轴；异号→对称中心（2）【答案】x ；【答案】y ；【答案】原点；【答案】x a =；【答案】0x =； 【答案】()0,0；【答案】x =【答案】,02c b a −9.函数的周期性（2）【答案】T a =；【答案】2T a =；【答案】2T a =；【答案】4T a =；【答案】6T a =（2）①【答案】2T a b =−；2T a =；②【答案】2T a b =−；2T a = ③【答案】4T a b =−；4T a=；4T a=10.二次函数与一元二次方程根的分布（1）【答案】()2,0f x ax bx c a ++≠；【答案】()()2,0f x a x h k a =−+≠，其中(),h k 为顶点；【答案】()()()12,0f x a x x x x a =−−≠（3）【答案】①()020b m a f m ∆ − ；②()020b m af m ∆ − ；③()0f m ；④()()0200b m n a f m f n ∆ −；⑤()()()000fm f n fp ；⑥()()()()()()000000222f m f m f m f n f n f n b m n a b b m na a=∆=⋅=− −− 或或或11.函数的图象变换【答案】向左()0a （向右0a ）平移a 单位 【答案】向上()0b （向下b ）平移b 单位【答案】x 轴下方部分沿x 轴对折到x 轴上方【答案】擦除y 轴左侧部分，将y 轴右侧部分沿y 轴对折12.指数与对数（1）)*0,,,1a m n N n ∈ ；)*10,,,1m na m n N n a=∈ （2）【答案】(0,,)r saa r s Q +∈ ；(0,,)rsa a r s Q ∈ ；()0,0,r r a b a b r Q ⋅∈（4）【答案】0；1；b（6）【答案】log MN a （）；【答案】log MNa ；【答案】log Ma n ；【答案】(01)N a a ≠ 且；【答案】log Ma n m ；【答案】log log N a N b （7）【答案】定义域R ；值域(0)+∞，； 定点(01)，； 奇偶性：非奇非偶；单调性：1a ，函数在定义域上单调递增；01a ，函数在定义域上单调递减. 函数值的变化情况：0x <时，01x a <<；0x >时，1x a >.0x <时，1x a >；0x >时，01x a <<. 解题小技巧：【答案】(),c m b +（8）【答案】定义域()0,+∞；值域R ；定点(10)，； 奇偶性：非奇非偶；单调性：1a ，函数在定义域上单调递增；01a ，函数在定义域上单调递减. 函数值的变化情况：当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥.当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤. 解题小技巧：【答案】()1,c b +13.反函数（1）【答案】值域；定义域.（2）【答案】一一映射存在反函数；单调函数一定存在反函数. （3）【答案】①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出()1y f x −=的值域、定义域.③将()1x fx −=改写成()1y f x −=，并注明反函数的定义域.（4）【答案】①y x =；②值域、定义域；③()',p b a ；④单调函数；⑤x .14.幂函数（1）【答案】()a y x a R =∈(a 为有理数) （2）【答案】1；自变量；常数.（3）【答案】定义域：R ；R ；R ；{|0}x x ≥；{|0}x x ≠. 值域：R ；{|0}y y ≥；R ；{|0}y y ≥；{|0}y y ≠. 奇偶性：奇；偶；奇；非奇非偶；奇.单调性：在R 上单调递增；在(0)−∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增；在R 上 单调递增；在[0+)∞，上单调递增；在(0)−∞，和(0+)∞，上单调递减. 公共点：(11)，导数1. 变化率与导数、导数的计算1.1平均变化率及瞬时变化率（1）()()2121f x f x x x −−（2）()()000limx f x x f x x∆→+∆−∆1.2导数的概念 （1）瞬时变化率 （2）()()limx f x x f x x∆→+∆−∆1.3导数的几何意义（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率（2）()()000'yy f x x x −=−1.4.基本初等函数的导数公式 （1）0（2）1n nx−（3）cos x （4）sin x − （5）xe （6）ln xa a （7）1x （8）1lnax 1.5导数的运算法则（1）()()''f x g x ±（2）()()()()''f x g x f x g x + （3）()()()()()()()2''0f x g x f x g x g x g x −≠1.6导数的切线方程（1）切线方程的斜率()'k f x = （2）切点坐标；导数值；切点坐标（3）切点坐标；导数值；切线方程 （4）切点的坐标2. 利用导数研究函数的性质2.1函数的导数与单调性的关系 （1）单调递增 （2）单调递减 （3）不具备单调性 （4）()'0f x ≥ （5）()'0f x ≤（6）()f x 在区间上有极值，即()'0f x =在区间上有实根且为非二重根2.2求函数的单调区间的步骤（1）定义域（2）导函数（3）递增（4）递减2.3函数的极值与导数（1）都小；()'0f x ；()'0f x（2）都大；()'0f x ；()'0f x（3）()'0f x =（4）()'0f x ≥或()'0f x ≤（5）②方程的根和导数不存在的点；③极大值④极小值2.4函数的最值与导数（1）连续的（2）①极值（3）()min 0f x ；()max 0f x（4）()max 0f x ；()min 0f x（5）()()()min 0f x g x −（6）()()min max f x g x（7）()()min min f x g x（8）()()max max f x g x（9）⊆（10）;3. 构造函数（1）()()g x f x kx b =−+（2）()()g x xf x =（3）()()()0f x g x x x=≠ （4）()()n g x x f x =（5）()()()0n f x g x x x=≠ （6）()()x g x e f x =（7）()()x f x g x e= （8）()()kx g x e f x =（9）()()2x g x e f x =（10）()()x g x a f x = （11）()()sin g x f x x =（12）()()cos g x f x x =（13）()()ln f x g x =（14）()()ln x g x f x =4. 证明题中常用的不等式（1）1x −（2）()ln 1x +（3）1x +（4）1x −+（5）12x − 6.导数同构中的常见类型（1）ln x x e +（2）()ln x xe（3）ln x x e −（4）ln xe x1.任意角和弧度制以及任意角的三角函数1.1角的分类（1）正角、负角、零角；（2）()360k k z βα=⋅+∈1.2象限角（1）|22,2k k k z παπαπ+∈（2）|22,2k k k z παπαππ++∈（3）3|22,2k k k z παππαπ++∈（4）3|222,2k k k z παπαππ++∈1.3角的弧度制（1）半径（2）角度制；弧度制（3）180π；180π（4）l r α=；21122s lr r α== 1.4任意角的三角函数①y ；②sin α；③x ；④cos α；⑤y x；⑥tan α ⑦正；⑧正；⑨正；⑩正；⑪负；⑫负；⑬负；⑭正；⑮负 ⑯MP ；⑰OM ；⑱AT ；⑲MP ；⑳OM ㉑AT2.同角三角函数的基本关系及其诱导公式2.1同角三角函数的基本关系（1）22sin cos 1αα+= 扩展：221sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042ππαααα=−==°===° （2）sin tan cos ααα= 2.2三角函数的诱导公式正弦：sin α；sin α−；sin α−；sin α；cos α；cos α 余弦：cos α；cos α−；cos α；cos α−；sin α；sin α− 正切：tan α；tan α；tan α−；tan α−；不存在；不存在2.3特殊角的三角函数值sin α：0；12；112；0cos α：1；12；0；12−；1−tan α：0；1；不存在；；；0 3. 三角恒等变换3.1三角变换技巧（1）三角变换技巧①α、α；2α ②2αβ+；2αβ− ③β、β、2βα− ④β、β、()αβ−、()βα−⑤()αβ+、()αβ−、 ⑥4πα −（2cos cos sin sin αβαβ−；cos cos sin sin αβαβ+；sin cos sin cos αββα+； sin cos sin cos αββα−；tan tan 1tan tan αβαβ+−；tan tan 1tan tan αβαβ−+ （3）二倍角的正弦、余弦、正切公式①2sin cos αα；②2222cossin 2cos 112sin αααα−=−=− ③22tan 1tan αα−（4）降幂公式 ①1cos 22α+②1cos 22α− （5）半角公式与万能公式①②③1cos sin sin 1cos αααα−=±=±+ ④22tan 21tan 2αα+ ⑤221tan 21tan 2αα−+ ⑥22tan21tan 2αα−（6）辅助角公式αα；cos α=；sin α=；tan b a α=4A π + ；2sin 3A π + ；2sin 6A π +（8）整体代换：21m −（9）和差化积 ①2sincos 22A B A B +− ②2cos sin 22A B A B +− ③2cos cos 22A B A B +− ④2sin sin 22A B A B +−− （10）积化和差①()()1cos cos 2αβαβ−+−− ②()()1cos cos 2αβαβ++− ③()()1sin sin 2αβαβ++− ④()()1sin sin 2αβαβ+−−3.2三角恒等与不等式（1）三倍角公式①33sin 4sinαα− ②34cos 3cos αα− ③323tan tan tan tan tan 13tan 33ααππαααα− =−+ −（2）正弦平方差公式()()22sin sin cos cos αβαββα−+=−（3）①tan tan tan A B C②4cos cos cos 222A B C ③14sin sin sin 222A B C + （4）常见三角不等式①; ②;≤ ③≥ ④减4. 正弦定理与余弦定理（1）正弦定理 ①sin sin sin a b c A B C == ②1）sin :sin :sin A B C2）2sin R C3）2c R（2）①余弦定理1）2222cos a b c bc A =+−2）2222cos b a c ac B =+−3）2222cos c a b ab C =+−②余弦定理变形： 1）222cos 2b c a A bc+−= 2）222cos 2a c b B ac+−= 3）222cos 2a b c C ab+−= 5.三角形中的三角变换（1）A B C π++=（2）大于第三边；小于第三边（3）三角函数的恒等变形①角的变换()sin sin A B C =+；)cos cos A B C =−+；()tan tan A A B =−+；sincos 22A B C +=； cos sin 22A B C +=；tan cot 22A B C += ②当A B C π++=时，则：1）8sin sin sin 222A B C 2）14sin sin sin 222A B C + 3）12sin sin sin 222A B C − 4）14sin sin sin 444A B C πππ−−−+ 5）4sin sin sin 222A B C 6）17）4sin sin sin A B C8）22cos cos cos A B C +9）12cos cos cos A B C −③任意三角形中的不等关系1）1823）32456）1878）329）3410）11112④在任意锐角三角形中1)2) 3) 96.三角形边、角关系定理及其面积公式（1）三角形面积公式 ①()1111sin sin sin 22242abc S ab C bc A ac B a b c R =====++②S （其中()12pa b c =++） ③()11,AB x y = ，()22,AC x y = ，122112Sx y x y − （2）射影定理①AD DB ⋅②AD AB ⋅③BD BA ⋅（3）tan tan tan A B C（4）钝角三角形（5）①60B ∠=°②12±；3π或23π ③2b a c =+；2sin sin sin B A C =+；1tantan 223A C =；60° ④2b ac =；2sin sin sin B A C =；60° （6）cos B ；cos C ；cos A ；cos cos cos A B C ++（7） ； ；7.三角形的中线定理与角平分线定理（1）()22222AB AC BD AD +=+（2）S ABD AB BD S ACD AC CD ∆∆==8.三角函数的图象与性质定义域：x R ∈；x R ∈；|,2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 值域：{}|11y y −≤≤；{}|11y y −≤≤；R单调性：2,222k k ππππ −++ 上单调递增，32,222k k ππππ ++ 上单调递减，k Z ∈； ()21,2k k ππ− 上单调递增，()2,21k k ππ+ 上单调递减，k Z ∈；,22k k ππππ−++上单调递增，k Z ∈；最值：正弦：22x k ππ=+时，()max 1y k Z =∈；22x k ππ=−+时，()min 1y k Z =−∈ 余弦：2x k π=时，()max 1y k Z =∈；2x k ππ=+时，()min 1y k Z =−∈ 奇偶性：奇函数；偶函数；奇函数周期性：2π；2π；π对称性：正弦函数： 对称中心：(),0,k k Z π∈ 对称轴：,2x k k Z ππ=+∈余弦函数：对称中心：,0,2k k Z ππ+∈对称轴：,x k k Z π=∈ 正切函数：对称中心：,0,2k k Z π∈9.函数()()sin 0,0y A wx A ϕω+ 的性质 （1）奇偶性①()k k Z ϕπ=∈ ②()2k k Z πϕπ=+∈（2）周期性 ①2πω②2πω③πω（3）单调性 ①2222k x k πππωϕπ−+≤+≤+②32222k x k πππωϕπ+≤+≤+ （4）对称轴2k ππ+（5）对称中心 k π（6）平移变换方法一：先平移变换再周期变换 ②左（右）； ϕ④1ω⑥A方法二：先周期变换再平移变换 ②1ω④左（右）；ϕω⑥A10.求三角函数的值域（1）sin 1x ≤ （2）()sin x ϕ+ （3）()sincos tx t x = （4）sin 1x ≤ （5）()sin x ϕ+ （6（7）()sin ywx ϕ+平面向量1. 平面向量的概念及其线性运算1.1向量的有关概念名称 定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的模（或长度）平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任记作01.2向量的表示方法（2）有向线段1.3向量的线性运算三角形法则平行四边形法则1.4共线向量定理（1）a b λ= ；（2）OP OA uOB λ=+ ；1122OP OAOB =+2. 平面向量基本定理不共线；有且只有；1122a e e λλ=+；基底2.1平面向量的正交分解 互相垂直2.2平面向量的坐标运算（1）()2121,x x y y −−（2）()2121,x x y y ++；()1212,x x y y −−；()11,x y λλ；12210x y x y −（3）aa±；（4）1212,x x y y ==3. 平面向量的数量积3.1平面向量数量积的有关概念 （1）非零向量；夹角 ①0°； ②180°（2）a b ⊥（3）cos a b θ⋅⋅① 0 ②0 （4）投影的乘积 3.2向量数量积的性质（1）cos ,a a e（2）0a b ⋅= ；a b ⊥（3）2a ；（4）a b a b⋅（5）≤ 3.3数量积的运算律（1）b a ⋅（2）a c b c ⋅+⋅（3）()()a b a b λλ⋅=⋅3.4数量积的坐标运算（1）1212x x y y ⋅+⋅ （2）12120x x y y ⋅+⋅=（3（44. 向量的有关定理4.1奔驰定理；::x y z4.2极化恒等式2214AB AD AC BD ⋅=− ；222214AO BO AO BC −=−4.3对角线向量定理22AB CD +22224.4等和线定理AE xAB y AC =+5. 三角形“四心”的向量表示5.1三角形各心介绍（1）重心（2）垂心 （3）内心（4）外心 （5）2:1； （6）角两边； （7）外心5.2三角形各心的向量表示（1）0OA OB OC ++= （2）OA OB OB OC OC OA ==（3）OAOB OC == （4）AB AC BA BC CA CB OA OB OC AB AC BA BC CA CB−=−=−数列1.n a 与n S1123;.n n n S S a a a a −−+++⋅⋅⋅+2.等差数列2.1通项公式及其前n 项和()()()1111;.212n n n a a n d n n S n a na a d +=+− =−=+⋅2.2等差数列的常用性质（1）()()*,;n m a a n m d n m N =+−∈ （2）;k l m n a a a a +=+（3）2;d（4）等差；md（5）;（6）等差；（7）等差；（8）等差.2.3.与等差数列各项的和有关的性质3.等比数列4.一些特殊数列的前n项和5.常见的裂项方式12.1tan tan .n n a a +−6.求和立体几何1.立体几何初步2.常见几何体的外接球模型（1（2）（3 （4）222124l r r +− （5） （6）22222cos sin 4m n mn l θθ+−+ 3.空间向量3.1基础知识3.2利用空间向量证明位置关系（1）0;AB n ⋅=（2）120.n n ⋅= 2228x y z++222h r h+3.3利用空间向量求解距离问题3.4利用空间向量求解距离问题4.面积射影定理：:.S S ′5.三余弦定理：()cos cos cos OAC BAC OAB BAC OAB ∠=∠⋅∠∠∠和只能是锐角.6. 利用行列式快速求解平面法向量：()122121121221,,y z y z x z x z x y x y −−−解析几何1.直线与圆1.1斜率公式：2121tan .y y x x α−=− 1.2直线的五种方程()00112121;;1;;0.y y k x x y y x x y y x x x y a b y kx b Ax By C −=− −− = −− += =+ ++=1.3夹角公式：12121212tan tan tan .1tan tan 1k k k k θθθθθ−−==++1.4斜率关系2233212223212k k k k k k k k −+=−+，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++−±−=，22112322122.12k k k k k k k k −+=−+1.5点关于直线对称22222()2(),.A Ax By C B Ax By C x y A B A B ++++ −− ++1.6平行与垂直（1）1212;l l k k ⇔= （2）1212 1.l l k k ⊥⇔=− 1.7距离公式1.8四种直线系方程2.圆的方程2.1圆的一般与标准方程(2)()()()()12120x x x x y y y y −−+−−=. (3)200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=. 2.2圆的切点弦方程2.3 圆系方程 （1）()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=()1λ≠− （2）()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2.4 两个圆的公共弦方程()()()1212120D D x E E y F F −+−+−=圆锥曲线1.椭圆2.双曲线3.抛物线（5）.AKF BKF ∠=∠（6）.4.圆锥曲线共性公式、结论排列与组合1. 两个计数原理2. 排列数公式()!.!n n m −3. 组合数公式及性质(1)()!;!!n m n m ⋅−()2;n m n C −①1.m n C +②4.分配问题 1.()()!;!m mn n 2.()()!;!!m mn m n3.12!!;!!!m p m n n n ⋅⋅⋅4.()12!!;!!!!!!m p m n n n a b c ⋅⋅⋅5.12!;!!!m p n n n ⋅⋅⋅6.()12!;!!!!!!m p n n n a b c ⋅⋅⋅7.12!.!!!m p n n n ⋅⋅⋅8. 9.11m n m C −+− 10.()()()1213n n n D D n −−−+≥ 11. 12. 5.二项式定理1.011222;n n n r n r r n n n n n n n C a C ab C a b C a b C b −−−+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 2.()0,1,2.r n r r n C ab r n −=⋅⋅⋅3. 11k n C −−n 211n n A −−()()()()1112n n m m m −+−−≥4. ①1122n n n n C C +−=；111122n n +−++和 ②2nn C ； 12n + 5. 概率 1.;m n2.()();P A P B +3.()();P A P B ⋅4.()1;P A −5.()1;n k k k n C p p −−6.()().P AB P A7. ()()()|||P A C P B C P AB C +− 8.()()()P AB P A P B =9. ()()()1|n i i i P A P A B P B ==∑10. ()()()()()1||A |i i i n j jj P A B P B P B P A B P B ==∑ 111r r r r T T T T +++≥ ≥ ()()()P A P B P AB +−离散型随机变量1.性质(1)0;(2)1;2.离散随机变量的数学期望、方差、标准差(1)1122;n n x P x P x P ++⋅⋅⋅+(2)()()()2221122;n n x E P x E P x E P ξξξ−+−+⋅⋅⋅+− (3)();aE b ξ+(4)2;a D ξ(5)()22.E E ξξ−3.常见分布列（1）();1;p p p −（2）()()1;;1;n k k k n C p p np np p −−−（3）;k n k M N M n N C C C −−M n N;()()()21nM N M N n N N −−− （4()2222;;.x µσµσ−−统计1.回归直线方程 1221.n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx== − = − =− ∑∑ 2. 相关系数n x y r =独立性检验2K = 复数1.复数相等(),.,,,a c b d a b c d R ==∈2.共轭复数.a bi −3.复数的模4.复数的四则运算法则 1.()();a c b d i +++ 2.()();a c b d i −+− 3.()();ac bd bc ad i −++ 4.()22220.ac bd bc ad i c di c d c d +−++≠++。
2.4 均值定理
12.4均值定理
★知识梳理
一、均值定理
注：注意运用均值不等式求最值时的条件：
（1）0,0>>b a ；
（2）a 与b 的积ab 是一个定值（正数）；
（3）当且仅当b a =时取等号.
一“正”、二“定”、三“等”.
二、常见变形
（1），ab b a 2≥+当且仅当b a =时取等号.
（2），）（42b a ab +≤.
当且仅当b a =时取等号.三、经典题型
1.设0,0>>b a 且1=+b a ，则ab 的最大值是_______.
2.已知，R n m ∈,10022=+n m ，则mn 的最大值是
.3.已知正数a 、b 满足ab=10，则a+b 的最小值是.4设y x 、满足40=+y x 且y x 、都是正数，则xy 的最大值
5.如果a ＞0，则a a 25+
≥.6．如果0≠x ，则2
262x x +
的最小值是.7．已知0>x ，函数x x y 12+=的最小值是.8.已知：80<<x ，求)8(x x -的最大值
，此时x =.9.（1）一个矩形的面积为1002m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长
是多少？
（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？。
均值定理求最值
1、凑系数
例1 当0＜x＜4时，求y=x(8－2x)的最值。
解：∵0＜x ＜4
∴4-x＞0
∴y=x(8-2x)=2x(4-x)
求积，和必 须为定值
2
x
4
x
2
2
=8
当且仅当x=4-x即x=2时，
ymax 8
2、凑项
解：∵ x 5 ∴ 4
∴f x 4x 2 1
8 x
1 y
1
16
y
x
x
y
x 12
即
y
3
时，
x 2 y min 18
练习题：
1.已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
3.
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
，求x＋2y的最小
值。
解：∵ x 0, y 0, 8 1 1
xy
∴ x 2 y x 2 y换巧，妙 凑运8x 积用为“1y定1”的值代。
10 16 y x xy
10 2 16 y x 10 8 18 xy
当且仅当
1 y
的最小值．
均值定理：
如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
a b 2 ab 积定和最小
ab
a
b
2
和定积最大
高二数学均值定理
式子 a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？ 充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当”
表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要
的，所以a2+b2≥2ab可以表述为： 如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b时取“=”号）
例1：已知a＞0，b＞0 求证：a+b≥2√ab
这里要注意代换法的应用 a+b 定理：如果a、b是正数，那么 ≥√ab 2 (当且仅当a=b时取“=”号)。 a+b 称 为a、b的算术平均数，称 √ab为a、 2 b的几何平均数 这一定理又可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
该定理是否还有另外的表述？
a+b 如果把 看作是正数a、b的等差中项， 2 √ab 看作是正数a、b的等比中项，那么该定
理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于
它们的等比中项。
现给出这一定理的一种几何解释（演示）
定理有何特征？
一边是和，一边是积。
1 现在有谁能快速地求出函数y=x2+ x2 的最小值。 由此例我们能发现什么？具体的说，要求
（1）知识上 （2）方法上
a＋b≥2√ab
积定和小，和定积大
换元法 a-b代a a2+b2≥2ab
a2≥0
√a—√b代a
a+b≥2 √ab
（3）思想上
渗透数形结合思想
定理表现形式 a2+b2≥(a+b)2／2≥2ab a2+b2 ≥( ／ 2 a+b )2≥ab 2 (a、b∈R) (a、b∈R)
2）运用定理时，可以进行灵活变形，如
判断下列命题的真假
（1）若a，b∈R 则 b + a a ≥2√ b · b a =2 a b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例3.已知a>0,b>0，且ab=16，求a+b的最小值。
解：根据均值定理，得
ab ab 16 4 2
等号成立当且仅当a=b。 由于ab=16，因此a=b时， 有 a =16， 从而a=4， 此时a+b达到最小值8。
2
例4. 求证：对于任意正实数 a ，有
1 a 2. a
等号成立当且仅当
1 1 当且仅当27x= 时，x= 时等号成立 (三相等) 9 3x 1 所以 3 x 有最小值为6。 (结论) 27 x
例2.已知a>0,b>0，且a+b=6，求ab的最大值。
解：根据均值定理，得
ab 6 ab 3, 2 2
从而
ab≤9.
等号成立当且仅当a=b。 由于a+b=6， 因此a=b时， 有 2a=6， 从而a=3，此时ab达到最大值9。
等号成立当且仅当 x 最大值5，从而
y 5 时, 此时 xy 达到
xy
达到最大值25.
答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积最
2 大，达到25 cm。
演练 2答案
解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm。 由已知条件得，xy= 49 。 据均值定理得
x y 2 xy 2 49 14.
等号成立当且仅当x=y= 49 =7, 此时x+y 达到最 小值14，从而2(x+y)达到最小值2×14=28。 答：至少要用28cm长的铁丝。
1 ( x 1) 的最小值，并求出 求 x x 1
相应的x值。
Ⅲ 小 结：
均值定理必须满足：
• 一正：函数式中各项必须都是正数; • 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是 定值； • 三相等：等号成立条件必须存在.
两个正数的算术平均数大于或等于它们的 几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有
ab ≥ 2
ab
等号成立当且仅当 a=b. 这个结论通常称为 均值定理
ab 由a, 2 ab
ab 2 变式 ( 2) ab ( ) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
※ 2.3
均 值 定 理
ab ab (a, b 0) 2
（1）若a>0，则 a a ；
2
（2）若a>0且b>0，则 a 2
ab b
a b
2
；
（3）用比较法证明不等式的步骤： ① 作差 ； ② 与0比较 ； ③ 下结论 。
1.探索与研究
1、分析问题：
一个矩形的长为a，宽为b，画
1、
a + b ? 2 ab
积定，和小
中,当a，b相乘积是一个定值时， 你能得出什么结论？
答：a+b有最小值。
2、ab
a+b 2 £ ( ) 2
中,当a，b相加和为定值时，
你又能得出什么结论？
答：a b有最大值。
和定，积大
1 例1.已知x>0,求 x 的最小值。 x
解：因为x>0,由均值定理知
a b 做a与b的几何平均数 ，把 叫做a与b 2
的 算术平均数 。
我们要比较两个正方形面积的大小，只 需要比较两个正方形的边长哪个长。
由于对任意实数a、b,有
ab 1 ab (a b 2 ab ) 2 2 1 ( a b ) 2 0, 2
因此
ab ≥ 2
ab
等号成立 ( a b ) 2 0 a b a b.
a 1.
Ⅱ.演练反馈
1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框， 长与宽各为多少时，面积最大？
2、为了围成一个面积为49cm的矩形小框，至少要 用多长的铁丝？
演练 1 答案
解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm。
20 由已知条件得，x+y= 2 10 。 据均值定理得
x y 10 xy 5 2 2
(一正) (二定)
1 当且仅当x= 时,即x=1时等号成立 (三相等) x
1 1 x 2 x 2 x x
1 x x
所以
有最小值为2。 (结论)
1 练习:已知x>0,求 27 x 的最小值。 3x
解：因为x>0,由均值定理知
1 1 27x 2 27x 6 3x 3x
(一正)
(二定)
两个正方形，要求第一个正方形的面 积与矩形的面积相同，第二个正方形 的周长与矩形的周长相同。问哪个正 方形的面积大？
a
b
S=ab
(1)
C=2(a+b)
(2)
第一个正方形的面积是ab,可得边 长为
ab 。
第二个正方形的周长为2(a+b)，边
长为
ab 2
。
对于两个正实数a、b，我们把 ab 叫