湖南省益阳市湘潭市2018届高三数学9月调研考试试题理
湖南省益阳市2017-2018学年高三9月调研考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,3,4}A =，集合{2,4,5}B =，则AB =（ ）A ．{2,4,5}B ．{1,3,4,5}C ．{1,2,4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】D 【解析】试题分析：由题意AB ={1,2,3,4,5}．故选D ．考点：集合的并集运算． 2. 函数2cos(2)3y x π=+的最小正周期是（ ）A ．4π B ．12π C ．π D ．2π 【答案】C 【解析】 试题分析：22πT π==．故选C ． 考点：三角函数的周期．3. 设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B考点：充分必要条件．4. 某公司2010～2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系 【答案】B考点：样本的数字特征，线性相关关系．5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A 【解析】试题分析：由题意2x >时，2log 2x =，4x =；当2x ≤时，212x -=，x =三个．故选A ． 考点：程序框图．6.若a ，b 满足||1a =，||=2b ，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】C考点：向量的夹角．7.若0.52a =，4log 3b =，2log 0.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A 【解析】试题分析：∵0.54221,0log 31,log 0.20><<<．∴a b c >>．故选A ． 考点：对数函数与指数函数的性质．8.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则该几何体相应的侧视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是半个圆锥与三棱锥的组合体，侧视图应该是D ．故选D ． 考点：三视图．9.已知0a >，0b >.3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】考点：基本不等式．【名师点睛】求二元函数的最值问题，基本方法是应用基本不等式，但要注意基本不等式的条件，本题应用“1”的代换法，把11a b +变为11()()a b a b++展开后，凑出了基本不等式的条件：定值，然后才可应用它得出结论，在应用基本不等式时一定要注意．10.函数sin()(0,0,0)y A x A ϖϕϖϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） A ．22sin(2)3y x π=+ B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=-【答案】A 【解析】 试题分析：522[()]1212πππT ω=--=，2ω=，2()122ππφ⨯-+=，23πφ=．故选A ． 考点：三角函数()sin()f x A ωx φ=+的图象和性质．11.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．【答案】A 【解析】考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】在抛物线22y px =中已知抛物线上的点00(,)P x y ，它到焦点的距离（称为焦半径）为02pPF x =+，这是抛物线的定义得出的结论，在解决与焦半径有关问题时要善于利用，本题利用此结论易求得双曲线民抛物线的公共点P 的坐标，从而再代入双曲线方程再结合2c =就易求得1a =． 12.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（ ）A ．11(,]43 B ．1(0,]4 C ．11[,]43 D ．11[,)43【答案】D 【解析】试题分析：如图，作出函数()f x 的图象和直线y kx k =+，直线y kx k =+过定点(1,0)-，由题意2131k k k k +<⎧⎨+≥⎩，解得1143k ≤<．故选D ．考点：函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数()y f x =与直线y kx k =+，特别是直线过定点(1,0)-，由此易知它们要有三个交点，直线的位置变化规律，易得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.【答案】2【解析】试题分析：正方体棱长为a ，则327a =，3a =，r ==． 考点：正方体与外接球．14.若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______.【答案】[考点：直线与圆的位置关系．15.已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是_________..【答案】9 【解析】试题分析：作出可行域，如图ΔABC 内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移直线l ，当它过点(1,4)A 时，2z x y =+取得最大值9．故答案为9．考点：简单的线性规划．【名师点睛】图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键在于平移直线ax by z +=时，看它经过哪个点（或哪些点）时最先接触可行域或最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．如本例中平称直线2x y z +=时，向下平移z 减小，向上平移z 增大，因此易知最大值点在何处取得．16.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=°，若AC =，则BD =________.【答案】2考点：余弦定理．【名师点睛】在本题中，已知ABC ∆被分成两个三角形,ABD ACD ∆∆，它们公共边AD 长度已知，相邻的解ADB ∠已知，还知道的是两个三角形中另外两对边的比例，要解这个三角形，可用余弦定理把两个三角形联系起来，根据已知角，用余弦定理分别求出,AB AC ，再由,AB AC 的关系可求得,BD CD ，接着可求得,AB AC 及各个角．如果已知两个角，还可以用正弦定理建立关系，以便求解．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）20名同学参加某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)，[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.【答案】（Ⅰ）0.005；（Ⅱ）落在[50,60)中的学生人数为2，落在[60,70)中的学生人数,3；（Ⅲ）3 10．【解析】试题解析：（Ⅰ）据直方图知组距为10，由(23672)101a a a a a++++⨯=，解得10.005200a==.……………………3分（Ⅱ）成绩落在[50,60)中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯=，成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=.……………………7分 （Ⅲ）记成绩落在[50,60)中的2人为1A ，2A ，成绩落在[60,70)中的3人为1B 、2B 、3B ，则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件共有10个：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .………………9分其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .……………………11分故所求概率为310P =.………………12分 考点：频率分布直方图，古典概型． 18.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=，当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-.【解析】依题意由27138127232929a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩，得113a d =-⎧⎨=-⎩.………………3分所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.………………5分 （Ⅱ）由数列{}n n a b +的首项为1，公比为c 的等比数列， 得1n n n a b c -+=，即132n n n b c --++=，考点：等差数列的通项公式，分组求和，等差数列与等比数列的前n 项和公式．【名师点睛】已知等差数列中的两项和，设出首项和公差，把已知用首项和公差表示出来并求出，然后可写出通项公式和前n 项和公式．关于1,,,,n n a a n d S 之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识．对等比数列，求前n 项和时要对公比q 分类，分为1q =和q ≠1两类，也应该熟记，否则易出错． 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离.【答案】（Ⅰ）证明见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般用到线面垂直的性质定理，即先要证线面垂直，首先由已知PD ⊥底面ABCD .知PD BD ⊥，因此要证BD ⊥平面PAD ，从而只要证BD AD ⊥，这在ABD ∆中可证；（Ⅱ）要求点到平面的距离，可过点作平面的垂线，由（Ⅰ）的证明，可得AD ⊥平面PBD ，从而有BC ⊥平面PBD ，因此平面PBC ⊥平面PBD ，因此只要过D 作DE PB ⊥于E ，则DE 就是的要作的垂线，线段PE 的长就是所要求的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理得BD =.………………1分由题设知，2PD =，则BD =4PB =， ………………10分根据DE PB PD BD =，得DE =即点D 到面PBC ………………12分 考点：线面垂直的判定与性质．点到平面的距离． 20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，点(0,P 在椭圆上，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，过点B 作BD x ⊥轴交AP 的延长线于点D ，F 为椭圆的右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程及直线PF 被椭圆截得的弦长||PM ； （Ⅱ）求证：以BD 为直径的圆与直线PF 相切.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，16||5PM =；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中离心率12e =是一个，又一个顶点说明b =这样易求得,a b ，得椭圆方程，而求椭圆中的弦长，首先写出直线PF方程1)y x =-，代入椭圆方程得x 的一元二次方程，可解得12,x x，由弦长公式12d x =-可得弦长PM ；（Ⅱ）要则(1,0)F，P ，直线PF的方程为1)y x =-，与椭圆方程联立有221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩. 消去y 得到2580x x -=，解得12085x x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由弦长公式得1216|||5PM x x =-=；……………………8分 （Ⅱ）证明：过(2,0)A -，P 的直线AP 的直线方程为：2)2y x =+与BD 的直线方程2x =联立有D ， 所以以BD为直径的圆的圆心为，半径R = 圆心到直线PF的距离d R ===，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.……………………12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦长，直线与圆的位置关系． 21.（本小题满分12分）若函数2()ln 2x f x k x =-，0k >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =处取得极小值(1ln )2k k f -=；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】2'()k x kf x x x x-=-=.……………………1分由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；………………4分()f x 在x =(1ln )2k k f -=.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.……………………8分考点：用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点． 【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x )→求f'(x )=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x )在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性当f (x )不含参数时,也可通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0)直接得到单调递增(或递减)区间.2．零点存在定理：函数()f x 在[,]a b 上有定义，若()()0f a f b <，则()f x 在(,)a b 上至少有一个零点．如果函数()f x 在(,)a b 还是单调的，则零点是唯一的．请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G .（Ⅰ）证明：DAO FBC ∠=∠； （Ⅱ）证明：AE BE =.【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证DAO FBC ∠=∠，这两个角所在两个三角形中有一个公共角，因此只要证明另两个角相等即可，另外这两个角一个是垂直得直角，一个可由垂径定理证明是直角，从而得证；（Ⅱ）要证AE BE =只要证AGE BDE ∆≅∆，这两个三角形三对角对应相等了，还需要一对边相等即可，如证AG BD =，为此可证OD OG =，这又可在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆证得．试题解析：（Ⅰ）连接FC ，OF ，（Ⅱ）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD OBG ∆≅∆，于是OD OG =. ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=. 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE BDE ∆≅∆，∴AE BE =.………………10分 考点：垂径定理，三角形全等的判定与性质．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2)θπ∈. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点D 是曲线C 上一动点，求点D 到直线:32x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数，t R ∈）的最短距离.【答案】（Ⅰ）2220x y y +-=；（Ⅱ）1．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||5f x x a x =-+.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （Ⅱ）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(,6][4,)-∞-+∞． 【解析】试题分析：（Ⅰ）解绝对值不等式，只有一个绝对值符号，可根据绝对值的性质x a a x a <⇔-<<进行变形求解；（Ⅱ）不等式()0f x ≥，可化为||5x a x -≥-，即5x a x -≥-或5x a x -≤，6a x ≤或4a x ≥-，于是只要求得6x 的最小值及4x -的最大值即得a 的范围．试题解析：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴|1|553x x x ++≤+，考点：绝对值不等式．。
2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷(理科)Word版含解析
2018年湖南省湘潭市高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A ．k ＜6？B ．k ＜7？C ．k ＞6？D ．k ＞7？8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．12π9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．102310．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．201411．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．712．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18） B ．（﹣∞，18] C ．[18，+∞） D ．（18，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 2+a 4= ．14．已知点M （1，m ）（m ＞1），若点N （x ，y ）在不等式组表示的平面区域内，且（O 为坐标原点）的最大值为2，则m= ．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 垂直相交于点O ，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD 沿BD 折到△BED 的位置，使得二面角E ﹣BD ﹣A 的大小为90°（如图）．已知Q 为EO的中点，点P 在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．（M∪N）．【分析】分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出CU【解答】解：∵M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞﹣1}，（M∪N）=（﹣∞，﹣1]．∴CU故选：A．2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵，∴，则z的虚部为，故选：D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B ．9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得T n ，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T 10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n ＞T 10+1013，∴整数n 最小值为1024． 故选C ．10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意a=（10﹣1）10，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b （bmod10），可得b 的值．【解答】解：∵=（1+2）20=320=910=（10﹣1）10=•1010﹣•109+•108+…﹣•10+，∴a 被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1， 故选：A ．11．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．7【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：设Q （x ，y ），T （x 1，y 1），S （x 2，y 2），QA 1，QA 2斜率分别为k 1，k 2，则OT ，OS 的斜率为k 1，k 2，且，所以，同理，因此=．故选：A ．12．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，18]C ．[18，+∞）D ．（18，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立⇔'f （x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立⇔'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a2+a4= 121 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的式子中，分别令x=1、x=﹣1，可得则a0+a2+a4的值．【解答】解：令x=1，则；再令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，∴，故答案为：121．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m= ．【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A （，），当m ≥0时，目标函数在A 处取得最大值2．分析知当时，z max =2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ﹣1 ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g （x ）的解析式，从而求得g （0）的值．【解答】解：将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x ﹣2φ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则2φ=2kπ+，k ∈Z ，∴φ的最小值为，g （x ）=sin （2x ﹣2φ）=sin （2x ﹣）=﹣cos2x ，∴g （0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b n =，再由数列的函数特性求得{b n }中的最大项的值．【解答】解：由a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n ，得S n =2n ﹣a n ， 取n=1，求得a 1=1；由S n =2n ﹣a n ，得S n ﹣1=2（n ﹣1）﹣a n ﹣1（n ≥2），两式作差得a n =2﹣a n +a n ﹣1，即（n ≥2），又a 1﹣2=﹣1≠0，∴数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则b n ==，当n=1时，，当n=2时，b 2=0，当n=3时，，而当n ≥3时，，∴{b n }中的最大项的值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，从而点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，由x 0＞1，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2y t ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x）=0，∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（2）求出点P、Q的极坐标，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程（θ为参数），化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则P（1，）．由直线l的极坐标方程是，可得Q（3，），∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．=a+b，即可求a+b的值；【分析】（1）写出分段函数，得出f（x）min（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，=a+b．所以f（x）min所以a+b=1．（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以时，有最小值．所以，所以实数m的最大值为．。
2018届高三9月调研测数学理试题含答案
2017-2018学年第一学期高三调研测试卷 数学（理科）2017.9全卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（ ）1．已知全集U=R ，集合A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(C U A)∩B= A ．{}13x x -<≤ B ．{}23x x ≤<C ．{}3x x ≤ D ．φ（ ）2．某居民小区为如图所示矩形ABCD ，A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF ，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 (注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常). A ．12π- B ．22π-C ．14π-D ．4π（ ）3．“0a ≤”是“复数1ai z i+=在复平面内对应的点在第三象限”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（ ）4．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 A ．12B ．24C ．36D ．48（ ）5．已知0.1 1.12log 0.1,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a cb <<（ ）6．把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈B ．sin()26x y π=+，x R ∈ C ．sin(2)32y x π=+，x R ∈D ．sin(2)3y x π=+， x R ∈（ ）7．执行右图的程序框图，若输出的5n =， 则输入整数p 的最大值是 A ．15 B ．14C ．7D ．6（ ）8．51(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为A ．20B ．15C ．6D ．1（ ）9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函 数，且f (1)＝0，则不等式()()20f x f x x-+≥的解集为A ．(－∞，－1]∪(0,1]B ．[－1,0]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,0)∪(0,1] （ ）10．一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是A ．1+B ．1+2C ．2+D ．2（ ）11．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若 |AF |=2|BF |，则线段AB 的长为．A ．8B ．92C ．16D ．163 （ ）12．已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时，x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =A ．1212--nB ．2214--n C ．n 212- D ．1214--n第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b .14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z +=2的最大值为 .15．如图，已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若060PAQ ∠=，且3OQ OP =uuu r uu u r，则双曲线C 的离心率为.16．如图所示,ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角 三角形,再沿虚线折起,使得ABCD 四个点重合 于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒,若要包装盒容积V(cm 3)最大, 则EF 长 为 cm ． 三、解答题：（共70分。
湖南省益阳市2017-2018学年高三9月调研考试数学(文)试题 Word版含答案
文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{1,3,4}A =，集合{2,4,5}B =，则AB =（ ）A ．{2,4,5}B ．{1,3,4,5}C ．{1,2,4}D ．{1,2,3,4,5} 2.函数2cos(2)3y x π=+的最小正周期是（ ）A ．4π B ．12π C ．π D ．2π 3.设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件4.某公司2010～2015年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，则A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系D ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则可输入的实数x 值的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06.若a ，b 满足||1a =，||=2b ，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7.若0.52a =，4log 3b =，2log 0.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则该几何体相应的侧视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知0a >，0b >.3a 与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．210.函数sin()(0,0,0)y A x A ϖϕϖϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） A ．22sin(2)3y x π=+ B ．2sin(2)3y x π=+ C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=-11.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B． CD12.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．11(,]43 B ．1(0,]4 C ．11[,]43 D ．11[,)43第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.14.若过点（0,2）的直线l 与圆22(2)(2)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______.15.已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是_________..16.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD 135ADB ∠=°，若AC =，则BD =________.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）20名同学参加某次数学考试成绩（单位： 分）的频率分布直方图如下： （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)，[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.18. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，点P 在椭圆上，A 、B 分别为椭圆的左右顶点，过点B 作BD x ⊥轴交AP 的延长线于点D ，F 为椭圆的右焦点. （Ⅰ）求椭圆的方程及直线PF 被椭圆截得的弦长||PM ； （Ⅱ）求证：以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 21. （本小题满分12分）若函数2()ln 2x f x k x =-，0k >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB BF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G .（Ⅰ）证明：DAO FBC ∠=∠； （Ⅱ）证明：AE BE =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，[0,2)θπ∈. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点D 在曲线C 上，求它到直线:32x l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数，t R ∈）的最短距离.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||5f x x a x =-+.（Ⅰ）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （Ⅱ）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围.益阳市2017-2018学年高三9月调研考试文科数学参考大难及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.A8.D9.B 10.A 11.A 12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.[ 15. 9 16. 2三、解答题：本大题共6小题，共70分 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）据直方图知组距为10，由(23672)101a a a a a ++++⨯=，解得10.005200a ==.……………………3分 （Ⅱ）成绩落在[50,60)中的学生人数为20.00510202⨯⨯⨯=，成绩落在[60,70)中的学生人数为30.00510203⨯⨯⨯=.……………………7分 （Ⅲ）记成绩落在[50,60)中的2人为1A ，2A ，成绩落在[60,70)中的3人为1B 、2B 、3B ， 则从成绩在[50,70)的学生中选2人的基本事件共有10个：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .………………9分其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个：12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B .……………………11分故所求概率为310P =.………………12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d . 依题意由27138127232929a a a d a a a d +=+=-⎧⎨+=+=-⎩，得113a d =-⎧⎨=-⎩.………………3分所以132n n b n c -=-+.………………8分 从而21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++………………10分当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=；………………11分 当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-.…………………………12分 19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为60DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理得BD =.………………1分从而222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥，………………3分又由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得BD PD ⊥.……………………4分 所以BD ⊥平面PAD .故PA BD ⊥.……………………6分（Ⅱ）作DE PB ⊥，垂足为E . 已知PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥，由（Ⅰ）知BD AD ⊥，又//BC AD ，所以BC BD ⊥. 故BC ⊥平面PBD ，BC DE ⊥. 则DE ⊥平面PBC .………………8分由题设知，2PD =，则BD =4PB =， ………………10分 根据DE PB PD BD =，得DE ，即点D 到面PBC………………12分 20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵椭圆过点P ，∴b =12e =，即12c a =，222a b c =+. 故21a c =⎧⎨=⎩，∴椭圆方程为22143x y +=.……………………4分 则(1,0)F，P ，直线PF的方程为1)y x =-，与椭圆方程联立有221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩. 消去y 得到2580x x -=，解得12085x x =⎧⎪⎨=⎪⎩.由弦长公式得1216|||5PM x x =-=；……………………8分 （Ⅱ）证明：过(2,0)A -，P 的直线AP 的直线方程为：2)y x =+与BD 的直线方程2x =联立有D ， 所以以BD为直径的圆的圆心为，半径R =，圆心到直线PF 的距离d R ===，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.……………………！2分 21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2()ln 2x f x k x =-，(0)k >得 2'()k x kf x x x x-=-=.……………………1分由'()0f x =解得x =()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；………………4分()f x 在x =(1ln )2k k f -=.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.……………………8分当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，………………10分所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.……………………12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.解：（1）连接FC ，OF ， ∵AB AF =，OB OF =， ∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥. ∵BC 是O 的直径， ∴CF BF ⊥， ∴//OG CF ，∴AOB FCB ∠=∠，∴90DAO AOB ∠=-∠，90FBC FCB ∠=-∠， ∴DAO FBC ∠=∠.………………5分（2）在Rt OAD ∆与Rt OBG ∆中， 由（1）知DAO GBO ∠=∠， 又OA OB =，∴OAD OBG ∆≅∆，于是OD OG =. ∴AG OA OG OB OD BD =-=-=. 在Rt AGE ∆与Rt BDE ∆中， 由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =，∴AGE BDE ∆≅∆，∴AE BE =.………………10分 23.解：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[0,2)θπ∈.得22sin ρρθ=，即2220x y y +-=；……………………4分（Ⅱ）由直线:32x l y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩50y +-=.由（Ⅰ）知曲线C 为圆：2220x y y +-=，即22(1)1x y +-=， 所以圆心坐标为（0,1），圆心到直线50l y +-=的距离为2d ==. ∴D 到直线l 的最短距离为1.……………………6分24.解：（Ⅰ）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+， ∴|1|553x x x ++≤+，∴|1|3x +≤，∴42x ≤≤.∴不等式()53f x x ≤+的解集为[-4,2].……………………5分 （Ⅱ）若1x ≥-时，有()0f x ≥，∴||50x a x -+≥，即||5x a x -≥-，∴5x a x -≥-或5x a x -≤，∴6a x ≤或4a x ≥-， ∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-或4a ≥.∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞.……………………10分。
2018届高三数学9月考题(含答案).docx
[X 2 + y 2 < 1 < x + y > — 111. 已知乂,丫满足1 yvO ，贝ijz = x-y 的取值范围是() A.[-返叮 B.[・ 1,1] C.[-返返] D. [ - 1,返] 12.已知定义在R 上的函数f (x)在(-8, -2)上是减函数，若g (x) =f (x - 2)是奇函数，且g (2)=0,则不等式xf (x) W0的解集是(A. ( - °°, - 2] U [2, +°°) C. ( - 8, - 4]U[ - 2, +8)二、填空题(20分)13. 已知f (x )= log 3(x 2-2x)?则函数f(x)的单调递减区间是 _____________ .14. 已知函数f(x) = x 3 + ax 2 + bx + a 2(a,b 6 R)且函数f(x)在x = 1处有极值10,则实数b 的值为15. _________ 已知f (x) = |e x -l|,又g(x) =f 2(x)-tf(x)(tG R),若满足g(x) = 一1的x 有三个，贝吐的取值范 围是 ____________ •16. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x > 0时，f(x) = 2X ,若对任意的xG [a,a + 2],不等式 f(x + a) >『(x)恒成立，则实数a 的取值范围是 _____________ .=、解答题：木题共6道题，共70分.17. 锐角AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,己知AABC 的外接圆半径为R,旦满足R = t asinA (1) 求角A 的大小；(2)若a = 2,求AABC 周长的最大值.A. ( -- 3] B. [ - 3, +°°) C. ( - °°, VS] D. [V3, +8))B. [-4, -2]U[0, +°o) D. ( - °°, - 4] U [0, +8)2018届高三数学9月考题（含答案）2017-9-28一、选择题(60分)1. 若集合A={x|x> - 1},则( )A. OCAB. {0}cAC. {0}£AD. 0£A2. 设集合A = (X|X2-2X-3 < 0},B = {x|y = ln(2-x)},则A n B =()A. {x|-l < x < 3}B. {x|-l < x < 2}C. {x|-3 < x < 2}D. {x|l < x < 2}2 _3. 若复&z =屮i为虚数单位，^z=()A. 1 + iB. 1-iC. -1-iD. -1-i4. 已知命题p:Vx > 0,总有(x + l)e x > 1,则「p为()A. 3x o 三°，使得do + l)e X°三1B. 3x o > 0,使得do + l)e X°三1C. 3x o > °，使得(X。
2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试地理试题 1
湖南省益阳市、湘潭市2017-2018学年高三9月调研考试地理试题一、选择题（25小题，每小题2分，共计50分。
每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填写答题卡上）共享单车在中国迅猛发展，主要覆盖年轻群体。
共享单车在地域分布上，一线城市占比55.1%；二线城市占26.8%；三线城市占比12.3%。
共享单车市场发展过程中，先后出现了“有桩式”公共单车和“无桩式”公共单车（下图）。
据此回答下列各题。
1. 影响共享单车地域分布的主导因素是A. 技术B. 市场C. 原料D. 动力2. 共享单车的长期发展，对城市产生的主要影响是A. 优化城市空间结构B. 改变城市服务功能C. 缓解城市环境压力D. 扩大城市地域范围3. “无桩式”公共单车使用时，使用者是利用手机中特定电子地图找车、还车，这主要利用的现代地理信息技术是A. 遥感技术和全球定位系统B. 遥感技术和地理信息系统C. 网络技术和人T调查D. 地理信息系统和全球定位系统【答案】1. B 2. C 3. D【解析】本题主要考查城市的交通，通过城市交通变化改善城市环境和交通问题，熟悉地理信息技术对城市管理的影响。
1. 共享单车主要是方便居民出行，所以共享单车主要布局在出行人口多的地区，即地域分布的主导因素是市场，选择B。
2. 共享单车速度慢，移动距离短，对城市空间结构影响小，A错；运输能力小，不能改变城市服务功能，B错；减少小汽车的数量，减少废气的排放，缓解城市环境压力，C对；运输能力有限不能扩大城市地域范围，D错。
3. GIS主要是以数据分析处理，利用手机中特定电子地图查找找车、还车信息主要是利用地理信息系统；全球定位系统主要是定位和导航，确定单车的位置是利用全球定位系统。
选择D。
某地质考察队对下图所示区域进行地质研究，在Yl、Y2、Y3、Y4处分别钻孔至地下同一水平面（P平面）。
在该水平面上Y2、Y3。
处取得相同的砂岩，Y1、Y4处取得相同的砾岩，且砂岩的年代比砾岩老。
湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试英语试题(含答案)
64. and
65. have found
66. about
67. healthily
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
68. determined 69. to improve 70. your
第四部分 写作 （满分 35 分）
第一节 短文改错 （每小题 1 分，满分 10 分）
As David’s birthday is drawing near, I’ve prepared a gift for him. It’s Chinese painting
第三部分 语言知识与技能 （满分 40 分）
第一节 完形填空 （每小题 1.5 分，满分 30 分）
41-45 BDABA
46-50 DBCCA 51-55 CDBDA
56-60 CDABC
第二节 阅读填空 （每小题 1 分，满分 10 分）
61. emotions
62. that
63. makes
a
‘bamboo’, that I specially drew for him. In Chinese culture, bamboo carries much best wishes
which
many
and excellent qualities. On the one hand, it stood straight and stays green all the years around, so
stands
year
it’s always full of life. I wish David as strong and energetic as bamboo. On the another hand, it’s
湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试历史试卷(含答案)
湖南省湘潭市2018届高三9月调研考试历史试题一、选择题（24小题．每小题2分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
）1．楚武王灭权（国）后，派人担任权县县尹，县尹向楚王直接负责，不世袭。
至于郡县关系，当时有“千里百县，县有四郡”之说。
据此可知A．官僚制度正式建立B．郡县制全面取代了分封制C．宗法制度日趋瓦解D．分封制下统治秩序遭破坏2．秦朝《置吏律》中规定：官府的主管官员，由此官府调往彼官府，只许其只身前往．不准把原任官府的官吏，任用为新任官府的官吏。
此规定是为A．规范官府人员任用程序B．减少政府官员的数量C．强化君主对官员的控制D．防范官员的职务犯罪3．东汉章帝建初元年诏令：“流人欲归本者，郡县其实禀，令足还到，听过止官亭，无雇舍宿。
长吏亲躬，无使贫弱遗脱，小吏豪右得容奸妄。
”这说明当时A．流民问题严重B．最高统治者希望从根本上解决豪强地主对土地的兼并问题C.王朝采取措施保证封建国家的赋税收人和摇役征发D．地方政府的勤政维护了社会的稳定4．唐朝时，掌权的宦官常以枢密使的名义削夺宰相的职权而干预朝政，甚至参与包括宰相在内的大臣的任命。
后来发展到与宰相共参政事，“宰相掌文，枢密掌武”。
这从本质上反映了A．中央集权逐渐衰落 B.君主专制日益加强C．宰相成为宦官附庸 D.二府三司制雏形出现5．宋代是中国古代经济立法最为活跃的时期之一。
史称，“官中条令，为（田产）交易一事最为详尽。
”这反映了宋代A．税制发生重大调整B．土地私有不断深化C．自耕小农发展壮大D．经济结构面临转型6．元大德九年，中书省下达公文，谴责各行省应决不决，“泛滥咨禀”的做法。
然而，对“重事并创支钱粮”，仍重申“必合咨禀”的旧制。
中书省此举的真实意图是A．增强行省政务禀报的意识B．摆脱地方繁重政务的干扰C.中央集权与高效行政兼顾D．创造条件扩大地方自主7．明清时期手工作坊主赚钱后多买田置地，18世纪的英国商人在经商致富后第一件要做的事也是在乡村购买田地或与土地贵族联姻。
2021届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试数学(理)试题Word版含答案
2021届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}0)1)(2(|{},2log |{2≥+-=≤=x x x B x x A ，则=⋂B C A U （ ） A ．)2,0( B ．]4,2[ C ．)1,(--∞ D ．]4,(-∞2.已知}5,3{},3,2,1,0,2{∈-∈b a ，则函数b e a x f x+-=)2()(2为减函数的概率是（ ） A ．103 B ．53 C ．52D ．513.已知命题p ：若复数z 满足5))((=--i i z ，则i z 6=；命题q ：复数i i 211++的虚部为i 51-，则下面为真命题的是（ ）A ．)()(q p ⌝⌝∧B ．q p ∧⌝)(C ．)(q p ⌝∧ D ．q p ∧ 4.已知等比数列}{n a 中，45,3745==a a a ，则7597a a a a --的值为（ ）A ．3B ．5 C. 9 D ．25 5.若R x x a x a a x ∈+++=-,)31(20182018102018，则20182018221333⋅++⋅+⋅a a a 的值为（ ）A ．122018- B ．182018- C. 20182 D ．201886.若将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴为（ ） A ．12π=x B ．247π=x C. 127π=x D ．67π=x 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x n ,的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ） A ．15 B ．16 C. 47 D ．488.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若21=a 且n n S S 21=+，设n n a b 2log =，则201820173221111b b b b b b +++ 的值是（ ） A ．20184035 B ．20174033 C. 20182017 D ．201720169.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A ．32 B ．34C. 38 D ．410.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点B A 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4||=AF ，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6 C.316D ．32011.定义在R 上的函数)(x f ，满足)()5(x f x f =+，当]0,3(-∈x 时，1)(--=x x f ，当]2,0(∈x 时，x x f 2log )(=，则)2018()3()2()1(f f f f +++的值等于（ ）A ．403B ．405 C. 806 D ．80912.设π是圆周率，e 是自然对数的底数，在eee e ππππ,3,,,,333六个数中，最小值与最大值分别是（ ）A ．π3,3eB ．πe e,3 C. 33,πe D ．ππ3,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥-1200y x y x y x ，记y x z +=4的最大值时a ，则=a ．14.已知非零向量b a ,满足：||||,a t b a b a =+⋅，若b a +与b a -的夹角为3π，则t 的值为 ．15.已知F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过A F ,两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若→→=FA AB 3，则此双曲线的离心率为 ． 16.已知三棱锥ABC S -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且4=SC ，则此三棱锥的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且CBc b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）求函数B A y sin sin +=的值域.18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为53,43,32，他们出线与未出线是相互独立的.（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为棱形，面⊥PAD 面,6,5,===AD PD PA ABCD60=∠DAB ，E 为AB 的中点.（1）证明：PE AC ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值.20.已知动圆P 经过点)0,1(N ，并且与圆16)1(:22=++y x M 相切. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设)0,(m G 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于B A 、两点，当k 为何值时？22||||GB GA +=ω是与m 无关的定值，并求出该值定值. 21. 设函数12)()(,)ln()(--⋅=⋅=-+=x e x x g x x g x a x x f x.（1）若直线323ln 32:-+-=x y l 是函数)(x f 的图象的一条切线，求实数a 的值； （2）当0=a 时，（i ）关于x 的方程m x x x f +-=310)(2在区间]3,1[上有解，求m 的取值范围，（ii ） 证明：当0>x 时，)()(x f x g ≥.考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为21)3cos(=+πθρ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点.（1）求直线l 的直角坐标方程； （2）设点)0,1(P ，求||||PB PA ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数|4||12|)(--+=x x x f . （1）解不等式0)(>x f ；（2）若|2||4|3)(->-+m x x f 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.2021届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA二、填空题13. 3 14.332 15. 3416. 233 三、解答题17.（1）由CBc b a cos cos 2=-，利用正弦定理可得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2=-， 可化为：A B C C A sin )sin(cos sin 2=+=，3),2,0(,21cos ,0sin ππ=∴∈=∴≠C C C A .（2）)3sin(sin sin sin A A B A y --+=+=ππ].3,23(]1,23()6sin(,3263,26,20,20,32),6sin(3sin 21cos 23sin ∈∴∈+∴<+<∴<<∴<<<<=++=++=y A A A B A B A A A A A ππππππππππ18.（1）记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D .则30295241311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P D P . （2）ξ的所有可能取值为3,2,1,0.301)()0(===C B A P P ξ； 6013)()()()1(=++==C B A P C B A P C B A P P ξ； 209)()()()2(=++==BC A P C B A P C AB P P ξ；103)()2(===ABC P P ξ.所以ξ的分布列为60103202601300=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 19.（1）取AD 的中点O ，连接ABCD BD OE OP ,,,为菱形，AC BD ⊥∴，E O 、 分别为AB AD ,的中点，OE AC BD OE ⊥∴∴,//.O PD PA ,= 为AD 的中点，AD PO ⊥∴，又 面⊥PAD 面ABCD ，面⋂PAD 面⊥∴=PO AD ABCD ,面ABCD ，O OP OE AC PO =⋂⊥∴ ,，⊥∴AC 面PE AC POE ⊥∴,.（2）连接ABCD OB ∴,为菱形，DAB DAB AB AD ∆∴=∠=∴， 60,为等边三角形，O 为AD 的中点，AD BO ⊥∴，⊥PO 面OB OA OP OA PO ABCD 、、∴⊥∴,,两两垂直.以OP OB OA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系xyz O -，则)0,33,0(),4,0,0(),0,33,0(),0,0,3(=→OB P B A 为面PAD 的法向量，设面PAB 的法向量)0,33,3(),4,0,3(),,,(-=-==→→AB AP z y x n，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00n AB n AP 即⎩⎨⎧=+-=+-0333043y x z x ，取1=x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===43331z y x ，)43,33,1(=n ， 91914169311333||||,cos =++⋅=⋅>=<→→→n OB n OB n OB，结合图形可知二面角B PA D --的余弦值为91914.20.（1）由题设得：4||||=+PN PM ，所以点P 的轨迹C 是以N M 、为焦点的椭圆，∴=-=∴==,3,22,4222c a b c a 椭圆方程为13422=+y x . （2）设)22)(0,(),,(),,(2211<<-m m G y x B y x A ，直线)(:m x k y l -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)(22y x m x k y 得01248)43(22222=-+-+m k mx k x k ，34124,348222212221+-=⋅+=+k m k x x k mk x x 3462)()()(2212121+=-+=-+-=+∴k mkkm x x k m x k m x k y y .34)4(3)())((2222221221221221+-=++-=--=⋅k m k m k x x m k x x k m x m x k y y .212212212122122222121222)(2)(22)()()(||||y y y y m x x m x x x x y m x y m x GB GA -++++--+=+-++-=+∴222222)34()3(24)34(6)1(+++--+=k k k m k 22||||GB GA +=ω 的值与m 无关，0342=-∴k ，解得23±=k .此时7||||22=+=GB GA ω. （方法2：①当02=k 时，…；②当0≠k 时，设直线m y k x l +'=:，…；可以减少计算量.） 21.（1）11)(,)ln()(-+='∴--=ax x f x a x x f ，设切点),(00y x P ， 则3,321100=+∴-=-+a x a x ，又323ln 32)ln(000-+-=-+x x a x ， 即得：1,2,323ln 323ln 000=∴=∴-+-=-a x x x . （2）当0=a 时，（i ）方程m x x x f +-=310)(2即为m x x x =+-37ln 2令)0(37ln )(2>+-=x x x x x h ，则xx x x x x h 3)32)(13(3721)(-+-=+-='.∴当]3,1[∈x 时，)(),(x h x h '随x 变化情况如下表：4523ln )23(,3423ln )3(,34)1(+=<-==h h h ，∴当]3,1[∈x 时，]4523ln ,23[ln )(+-∈x h ，∴m 的取值范围为]4523ln ,23[ln +-.（ii ）证明：令)0(1ln )()()(>---⋅=-=x x x e x x f x g x F x，则)1()1(11)1()(-⋅⋅+=--⋅+='x x e x xx x e x x F .令1)(-⋅=xe x x G ，则当0>x 时，0)1()(>⋅+='xe x x G ，∴函数)(x G 在),0(+∞上递增， 01)1(,01)0(>-=<-=e G G ，)(x G ∴存在唯一的零点)1,0(∈c ，且当),0(c x ∈时，0)(<x G ，当),(+∞∈c x 时，0)(>x G ，则当),0(c x ∈时，0)(<'x F ；当),(+∞∈c x 时，0)(>'x F .)(x F ∴在),0(c 上递减，在),(+∞c 上递增，从而1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F x .由0)(=c G 得1,01=⋅=-⋅xxe c e c ，两边取对数得0ln =+c c ，0)()(,0)(=≥∴=∴c F x F c F ，从而证得)()(x f x g ≥.22.（1）由21)3cos(=+πθρ得：213sin sin 3cos cos =-πθρπθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为：013=--y x .（2）由⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 得曲线C 的直角坐标方程为：4422=+y x ，)0,1(P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21123 代入4422=+y x 得：712,012347212-=⋅∴=-+t t t t ， 712||||||||||2121=⋅=⋅=⋅∴t t t t PB PA . 23.（1）当4≥x 时，5412)(+=+-+=x x x x f ，原不等式即为05>+x ，解得4,45≥∴≥->x x x ；当421<≤-x 时，33412)(-=-++=x x x x f ，原不等式即为033>-x ， 解得41,4211<<∴<≤->x x x ；当21-<x 时，5412)(--=-+--=x x x x f ，原不等式即为05>--x ，解得5,5-<∴-<x x ；综上，原不等式的解集为1|{>x x 或}5-<x .（2）9|)82(12||4|2|12||4|3)(=--+≥-++=-+x x x x x x f . 当421≤≤-x 时，等号成立. |4|3)(-+∴x x f 的最小值为9，要使|2||4|3)(->-+m x x f 成立，故9|2|<-m ，解得m 的取值范围是：117<<-m .。
2019-2020学年湖南省益阳市、湘潭市高三(上)9月质检数学试卷(理科)附答案
2019-2020学年湖南省益阳市、湘潭市高三（上）9月质检数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜1}B．{x|﹣3＜x≤3}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|﹣1＜x＜1} 2．（5分）复数z ＝，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S15＝30，a10＝4，则a9等于（）A．2B．3C．4D．84．（5分）已知向量＝（2，1），＝（2，sinα﹣1），＝（﹣2，cosα），若（+）∥，则tanα的值为（）A．2B ．C ．﹣D．﹣25．（5分）某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果量示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．180B．240C．360D．4806．（5分）已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β．②若m∥α，n∥α，则m∥n，③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．④若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β，其中真命题有（）A．①②B．①③C．②③D．③④7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的i的值为14，则判断框内可以填入（）第1页（共16页）8．（5分）已知函数f（x）是定义在[1﹣2m，m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0，m]，当x1≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则不等式f（x﹣1）≤f（2x）的解集是（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[0，]D．[0，]9．（5分）若函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0，2），则（）A ．点（，0）是y＝f（x）的一个对称中心B．直线x ＝是y＝f（x）的一条对称轴C．函数y＝f（x）的最小正周期是2πD．函数y＝f（x）的值域是[0，2]10．（5分）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，点Q在抛物线上，且∠MQF ＝90˚，则以MQ为直径的圆的面积等于（）A ．B ．C．（2﹣2）πD．（2+2）π11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E、F、G分别是AB、AD、AA1的中点，以△EFG为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（）A ．B．2C ．D ．12．（5分）已知函数有4个零点，则a的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知实数x，y 满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是．14．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数，某校国学杜团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有种．第2页（共16页）。
【高三数学试题精选】2018届高考数学第三次模拟考试试题(湘潭市理有答案)
2018届高考数学第三次模拟考试试题（湘潭市理有答案）
5 c 10 ADDcA 11、B 12A
二、填空题
13 14 15 16
三、解答题
17解由题意，
所以，所以
（2）设，则
在中，，
解得或（舍去），所以，
在中，
18解（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为
，
所以购进，生蚝的数列均为（只）；
（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，的可能取值为，则 ,
,
所以的分布列为
所以
19解（1）不妨设，则 ,
在和中，，
所以，所以，
所以 ,所以，
因为 ,
因为为直三棱柱，所以平面，所以，
所以平面，因为点在线段上，所以
（2）由（1）知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系 , 不妨设，则 ,。
湖南省湘潭市2018届高考第三次模拟考试数学试题(理)含答案
2018届高三第三次模拟考试数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(3)0},{|2,}xA x Z x xB y y x A=∈-≤==∈，则A BI的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42. 已知201824(1)2iiz ii=+-+是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知13134112,log,log54a b c-===，则（）A．b c a>> B．a b c>> C．c b a>> D．b a c>>4. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（）A．3603 B．1326 C．510 D．3365. 已知实数,x y满足36024023120x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y=-的最小值是（）A．6- B．4- C．25-D．06. 双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y-+=相切，则该双曲线的方程是（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -= C ．22125x y -= D ．221412x y -=7.执行如图所示的程序框图，则输出的a = （ ）A ．14-B ．45 C ．4 D ．58. 若89019(1)(12),x x a a x a x x R+-=+++∈L ，则29129222a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．92B ．921- C ．93 D ．931-9. 已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若14824,9a a =-=-，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A．8 B．8+ C．4 D．4+11. 已知函数()21cos (0)2f x wx w =->的最小正周期为2π，将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后关于原点对称，则当m 取得最小值时，函数()2sin(2)1g x x m =-+的一个单调递增区间为（ ）A ．[,]62ππB ．5[,]4ππ C ．3[,]24ππ D ．53[,]42ππ12. 已知函数()ln 2f x x x x a=-+，若函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．(,1]-∞C ．3[1,)2 D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设非零向量,a b r r 满足()a a b ⋅+r r r，且b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ．14.已知在[0,1]内任取一个实数x ，在[0,2]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于1xy e =-上方的概率为 ．15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，若等边PMF ∆的面积为p = ．16.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面,ABC ABC ∆是边长为D 是线段AB 上一点，且3AD BD =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为34π，则球O 的表面积 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆中，3B π=.（1）若12AB AC ==，求ABC ∆的面积；（2）若3,,AB BM MN NC AN ====u u u u r u u u u r u u u r，求AM 的长.18. 生蚝即牡蛎()oyster 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：（1）若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，111113,,4,,48CAB CBA CC AB AA AE A F A B AG GBπ∠=∠=====u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r ,点H 在线段EG 上.（1）证明：EF CH ⊥； （2）求平面11BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C过点2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12,x x . （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：120x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ的最大值.23.已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m=+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、B 12：A 二、填空题13.34π 14.42e- 15. 2 16.100π三、解答题17.解：由题意1cos 2B BC ==⇒=，所以222AC BC AB +=，所以1122ABC S ∆=⨯=（2）设BM x =，则2,BN x AN == 在ABN ∆中，222)4(2)242cos3x x π=+-⋅⋅ ，解得1x =或2x =-（舍去），所以1BM =，在ABM ∆中，AM ==.18.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为1(61010201230840450)28.540g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以购进500kg ，生蚝的数列均为50000028.517554÷≈（只）； （2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5,25)间的概率为25P =，X 的可能取值为0,1,2,3,4，则4113438123216(0)(),(1)()()562555625P X P X C ======, 222331444232162396216(2)()(),(3)()(),(4)()55625556255625P X C P X C P X =========,所以X 的分布列为所以()216961683346256256255E X =⨯+⨯+⨯=19.解：（1）不妨设2AB =，则111331,,,224AG AE A E A F ====,在Rt EAC ∆和1Rt FA E ∆中，1111,22A F AE EAG FA E AG A E π==∠=∠=，所以1Rt EAC Rt FA E∆∆:，所以1AEG A FE∠=∠，所以1122AEG A FE A FE AEF FEG ππ∠+∠=∠+∠=⇒∠=,所以EF EG ⊥，因为,4CAB CBA AG GB CG ABπ∠=∠==⇒⊥u u u r u u u r,因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以CG ⊥平面11ABB A ，所以CG EF ⊥，所以EF ⊥平面CEG ，因为点H 在线段EG 上，所以EF CH ⊥. （2）由（1）知，CG ⊥平面11ABB A ，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -,不妨设2AB =，则111(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,),(0,,2)24A B C C E F -, 所以1133(1,1,),(0,,),(1,1,0),(0,0,2)242CE EF BC CC =-=-==u u u r u u u r u u ur u u u u r ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)m x y z =u r，则100m BC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即00x y z +=⎧⎨=⎩，取11,0x y z =⇒=-=，则平面11BCC B 的法向量为(1,1,0)m =-u r ，设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =r，则00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即10233042x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取25,4z x y =⇒==，则平面CEF 的法向量为(5,4,2)n =r ，cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r故平面11BCC B 与平面CEF所成锐二面角的余弦值为.20.解：（1）由题意知22222311222a a b a b c b c c a ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）因为,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l的方程为(1)y k x =- ，则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k =--，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ ，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22k k k ++，所以232(1)ST k k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3，当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：因为2(1)x x e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令()2(1)1xx e f x x -=+，则()222222(23)[(1)2](1)(1)x xx x x x x f x e e x x --+-+'==++，令()0f x '>，解得0x <，令()0f x '<，解得0x >，则函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，所以()()max 01f x f ==，又当1x <时，()0f x >，当1x >时，()0f x <，画出函数()f x 的图象，要使函数()f x 的图象与y a =有两个不同的交点，则01a <<，即实数的取值范围为(0,1).（2）由（1）知，12x x ≠，不妨设12x x <，则12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞，要证120x x +<，只需证21x x <-，因为21(0,)x x -∈+∞，且函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以只需证()()21f x f x >-，由()()21f x f x =，所以只需()()11f x f x >-，即证111122111111x x x x e e x x --+>++，即证(1)(1)0x xx e x e ---+>对(,0)x ∈-∞恒成立， 令()(1)(1),(,0)x x g x x e x e x -=--+∈-∞，则()()x g x x e e -'=-因为(,0)x ∈-∞，所以0xe e -->，所以()0g x '<恒成立，则函数()g x 在(,0)x ∈-∞的单调递减，所以()()00g x g >=，综上所述120x x +<.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y += ，所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-，所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=， 所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)- 的距离d ===因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max d =，所以max max 1PQ d r =+=+23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩截得8x ≤-或φ或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U .（2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-，此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x mx m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-U .。
湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2018届高三模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.2. 若，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】A【解析】分析：根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解随机变量的期望与方差．详解：根据二项分布的期望与方差的公式，即可得，故选A．点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差，其中熟记二项分布的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3. 设集合，，现有下面四个命题：：，；：若，则；：若，则；：若，则．其中所有的真命题为（）A. ，B. ，，C. ，D. ，，【答案】B【解析】由题设可得，，则当时，有，所以命题正确；若时，，则，所以命题错误；若，则，所以命题正确；若时，成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.4. 若双曲线（）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．5. 若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，化简即可求解．详解：由题意，则，所以，故选C．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】分析：根据题意，逐次执行如图所示的程序框图，即可求得输出的结果．详解：执行如图所示的程序框图，可知：第一循环：，不满足条件；第二循环：，不满足条件；第三循环：，不满足条件；第四循环：，不满足条件；第五循环：，不满足条件；第六循环：，不满足条件；第七循环：，满足条件，输出结果，故选B．点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．7. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴函数为奇函数，排除B，D.又，故排除C，故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8. 某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由给定的三视图，得到该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，即可借助正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得到几何体的体积．详解：由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，其直观图如图所示则该几何体的体积为，故选B．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．9. 已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为，即可求解其最小值．详解：设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．10. 已知函数，若对任意的，关于的方程（）总有两个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解．详解：由题意，方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，又由，可得当时，结合三角函数的图象，即可求解，故选D点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．11. 在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设，，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．详解：设，，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选C．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12. 若函数在上存在两个极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,则，即，∴x−1=0或，∴x=1满足条件,且(其中x≠1且x∈(0,2)；∴,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；则t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.本题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】分析：根据二项式得到展开式的通项，即可求解的系数．详解：由题意，二项式的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在菱形中，，，为的中点，则__________．【答案】【解析】分析：由平面向量的基本定理，，再利用向量的数量积公式，即可求解．详解：因为菱形中，，为的中点，因为，所以．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为）的粮仓，宽3丈（即丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）①该粮仓的高是2丈；②异面直线与所成角的正弦值为；③长方体的外接球的表面积为平方丈．【答案】①③【解析】分析：由题意①中，根据长方体的体积公式，即可求得的长；②中，根据异面直线所成的角的定义，即可求解；③中，求出长方体的对角线是外接球的直径，即可求解外接球的表面积．详解：由题意，因为，解得尺尺，故①正确；异面直线与所成角为，则，故②错误，此长方体的长、宽、高分别为丈、丈、丈，故其外接球的表面积为平分丈，所以③是正确的．点睛：本题主要考查了长方体的体积、两角异面直线所成的角的应用，以及几何体的外接球的计算等问题，着重考查了学生的空间想象能力，以及推理与计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题．16. 设，满足约束条件若的最大值为2，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：令，得，作出不等式组表示的可行域，解得，进而可求得得最小值．详解：令，则，所以等价于，作出不等式组表示的可行域，如图所示，则表示可行域内一点与原点的连线的斜率，由图象可知，当时，取得最大值，则，解得，联立，解得，所以得最小值为．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确理解题意，作出不等式组表示平面区域，利用斜率求解的值是解答的关键，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列是公差为2的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知条件可列出的两个方程，联立，解出，从而再由是等差数列得通项公式；（2）数列的前项和可用错位相减法求得.详解：（1）因为数列是公差为2的等差数列，所以，则，又成等比数列，所以，解得或，因为数列为正项数列，所以.所以，故.（2）由（1）得，所以，所以，即，故.点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.18. 从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在至度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间内的用户记为类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图所示：①从类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？类用户类用户附表及公式：，．【答案】（1）；（2）①，②没有把握.【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，则即为所求；（2）根据数据完成列联表，利用，计算查表下结论即可.试题解析：解：（1），按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为度.（2）①类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为.②类用户类用户因为的观测值，所以没有的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．19. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为棱上一点，．（1）确定的位置，使得平面平面，并说明理由；（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）为棱的中点；（2）或.【解析】分析：（1）由四边形为平行四边形，得，进而得，即可利用面面垂直的判定定理，证得平面平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量和向量所成解角，即可求解实数的值．详解：（1）为棱的中点．证明如下：∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．∵，∴四边形为平行四边形，则．又，∴平面平面．（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，设平面的法向量，则，即，令，得，设，∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为，∴，∴或，又，∴或．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．（1）若直线与交于，两点，为坐标原点，证明：；（2）若是上一动点，点不在直线：上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．试判断与中是否有一个为定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）依题意得，列出方程组，求得，即可得到的方程，把直线方程与曲线的方程联立，求得，，结合向量的运算，即可证得；（2）由（1）知，，故的方程为，设，则的横坐标为，求出，由题意知：，与联立可得，求出，则不是定值，为定值．详解：（1）依题意得∴，∵，∴，故的方程为．由得，设，，则，，∴，∴．（2）由（1）知，，故的方程为，设（且），则的横坐标为，易知在上，则．由题可知：，与联立可得，所以，则不是定值，为定值．点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线与抛物线的位置关系和向量知识的运用，解答此类题目确定抛物线安（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解．21. 已知函数（，）的图象在与轴的交点处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）若对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）求得切点坐标，可得的导数，进而得到切线的斜率，解得的值，即可得到函数的解析式；(2)由参数分离和利用导数求得函数的单调性，运用恒成立的思想，解不等式即可求解的取值范围．详解：（1）由，得，∴切点为，∵，∴，∴，又，∴，．（2）由，得，设，对恒成立，∴在上单调递增，∴．∵，∴由对恒成立得对恒成立，设（），，当时，，∴，∴单调递减，∴，即．综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用和利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先通过分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出极值与最值，进而求出参数的取值范围是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若与曲线相切，且与坐标轴交于，两点，求以为直径的圆的直角坐标方程．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数t,可得曲线的普通方程为.（2）将化直后与曲线C联立得，由与曲线相切，所以，，进而可求以为直径的圆的直角坐标方程为，由极直互化公式可得对应的极坐标方程为.试题解析：（1）由，得，，即，故曲线的普通方程为.（2）由，得，联立得，因为与曲线相切，所以，所以的方程为，不妨假设，则，线段的中点为，所以，又，故以为直径的圆的直角坐标方程为，其对应的极坐标方程为.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数，使得，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）由，得，不等式两边同时平方，即可求解不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，去掉绝对值号，得到分段函数，作出的图象，利用函数的图象，列出不等式组即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，不等式两边同时平方，得，即，解得或，所以不等式的解集为．（2）设作出的图象，如图所示，因为，，又恰好存在4个不同的整数，使得，所以即故的取值范围为．点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解以及分段函数的图象与性质的应用，其中合理去掉绝对值号和正确利用分段函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
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益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}0)1)(2(|{},2log |{2≥+-=≤=x x x B x x A ，则=⋂B C A U （ ） A ．)2,0( B ．]4,2[ C ．)1,(--∞ D ．]4,(-∞2.已知}5,3{},3,2,1,0,2{∈-∈b a ，则函数b e a x f x +-=)2()(2为减函数的概率是（ ） A ．103 B ．53 C ．52 D ．513.已知命题p ：若复数z 满足5))((=--i i z ，则i z 6=；命题q ：复数i i 211++的虚部为i 51-，则下面为真命题的是（ ）A ．)()(q p ⌝⌝∧B ．q p ∧⌝)(C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∧ 4.已知等比数列}{n a 中，45,3745==a a a ，则7597a a a a --的值为（ ）A ．3B ．5 C. 9 D ．255.若R x x a x a a x ∈+++=-,)31(20182018102018 ，则20182018221333⋅++⋅+⋅a a a 的值为（ ） A ．122018- B ．182018- C. 20182 D ．201886.若将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴为（ ） A ．12π=x B ．247π=x C. 127π=x D ．67π=x 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x n ,的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ） A ．15 B ．16 C. 47 D ．488.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若21=a 且n n S S 21=+，设n n a b 2log =，则201820173221111b b b b b b +++ 的值是（ ） A ．20184035 B ．20174033 C. 20182017 D ．201720169.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A ．32 B ．34 C. 38D ．410.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点B A 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4||=AF ，则线段AB 的长为（ ） A ．5 B ．6 C.316 D ．32011.定义在R 上的函数)(x f ，满足)()5(x f x f =+，当]0,3(-∈x 时，1)(--=x x f ，当]2,0(∈x 时，x x f 2log )(=，则)2018()3()2()1(f f f f +++的值等于（ ）A ．403B ．405 C. 806 D ．80912.设π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e e e e ππππ,3,,,,333六个数中，最小值与最大值分别是（ ）A ．π3,3eB ．πe e ,3 C. 33,πe D ．ππ3,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥-1200y x y x y x ，记y x z +=4的最大值时a ，则=a ．14.已知非零向量b a,满足：||||,a t b a b a =+⋅，若b a +与b a -的夹角为3π，则t 的值为 ．15.已知F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过A F ,两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若→→=FA AB 3，则此双曲线的离心率为 ．16.已知三棱锥ABC S -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且4=SC ，则此三棱锥的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且CBc b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）求函数B A y sin sin +=的值域.18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为53,43,32，他们出线与未出线是相互独立的. （1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为棱形，面⊥PAD 面,6,5,===AD PD PA ABCD 60=∠DAB ，E 为AB 的中点.（1）证明：PE AC ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值.20.已知动圆P 经过点)0,1(N ，并且与圆16)1(:22=++y x M 相切. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设)0,(m G 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于B A 、两点，当k 为何值时？22||||GB GA +=ω是与m 无关的定值，并求出该值定值. 21. 设函数12)()(,)ln()(--⋅=⋅=-+=x e x x g x x g x a x x f x. （1）若直线323ln 32:-+-=x y l 是函数)(x f 的图象的一条切线，求实数a 的值；（2）当0=a 时，（i ）关于x 的方程m x x x f +-=310)(2在区间]3,1[上有解，求m 的取值范围，（ii ）证明：当0>x 时，)()(x f x g ≥.考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为21)3cos(=+πθρ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点. （1）求直线l 的直角坐标方程； （2）设点)0,1(P ，求||||PB PA ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数|4||12|)(--+=x x x f . （1）解不等式0)(>x f ；（2）若|2||4|3)(->-+m x x f 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA 二、填空题13. 3 14. 332 15. 34 16. 233三、解答题 17.（1）由CBc b a cos cos 2=-，利用正弦定理可得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2=-， 可化为：A B C C A sin )sin(cos sin 2=+=，3),2,0(,21cos ,0sin ππ=∴∈=∴≠C C C A .（2）)3sin(sin sin sin A A B A y --+=+=ππ].3,23(]1,23()6sin(,3263,26,20,20,32),6sin(3sin 21cos 23sin ∈∴∈+∴<+<∴<<∴<<<<=++=++=y A A A B A B A A A A A ππππππππππ18.（1）记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D . 则30295241311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P D P . （2）ξ的所有可能取值为3,2,1,0.301)()0(===C B A P P ξ； 6013)()()()1(=++==C B A P C B A P C B A P P ξ； 209)()()()2(=++==BC A P C B A P C AB P P ξ；103)()2(===ABC P P ξ.所以ξ的分布列为60103202601300=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .19.（1）取AD 的中点O ，连接ABCD BD OE OP ,,,为菱形，AC BD ⊥∴，E O 、 分别为AB AD ,的中点，OE AC BD OE ⊥∴∴,//.O PD PA ,= 为AD 的中点，AD PO ⊥∴，又 面⊥PAD 面ABCD ，面⋂PAD 面⊥∴=PO AD ABCD ,面ABCD ，O OP OE AC PO =⋂⊥∴ ,， ⊥∴AC 面PE AC POE ⊥∴,.（2）连接ABCD OB ∴,为菱形，DAB DAB AB AD ∆∴=∠=∴， 60,为等边三角形，O 为AD 的中点，AD BO ⊥∴，⊥PO 面OB OA OP OA PO ABCD 、、∴⊥∴,,两两垂直.以OP OB OA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系xyz O -，则)0,33,0(),4,0,0(),0,33,0(),0,0,3(=→OB P B A 为面PAD 的法向量，设面PAB 的法向量)0,33,3(),4,0,3(),,,(-=-==→→AB AP z y x n，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00n AB n AP 即⎩⎨⎧=+-=+-0333043y x z x ，取1=x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===43331z y x ，)43,33,1(=n ，91914169311333||||,cos =++⋅=⋅>=<→→→n OB n OB n OB，结合图形可知二面角B PA D --的余弦值为91914.20.（1）由题设得：4||||=+PN PM ，所以点P 的轨迹C 是以N M 、为焦点的椭圆，∴=-=∴==,3,22,4222c a b c a 椭圆方程为13422=+y x .（2）设)22)(0,(),,(),,(2211<<-m m G y x B y x A ，直线)(:m x k y l -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)(22y x m x k y 得01248)43(22222=-+-+m k mx k x k ，34124,348222212221+-=⋅+=+k m k x x k mk x x 3462)()()(2212121+=-+=-+-=+∴k mkkm x x k m x k m x k y y . 34)4(3)())((2222221221221221+-=++-=--=⋅k m k m k x x m k x x k m x m x k y y . 212212212122122222121222)(2)(22)()()(||||y y y y m x x m x x x x y m x y m x GB GA -++++--+=+-++-=+∴222222)34()3(24)34(6)1(+++--+=k k k m k 22||||GB GA +=ω 的值与m 无关，0342=-∴k ，解得23±=k .此时7||||22=+=GB GA ω. （方法2：①当02=k 时，…；②当0≠k 时，设直线m y k x l +'=:，…；可以减少计算量.）21.（1）11)(,)ln()(-+='∴--=ax x f x a x x f ，设切点),(00y x P ， 则3,321100=+∴-=-+a x a x ，又323ln 32)ln(000-+-=-+x x a x ，即得：1,2,323ln 323ln 000=∴=∴-+-=-a x x x . （2）当0=a 时，（i ）方程m x x x f +-=310)(2即为m x x x =+-37ln 2 令)0(37ln )(2>+-=x x x x x h ，则xx x x x x h 3)32)(13(3721)(-+-=+-='.∴当]3,1[∈x 时，)(),(x h x h '随x 变化情况如下表：42ln )2(,323ln )3(,3)1(+=<-==h h h ， ∴当]3,1[∈x 时，]4523ln ,23[ln )(+-∈x h ，∴m 的取值范围为]4523ln ,23[ln +-.（ii ）证明：令)0(1ln )()()(>---⋅=-=x x x e x x f x g x F x ，则)1()1(11)1()(-⋅⋅+=--⋅+='x x e x xx x e x x F . 令1)(-⋅=x e x x G ，则当0>x 时，0)1()(>⋅+='x e x x G ，∴函数)(x G 在),0(+∞上递增， 01)1(,01)0(>-=<-=e G G ，)(x G ∴存在唯一的零点)1,0(∈c ，且当),0(c x ∈时，0)(<x G ，当),(+∞∈c x 时，0)(>x G ，则当),0(c x ∈时，0)(<'x F ；当),(+∞∈c x 时，0)(>'x F .)(x F ∴在),0(c 上递减，在),(+∞c 上递增，从而1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F x .由0)(=c G 得1,01=⋅=-⋅x x e c e c ，两边取对数得0ln =+c c ，0)()(,0)(=≥∴=∴c F x F c F ，从而证得)()(x f x g ≥.22.（1）由21)3cos(=+πθρ得：213sin sin 3cos cos =-πθρπθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为：013=--y x .（2）由⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 得曲线C 的直角坐标方程为：4422=+y x ，)0,1(P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21123代入4422=+y x 得：712,012347212-=⋅∴=-+t t t t ，712||||||||||2121=⋅=⋅=⋅∴t t t t PB PA . 23.（1）当4≥x 时，5412)(+=+-+=x x x x f ，原不等式即为05>+x ， 解得4,45≥∴≥->x x x ；当421<≤-x 时，33412)(-=-++=x x x x f ，原不等式即为033>-x ， 解得41,4211<<∴<≤->x x x ；当21-<x 时，5412)(--=-+--=x x x x f ，原不等式即为05>--x ，解得5,5-<∴-<x x ；综上，原不等式的解集为1|{>x x 或}5-<x .（2）9|)82(12||4|2|12||4|3)(=--+≥-++=-+x x x x x x f . 当421≤≤-x 时，等号成立. |4|3)(-+∴x x f 的最小值为9，要使|2||4|3)(->-+m x x f 成立，故9|2|<-m ，解得m 的取值范围是：117<<-m .。