【精准课堂】【北师版】九年级数学下册 第二章 二次函数 2.3 .2 确定二次函数表达式学案及同步练习
2.3.2北师大版九年级数学下册课件第二章第三节确定二次函数的表达式第二课时
九年级数学(下)第二章《二次函数》
2.3 确定二次函数的表达式
（第2课时）
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
如何求二次函数的表达式？
已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法
求其表达式.
课前练习
2
(2014 资阳)如图， 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点 为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对 称轴为 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2） 已知点 M 为 y 轴上的一个动点， 当△ABM 为等腰三角 形时，求点 M 的坐标； 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c
随堂练习 已知二次函数的图象经过(0,2),(1,0)和(-2,3)，求这个二次函数的 表达式。
知识技能
1.已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数 值分别为3,0,4,求这个二次函数的表达式。
2.已知二次函数的图象经过(0,2),(1,0)和(-2,3)，求这个二次函数 的表达式。
y=ax2 (a≠0)
顶点在原点 对称轴是y轴
不 同 二 次 函 数 表 达 式 的 特 点
北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式教学设计
确定二次函数的表达式教学设计说明一、学生知识状况分析在前几节课，学生已经分别学习了二次函数的图象与性质，确定二次函数的表达式（第1课时）．在此基础上，通过对待定系数法进一步探讨二次函数的表达式的确定方法．二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章《二次函数》第三节的第2课时，主要是通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的方法.能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.教学目标知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式.情感目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.教学重点求二次函数的解析式教学难点根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式,解决实际问题三、教法学法“问题情境—建立模型—应用与拓展”，让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.四、教学过程本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．第一环节：情境引入（从现实情境和已有知识经验出发，讨论求二次函数表达式的方法）1、一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式.2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，用配方法可化成：y ＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h ，k).配方: y ＝ax 2＋bx ＋c ＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x ＋ )2＋ .对称轴是x ＝ ，顶点坐标是 ,其中 h ＝ ，k= , 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式.3、已知A （2，1）、B （0，-4），求经过A 、B 两点的一次函数表达式. 解：设过A 、B 两点的一次函数表达式为把 、 代入解得k= ,b= 所以表达式为 .我们把这种方法叫做待定系数法.提出问题：确定二次函数y=ax 2+bx+c 需要哪些条件?第二环节：问题解决例1 已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．分析：（1）本题可以设函数的表达式为？（2）题目中有几个待定系数？（3）需要代入几个点的坐标？（4）用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a ∴ 所求函数表达式为5322+-=x x y∴ 二次函数对称轴为直线43=x ，顶点坐标为)831,43( 说明：通过解决此问题，让学生体会求二次函数表达式的一般方法------待定系数法，此问题解决后及时引导学生总结解法.探究活动：一个二次函数的图象经过点 A （0，1），B （1，2），C （2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流． 方法一解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2由已知，将三点（0，1），（1，2），（2，1），分别代入表达式，得 解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧==-=121c b a ∴ 所求函数表达式为122++-=x x y方法二解： A （0，1）与C （2，1）的纵坐标相同∴ A, C 两点关于二次函数的对称轴对称根据对称轴性质可得对称轴的横坐标1220=+=x ∴所以B （1,2）为二次函数的顶点∴可设 2)1(2+-=x a y ，将A （0，1）代入解得1-=a思考：在完成第一个例题后，第一个问题对大部分学生是比较容易用待定系数法来解决的.第二个问题引导学生从学过的二次函数的顶点式出发，观察三个点具有的特点，从而找到解决问题的办法.由学生自主探究后小组交流，对有困难的学生教师可适当点拨.在运用用猜想、比较、方法选择等方法引导学生探究问题，从而大大的提高学生分析问题、解决问题的能力.探究一：观察三个点坐标，找出特点.探究二：如何说明B点是顶点探究三：如何用我们学过的方法求这个二次函数的解析式探究四：总结一下如何根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式.第三环节：反馈练习1.已知二次函数的图像过点A（0，-1）B（1，-1）C（2，3）求此二次函数解析式；2.已知二次函数的图像过点A（1,-1）B（-1,7）C（2，1）求此二次函数解析式；3.已知二次函数图像的顶点坐标为(-1,-8),图像与x轴的一个公共点A的横坐标为-3,求这个函数解析式第四环节：课时小结1.掌握求二次函数的解析式的方法——待定系数法；2.能根据不同的条件，恰当地选用二次函数解析式的形式，尽量使解题简捷；3.解题时，应根据题目特点，灵活选用，必要时数形结合以便于理解.说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结.第五环节：作业布置作业：习题2.7 1.2.3六、教学设计反思（1）设计理念二次函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，利用已经学习过的知识，进一步探究待定系数法解决二次函数表达式的确定，同时通过对给出条件的分析，选择合适的二次函数表达式和方法来解决问题.（2）突出重点、突破难点的策略本节课是在学生已经掌握了二次函数的有关性质和表达式的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教学设计一. 教材分析《北师大版九年级数学下册》第二章的内容主要围绕二次函数的性质和图象展开。
2.3.2《确定二次函数的表达式》一节，旨在让学生掌握待定系数法求二次函数表达式的方法，理解二次函数的图象与系数之间的关系。
教材通过实例引导学生探究，从而使学生掌握二次函数的表达式。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念，会求函数的值。
在此基础上，他们需要进一步理解二次函数的性质，学会用待定系数法求二次函数的表达式。
同时，学生应能通过图象理解二次函数的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生掌握待定系数法求二次函数表达式的方法。
2.使学生理解二次函数的图象与系数之间的关系。
3.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：待定系数法求二次函数表达式。
2.难点：理解二次函数的图象与系数之间的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的表达式。
2.利用数形结合法，帮助学生理解二次函数的图象与系数之间的关系。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关多媒体教学素材，如PPT等。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的兴趣。
例如：某商品打8折后的售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式，引导学生思考如何求解二次函数的表达式。
通过分析，得出待定系数法求解二次函数的表达式。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师巡回指导。
例题：已知二次函数的图象经过点（1，-2）和（3，0），求该二次函数的表达式。
4.巩固（10分钟）让学生运用待定系数法，求解自编的二次函数题目。
教师选取部分题目进行讲解，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：二次函数的图象与系数之间有什么关系？让学生通过探究，理解二次函数的图象与系数之间的关系。
-北师大版九年级%28下%29数学 第二章 二次函数 2.3.1确定二次函数的表达式
2.3 确定二次函数的表达式（一）设计：审核：班级: 姓名: 时间:学习目标1.通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点)2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)预习案一、温故知新一次函数bkxy+=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式.二、自主学习阅读课本P42-43归纳总结:用待定系数法求二次函数的解析式常用的三种方法:1.已知抛物线过三点,设一般式为y＝ax2＋bx＋c.2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y＝a(x－h)2＋k.3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设交点式:y＝a(x－x 1)(x－x2) .(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)三、自学检测根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.1.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）.2.已知二次函数cbxxy++=2的图象经过(1，1)与(2，3)两点.探究案探究一：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．探究二：已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．(1)抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2；(2)抛物线与x 轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且该抛物线的顶点为(1，－92)．探究三：如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．训练案1.已知二次函数mxxy++=2的图象过点（1，2），则m的值为___________．2.下列二次函数中，图象以直线2=x为对称轴，且经过点（0，1）的表达式是（）A．1)2(2+-=xy B．()122++=xyC．()322--=xy D．()322-+=xy3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)且过点C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.➢我的收获➢作业。
九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式课件北师大版
例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 ， ∴这条抛物线的表达
4
式为：y= 1 (x-4)2-1.
4
总结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通 常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总结
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个 单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平
移 后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标 及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移 后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一 个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、 纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求 其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
三个
总结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有 几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条 件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫 待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.2《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章第三节《确定二次函数的表达式》的内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的。
本节课的主要目的是让学生学会如何根据二次函数的图象或者给定的条件来确定二次函数的表达式。
内容主要包括：待定系数法求二次函数的表达式，根据图象确定二次函数的顶点式，利用配方法将一般式化为顶点式。
这些内容对于学生来说，既有挑战性，又有实用性，对于提高学生的数学素养和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的一般形式和图象，对于如何从图象或给定条件中获取函数信息有一定的了解。
但是，对于如何运用待定系数法求解二次函数的表达式，如何根据图象确定二次函数的顶点式，以及如何利用配方法将一般式化为顶点式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步掌握这些方法。
三. 教学目标1.让学生掌握待定系数法求解二次函数的表达式。
2.让学生学会如何根据二次函数的图象确定其顶点式。
3.让学生掌握利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式。
4.培养学生的观察能力、思考能力、操作能力和交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：待定系数法求解二次函数的表达式，根据图象确定二次函数的顶点式，利用配方法将一般式化为顶点式。
2.教学难点：待定系数法求解二次函数的表达式，利用配方法将一般式化为顶点式。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握本节课的内容。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图象。
2.准备教学PPT。
3.准备练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些二次函数的图象，让学生观察并思考：这些图象有什么特点？你能从中获取哪些信息？从而引出本节课的主题——如何确定二次函数的表达式。
(北师大版)九年级数学下册 (课件)_2.3.2确立二次函数
第二章 二次函数
什么是待定系数法？ 如何用待定系数法求一次函数解析式？
• 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这 个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以
k+b=3
-2k+b=-12 解得 k=3，b=-6 一次函数的解析式为y=3x-6.
分析：设抛物线的解析式为 交点式：
y a( x 3)( x 1)
y
·5 ·C
·
·
·
·
A· · -3 –2
· o B·
–1 · 1
· 2
x
·
·
·-3
充分利用条件 合理选用以上三式
4、 已知抛物线的顶点 为A(-1，-4)，又知它与x 轴的两个交点B、C间的距 离为4，求其解析式。
分析：先求出B、C两点
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程得：a=2, b=-3, c=5
因此：所求二次函数是：
y=2x2-3x+5
总结归纳
• 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的
y
·5 ·C
·
C（2，5）的二次函数的解析
·
式.
·
·
分析 ：已知一般三点
·· -3 –2
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第二章第三节的第一课时内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够根据实际问题确定二次函数的系数。
教材通过简单的实例引导学生探究二次函数的解析式，培养学生的探究能力和数学思维。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。
但是，对于二次函数的理解还需要进一步的引导和培养。
在导入环节，我会利用学生已有的知识基础，通过一次函数的图像引导学生思考二次函数的特点，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二次函数的解析式的概念，掌握二次函数的解析式的形式。
2.能够根据实际问题确定二次函数的系数。
3.培养学生的探究能力和数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式的概念和形式。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的系数。
五. 教学方法1.引导法：通过问题的引导，让学生主动探究二次函数的解析式。
2.实例分析法：通过具体的实例，让学生理解二次函数的解析式的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解二次函数的解析式。
2.实例素材：准备一些实际的例子，用于引导学生分析二次函数的解析式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一次函数的图像，引导学生思考二次函数的特点。
提出问题：“如果我们把一次函数的图像旋转90度，会得到怎样的图像？”让学生思考二次函数的图像特征。
2.呈现（10分钟）通过课件展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
解释二次函数的各个系数的含义，引导学生理解二次函数的解析式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际的例子，尝试确定二次函数的解析式。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组学生汇报他们的讨论结果，教师点评并总结。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
练一练 1.函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ;2.函数y=－3x2的源自象的开口 向下 抛物线的最_高___点
,对称轴是 y轴
,顶点是_(_0_,0_)_ 顶点是
3.函数y= 3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是向下 ; 顶点是抛物线的最__低__点.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 =0 ，其图象与y轴的交点坐标 是 1 ，与x轴的交点坐标是 (0,1) .
例2 已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x 增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
解得 k=2
x
··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
···
···
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5
···
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4
－2
y 2x2
2
4
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？
与y=ax2的关 系
平移规律： c正向上； c负向下.
北师大版九年级数学下册：第二章2.1《二次函数》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的重点和难点。
本节内容主要介绍了二次函数的定义、性质和图象，以及二次函数的应用。
通过本节的学习，使学生掌握二次函数的基本知识，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但二次函数的内容较为抽象，学生理解起来较为困难，特别是二次函数的图象和性质。
因此，在教学过程中，要注重引导学生建立函数与图象的联系，培养学生数形结合的思维方式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图象，会运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的定义、性质和图象。
2.教学难点：二次函数的图象与性质之间的关系，以及二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件和网络资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的兴趣。
2.自主学习：让学生通过阅读教材，理解二次函数的定义，掌握二次函数的基本形式。
3.课堂讲解：讲解二次函数的性质和图象，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决问题，提高学生的应用能力。
5.小组讨论：让学生分组讨论，分享彼此的学习心得，培养学生的合作精神。
北师大版九年级数学下册第二章2.3《确定二次函数的表达式》教学课件(共5份)
第2单元 · 二次函数
确定二次函数的表达式
学习目标
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1.会用待定系数法中的顶点式确定二次函数的表达式. 2.会求简单的二次函数表达式.
新课导入
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
顶点式求二次函数解析式需要几个已知条件？
顶点式：y=a(x-h)2+k
三 个系数 找 三个点
需待定
三个方程
待定系数法
解一元 一次方 程
解二元一 次方程组
解三元 一次方 程组
2 例题解析
例1 已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点（2，3）和（﹣1， ﹣3），求出这个二次函数的表达式.
解：将点（2，3）和（﹣1，﹣3）分别代入二次 函数y＝ax2＋c中，得 3＝4a＋c, ﹣3 ＝ a＋c,
3、待定系数法确定二次函数的表达式基本步骤：
可归纳为：“一设、二列、三解、四写”
一设：设出函数关系式的适当形式;
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二
元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k、b的值； 四写：把求得的k、b的值代入y＝kx+b，写出
函 数关系式.
即时练习
已知二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象经过（1，1）与（2， 3）两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）请你更换题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 y＝x2 ＋ bx ＋ c 表达式的题目，使所求得的二次函数与（1九年级 | 下册
1.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标， 再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
2.解题步骤：设、找、列、解、还原.
北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》课件
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达标检测，反馈提高
1．已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且 经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式 是_______________.
2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点 是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是 _______________.
3.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点， 则此抛物线的顶点坐标是______.
顶点式
y=a(x-h)2+k (a≠0) y=ax 2+bx+c (a≠0) 一般式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 交点式
7
例题精讲
例1：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
a-b+c=10
y
所以： 解得：
a(0+1)(0-1)=1 a= -1
x o
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
即：y=－x2+1
10
慧眼识金,感悟新知：
选择最优解法，求下列二次函数解析式：
1、已知抛物线经过三点A（0，3），B（－1，0） C（1 ，－5），求二次函数的表达式.
2、已知抛物线其顶点坐标为（1，4），且该图像经过点 A（4，6），求二次函数的表达式.
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达标检测，反馈提高
4.链接中考：（2014•宁波）如图，已知二次
函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，
﹣1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点 为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写 出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二 次函数的值．
九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式教案新版北师大版
2.3 确定二次函数的表达式教学目标1．知识技能目标：熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的三种关系式．2．过程性目标：使学生学会探索根据已知条件设出适当的二次函数的关系式，数形结合思想的应用．3．情感态度价值观目标：培养学生合作学习、大胆创新的意识，让他们充分的展现才能，同心协力．教学重点求二次函数关系式．教学难点数形结合思想的应用教学方法这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．板书设计教学过程预设一、情境导入如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？二、复习回顾：1．二次函数表达式的一般形式是什么？2．二次函数表达式的顶点式是什么？启发：3．确定二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)表达式时，需几个独立的条件？三、例题解析例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求出这个二次函数的表达式．解：将点（2，3）和（-1，-3）分别代入二次函数y=ax2+c中，得3=4a+c，-3=a+c，解这个方程组，得a=2，c=-5．∴所求二次函数表达式为：y=2x2-5．随堂练习：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为 1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，∵经过点（2，5）和（-2，13），∴解得a=2，b=-2．∴这个二次函数关系式为．四、提出问题：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？学生活动：学生写出二次函数的顶点式，并写出它图象的顶点坐标．y=a(x-h)2+k (a≠0)，顶点坐标为（h，k）．探索规律：已知顶点坐标，如何设二次函数的表达式？1）顶点（1，-2），设y= a(x )2；2）顶点（-1，2），设y= a(x )2；3）顶点（-1，-2），设y= a(x )2；4）顶点（h，k），设y= a(x )2；例题讲解：例2、如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？[教师引导学生完成解题][巡视辅导，点评]解：∵二次函数图象的顶点为（4，3），∴设二次函数的关系式为y=a(-4)2+3.又∵二次函数图象过点（10，0），∴0=a(10-4)2+3，解得a=.∴所求二次函数的关系式为.五、随堂反馈1．已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式．2．已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）与（2，3）两点．求这个二次函数的表达式．六、课堂总结[教师引导学生总结]：1．当已知条件有顶点，或对称轴，或最值，或单调区间，通常设顶点式y=a(x+h)2+k (a≠0)．2．已知普通的三个点时，设为一般式．七、课堂检测选择最优解法，求下列二次函数表达式：1．已知抛物线的图象经过点（1，1）、（-1，-1）、（0，-2），设抛物线解析式为_______ ；2．已知抛物线的顶点坐标（-2，3），且经过点（-1，0），设抛物线解析式为_________ ；3．已知二次函数有最大值6，且经过点（2，3），（-4，5），设抛物线解析式为___；4．已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点（1，13），（-4，3），求抛物线解析为________.。
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.3 确定二次函数的表达式精选教案1
2.3 确定二次函数的表达式教学目标：1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x 的取值范围。
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
重点难点：根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是难点。
教学过程：一、复习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y ＝6x 2＋12x ； (2)y ＝－4x 2＋8x －102. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?二、范例有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题；例1、要用总长为20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?解：设矩形的宽AB 为xm ，则矩形的长BC 为(20－2x)m ，由于x ＞0，且20－2x ＞O ，所以O ＜x ＜1O 。
围成的花圃面积y 与x 的函数关系式是y ＝x(20－2x)即y ＝－2x 2＋20x配方得y ＝－2(x －5)2＋50所以当x ＝5时，函数取得最大值，最大值y ＝50。
因为x ＝5时，满足O ＜x ＜1O ，这时20－2x ＝10。
所以应围成宽5m ，长10m 的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
例2．某商店元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?教学要点(1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程：解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。
商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OOx 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。
九年级数学下册第二章二次函数3确定二次函数的表达式教学课件(新版)北师大版
所以
4a 2
4a
2
22aa11153,.解得ba22,.
所以这个二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可 以确定它的表达式？ 二次函数 y=ax2+bx+c 可化为 y=a（x-h）2+k，顶点是 （h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另 一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中一项系数，再知道图象上 两点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2，3） 和（-1，-3），求这个二次函数的表达式.
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标 为 1，且经过点（2，5）和（-2，13）， 求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y=ax2+bx+1.
因为经过点（2，5）和（-2，13），
练习
1.抛物线 y=x2+4x+3 的开口向 上 ，对称轴是直 线 x=-2 ，顶点坐标为（-2，-1），图象与 x 轴 的交点为 （-3,0），（-1,0） ，与 y 轴的交点 为 （0，3）. 2.二次函数 y=3（x+1）2+4 的顶点坐标为（-1，4）.
一名学生推铅球，铅球行进高度 y（m）与水 平距离 x（m）之间的关系如图，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗？
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 与同伴交流.
二次函数有如下三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）； （3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
北师大版九年级下数学《2.3确定二次函数的表达式》课件
为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为
(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9. 又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得
1 a . 解得 8
1=a(0-8)2+9.
1 2 y ( x 8) 9. ∴所求的二次函数的表达式是 8
1 2 x
归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法. 其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于
a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
三 交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函
数的表达式. 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2 为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. y 2 1 O -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5
.ห้องสมุดไป่ตู้
3 y= x2 4
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
2+6 y =-2( x -1) 是
. 顶点坐标是（1，6）
近年版九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式教案北师大版(最新整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3 确定二次函数的表达式【教学目标】知识技能目标:能够根据二次函数的图象和性质建立合适的直角坐标系,确定函数关系式,并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式。
过程性目标：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法,体会求二次函数表达式的思想方法.情感态度目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力，引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
【重点难点】重点:根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式,用待定系数法确定二次函数表达式.难点:根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式,用待定系数法确定二次函数表达式.【教学过程】一、创设情境1。
二次函数表达式的一般形式是什么?y=ax2+bx+c(a，b,c为常数，a≠0)2.二次函数表达式的顶点式是什么?y=a(x—h)2+k(a≠0)。
3。
若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(x1，0）,(x2，0）,则其函数表达式可以表示成什么形式？y=a(x—x1)(x—x2)（a≠0）.二、探究归纳引例如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m）与水平距离x（m）之间关系的图象,你能求出其表达式吗?解:根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3),因此设它的关系式为y=a(x—4)2+3,又∵图象过点(10，0)，∴a(10—4）2+3=0,解得a=-，∴图象的表达式为y=-(x—4)2+3.想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？小结:确定二次函数的关系式y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0)，通常需要3个条件；当知道顶点坐标(h,k)和知道图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式y=a(x-h)2+k可以确定二次函数的关系式.例1：已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3）和(—1，-3），求出这个二次函数的表达式。
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2．3 .2 确定二次函数表达式
一、问题引入:
1．已知二次函数2ax y =，只需确定图象上点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
2．已知二次函数c ax y +=2，只需确定图象上点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
3．已知二次函数c bx ax y ++=2可化成：()k h x a y +-=2
，顶点是 ，如果已知坐标，那么再知道图象上点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
4．已知二次函数c bx ax y ++=2中一项系数，再知道图象上点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
5．已知二次函数c bx ax y ++=2图象上点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
二、基础训练：
1．已知二次函数的图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数的表达式是（ ）
A ．222++=x x y
B ．232++=x x y
C ．322+-=x x y
D ．232
+-=x x y
2．已知抛物线2ax y =经过点A （1，－4），则抛物线为.
3．若抛物线262+-=x ax y 经过点(2，2)，则抛物线为 .
三、例题展示：
例1：已知抛物线c bx ax y ++=2经过如图所示的三点，求该抛物线的解析式.
四、课堂检测：
1．将抛物线23x y =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A.()3232++=x y
B.()3232
+-=x y C.()3232-+=x y D.()3232
--=x y 2．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－
14
x 2+bx+c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A
到O 点的距离是4m ，
那么这条抛物线的解析式是（ ）
A ．14
3412++-=x x y B ．143412-+-=x x y C ．14
3412+--=x x y D ．143412---=x x y 3．将二次函数245y x x =-+化成 ()2
y x h k =-+的形式，则y =．
4．（牡丹江市）抛物线2y ax bx c =++经过（1，2）和（－1，－6）两点，则=+c a ．
5．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过A(1,1)--，B(0,2)，C(1,3)；
（1）求二次函数的解析式；
（2）画出二次函数的图象.
2．3 .2 确定二次函数表达式同步练习
1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数y= ax2+bx+c，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。
4.二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。
x
5.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式
6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
7.二次函数的图象与轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
8.把二次函数
的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，求所得二次函数的解析式。
9.二次函数y= ax2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。
x 25
3212++=x x y 23。