222222高中数学_3.1.2空间向量的基本定理课件_新人教B版选修2-1

例4．已知空间四边形OABC，M、N分别
是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且
MG=2GN，设 OA a, OB b, OC c
试用基底 {a, b, c}表示向量 OG.
O M G A N B
1 1 1 OG a b c 6 3 3
C
例5．已知□ABCD，从平面外一点O引向 量 OE kOA, OF KOB, OG kOC, OH kOD （1）求证：E, F, G, H四点共面； （2）平面AC//平面EG．
MP xMA yMB
(2) 共面向量的判定
平面向量中，向量 a 与非零向量 b 共线的充要条 件是 a b ，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线，那么
向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实数 组 ( x, y ) ，使得 p x yb 这就是说，向量 p 可以由不共线的两个向量 a, b 线性表示。
如果三个向量 a ，b ，c 是三个不共面的 向量，则 a ，b ，c 的线性组合 xa yb zc 能 生成所有的空间向量，这时 a ，b ， c 叫做空 间的一个基底， 记作{ a ，b ，c }， 其中 a ，b ，
c 都叫做基向量。
由上述定理可知，空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底。
OC ，则与 a 、 b 不能构成空间基底的向量是
（ C
） B． OB D． OA 或 OB
A． OA C． OC
1 3．已知向量 a =（8， x，x） ，b =（ x，1 ，2 ） ， 2
其中 x＞0．若 a ∥ b ，则 x 的值为 A．8 C．2 B．4 D．0
( B
)
例2．已知A，B，C三点不共线，对平面外
3.1.2空间向量的基本定理
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直 线互相平行或重合，则这些向量叫做共线 向量或平行向量。 a // b
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量 a, b (b 0), a // b 的 充要条件是存在唯一的实数 ，使 a b ．
推论：如果 l 为经过已知点 A ，且平行于已知向 量 a 的直线，那么对任一点 O ，点 P 在直线 l 上 的充要条件是存在实数 t ，满足等式
1 2 2 任一点O，满足条件， OP OA OB OC 5 5 5
试判断：点P与A，B，C是否一定共面？
解：由题意： 5OP OA 2OB 2OC ，
∴ (OP OA) 2(OB OP) 2(OC OP) ， ∴ AP 2PB 2PC ，即 PA 2PB 2PC ， 所以，点 P 与 A, B, C 共面．
过点 P 作直线 PP’//OC， 交平面 OAB 于点 P’， 在平面 OAB 内， 过 P’作直线 P’A’//OB， P’B’//OA， 分别与直线 OA，OB 相交于点 A’，B’， 于 是 存 在 三 个 实 数 x ， y， z ， 使
OA ' xOA xa, OB ' yOB yb, OC ' zOC zc
例1．已知斜三棱柱ABC－A’B’C’，设
AB a, AC b, AA ' c 在面对角线AC’上和棱BC上分别取点M和 N，使得 AM k AC ', BN kBC(0 ≤ k ≤1)
求证： MN 与向量 a ，c 共面。
A' B' c M b a N B C C'
A
AM k AC ', BN kBC(0 ≤ k ≤1)
H E D A B F C O
G
例6．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线
1 1 BD,AE上，且 BM BD, AN AE 3 3
求证：MN//平面CDE
F N
E
MN MB BA AN
1 1 A ( DC DA) CD ( AD DE ) 3 3 2 1 M CD DE B 3 3
a 平行于平面 ，记作： a / / ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做 共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
（1） 共面向量的定义 如果两个向量 a, b 不共线， p 与向量 a, b 共面 的充要条件是存在实数 x, y 使 p xa yb ．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分 必要条件是存在有序实数对(x, y)，使
B
例3．平行六面体ABCD－A’B’C’D’，设
AB a, AD b, AA ' c 试用基底 {a, b, c}
表示如下的向量： AC ', BD ', CA ', DB '
A' D'
c
B' b D
C'
A a B
C
abc a b c a b c a bc
因此
OP OA ' OB ' OC ' xOA yOB zOC ，
即 OP xa yb zc 。 如果 OP xa yb zc x ' a y ' b z ' c ， 则 x=x’，y=y’，z=z’. 这也证明了上述表达式是惟一的。
6．空间向量的基底
OP OA t AB ①，其中向量 a 叫做直线 l 的
方向向量。在 l 上取 AB a ，则①式可化为
OP OA t AB 或 OP (1 t )OA tOB ②
①和②都叫空间直线的向量参数方程.
3．向量与平面平行：
已知平面 和向量 a ，作 OA a ，如果 直线 OA 平行于 或在 内，那么我们说向量
5．空间向量分解定理
空间向量的分解定理： 如果三个向量 a ，b ，c 不 共面，那么对于空间任一向量 p ，存在一个惟一 的有序实数组 x，y，z，使 p xa yb zc 。
证明：设向量 a ， b ， c 不共面，过点 O 作
OA a, OB b, OC c, OP p ，
A' B' c M b a N B C C'
AM k AC ' kb kc
AN AB BN a k ( a b)
A
(1 k )a kb kb kc (1 k )a kc
D
2．已知点 O、A、B、C 为空间不共面的四点， 且向量 a = OA + OB + OC ，向量 b = OA + OB －
D
C