12秋数学与应用数学本科《复变函数》模拟试卷及答案(二)

数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷及答案（二）
一、单项选择题（4分×5=20分）
1.若0),(,),(21≠==d c z b a z ，则=÷21z z （ ）．
(A) ),(d b c a (B) ),(d a
c b
(C) ),(
d a c b d b c a +-++ (D) ),(2
222d c ad
bc d c bd ac +-++ 2.若=-)1(Ln （ ）．
(A) i π)12(+k （k 为整数） (B) i π2k （k 为整数） (C) i π (D) i π-
3.=+-⎰=1
2
d 12102sin 6z z z z z
（ ）． (A)0 (B) 1 (C) i (D) i π2
4.点0=z 为函数2e )(z
z f z
=的（ ）．
(A) 本性奇点 (B) 可去奇点 (C) 二级极点 (D) 非孤立奇点
5.映射α
α
θ--=z z w i e （θα,0Im >为任意实数）将区域0Im :>z G 映射为区域
:G '（ ）．
(A) 1<w (B) 2<w (C) 0Im >w (D) 0Im <w
二、填空题（4分×5=20分）
1.若点集E 的点都是E 的 ，则称E 为开集．
2.设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域
),(0ρz N ，使得函数)(z f 在该邻域内 ，则称函数)(z f 在点0z 解析．
3.=i 7e m ，其中m 为整数．
4.=)0,sin (
Res z
z
．
5.若函数)(z f w =在区域G 内解析，则它在导数 处是保角的．
三、计算题（15分×3=45分））
1.设xy y x u +-=22，试求解析函数v u z f i )(+=，使得xy y x u +-=22，且有i 1)i (+-=f ．
2.计算积分⎰+=++-c
y x y x c z z z )(2:,d )
1()1(12
22
2．
3.试将2
35
)(2+-=z z z f 在点2=z 的去心邻域内展成罗朗级数．
四、证明题（15分）
试证：x n x x
n nx x x 2sin 2
sin 21
sin
sin 2sin sin ⋅+=
+++ ．
数学与应用数学（本科）专业《复变函数》模拟试卷答案（二）
一、单项选择题 1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 二、填空题
1. 内
2. 处处可导
3. 1
4. 0
5. 不为零
三、计算题
1. 2
i
)2i 1()(2+-=z z f
2. 2
i πd )1()1(1
22-
=+-⎰c z z z 3. 120,)2()1(25
)(0
<-<----=∑∞
=z z z z f n n n
四、证明题
证：令 nx x x A cos 2cos cos 1++++= nx x x B sin 2sin sin +++= 于是
nx x x B A i 2i i e e e 1i ++++=+
x
x
n i )1(i e
1e 1--=+ 2
s i n
e i 221s i n e
i 22i 2
1
i
x x
n x
x n ⋅-+⋅-=
+ 2
s i n
i 21s i n i )2
s i n i 2(c o s x x
n x n x n +⋅+=
故
x n x x
n nx x x 2sin 2
sin 21sin sin 2sin sin ⋅+=+++。