正规子群

§3.4 正规子群同态基本定理

在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：

a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。

证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；

(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；

(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。

(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。

证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。

任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。

(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。■

因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。

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定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：

3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。■

这个结果用在有限群上就有：

3.4.4 定理Lagrange定理G是有限群。任给G的子群H，都有|H| | |G|。■

如果|a| = d，则|| = d，所以有：

3.4.5 定理G是有限群。任给a∈G，都有|a| | |G|。■

现在考虑正规的等价关系。

群只有一个运算⋅，所以群上的正规等价关系是条件是：如果x ~ y, a ~ b，则xa ~ yb。这个条件称为正规性条件。

3.4.6 引理~是群G上的正规等价关系。

(1) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则a-1 ~ b-1。

(2) e是G的子群。

证(1) 显然有a-1~a-1, b-1~b-1，由正规性得a-1ab-1 ~ a-1bb-1，所以b-1 ~ a-1，由对称性得a-1 ~ b-1。

(2)

2.1 e∈e。

2.2 任给a, b∈e，都有a ~ e, b ~ e，由正规性得ab ~ ee= e，所以ab∈e。

2.3 任给a∈e，都有a ~ e，由(1)得a-1 ~ e-1 = e，所以a-1∈e。■

3.4.7 定理G是群，~是G上的正规等价关系，则存在G的子群H，使得~ = ~H。

证取G的子群H =e，证明~ = ~H。

如果a ~ b，则由正规性得ab-1 ~ bb-1 = e，所以ab-1∈e= H，因此a ~H b。

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如果a ~H b ，则由~H 的定义得ab -1∈H =e ，所以ab -1~ e ，由正规性ab -1b ~ eb ，所以a ~ b 。■

定理3.4.7说明了G 上任何一个正规等价关系都是由G 的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。

3.4.8 定义 正规子群 H 是G 的子群，如果~H 是正规等价关系，则称H 是G 的正规子群，记为H G 。

3.4.9 例 {e }和G 都是G 的正规子群。如果群G 除{e }和G 外没有其它正规子群，则称G 为单群。

3.4.10 例 G 是有限群，H ＜G 。如果||||H G = 2，则H G 。特别地，因为|S ||

S |n n

= 2，所以A n S n 。 取a ∉H =e ，则G /~H ={e ,a }，任给x ∈G ，都有x ~H e 或x ~H a ，因此⌝(x ~H e ) 当且仅当 x ~H a 。

先证明如果x ~H y ，则x -1 ~H y -1。

设x ~H y 。

如果x -1 ~H e ，则x ~H e ，所以y ~H e ，所以y -1 ~H e ，所以y -1 ~H e ，因此x -1 ~H y -1。

如果x -1 ~H a ，则⌝(x -1 ~H e )，所以⌝(x ~H e )，所以⌝(y ~H e )，所以⌝(y -1 ~H e )，所以y -1 ~H a ，因此x -1 ~H y -1。

再证~H 是正规的。

设x ~H s ，y ~H t ，则由以上所证得y -1 ~H t -1，所以x ~H y -1 当且仅当 s ~H t -1。

如果xy ~H e ，则x (y -1)-1 ~H e ，所以x ~H y -1，所以s ~H t -1，所以s (t -1)-1 ~H e ，所以st ~H e ，因此xy ~ st 。

如果xy ~H a ，则⌝(xy ~H e )，所以⌝(x (y -1)-1 ~H e )，所以⌝(x ~H y -1)，所以⌝(s ~H t -1)，所以⌝(s (t -1)-1 ~H e )，所以⌝(st ~H e )，所以st ~H a ，因此xy ~ st 。

3.4.11 例 G 是一个群，集合Z(G ) = {a | a ∈G 且任给x ∈G ，