湖北省枣阳一中高二数学下学期第三次月检考试试题 理 (2)

枣阳一中2014-2015学年度高二下学期第三次月检测理科数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（10小题，每小题5分，共50分） 1．三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,2
1
⋅++=
为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A.abc V 31
=
B.Sh V 31=
C.()r S S S S V 43213
1
+++=
（4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
D.)(,)(3
1
为四面体的高h h ac bc ab V ++=
2．已知函数()()x
f x y x R e
=∈满足'
()()f x f x >，则(1)f 与(0)ef 大小关系是（ ） A 、(1)(0)f ef < B 、(1)(0)f ef > C 、(1)(0)f ef = D 、不能确定 3．下列几种推理中是演绎推理的序号为（ ）
A 、由2022<，2
132<，Λ2242<猜想21
)1(2
+<-n n （+∈N n ）
B 、半径为r 的圆的面积2r s π=，单位圆的面积π=s
C 、猜想数列
211⨯、321⨯、Λ4
31⨯的通项为)1(1+=
n n a n （+∈N n ） D 、由平面直角坐标系中，圆的方程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-推测空间直角坐标系中球的方程为2
2
2
2
)()()(r c z b y a x =-+-+-
4．已知抛物线x y 42=的焦点F ，该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．从6,5,4,3,2,1这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字中有
2 和3时,2必须排在3前面(不一定相邻),这样的三位数有
A.108个
B.102个
C.98个
D.96个 6．抛物线2
8
x y =-的准线方程是 （ ）
(A) 132x =
（B ）y ＝2 （C ）1
4
x = （D ）y=4
7．已知复数z 满足(33)3i z i +=，则z 为
A ．3322i － B. 3344i － C. 3322i ＋ D. 3344
i ＋
8．抛物线的准线方程是，则的值为
（ ）
A ．
B ．18-
C ．8
D ．-8
9．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线310x y ++=垂直，则双
曲线的离心率等于 A.6 B.
23
3
C.10
D.3 10．已知点A 为双曲线x 2y 2
=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)
33 (B) 2
33 (C) 33 (D) 63
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）
11．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有_____种.
12．若椭圆2
2
1x my +=的离心率为
3
2
，则它的长半轴长为_______________ 13．已知命题a x x p 3|1||1:|≥++-恒成立，命题x
a y q )12(:-=为减函数，若“q p ∧”为真命题，则a 的取值范围是 . 14．
三、解答题（本大题共有3个小题，共40分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

）
13. (本小题满分13分)
已知命题p ：方程22
12x y m
+=表示焦点在轴上的椭圆，命题：关于
X
的方程
22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m
的取值范围.
15．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“420”）顺序排列的数的个数是 ．
三、解答题（75分） 16．（本小题满分12分）
某单位组织职工参加了旨在调查职工健康状况的测试.该测试包括心理健康测试和身
2
y ax =2y =a 1
8
y q
体健康两个项目，每个项目的测试结果为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.假设该单位50位职工全部参加了测试，测试结果如下：x 表示心理健康测试结果，y 表示身体健康测试结果.
人数
身体健康 A B C D
E 心理健康
A 1 3 1 0 1 B
1 0 7 5 1 C
2 1 0 9
3 D 1 b 6 0 a E
1
1
3
（（II ）如果在该单位随机找一位职工谈话，求找到的职工在这次测试中心理健康为D 等且身体健康为C 等的概率；
（III ）若“职工的心理健康为D 等”与“职工的身体健康为B 等”是相互独立事件，求a 、b 的值. 17．（本小题满分12分） 已知函数163
1)(23
-++=
x ax x x f .当2=x 时，函数)(x f 取得极值. （I ）求实数a 的值；
（II ）若时，方程有两个根，求实数的取值范围. 18．（本题满分13分） 如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分）,.道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.
19．（10分）设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
. ⑴ 求)(x f 的极值点；
⑵ 若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. ⑶ 已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.
20．（本小题满分12分）
在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格。

31≤≤x 0)(=+m x f m
（1）用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较。

（2）求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；
（3）从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望。

21．(本小题满分16分)（理科做）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =2BD AE ==，M 是AB 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
⑴求证：CM EM ⊥；
⑵求CM 与平面CDE 所成角的大小．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别
以四个面为底面的4
考点：本小题主要考查类比推理.
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．解决类比推理问题的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）2．B
【解析】
试题分析
：求导数得
增函考点：导数判定单调性
较大小
3．B
【解析】解：因为演绎推理是从一般到特殊的推理，那么符合定义的为选项B
半径为r的圆的面积2
r
sπ
=，单位圆的面积，而选项A是归纳推理，选项C是归纳推理，选项D是类比推理。

4．A
【解析】
试题分析：抛物线x
y4
2=的焦点()
1,0
F,准线方程为：1
x=-，该抛物线上的一点A到y轴的距离为3，则A到准线1
x=-的距离为4，由抛物线的定义知： A. 考点：1抛物线的定义；２、抛物线的标准方程.
5．A
【解析】
试题分析：从6,5,4,3,2,1这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数共有3
6
A个，3在2前的数字有12
1
4
1
4
1
2
=
+C
C
C,所以满足2必须排在3前面(不一定相邻),的三位数有 108个.
π
=
s
考点：排列组合. 6．B 【解析】
考点：抛物线的简单性质． 专题：计算题．
分析：先根据抛物线方程的标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
解答：解：抛物线的方程为抛物线x 2
=-8y ，故p=4， 其准线方程为y=2； 故选B
点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=-4，因看错方程形式马虎导致错误． 7．
【解析】略 8．B
【解析】略 9．C 【解析】
试题分析：直线013=++y x 的斜率31-
=k ，双曲线的渐近线方程x a
b
y ±=，因此131-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅a b ，得 a b 3=，令k a =，则k b a c 1022=+=，离心率1010===
k
k a c e ，故答案为C. 考点：双曲线的简单几何性质. 10．C
【解析】 如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）
满足方程12
2=-y x ，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.
11．1080 【解析】
-2
-1
12
2
1
-1
-2
O
B
A
C
D
第3题
解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次
品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有 C 31×C 31×C 41×C 31×C 21
×（1+2×1+2×1×1）
=1080
故答案为：1080． 12．_1或2_ 【解析】略 13．
3
221≤<a 【解析】
试题分析：因为2|1||1|≥++-x x ，由a x x 3|1||1|≥++-恒成立知：23≤a ，
即3
2
≤a . 由x a y )12(-=为减函数得：，即12
1
<<a .又因为“p ∧q ”为真命题，所以，p 和q 均为真命题，所以取交集得
3
221≤<a . 考点：命题，绝对值不等式，恒成立.
14．
【解析】略 15． 204 【解析】
试题分析：先从除0以外的9个数字中选出3个数字，当三个数字确定以后，这三个数字按
严格递增或严格递减排列共有2种情况，所以共有种；当最后一位数字为0时，有种，所以一共有329
9216836204C C +=+=种. 考点：排列与排列数.
16．（I ）3 （II ）012
（III ）
【解析】（I ）∵该单位50位职工全部参另了测试， ∴表中标出的总人数也应是50人，
1120<-<a 3
92168C =2
936C =.1,2==∴b a
…………4分
（II ）从表中可以看出，职工在这次测试中心理健康为D 等且身体健康为C 等的人数为6人，
…………8分
（III ）∵“职工的心理健康为D 等”与“职工的身体健康为B 等”是相互独立事件，
…………10分
又
…………12分
17．
解:（
I
因在时，取到极值 所以
解得 （II 且
则
由0)(='x f ，解得2=x 或3=x ；
0)(>'x f ，解得3>x 或2<x ； 0)(<'x f ，解得32<<x
∴)(x f 的递增区间为:)2,(-∞和),3(+∞；)(x f 递减区间为:)3,2(
要0)(=+m x f 有两个根,则m x f -=)(有两解，由图知
.
34750=-=+∴b a ).
()()(B y P D x P B y D x P =⋅====∴且,3=+b a Θ.1,2==∴b a 6
2)(2
++='ax x x f 2=x )(x f 0)2(='f 0644=++⇒a 31≤≤x )
3)(2(65)(2
--=+-='x x x x x f
【解析】略
18．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大，最大面积为1944平方米.
【解析】
试题分析：设出休闲广场的长为x 米，表示宽为
x
2400
米，再表示绿化范围的长与宽，进而表示绿化区域的总面积，列出函数表达式；再利用基本不等式进行求最值.
解题思路： 解决函数应用题的关键在于审清题意，从题意中提炼出有关数学量和关系式，将应用题转化为数学问题进行求解. 试题解析：设休闲广场的长为x 米，则宽为
x
2400
米，绿化区域的总面积为s 平方米. )42400
)(
6(--=x
x s 4分 )2400
64(2424x x ⨯+-=
)600,6(),3600
(42424∈+-=x x x 6分
因为)600,6(∈x ，
所以36003600
2120x x x x
+
≥⋅= 当且仅当x
x 3600
=
，即x=60时取等号 9分 此时S 取得最大值，最大值为1944 11分
答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大，最大面积为 1944平方米.
考点：1.函数模型的应用；2.基本不等式.
19．⑴122,2x x =-=；⑵542542a -<<+；（3）3-≤k 。

【解析】
试题分析：⑴2,2,0)(),2(3)(212
=
-=='-='x x x f x x f 得令.
⑵ 由（Ⅰ）的分析可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）
∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点， 即方程α=)(x f 有三解
⑶ )1()5)(1()1()(2
-≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12
+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立
令5)(2
-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数， ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k .
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性和最值；恒成立问题。

点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：()x f m ≥在D x ∈上恒成立()x f m max ≥⇔；思路2: ()x f m ≤在D x ∈上恒成立
()x f m min ≤⇔。

注意恒成立问题与存在性问题的区别。

20．（1）甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定;（2)
（3） 【解析】
试题分析：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差大于乙班的方差，所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定；（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A;事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B 则根据条件概率公式即可求出结果.（3）X 的取值为0,1,2,3，即可列出分布列，进而求出期望. 试题解析：解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。

（4分） （本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）
（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A; 事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B 则 （8分）
（3）X 的取值为0,1,2,3，
X 0
1
2
3
P
215 1945 1645 445
期望()7
5
E X =
（12分）.
考点：1.条件概率；2.数学分布列和期望.
21．⑴分别以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．…………………………………………2分
27()7
5
E X =()E X ()()()2
/7
P A B P B A P A ⋅=
=
设AE a =，则()(),,0,0,2,M a a E a a --，
所以()(),,0,,,CM a a EM a a a =-=-u u u u r u u u u r ，………4分
所以()()00CM EM a a a a a ⋅=⨯-⨯⨯-=++u u u u r u u u u r ，
所以CM EM ⊥．…………………………8分
⑵()()0,2,,2,0,2CE a a CD a a =-=u u u r u u u r ，设平面CDE 的法向量(),,x y z =n ，
则有20,220,ay az ax az -+=⎧⎨+=⎩即2,,z y x z =⎧⎨=-⎩
令1y =，则()2,1,2=-n ，…………………12分 21022cos ,223a a CM CM a CM ⨯--⨯⨯⋅===⨯++u u u u r u u u u r u u u u r n n n
，…………………14分 所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45︒．…………………………………16分
【解析】略。