全国初中数学竞赛《圆》历届真题

初中数学竞赛《圆》历届考题
1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一
点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB
的值.
解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，
所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5
分） ∴AD AP
AP AB =，
所以223AD AD AB AP =∙=，
∴AD AP 3=， …………………………（10
分） 所以
3==AD
AP
PD PB . …………………………（15分）
2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。

若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90° 答：C
解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1
＝2ID ，
所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°
3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则
QA
QC
的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+
答：D ．
解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．
即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=m
m r 2
2-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2
B 1
C 1 （第3题图）
＋QO 2
，即222
22m r m
m r +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．
证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O
所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是
△KPE ∽△KAP ，
所以 KP
KE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2
． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2
所以 KB KP =． …………………………10分
因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是
AC KP CE PE = 故 AC
KB
CE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分
5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．
解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，
ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，
且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．
若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC
的外心．故选（B ）．
6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段
（第4题）
C
（第3题答案图）
CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．
证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB
为,E
F ，则CE ∥DF ．因为AB
是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △
ABD
中，由射影定理得
22PA AC AE AB
==⋅，
22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分
两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，
又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，
所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．
7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足
DE AD
CF BC
=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：
（1）
AD PD
BC PC
=； （2）△PAB ∽△PDC ．
证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．
又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，
于是有
,PD PE
CPD FPE PC PF
=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD
BC PC
=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD
PB PC
= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分
8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，
分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则
C
（第8题）
11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c
=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此
,a a h r DE
h BC
-= 所以DE ＝()
(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c
-+⋅=-=-=
++++ 故 DE ＝
8(79)16
8796
⨯+=++。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）。

A
、
B 、1 C
、
D 、a 解：如图，连接O
E ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC
又因为∠ABO ＝11
(601802)12022
ABD a a ∠=︒+︒-=︒-
所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝
OA ＝
1
10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与
⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH
AB
的值为 ．
解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =
，1
3
AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠ 所
以
Rt
△
FHA
∽
Rt
△
EF A
，
AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 1
3
=.
（第9题）
11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EF
PAD BC
∠=． 证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是
直径，所以
ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，
因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则
AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，
所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）
作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得
EF
AH
BC AP =， 从而
E F
P D
B C
A P
=， 所以 t a n P D E F
PAD AP BC
∠==. …………（20分）
12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q
连结AH ，BD ，QC ，QH
∵AB 为直径 ∴∠ADB ＝∠BDQ ＝900 ∴BQ 为⊙2O 的直径 于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ
∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ∴AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACHQ 为平行四边形 则点P 为CH 的中点。

A。