高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公

式

文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

高等数学常用概念及公式极限的概念

当x无限增大（x→∞）或x无限的趋近于x

0（x→x

）时，函数f(x)无限的趋近

于常数A，则称函数f(x)当x→∞或x→x

时，以常数A为极限，记作：

lim

∞

→

x f(x)=A 或lim

x

x→

f(x)=A

导数的概念

设函数y=f(x)在点x

0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx＝x- x

，函数有增量

Δy=f(x)-f(x

0)，如果增量比

x

y

∆

∆

当Δx→0时有极限，则称函数f(x)在点x

可导，

并把该极限值叫函数y=f(x)在点x

0的导数，记为f’(x

)，即

f’(x0)＝lim

→

∆x

x

y

∆

∆

=lim

x

x→0

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

-

-

也可以记为y’=|

x=x0，

dx

dy

|

x=x0

或

dx

x

df)

(

|

x=x0

函数的微分概念

设函数y=f（x）在某区间内有定义，x及x+Δx都在此区间内，如果函数的增量Δy=f（x+Δx）-f(x)可表示成Δy=AΔx+αΔx

其中A是常数或只是x的函数，而与Δx无关，α当Δx→0时是无穷小量( 即αΔx这一项是个比Δx更高阶的无穷小)，那么称函数y=f（x）在点x可微，而A Δx叫函数y=f（x）在点x的微分。记作dy，即：

dy=AΔx=f’(x)dx

不定积分的概念

原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足

F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx

则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。

不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作

求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。

其中“⎰”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。

定积分的概念

设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点

a=x 0

i i i x f 1)(ξ

当分点无限增加(n →∞)且所有小区间长度中的最大值λ=max{Δx i }→0时，和式I n 的极限，叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作⎰b

a dx x f )(，即

⎰

b

a

dx x f )(=

∑=→∞→∆n

i i

i

n x f 1

)0()(lim ξλ

其中f(x)称为被积函数，b 和a 分别称为定积分的上限和下限，区间[a ，b]叫积分区间，x 为积分变量。

极限的性质及运算法则

无穷小的概念：若函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时的极限为零，则称f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无穷小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。

无穷小的性质：性质1：有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论1：常数与无穷小的乘积也是无穷小。推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。

无穷大的概念：若当x →x 0(或x →∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x →x 0(或x →∞)时为无穷大量，简称无穷大。注意无穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，一个变量是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。

无穷大与无穷小的关系：定理：在同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则

)

(1

x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)

(1

x f 就为无穷大。

极限运算法则：

法则1：lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A+B 法则2：lim[f(x)·g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=A ·B 特别的：lim cf(x)=c ·lim f(x)=c ·A (c 为常数)

法则3：lim )()(x g x f =)(lim )(lim x g x f =B

A

（其中B ≠0）

注意用法则3求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成无穷小；如果均为无穷小，就用约分及分子分母有理化来解；以上情况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。

两个重要极限：重要极限1：x x

x sin lim

→=1 ==》 ()sin()lim 0

()→=1

重要极限2：lim ∞

→x (1+x 1)x

=e =》 lim ()∞→(1+()1)（）=e 或lim 0()→（）

＋（）

1

)1(=e 等价无穷小(x →0)：在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替